Die Näherung ist umso genauer, je kleiner die Zellen sind. Der Grenzwert ist

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1 Höhere Mthemtik Mehrfhintegrle sind Integrle üer eiete R n Zweifhintegrle treten B ei der Berehnung des Fläheninhltes und von Flähenträgheitsmomenten uf Dreifhintegrle kommen ei der Berehnung des Volumeninhltes und von Mssenträgheitsmomenten vor Sie sind ußerdem ein wihtiges Hilfsmittel in der Kontinuumsmehnik Integrle höherer Dimension werden B in der Whrsheinlihkeitsrehnung und Stohstik enötigt Integrle mit konstnten Integrtionsgrenen Die Msse M eines Quders mit der konstnten Dihte ρ und dem Volumen V erehnet sih u M = V Wenn die Dihte niht konstnt ist, so wird der Quder in N Zellen erlegt Ds Volumen der i-ten Zelle ist V i = i i i Für die Msse einer Zelle gilt näherungsweise M i = i, i, i V i, woei i, i, i die Koordinten eines Punktes innerhl der i-ten Zelle sind Die Summe der Mssen ller Zellen ist eine Näherung für die gesmte Msse des Quders: N M i= N M i = i, i, i V i i = Die Näherung ist umso genuer, je kleiner die Zellen sind Der renwert ist M = lim N N i i, i, i V i =,, dv Q Dei ist dv =d d d ds infinitesimle Volumenelement und Q={,, } R 3 ds Integrtionsgeiet Die prktishe Berehnung des Integrls erfolgt, indem der Reihe nh üer die Vrilen, und integriert wird: Q,, dv =,, d d d Die Berehnung wird dmit uf die mehrfhe Berehnung estimmter Integrle urükgeführt Bei der Berehnung des Integrls üer werden die Vrilen und ls Konstnten ehndelt Ds Ergenis ist eine Funktion der eiden Veränderlihen und Bei der n- Δ Δ Δ FH Lndshut - Prof Dr Wndinger

2 Höhere Mthemtik shließenden Integrtion üer wird die Vrile ls Konstnte ehndelt Ds Ergenis ist eine Funktion von Die erste Integrtion liefert die Msse eines infinitesimlen Quders der Kntenlängen, Δ und Δ Die weite Integrtion liefert die Msse eines infinitesimlen Quders der Kntenlängen, und Δ Die dritte Integrtion liefert shließlih die gesmte Msse Δ Δ Δ Bei konstnten Integrtionsgrenen knn die Reihenfolge der Integrtionen elieig gewählt werden Beispiel: Für einen Quder Q={,, } R 3,, = e erehnet sih die Msse u mit der Dihte M = = = e e d d d = = =d = e = d d = e d = = 4 e == 4 e e d d Zur Üung knn nhgewiesen werden, dss uh gilt M = e d d d= e d d d FH Lndshut - Prof Dr Wndinger

3 Höhere Mthemtik Verllgemeinerung: Sei Q={ i i i, i=,, n } R n ein offener Quder im R n und f :Q R eine uf Q definierte Funktion Dnn gilt: Q n f dv = n n n n n f d d n d n d n Die Reihenfolge der Integrtionen knn elieig gewählt werden Bemerkung: Bei Integrtion üer weidimensionle eiete wird us dem Quder ein Rehtek Anstelle der Beeihnung dv für ds Volumenelement werden die Beeihnungen da, ds oder df für ds Flähenelement verwendet (von re, surfe und Flähe) Integrle mit vrilen Integrtionsgrenen Wenn ds eiet, üer ds integriert wird, kein Quder ist, dnn hängen die renen der einelnen Integrle von den Vrilen Sei ={, f f } R und : R eine uf definierte Funktion ein eiet Ds Integrl der Funktion, üer ds eiet erehnet sih u, ds= f, d d f Die erste Integrtion führt uf eine Funktion von, die nshließend üer ds Intervll, integriert wird Ist dgegen ein eiet ={, g g } R sih ds Integrl u, ds= g, d d g gegeen, so erehnet Die Reihenfolge der Integrtionen hängt jett dvon, wie die renen des eietes definiert sind, üer ds u integrieren ist Als erstes wird üer eine Vrile integriert, die niht in einer Integrtionsgrene vorkommt Dieses Vorgehen wird so lnge wiederholt, is lle Integrtionen usgeführt sind Beim letten Integrl müssen die Integrtionsgrenen Konstnten sein f () f () Beispiel: Integrtion üer ein Dreiek egeen ist ds eiet ={, } R Funktion, = üer esuht ist ds Integrl der FH Lndshut -3 Prof Dr Wndinger

