4 Integrationstheorie

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1 Anlysis III, WS 211/212 Montg 5.12 $Id: integrl.tex,v /12/6 1:2:41 hk Exp hk $ 4 Integrtionstheorie 4.2 Integrtion nihtnegtiver Funktionen In den letzten beiden Sitzungen hben wir ds llgemeine Lebesgueintegrl nihtnegtiver Funktionen eingeführt und einige seiner wihtigsten Eigenshften bewiesen. Wir kennen uh shon eispiele wie ds Lebesgueintegrl für einige spezielle Mßräume ussieht, zum einen htten wir gesehen ds Integrle bezüglih des Zählmßes uf einer Menge im wesentlihen dsselbe wie Reihen sind und zum nderen hben wir die Aufgben (21) und (24) in denen zwei weitere Mße vollständig behndelt werden. Wir wenden uns jetzt dem für uns wihtigsten Mß zu, dem Lebesguemß uf dem R n. Zunähst behndeln wir den eindimensionlen Fll n 1 und zum Anshluß n Anlysis II wollen wir festhlten, dss sih unser jetzt definiertes Integrl bezüglih λ 1 für Riemnnintegrierbre Funktionen niht vom Riemnnintegrl untersheidet. Stz 4.8 (Riemnn-integrierbre Funktionen sind meßbr) Seien, b R mit < b und sei f : [, b] R eine Riemnnintegrierbre Funktion. Dnn ist f : ([, b], L 1 [, b]) (R, (R)) meßbr und die Menge N ller Unstetigkeitsstellen von f ist eine Nullmenge. Ist f(x) für lle x [, b], so gilt uh b f dλ 1 f(x) dx [,b] wobei rehts ds Riemnnintegrl steht. eweis: Die Funktion f ist in einem Punkt x [, b] genu dnn unstetig wenn es ein ɛ > gibt so, dss es für jedes δ > stets ein y [, b] mit x y < δ und f(y) f(x) ɛ gibt. Setzen wir lso für jedes ɛ > N ɛ : {x [, b] (δ > ) (y [, b]) : x y < δ f(x) f(y) ɛ} so ist N ɛ> N ɛ. Wir behupten ds N ɛ für jedes ɛ > eine Nullmenge ist. Sei lso ɛ > gegeben. Sei α (t,..., t n ) eine Zerlegung von [, b], und setze m i : inf{f(t) t [t i 1, t i ]}, M i : sup{f(t) t [t i 1, t i ]} für jedes 1 i n. Weiter setzen wir I : {1 i n N ɛ (t i 1, t i ) }, und dnn ist N ɛ {t, t 1,..., t n } i I [t i 1, t i ), lso uh λ 1(N ɛ ) i I (t i t i 1 ). 13-1

2 Anlysis III, WS 211/212 Montg 5.12 Sei nun i I. Dnn ist N ɛ (t i 1, t i ), und wir wählen ein x N ɛ (t i 1, t i ). Weiter gibt es ein δ > mit (x δ, x + δ) (t i 1, t i ) und wegen x N ɛ gibt es weiter ein y [, b] mit y x < δ und f(y) f(x) ɛ. Insbesondere ist y (x δ, x + δ) (t i 1, t i ) und somit gilt uh M i m i f(y) f(x) ɛ. Es folgt S(f; α) S(f; α) und somit ist uh n i1 (M i m i )(t i t i 1 ) i I λ 1(N ɛ ) i I (t i t i 1 ) (M i m i )(t i t i 1 ) i I S(f; α) S(f; α). ɛ ɛ(t i t i 1 ), D f Riemnnintegrierbr ist wird die rehte Seite dieser Ungleihung für geeignete Zerlegungen beliebig klein, lso folgt hierus λ 1(N ɛ ). Wegen N n1 N 1/n folgt uh λ 1(N), d.h. N ist