a) Spezielle Winkel bei schneidenden Geraden und Parallelen α 3 β 4 Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Vorsemester V.

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1 Geometrie und Trigonometrie ) Spezielle Winkel ei shneidenden Gerden und Prllelen 4 4 Sheitelwinkel sind gleih (z.. zw. ) Neenwinkel ergänzen sih zu 80 0 (z ) Stufenwinkel sind gleih (z.. zw. ) Wehselwinkel sind gleih (z.. zw. 4 ) Gegenwinkel sind gleih (z.. 7 zw. 6 ) Institut für utomtisierungstehnik Prof. Dr. h. old Vorsemester V. Folie ) Dreieke Die Winkelsumme eträgt 80 0 ( ) Ein Dreiek heißt gleihshenklig, wenn es zwei gleih lnge Seiten ht. Ein Dreiek heißt gleihseitig, wenn es drei gleih lnge Seiten ht. Ein Dreiek heißt rehtwinklig, wenn es einen Winkel ht. Ein Dreiek heißt spitzwinklig, wenn lle drei Winkel kleiner ls 90 0 sind. Ein Dreiek heißt stumpfwinklig, wenn ein Winkel größer ls 90 0 sind. Institut für utomtisierungstehnik Prof. Dr. h. old Vorsemester V. Folie

2 Mittelsenkrehte m P m M M m M M Die Mittelsenkrehte zu einer Streke ist die Menge ller Punkte, die von den Endpunkten dieser Streke gleih weit entfernt sind. Die drei Mittelsenkrehten eines Dreieks shneiden sih in einem Punkt, dem Mittelpunkt des Umkreises (der durh lle drei Ekpunkte des Dreieks verläuft). Dieser liegt ei spitzwinkligen Dreieken innerhl des Dreieks, ei stumpfwinkligen ußerhl des Dreieks und ei rehtwinkligen uf der Hypothenuse. Institut für utomtisierungstehnik Prof. Dr. h. old Vorsemester V. Folie m M m M m M M Institut für utomtisierungstehnik Prof. Dr. h. old Vorsemester V. Folie 4

3 Höhe h h h S Ds Lot von einer Eke des Dreieks uf die gegenüerliegende Seite heißt Höhe ( und zwr sowohl die Streke ls uh die durh diese Streke estimmte Gerde ). Die drei Höhen eines Dreieks shneiden sih in einem Punkt. Dieser liegt ei spitzwinkligen Dreieken innerhl des Dreieks, ei stumpfwinkligen ußerhl des Dreieks und ei rehtwinkligen im Ekpunkt mit dem rehten Winkel. Institut für utomtisierungstehnik Prof. Dr. h. old Vorsemester V. Folie 5 S h h h emerkung: Die Flähe eines Dreieks eträgt Grundseite. Höhe Institut für utomtisierungstehnik Prof. Dr. h. old Vorsemester V. Folie 6

4 Seitenhlierende M s S s M s M Die Seitenhlierende zu einer Dreieksseite ist die Streke zwishen dem Mittelpunkt dieser Seite und dem gegenüerliegenden Ekpunkt des Dreieks. Die drei Seitenhlierenden eines Dreieks shneiden sih in einem Punkt S, dem Shwerpunkt des Dreieks. S teilt die Seitenhlierenden im Verhältnis :, woei die Streke zwishen S und einer Eke des Dreieks jeweils doppelt so lng ist wie die Streke zwishen S und dem Mittelpunkt der gegenüerliegenden Dreieksseite. Institut für utomtisierungstehnik Prof. Dr. h. old Vorsemester V. Folie 7 M s S s M s M Der Shwerpunkt liegt lso sowohl ei einem spitzwinkligen ls uh ei einem stumpfwinkligen Dreiek innerhl des Dreieks. emerkung Der Shnittpunkt der drei Mittelsenkrehten, der Shnittpunkt der drei Höhen und der Shnittpunkt der drei Seitenhlierenden eines Dreieks liegen stets uf einer Gerden, der sogennnten Euler- Gerden. Institut für utomtisierungstehnik Prof. Dr. h. old Vorsemester V. Folie 8 4

