Basiswissen zur Differential- und Integralrechnung

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1 Bsiswissen zur Differentil- und Integrlrechnung Grevenstette / Linz Oktober 2007/ Oktober 200 Knn noch Druckfehler enthlten! Funktionen, Stetigkeit Funktionstypen: e, ln, sin, cos, tn, cot sinh, cosh, tnh, coth + deren Umkehrfunktionen. Differenzierbrkeit, Ableitung Ableitung elementrer Funktionen Produkt-, Quotienten- und Kettenregel Tylor-Entwicklung, l Hospitl sche Regel. Riemnn-Integrl, Integrbilität, Stmmfunktion Grundintegrle Integrtionsmethoden: Prtielle Integrtion, Substitutionsregel, prmetrische Integrtion, Tngens zum hlben Winkel-Trick Funktionen A, B seien Mengen, R = Menge der reellen Zhlen. Abbildung: Vorschrift f : A B, die jedem A genu ein b = f) B zuordnet. Funktion: Abbildung f: I R R, y =. f R R Intervll I Umkehrbrkeit einer Funktion: Flls jedes y = nur einml uftritt Umkehrfunktion f : I I y f y) = f ) =

2 . Stetigkeit Eine Funktion f : I R heißt stetig n der Stelle I, wenn zu jedem ǫ > 0 ein δ > 0 eistiert, so dss f) < ǫ für lle I mit < δ oder lim f + δ) = ±δ 0 2ǫ f) stetig 2ǫ f) nicht stetig 2δ 2δ Die in der Physik uftretenden Funktionen sind im Allgemeinen stetig, unstetiges Verhlten erfordert einen besonderen Grund..2 Wichtige elementre Funktionen ) Eponentilfunktion f : R [0, [ e = y = e = n=0 n n! b) Logrithmusfunktion Umkehrfunktion der Eponentilfunktion f : R ]0, [ ln) y = ln) wobei = e y c) Potenzfunktion f : R [0, [ y = = e ln) für > 0. 2

3 d) Trigonometrische Funktionen sin = ) n+ 2n+ 2n + )! = = e ı e ı) ) 2ı n= cos = n=0 ) n 2n 2n)! = = 2 tn = sin cos cot = / tn = cos sin Bechte: sin 2 + cos 2 = sowie 2 sin cos = sin 2. Sinus y = sin T = 2π e ı + e ı) 2) 3) 4) π π π 2π 3π Bechte: sin = sin ) ntisymmetrisch zu = 0. Cosinus y = cos T = 2π π π π 2π 3π Bechte: cos = cos ) symmetrisch zu = 0. Tngens y = tn T = 2π π π Bechte: tn = tn ) ntisymmetrisch zu = 0. 3

4 Umkehrfunktionen: Arkusfunktionen y = rcsin ; π 2 y π 2 y = rccos ; 0 y π y = rctn ; π 2 y π 2 y π π π 2 e) Hyperbelfunktionen sinh = 2 e e ) 5) cosh = 2 e + e ) 6) tnh = sinh cosh Bechte: cosh 2 sinh 2 =. sowie coth = tnh = cosh sinh 7) Sinus Hyperbolicus 4 y = sinh 3 2 Cosinus Hyperbolicus 6 y = cosh

5 4 y = coth Cotngens Hyperbolicus 3 2 Tngens Hyperbolicus y = tnh Umkehrfunktionen: Arefunktionen: 4 y = rsinh < < ; < y < y = rcosh < ; < y < y = rtnh < < ; < y < y

6 2 Differentition Historischer Ursprung: Tngentenproblem f : I R, 0 : m = f 0) = Steigung der Seknte durch 0 0,f 0 )) und,). Im Grenzwert 0 wird die Seknte dnn zur Tngente in Differenzierbrkeit und Ableitung f 0 ) I = Intervll R, f : I R heißt differenzierbr n der Stelle 0 I, flls der Grenzwert von beiden Seiten) f 0 ) = d d f f 0 ) 0) = lim eistiert und gleich ist). 0 0 f 0 ) = d d f 0) heißt Ableitung von f n der Stelle 0. Beispiel: 0 y überll differenzierbr nicht differenzierbr f heißt im Intervll I differenzierbr, wenn f in jedem Punkt 0 I differenzierbr ist. Dnn ist die Ableitung f : I R, f ) = d d selbst eine Funktion. Stz: Ist f n der Stelle 0 differenzierbr, so ist f stetig in 0. ber: die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht, siehe z.b.!!). Stz: Ht eine Funktion f im Intervll I überll die Ableitung f ) = 0 = const. 6