eine Nullmenge. Dmit existiert eine orelmenge A ([, b]) mit N A und λ 1 (A). D f uf [, b]\a stetig ist, ist f [, b]\a : ([, b]\a, ([, b]\a)) ([, b]\a, ([, b]) ([, b]\a)) (R, (R)) nh 2.Stz 5 meßbr. Wegen ([, b]) ([, b]\a) L 1 ([, b]\a) ist dmit uh die Einshränkung f [, b]\a : ([, b]\a, L 1 ([, b]\a)) (R, (R)) meßbr. Außerdem ist L 1 A P(A) lso ist uh f A : (A, L 1 A) (R, (R)) meßbr, und dmit ist f : ([, b], L 1 [, b]) (R, (R)) meßbr. Es verbleibt nur noh die Aussge über ds Integrl einzusehen, nehme nun lso n ds f(x) für lle x [, b] gilt. Sei α (t,..., t n ) eine Zerlegung von [, b] und setze m i : inf{f(t) t [t i 1, t i ]}, M i : sup{f(t) t [t i 1, t i ]} für jedes 1 i n. Wir erhlten die beiden Treppenfunktionen n 1 n 1 ϕ : m i χ [ti 1,t i ) + m n χ [tn 1,t n] und ψ : M i χ [ti 1,t i ) + M n χ [tn 1,t n] i1 mit ϕ f ψ, und es folgt i1 S(f; α) n n 1 m i (t i t i 1 ) m i λ 1 ([t i 1, t i )) + m n λ 1 ([t n 1, t n ]) i1 i1 I(ϕ) ϕ dλ 1 f dλ 1, [,b] [,b] und nlog ist uh [,b] f dλ 1 [,b] ψ dλ 1 S(f; α). Somit ist b f(x) dx [,b] und dies bedeutet f dλ [,b] 1 b f(x) dx. f dλ 1 b f(x) dx, 13-2

3 Anlysis III, WS 211/212 Montg 5.12 Ttsählih gilt uh die Umkehrung ds jede fst überll stetige, beshränkte Funktion f : [, b] R stets Riemnnintegrierbr ist, ber dies wollen wir uns n dieser Stelle niht überlegen. Integriert mn bezüglih des Lebesguemßes λ n im R n, so spriht mn uh kurz vom Lebesgueintegrl, den Stz knn mn dnn so formulieren ds für Riemnnintegrierbre Funktionen ds Riemnn- und ds Lebesgueintegrl übereinstimmen, ds ds Lebesgueintegrl lso eine Erweiterung des Riemnnintegrls ist. Auh ds uneigentlihe Riemnnintegrl für nihtnegtive Funktionen ist ein Spezilfll des Lebesgueintegrls, wie wir gleih zeigen werden. ehte ds dies bereits einen shönen Fortshritt im Vergleih zur Theorie des Riemnnintegrls drstellt, bei diesem bruhte mn zur ehndlung niht beshränkter Integrnden und offener Intervlle ls Integrtionsbereih einen zusätzlihen Grenzprozess, während diese Fälle beim Lebesgueintegrl gleih mit enthlten sind. Leider trifft dies nur uf den nihtnegtiven Fll zu, sobld mn vorzeihenbehftete Funktionen ht, gibt es uh ein uneigentlihes Lebesgue Integrl um uh die niht bsolut konvergenten Integrle zu erfssen. Korollr 4.9 (Uneigentlih Riemnnintegrierbre Funktionen) Seien I R ein Intervll mit mindestens zwei Punkten und f : I R eine Funktion, die für lle, b I mit < b über [, b] Riemnnintegrierbr ist. Dnn ist f : (I, L 1 I) (R, (R)) uh meßbr und ist f(x) für lle x I so gilt uh I f(x) dx I f dλ 1, wobei links ds uneigentlihe Riemnnintegrl steht. eweis: Es gibt Folgen ( n ) n N und (b n ) n N in