Mathematische Probleme, SS 2015 Montag $Id: dreieck.tex,v /04/20 08:57:49 hk Exp $ 1.4 Dreiecksberechnung mit Seiten und Winkeln

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1 Mthemtishe Proleme, SS 2015 Montg 20.4 $Id: dreiek.tex,v /04/20 08:57:49 hk Exp $ 1 Dreieke 1.4 Dreiekserehnung mit Seiten und Winkeln In der letzten Sitzung htten wir egonnen die vershiedenen Konstruktionsproleme für Dreieke zu esprehen ei denen drei der Seiten und Winkel des Dreieks gegeen sind. Eine der eiden Möglihkeiten ei zwei gegeenen Seiten ist dei der SSW Fll ei dem in den Stndrdezeihnungen etw die Seiten, und der Winkel β vorgegeen sind. Hier treten zwei Unterfälle uf, entweder ist oder >, woei es im ersteren der eiden pssieren knn ds ds Konstruktionsprolem gr niht oder niht eindeutig lösr ist. Mn knn diese Sitution vollständig nlysieren ws wir hier er niht tun wollen. Wir eshränken uns uf den Fll >, dss lso der der größeren vorgegeenen Seite gegenüerliegende Winkel uh vorgegeen ist. C A β B Stz 1.6 Dreiekserehnung ei zwei Seiten und einem äußeren Winkel) Seien > > 0 und ein Winkel 0 < β < π gegeen. Dnn existiert ein is uf Kongruenz eindeutiges Dreiek = ABC mit AC = und AB = dessen Winkel 3-1

2 Mthemtishe Proleme, SS 2015 Montg 20.4 ei B gleih β ist. In den Stndrdezeihungen hen wir dnn = os β sin 2 β, sin 2 β os β ) = ros 2 2 sin 2 β, sin 2 β os β ) γ = π β ros 2 2 sin 2 β. Beweis: Wir eginnen mit der Existenzussge. Wähle einen Punkt A und ilde den Kreis K mit Mittelpunkt A und Rdius. Weiter trge eine Streke AB der Länge AB =. Wegen < liegt B innerhl des Kreises K. Trge weiter eine von B usgehende Hlgerde H im Winkel β zu AB. D der Ausgngspunkt B von H innerhl des Kreises K liegt, shneiden H und K sih in einem Punkt C. Dnn ist ABC ein Dreiek mit AB = und AC = d der Rdius von K ist. Außerdem ist der Winkel dieses Dreieks ei B gerde der Winkel zwishen AB und H lso β. Sei jetzt umgekehrt ABC ein Dreiek mit AB =, AC = und Winkel β ei B. In den Stndrdezeihnungen liefert der Cosinusstz Stz 4 2 = os β, lso 2 2 os β = 0 Dies ist eine qudrtishe Gleihung für und wir erhlten = os β ± 2 os 2 β = os β ± 2 2 sin 2 β. Dss sin 2 β + os 2 β = 1 gilt htten wir dei in der letzten Sitzung eingesehen d der Punkt os β, sin β) uf dem Kreis mit Rdius 1 und Mittelpunkt in 0, 0) liegt. Wegen > ist uh 2 2 sin 2 β > 2 2 sin 2 β = 2 os 2 β, lso 2 2 sin 2 β > os β und dmit ist = os β sin 2 β. Dies eweist zum einen die Berehnungsformel für und zum nderen ist durh,, β festgelegt, lso ist ds Dreiek ABC is uf Kongruenz eindeutig festgelegt. Weiter hen wir und nh Stz 5 gelten = 22 2 os β 2 = ros = os2 β os β 2 2 sin 2 β sin 2 β os β ) 2 2 sin 2 β 3-2 = sin2 β os β 2 2 sin 2 β,

