1 Einleitung zur Integrationstheorie

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1 $Id: intro.tex,v /11/03 19:44:51 hk Exp $ 1 Einleitung zur Integrtionstheorie In der Vorlesung Anlysis II wurde die eindimensionle Integrtionstheorie eingeführt, bei dieser wurde jeder geeigneten, uf einem Intervll I R definierten Funktion f : I R eine Zhl f(x) dx zugeordnet, ds sogennnte Integrl von f über ds I Intervll I. Es gibt zwei verschiedene populäre Zugänge zum eindimensionlen Integrl, ds Regelintegrl und ds Riemnnintegrl. D sie im letzten Semester ds Riemnnintegrl verwendet hben, wollen wir dieses jetzt kurz wiederholen. Betrchtet wurde ein kompktes Intervll I = [, b] für, b R mit < b und eine beschränkte Funktion f : I R. Eine Zerlegung des Intervlls I = [, b] ist ein Tupel α = (t 0,..., t n ) mit = t 0 < t 1 <... < t n = b und wir nennen δ(α) := mx 1 i n (t i t i 1 ) die Feinheit der Zerlegung. Eine Zerteilung von I = [, b] ist ein Pr ζ = (t 0,..., t n ; s 1,..., s n ) bestehend us einer Zerlegung α = (t 0,..., t n ) von I und Zwischenpunkten s i [t i 1, t i ] für 1 i n, und wir nennen δ(ζ) := δ(α) die Feinheit der Zerteilung. Zu einer solchen Zerteilung können wir dnn eine Riemnnsumme n R(f; ζ) := f(s i ) (t i t i 1 ) einführen. Dnn ist die Funktion f genu dnn Riemnnintegrierbr wenn für jede Folge (ζ n ) n N von Zerteilungen von [, b] mit δ(ζ n ) 0 uch die Folge (R(f; ζ n )) n N der zugehörigen Riemnnsummen konvergiert. In diesem Fll konvergieren ll diese Folgen gegen denselben Grenzwert, und dieser heißt dnn ds Riemnnintegrl der Funktion f. Die eben beschriebene Definition des Riemnnintegrls ist so ziemlich diejenige die Riemnn selbst verwendet ht, technisch etws bequemer ist es llerdings mit den sogennnten Unter- und Obersummen zu rbeiten, so wie sie es j uch im letzten Semester getn hben. Zu einer Zerlegung α = (t 0,..., t n ) von [, b] betrchtet mn für 1 i n die Größen M i := sup f(t) und m i := inf f(t) t [t i 1,t i ] t [t i 1,t i ] 1-1

2 und definiert mit diesen die Ober- und die Untersumme von f bezüglich der Zerlegung α ls S(f; α) := S(f; α) := n M i (t i t i 1 ) n m i (t i t i 1 ) (Obersumme), (Untersumme). Obersumme Untersumme Dnn sind lle Obersummen größer ls lle Untersummen und mn definiert ds Riemnnsche Oberintegrl und ds Riemnnsche Unterintegrl ls f(x) dx := inf {S(f; α) α ist Zerlegung von [, b]} (Oberintegrl), f(x) dx := sup{s(f; α) α ist Zerlegung von [, b]} (Unterintegrl). Die Funktion f ist genu dnn Riemnnintegrierbr wenn ihr Ober- und Unterintegrl gleich sind, und dieser gemeinsme Wert ist dnn ds Riemnnintegrl. Dss dies zur Definition über Riemnnsummen gleichwertig ist, ist im wesentlichen [Schütt, 5.2, Lemm 70]. Ausgerüstet mit diesem Integrlbegriff können dnn ll die Sätze über ds Rechnen mit Integrlen bewiesen werden, wie sie es im letzten Semester j uch usgiebig getn hben. In diesem Semester werden wir die Integrlrechnung in zwei Richtungen hin weiter usbuen. Zum einen werden wir die Integrtion von Funktionen in mehreren Vriblen behndeln und zum nderen ds sogennnte Lebesgue Integrl einführen. Diese beiden Dinge hben inhltlich nichts miteinnder zu tun, sie werden im üblichen Anlysis Kurs nur gleichzeitig behndelt. Es ist leicht, wenn uch technisch teilweise etws unngenehm, ds Riemnn Integrl uf Funktionen in mehreren Vriblen uszudehnen. Ttsächlich hben sie dies im letzten Semester bereits getn, d dies ber nicht zum vorgeschriebenen Stoff für Anlysis II gehört wollen wir dies hier ignorieren. In den nächsten beiden Abschnitten wollen wir erst einml besprechen weshlb eine Erweiterung des eindimensionlen Riemnnintegrls überhupt wünschenswert ist. 1-2