I mit n < b n für lle n N so, dss I n [ n, b n ] ist. Für jedes n N ist dnn die Einshränkung f [ n, b n ] : ([ n, b n ], L 1 [ n, b n ]) (R, (R)) nh Stz 8 meßbr, lso ist uh f : (I, L 1 I) (R, (R)) meßbr. Nun nehmen wir f(x) für jedes x I n. Wir behndeln zunähst den Fll eines rehtsseitig offenen Intervlls, lso I [, b) mit R, b R und < b. Sei (b n ) n N eine streng monoton steigende Folge in R > mit sup n N b n b. Nh Stz 8 ist f n : fχ [,bn] : (I, L 1 I) (R, (R)) für jedes n N eine meßbre Funktion mit I f n dλ 1 f dλ [,b n] 1 b n f(x) dx. Für jedes n N gilt dbei f n f n+1 und für jedes x I ist f(x) sup n N f n (x). Nh Stz 5 ist bn f dλ 1 lim f n dλ 1 lim f(x) dx. I n I n Dmit existiert ds uneigentlihe Riemnnintegrl b y f(x) dx lim f(x) dx y b I f dλ 1 in R und stimmt mit dem Lebesgueintegrl überein. Für ein linksseitig offenes Intervll folgt diese Aussge nlog. Sei shließlih I ein beidseitig offenes Intervll, lso I (, b) mit, b R, < b. Sei dnn I. Nh den bereits bewiesenen Aussgen existieren die beiden uneigentlihen Riemnnintegrle b f(x) dx f dλ 1 und f(x) dx f dλ 1 [,b) 13-3 (,]

4 Anlysis III, WS 211/212 Montg 5.12 in R, und dmit existiert uh b f(x) dx f(x) dx + b f(x) dx f dλ 1 + f dλ 1 f dλ 1. (,] [,b) (,b) Zusmmengenommen sgen uns die letzten beiden Sätze, dss für hlbwegs vernünftige Funktionen in R zur erehnung des Lebesgueintegrls keine neuen Rehentehniken vonnöten sind, lles ws mit dem Riemnnintegrl gerehnet wurde und gerehnet werden knn, funktioniert unverändert weiter. 4.3 Produktmße Am Ende des letzten Abshnitts htten wir gesehen, dss die erehnung eindimensionler Lebesgueintegrle usreihend gutrtiger Funktionen uns bereits us Anlysis II beknnt ist. Für mehrdimensionle Lebesgueintegrle können wir dgegen bisher niht einml stetige Funktionen integrieren. Dies wollen wir nun ändern, und erst einml eine der hierfür verwendeten Rehentehniken vorstellen, mn knn mehrdimensionle Integrle berehnen indem die Vriblen einzeln, Dimension für Dimension, usintegriert werden. Angenommen wir wollen eine Funktion in zwei Vriblen über ein Rehtek Q [, b] [, d] integrieren. Unter einer noh näher zu spezifizierenden Annhme knn mn dnn einfh Q f(x, y) dλ 2 (x, y) d b f(x, y) dx dy rehnen, zuerst wird x usintegriert, dnn y. Mn knn es uh nders rum mhen, lso erst y dnn x, ber ds liefert dsselbe Ergebnis. Die entsprehende Formel gilt dnn uh für n 3 Vriblen. Nehmen wir ls konkretes eispiel Q [, 2] [2, 3] und f(x, y) x 2 + 2xy 2. Gluben wir der Formel erst einml, so wird Q (x 2 + 2xy 2 ) dλ 2 (x, y) (x 2 + 2xy 2 ) dx dy 3 2 ( ) y2 dy ( ) Mn bezeihnet diese Rehentehnik ls Fubini Formel und der Stz der ihre Gültigkeit ussgt ist der sogennnte Stz von Fubini, den es in diversen Vrinten gibt. Wir werden uh noh genuer klären für welhe Funktionen der Stz gültig ist, um jetzt shon eispiele rehnen zu können, gluben wir erst einml ds zumindest für stetige Funktionen lles whr ist. Ds obige eispiel hätten wir noh etws shneller rehnen 13-4