4 Höhere Mthemtik Lösung: Die Integrtionsvrile kommt in keiner Integrtionsgrene vor Also wird uerst üer integriert ds= = 4 d d = 4 3 = 6 = = 4 6 = 5 = = d= 3 d Beispiel: Integrtion üer ein räumlihes eiet egeen ist ds eiet ={,, } R 3 ds Integrl der Funktion,, = üer esuht ist Lösung: Die Integrtionsvrile kommt in keiner Integrtionsgrene vor Also wird uerst üer integriert Anshließend wird üer und ulett üer integriert dv = 3 = d V 3 d= 6 = 3 d 3 d = d d d = = 4 = d= d = Beispiel: Berehnung der Flähe des Einheitskreises = = = 3 Die Flä- Ds eiet des Einheitskreises wird eshrieen durh ={, } he des Einheitskreises ist ds Integrl der Funktion, = üer Mit f = und f = lässt sih ds eiet des Einheitskreises in der Form ={, f f } shreien Dmit erehnet sih die Flähe u S= ds= d d= d= = rsin = = rsin = 3 Integrtion in krummlinigen Koordintensstemen Oft lässt sih die Berehnung von Mehrfhintegrlen erhelih vereinfhen, wenn sttt der krtesishen Koordinten n ds Integrtionsgeiet ngepsste krummlinige Koordinten verwendet werden 3 Polrkoordinten In Polrkoordinten wird die Lge eines Punktes in der Eene durh seinen Astnd r vom Ursprung und den Winkel wishen seiner Verindungsgerde durh den Ursprung und der -Ahse ngegeen Zwishen den krtesishen Koordinten, und den Polrkoordinten r, esteht der Zusmmenhng FH Lndshut -4 Prof Dr Wndinger

5 Höhere Mthemtik r, = r os r, = r sin, r Die Umkehrung ist r, =, = rtn,, R Die Kurven, uf denen konstnt ist, sind vom Nullpunkt usgehende Hlgerden, während r uf Kreisen um den Ursprung konstnt ist φ r Die Tngentenvektoren n diese Kurven sind gegeen durh r = r =os e sin e φ r und = = r sin e r os e φ Ds Flähenelement ds ist durh die Determinnte der infinitesimlen Vektoren r dr und d gegeen: ds =det r dr, d os dr r sin d = sin dr r os d =r d dr rdφ ds dr Dmit erehnet sih ds Integrl u f, ds= f r, r d dr mit f r, = f r os,r sin und ={ r, r=r, =,, } Beispiel: Berehnung der Flähe des Einheitskreises Für den Einheitskreis ist ={ r, r } Die Kreisflähe erehnet sih u S= r d dr= 3 Zlinderkoordinten r dr d = r r= r= d = d = Zlinderkoordinten sind die Erweiterung von Polrkoordinten uf den R 3, indem die Höhenkoordinte hinugefügt wird Für den Zusmmenhng wishen den krtesishen Koordinten,, und den Zlinderkoordinten r,, gilt lso: dφ r FH Lndshut -5 Prof Dr Wndinger

6 Höhere Mthemtik r,, = r os r,, = r sin r,, = φ Die Umkehrung ist r,, =,, = rtn φ r r,, = Die Kurven, uf denen und konstnt sind, sind von der -Ahse usgehende Hlgerden, die prllel ur -Eene sind Die Kurven, uf denen r und konstnt sind, sind Kreise um die -Ahse, und die Kurven, uf denen r und konstnt sind, sind erden prllel ur -Ahse Die Tngentenvektoren n diese Kurven erehnen sih u r = r = os e sin e = = r sin e r os e = = e Ds Volumenelement dv ist durh die Determinnte der infinitesimlen Vektoren r dr, d und d gegeen: = os dr r sin d dv =det r dr, d, d sin dr r os d =r d dr d d Ds Integrl erehnet sih u f,, dv = f r,, r d dr d mit f r,, = f r os,r sin, ist die Menge ller r,,, u denen es Punkte,, git Beispiel: Integrtion üer einen Kegel In Zlinderkoordinten entspriht ds eiet ={ r,, r r } einem Kegel mit Rdius und Höhe Ds Integrl der Funktion f,, = üer den Kegel erehnet sih u FH Lndshut -6 Prof Dr Wndinger

