Eine Anmerkung zur Neuberg-Kurve

Transkript

1 Eine nmerkung ur Neuerg-Kurve Ekrt hmidt Die usreitung etrifft ds PM-Prolem P1059 PM 5/45.Jg.00,.44 Der Punkt P in der Eene des Dreieks wird n dessen eiten gespiegelt. Die piegelpunkte P, P, P ilden ds piegeldreiek von P n. Es liegt im llgemeinen niht perspektiv u. 1 Welhe esonderen Punkte des Dreieks hen ein u perspektives piegeldreiek? Es ist u eigen Ds piegeldreiek von P n einem gleihseitigen Dreiek ist stets perspektiv u diesem. Heinrih uek, Lingustr. 5, 881 Rvensurg Der Hintergrund dieser ufge ist der folgende t von Pinkernell [1] The Neuerg ui is the lous of point P in the tringle, for whih the tringle formed its refletions in the sides of is in perspetive with. 1. Die Neuerg-Kurve Die Neuerg-Kurve ist eine Kurve dritter Ordnung, genuer eine Zirkulrkurve, die gl. der isogonlen Konjugtion invrint ist und den Fernpunkt der Euler-Gerden ls Pivot-Punkt ht. Ihre Gleihung in rentrishen Koordinten P ergit sih im inne der ufge wie folgt 1 0 0, 0 1 0, ; P, P P,.

2 Hier werden neen den eitenlängen,, des Dreieks die eeihnungen von onw enutt 1 =, 1 =, 1 = und die doppelte Dreieksflähe mit. = Die Ektrnsverslen ergeen sih u 0 P 0 P 0 P. uf Grund der geforderten Perspektivität müssen diese drei Gerden einen gemeinsmen hnittpunkt hen. Dies ist der Fll, wenn die Determinnte der Gerdenkoordinten den Wert Null ht. Eine uswertung dieser Determinnte ergit die Gleihung der Neuerg-Kurve 0 = Für ein gleihseitiges Dreiek entrtet die Gleihung ur Identität, d.h. jeder Punkt P erfüllt die Forderung der ufge. Für die Perspektiventren der piegeldreieke erhält mn dnn... Z. Zur geometrishen Lge der Perspektiventren lässt sih nmerken Z liegt uf der Verindungsgerden von P und seinem isogonl-konjugierten ild P*, weiterhin uf der gleihseitigen Umhperel des Dreieks durh P*, dem isogonl-konjugierten ild der Verindungsgerden von P mit der Umkreismitte M.

3 . Punkte der Neuerg-Kurve uf der Neuerg-Kurve liegen hlreihe merkwürdige Punkte des Dreieks []. In der folgenden uflistung werden jeweils die rentrishen Koordinten ngegeen und der ET-Inde us der enlopedi of tringle enters [] ennnt. 1 = X1 I Die Inkreismitte I ist Fipunkt der isogonlen Konjugtion. Mit jedem Punkt liegt uh ds isogonl-konjugierte ild uf der Neuerg-Kurve; die Verindungsgerde verläuft immer prllel ur Euler-Gerden. P P = X0 E Der Pivot-Punkt der Zirkulrkurve ist der Fernpunkt E der Euler-Gerden. = X4 Höhenshnitt H 4 = X Umkreismitte M 5 74 X N e =