5 Winkelhlierende w w M P w Die Winkelhlierende zu einem Dreiekswinkel ist die Menge ller Punkte, die von den eiden Shenkeln des Winkels gleih weit entfernt sind. Die drei Winkelhlierenden eines Dreieks shneiden sih in einem Punkt, dem Mittelpunkt des Inkreises (der lle drei Seiten des Dreieks erührt). Dieser liegt sowohl ei spitzwinkligen ls uh ei stumpfwinkligen Dreieken innerhl des Dreieks. Institut für utomtisierungstehnik Prof. Dr. h. old Vorsemester V. Folie 9 w w M w Institut für utomtisierungstehnik Prof. Dr. h. old Vorsemester V. Folie 0 5

6 ) Dreiekskongruenzen Zwei Dreieke sind kongruent, wenn sie üereinstimmen in Seiten Seiten und dem von ihnen eingeshlossenen Winkel Seiten und dem Gegenwinkel der größeren Seite Die Dreieke stimmen in den ß Seiten und und dem Winkel ß üerein. Sie sind er trotzdem niht kongruent, d der gemeinsme Winkel ß wegen < der kleineren Seite gegenüer liegt. Institut für utomtisierungstehnik Prof. Dr. h. old Vorsemester V. Folie ) Dreiekskongruenzen Zwei Dreieke sind kongruent, wenn sie üereinstimmen in Seiten Seiten und dem von ihnen eingeshlossenen Winkel Seiten und dem Gegenwinkel der größeren Seite Seite und gleihliegenden Winkeln Die Dreieke stimmen in einer Seite und Winkeln üerein. Sie sind er trotzdem niht 45 0 kongruent, d der rehte Winkel niht in eiden Dreieken gleih liegt 45 0 ( im ersten Dreiek liegt er der Seite n, im zweiten liegt er ihr gegenüer). Institut für utomtisierungstehnik Prof. Dr. h. old Vorsemester V. Folie 6

7 d) Ähnlihe Dreieke Für zwei Dreieke sind die folgenden ussgen äquivlent: Verhältnisse entsprehender Seiten sind gleih: Entsprehende Winkel sind gleih:, und. Verhältnisse zweier entsprehender Seiten und der von ihnen eingeshlossene Winkel sind gleih, z.. und. Verhältnisse zweier entsprehender Seiten und der Gegenwinkel der größeren Seite sind gleih, z.. und. Institut für utomtisierungstehnik Prof. Dr. h. old Vorsemester V. Folie Für zwei Dreieke sind die folgenden ussgen äquivlent: Verhältnisse entsprehender Seiten sind gleih: Verhältnisse zweier entsprehender Seiten und der von ihnen eingeshlossene Winkel sind gleih, z.. und. Verhältnisse zweier entsprehender Seiten und der Gegenwinkel der größeren Seite sind gleih, z.. und. Entsprehende Winkel sind gleih:, und. Gilt für zwei Dreieke eine dieser Eigenshften, so gelten uh die nderen drei. In diesem Fll heißen die eiden Dreieke (einnder) ähnlih. Sind zwei Dreieke einnder ähnlih, so ist ds eine Dreiek eine mßstälihe Vergrößerung zw. Verkleinerung des nderen und umgekehrt. Institut für utomtisierungstehnik Prof. Dr. h. old Vorsemester V. Folie 4 7

8 e) Strhlensätze s S p p. Strhlenstz: S S S S. Strhlenstz: S s S Diese Formeln ergeen sih sofort us dem Stz üer ähnlihe Dreieke, d die Dreieke S und S ähnlih sind, denn: Die Winkel ei zw. sind gleih ( Stufenwinkel) Die Winkel ei zw. sind gleih ( Stufenwinkel) Die Winkel ei S sind gleih ( trivil ) Die eiden Dreieke stimmen lso in llen drei Winkeln üerein. Institut für utomtisierungstehnik Prof. Dr. h. old Vorsemester V. Folie 5 emerkung: Die Strhlensätze gelten uh in folgender Sitution: g p S p. Strhlenstz: S S S S. Strhlenstz: S g S uh diese Formeln ergeen sih sofort us dem Stz üer ähnlihe Dreieke, d die Dreieke S und S ähnlih sind, denn: Die Winkel ei zw. sind gleih ( Wehselwinkel) Die Winkel ei zw. sind gleih ( Wehselwinkel) Die Winkel ei S sind gleih ( Sheitelwinkel) Die eiden Dreieke stimmen lso wieder in llen drei Winkeln üerein. Institut für utomtisierungstehnik Prof. Dr. h. old Vorsemester V. Folie 6 8