3 Mthemtishe Proleme, SS 2015 Montg 20.4 und γ = π β = π β ros sin 2 β os β ) 2 2 sin 2 β. Wir kommen zum nähsten der Konstruktionssätze ei dem zwei Seiten und der von ihnen eingeshlossene Winkel vorgegeen sind. In den Stndrdezeihnungen seien etw die eiden Seiten, > 0 und der von ihnen eingeshlossene Winkel 0 < < π gegeen. Dss es dnn ein zu diesen Vorgen pssendes Dreiek git ist klr, wir müssen j nur eine Streke AB der Länge und eine Streke AC der Länge im Winkel trgen, und hen dnn ein Dreiek ABC der gewünshten Art. Dfür müssen wir wieder eine Eindeutigkeitsussge nhweisen, lso zeigen ds ds Dreiek durh,, is uf Kongruenz eindeutig festgelegt ist, mn spriht dnn uh vom Kongruenzstz SWS für Seite Winkel Seite. All dies läßt sih wieder equem üer den Cosinusstz durhführen. Stz 1.7 Dreiekserehnung ei zwei Seiten und dem eingeshlossenen Winkel) Seien, > 0 und 0 < < π gegeen. Dnn existiert ein is uf Kongruenz eindeutiges Dreiek ABC mit AC = und AB = so, dss der Winkel ei A ist. In den Stndrdezeihnungen gelten weiter = os, ) os β = ros, os ) os γ = ros os Beweis: Die Existenz eines Dreieks ABC mit den verlngten Eigenshften hen wir ereits eingesehen. Nh dem Cosinusstz Stz 4 gilt in jedem solhen Dreiek in den ülihen Bezeihnungen = os und insesondere ist ds Dreiek nh Stz 5 is uf Kongruenz eindeutig estimmt. Weiter hen wir = 22 2 os 2 = os os und nh Stz 5 ist dmit ) os β = ros os Die Gleihung für γ ergit sih nlog. Es verleien nur noh die Konstruktionsufgen mit einer vorgegeenen Seite und zwei vorgegeenen Winkeln. D die Winkelsumme 180 ist, spielt es dei keine Rolle 3-3

4 Mthemtishe Proleme, SS 2015 Montg 20.4 welhe Winkel vorgegeen werden, sind zwei Winkel eknnt so stehen ereits lle drei Winkel fest. Der entstehende Stz ist dnn der sogennnte Kongruenzstz Seite Winkel Winkel, lso SWW, und zur Berehnung der fehlenden Seitenlängen verwenden wir den sogennnten Sinusstz, den wir zunähst einml eweisen wollen. Stz 1.8 Der Sinusstz) Sei ein Dreiek mit Seiten,, und Winkeln, β, γ in der Stndrdezeihnung. Dnn gilt sin = sin β = sin γ und ezeihnet h, h, h die Höhen uf den jeweiligen Seiten,, so hen wir h = sin β = sin γ, h = sin = sin γ, h = sin = sin β, Beweis: Wir eginnen mit der Aussge üer die Höhen und dei reiht es h = sin zu zeigen, die nderen Gleihungen gehen us dieser durh Umezeihnungen hervor. Wir shreien h = h. Im Fll = π/2 fllen h und zusmmen und wegen sinπ/2) = 1 ist in diesem Fll sofort h = sin. Wir können lso π/2 nnehmen und wie eim Cosinusstz treten drei möglihe Fälle uf. h h h p p p Fll 1 Fll 2 Fll 3 Im ersten Fll ist 0 < < π/2 und h liegt im Dreiek. Dnn lesen wir den Sinus von im links uftuhenden rehtwinkligen Dreiek und hen sin = h/, lso h = sin. Im zweiten Fll ist 0 < < π/2 weiterhin ein spitzer Winkel er h liegt ußerhl des Dreieks. Dnn verlängern wir die Seite wie gezeigt zu einem rehtwinkligen Dreiek und in diesem lesen wir den Sinus von wieder ls sin = h/, hen lso wieder h = sin. Im letzten Fll ist π/2 < < π ein stumpfer Winkel. Betrhten wir dnn ds links uftuhende rehtwinklige Dreiek ACH woei H der Fußpunkt von h = h uf AB ist, so liegt in diesem ei A der Winkel π n, lso ist sin = sinπ ) = h lso erneut h = sin. Der eigentlihe Sinusstz ist jetzt eine unmittelre Folgerung, wegen sin β = sin γ ist sin β = sin γ 3-4