3 1.1 Mehrdimensionle Integrle Der Integrlbegriff für Funktionen in mehreren Vriblen bedrf keiner großen Motivtion, er ist zeitgleich mit der Differentilrechnung geboren worden und wurde schon von Newton verwendet. Wir wollen hier einml die heuristische Stndrdherleitung vorführen mit der mehrdimensionle Integrle gnz ntürlich uftuchen. Stören Sie sich bitte nicht drn ds im folgenden Beispiel einige physiklische Begriffe uftuchen. Zum Verständnis dieser Vorlesung sind ntürlich keinerlei Physikkenntnisse notwendig, wir verwenden nur in Beispielen hin und wieder physiklische Worte zur Nmensgebung, diese können ohne jeden Verlust ignoriert werden (die Nmen, nicht die Beispiele selbst). D weite Teile dessen ws in Anlysis III behndelt wird ursprünglich zur Verwendung in der Physik entwickelt wurde, wäre es etws künstlich uf physiklische Beispiele gnz verzichten zu wollen. Kommen wir jetzt zu unserem Beispiel, der heuristischen Herleitung der kontinuierlichen Form des Grvittionsgesetzes. Wir beginnen mit zwei gegebenen Punktmssen, die eine im Punkt p R 3 der Msse M und die ndere im Punkt q R 3 mit Msse m. Wie gesgt mchen wir hier keine Physik, Punkte im Rum sind für uns der R 3, es werden keine Unterschiede zwischen Orts- und Richtungsvektoren gemcht, Einheiten werden ignoriert und so weiter. Ds Grvittionsgesetz besgt ds die Msse in p uf die Msse in q eine Krft F in Richtung p q bewirkt, die proportionl zum Produkt der beiden Mssen ist und invers proportionl zum Qudrt des Abstndes der beiden Punkte ist, d.h. mm F = γ p q p q 2 p q = γ mm (p q), p q 3 wobei wir x für die euklidische Norm eines Vektors x R 3 schreiben, und γ eine Konstnte ist, die sogennnte Grvittionskonstnte. Solnge die räumliche Struktur der wirklich betrchteten physiklischen Körper keine Rolle spielt, ist diese diskrete Form des Grvittionsgesetzes völlig usreichend, mn knn mit ihr zum Beispiel die Keplerschen Gesetze herleiten. Durch diese werden die Bhnen der meisten Plneten in einer ersten Näherung vorhergesgt, hier nimmt mn ls den einen Mssepunkt in p die Sonne und für den nderen in q den betrchteten Plneten. Mn knn die Näherung dnn verbessern indem uch noch die Anziehung der Plneten untereinnder berücksichtigt wird. Dies wird dnn schon etws komplizierter, beispielsweise ist Lplce durch die Untersuchung der Bhnen des Systems us Sonne, Jupiter und Sturn berühmt geworden. Aber selbst wenn mn die Anziehung der Plneten untereinnder einbezieht, reicht die obige Form des Grvittionsgesetzes nicht us ds Verhlten des Merkur vollständig zu erklären. Ds liegt zum einen drn ds hier bereits reltivistische Effekte eine Rolle spielen, ber selbst wenn wir diese ignorieren könnten reicht ds diskrete Grvittionsgesetz nicht mehr us. Die Sonne ist keine perfekte Kugel, sondern n den Polen etws eingedrückt, und dies führt dzu ds es nicht mehr ngemessen ist die Sonne ls eine punktförmige Msse zu modellieren. Die uf den Merkur wirkende Anziehung 1-3

