2. Runde Aufgaben und Lösungen. Bundeswettbewerb Mathematik

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1 Bundeswettewer Mthemtik Wissenshftszentrum, Postfh , 5344 Bonn Fon: Fx: e-mil: info@undeswettewer-mthemtikde wwwundeswettewer-mthemtikde Korrekturkommission Krl Fegert Aufgen und Lösungen 2 Runde 2002 Stnd: Oktoer 2002

2 Lösungseispiele Aufge : Ein Krtenstpel, dessen Krten von is n durhnummeriert sind, wird gemisht Nun wird wiederholt die folgende Opertion durhgeführt: Wenn n der oersten Stelle die Krte mit der Nummer k liegt, dnn wird innerhl der oersten k Krten die Reihenfolge umgekehrt Mn eweise, dss nh endlih vielen solher Opertionen die Krte mit der Nummer oen liegt Gemeinsme Bezeihnungsweisen: Mit "i" ezeihnen wir die Krte mit der Nummer i (i =,2,,n) Beweis (durh Widerspruh): Zunähst stellen wir unhängig von der Behuptung fest: Wenn die Krte "i" oen liegt, werden ei der folgenden Opertion nur die i oersten Krten im Stpel ewegt; lle Krten, die tiefer liegen, leien n ihrer Stelle Der Krtenstpel ht n vershiedene Krten, es git lso während der Durhführung der Opertionen mximl n! vershiedene Anordnungen dieser Krten Nh Shufhprinzip kommt spätestens nh n! Opertionen eine estimmte Anordnung zum zweiten Ml vor D die Anordnung der Krten im Krtenstpel nh einer Opertion eindeutig durh Anordnung der Krten unmittelr vor dieser Opertion estimmt ist, ist die durh die Opertionen edingte Afolge der Anordnungen im Krtenstpel dem ersten Vorkommen dieser später wiederholten Anordnung, lso spätestens der n!- ten Opertion periodish (Evtl leit die Anordnung der Krten gleih, dh die Periode ht die Länge ; dies ist genu dnn der Fll, wenn die "" irgendwnn oen liegt) Die größte Nummer, die während einer Periode nh oen kommt, nennen wir Mx; diese Zhl ist ls Mximum einer endlihen Menge von ntürlihen Zhlen wohldefiniert Zum eigentlihen Beweis nehmen wir n, dss die "" nie nh oen kommt, dh, dss Mx > und führen diese Annhme zum Widerspruh: Wir etrhten die erste innerhl der Periode vorkommende Anordnung in dem Krtenstpel, ei der "Mx" oen liegt Nh dem Durhführen der nähsten Opertion liegt "Mx" im Stpel n Mx-ter Stelle von oen Nh Annhme ist 2 Mx, die Krte "Mx" leit lso ei dieser Opertion niht n oerster Stelle D sie spätestens nh einer weiteren Periode wieder nh oen kommt, muss sie irgendwnn wieder ewegt werden D sie n Mx-ter Stelle liegt, wird sie er nur ewegt, wenn irgendwnn eine Krte "Moritz" mit Moritz Mx oen liegt D lle Krten vershieden nummeriert sind und die Krte "Mx" niht oen liegt, ist Moritz Mx, lso shärfer Moritz > Mx im Widerspruh zur Definition von Mx Bemerkung: Dmit ist gezeigt, dss spätestens nh n! Opertionen die "" oen liegt 2 Beweis (mit Hilfe einer Bewertungsfunktion): Die Lge der Krte "i" vor der m-ten Opertion (m =, 2, 3,) im Krtenstpel eshreien wir durh die Chrkteristik flls vor dem m-ten Zug die Krte "" i n i -ter Position von oen liegt, mi (, ) : = 0 sonst Mit Hilfe dieser Chrkteristik definieren wir eine Bewertung der Anordnung der Krten im Krtenstpel vor der m-ten Opertion: n i Bm ( ): = mi (, ) 2 (m =,2,3,) B(m) ht offensihtlih folgende Eigenshften: (A) B(m) ist ls Summe niht negtiver gnzer Zhlen wieder eine niht negtive gnze Zhl (B) Die Folge der B(m) ist nh oen eshränkt durh B(m) n i 2 = 2 n Zudem ist leiht zu eweisen: (C) Liegt vor dem m ten Zug die Krte "" niht oen, so ist B(m) < B(m+) 2

3 Lösungseispiele Beweis: Liegt vor der m ten Opertion die Krte "k" (2 k n) oen, lso n Position von oen, dnn ist (m,k) = 0 und es werden in der m ten Opertion im Krtenstpel nur die Krten uf den Positionen,2,, k ewegt; für lle i>k ist dmit zusätzlih (m,i) = (m+,i) D nh der m-ten Opertion die Krte "k" uf der k ten Position von oen liegt, k k i i ist (m+,k) = D stets (m+,i), ist uh mi (, ) 2 2 = 2 k < 2 k (die hier vorkommenden Summen sind wegen 2 k < n wohldefiniert) und wir können n i dmit shätzen (im Fll k = n lässt mn die leere Summe mi (, ) 2 weg): n k+ i i k i B(m) = mi (, ) 2 = mi (, ) mi (, ) 2 k n k+ n k k i i < 2 + mi (, ) 2 m ( +, i) k i + m ( +, i) 2 n k+ i = m ( +, i) 2 = B(m+) Käme nun die "" nie nh oen, wäre die Folge (B(m)) nh (A), und (C) eine Folge streng monoton whsender gnzer Zhlen, die dmit im Widerspruh zu (B) uneshränkt wäre Bemerkung: B(m) knn nur gnzzhlige Werte us [0;2 n ] nnehmen und solnge die "" niht oen liegt sogr nur gerde Werte Auh ist stets B(m) 2 n 2, d dies einer Anordnung im Krtenstpel entspriht, ei der sih die "" ls einzige Krte niht n dem ihrer Nummer entsprehenden Pltz efindet Dmit ist sogr 2 n eine oere Shrnke Eine einfhe Formel für die Mximlzhl der Opertionen ei gegeenem n ist uneknnt 3 Beweis (vollständige Induktion): Induktionsnfng: Die Behuptung ist offensihtlih erfüllt für einen Krtenstpel mit n = Krten Induktionsnnhme: Für ein estimmtes n kommt in einem Krtenstpel mit n Krten, dessen Krten mit,2,,n durhnummeriert sind, die "" irgendwnn nh oen Induktionsshluss: Dnn kommt uh in einem Krtenstpel mit n+ Krten, dessen Krten mit,2,, n, n+ durhnummeriert sind, die "" irgendwnn nh oen: Beweis: Wir etrhten einen Krtenstpel mit n+ Krten Fll : Die Krte "n+" liegt gnz unten: Dnn esteht der Teilstpel der oersten n Krten us den Krten mit den Nummern, 2,, n Dmit wirken sih lle Opertionen nur uf diesen Teilstpel us; d dieser Teilstpel zusätzlih die Bedingungen der Induktionsnnhme erfüllt, kommt die "" irgendwnn nh oen Fll 2: Die Krte "n+" liegt niht gnz unten: Fll 2: Die mit n+ nummerierte Krte kommt eim Durhführen der Opertionen irgendwnn nh oen oder liegt ereits m Anfng oen: Nh der nun folgenden Opertion kommt die "n+" gnz nh unten, wir erhlten so eine Sitution wie in Fll und nh Induktionsnnhme kommt die "" irgendwnn nh oen Fll 22: Die mit n+ nummerierte Krte kommt eim Durhführen der Opertionen nie nh oen: Die Beshriftung einer Krte ht erst dnn einen Einfluss uf die Reihenfolge der Krten im Stpel, wenn sie nh oen kommt D die Krte "n+" nie nh oen kommt, knn sie mit einer elieigen Nummer versehen werden, ohne dss im Zuge der Opertionen jemls eine ndere Reihenfolge der Krten vorkommt Wir versehen die Krte "n+" deswegen mit der Nummer der zuunterst liegenden Krte, dmit esteht der Teilstpel der oersten n Krten us den Krten mit den Nummern,2,,n Wie in Fll können wir dnn shließen, dss die "" irgendwnn nh oen kommt Bemerkung: Flls zu Beginn die Krte "" gnz unten liegt, muss der Fll 2 eintreten: Andernflls würde die "n+" mit der Nummer üershrieen und käme so nh Induktionsnnhme irgendwnn nh oen! n k+ 3