5 Mthemtishe Proleme, SS 2015 Montg 20.4 und wegen sin = sin γ hen wir uh sin = sin γ. Dmit kommen wir jetzt zum finlen Kongruenzstz SWW: Stz 1.9 Dreiekserehnung ei einer Seite und zwei Winkeln) Seien > 0 und 0 <, β < π gegeen. Dnn existiert genu dnn ein Dreiek = ABC mit AB = und Winkeln ei A und β ei B wenn + β < π ist. In diesem Fll ist is uf Kongruenz eindeutig estimmt und es gelten = sin sin + β), = sin β sin + β), γ = π β. Beweis: D die Winkelsumme im Dreiek gleih π ist, ist die Bedingung + β < π notwendig für die Existenz eines pssenden Dreieks. Nun nehme umgekehrt +β < π n. A C β B Dnn trgen wir eine Streke AB der Länge und ilden im Winkel einen von A usgehenden Hlstrhl und im Winkel β einen von B usgehenden Hlstrhl. Diese eiden shneiden sih in einem Punkt C und dnn ist ABC ein Dreiek mit AB = 3-5

6 Mthemtishe Proleme, SS 2015 Montg 20.4 und Winkel ei A und β ei B. Dmit ist die Existenzussge ewiesen, und wir kommen nun zur Eindeutigkeit. Sei lso ein elieiges Dreiek des gesuhten Typs gegeen. Dnn ist γ = π β und mit dem Sinusstz Stz 8 folgen und eenso = sin sin γ = sin sinπ + β)) = = sin β sin γ = sin β sin + β). Insesondere ist is uf Kongruenz eindeutig estimmt. sin sin + β) Die oige Konstruktion des Punktes C verdient noh einen kleinen Kommentr. Wir htten ereits gnz zu Beginn ngemerkt ds mn die eene Geometrie uh xiomtish ufuen knn, und ds Ureispiel eines solhen Aufus sind die Elemente des Euklid. Diese sind im Zeitrum um 300 vor Christus entstnden und eines der dort verwendeten Axiome ist ds sogennnte Prllelenxiom Shneiden zwei Streken eine Gerde in zwei gegenüerliegenden Winkeln die zusmmen kleiner ls zwei Rehte sind, so treffen sih diese Streken ei Verlängerung ins Unendlihe in einem Punkt der uf der Seite der Gerden liegt in der die eiden gegenüerliegenden Winkel sind die zusmmen kleiner ls zwei Rehte sind. Der Nme Prllelenxiom entsteht d diese Aussge unter Vorussetzung der ürigen Axiome dzu äquivlent ist, dss es zu jeder Gerden und zu jedem Punkt ußerhl der Gerden stets genu eine Gerde durh den Punkt git welhe die vorgegeene Gerde niht trifft. Unser Beweis des SWW-Stzes zeigt ds der Kongruenzstz SWW im wesentlihen zum Prllelenxiom äquivlent ist. Ttsählih wird ei vielen Axiomensystemen für die eene Geometrie die eine oder ndere Form eines Kongruenzstzes ls Axiom verwendet. Zusmmenfssend hen wir dmit die folgenden Kongruenzussgen eingesehen: Zwei Dreieke sind genu dnn kongruent wenn sie in llen drei Seiten, in zwei Seiten und dem von ihnen eingeshlossenen Winkel, in zwei Seiten und dem der längeren Seite gegenüerliegenden Winkel, in einer Seite und zwei Winkeln üereinstimmen. 3-6