4 hängt nicht nur vom Abstnd der Schwerpunkte zueinnder b, d je nch Position des Merkurs unterschiedlich grosse Teile der Sonne unterschiedlich nhe zu ihm sind. Wir bruchen eine kontinuierliche Form des Grvittionsgesetzes, bei dem die Msse M nicht mehr ls Punkt interpretiert wird sondern ls eine Teilmenge P R 3. Die ndere Msse m wollen wir uns dgegen weiter ls Punktmsse denken, für ds Merkur Beispiel ist ds uch ngemessen. Zur Bestimmung der Grvittion in diesem Fll denken wir uns den Körper P in kleinere Teilkörper P 1,..., P n zerlegt, und für 1 i n bezeichne p i den Schwerpunkt von P i, M i die Msse von P i und V i ds Volumen von P i, und weiter sei ϱ i := M i /V i die mittlere Dichte von P i. Ist P i usreichend klein, so können wir uns dieses Stückchen ls Punktmsse M i im Punkt p i denken, und die von diesem Teilstück uf m wirkende Krft ist dnn F i = γmm i / p i q 3 (p i q), lso wird die gesmte Krft F näherungsweise gleich n mm i n F γ p i q (p ϱ i 3 i q) = γm p i q (p 3 i q)v i sein. Bechte die Anlogie dieser Summe zu einer Riemnnsumme, nstelle einer Zerlegung eines Intervlls in Teilintervlle hben wir hier eine Zerlegung der Menge P in Teilmengen und nstelle der Länge der Teilintervlle wird ds Volumen der Teilmengen verwendet. Führen wir lso einen Grenzübergng n mit immer kleiner werdenden Teilstücken P i durch, so sollte us F ein Integrl über P werden. Wir können uch sgen ws der Integrnd sein sollte. Betrchte einen Punkt x P und jeweils ds Teilstück P i = P i,n mit x P i. Die Schwerpunkte p i sollten dnn gegen x konvergieren, und die mittleren Dichten ϱ i gegen die Dichte ϱ(x) von P im Punkt x, ls kontinuierliche Form des Grvittionsgesetzes ergibt sich lso F = γm P ϱ(x) (x q) dx. x q 3 Genu dieses Integrl ist ttsächlich ds Urbeispiel eines mehrdimensionlen Integrls. Die von uns zu entwickelnde Integrtionstheorie sollte eine exkte Definition dieses Integrls erluben und, unter geeigneten Regulritätsnnhmen, wirklich beweisen können ds die obigen Näherungen gegen ds Integrl konvergieren. 1.2 Ds Lebesgue Integrl Der Übergng zum Lebesgue Integrl ist schwerer zu motivieren, es ist uch wesentlich jüngeren Dtums ls die mehrdimensionlen Integrle. Wir wollen zunächst einml erläutern ws überhupt ds Problem mit dem Riemnn Integrl ist. Seien, b R mit < b gegeben und betrchte den Vektorrum R[, b] := {f : [, b] R Die Funktion f ist Riemnn integrierbr} ller Riemnnintegrierbren Funktionen uf dem Intervll [, b]. Dieser ist ein Untervektorrum des Vektorrums R [,b] ller Funktionen von [, b] nch R, siehe [Schütt, 5.1, 1-4

5 Lemm 66]. Auf diesem Vektorrum betrchten wir für f R[, b] die sogennnte L 1 -Norm f 1 := f(x) dx, wobei wir verwenden ds nch [Schütt, 5.1, Lemm 68] uch der Betrg f Riemnnintegrierbr ist. Sind f, g R[, b] und c R, so hben wir cf 1 = cf(x) dx = nch [Schütt, 5.1, Lemm 66] und f + g 1 = f(x) + g(x) dx c f(x) dx = c ( f(x) + g(x) ) dx = f(x) dx + f(x) dx = c f 1 g(x) dx = f 1 + g 1 nch [Schütt, 5.1, Lemm 67 und Lemm 66]. Die L 1 -Norm erfüllt lso zwei der drei definierenden Eigenschften einer Norm. Außerdem ist 0 1 = 0 ber umgekehrt folgt us f 1 = 0 für f R[, b] nicht ds f = 0 ist, die Funktion f könnte zum Beispiel n endlich vielen Stellen von Null verschieden sein. Die L 1 -Norm ist, trotz ihres Nmens, nur eine Hlbnorm im Sinne der folgenden Definition: Definition 1.1 (Hlbnormen) Sei