4 Lösungseispiele Aufge 2: Gesuht werden streng monoton whsende Folgen ( 0,, 2, ) niht-negtiver gnzer Zhlen mit der Eigenshft, dss jede niht-negtive gnze Zhl eindeutig in der Form i + 2 j + 4 k geshrieen werden knn; dei sind i, j und k niht notwendigerweise vershieden Mn eweise, dss es genu eine solhe Folge git und estimme 2002 Die Aufge wird in folgenden Teilshritten ereitet: Nhweis der Eindeutigkeit einer solhen Folge 2 Nhweis der Existenz der Folge durh Konstruktion mit Nhweis der Eigenshften 3 Berehnung von 2002 zu : Es git höhstens eine solhe Folge: Wir nehmen n, es gee zwei vershiedene Folgen ( n ) und ( n ) (n = 0,, 2, ) mit der verlngten Eigenshft Dnn etrhten wir den kleinsten Index r mit r r, obda sei r < r (ndernflls vertushen wir die Bezeihnungen und ) D sih die niht-negtive gnze Zhl 0 ls Summe von niht-negtiven Gliedern der streng monotonen Folgen drstellen lässt, ist 0 = 0 = 0, lso r r = r ist lso eine Drstellung der niht-negtiven gnzen Zhl r durh die Glieder von ( n ); dneen existiert eine Drstellung r = i + 2 j + 4 k durh Glieder von ( n ), woei wegen r < r und der strengen Monotonie der Folge die Indies i,j und k lle kleiner ls r sind Nh Definition von r ist dnn i = i, j = j, k = k, wir hen lso mit r = i + 2 j + 4 k eine weitere Drstellung von r durh die Glieder von ( n ) gefunden; diese ist wegen i,j,k < r siher vershieden von der ersten im Widerspruh zur vorusgesetzten Eindeutigkeit der Drstellung zu 2 Beshreiung der Folge: Vrinte: Die Glieder der Folge ( n ) können wie folgt definiert werden: Es ist n := 0 z 8 i i, woei die z i definiert sind durh die eknntlih existierende und eindeutige Drstellung von n im Zweiersystem n = z 2 i i (z i {0,}, n = 0,, 2, ) 0 Dmit ist die Menge der Glieder der Folge ( n ) identish mit der Menge ller niht-negtiven gnzen Zhlen, deren Drstellung im Ahter-System nur die Ziffern 0 oder verwendet Zum Beweis genügt es zu zeigen: (A): Die Folge ( n ) ist wohldefiniert, (B): Die Folge ( n ) ist streng monoton whsend, (C): Jede niht-negtive gnze Zhl z esitzt eine Drstellung der geforderten Art, (D): Es git nur eine solhe Drstellung Teileweis (A): Die Folge ( n ) ist wohldefiniert: Mit [z i (n)] ezeihnen wir die Ziffernfolge der Drstellung von n im Zweiersystem Durhläuft n die Menge ller niht-negtiven gnzen Zhlen, so durhlufen die [z i (n)] die Menge ller Ziffernfolgen us {0,}, die ihrerseits im Ahtersystem lle niht-negtiven gnzen Zhlen erzeugen, deren Drstellung nur die Ziffern 0 oder verwendet Teileweis (B): Die Folge ( n ) ist streng monoton whsend: Sowohl im Zweier- wie im Ahtersystem gilt, dss von zwei Zhlen diejenige die größere ist, welhe in ihrer Ziffernfolge von links her ls erste eine größere Ziffer wie die ndere ht D n im Zweiersystem die gleihe Ziffernfolge wie n im Ahtersystem ht, üerträgt sih die Ordnung von den n uf die n Teileweis (C): Jede niht-negtive gnze Zhl z esitzt eine Drstellung der geforderten Art: Wir formen die eknntlih existierende und eindeutige Drstellung von z im Dulsystem um (z i {0,} für lle 0,,2,): 4

