Relationen: Verkettungen, Wege, Hüllen

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1 FH Gießen-Frieerg, Sommersemester 00 Lösungen zu Üungsltt 9 Diskrete Mthemtik (Informtik) 9./. Juni 00 Prof. Dr. Hns-Ruolf Metz Reltionen: Verkettungen, Wege, Hüllen Aufge. Es ezeihne R ie Reltion {(, ), (, ), (, ), (, ), (, )} un S ie Reltion {(, ), (, ), (, ), (, )}. Geen Sie S R n. Skizzieren Sie ie Verknüpfung mit Hilfe gerihteter Grphen. Berehnen Sie ie Boolshe Mtrix er Reltion S R us en Boolshen Mtrizen von S un R. Lösung: Shreiweise: Zu R A B un R B C ist R R = {(, ) ( ) ((, ) R ) ((, ) R )}. Die Reltionen R un S sin vorgegeen ls R = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, )}, S = {(, ), (, ), (, ), (, )}. Entsprehen er Definition für ie Verknüpfung von Reltionen können wir nun feststellen, welhe Pre in S R liegen. (, ) R (, ) S (, ) S R (, ) R (, ) S (, ) S R (, ) R (, ) S (, ) S R (, ) R (, ) S (, ) S R (, ) R (, ) S (, ) S R (, ) R (, ) S (, ) S R Zwr ist (, ) R, er in S ist kein Pr mit er n er ersten Position,.h. üer (, ) R wir kein Beitrg zu S R geliefert. Insgesmt he wir mit S R = {(, ), (, ), (, ), (, )}. Die Verknüpfung von R un S läßt sih nshulih sehr shön rstellen, wenn mn R un S niht wie ülih zeihnet, sonern ie Eken zweiml neeneinner uflistet. Copyright 00 Prof. Dr. Hns-Ruolf Metz. All rights reserve.

2 R S Weren jetzt ie Enpunkte von R un ie Anfngspunkte von S zusmmengelegt, so esteht S R us llen Pren, für ie es minestens einen Weg von links nh rehts üer ein verinenes Element in er Mitte git. R S Zum Beispiel sieht mn uf zwei Arten, ß (, ) in S R liegt: Ferner gehört zum Beispiel s Pr (, ) wegen es folgenen Weges zu S R:

3 Um ie Boolshe Mtrix er Reltion S R us en Boolshen Mtrizen von R un S erehnen zu können, shreien wir iese Mtrizen zunähst uf. R S Die Boolshe Mtrix er Reltion S R wir mit einer geänerten Mtrizenmultipliktion erehnet, ei er (s logishe Oer) nstelle von + verwenet wir, un (s logishe Un) nstelle von. Wir shreien ie Multipliktion in einem Rehenshem uf: R S S R Zum Beispiel entsteht s Element in er zweiten Zeile un er ersten Splte urh (0 0) (0 ) ( ) ( 0) = =. Im folgenen Shem weren iejenigen Elemente er Boolshen Mtrizen rgestellt, ie n ieser Berehnung eteiligt sin

4 Aufge. Es sei ie Reltion R = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )} uf er Menge M = {,,, } gegeen. Zeihnen Sie en gerihteten Grphen von R, un estimmen Sie mit essen Hilfe ie Reltionen R un R. Lösung: Es git zwei Möglihkeiten, ie Reltion grphish zu vernshulihen.. Drstellung Der gerihtete Grph mit en Eken,, un un en gerihteten Knten entsprehen er Reltion wir gezeihnet. Mn erhält R un R urh R = {(x, y) es existiert ein Weg er Länge von x nh y}, R : nlog mit Länge. Konkret knn mn zum Beispiel systemtish urhproieren, o (, ) in R ist, (, ) in R ist, (, ) in R ist, u.s.w., woei Tellen prktish sin. in R in R (, ) j j (, ) j j (, ) nein j (, ) j j in R in R (, ) j nein (, ) j j (, ) nein j (, ) nein j in R in R (, ) nein nein (, ) j j (, ) nein nein (, ) nein nein in R in R (, ) nein j (, ) j j (, ) j nein (, ) j j. Drstellung

5 Die Splte mit en Eken,, un wir vierml neeneinner geshrieen. Von einer Splte zur nähsten weren gerihtete Knten entsprehen er Reltion gezeihnet. Hier ekommt mn R un R urh R : esteht us llen Pren (x, y), für ie ein Weg er Länge von em Element x in er linken Splte zu em Element y zwei Splten weiter existiert; R : esteht us llen Pren (x, y), für ie ein Weg er Länge von x in er linken Splte zu y in er rehten Splte existiert. Diese Drstellung ist zwr ufweniger ls ie erste, er ie Wege sin leiht zu erkennen. Im folgenen ist zum Beispiel ein Weg er Länge von nh herusgestellt, er zeigt, ß (, ) R gilt. Im folgenen sehen wir, ß es zwei Wege er Länge von nh git. Also gilt (, ) R. (Selstverstänlih hätte shon ein Weg genügt.) Insgesmt knn mn lso unmittelr lesen, ß sih R = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )} un R = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )} für ie gesuhten Reltionen ergit. 5

6 Aufge. Es sei R ie Reltion {(, ), (, ), (, ), (, ), (, )} uf er Menge {,,, }. Geen Sie R n. Shreien Sie zu R un R ie Boolshen Mtrizen uf, un zeihnen Sie ie gerihteten Grphen. Lösung: R = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, )} R = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, )} = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, )} Mtrix: Grph: Spiegelung n er Huptigonlen. Rihtungen er Pfeile umrehen. Aufge. Bestimmen Sie zu en folgenen Reltionen uf er Menge {,,,, e} ie reflexive, ie symmetrishe un ie trnsitive Hülle. Zeihnen Sie zu jeer Reltion en gerihteten Grphen. Lösung: R = {(, ), (, ), (, ), (, ), (e, )} R = {(, ), (, e), (, e), (, ), (e, ), (e, )} R = {(, ), (, ), (, e), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (e, )}. R = {(, ), (, ), (, ), (, ), (e, )} e 6

7 reflexive Hülle: R {(, ), (, ), (, ), (, ), (e, e)} symmetrishe Hülle: R {(, e)} trnsitive Hülle: R {(, ), (, ), (, ), (, ), (e, )}. R = {(, ), (, e), (, e), (, ), (e, ), (e, )} e reflexive Hülle: R {(, ), (, ), (, ), (, ), (e, e)} symmetrishe Hülle: R {(, ), (, )} trnsitive Hülle: R {(, ), (, ), (, ), (e, e)}. R = {(, ), (, ), (, e), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (e, )} e reflexive Hülle: R {(, ), (, ), (, ), (, ), (e, e)} symmetrishe Hülle: R {(, ), (, e), (e, )} trnsitive Hülle: {,,,, e} {,,,, e},.h. ie trnsitive Hülle esteht us llen Pren, ie üerhupt möglih sin. Zur Bestimmung er trnsitiven Hülle ist ein Stz us er Vorlesung hilfreih: Ds Pr (x, y) liegt in er trnsitiven Hülle von R, wenn es in R einen Weg von x nh y git. 7