E ein Vektorrum über K {R, C}. Eine Hlbnorm uf E ist eine Abbildung p : E R 0 mit den folgenden beiden Eigenschften: (H1) Für lle u E und lle λ K ist p(λu) = λ p(u) (Homogenität). (H2) Für lle u, v E gilt p(u + v) p(u) + p(v) (Dreiecksungleichung). Ist p solch eine Hlbnorm, so ist uch p(0) = p(0 0) = 0 p(0) = 0. Wie für Normen folgen uch p(u v) p(u) p(v) und p(u) p(v) p(u v) für lle u, v E. In der Tt, zunächst ist p(u) = p((u v) + v) p(u v) + p(v), lso p(u) p(v) p(u v), und weiter ist uch (p(u) p(v)) = p(v) p(u) p(v u) = p(u v), d.h. p(u) p(v) p(u v). Dss die L 1 -Norm nur eine Hlbnorm ist, ist nicht ds Problem m Riemnn Integrl, und läßt sich uch leicht beheben. Aus der lineren Algebr sind Ihnen die sogennnten Quotientenvektorräume beknnt. Sind E ein Vektorrum über einem Körper K und F E ein Untervektorrum von E, so bilden die Nebenklssen F + u für u E eine Prtition von E und für u, v E ist dbei F + u = F + v u v F. 1-5

6 Die Menge E/F := {F + u u E} der Nebenklssen von F in E knn durch (F + u) + (F + v) := F + (u + v) (für u, v E), c (F + u) := F + cu (für u E, c K) wieder zu einem Vektorrum über K gemcht werden, den Quotientenvektorrum oder Fktorvektorrum E/F. Flls Ihnen dies nicht beknnt, sollten Sie es ruhig einml verifizieren. Ausgestttet mit dem Begriff des Quotientenvektorrums können wir us einer Hlbnorm eine Norm mchen. Lemm 1.1: Seien E ein Vektorrum über K {R, C} und p eine Hlbnorm uf E. Dnn ist N := {u E p(u) = 0} ein Untervektorrum von E und für u, v E ist genu dnn p(u v) = 0 wenn N + u = N + v gilt. Weiter definiert N + u := p(u) (u E) eine Norm uf dem Quotientenvektorrum E/N. Beweis: Es ist 0 N, und sind u, v E, c K, so ist wegen p(cu) = c p(u) = 0 und p(u + v) p(u) + p(v) = 0 uch p(cu) = p(u + v) = 0, d.h. cu, u + v N. Dmit ist N ein Untervektorrum von E. Für u, v E ist N + u = N + v gleichwertig zu u v N und dies bedeutet p(u v) = 0 nch der Definition von N. Nun müssen wir uns klrmchen, dss die Norm überhupt wohldefiniert ist. Seien lso u, v E mit N + u = N + v gegeben. Dnn wissen wir bereits p(u v) = 0 und somit p(u) = p(v + (u v)) p(v) + p(u v) = p(v), d.h. es gilt p(u) p(v). Anlog ist uch p(v) p(u), und somit p(u) = p(v). Es bleibt nur zu zeigen, dss eine Norm uf E/N ist. Für lle u, v E, c K hben wir zunächst und c (N + u) = N + cu = p(cu) = c p(u) = c N + u (N + u) + (N + v) = N + (u + v) = p(u + v) p(u) + p(v) = N + u + N + v. Ist schließlich u E, so ist N + u = 0 gleichwertig zu p(u) = 0, d.h. zu u N und dies bedeutet N + u = N. Dmit ist ttsächlich eine Norm uf E/N. Mit diesen Lemm erhlten wir einen normierten Rum { R 1 [, b] = R[, b]/n mit N := f R[, b] } f(x) dx = 0 ls Quotient von R[, b]. Der entscheidende Defekt m Riemnnintegrl ist, dss der normierte Rum R 1 [, b] nicht vollständig ist, es gibt lso nicht konvergente Cuchyfolgen in R 1 [, b]. An dieser Stelle wollen wir dies einml gluben, Beispiele werden 1-6