9 f) Rehtwinklige Dreieke h Stz von Pythgors: + Höhenstz: h p. q p q Kthetenstz:. q. p emerkung: Ist der rehte Winkel niht n der Eke, sondern n der Eke, so lutet der Stz von Pythgors +. Heißen die Seiten niht, und, sondern x, y und z, so lutet er x + y z oder y + z x oder x + z y. Die verle eshreiung ist er immer gleih: In einem rehtwinkligen Dreiek ist die Summe der Qudrte der eiden Ktheten genuso groß wie ds Qudrt der Hypotenuse. Institut für utomtisierungstehnik Prof. Dr. h. old Vorsemester V. Folie 7 Dher ist zu ehten: Der Vorteil einer Formel ist die kurze und prägnnte Formulierung ( knn mn gut ehlten ). Die Formel ist er fst wertlos, wenn mn ihre verle edeutung niht kennt. eispiel Kthetenstz:. q,. p eide Formulierungen hen die gleihe edeutung: In einem rehtwinkligen Dreiek ist ein Kthetenqudrt gleih dem Produkt us der Hypotenuse und dem nliegenden Hypotenusenshnitt. Dher genügt es, eine der eiden Formeln ufzushreien. Institut für utomtisierungstehnik Prof. Dr. h. old Vorsemester V. Folie 8 9

10 Stz von Thles Der Thleskreis üer einer Streke ist der Kreis, der den Mittelpunkt dieser M Streke ls Mittelpunkt ht und durh die eiden Punkte und verläuft ( dessen Rdius lso hl so lng ist wie die Streke ). Stz von Thles Jedes Dreiek mit den Ekpunkten und, dessen dritte Eke uf dem Thleskreis üer liegt, ht ei einen rehten Winkel. In jedem rehtwinkligen Dreiek liegt die Eke mit dem rehten Winkel uf dem Thleskreis üer der gegenüerliegenden Seite. Institut für utomtisierungstehnik Prof. Dr. h. old Vorsemester V. Folie 9 g) ogenmß und trigonometrishe Funktionen y Winkel im ogenmß sin() Grdmß ogenmß 60 0 π os() x Die Umrehnung von Grdmß in ogenmß und umgekehrt erfolgt mit Hilfe des Dreistzes. Im Gegenstz zum willkürlihen Grdmß ht ds ogenmß eine konkrete edeutung. Definition von Sinus und Kosinus m Einheitskreis sin( ) ist die y - Koordinte des Endpunktes des Kreisogens der Länge os( ) ist die x - Koordinte des Endpunktes des Kreisogens der Länge Institut für utomtisierungstehnik Prof. Dr. h. old Vorsemester V. Folie 0 0

11 Rehenregeln mit Sinus und Kosinus sin( - ) - sin ( ) + π sin() y os( - ) os ( ) sin( +π ) - sin ( ) os(+π) os() os( +π) - os ( ) os(-) x + π sin() sin(+ π y os() os(+ π ) x ) os ( + π sin(-) sin(+π) ) - sin( ) sin ( + π ) os ( ) sin( + π ) sin( ) os( + π ) os ( ) - sin ( ) + os ( ) Institut für utomtisierungstehnik Prof. Dr. h. old Vorsemester V. Folie Definition von Tngens und Kotngens m Einheitskreis tn( ) sin( ) os( ) PQ OP. Strhlenstz RS OR RS RS ot( ) os( ) sin( ) OP PQ ähnlihe Dreieke TU OT TU TU y T tn() sin() O Q P os() U S R ot() x Die Dreieke UTO und OPQ sind ähnlih, denn sie stimmen in llen drei Winkeln üerein: Ds Dreiek UTO ht n der Eke U eenso den Winkel wie ds Dreiek OPQ n der Eke O ( Wehselwinkel). Ds Dreiek UTO ht n der Eke T eenso einen rehten Winkel wie ds Dreiek OPQ n der Eke P. Institut für utomtisierungstehnik Prof. Dr. h. old Vorsemester V. Folie