5 Lösungseispiele z = z 2 i i = 0 z 2 + z 2 + z 2 i i i i i i i 0mod 3 i mod 3 i 2mod 3 = z z z 2 zw nh geeigneter Indexvershieung i i i 2 i i i i 0mod 3 i mod 3 i 2mod 3 i i i z = z z z 22 i i+ i+ i 0mod3 i 0mod3 i 0mod3 Shließlih verwenden wir 2 3 = 8 und setzen r i := z 3i, s i := z 3i+, t i = z 3i+2 und erhlten so z = i i i ri8 + 2 si8 + 4 ti8 0 i 0 i 0 (*) Mit llen z i sind uh lle r i, s i und t i us {0,}; dmit eshreit wie verlngt jede der drei Summen eine Zhl us der Folge ( n ) Teileweis (D): Es git nur eine solhe Drstellung: Die Zuordnung der z j zu den (r i,s i,t i ) ist offensihtlih umkehrr eindeutig, dh zu vershiedenen Drstellungen nh (*), lso zu vershiedenen Tripeln von Ziffernfolgen ([r i ], [s i ], [t i ]) gehören uh vershiedene Ziffernfolgen [z j ] und dmit wegen der Eindeutigkeit der Binärdrstellung einer Zhl uh vershiedene Zhlen z 2 Vrinte: Die Folge ( n ) wird rekursiv definiert durh: 0 flls n = 0 n = m m m 8 + k flls n = 2 + k ( m 0, 0 k 2 ) Zum Beweis genügt es zu zeigen: (A): Die Folge ( n ) ist wohldefiniert, (B): Die Folge ( n ) ist streng monoton whsend, (C): Jede Drstellung einer niht-negtiven gnzen Zhl in der geforderten Art ist eindeutig, (D): Jede niht-negtive gnze Zhl esitzt eine solhe Drstellung Teileweis (A): Die Folge ( n ) ist wohldefiniert: In der Gleihung n = 2 m + k mit m 0, 0 k 2 m sind nh Vorge von n die Werte m und k eindeutig festgelegt (m:=[log 2 (n)]; k:=n 2 m ) Durh rekursive Anwendung dieser Definition erehnet sih jedes n dmit ls Summe von Potenzen von 8 und dem Wert 0 und dmit ls niht-negtive gnze Zhl Um die verlngten Eigenshften der so definierten Folge nhzuweisen, enötigen wir zwei Hilfssätze: HS(): Es ist (2 m ) = 7 (8m ) für lle m: Beweis (vollst Induktion): Die Aussge ist wegen (2 0 ) = 0 = 0 = 7 (80 ) rihtig für m = 0; und us der Rihtigkeit für ein estimmtes m folgt mit (2 m+ ) = (2 m+2 m ) = 8 m + (2 m ) = 8 m + 7 (8m ) = 8 m (+ ) = (8m+ ) die Rihtigkeit für m+ 0 flls n = 0 HS(2): Es ist n = n + flls n ungerde 8 n flls n> 0 gerde 2 Insesondere ist n (mod 8) n ungerde und n 0 (mod 8) n gerde, sowie n m 0 (mod 8) n m (mod 2) und n m ± (mod 8) n / m (mod 2) Bemerkung: Diese Formel knn eenso ls Definition der Folge ( n ) verwendet werden Beweis: Wir eweisen diese Aussge für n = 0 und lokweise für lle n [2 m, 2 m+ ] (m = 0,,2,) durh vollständige Induktion nh m: Die Aussge ist offensihtlih rihtig für n = 0, n = und n = 2 (lso den jeweils kleinsten Wert in jeder Zeile der Definition) und somit rihtig für lle n [2 m, 2 m+ ] mit m = 0 Nun nehmen wir n, dss für lle r =,2,, m die Aussge für lle n [2 r, 2 r+ ] rihtig ist Für n [2 m+, 2 m+2 ] gilt dnn: Es ist n = 2 m + k 5

6 Lösungseispiele genu dnn gerde, wenn k gerde, lso ist flls k gerde: n = (2 m) + k = 8 (2 m ) + 8 (k/2 ) = 8 (2 m +k/2 ) = 8 ((2 m+k)/2) = 8 (n/2) ; flls k ungerde: n = (2 m) + k = 8 (2 m ) + (k ) + = 8 (2 m ) + 8 (k )/2 + = 8 ( (2 m ) + (k )/2 )+ = 8 (2 m +(k )/2 ) + = (2 m+(k ) ) + = n + Teileweis (B): Die Folge ist streng monoton whsend: Zunähst ist 0 = 0 < = = ; mit vollständiger Induktion zeigen wir lokweise, dss (2 m) < (2 m+) < < (2 m+2 m ) < 8 m+ = (2 m+) für lle m: Wegen = < = 2 ist die Aussge rihtig für m = 0, und wenn sie für 0,, 2,, m rihtig ist, lso wenn 0 < < < (2 m+ ) < 8 m+ < (2 m+), folgt mit (2 m+)+ 0 < (2 m+)+ < < (2 m+)+ (2 m+ ) < (2 m+)+ 8 m+ < 2 8 m+ < 8 m+2 = (2 m+2) die Rihtigkeit für m+ Bemerkung: (2 m ) < (2 m) folgt uh us Hilfsstz () Teileweis (C): Wenn eine niht-negtive gnze Zhl z eine Drstellung der Form z = i + 2 j + 4 k esitzt, dnn ist diese eindeutig (Widerspruhseweis mit endlihem Astieg): Wäre ds niht so, dnn gäe es eine kleinste niht-negtive gnze Zhl z, die zwei vershiedene Drstellungen z = i + 2 j + 4 k = r + 2 s + 4 t esitzt Dei ist z > 0, d 0 = offensihtlih die einzige Drstellung der geforderten Art der Zhl 0 ist Es folgt ( i r )+ 2( j s )+ 4( k t ) = 0 Die rehte Seite dieser Gleihung ist gerde, lso muss d links der zweite und dritte Summnd siher gerde ist uh ( i r ) gerde sein, nh Hilfsstz (2) lso i r (mod 2) Dnn ist er eenso nh Hilfsstz (2) sogr ( i r ) 0 (mod 8) Anlog können wir nun j s (mod 2) shließen: Mit ( j s ) ± (mod 8) ließe die linke Seite ei Division durh 4 den Rest 2, die rehte Seite er 0 Shließlih folgt hierus k t (mod 2): Mit ( k t ) ± (mod 8) ließe die linke Seite ei Division durh 8 den Rest 4, die rehte er 0 (Vrinte: Jede der Differenzen uf der linken Seite lässt ei Division durh 8 einen der Reste, 0, oder Durh einfhes Nhrehnen (im Kopf ohne Hilfsmittel möglih) erkennt mn, dss die Gleihung A+2B+4C 0 (mod 8) mit A,B,C {,0,} nur die Lösung (A,B,C)=(0,0,0) ht) Flls in llen Pren (i,r), (j,s), (k,t) eide Zhlen gerde sind, führt Hilfsstz (2) zu z = i j 2 4 k z + + = i + 2 j + 4k und = t 2 s 4 t + + = r + 2s + 4t (d i,,j,s,k,t lle gerde sind, nehmen lle Indies zulässige Werte n!) und dmit zu der niht-negtiven gnzen z Zhl, die wegen z>0 eht kleiner ls z ist und die zwei offensihtlih vershieden 8 Drstellungen esitzt; dies steht im Widerspruh zur Minimlität von z Flls in wenigstens einem Pr (i,r), (j,s), (k,t) eide Zhlen ungerde sind, so erhlten wir einen ähnlihen Widerspruh: ZB seien j und s eide ungerde, so führt Hilfsstz (2) mit z 2 = ( i + 2 j + 4 k ) 2 = ( i + 2( j +)+ 4 k ) 2 = i + 2 j + 4 k und uh z 2 = r + 2 s + 4 t wieder zu einer Zhl, die kleiner ls z ist, er im Widerspruh hierzu zwei offensihtlih vershiedene Drstellungen esitzt Anloge Üerlegungen führen, flls i und r gleihe Prität esitzen, üer die Zhl z < z zum Ziel, flls k und t gleihe Prität esitzen, üer die Zhl z 4 < z Teileweis (D): Jede niht negtive gnze Zhl z esitzt eine Drstellung der Form z = i + 2 j + 4 k : Sei z eine niht negtive gnze Zhl Wir wählen irgend ein m so, dss 8 m > z Nun etrhten wir lle Zhlen der Form z* = i + 2 j + 4 k mit i,j,k < 2 m D die Folge ( n ) streng monoton wähst, ist mit Hilfsstz (2) 0 = z* (2 m ) + 2 (2 m ) + 4 (2 m ) = 7 m = 7 7 (8m ) = 8 m Jedes z* nimmt lso einen der 8 m Werte us dem Intervll [0;8 m ] n; d es (2 m ) 3 = 8 m vershiedene Tripel ( i, j, k ) git und nh Teileweis 3 zu vershiedenen Tripeln vershiedene Zhlen z* gehören, nimmt z* sogr jeden gnzzhligen Wert us [0;8 m ] genu einml n, lso uh z Dmit hen wir die Existenz einer solhen Drstellung für ds gewählte z gezeigt 6