7 wir später in diesem Semester konstruieren wenn etws mehr Hilfsmittel zur Verfügung stehen. Ds Lebesgue Integrl wird genu diesen Defekt beseitigen, die integrierbren Funktionen werden einen vollständigen normierten Rum bilden der unser R 1 [, b] ls dichten Teilrum enthält. Zugleich wird es uch mehr Lebesgueintegrierbre ls Riemnnintegrierbre Funktionen geben und diese erfüllen uch bessere Grenzwertsätze ls ds Riemnnintegrl es tut. Ds ist ber nicht die entscheidende Motivtion für ds Lebesgueintegrl, es gibt noch weitere Integrlbegriffe bei denen es noch mehr integrierbre Funktionen gibt und die noch bessere Grenzwertsätze erfüllen. 1.3 Ds Volumenproblem Kommen wir zur Definition des Riemnnintegrls zurück, zur Definition von f(x) dx htten wir ds Intervll [, b] in kleine Teile zerlegt und einen Grenzwert nch immer feineren Zerlegungen gebildet, die Definition funktioniert durch Zerlegung des Definitionsbereichs von f. Beim Lebesgueintegrl wird dgegen der Wertebereich zerlegt. Wir betrchten der Einfchheit hlber eine Funktion f : D R definiert uf einer Teilmenge D R n, die nur endlich viele Werte y 1,..., y r nnimmt. Dnn zerlegen wir den Wertebereich in die einelementigen Teilmengen {y i } für 1 i r und entsprechend den Definitionsbereich D in die Urbildmengen D i = f 1 (y i ) für 1 i r, ds Lebesgueintegrl wird dnn D f = r y i vol n (D i ) sein. Hierfür bruchen wir ds Volumen von Teilmengen des R n, und ttsächlich werden wir vor dem Lebesgueintegrl erst einml solche Volumin definieren müssen. Leider ist der Volumenbegriff subtiler ls mn zunächst erwrtet. Eine Wunschliste für ein n-dimensionles Volumen wäre wie folgt: 1. Jeder Teilmenge A R n sollte ls Volumen eine Zhl vol n (A) R 0 := R 0 {+ } zugeordnet werden. 2. Sind A, B R n disjunkt so sollte vol n (A B) = vol n (A) + vol n (B) gelten. 3. Ist A R n, so sollte für jeden Vektor v R n die verschobene Menge A + v dsselbe Volumen hben, lso vol n (A + v) = vol n (A) und für jede orthogonle Abbildung T SO(n) sollte uch vol n (T (A)) = vol n (A) gelten, ds Volumen sollte lso unter eigentlichen Bewegungen invrint sein. 4. Für Stndrdmengen sollte ds ltbeknnte Volumen heruskommen, beispielsweise sollte ein Quder Q mit Kntenlängen 1,..., n ds Volumen vol n (Q) = 1... n hben. 1-7

8 Für die beiden kleinen Dimensionen n = 1 und n = 2 ist es ttsächlich möglich solch ein Volumen zu konstruieren, ber nicht mehr für n 3. Dss es kein llgemeines Volumen im R 3 geben knn folgt us dem sogennnten Bnch Trski Prdoxon. Dieses besgt, dss mn die Einheitskugel B 3 = {x R 3 : x 1} des R 3 so in cht disjunkte Teilmengen zerlegen knn, ds mn diese in zwei Gruppen zu je vier einteilen knn und die vier Mengen us jeder dieser beiden Gruppen durch Verschieben und Drehen wieder zu B 3 zusmmensetzen knn. Mn knn die Kugel lso durch Zerschneiden und nschließendes neues Zusmmensetzen verdoppeln. Dmit knn ds obige Wunschprogrm im R 3 nicht relisiert werden. In höheren Dimensionen geht es dnn erst recht nicht, hben wir ein Volumen im R n+1 so knn durch vol n (A) := vol n+1 (A [0, 1]) eines im R n konstruiert werden. Ds Wunschprogrmm knn lso nicht relisiert werden. Glücklicherweise ist die Lge ber nicht so verheerend wie mn nun denken könnte, es reicht die erste Forderung ufzugeben. Jeder Teilmenge ein Volumen zuordnen zu wollen ist eine zu vermessene Idee. Wir müssen uns nstelle dessen uf eine Menge guter Teilmengen beschränken. D dies dnn die Teilmengen sind deren Volumen wir messen können, werden wir solche Mengen ls meßbr bezeichnen. Dmit ist der einleitende Teil beendet und im nächsten Kpitel werden wir dnn n die Arbeit gehen und uns mit der Beschreibung dieser meßbren Mengen und der Konstruktion eines Volumens für diese Mengen beschäftigen. 1-8