4. Integration. Wozu Integralrechnung?

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1 MA 4- Wozu? Flächeninhlt eines von einer Kurve egrenzten Bereiches Volumen elieiger Körper Oerflächeninhlt elieiger Körper Wozu Integrlrechnung? MA 4- Mit vriler Geschwindigkeit zurückgelegter Weg Geometrischer Mittelpunkt einer elieigen Fläche Länge eines Kurvenstücks Mittelwert einer Funktion in einem Intervll

2 Definition 4.: Intervlle MA 4-3 Sei IR und IR. [,] = def { IR } heißt geschlossenes Intervll. (,) = def { IR << } heißt offenes Intervll. Idee zur Definition des Integrls MA 4-4 Oersumme( ) Untersumme( ) Die Funktion f heißt in [,] integrierr, wenn gilt lim Oersumme( ) = lim Untersumme( ) 0 0 Dieser Wert heißt ds Integrl von is üer f und wird mit ezeichnet d

3 Stz 4.: Integrierrkeit MA 4-5 Ist f uf [,] stetig, so ist f dort integrierr Ist f uf [,] stückweise stetig, so ist f dort integrierr Ist f uf [,] monoton und eschränkt, so ist f dort integrierr Integrl flls MA 4-6 Wir definieren: d = d = def def 0 d 3

4 Stz 4.: Additivität zgl. Integrtionsintervllen MA 4-7 Ist f uf [,c] integrierr, dnn gilt d + c d = c d d c d c Stz 4.3: Mittelwertstz der Integrlrechnung MA 4-8 Ist f stetig in [,], dnn git es ein [,], sodss f(t)dt = ( ) f(t) t 4

5 Stz 4.4: Differentition und Integrtion MA 4-9 Ist die Funktion f stetig in [,], so ist die Funktion F mit F() = f(t)dt in [,] differenzierr und F () = für lle [,]. = F () Fläche = F() Definition 4.: Stmmfunktion MA 4-0 Eine Funktion G heißt eine Stmmfunktion von f im Intervll [,], wenn G uf [,] stetig ist und G () = für lle (,) gilt. 5

6 Stz 4.5: Stmmfunktionen MA 4- Sind F und G Stmmfunktionen der Funktion f im Intervll [,], dnn eistiert ein c IR, sodss F() = G()+c für lle [,]. Ist F in [,] eine Stmmfunktion von f und c IR, dnn ist uch F+c eine Stmmfunktion von f. Stz 4.6: Huptstz MA 4- Der Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Die Funktion f sei uf [,] stetig. Ist G in [,] eine Stmmfunktion von f, dnn ist f(t)dt = G() G() 6

7 Unestimmtes Integrl MA 4-3 Ist F eine Stmmfunktion der Funktion f, so wird d = F() + c ls unestimmtes Integrl ezeichnet. c ist eine elieige reelle Zhl und heißt Integrtionskonstnte. Bei dem unestimmten Integrl hndelt es sich lso um die Menge der Stmmfunktionen von f. Schreiweise zur Berechnung eines Integrls MA 4-4 [ F() ] = F() F() def Ist F in [,] eine Stmmfunktion von f und f uf [,] stetig, dnn ist f (t)dt = [ F() ] 7

8 Stz 4.7: Linerität des Integrls MA 4-5 Die Funktionen f und g seien in [,] stetig und α IR. Dnn gilt αd = α d und (f + g)()d = d + g()d Integrl ei negtiven Funktionswerten MA 4-6 d d = d - 8

9 Stz 4.8: Prtielle Integrtion MA 4-7 Sind die Funktionen f und g uf dem Intervll [,] differenzierr, dnn gilt f () g()d = [ g() ] g ()d Stz 4.9: Vrilensustitution MA 4-8 Die Funktion g sei im Intervll [,] differenzierr und die Funktion f im Intervll [g(),g()] stetig. Dnn gilt f(g()) g () d = g() g() f(u) du 9

10 Anwendung des Integrls: Volumenerechnung MA 4-9 Beispiel: Fss 30 cm = cm 40 cm Volumenerechnung () MA 4-0 Fläche = π [] Volumen = π [ ] d 0

11 Volumen unter einer Funktion MA 4- z y f(,y) 3 = y G = { (,y) 0, y 0, +y } Volumenerechnung durch Doppelintegrl () MA 4- z G = { (,y) 0, y 0, +y } f(,y) 3 = y y y F(y) = f(, y) d = 0 V = F(y) dy = y y= 0 y= 0 = 0 f(, y) d dy

12 Volumenerechnung durch Doppelintegrl () MA 4-3 z G = { (,y) 0, y 0, +y } f(,y) 3 = y y F() = y= 0 f(, y) dy V = F() d = = 0 = 0 y= 0 f(, y) dy d Stz 4.0: Stz von Fuini z f(,y) MA 4-4 Sei G IR und G = = { (,y) = = ψ () =y =ψ () } = = { (,y) c =y =d ξ (y) = =ξ (y) }. Die Funktion f:g IR sei uf G integrierr. Dnn gilt ξ (y) ψ () y ξ (y) ψ () G = ψ f(,y) dy d = () d f(,y) d dy = y= ψ () y= c =ξ (y) G ξ (y) f(,y) ddy