7 Lösungseispiele zu 3: Es ist nh Vrinte : 2002 = , dmit ist 2002 = und 2002 = = = nh Vrinte 2: 2002 = = = = = = = nh Hilfsstz (2): rekursives Anwenden der Formel ergit: 2002 = 8 00 = 8 ( ) = = 8 (8 3 ( 25 +)) = 8 (8 3 ( 24 + ) + ) = 8 (8 3 ( )+) = = 8 (8 3 (8 2 (8( 4 + ) + ) + ) + ) = 8 (8 3 (8 2 (8 (8 ( 6 + )+ ) + ) + ) + ) = 8 (8 3 (8 2 (8 (8 (8 ( 2 + ) + )+ ) + ) + ) + ) = 8 (8 3 (8 2 (8 (8 (8 (8 ( 0 + ) + ) + )+ ) + ) + ) + ) Ausrehnen von Innen ergit der Reihe nh die Werte 0+=; 8+=9; 9 8+ = 73; = 585; = 4 68; = ; = ; = = 2002 Aufge 3: Gegeen ist ein konvexes Polyeder mit einer gerden Anzhl von Knten Mn eweise, dss jede Knte so mit einem Pfeil versehen werden knn, dss für jede Eke die Anzhl der in ihr mündenden Pfeile gerde ist Gemeinsme Bezeihnungsweisen: Eken, in die eine gerde zw ungerde Anzhl von Pfeilen münden, nennen wir gerde zw ungerde Eken Beweis (durh Konstruktion einer zulässigen Pfeilelegung): Wir versehen zunähst die Knten des Polyeders irgendwie mit Pfeilen und zählen in jeder Eke die in dieser Eke mündende Pfeile D jede Knte mit genu einem Pfeil versehen wurde, der in genu einer Eke mündet, ist die Gesmtsumme dieser Ekensummen identish mit der Gesmtzhl der Knten, nh Vorussetzung lso gerde Die Ekensummen in den gerden Eken sind nh Definition gerde, in den ungerden Eken ungerde Beknntlih ist die Anzhl der ungerden Summnden in einer gerden Summe gerde; dmit ist die Anzhl der ungerden Eken gerde Wenn es keine ungerden Eken git, sind wir fertig Wenn es noh ungerde Eken git, können wir deren Gesmtzhl durh folgende Opertion um zwei reduzieren: D die Gesmtzhl der ungerden Eke gerde ist, git es mindestens zwei dvon, wir können lso zwei vershiedene dvon uswählen Es git siher einen Weg von Knten, üer den diese Eken miteinnder verunden sind Wir shreiten diesen Weg und drehen uf jeder Knte, die wir entlng dieses Weges egehen, den Pfeil um Beim Üershreiten einer Eke uf diesem Weg wird so die Anzhl der in sie mündenden Pfeile um 2 größer, 2 kleiner oder sie leit gleih, dmit leien gerde Eken gerde und ungerde Eken leien ungerde Bei der Strteke und ei der (von ihr vershiedenen!) Endeke verringert oder vergrößert sih die Anzhl der mündenden Pfeile um genu, us diesen ungerden Eken werden lso gerde Eken Insgesmt ht sih die Anzhl der ungerden Eken um 2 verringert Nh endlih vielen solhen Reduktionen git es keine ungerden Eken mehr Bemerkung: Die Argumenttion ist uh dnn gültig, wenn Eken und/oder Knten mehrfh durhlufen werden 7

8 Lösungseispiele 2 Beweis (durh vollständige Induktion nh Anzhl der Eken): Üer die Aufgenstellung hinus wird ewiesen: In jedem zusmmenhängenden Grph mit einer gerden Anzhl von Knten können diese so mit Pfeilen versehen werden, dss für jede Eke die Anzhl der in ihr mündenden Pfeile gerde ist D die Eken- und Kntenkonfigurtion jedes konvexen Polyeders ls zusmmenhängender Grph interpretiert werden knn (einige weitere notwendige Eigenshften sind hier unerhelih), ist dmit die Aussge ewiesen Induktionsnfng: Besitzt der Grph genu eine Eke, so ist jede Knte dieses Grphen eine Shlinge, die in dieser Eke eginnt und endet Versieht mn sie elieig mit einem Pfeil, so münden in dieser Eke eenso viele Pfeile wie es Knten git; nh Vorussetzung eine gerde Anzhl Induktionsvorussetzung: Ein zusmmenhängender Grphen G mit e Eken (e ) und einer gerden Anzhl von Knten erfüllt die Bedingungen der Aufge Induktionsshluss: Dnn erfüllt uh ein Grph G mit (e+) Eken die Bedingungen der Aufge Beweis: D e+ 2 und der Grph zusmmenhängend ist, esitzt er mindestens zwei durh mindestens eine Knte verundene Eken, diese nennen wir E und E 2, eine der sie verindenden Knten nennen wir k Wir vereinen diese eiden Eken zu einer neuen Eke E Alle Knten, die E mit E 2 verinden, werden nun zu Shlingen, die in E eginnen und enden, lle nderen Knten, die in/von E oder in E 2 enden/usgehen, werden zu Knten, die in/von E enden/usgehen Der hierus entstehende Grph G' ht dmit e Eken, ist eenflls zusmmenhängend und erfüllt somit die Induktionsvorussetzung Wir können lso seine Knten so mit Pfeilen versehen, dss er nur gerde Eken ht; insesondere mündet in E eine gerde Anzhl von Pfeilen Nun ziehen wir die Eken E und E 2 wieder useinnder und elssen zunähst die Pfeile uf den Knten Die Zhl der in E mündenden Pfeile ist gerde und identish mit der Summe der Anzhl Pfeile, die in E und E 2 münden Beknntlih knn eine gerde Zhl nur in zwei gerde Summnden oder in zwei ungerde Summnden ufgeteilt werden, dmit sind entweder eide Eken E und E 2 gerde (dnn sind wir fertig) oder eide ungerde; dnn drehen wir den Pfeil uf Knte k um Diese verindet j die Eken E und E 2, durh dieses Umdrehen verringert sih in einer der Eken E und E 2 die Zhl der mündenden Pfeile um genu, in der nderen erhöht sie sih um genu, eide Eken werden lso gerde Aufge 4: In einem spitzwinkligen Dreiek ABC seien H und H die Fußpunkte der von A zw B usgehenden Höhen; W und W seien die Shnittpunkte der Winkelhlierenden durh A zw durh B mit den gegenüerliegenden Seiten Mn eweise: Im Dreiek ABC liegt der Inkreismittelpunkt I genu dnn uf der Streke H H, wenn der Umkreismittelpunkt U uf der Streke W W liegt Gemeinsme Bezeihnungsweisen: Neen den ülihen Bezeihnungsweisen seien die Mittelpunkte der Seiten BC, CA und AB mit M, M zw M ezeihnet, der Inkreisrdius mit r, der Umkreisrdius mit R, der Shnittpunkt der Winkelhlierenden und Höhe durh C mit der gegenüerliegenden Seite nlog der nderen Bezeihnungsweisen mit W zw H Vor dem eigentlihen Beweis werden einige Hilfssätze ereitgestellt: HS : In jedem Dreiek teilt jede Winkelhlierende die Gegenseite im Verhältnis der nliegenden CW Seiten Es ist lso zb = WB Unmittelre Folgerung: CW = + und nlog CW = + Ferner ist W CW = CW 2 CW sin(γ) = sin(γ) = ABC ( + ) ( + ) 8

