Fit in Mathe. Musterlösungen. Dezember Klassenstufe 10 Trigonometrie (Taschenrechner erlaubt)

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1 Thema Trigonometrie (Tashenrehner erlaubt) Drei Bestimmungsstüke sind gegeben. Bestimme die fehlenden Seiten. a) γ = 60, b = 10, = 10 b) γ = 90, b = 3, = 5 ) γ = 10, a, b d) γ = 30 β = 60, = 5 Zu a) Aus dem Sinussatz folgt: sin γ = b 10 sin β = sin γ β = γ = 60 α = 60 sin β 10 Also handelt es sih um ein gleihseitiges Dreiek, deswegen ist auh a = 10. Zu b) Wegen des Satzes des Pythagoras ist: a b = a =5 9 = 16 a zu ) Das Dreiek ist gleihshenklig, deswegen ist α = β = 30. Daraus ergibt sih: os 30 = 4 8 = 3 3 6,9 zu d) Da im Dreiek die Winkelsumme 180 ist, folgt aus den Winkelangaben: α = 90. Mit dem Sinussatz erhält man: sin γ = b 60 b = 5 sin sin β sin 30 b = 5 3 b = 5 3 8,7 Der Satz des Pythagoras liefert hier: a = b = 5 75 = 100 a = 10 Es handelt sih um ein Dreiek mit einem rehten Winkel γ. Bestimme die fehlenden Seiten a,b und. a) s, h b) s = 5, h ) q = 3, h d) = 5, p = 3 Die Summe aller gefundenen Seiten ist 39,6. Das gesuhte Buhstabenpaar ist also BR.

2 zu a) Da s = h handelt es sih um ein gleihshenkliges Dreiek. Die linke Hälfte allein betrahtet stellt ein Dreiek mit den Winkeln 45, 45 und 90 und einer Seite h dar. Dann muss sein: = 8 und außerdem ist in diesem Teildreiek wegen des Satzes des Pythagoras b = h = 16 16=3 b = 3. Wegen der Gleihshenkligkeit ist ebenfalls: a = 3, also das Produkt aller Seitenlängen = 56. Zu b) Aus der Vorgabe, dass γ = 90, also ein rehter Winkel ist, folgt nah dem Satz des Thales, dass der obere Ekpunkt C auf einem Halbkreis liegt, dessen Mittelpunkt die Seite halbiert. Es muss also M 1 C = s = sein, und daher = 10. Der Abstand d des Fusspunktes der Höhe h und dem Punkt M 1 ergibt sih nah Pythagoras als d = s h = 5 16 = 3. Daraus ergeben sih die beiden Abshnitte der Grundseite als q = 5 3 = 8 und p = 5 3 =. Mit Pythagoras lassen sih dann die Seiten a und b in den jeweiligen Teildreieken ausrehnen, nämlih b = q h = 4 = 0 b = 0 und a = p h = 8 4 = 80 a = 80, das Produkt aller gefundenen Seiten ist = zu ) Nah dem Höhensatz von Euklid gilt: h = q p p = h q = 16 3 = q p = = 5 3.Mit Pythagoras kann man shließen. Also ergibt sih b = q h = 9 16=5 b = 5 und a = p h = a = 0 3 Das Produkt der Seiten ist = ,8 9 zu d) Aus den Angaben folgt q =. Der Kathetensatz des Euklid sagt aus: b = q = b = 5 b = 10. Derselbe Kathetensatz angewendet auf die andere Seite des Dreieks liefert: a = p a = 3 5 a = 15. Also ist das Produkt aller Seitenlängen: = , Die Summe der Produkte a b ganzzahlig gerundet ist 995, also Buhstabenpaar OM.

3 Welhe der folgenden Eigenshaften kann man den folgenden Bestimmungsstüken im Dreiek zuordnen. 1) Mittelsenkrehte 3) Winkelhalbierende ) Seitenhalbierende 4) Höhe a) Die fällt im rehtwinkligen Dreiek mit einer Seite zusammen. b) Die (n) shneiden sih in einem Punkt, der von allen Eken gleih weit entfernt ist. ) Die (n) sind umgekehrt proportional zu den Längen der Grundseiten, auf denen sie stehen. d) Die (n) shneiden sih im Verhältnis 1 :. e) Die (n) shneiden sih im Mittelpunkt des größten einbeshreibbaren Kreises. f) Die (n) teilen das Dreiek jeweils in zwei flähengleihen Teile. g) Die ist die Menge aller Punkte, die von zwei Eken gleih weit entfernt sind. h) Die ist die Menge aller Punkt, die von zwei Seiten gleih weit entfernt sind. zu a) die Höhe zu b) die Mittelsenkrehten. Der Shnittpunkt ist der Mittelpunkt des Umkreises. zu ) die Höhen, denn es ist h x x = Flähe für x=a,b, zu d) die Seitenhalbierenden zu e) die Winkelhalbierenden zu f) die Seitenhalbierenden zu g) die Mittelsenkrehte zu h) die Winkelhalbierende Die Summe der rihtigen Antworten abwehselnd mit positivem oder negativem Vorzeihen (mit + beginnend) ist , also Buhstabenpaar BE. Die vordere Wand eines Hauses steht in der Entfernung e eines Flussufers. Visiert man vom anderen Ufer zwei im Abstand senkreht übereinander befindlihe Punkte der Hauswand an, so erhält man die Neigungswinkel α und β. e = 1 m und = 8 m Berehne die Flussbreite b!