7 2.2 Rechenregeln für Ableitungen I Algebr von Ableitungen Dnn gilt: f : I R g : I R } differenzierbr in o I ) f + bg,b R) ist differenzierbr in 0 I mit f + bg) = f + bg 2) f g ist differenzierbr in 0 I mit f g) = f g + fg Produktregel) 3) f g ist differenzierbr in 0 I, flls g 0 ) 0, mit Quotientenregel) ) f = f g fg g g 2 II Kettenregel f : I I differenzierbr in o I g : I R differenzierbr in f o ) I Dnn gilt: g f : I R ist differenzierbr in 0 mit III Umkehrfunktion g f) 0 ) = g f 0 )) f 0 ) = dg df df d f : I I sei umkehrbr mit f : I I. Flls f differenzierbr in 0 I mit f 0 ) 0, dnn gilt: f ist differenzierbr in f 0 ) I mit f ) f0 )) = f 0 ) IV Vertuschung von Ableitung und Summe d d f j ) = j= oder f j ) j= df d = d/df. dies setzt gleichmßige Konvergenz der rechten Seite vorus.) 2.3 Tylor-Entwicklung Methode um Potenzreihen-Entwicklung einer Funktion zu gewinnen, = n n, n =?. n=0 Relevnz für Physik: Komplizierte Funktionen können in der Nähe eines Punktes 0 durch ein Polynom niedrigen Grdes pproimiert werden. 7

8 Stz von Tylor Sei f : I R beliebig oft differenzierbr. Dnn gilt: In einer Umgebung U 0 ) um 0 lässt sich f drstellen durch Bemerkungen: = n=0 n! fn) 0 ) 0 ) n, U 0 ) I. nur n-ml differenzierbr Restglied kum relevnt in der Physik) Tylorreihe = Potenzreihe mit n = n! d nf 0) Beispiel: Kombintion von elementren Funktionen g ),...,g k ) Gesucht: Tylor-Reihe von um 0 bis Ordnung 0 ) k. Entwickle g i ) bis O 0 ) k. Multipliziere die Reihen. Beispiel: = sin cos um 0 = 0 = ) O 5 ) ) O 4 ) d n = O 5 ) = O 5 ) 2.4 L Hospitl sche Regel Problem: Berechne den numerischen Wert von lim 0 g), wenn lim 0 = 0 = lim 0 g). Stz von de L Hospitl Sei f : I R und g : I R n + )-ml stetig differenzierbr in I und f n) 0 ) = 0 = g n) 0 ), ber g n+) 0 ) 0. Dnn gilt: lim 0 g) = = lim f n) ) 0 g n) ) = lim f n+) ) 0 g n+) ) fn+) 0 ) g n+) 0 ) Beweis mittels Stz von Tylor. Nur wenn f n+) 0 ) = 0 und g n+) 0 ) 0 lim 0 g) 0. Ds Verfhren funktioniert in ähnlicher Weise uch, flls lim 0 = = lim 0 g). 8

9 3 Integrtion Historischer Ursprung: Flächenproblem Gegeben sei eine Funktion f, f : I = [,b] R +. Wie berechnet mn den Flächeninhlt unter der Kurve? k k ξ k b 3. Riemnn-Integrl Aufteilen des Intervlls [,b] in endlich viele Teilintervlle: = 0 < < 2 < < n = b Wähle in jedem Intervll I k = [ k, k ] mit k = k k k =, 2, 3,...,n) einen beliebigen Zwischenpunkt ξ k I k. Bilde Rechtecksummen S fξ k ), k ) := n fξ k ) k Betrchte beliebige Folge von Intervlleinteilungen mit m k 0 n ). Flls k der Limes von S eindeutig eistiert, dnn schreibt mn k= S fξ k, k )) m k k d Definition: Sei f : I R beschränkt in [,b]. Eistiert der Limes bestimmtes) Integrl der Funktion f von bis b, f heißt integrbel in [,b]. d, so heißt er 3.2 Eigenschften des Integrls ) Vertuschung der Integrtionsgrenzen d = b d d ) d := 0 b) Linerität f, f 2 seien integrierbr über [,b] und c, c 2 R c f + c 2 f 2 sind integrierbr über [,b] und c f + c 2 f 2 ) d = c f d + c 2 f 2 d 9

10 c) Monotonie f, g seien integrierbr über [,b] und g) für lle [,b] f d g d d) Abschätzung des Integrls ) f integrierbr über [, b] f integrierbr über [, b] 2) Ist M für lle [,b] d d b )M e) Integrl von Produkten f, g integrierbr über [,b] f g integrierbr über [,b]. f) Integrtion über Teilintervlle f integrierbr über [,b] und c b d = c d + c d 3.3 Stmmfunktion F : I R heißt Stmmfunktion unbestimmtes Integrl von f) für f : I R, wenn F differenzierbr und F ) = für lle I. Jede Funktion F + c mit konstntem c R ist Stmmfunktion zu f. Ausintegrtion liefert: F) = c ft) dt 3.4 Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung,b I, f stetig uf I d = Fb) F) = F) b f stetig differenzierbr uf I und, I = f) + f t) dt Differentition Integrtion sind invers zueinnder! 0

