1 Integration im R Das Volumen im R 3

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1 1 Integrtion im s Volumen im 3 Wir wollen ds Volumen zwishen dem Grphen einer Funktion f : und der x y Ebene bestimmen. bei werden, wie bei univriten Funktionen, die Teile oberhlb der x y Ebene positiv und unterhlb negtiv gezählt. Beispiel: ie Funktion f : [, 2π [, 1], sin(x hängt niht von y b. s Volumen sollte lso sein, d der Grph, wegen der Symmetrie der Sinusfunktion, zu gleihen Teilen oberhlb und unterhlb der x y Ahse liegt. ie Idee ist nun, für eine ist nun für 2 und f : den efinitionsbereih in Kurven ufzuteilen und für diese Kurven ds Linienintegrl für f zu bestimmen. In einem zweiten Shritt werden ll diese Flähen ufgesmmelt durh ein weiteres Integrl. ies ist motiviert durh folgende Interprettion des Integrls f : [, b]. Fssen wir die Punkte zwishen dem Grphen von f und der x Ahse uf ls Vereinigung ller Streken von (x, nh (x, f (x für lle x [, b] uf, so ist die Strekenlänge (oberhlb der x Ahse positiv, unterhlb negtiv gezählt: f (x f (x 1dt und b f (x dx b ( f (x 1dt dx efinition: Für eine Kurve : [, b] n ist die Bogenlänge definiert ls L( : b (t dt Beispiel: Sei (t r(os(t, sin(t t. nn ist (t r( sin(t, os(t t lso (t r. Wir hben lso L( 2π lso den Kreisumfng des Kreises mit dius r. rdt 2πr

2 efinition: Für eine ndbp Kurve, d.h. (t : [, b] n, (t 1 für lle t [, b], ist ds Linienintegrl erster Art für eine Funktion f : definiert ls f (sds b f ((tdt Ist (t eine beliebige Kurve, so gilt: b f (sds f ((t (t dt Bemerkung: Ist F eine Stmmfunktion von f ((t, so gilt f (sds F(b F(. s Linienintegrl hängt lso nur b von den Werten der Stmmfunktion n den beiden Stellen und b. Beispiel: Ist (t r(os(t, sin(t für t [, 2π, und h, so beshreibt (r os(t, r sin(t, h einen Kreis mit dius r in Höhe h. Es ist h(sds 2π hrdt 2πhr lso die Mntelflähe des Zylinders mit dius r und Höhe h. efinition: Eine treue Prmetrisierung von ist eine Kurvenshr α (t, α [ α, d α ], t [, b], so dß α(t 1 für lle t [, b] und es gilt: α (t β (t α β Weiter gelte für jedes x : Es ist x α (t für genu ein α [, d] und t [, b]. ( ( x Beispiel: i Ist f : [, b], dnn gilt für festes x : x (t + t für 1 ( ( x t [, f (x ] ist die Verbindungstreke zwishen und. Es ist x (t f (x x1 (t x x 1. Es ist die Bogen länge von x gleih x 1ds f (x 1dt f (x. Summiert mn lle diese Bogenlängen mit dem Integrl b f (x dx uf, so ist ds ds gewöhnlihe Integrl. ii Ein Kreis mit dius r um ist durh ρ(ϕ r(os(ϕ, sin(ϕ, ϕ [, 2π prmetrisiert. Allerdings ist dies keine Prmetrisierung nh der Bogenlänge. eshlb betrhten wir r (t r(os( 1 r ϕ, sin( 1 r ϕ, ϕ [, 2πr. nn ist r f (sds 2πr f (r(os( 1 r ϕ, sin(1 r ϕdϕ Nun ist 2π r f (ρ(ψdψ