5 Anlysis III, WS 211/212 Montg 5.12 können, ht der Integrnd seprierte Form, lso f(x, y) g(x) h(y), so ist [,b] [,d] g(x)h(y) dλ 2 (x, y) d b g(x)h(y) dx dy d ( b ( b ) g(x) dx h(y) dy ) ( d ) g(x) dx h(y) dy, solhe seprierten Integrle knn mn lso einfh einzeln rehnen und die Ergebnisse multiplizieren. Ds eben gerehnete eispiel knn mn lso uh ls (x 2 + 2xy 2 ) dλ 2 (x, y) [,2] [2,3] x 2 dλ 2 (x, y) + 2xy 2 dλ 2 (x, y) [,2] [2,3] 2 [,2] [2,3] ( 2 ) ( 3 x 2 dx + 2 x dx 2 ) y 2 dy rehnen. ehndeln wir noh ein zweites, etws komplizierteres eispiel ds niht in seprierter Form ist, nämlih f(x, y) os(xy) uf Q [, π] 2. Es ist π π π π sin(xy) os(xy) dλ 2 (x, y) os(xy) dx dy [,π] 2 y dy π sin(πy) y dy π 2 wobei Si den sogennnten Integrlsinus bezeihnet, lso x sin t ( 1) n Si(x) dt t (2n + 1) 2 (2n)! x2n+1 n sin t t dt Si(π 2 ), für jedes x R. Die Rehenmethode funktioniert uh wenn über eine kompliziertere Menge ls einen Quder zu integrieren ist. Nehmen wir einml den Kreis {(x, y) R 2 (x ) 2 + (y b) 2 r 2 } mit Mittelpunkt (, b) und Rdius r > in der Ebene. Wir wollen ds Integrl x 2 dλ 2 (x, y) berehnen. Erinnern wir uns drn wie dieses in Termen hrkteristisher Funktionen eingeführt wr, so können wir dieses Integrl mit Q : [ r, + r] [b r, b + r] ls +r b+r x 2 dλ 2 (x, y) x 2 χ (x, y) dλ 2 (x, y) x 2 χ (x, y) dy dx shreiben. Q r b r 13-5

6 Anlysis III, WS 211/212 Montg 5.12 Denken wir uns zunähst einml x [ r, +r] fixiert. Für y [b r, b + r] ist dnn χ (x, y) 1 wenn (x, y), lso (x ) 2 + (y b) 2 r 2, ist und χ (x, y) sonst. Nun ist (x ) 2 + (y b) 2 r 2 b r gleihwertig zu (y b) 2 r 2 (x ) 2 x beziehungsweise y b r 2 (x ) 2 für jedes y [b r, b + r], lso wird b+r b r x 2 χ (x, y) dy b+ r 2 (x ) 2 x b r 2 dy. 2 (x ) 2 Dmit können wir jetzt die Formel von Fubini nwenden und dimensionsweises Ausintegrieren ergibt x 2 dλ 2 (x, y) +r b+r r b r x 2 χ (x, y) dy dx +r r b+ r 2 (x ) 2 b r 2 (x ) 2 +r r x 2 dy dx 2x 2 r 2 (x ) 2 dx. Substituieren wir x +r sin t mit t π/2, so wird dx/dt r os t lso dx r os t dt und somit π/2 x 2 dλ 2 (x, y) 2r 2 ( + r sin t) 2 os 2 t dt. Nun sind π/2 π/2 π/2 π/2 os os(2t) t dt dt π sin(2t) 4 sin t os 2 t dt os3 π/2 t 3 und sin 2 t os 2 t dt 1 4 π/2 sin 2 (2t) dt π/2 π/2 1 os(4t) 2 π 2, dt π 8,