9 Lösungseispiele Beweis ( Figur im Beweis, ist wohl uh ls eknnt us der Shule voruszusetzen): w α teilt ds Dreiek ABC in zwei Teildreieke uf Als deren Grundseiten knn mn einerseits CW zw W B ei gleiher Höhe von A, ndererseits uh AB zw AC ei gleiher Höhe von W interpretieren Dividiert mn die hierus erehneten Fläheninhlte, erhält mn sofort die Behuptung HS 2: In jedem spitzwinkligen Dreiek shließen die Seiten des Höhenfußpunktdreieks mit den Seiten des Dreieks Winkel ein, die genu so groß wie die gegenüerliegenden Winkel des Ausgngsdreieks sind Es ist lso zb H H C = β Beweis: ( Figur im 2 Beweis): Der Thleskreis zb üer der Seite AB geht uh durh die Höhenfußpunkte der Höhen von A und B Ds Vierek AH H B ist lso Sehnenvierek, dessen Außenwinkel H H C ist genu so groß wie der gegenüerliegende Innenwinkel H BA = β HS 3: In jedem spitzwinkligen Dreiek shließen eine Mittelsenkrehte und die Verindungsgerde von Umkreismittelpunkt zu einem Endpunkt der zugehörigen Seite einen Winkel ein, der so groß ist wie der gegenüerliegende Winkel Es ist lso zb CUM = β Beweis (2 Figur im Beweis): U ist der Mittelpunkt des Umkreises ABC, CUM ist der hle Mittelpunktswinkel zum Umfngswinkel β Beweis (üer Flähenetrhtungen): Es genügt, folgende Äquivlenzen nhzuweisen: I H H ) os(γ) = ) os(γ) = os(α) + os(β) 3) U W W zu ): Aus dem ei H rehtwinkligen Dreiek BH C leitet mn sofort CH = os(γ) ; nlog ist CH = os(γ) Nh Hilfsstz 2 hen die Dreieke H H C und ABC die gleihen Innenwinkel, sind C lso ähnlih; dei verhlten sih entsprehende Seiten CH dieser Dreieke wie CB = os( γ ) = os(γ), für ihre Fläheninhlte gilt lso H H C = ABC os 2 (γ) Üer eknnte Fläheninhltsformeln erhält mn (die erste Äquivlenz gilt, weil I siher im Innern des Dreieks ABC liegt und dmit im Innern des Winkelfeldes von ACB): A os(α) H os(γ) W β r I r α W os(γ) H os(β) B I H H CH H = CH I + CIH ABC os 2 (γ) = 2 r os(γ)+ 2 r os(γ) 2 r (++) os2 (γ) = 2 r (+) os(γ) (++) os(γ) = (+) (die Division durh os(γ) ist Äquivlenzumformung, d ds Dreiek ABC spitzwinklig ist und dmit os(γ) 0) + os(γ) = + + zu 2): Mit = os(γ)+ os(β) und = os(γ)+ os(α) erhält mn os(γ) = (++) os(γ) = os(γ)+ os(β) + os(γ)+ os(α) os(γ) = os(α) + os(β) 9

10 Lösungseispiele zu 3): Aus dem ei M rehtwinkligen Dreieke UM C leitet mn sofort M U = R osβ ; nlog M U = R osα und M U = R osγ Dmit gilt mit ähnlihen Üerlegungen wie oen (d ds Dreiek spitzwinklig ist, liegt U im Innern des Dreieks ABC und dmit im Innern des Winkelfeldes von ACB): A W M + R os(β) β U M α I R os(γ) C R os(α) + M W B U W W CW W = CW U + CUW ABC + + = 2 + R os(β)+ 2 + R os(α) [ 2 R os(α) + 2 R os(β) + = 2 + R os(γ)] os( β) os( α) R os(α) + os(β) + os(γ) = (+) os(β) + (+) os(α) os(γ) = os(α) + os(β) 2 Beweis (elementr): Es genügt, folgende Äquivlenzen nhzuweisen: I H H 4) BH = HH 5) MU + MU = MU 6) U W W zu 4) (vgl uh Vrinte unten): Nhweis von " ": H W β I = I*? Sei I H H Der Umkreis von Dreiek AIB shneidet die Gerde (H H ) in einem zweiten (evtl mit I zusmmenfllenden) Punkt, den wir J nennen Nh Umfngswinkelstz ersheint AB von J unter dem gleihen Winkel wie von I; d H H Sehne im Thleskreis üer AB und dmit die Menge der Punkte uf der Gerden (H H ) ist, unter denen AB unter einem stumpfen Winkel ersheint, ist J eenso wie I innerer Punkt von H H OBd A liege J uf der Streke IH (ndernflls vertushen wir die Bezeihnungen von A und B) A B Flls I J, ist ds Vierek AIJB ein Sehnenvierek, dmit ergänzt sih IJB mit dem gegenüerliegenden BAI eenso zu 80 wie mit dem Neenwinkel BJH Diese eiden sind lso gleih, es ist dmit BJH = 2α D CH H = α, ist nh Außenwinkelstz im Dreiek BJH dnn uh H BJ = CH H BJH = α 2 α = 2α Ds Dreiek BJH ist lso gleihshenklig und somit BH = JH Nh Konstruktion ist H IJ und IBA= β 2 ; wir können lso im Sehnenvierek AIJB nh Umfngswinkelstz lesen: H JA = IJA = IBA = β 2 ; nh Außenwinkelstz im Dreiek AH J zusmmen β mit H H C = β erehnet mn wie oen JAH = β 2 = β 2 Ds Dreiek AH J ist lso eenflls gleihshenklig und dmit AH = HJ Flls I=J, ist H H Tngente n den Umkreis von Dreiek AIB und es folgt mit Sehnen-Tngentenstz die gleihe Aussge, zusätzlih noh α=β Shließlih ist J innerer Punkt von H H, zusmmenfssend ist lso: J α W H BH = HH 0

