In diesem Sinne kann man auch a = BE schreiben, nämlich der. BE repräsentiert wird.

Transkript

1 Vekttorrrrehnung effi initti ion des Vekttorrs Will eine meise im Hus us eispiel vom Punkt zum Punkt E dnn muss sie 6 Einheiten gegen die Rihtung Einheiten in Rihtung und Einheiten in Rihtung Kurz: ( 6; ; ) ie direkte Verindung von nh E ist eine Streke mit Rihtung kurz und offiziell ein Pfeil iesele Wegeshreiung führt vom Punkt zum Punkt H und eim Strt von einem Punkt der Gerde () zu einem Punkt der Gerde (EH) usw Geometrish gesprohen ezeihnet die Wegeshreiung ( 6 ; ; ) eine Prllelvershieung efinition: ezeihnung: Ein Pfeil ist eine Streke mit Rihtung ezeihnet einen Pfeil vom Punkt zum Punkt efinition: Ein Vektor im nshuungsrum ist die Menge ller gleihlngen gleihsinnig prllelen Pfeile ezeihnung: Vektoren werden ezeihnet durh: y z emerkung: Ein einzelner Pfeil ist kein Vektor er er ist ein Repräsentnt für den Vektor für die gesmte Menge ller gleihlngen gleihsinnig prllelen Pfeile Kennt mn einen kennt mn lle In diesem Sinne knn mn uh E shreien nämlih der Vektor der durh den Pfeil E repräsentiert wird ezeihnung: eispiel : d ie Wegeshreiungsüerlegung (siehe oen) führt zu einer Koordintenshreiweise für Vektoren: Zu verstehen ls: in in in Rihtung ie Koordinten zuweilen uh Komponenten gennnt werden üereinnder geshrieen In eispiel gilt E 6 Murer: nlytishe Geometrie / Seite 7 () H

2 Murer: nlytishe Geometrie / Seite 8 () n den Koordinten der Punkte (6 ) und E( ) zw (6 6 ) und H( 6 ) sieht mn sofort den folgenden Stz: Stz: Für den Verindungsvektor zweier Punkte ( ) und ( ) gilt: Oder kurz: Spitze minus nfng Gegenvektor: us dem Stz folgt dss sih zwei Vektoren und nur durh ds Vorzeihen der Koordinten untersheiden Mn shreit kurz für Mn nennt den Gegenvektor von Es gilt dnn uh umgekehrt dss Gegenvektor von ist Nullvektor: Sind nfng und Spitze gleih führt der Stz uf den Nullvektor : ddi itti ion von Vekttorren Mit den neuen mthemtishen Ojekten den Vektoren lässt sih rehnen Zum eispiel knn mn Wege zw Vershieungen neinnder hängen sprih ddieren efinition: Vektoren werden komponentenweise ddiert: Sind die Vektoren und gegeen: dnn ist die ddition erklärt durh: eispiel estimme die Summe der Vektoren und

3 emerkung: Geometrish edeutet die ddition der Vektoren ds neinnderhängen der Pfeile Stz: Für die Vektorddition gilt ds Kommuttivgesetz dh die Reihenfolge der Vektoren ht keinen Einfluss uf ds Ergenis: Für die Vektorddition gilt ds ssozitivgesetz dh die Klmmernsetzung ht keinen Einfluss uf ds Ergenis: ( ) ( ) efinition: SMul ltti ipliktti ion von Vekttorren Ein Vektor wird komponentenweise mit einer reellen Zhl multipliziert Sind der Vektor und die reelle Zhl s gegeen: s R dnn ist die SMultipliktion erklärt durh: s s s s eispiel estimme ds Produkt us Vektor k ( ) 6 und Sklr k emerkung: efinition: Geometrish edeutet die SMultipliktion eines Vektors mit einer Zhl die Strekung des zugehörigen Pfeils ie SMultipliktion eines Vektors mit der Zhl liefert den Gegenvektor: ie SMultipliktion eines Vektors mit der Zhl liefert den Nullvektor: ie Sutrktion von Vektoren ergit sih nun ls ddition der Gegenvektors: ( ) Murer: nlytishe Geometrie / Seite 9 ()