4 Der sogennnte Neuerg-Punkt N e ist ls isogonlkonjugiertes ild des Fernpunktes E ein Punkt des Umkreises. Für den Neuerg-Punkt N e entrtet ds piegeldreiek u drei kollineren Punkten. Die Trägergerde verläuft durh den Höhenshnitt H prllel ur imson-gerden von N e, d.h. senkreht ur Euler-Gerden. 6 7 F = X 1/14 uf der Neuerg-Kurve liegen die Fermt-Punkte F ; sie spielen später noh eine esondere Rolle. H = X 15/16 Die drei pollonius-kreise eines Dreieks hen wei Punkte gemeinsm, die sogennnten hessin points H ; sie sind die isogonl-konjugierten ilder der Fermt-Punkte und mit der Umkreismitte M kolliner. 8 Die Verindungsgerden der Eken,, mit der Inkreismitte I, d.h. die Winkelhlierenden, shneiden die Neuerg-Kurve in den nkreismitten I, I, I. 9 Die Verindungsgerden der Eken,, mit dem Höhenshnitt H shneiden die Neuerg-Kurve in den piegelpunkten der Eken,, n den Gegenseiten. 10 Die Verindungsgerden der Eken,, mit den Fermt-Punkten F shneiden die Neuerg-Kurve in den piten der gleihseitigen Dreieke üer/unter den Dreieksseiten. 11 Die Verindungsgerden der Eken,, mit dem Fernpunkt E, d.h. die Prllelen ur Eulergerden durh,, shneiden die Neuerg-Kurve uf den entsprehenden Gegenseiten. 1 Die Verindungsgerden der Eken,, mit der Umkreismitte M shneiden die Neuerg-Kurve in den piegelpunkten der Eken,, n den Gerden,,. Dei ist der hnittpunkt der Mittelsenkrehten m mit der eite, der hnittpunkt der Mittelsenkrehten m mit der eite, usw. Dmit sind is jett 7 leiht konstruierre Punkte im inne der ufgenstellung ngesprohen.

5 Verfolgt mn den Gednken weiter, den dritten hnittpunkt der Verindungsgerden weier eknnter Punkte mit der Neuerg- Kurve ufusuhen, so erhält mn.. X484 im hnitt von IM und der Neuerg-Kurve mn spiegele die Inkreismitte I n ihrem piegelpunkt m Umkreis, X99 im hnitt von F F und N M e uf der Neuerg-Kurve mn spiegele die Umkreismitte m rennpunkt der Kiepert- Prel und die hnittpunkte der Gerden N e H und HF m uf der Neuerg-Kurve, die niht in der enlopedi of trngle enters vermerkt sind. Eine onderstellung nimmt der Neuerg-Punkt N e ein Zeihnet mn eine Gerde durh N e, so liegen die hnittpunkte mit der Neuerg-Kurve smmetrish um weiten hnittpunkt mit dem Umkreis.. Ortslinie der Perspektiventren Durhläuft ein Punkt P die Neuerg-Kurve, so stellt sih im inne der ufge die Frge nh den Perspektiventren Z u v w der Dreieke und PP P. Pinkernell [1] erwähnt, dss die Perspektiventren eenflls uf einer Kurve dritter Ordnung liegen. Hier wird diese ussge präisiert. Die Fermt-Punkte F erweisen sih ls Perspektiventren der hnittpunkte H der pollonius-kreise. Dmit sind die Fermt-Punkte wei Punkte der gesuhten Ortslinie, uf der ntürlih uh der Höhenshnitt H liegt. Die Konjugtion κ, die F und F - vertusht κ

6 , ildet den Höhenshnittpunkt H uf den Punkt X 65 =. X 65 ist ds isogonl-konjugierte ild der piegelung von H m Umkreis und liegt uf der Verindungsgerden von F F 1. ußerdem ist X 65 ds Perspektiventrum für den eugspunkt E im Fernpunkt der Eulergerden. Die Verindungsgerden κ-konjugierter Perspektiventren shneiden sih somit im Punkt X65, der dmit Pivot-Punkt einer Kurve dritter Ordnung ist, die eüglih der Konjugtion κ invrint ist. Die Kurve der Perspektiventren ht dnn die Gleihung = 0. uf dieser Kurve liegt.. uh ds Zentrum des Neun-Punkte- Kreises X 5 ls Perspektiventrum gl. der Umkreismitte M. smptote ist wieder die Euler-Gerde. Diese Kurve der Perspektiventren wird in [] ls eispiel einer pivotl non-isogonl irulr ui K n näher eshrieen. Mn erhält sie us der Neuerg-Kurve, indem mn diese erst m Umkreis spiegelt σ und dnn isogonl-konjugiert * ildet. eeihnet mn für Punkte P der Neuerg-Kurve die Zuordnung des Perspektiventrums mit π, so gilt für die gennnten ildungen P πκ = P σ *. Eine shließende Üersiht eigt die nsprehren Ergenisse. Punkt der Neuerg-K. Perspektiventrum Isog.-konj. ild der pieg. m Umkreis I X79 X80 E X65 H H H X65 F?? F H F m N e? E M X5 --- etrhtet mn u den piegeldreieken von Punkten der Neuerg-Kurve niht die Perspektiventren, sondern die Perspektivhsen, so verlufen diese immer senkreht ur Euler-Gerden. 4. peilfll eines gleihseitigen eugsdreieks