11 Lösungseispiele Nhweis von " ": Sei BH = HH Dnn existiert ein Innerer Punkt J uf H H, sodss AH = HJ und BH = JH ; die Dreieke AH J und BH J sind dnn gleihshenklig und ihre Bsiswinkel erehnen sih nh Außenwinkelstz (die Außenwinkel ei H zw H hen die Weite β zw α) zu 2 β zw 2α Nun etrhten wir den zweiten, evtl mit J zusmmenfllenden Shnittpunkt des Umkreises von Dreiek AJB mit H H (er sei mit I* ezeihnet und liege obda uf der Streke H J) Flls I* J β gilt nh Konstruktion von I* und Umfngswinkelstz: 2 = H JA = IJA = I*BA, dmit liegt I* uf α der Winkelhlierenden w β Shließlih ist AI*JB ein Sehnenvierek und somit 2 = BJH = 80 I*JB = BAI* Dmit liegt I* uh uf w α, ist lso identish mit I; es ist lso I H H Flls I*=J, β ist 2α = 2 und somit I=J H H zu 5) (vgl uh Vrinte unten): Wir konstruieren us den Streken UM, UM, UM und dem Umkreisrdius (in dieser Reihenfolge) ein Vierek CPM U, C von dem wir nhweisen werden, dss es ähnlih zum P Vierek AH H B ist Für einen geeigneten Ähnlihkeitsfktor k 0 folgt dnn MUC BH = HH k BH + k AH = k HH MU+MU =MU und so unmittelr die zu eweisende Aussge: H M U M Hierzu zeihnen wir den Kreis üer dem Durhmesser UC Er ist gleihzeitig Thleskreis üer UC und enthält dmit uh die Punkte M und M Die Prllele zu UM durh C shneidet diesen Kreis in einem Punkt P; d ds Vierek PCM U ein Rehtek ist, ist zusätzlih CP = UM A M H B Es ist PU M U, nh Thles lso uh PM M M Aus M M AB (Mittelprllele!) und UM AB folgt PM UM D uh M M BC UP, ist ds Vierek PM M U ein Prllelogrmm, insesondere ist PM = UM Die Viereke UM PC und BH H A hen ei U zw B eide den Innenwinkel β, ei C zw A eide den Innenwinkel α, in eiden Viereken stehen die Digonlen senkreht uf entsprehenden Seiten Dmit sind die Teildreieke ABH und CUM sowie BAH und UCP ähnlih, lso uh die Viereke selst zu 6) (vgl uh Vrinte unten): Die Fußpunkte der Lote von W und W uf AB seien mit F W zw F W ezeihnet, der Shnittpunkt von F W W mit M U mit R A W M F W U M R C F W M W B Nhweis von " ": Sei U W W Wir unterwerfen die Streke UM zuerst der WW zentrishe Strekung (W, ), spiegeln nshließend ds WU Bild n der Winkelhlierenden BW, und unterwerfen ds WU Bild dnn der zentrishen Strekung (W, ) Bei dieser WW Verkettung von Aildungen wird U offensihtlih der Reihe nh uf W, wieder W und nshließend zurük uf U geildet; M der Reihe nh uf den Fußpunkt des Lotes von W uf BC (d UM BC), dnn uf FW (d ei der Spiegelung n der Winkelhlierenden W Fixpunkt und ds Bild von BC die Gerde BA ist), dnn uf R (d W F W UM ) D zusätzlih der Strekfktor der zweiten zentrishen Strekung der Kehrwert des Strekfktors der ersten ist, ht deren Produkt den Wert und die Gesmtildung ist dmit eine Kongruenzildung und die Streken UM und UR hen die gleihe Länge

12 Lösungseispiele In ähnliher Weise weisen wir nh, dss UM und M R die gleihe Läge hen: Wir unterwerfen die WW Streke UM zuerst der zentrishen Strekung (W, ), spiegeln nshließend ds Bild n der Winkelhlierenden AW, und unterwerfen ds Bild dnn der zentrishen Strekung (F W, WU WU ) WW U wird dei der Reihe nh uf W, wieder W und shließlih uf R geildet; M der Reihe nh uf den Fußpunkt des Lotes von W uf AC, dnn uf F W und shließlih uf M Zur Begründung enötigen wir nloge Üerlegungen wie oen und die Feststellung, dss - weil W F W M U W F W WU F M - uh = W WW FWFW D U innerer Punkt von W W ist, ist uh R innerer Punkt von M U, lso MU = MR + RU= UM +UM Nhweis von " ": Sei U W W Wir ezeihnen den Shnittpunkt von M U mit W W mit U*, die Lotfußpunkte von U* uf AC und BC mit M * zw M * Nh oigem Beweis ist dnn MU* = U*M *+U*M * Ist nun MU* < MU, dnn ist offensihtlih U*M * > UM und U*M * > UM, lso MU < UM +UM, insesondere MU UM +UM, durh Umdrehen der </> Zeihen folgt dies in nloger Weise uh us MU* > MU Vrinten (zur esseren Üersiht niht in den oder 2 Beweis eingereitet): Wir eweisen zunähst einen weiteren Hilfsstz: HS4: In jedem Dreiek gilt CI CW = A H *=H ' α/2 H α β W I = I*? C H *=H ' α H B Beweis: Die Prllele zu AB durh I shneidet AC und BC in zwei Punkten, die wir H * und H * nennen Ds α Dreiek AH *I ht ei A den Innenwinkel 2 (Konstruktion von I), eenso ei I (Wehselwinkel n prllelen Gerden AB H *H *), ist lso gleihshenklig und es ist AH * = H*I Anlog folgt BH * = H*I D I innerer Punkt von H *H * ist, folgt shließlih H*H* = H*I+ H*I = AH * + BH * D uh H * und H * innere Punkte von AC zw BC sind, ht ds Dreiek CH *H * den Gesmtumfng + D H *H * AB, git es eine zentrishe Strekung mit Zentrum C, die ds Dreiek ABC mit Umfng ++ in ds Dreiek H *H *C mit Umfng + üerführt; deren Strekfktor ht lso den Wert + D diese + + Strekung uh CW in CI üerführt, folgt die Behuptung Vrinte zu () I H H ) + os(γ) = + + : Den Shnittpunkt von w γ mit H H nennen wir I* Die Dreieke H H C und ABC hen gleihe Innenwinkel, sind lso ähnlih; dei üerführt eine CH Strekung mit Zentrum C und Strekfktor CB = os( γ ) = os(γ) und nshließende Spiegelung n w γ ds Dreiek ABC in ds Dreiek H H C Bei dieser Aildung wird W ls Shnittpunkt von AB 2