3 denn, wegen der Kettenregel für univrite Integrle, gilt: Ist ψ ϕ r, so ist dψ 1 r dϕ. Außerdem ist (t 1. rüberhinus hben Kreise mit dien r 1 und r 2 um für jedes ϕ den gleihen Abstnd. Also ist ( der Kreis um mit dius treu prmetrisiert durh die Kurvenshr r (ϕ r os 1r ϕ ( sin 1r ϕ ( ( x iii Eine ehtek : [, b] [, d] 2 wir durh x (t + t für t [, d] 1 treu prmetrisiert. Für eine Funktion f : gilt: b ( b x (tdt dx ( d f (x, tdt dx efinition: Ist und durh α (t, α [, b], t [, d] treu prmetrisiert, so definieren wir b ( d f (x, y : α dt dα Konvention: Um Klmmern zu spren, werden iterierte Integrle von innen nh ußen gelesen, lso b d b ( d f (x, y dydx f (x, ydy dx ( x Beispiel:i Sei { y x 2 + y 2 }, f :, 1. Wir htten oben eine treue Prmetrisierung von Kreisen gesehen, mit der ist: 2π lso die Flähe des Kreises mit dius. 1 r dϕ dr ii Ist [, b] [, d] und f :, 1, so gilt b d 2πr dr 2π 1 2 r2 π2 1 dtdx (d (b lso die Flähe des ehteks ( x iii Sei Sei { x 2 + y 2 }, f :, y 2 x 2 y 2, d.h. der Grph von f ist die obere Hlbkugel der Kugel um mit dius. nn gilt: 2π 2 x 2 y 2 2 r 2 os(ϕ 2 r 2 sin(ϕ 2 r dϕdr o 2π 2 r 2 ( 2r 1 2 dφdr

4 Mit der Substitution s g(r 2 r 2 erhlten wir: π 2 sds π 2 lso ds Volumen der hlben Kugel mit dius. s obige zeigt den folgenden 2 3 sds π r r 2 r π3 Stz: i Integrtion über ehteke: Ist [, b] [, d] ein ehtek, f :, so gilt b d f (x, ydydx ii Integrtion in Polrkoordinten: Ist {(r, ϕ r 1 r r 2, ϕ 1 ϕ ϕ 2 } ein polres ehtek, so gilt: r2 ϕ2 r 1 ϕ 1 f (r os(ϕ, r sin(ϕr dϕdr Ahtung: Beim Übergng zu Polrkoordinten niht den Fktor r vergessen! Hinweis: Bei diesen Integrltypen dürfen die Integrle vertusht werden, ws mnhml eine Berehnung erleihtert bzw. überhupt erst möglih mht. Beispiel:Ist 2x und [, 1] [, 3], so ist F(x, y x 2 y. er Grph vom f und ds ehtek beshreiben lso ein Prism. ( essen Volumen ist Es ist Weiter ist 1 3 2xdydx x 2 y x1 x y3 y (1 2 ( x(3 dy 6 2 x2 x1 x xdxdy Beispiel: Wir betrhten unser Beispiel vom Anfng: f : [, 2π [, 1], sin(x. nn ist 2π 1 sin(x dydx 2π 2π os(xdx os(xy y1 y dx Stz: s Integrl f (x, y ist niht bhängig von der Art der treuen Prmetrisierung von. Stz: Ist f : [, b] [, d] von der Form g(xh(y, so gilt: b g(xdx d h(ydy

5 Gund: d b h(ydy d f (x, ydxdy b d g(xh(ydydx b g(x d h(ydy b g(xdx Beispiel: ie Funktion f (x e x2 besitzt keine Stmmfunktion, die mn ufshreiben könnte. Mn knn sih ber wie folgt behelfen: Sei E : e x2 dx. nn gilt: E 2 e x2 dx er Übergng zu Polrkoordinten liefert: 2π e r2 r dϕdr 2π e y2 dy e r2 ( 2r ies liefert mit der Substitution t r 2, lso dt 2rdr: Also erhlten wir: E π π e t dt π(e e π e x2 y 2 dxdy ( 1 dr 2 efinition: Eine Bereih 2 der Form {(x, y x b, u(x y v(x für Funktionen u, v : [, b] heißt Normlbereih bezüglih der x Ahse. Stz: Ist ein Normlbereih bezüglih der x Ahse und f :, so gilt b v(x (( x Grund: Sei Wir betrhten x (t : f eine treue Prmetrisierung von und es gilt: b u(x f (sds f (x, ydydx ( + t 1 b v(x für t [u(x, v(x]. nn ist u(x f ((tdt b v(x u(x f (x, tdtdx Ahtung: Hierbei dürfen die Integrle niht vertusht werden. Betrhten wir zum Beispiel 1 x x 2 1dydx 1 x x2 dx 1 2 x2 1 3 x Vertushen wir jedoh die Integrtionen so erhlten wir : x lso keine konkrete Zhl, so dß ds keinerlei Sinn ergibt. x 2 1 1dxdy x x 2 1dy x 2 x,