12 Telle einiger Werte der trigonometrishen Funktionen π π 6 π 4 π 5π π sin os tn n.d. ot n.d Institut für utomtisierungstehnik Prof. Dr. h. old Vorsemester V. Folie Definition der trigonometrishen Funktionen m rehtwinkligen Dreiek sin( ) os( ) Gegenkthete Hypotenuse nkthete Hypotenuse emerkungen Die Definition m rehtwinkligen Dreiek gilt nur für Winkel zwishen 0 und 90 Grd, während die Definition m Einheitskreis uh für lle nderen Winkel gilt. Für Winkel zwishen 0 und 90 Grd stimmen eide Definitionen üerein ( m Einheitskreis ist die Hypotenuse stets gleih ). tn( ) ot( ) Gegenkthete nkthete nkthete Gegenkthete Die Definition m rehtwinkligen Dreiek ist eindeutig, d ei zwei Dreieken mit gleihen Winkeln ( lso ei ähnlihen Dreieken) die jeweiligen Seitenverhältnisse gleih sind. Institut für utomtisierungstehnik Prof. Dr. h. old Vorsemester V. Folie 4

13 Sinusstz und Kosinusstz In jedem Dreiek ( niht nur in rehtwinkligen) gilt: Sinusstz sin( ) sin( ) sin( ) Kosinusstz os( ) os ( ) os( ) Von den 6 Größen eines Dreieks ( Seiten und Winkel) kommen in eiden Sätzen 4 vor ( im Sinusstz Seiten und Winkel, im Kosinusstz Seiten und Winkel). Sind dieser 4 Größen eknnt, so knn mn die vierte mit diesen Sätzen erehnen. Institut für utomtisierungstehnik Prof. Dr. h. old Vorsemester V. Folie 5 h) Viereke Die Winkelsumme im Vierek eträgt llgemein: Die Winkelsumme im n - Ek eträgt ( n - ) Ein Vierek mit zwei prllelen Seiten heißt Trpez. Die Flähe eines Trpezes eträgt +. h. h Ein Vierek mit zwei Pren gleih lnger enhrter Seiten heißen Drhen. Institut für utomtisierungstehnik Prof. Dr. h. old Vorsemester V. Folie 6

14 Für ein Vierek sind die folgenden Eigenshften äquivlent:.) Gegenüer liegende Seiten sind prllel..) Gegenüer liegende Seiten sind gleih lng..) Gegenüer liegende Winkel sind gleih groß. h 4.) enhrte Winkel ergänzen sih zu Solhe Viereke heißen Prllelogrmme. g Ihre Flähe ist ds Produkt us Grundseite und Höhe : g. h. Spezielle Prllelogrmme sind.) die Rute ( der Rhomus) mit vier gleih lngen Seiten.) ds Rehtek mit vier gleih großen, lso wegen der Winkelsumme vier rehten Winkeln. Die Flähe des Rehteks ist ds Produkt der eiden Seiten:...) ds Qudrt ( Rehtekrute ) mit vier gleih lngen Seiten der Länge, vier rehten Winkeln und der Flähe.. Institut für utomtisierungstehnik Prof. Dr. h. old Vorsemester V. Folie 7 Üersiht üer Viereke Vierek Trpez Drhen Prllelogrmm Rute Rehtek Qudrt Institut für utomtisierungstehnik Prof. Dr. h. old Vorsemester V. Folie 8 4

15 i) Kreis und Körper Kreis: π. r, U.π.r 4 Kugel: V.π. r, O 4.π.r Zylinder: V π. r. h, M.π. r +.π. r. h zylindrishe Körper: V G. h h r Zylinder zylindrisher Körper mit elieiger Grundflähe G Quder: V.. O. ( ) Würfel ( spezieller Quder mit ) : V, O 6. Institut für utomtisierungstehnik Prof. Dr. h. old Vorsemester V. Folie 9 Pyrmiden Kegel ( Kreispyrmide ) : V.π. r. h, M π. r + π. r. r + h Pyrmide ( llgemein ) : V.G. h h r h h Kegel Pyrmiden mit elieiger Grundflähe G Spezielle Pyrmiden: qudrtishe Pyrmide Tetreder: V.., O. Institut für utomtisierungstehnik Prof. Dr. h. old Vorsemester V. Folie 0 5

16 Regelmäßige Körper Regelmäßige Körper sind Körper, deren ußenflähe us stets den gleihen regelmäßigen n - Eken ( d.h. n gleih lnge Seiten, n gleih große Winkel ) esteht. Es git 5 regelmäßige Körper: Tetreder : 4 Dreieke Hexeder ( Würfel ) : 6 Qudrte Okteder : 8 Dreieke Dodekeder : Fünfeke Ikoseder : 0 Dreieke Institut für utomtisierungstehnik Prof. Dr. h. old Vorsemester V. Folie 6