13 Lösungseispiele mit w γ uf den Shnittpunkt der zugehörigen Bilder, lso uf I* geildet; d w γ ei der Spiegelung Fixpunktgerde ist, ist dmit uh CI* CW = os(γ) Die Behuptung folgt shließlih mit Hilfsstz 4: I H H I = I* CI CI* CW = CW = os(γ) Vrinte zu (4) I H H 4) BH = H H : Wir knüpfen n die Bezeihnungen und Üerlegungen us dem Beweis von Hilfsstz 4 n und etrhten die Ahsspiegelung n der Winkelhlierenden w γ : Sie üerführt den Punkt H CB uf einen Punkt H ' CA und H CA uf einen Punkt uf H ' CB D H H mit den Seiten CB zw CA Winkel der Weite β zw α einshließen, shließt H 'H ' mit den Seiten CA zw CB Winkel der Weite β zw α ein, es ist lso H 'H ' AB H *H * Ferner ist I w γ Fixpunkt Dmit gilt: I H H I H 'H ', d uh I H *H * und H 'H ' H *H * folgt : I H H H *= H ' und H * = H ' Aus Symmetriegründen sind in diesem Fll die Dreieke IH H * und IH *H kongruent Insesondere ist dnn BH = BH * H *H *± H *H = BH * * = H*H* = HH BH = HH 5) MU + MU = MU (kürzer unter Verwendung trigonometri- Vrinte zu (5) sher Funktionen): Es ist = R os(γ) MU + MU = MU BH = HH os(α) + os(β) = os(γ) R os(α) + R os(β) Vrinte zu (6) MU + MU = MU 6) U W W : Sei d(x,yz) der Astnd des Punktes X von der Gerden YZ Für jeden Punkt P im Innern eines spitzwinkligen Dreieks definieren wir f(p) := d(p,ac) + d(p,bc) d(p,ab) Üer die Aufgenstellung hinus wird ewiesen: f(p) = 0 P W W Mit MU = d(u,ac), MU = d(u,bc) und MU = d(u,ab) folgt sofort die zu eweisende Äquivlenz Beweis (mit nlytisher Geometrie, etws knpp formuliert): Wir legen ds Dreiek ABC so in ein Ahsenkreuz, dss keine Ahse prllel zu W W ist Die Gerde W W können wir dnn durh eine Gleihung y=mx+t mit geeigneten m,t 0 eshreien; dh die Punkte P(x y) W W sind genu die Punkte, deren Koordinten diese Gleihung erfüllen; d m,t 0, ist eine eineindeutige Zuordnung zwishen dem Prmeter x und den Punkten der Gerde möglih Die Gerde AC können wir durh eine Gleihung in Hesse Normlenform eshreien, lso eine Gleihung der Form px+qy+r = 0, woei p,q,r so gewählt sind, dss der Ausdruk px+qy+r genu den Astnd eines Punktes P(x y), der im Innern des Dreieks ABC liegt, von der Gerden AC eshreit Sei P(x y) W W, dh y=mx+t Einsetzen ergit mit d(p,ac) = px+q(mx+t) + r einen lineren Term mit der Vrilen x; ds Gleihe gilt für d(p,ab) und d(p,bc) D Summe und Differenzen von lineren Termen wieder linere Terme sind, ist uh d(p,ac) + d(p,bc) d(p,ab) ein linerer Term mit der Vrilen x D W uf w α liegt, ist d(w,ac) = d(w,ab) und dmit f(w ) = 0, mit ähnliher Argumenttion uh f(w )=0 Wir hen lso zwei vershiedene x-werte, für die der linere Term f(p) = f(p(x)) den Wert 0 nnimmt Dies ist er nur möglih, wenn f(p(x))=0 für lle x, dh f(p)=0 für lle P W W Mit f(p)=0 und f(r)=0 (P R) ist lso uh f(q)=0 für lle Q (PR) Gäe es ein P(x y) W W mit f(p)=0, so wäre lso für lle Punkte Q (PW ) eenflls f(q)=0, eenso für lle Punkte Q (PW ) Shließlih wäre f(q)=0 sogr für lle Punkte Q der Eene, d es durh jeden Punkt Q wenigstens eine Gerde git, die zwei der Gerden W W, W P und W P in vershiedenen Punkten trifft 3 Beweis (mit homogenen Koordinten): Bemerkung: Dieser Beweis enützt die Beshreiung von Punktmengen in der Eene durh homogene (oder uh Dreieks- oder trilineren) Koordinten D diese Theorie zumindest im Shulereih weitgehend uneknnt ist, werden die nötigen Begriffe und verwendeten Sätze im Anshluss n den eigentlihen Beweis hergeleitet 3

14 Lösungseispiele D die Astände des Inkreismittelpunktes zu den drei Seiten des Dreieks gleih sind, ht I die Koordinten ( ) D W ls Punkt uf der Winkelhlierenden w α zu (AB) und (AC) gleihen Astnd ht und ls Punkt uf (BC) zu (BC) den Astnd 0, ht W die Koordinten (0::), mit nloger Begründung ht W die Koordinten (:0:) D ds Dreiek ABC spitzwinklig ist, liegt sein Umkreismittelpunkt U im Innern Insesondere vershwindet die dritte Koordinte von U niht, U ht lso Koordinten (r:s:) für geeignete Wert r,s R Ferner ist UAC = 90 β = BAH ; dmit entsteht (AH ) us (AU) durh Spiegeln n der Winkelhlierenden w α Die Astände eines Punktes uf (AU) zu (AB) zw (AC) werden durh diese Spiegelung zu Aständen eines Punktes uf AH zu (AC) zw (AB), lso erhält mn die Koordinten von Punkten uf (AH ) durh Vertushen von zweiter und dritter Koordinte von Punkten uf (AU) und geeigneter Anpssung der ersten Koordinte Als Punkt uf BC ht H lso die Koordinten (0::s), nlog H (:0:r) Nh HS (su) ist dnn nh eknnten Rehenregeln für Determinnten I H H 0 0 s r = 0 r 0 s 0 = 0 U W W Bemerkung: Verwendet mn die ttsählihen Koordinten U(os(α):os(β):os(γ)), H (0:os(β):os(γ)) und H (os(γ):0:os(α)), so erhält mn zusätzlih die im Beweis hergeleitete Äquivlenz I H H 0 os( γ ) os( γ ) 0 os( β) os( α) = 0 os(γ)os(α) + os(γ)os(β) os 2 (γ) = 0 os(α) + os(β) os(γ) = 0 os( α) os( β ) os( γ ) 0 0 = 0 U W W Erläuterung der Nottion und Herleitung der enötigten Hilfssätze : Homogene Koordinten: Zunähst nennen wir zwei Tripel (p :p :p ) und (q :q :q ) proportionl, wenn es ein k 0 git, sodss (p :p :p ) = (k q :k q :k q ) Nh Vorge des Dreieks ABC seien zu einem Punkt P dessen gerihteten euklidshen Astände zu den Gerden (BC), (AC) und (AB) mit d, d zw d ezeihnet; dei sei d (zw d, d ) genu dnn positiv, wenn P und ds Innere des Dreieks ABC in der gleihen Hleene ezüglih (BC) (zw (AC),(AB)) liegen Jedes zu (d :d :d ) proportionle Tripel nennen wir homogene(s) Koordinten(tripel) von P ezüglih des Dreieks ABC Zusmmenhng zwishen den homogenen Koordinten eines Punktes: Es ist stets (d 2 +d +d ) = () zw äquivlent (d 2 +d +d ) = (2); hierei ezeihne den Fläheninhlt des Dreieks ABC und,, die Längen der Seiten BC, CA, AB Nhweis: P estimmt mit je zwei der Eken A, B und C insgesmt drei Dreieke () esgt dnn, dss deren (durh die Vorzeihen der d, d, d ) orientierte Fläheninhlte ufddiert den Fläheninhlt von Dreiek ABC ergeen Existenz- und Eindeutigkeit (Begründungen teilweise weggelssen oder verkürzt): (A) Zu jedem Punkt in der Eene existieren homogene Koordinten (B) Jedes Tripel (p :p :p ) (0:0:0) mit p +p +p 0 ist homogenes Koordintentripel genu eines Punktes in der Eene; dies folgt us der Möglihkeit, einen solhen Punkt eindeutig ls Shnitt von Gerden durh die Eken des Dreieks ABC zu konstruieren (Dei werden die Gerden estimmt durh ds Verhältnis von je zwei der Koordinten) Bemerkung: Flls p +p +p = 0, sind die in (B) gennnten Konstruktionsgerden prllel, ds Tripel (p :p :p ) estimmt dnn keinen Punkt der Eene; dies ergit sih uh us () Einem solhen Tripel wird dnn ein "unendlih ferner Punkt" zugeordnet Gerden lssen sih eenflls durh ein Tripel (r:s:t) R 3 eshreien ls Lösungsmenge der Gleihung rp +sp +tp = 0 Jede Aussge üer Inzidenzeziehungen von Gerden und Punkten lässt sih dmit in eine Aussge üer eine rehnerishe Beziehung von zugehörigen Tripeln us R 3 umformulieren; dei erfolgt die Beshreiung von Gerden und Punkten durh identishe Ojekte Vertusht mn hierei die Deutung ls Quelle: Whitworth, Willim Allen: Triliner Coordintes nd other methods of Modern Anlytil Geometry of Two Dimensions Deighton, Bell, nd Co, Cmridge, 866, p - 22 Im Internet zu finden unter: 4