4 Stz: emerkung: ufge ufge Mit und ohne GTR möglih Für die SMultipliktion eines Vektors mit einer reellen Zhl gelten folgende Rehengesetze r r r ( ) r s ( r s) r (s ) ( r s) ie Rehenregeln sheinen selstverständlih sind doh entsprehende Gesetze für ds Rehnen mit Zhlen eknnt Wir hen sie hier er für Vektoren formuliert und es wird sih später zeigen dss für Vektoren niht lle Gesetze gelten die für Zhlen gelten (Siehe Kpitel 6) 6 Gegeen sind die Vektoren und estimme die Vektoren y und z ) ) y z 6 d) ( ) z z ) ( ) estimme und 8 Geomettrri ishe nwendungen ei der nwendung der Vektorrehung uf die Geometrie treten Punkte und Vektoren uf Mn muss lso z mit einem Punkt P ( ) und einem Vektor u operieren zwei Ojekte die uf den ersten lik ziemlih unverträglih sheinen Um die Punkte mit Vektoren verträglih zu mhen führen wir den egriff des Ortsvektors ein efinition: emerkung: eispiel : O p P u er Ortsvektor des Punktes ist der Pfeil (!) O vom Ursprung O zum Punkt Ein Ortsvektor ist lso gerde kein Vektor Slopp gesgt ist ein Ortsvektor ein Punkt in Vektorshreiweise er Punkt P( ) ht lso den Ortsvektor p mit knn mn mit Punkt und Vektor rehnen z die ddition: Murer: nlytishe Geometrie / Seite ()

5 eispiel : O p u Mit dem Ortsvektor und mit Hilfe der Vektorsutrktion knn mn nun uh die oen ngegeene eziehung für den Verindungsvektor herleiten: wird uf eiden Seiten sutrhiert und dmit erhält mn lso Spitze minus nfng Strekenmitte Sttrreekkeenmi ittttee m M O Herleitung der Strekenmittenformel sei Ortsvektor von Ortsvektor von dnn gilt für den Ortsvektor m des Mittelpunktes der Streke m m ( ) ( ) qed ( ) eispiel 6 Gegeen sind die eiden Punkte ( ) und ( 7 ) estimme den Mittelpunkt der Streke m ( ) 7 7 er Mittelpunkt der Streke ist lso M ( ) emerkung iese Formel wird häufig enötigt und noh häufiger nein ds geht dnn wohl doh niht flsh gemht eliet ist die Verwehslung mit dem Verindungsvektor: Mi iinnuuss sst ttt Pl lluuss! Im Ürigen kennen wir diese Formel shon us der nlysis itte uf die Shreiweise hten insesondere müssen die Punktund die Vektorshreiweise useinnder gehlten werden Murer: nlytishe Geometrie / Seite ()

6 ufge S E H F G Ein Würfel mit der Kntenlänge steht im Oktnden uf der Eene Er erührt die und hse in den Punkten ( ) und ( ) Zeihne den Würfel im Shrägild Hinweis: Zeihne zuerst in einer getrennten Zeihnung den Grundriss in der Eene uf dem Würfel efindet sih eine senkrehte qudrtishe Pyrmide der Höhe ie ekflähe des Würfels ist gleih der Grundflähe der Pyrmide ) estimme die Mittelpunkte der Knten ES FS GS und HS ) estimme die Verindungsvektoren M ESMFS und M HSMGS Ws fällt uf? ) estimme den Verindungsvektor S d) estimme die Mitte K der Flähe GF estimme den Verindungsvektor KS ufge Ein Quder liegt im Oktnden eine Eke ist der Ursprung und die Kntenvektoren sind und ie vordere oere Knte wird im Verhältnis : geteilt durh den Punkt T woei der Teilpunkt rehts liegt ie hintere rehte Knte wird im Verhältnis : geteilt durh den Punkt R woei der Teilpunkt oen liegt Gi den Verindungsvektor TR in hängigkeit von und n Shweerrpunkktt eei ineess rreei ieekkss Shwerpunkt eines reieks M M S M ie Seitenhlierenden eines reieks shneiden sih in einem Punkt dem Shwerpunkt S er Shwerpunkt S teilt die Seitenhlierenden im Verhältnis : er Shwerpunkt lässt sih us den Ortsvektoren der Ekpunkte erehnen Es gilt: s ( ) Herleitung der Shwerpunktformel Hier wird nur die Shwerpunktformel us dem Teilverhältnis hergeleitet er eigentlihe Stz wird erst im Kpitel ewiesen S teilt M im Verhältnis : lso gilt: S M M ist Verindungsvektor zwishen und M lso gilt wegen Spitze Minus nfng: M m Insgesmt erhält mn somit: s M ( m ) m ( ) ( ) ( ) q e d Murer: nlytishe Geometrie / Seite ()