7 Höhere Mthemtik dv = = r os r d dr d= = r r 3 os d dr d r 3 r os dr d = os r 4 4 r 5 os d = = 4 sin = = r= 5 r= d 33 Kugelkoordinten In Kugelkoordinten wird die Lge eines Punktes im Rum durh den Astnd r vom Ursprung, den Polwinkel und den Meridinwinkel eshrieen Für die krtesishen Koordinten gelten die leihungen r,, = r sin os r,, = r sin sin r,, = r os Die Umkehrung ist r,, =,, = ros,, = rtn Für die Tngentenvektoren n die Koordintenkurven folgt drus: r = r = = sin os e sin sin e os e = r os os e r os sin e r sin e = = r sin sin e r sin os e Für ds Volumenelement dv gilt: = sin os dr r os os d r sin sin d dv =det r dr, d, d sin sin dr r os sin d r sin os d os dr r sin d =os dr r os sin d d r sin d r sin dr d = os sin r sin dr d d =r sin dr d d Ds Integrl erehnet sih u f,, dv = f r,, r sin d d dr mit f r,, = f r sin os,r sin,r os ist die Menge ller r,,, u denen es Punkte,, git φ θ r θ φ FH Lndshut -7 Prof Dr Wndinger

8 Höhere Mthemtik Die Kugelkoordinten werden uh ls sphärishe Koordinten oder ls sphärishe Polrkoordinten eeihnet Beispiel: Hlkugel In Kugelkoordinten entspriht ds eiet = { r,, r } einer Hlkugel mit Rdius Ds Integrl der Funktion erehnet sih u dv = = r os r sin dr d d = = 3 r / sin d dr d = r= r4 4 r= r 3 dr d = Ds Volumen der Hlkugel ist V = dv = = / r sin dr d = sin r3 r= / d 3 d = r= 3 d = 8 f,, = üer die Hlkugel / r 3 os sin d dr d = / r 3 os = d = 4 r sin dr d d os = /= d = 3 Dmit gilt für die -Koordinte des Volumenshwerpunktes: d = 3 dr d S = V dv = Allgemeine krummlinige Koordinten Allgemeine krummlinige Koordinten sind definiert durh die Aildung u, v, w = F u, v, w u, v, w = F u, v, w u, v, w = F u, v, w, die ein eiet R 3 umkehrr eindeutig uf ein eiet R 3 ildet Die Koordintenkurven sind die Kurven, die sih ergeen, wenn jeweils nur eine der drei Koordinten u, v, w geändert wird, während die nderen eiden Koordinten konstnt gehlten werden Die Tngentenvektoren n die Koordintenkurven sind u = u, v= v, w= w Für ds Volumenelement gilt: FH Lndshut -8 Prof Dr Wndinger

9 Höhere Mthemtik u dv =det u, v, w dudv dw= u u v v v w dv dw= J du dv dw w w du Die Determinnte J wird ls Joi-Determinnte eeihnet Ds Integrl erehnet sih u f,, dv = f u, v, w J du dv dw mit f u, v, w = f F u, v, w, F u, v, w, F u, v, w Ds eiet wird durh die Koordintentrnsformtion uf ds eiet geildet Die für den R 3 ngegeenen Formeln lssen sih leiht uf den R n üertrgen Beispiel: Elliptishe Koordinten Elliptishe Koordinten im R sind definiert durh die Trnsformtionsgleihungen u, v = osh u os v u, v = sinh u sin v, u v Aus den Eigenshften der trigonometrishen Funktionen und der Hperelfunktionen folgt und osh u sinh u =osv sin v = os v sin v =osh u sinh u = Die Kurven, uf denen u konstnt ist, sind Ellipsen mit den Hlhsen =osh u und =sinh u, während die Kurven, uf denen v konstnt ist, Hpereln sind Die Tngentenvektoren erehnen sih u und u = u =sinh u os v e osh u sin v e v = v = osh u sin v e sinh u os v e Die Joi-Determinnte ist J = sinh u os v osh u sin v osh u sin v sinh u os v =sinhu os v osh u sin v FH Lndshut -9 Prof Dr Wndinger

10 Höhere Mthemtik Ds eiet ={ u, v u v } wird uf ds von einer Ellipse mit den Hlhsen =osh und =sinh eingenommene eiet geildet Die Flähe dieser Ellipse erehnet sih u S= = = os J du dv= v os sinh u os v osh u sin v du dv sinh u du sin v osh u du dv u= v sinh u osh u sin u v u= sinh u osh u u u= = sinh osh dv =sinh osh sin v os v dv os v dv= u= dv FH Lndshut - Prof Dr Wndinger