15 Lösungseispiele Punkte und Gerden, erhält mn dule Aussgen Die homogenen Koordinten eignen sih dmit esonders zur Drstellung der projektiven Geometrie Orientierter Fläheninhlt eines Dreieks RST in Ahängigkeit von dessen Koordinten: B Zunähst seien die Koordinten R(r :r :r ), S(s :s :s ) und T(t :t :t ) normiert, dh so gewählt, dss sie die ttsählihen Entfernungen zu den Dreieksseiten drstellen; durh Multipliktion mit einem Fktor k x 0 (x {r,s,t}) können wir später zu elieigen Koordinten üergehen Die dritten t Koordinten lso die Astände der Punkte zur Seite AB werden dnn zunähst niht enötigt r R T Die Prllelen zu (BC) durh R, S und T shneiden (AC) in drei Punkten, die wir mit R', S' zw T' ezeihnen; es ist dnn RST = R'RTT' + T'TSS' R'RSS' (Hierei sei mit S XYZ der orientierte Fläheninhlt des Polygons XYZ γ r t ezeihnet; einige notwendige Üerlegungen, die die Gültigkeit dieser Gleihung uh ei nderer reltiven Lge der Punkte R,S, T nhweisen, werden hier üergngen) C R' T' S' A R'RTT' ist ein Trpez mit den prllelen Seiten R'R T'T, einer Mittellinie der Länge (t 2sin( γ ) +r ) und einer Höhe (t r ); es ist lso R'RTT' = (t 2sin( γ ) +r )(t r ) Mit nloger Herleitung für die Fläheninhlte der Trpeze T'TSS' und R'RSS' erhlten wir nh eknnten Rehenregeln für Determinnten (ei der letzten Umformung wird (2) verwendet): RST = R'RTT' + T'TSS' R'RSS' = [(t 2sin( γ ) + r )(t r ) + (s + t )(s t ) (s + r )(s r )] = { r 2sin( γ ) [(s + r ) (t + r )] s [(s + r ) (s + t )] + t [(t + r ) (s + t )] } = { r 2sin( γ ) [s t ] s [r t ] + t [r s ] } = 2sin( γ ) r s t r s t = 2sin( γ ) r s t r s t ( r + r + r ) ( s + s + s ) ( t + t + t ) Nun ziehen wir den gemeinsmen Fktor us der dritten Zeile der Determinnte und multiplizieren 2 die erste Zeile mit, die zweite mit ; nshließend sutrhieren wir die erste und zweite Zeile von der dritten und ziehen den gemeinsmen Fktor in der letzten Zeile nh ußen: RST = 4 sin( γ ) r s t r s t r + r + r s + s + s t + t + t = 4 sin( γ ) r s t r s t r s t oder RST = k k k sin( γ ) 4 r s t kr ks kt r s t kr ks kt r s t kr ks kt r s t für lle k 0 Der Fktor vor der Determinnte ht niemls den Wert 0; dmit hen RST und die Determinnte immer gleihzeitig den Wert 0; dei stehen in der Determinnte elieige, niht-normierte Koordinten der Ekpunkte D ferner RST = 0 R,S,T kolliner, folgt unmittelr : HS : Die Punkte X(x :x :x ), Y(y :y :y ) und Z(z :z :z ) sind genu dnn kolliner, wenn det(x,y,z)=0 5

16 Lösungseispiele Bemerkung: Die zu eweisende Aussge ist äquivlent zu I H H U W W Deswegen ist es für die Lösung der Aufge unerhelih, o es üerhupt Dreieke git, ei denen die gegeenen Punktetripel kolliner sind Ein solher Nhweis muss lso niht geführt werden Von der Existenz solher Dreieke knn mn sih durh folgende heuristishe Üerlegung üerzeugen: Mn eginnt mit einem ei C rehtwinkligen Dreiek ABC ls Grenzfll eines spitzwinkligen Dreieks In diesem Dreiek ist H =H =C D der Inkreismittelpunkt I im Innern des Dreieks ABC liegt, sind die Punkte I, A und B in der gleihen Hleene ezüglih der (durh eine Grenzwertetrhtung estimmten) Gerden (H H ) Nun "zieht" mn die Eke C entlng der Höhe h, sodss sih die Entfernung von der Seite AB vergrößert Dei nähern sih α und β elieig nhe dem Wert von 90, entsprehend nähern sih die Punkte H und H elieig nhe den Eken B zw A, während der Astnd des Punktes I von der Gerden (AB) wähst D die Verformung des Dreieks stetig erfolgt, ist irgendwnn eine Lge von C erreiht, ei der C H H Konstruktionen mit einem dynmishen Geometrieprogrmm erweken zunähst die Vermutung, dss lle Dreieke, ei denen die Kollinerität der gegeenen Punktetripel gegeen ist, den gleihen Winkel γ 44 esitzen Dies trifft jedoh niht zu: Wir formen die notwendige und hinreihende Bedingung os(γ) = os(α) + os(β) unter Verwendung von γ =80 (α +β) äquivlent um zu os(α) + os(β) + os(α+β) = 0 (*) Für α = β erhlten wir üer 2os(α) + os(2α) = 0 und 2os(α) + 2os 2 (α) = 0 den Wert α = β = 3 ros( ± ) 68,529, lso γ 42,94 ; für den Grenzfll α = 90 erhlten wir os(90 )+ os(β) os(90 +β) = 0 oder os(β) sin(β) = 0, lso β = 45 und dmit γ = 45 Mit weiteren Üerlegungen zb der Herleitung der Formel tn α = sin( γ) ± 3 (os( γ) + ) 2 knn mn zeigen, dss mit den 2 hier erehneten Werten shon eine untere und oere Shrnke für γ gegeen ist, dh dss γ [42,94 ;45 [ 6