7 Ist ds eugsdreiek gleihseitig, so ist ds piegeldreiek jedes Punktes P perspektiv u. Für Punkte Q des Umkreises entrtet ds piegeldreiek u drei kollineren Punkten, deren Trägergerde prllel ur imson-gerden des Umkreispunktes Q ist. Ordnet mn jedem Punkt P ds Perspektiventrum Z=P seines piegeldreieks u, so erhält mn eine Punktildung der Eene P P. Ds Perspektiventrum P ist ds isogonl-konjugierte ild des Komplements von P, woei mn ds Komplement durh trekung vom hwerpunkt mit dem Fktor 1/ erhält [vgl. Lösungsvorshlg uek]. Fipunkte sind neen den Eken,, uh der Mittelpunkt M des gleihseitigen Dreieks; die mmetriehsen werden uf sih geildet. Die eitengerden werden u Umhpereln, deren smptoten sih unter einem Winkel von 10 shneiden. etrhtet mn ds ild einer Gerden g α β γ llgemein, so erhält mn einen Umkegelshnitt mit der Gleihung α β γ α β γ α β γ = 0. Der vierte Umkreispunkt D des Umkegelshnitts ist ds isogonl-w. isotom-konjugierte ild des Fernpunktes von g; die imson-gerde von D ist senkreht u g. Der Pol der Gerden g gl. ihres ildkegelshnitts ist der Mittelpunkt des gleihseitigen Dreieks. Die Umkegelshnitte eines Gerdenüshels entrten in drei Fällen u sih shneidenden Gerden, wenn die umme der gerihteten stände u wei Eken den gerihteten stnd u der dritten Eke ergit Z.. α β = γ ; dnn ist ein Hperelst die eitengerde und der ndere st die Verindungsgerde von und dem hnittpunkt von g mit.

8 5. Fußpunktdreieke etrhtet mn u einem Punkt P niht ds piegeldreiek, sondern ds ugehörige strekungs-ähnlihe Fußpunktdreiek F F F, so lssen sih entsprehende ussgen mhen. Punkte, deren Fußpunktdreiek uh ev-dreiek ist, liegen uf der Drou-Kurve. Dies ist eine weitere Kurve dritter Ordnung, die gl. der isogonlen Konjugtion invrint ist und ls Pivot-Punkt den DeLonghmps-Punkt L = X0 ht, den piegelpunkt des Höhenshnitts H n der Umkreismitte M []. Weitere Punkte der Drou-Kurve sind.. die Inkreismitte I und die nkreismitten, die Umkreismitte M und der Höhenshnitt H. Drüer hinus ist die Drou-Kurve smmetrish ur Umkreismitte M. Die Perspektiventren liegen dnn uf der Lus-Kurve, eenflls eine Kurve dritter Ordnung, die uh isogonlkonjugiert invrint leit und ls Pivot-Punkt ds isotomkonjugierte ild H^ = X69 des Höhenshnitts ht []. Litertur [1] G.M.Pinkernell ui urves in the tringle plne. Journl of Geometr, Vol , [].Kimerling Enlopedi of tringle enters.- http//fult.evnsville.edu/k6/enlopedi. [] http//perso.wndoo.fr/ernrd.giert Ekrt hmidt - Hsenerg 7 - D 4 Risdorf http//ekrt_shmidt.ei.t-online.de ekrt_shmidt@t-online.de