7 eispiel 7 Gegeen sind die drei Punkte ( ) ( 7 ) und ( ) estimme den Shwerpunkts des reieks m ( ) 7 7 er Shwerpunkt des reieks ist lso S( ) efinition Prrl lleel logrrmm Ein Vierek ei dem zwei gegenüerliegende Seiten prllel und gleih lng sind ist ein Prllelogrmm emerkung Vektoriell formuliert edeutet dies: Gehören die Pfeile und zum selen Vektor dnn ist ds Vierek ein Prllelogrmm Oder in Formelshreiweise: Vierek ist ein Prllelogrmm Entsprehend gilt: Vierek ist ein Prllelogrmm Stz ie igonlen im Prllelogrmm hlieren sih eweis v M O u v Wir wählen im Prllelogrmm den Punkt ls Koordintenursprungspunkt O Es seien u und v Ortsvektoren von und sind dnn: O u O v O u v Für die Mitte M der igonlen erhält mn dnn mit der Mittelpunktformel: m ( O O) ( u v ) ( u v ) Für die Mitte M der igonlen ergit sih: m ( O O) ( u v ) ie Mittelpunkte der igonlen M und M sind somit identish dh die igonlen hlieren sih eispiel 8 Gegeen sind die drei Punkte ( ) ( 7 ) und ( ) Ergänze ds reieks durh einen Punkt zu einem Prllelogrmm Murer: nlytishe Geometrie / Seite ()

8 Murer: nlytishe Geometrie / Seite () Weg: mit Mittelpunktsformel er igonlenshnittpunkt M ist die Mitte von ( ) m M( ) M ist uh Mitte von lso gilt uh ( ) d m uflösen nh d führt üer d m zu m d 7 er vierte Punkt des Prllelogrmms ist lso ( ) Weg: d O mit der Skizze entnimmt m d d Für erhält mn wieder ( ) ufge Gegeen sind die vier Punkte ( ) ( ) ( ) und ( ) Untersuhe um welhe rt von Vierek es sih hndelt ufge 6 Ein Tetreder ist eine dreiseitige Pyrmide deren vier Flähen gleihseitige reieke sind (Siehe ufge ) Es gilt: In einem Tetreder teilt der Shwerpunkt die Höhe (nämlih die Streke S zwishen dem Shwerpunkt der Grundflähe und der Spitze) im Verhältnis zu Leite mit dieser eziehung die wir derzeit noh niht eweisen können eine Formel für den Shwerpunkt des Tetreders her ufge 7 Verindet mn die Mittelpunkte der sehs Flähen eines Würfels so wie in der ildung drgestellt dnn erhält mn ein Okteder ein htflh Es seien und N rüke die Vektoren EK GK FK HK EF und FG durh die drei Vektoren und us Hinweis: rüke zunähst G F E et durh und us L N K H E G F