11 3.5 Integrtionsmethoden Errten der Stmmfunktion prtielle Integrtion Umkehrung der Produktregel) Substitutionsregel Umkehrung der Kettenregel) Leibniz-Trick Funktionentheoretische Methoden später) Hinweis: Nicht jedes Integrl ist geschlossen lösbr! Z.B.: e, sin, e, ln, cos, + 4 ) Prtielle Integrtion f, g : I R seien stetig differenzierbr. Dnn gilt: Überwälzen der Ableitung. nwendbr z.b. bei Integrtion von g ) d = g) b f )g) d ) p)e und p) ln, p) = Polynom 2) Integrle mit trigonometrischen Funktionen b) Substitutionsregel Ist u : [α, β] [, b] stetig differenzierbr und f : [, b] R stetig, dnn gilt: uβ) d = β uα) α f ut))u t) dt Beweis: F ist Stmmfunktion zu f. Mit der Kettenregel: d dt F ut)) = F ut)) u t) = f ut))u t) Aus dem Huptstz der Diff.- und Integrlrechnung folgt dnn: uβ) uα) d = F) uβ) uα) = F ut)) β α = β Substitutionsregel ˆ= Umkehrung der Kettenregel. α d β F ut)) dt = f ut)) u t) dt dt α

12 Anwendungen ) Integrnd ls Ableitung: Zu berechnen g) d, versuche g) = f u)) u ). Ist F eine Stmmfunktion zu f, so gilt: g) d = d.h. g) = d d F u)). Beispiele: I) f u)) u ) d = ub) u) fy) dy = F u)) b e /2 d ; fy) = e y, u) = 2 2 e 2 2 = f u))u ) e 2 2 d = ub) u) e y dy = e y ub) u) = e 2 2 e 2 b2 II) cos tnd = cos d fy) =, u) = cos y cos b tnd = cos ) y dy = ln cosb Bechte: Dies ist ein Stndrd-Trick: u ) u) d = cos ub) u) ub) dy = ln y u) 2) Substitution der Integrtionsveränderlichen d =?, dher ersetze: = ut) d = u t) dt d d ) dt = u t)... d u b) u )... dt d = u b) u ) f ut))u t) dt Vorsicht: u b) < u ) ist möglich!! Beispiel: ln d =?, 0 < < b. = t dt d = 2 d = 2t dt ln b b d = ln t 2t dt = 2 ln t dt = 2t lnt ) t b 2

13 c) Prmetrische Integrtion Leibniz) λ) λ) knn mnchml ls Ableitung einer Funktion f, λ) nch Prmeter λ geschrieben werden: g,λ) = d dλ f,λ), wobei f,λ) leicht integrierbr ist. Dnn verwende: λ Beispiel: λ) λ) f,λ) d = = 0 0 = λ λ) λ) λ e λ d ; λ 0 bλ) f,λ) d + λ f bλ),λ) λ) λ f λ),λ) }{{} =0, wenn, b keine Fkt von λ ) e λ d = b e λ d = λ λ 0 λ e λb )] = bλ + ) + λ 2e λb λ 2 [ λ e λ λ ) b 0 d) Übergng zum hlben Winkel Anwendbr für Integrle rtionler Funktionen von cos und sin. Aus den Integrlen der Winkelfunktionen werden durch die Substitution u = tn/2) Integrle über rtionle Funktionen. Substitution: u = tn 2 d.h. = 2 rctnu). Beispiel: d 2 2u u2 du; sin + u2 + u2; cos + u 2 sin d, 0 < < b < π Subst. siehe oben, A = tn 2, B = tn b 2 B A + u 2 2u 2 + u 2 du = B A du u = ln u B A = ln tn b 2 tn 2 e) In geschlossener Form integrierbre Funktionen Ein geschlossener Ausdruck entsteht us den elementren Ausdrücken,, e, ln, sin cos... ddurch, dss endlich oft einer der Prozesse Addition, Multipliktion, Division und Hintereinnderusführung durchgeführt wird. Zum Beispiel ist ) + e ln + sin 2 + ) 3

14 ein geschlossener Ausdruck. Ein rtionler Ausdruck in den Funktionen f,...,f n entsteht us diesen ddurch, dss endlich oft eine der Opertionen Addition, Multipliktion und Division mit ihnen usgeführt wird. Folgende Funktionen gesttten die Angbe einer Stmmfunktion durch einen geschlossenen Ausdruck: rtionle Ausdrücke in und rtionle Ausdrücke in,, + b, c + d rtionle Ausdrücke in,, 2 + α + β rtionle Ausdrücke in,, sin, cos 4

15 Anhng: Ableitungs- und Integrltbelle Funktion Ableitung Stmmfunktion Bemerkung C const.) 0 C α α α α+ α+ α ln e e e ln ln 0, ln ln ) log log e = ln ) ln ln sin cos sin cos sin sin tn cos 2 = + tn2 ln cos cot sin 2 = + cot2 ) ln sin rcsin 2 rcsin + 2 rccos 2 rccos 2 rctn + 2 rctn 2 ln + 2 ) sinh cosh cosh cosh sinh sinh tnh ln cosh cosh 2 coth ln sinh sinh 2 rsinh + 2 rsinh + 2 rcosh rcosh 2 2 rtnh rtnh + ln rctn ) ) 2 2 ln + rcsin < 2 2 ) 3/2 ln ) > ) 3/2 5