4 Es sei x die Höhe des Punktes B. Dann kann man eine Gleihung aufstellen: x = tan 15 x = b 1 tan 15 b 1 Eine zweite Gleihung mit demselben x ergibt sih aus der Beziehung: x 8 = tan 5 x = b 1 tan 5 8 b 1 Nah Gleihsetzen der rehten Seiten obiger Gleihungen für x erhält man: b 1 tan 15 = b 1 tan b = 1 8,3 tan 5 tan 15 Die Flussbreite ganzzahlig gerundet ist 8 m, also Buhstabenpaar ER. Ein Freiluftballon befindet sih oberhalb des Punktes G. Die Punkte A und C werden unter den gegebenen Tiefenwinkeln gesehen. Wie hoh shwebt der Ballon oberhalb G, wenn die Punkte A und C den Abstand 1600 m voneinander haben? 8 ER Der Abstand zwishen G und A sei x und die Höhe des Ballons h. Dann lässt sih die Gleihung aufstellen: x = tan = tan 1 x = h tan 1 h Eine zweite Gleihung ergibt sih aus der Beziehung: x 1600 = tan = tan 57 x = h tan h Durh Gleihsetzen der rehten Seiten obiger Gleihungen erhält man: h tan 1 = h tan h = tan 57 tan BI 894 NF Die Höhe ganzzahlig gerundet ist also 1384 m, also Buhstabenpaar EN. 3 IT 1385 IN swort: BROMBEEREN en mit Kennsilben 39,6 BR 6 UE 1 EN 995 OM 7 WE 5 KO 1485 RE 4 BE 1384 EN 994 RN

5 Expertenaufgabe (verallgemeinerter Thalessatz) Die Streke AB ist eine Sekante im Kreis. Der obere Ekpunkt des Dreieks P liege irgendwo auf dem Kreis. Dann ist der Winkel γ unabhängig von der Lage von P immer gleih. Beweise diese Aussage! Hinweis: Was kann man über die Streken OP und OA aussagen? Ist α ' von der Lage von P abhängig? Mit ABC wollen wir einen Winkel bezeihnen, der von den beiden Shenkeln AB und CB eingefasst wird, d.h. der in der Mitte stehende Punkt - hier B - ist der Sheitel und der Winkel ist der, der überstrihen wird, wenn AB im mathematish positiven Sinne um B auf CB gedreht wird. Die Bezeihnung der Winkel in obigem Dreiek ABP sei ansonsten standardmäßig und der Winkel OBP sei analog zu α' mit β' bezeihnet. Die beiden im obigen Hinweis gestellten Fragen lassen sih so beantworten: - Die beiden Streken OP und OA sind gleih lang, denn beide Streken sind Kreisradien eines Kreises um O. - α ' ist niht von der Lage von P abhängig, denn die Punkte A,B und O sind fix. Da OA = OP, ist das Dreiek AOP gleihshenklig, d.h. (1) OAP.= APO. Dasselbe muss natürlih auh auf der anderen Seite für das Dreiek OBP gelten, d.h. () PBO = OPB. Die beiden Winkel OPB und APO bilden aber in Summe den Winkel γ, d.h. (3) γ = OPB + APO. Im Dreiek ABP gilt: γ = 180 α β = ( α' + OAP) (β' + PBO) = 180 α' β' - ( OAP + PBO) Die beiden Winkel in der hinteren Klammer kann man durh die Winkel jeweils links der Gleihheitszeihen in (1) und () ersetzen und wegen (3) ergeben diese in Summe den Winkel γ. Wir erhalten also eine Gleihung: γ = α' β' - γ, also γ = α' β'. Da aber nah dem oben Gesagten α' β' niht von der Lage des Punktes P abhängt, wenn er nur auf dem Kreis um O liegt, ist der Beweis erbraht.