9 ufge 8 K N H E F G Verindet mn die Shwerpunkte der ht Flähen eines Okteders so wie in der ildung drgestellt dnn erhält mn einen Würfel ie ezeihnungen sind wie ei der vorigen ufge gewählt Es seien u EL v EF und w EK rüke die Vektoren und N durh die drei Vektoren u v und w us L ufge 9 Eine dreiseitige Pyrmide ist gegeen durh die Punkte ( ) ( 8 8 ) und ( 6 ) und die Spitze ( 6 ) ) Zeihne die Pyrmide im ülihen Shrägild Zeihne uh die Höhe ein ) estimme den Shwerpunkt S des reieks und die Mitte M der Knte estimme den Verindungsvektor SM Es gelte: u v w ) Gi die Verindungsvektoren der Kntenmitten zw Shwerpunkte M M und S S in hängigkeit von u v w n Ws fällt uf? ufge Gegeen ist ds reiek durh die drei Punkte ( ) ( 6 8 ) und ( 6 ) estimme die Seitenmitten erehne den Verindungsvektor Vektor Linerrkomi intti ionen M M und vergleihe ihn mit dem Wir hen nun häufig genug usdrüke der Form enutzt um ihnen jetzt endlih einen Nmen zu geen efinition: Sind Vektoren und reelle Zhlen so heißt Linerkomintion (LK) der Vektoren eispiel 9: Gegeen sind die drei Vektoren Stelle zeihnerish und rehnerish den Vektor ls Linerkomintion der zwei Vektoren dr Murer: nlytishe Geometrie / Seite ()

10 Murer: nlytishe Geometrie / Seite 6 () Zeihnerishe Mn liest etw 8 y etw Rehnerishe y y y y () y y eispiel : ie drei Vektoren z y und sind ls Linerkomintionen der Vektoren gegeen: y z Stelle z y w ls Linerkomintion von dr z y w ) ( ) ( ) ( 9 eispiel : Gegeen sind und ls LK von estimme die Koordintendrstellung des Vektors 6 lso 6 eispiel : Gegeen sind und 8 Lässt sih ls LK von drstellen? y

11 Murer: nlytishe Geometrie / Seite 7 () Es sind lso die drei Koeffizienten zu estimmen die die Gleihung 8 lösen Oder nders formuliert es ist ds linere Gleihungssystem (LGS) zu lösen: 8 Mi it t Guussss ooddeerr mi it t GTTR Lösung des LGS mit dem Gußlgorithmus 8 () () ) ( 8 Von unten nh oen ergit sih: lso () lso lso Ergenis: Proe: 8 ufge : Vernshulihe die Gesetze für die SMultipliktion durh Pfeile Prüfe die Gesetze ußerdem n Hnd der efinition nh ufge : Ergänze ds reiek mit ( ) ( ) und ( ) zu einem Prllelogrmm Es git eine zweite Prllelogrmmergänzung E ufge : Gegeen sind die Vektoren 7 soll ls Linerkomintion der Vektoren drgestellt werden ufge : oohhnnee GTTR!!!! er Vektor soll ls Linerkomintion der Vektoren drgestellt werden Ws fällt uf? u wei flshe Rihtung Ni wie weg

12 ufge : ufge 6: ufge 7: mi iit t GTR ufge 8: Stelle zeihnerish und rehnerish jeden der drei Vektoren ls Linerkomintion der eiden nderen dr Löse folgende Vektorgleihungen nh uf s ( ) ) r ( ) s ; ) r ( ) s ( ) s ( ) er Vektor soll ls Linerkomintion der Vektoren drgestellt werden Von einer dreiseitige Pyrmide seien die Ekpunkte ( 8 ) ( 6 ) und ( ) der Grundseite und die Spitze ( ) gegeen ie vier Shwerpunkte E F G und H der Flähen der Pyrmide ilden wieder eine dreiseitige Pyrmide estimme die Koordinten der Punkte E F G und H estimme die zusmmen Kntenvektoren der eiden Pyrmiden Ws fällt uf? ufge 9: sei ein elieiges Vierek die vier Punkte müssen lso uh niht in einer Eene liegen M M M d M M Zeige: Verindet mn die Seitenmitten M M M und M d fortlufend miteinnder so ergit sih ein Prllelogrmm (Stz von Vrignon) Zunähst einml ein Zhleneispiel gefällig? Hier ist es: ( ) ( 6 ) ( ) und ( ) ufge : Eine kleine Vorstellungsüung: Wie liegen die folgenden Vektoren im Rum? d und e Murer: nlytishe Geometrie / Seite 8 ()