7 Mthemtishe Proleme, SS 2015 Montg Einige spezielle Punkte im Dreiek Mit den speziellen Punkten in einem Dreiek sind Punkte gemeint die in irgendeiner knonishen Weise geometrish us dem Dreiek herus konstruiert werden können, lso eispielsweise der Shnittpunkt der Seitenhlierenden oder der Shnittpunkt der Mittelsenkrehten. Wir ehndeln hier huptsählih die vier wihtigsten von diesen, und dies sind die jeweiligen Shnittpunkte der Seitenhlierenden, der Winkelhlierenden, der Mittelsenkrehten und der Höhen. Dies hängen eng mit dem Innkreis und dem Umkreis eines Dreieks zusmmen. Ein wihtiges Hilfsmittel zur Diskussion dieser Punkte ist der Ähnlihkeitsegriff für Dreieke, mn nennt zwei Dreieke, ähnlih zueinnder wenn in ihnen entsprehende Winkel gleih sind, wenn lso in den Stndrdezeihnungen =, β = β und γ = γ gelten. Mit den Kongruenzsätzen des vorigen Ashnitts ist es uh leiht einige Ähnlihkeitskriterien für Dreieke nzugeen. Stz 1.10 Chrkterisierungen ähnliher Dreieke) Seien, zwei Dreieke deren Seiten und Winkel gemäß der Stndrdezeihnungen ls,,,, β, γ eziehungsweise,,,, β, γ ennnt sind. Dnn sind die folgenden Aussgen äquivlent: ) Die Dreiek und sind ähnlih. ) Entsprehende Seiten hen dieselen Verhältnisse, lso =, =, =. ) Ein Pr entsprehender Winkel und ds Verhältniss der ngrenzenden Seiten sind gleih. d) Ds Verhältniss zweier entsprehender Seiten und die der jeweiligen größeren Seite gegenüerliegenden Winkel sind gleih. e) Zwei Pre entsprehender Winkel sind gleih. Beweis: ) e). Klr d die Winkelsumme im Dreiek immer 180 ist. )= ). Nh dem Sinusstz Stz 8 gilt = sin sin β sin = = sin β und die Gleihheit der nderen Verhältnisse ergit sih nlog. )= ). Nh Stz 5 gilt ) = ros = ros )) )) 1 = ros =,

8 Mthemtishe Proleme, SS 2015 Montg 20.4 und nlog ergeen sih uh β = β und γ = γ. )= ). Klr d die Impliktion von ) nh ) ereits gezeigt ist. )= ). Sei etw / = / und =, die nderen eiden Fälle ergeen sih dnn durh Umezeihnungen. Nh Stz 7 gilt = 1 + ) 2 2 os = 1 + ) 2 2 os =, und nlog folgt uh / = /. )= d). Klr d die Impliktion von ) nh ) ereits gezeigt ist. d)= ). Behte ds durh ds Verhältnis zweier Seiten festgelegt ist welhes die größere der eiden ist, dher entsprehen sih uh die der größeren Seite gegenüerliegenden Winkel in eiden Dreieken. Bis uf Umezeihnungen können wir / = / und β = β nnehmen. Mit Stz 6 folgt = os β + ) 2 sin 2 β = os β + und wir hen die Sitution von ) hergestellt. ) 2 sin 2 β =, Der een ewiesene Ähnlihkeitsstz hängt eng mit den Strhlensätzen zusmmen, und um dies zu illustrieren wollen wir einml den Strhlenstz us dem Ähnlihkeitsstz herleiten. Diesml shuen wir uns eine Version des Strhlenstzes üer Kreuz n, ei dem lso der Shnittpunkt des einen Gerdenprs zwishen den eiden prllelen Gerden liegt. A β B β γ C γ A B Gegeen seien lso zwei kollinere Tripel ACA und BCB ei dem die Gerden AB und A B prllel sind. Nh dem Stufenwinkelstz hen die eiden Dreieke ABC und A B C dnn gleihe Winkel, sind lso ähnlih. Mit dem Ähnlihkeitsstz folgt ds uh entsprehende Seitenverhältnisse in den eiden Dreieken gleih sind, dss lso AC BC = A C B C, AC AB = A C A B 3-8 AB und BC = A B B C