7 Anlysis III, WS 211/212 Montg 5.12 lso ist insgesmt π/2 und somit 2r 2 ( + r sin t) 2 os 2 t dt π/2 π/2 π/2 2r 2 2 os 2 t dt + 4r 3 sin t os 2 t dt + 2r 4 sin 2 t os 2 t dt ( ) x 2 dλ 2 (x, y) πr r r 2 π + π 4 r4 Rehnerish stellt die erehnung höherdimensionler Integrle lso keine prinzipiell neuen Probleme. Wir müssen ber noh begründen wrum wir überhupt dimensionsweise usintegrieren können, und der eweis hiervon wird einige Arbeit erfordern. Der zuständige Stz ist der sogennnte Stz von Fubini, von dem dieser Abshnitt huptsählih hndeln wird. Wir htten ds Integrl im R n über den Volumenbegriff eingeführt, und dher werden wir uns erst einml die erehnung höherdimensionler Volumin nshuen müssen. Dies werden wir wieder reht llgemein ngehen und ds Produkt zweier weitgehend beliebiger Mßräume betrhten. Aus 2.2 kennen wir shon ds Produkt von Meßräumen, lso die Produkt σ-algebren, ber wir hben bisher noh keine Produktmße eingeführt. Angenommen wir hben zwei Mßräume (Ω i, Σ i, µ i ) für i 1, 2, ws soll dnn ds Produktmß uf Ω Ω 2 Ω 1 Ω 2 versehen mit der σ-algebr Σ Σ 1 Σ 2 A sein? Orientieren wir uns m obigen dimensionsweise y usintegrieren, so ist zunähst ds folgende, sogennnte Cvlieri-Prinzip, nheliegend. Zu gegebener Menge A Σ betrhte für jedes y Ω 2 den horizontlen Quershnitt A y : {x Ω 1 (x, y) A}. Dnn ist A y Σ 1, d die Abbildung ϱ : (Ω, Σ 1 ) (Ω, Σ); x (x, y) nh 2.Stz 6 meßbr ist und A y ϱ 1 (A) gilt. Wir können lso ds Mß ψ A (y) : µ 1 (A y ) bilden, und erhlten so eine Funktion ψ A : Ω 2 R. Ds Cvlieri-Prinzip besgt ds dnn µ(a) ψ A dµ 2 Ω 2 gilt. Mit dieser Gleihung gibt es gleih drei Probleme: 1. Ist die rehte Seite der Gleihung überhupt sinnvoll, ist lso ψ A eine meßbre Funktion? 13-7 ( A y ) Ω 1

8 Anlysis III, WS 211/212 Montg Ws bedeutet die linke Seite der Gleihung? Wir hben bisher noh gr kein Mß µ uf (Ω, Σ), und wenn wir dieses einfh durh die rehte Seite definieren, so müsste mn sih überlegen ds dsselbe ruskommt wenn wir vertikle Quershnitte benutzen. 3. Selbst wenn beide Seiten der Gleihung sinnvoll sind, wrum sind sie dnn gleih? All diese Frgen werden wir bentworten, zuvor werden wir ein weiteres eispiel rehnen um zu sehen, ds sih die entwortung der Frgen überhupt lohnt. Wir wollen ds Volumen von Kugeln im R n über ds Cvlieri-Prinzip berehnen, und ls Auftkt hierzu probieren wir unser Glük mit dem Einheitskreis in der Ebene. Ist 1 () dieser Einheitskreis, so ist y [ 1 y 2, 1 y 2 ] für jedes y [ 1, 1] und y für y R mit y > 1. Dmit wird { 2 1 y ψ (y) 2, y 1,, y > 1. Als Integrl von ψ ergibt sih R ψ (y) dλ 1 (y) π/2 1 y 2 dy 2 os 2 t dt es kommt lso ds rihtige Ergebnis herus. π/2 (1 + os(2t)) dt π, 13-8