13 Jetzt h ih mir er eine kleine Puse verdient Frgestellung: Linerre hängigkeitt von zzweii Vekttorren Zwei Vektoren können "prllel" liegen rei Vektoren können "prllel zu einer Eene" liegen Solhe Lgeesonderheiten wird mn in der Koordintenrstellung der Vektoren niht sofort erkennen Wir enötigen lso Kriterien um diese Frgen rehnerish zu klären er zunähst ekte Sprehweisen: efinition: Zwei Vektoren heißen liner hängig oder kolliner wenn ihre Pfeile zueinnder prllel sind rei Vektoren heißen liner hängig oder komplnr wenn ihre Pfeile prllel zu einer Eene sind Kriterium für Kollinerität eispiel eispiel emerkung ie Vektoren und sind liner hängig (kolliner) wenn sie Vielfhe voneinnder sind dh es git ein k mit k oder k Prüfe o die Vektoren liner hängig (kolliner) sind k k nstz: k oder k dh k k k lso sind und liner hängig (kolliner) Prüfe o die Vektoren kolliner sind k k nstz: k oder k dh k k k Es git lso kein k ds lle drei Gleihungen erfüllt dh und sind niht liner hängig (kolliner) Mit der rehnerishen ehndlung der lineren hängigkeit von drei Vektoren der Komplnrität werden wir uns erst im Kpitel efssen Murer: nlytishe Geometrie / Seite 9 ()

14 Geomettrri ishe nwendungen eispiel : Trpez Zeige dss ds Vierek mit den Punkten ( ) (6 7 ) ( ) und ( ) ein Trpez ist Zur Erinnerung zunähst die efinition eines Trpezes: Ein Vierek mit zwei prllelen Seiten ist ein Trpez Wir prüfen o die Streken und prllel sind ies können wir vektoriell üerprüfen indem wir untersuhen o die Vektoren und kolliner zw liner hängig sind d nstz: k 6 k oder ls LGS k 6 k lso k ie Vektoren und sind liner hängig und dmit sind die Streken und prllel s Vierek ist lso ein Trpez ± ist ds Vierek kein Prllelogrmm k emerkung ufge ufge Hätte sih ergeen dss und liner unhängig sind dnn hätten wir drus noh niht shließen können dss ds Vierek kein Trpez ist; wir hätten dnn prüfen müssen o und liner hängig sind Prüfe o die vier Punkte und in einer Eene liegen ( ) ( ) ( 6 ) und ( ) Vertusht mn die Koordinten des Punktes P( ) uf lle möglihen rten dnn erhält mn sehs Punkte Zeige dss diese Punkte lle in einer Eene liegen Murer: nlytishe Geometrie / Seite ()

15 ufge ufge Gegeen sind die Punkte (6 ) ( ) ( ) und ( 8 6) s reiek ildet die Grundflähe und der Punkt die Spitze einer dreiseitigen Pyrmide R S T und U sind die Mittelpunkte der Seiten und Zeihne die Pyrmide im Shrägild und zeige dss ds Vierek RSTU ein Prllelogrmm ist Hinweis: Mn knn einfh Shritt für Shritt vorgehen und wird keine großen Hindernisse uf dem Weg zum Ziel vorfinden Wer ful und gedähtnisstrk ist weiß: s geht uh ohne jede Rehnung Ein Würfel der Kntenlänge m liegt im Oktnden (siehe ildung) P teilt die vordere oere Knte Q die hintere rehte Knte jeweils im Verhältnis : ) estimme den Verindungsvektor PQ R P Q ) R hliert die linke oere Knte T liegt uf der Streke Wo muss T liegen dmit die Punkte P Q R und T in einer Eenen liegen? Murer: nlytishe Geometrie / Seite ()