9 Mthemtishe Proleme, SS 2015 Montg 20.4 gelten, und diese Aussgen sind der Strhlenstz. Als zweites Hilfsmittel führen wir ds sogennnte Mittendreiek ein. C B S m A A C B Gegeen sei ein Dreik = ABC mit Seiten,, und Winkeln, β, γ. Dnn ilden wir den Mittelpunkt A der Streke BC, den Mittelpunkt B der Streke AC und shließlih den Mittelpunkt C der Streke AB, es gelten lso A B = A C = 2, B A = B C = 2 und C A = C B = 2. Mit diesen drei Mittelpunkten ilden wir dnn ds sogennnte Mittendreiek A B C und wir wollen einsehen ds dieses zu ähnlih ist und hl so große Seitenlängen ht. Lemm 1.11 Lemm üer ds Mittendreiek) Sei = ABC ein Dreiek mit Mittendreiek = A B C. Dnn sind die vier Dreieke, C BA, B A C und AC B lle zueinnder kongruent und lle ähnlih zu mit hl so großen Seitenlängen. Weiter sind A B prllel zu AB, A C prllel zu AC und B C prllel zu BC. Beweis: Bezeihne die Seiten und Winkel in gemäß der Stndrdezeihnungen. Im Dreiek C BA ist der Winkel ei B gleih β und ds Verhältniss der eiden nliegenden Seiten ist A 1 B C B = 2 1 =, 2 lso sind und C BA nh Stz 10 ähnlih. Wieder nh Stz 10 ist dmit uh A C 1 2 = A C BC =, lso A C = 1 2, 3-9

10 Mthemtishe Proleme, SS 2015 Montg 20.4 ds Dreiek C BA ht lso hl so große Seitenlängen wie. Anlog shließen wir für B A C und AC B, und insesondere sind diese drei Dreieke zueinnder kongruent. Dmit ht ds Mittendreiek = A B C die Seitenlängen = B C = 1 2, = A C = 1 2 und = A B = 1 2, ist lso eenflls zu ähnlih mit hlierten Seitenlängen und zu den nderen drei Dreieken kongruent. Die Aussgen üer die Prllelität sind eine unmittelre Folgerung, d B A C ähnlih zu ABC ist stimmen die Winkel dieser Dreieke ei A eziehungsweise B üerein, die Gerde BC sheidet A B und AB lso im selen Winkel und somit sind A B und AB prllel. Die eiden nderen Prllelitätsussgen ergeen sih nlog. Mit diesem Lemm ist es nun leiht zu sehen, dss die drei Seitenhlierenden eines Dreieks sih in einem Punkt S m shneiden und dss dieser Punkt weiter die Streken AA, BB und CC jeweils im Verhältnis 2 : 1 teilt. Ttsählih ist die letztere Aussge der wesentlihe Teil des folgenden Stzes, dss die drei Seitenhlierenden sih shneiden folgt us der Kenntnis dieses Teilungsverhältnisses. Stz 1.12 Der Shnittpunkt der Seitenhlierenden) Sei ABC ein Dreiek mit Mittendreiek A B C. Dnn shneiden die drei Seitenhlierenden AA, BB und CC sih in einem Punkt S m und dieser zerlegt diese Streken jeweils im Verhältnis 2 : 1, d.h. es gelten 2 S m A = AS m, 2 S m B = BS m und 2 S m C = CS m. Beweis: Wir zeigen zunähst ds der Shnittpunkt je zweier der Streken AA, BB, CC diese eiden im Verhältniss 2 : 1 teilt. Es reiht dies für die eiden Streken AA und BB zu tun, die nderen eiden Fälle sind dnn nlog. Sei lso S der Shnittpunkt von AA und BB. Nh Lemm 11 sind die eiden Gerden B A und AB prllel. Dmit können wir den Strhlenstz uf diese prllelen Gerden und ds sih in S shneidende Gerdenpr AA, BB nwenden und erhlten mit Lemm 11 SA = SA 1 2, lso AS = 2 SA. D dnn weiter uh der Shnittpunkt von AA und CC die Streke AA im Verhältnis 2 : 1 teilt ist dieser mit S identish, lle drei Seitenhlierenden gehen lso durh einen Punkt. 3-10