Integralrechnung. Kapitel Das Lebesgue Maß. In diesem wie auch im nächsten Abschnitt soll geklärt werden, was man unter dem Integral.

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1 Kpitel 7 Integrlrechnung 7.1 Ds Lebesgue Mß In diesem wie uch im nächsten Abschnitt soll geklärt werden, ws mn unter dem Integrl f(x)dx einer reellwertigen Funktion f : D R über einer Menge D versteht, wobei D eine Teilmenge des Vektorrums R n ist. Flls n = 1 gilt, und ein nichtleeres Intervll [,b] mit Intervllgrenzen R und b R ist, bezeichnet mn ds Integrl von f über üblicherweise mit b f(x)dx. Wenn die Funktion f stetig ist und drüber hinus nur nichtnegtive Funktionswerte besitzt, interpretiert mn ds Integrl ls den Flächeninhlt der Fläche, die vom Grph vonf,derabszisse(lsoderx-achse)unddenbeidensenkrechtengrdenx = undx = b eingeschlossen wird. Eine nloge Interprettion des Integrls wird uch für den Fll, dss n > 1 gilt, ngestrebt: Ds Integrl soll den Inhlt derjenigen Menge widerspiegeln, die von dem Grph von f, der Menge {} und der Menge R begrenzt wird. Dher mcht es Sinn, zunächst einml zu klären, ws mn unter dem Inhlt bzw. dem Volumen einer Menge verstehen soll. Es ist ttsächlich nicht leicht, einen sinnvollen Inhlts- oder Volumenbegriff für Teilmengen des R n zu definieren. Von einem sinnvollen Volumenbegriff würde mn beispielsweise erwrten, dss sich ds Volumen einer Menge nicht ändert, wenn mn die Menge verschiebt. Auch sollte die Summe der Volumin zweier disjunkter Mengen genu gleich dem Volumen der Vereinigung beider Mengen sein. Weiterhin sollte ds Volumen einer Menge stets größer oder gleich dem Volumen jeder Teilmenge sein. In der Mthemtik wird der Inhlt oder ds Volumen einer Menge gnz llgemein ls ds Mß der Menge bezeichnet. Es ht sich gezeigt, dss es gnz unterschiedliche Möglichkeiten gibt, ein solches Mß zu definieren. Die heutzutge gebräuchlichste Definition des Mßbegriffs geht uf den frnzösischen Mthemtiker Henri Léon Lebesgue ( ) zurück. In diesem Abschnitt soll dieses so gennnte Lebesgue Mß (gesprochen: Lebäk Mß ) eingeführt werden. Es wird sich zeigen, dss mn nur bestimmten Teilmengen des R n in sinnvoller Weise ein Lebesgue Mß zuordnen knn. Diese Mengen werden dnn Lebesgue messbr gennnt. Ds Mengensystem ller Lebesgue messbren Teilmengen der R n spielt eine wichtige Rolle bei der Definition von Integrlen. 159

2 16 KAPITEL 7. INTEGRALRECHNUNG Abbildung 7.1: Ein zweidimensionles, rechtsoffenes Intervll. Bevor wir definieren können, ws eine Lebesgue messbre Menge und ws ds Lebesgue Mß einer solchen Menge ist, benötigen wir noch einige grundlegende Begriffe. Zunächst erweitern wir den Intervllbegriff uf bestimmte Teilmengen des R n. Definition (n-dimensionles, rechtsoffenes Intervll). Sei n N eine ntürliche Zhl, und seien = ( 1, 2,..., n ) T R n und b = (b 1,b 2,...,b n ) T R n zwei Vektoren. Dnn nennt mn die Menge [,b) := [ 1,b 1 ) [ 2,b 2 ) [ n,b n ) = { x = (x 1,x 2,...,x n ) T R n i x i < b i für lle i = 1,2,...,n } ein n-dimensionles, rechtsoffenes Intervll. Die Menge ller n-dimensionlen, rechtsoffenen Intervlle wird im Folgenden mit J(R n ) bezeichnet. Eine Menge, deren Elemente ebenflls Mengen sind, wird üblicherweise ls Mengensystem bezeichnet, so uch J(R n ). Mn bechte, dss für jede ntürliche Zhl n N ds Mengensystem J(R n ) insbesondere die leere Menge enthält, d beispielsweise [,) = für lle Vektoren R n gilt. Für n = 1 besteht J(R n ) us llen rechtsoffenen Intervllen [,b) mit Intervllgrenzen,b R. Für n = 2 besteht J(R n ) us sämtlichen Rechtecken, deren Seiten prllel zu den Koordintenchsen verlufen, und die jeweils nur die linke und die untere Seite ls Teilmenge enthlten (siehe uch Abbildung 7.1). Für n = 3 besteht J(R n ) us Qudern, deren Knten prllel zu den Koordintenchsen verlufen. Für rechtsoffene Intervlle knn mn sehr leicht einen Volumenbegriff definieren. Definition (Volumen eines rechtsoffenen Intervlls). Sei n N eine ntürliche Zhl, und seien = ( 1, 2,..., n ) T R n und b = (b 1,b 2,...,b n ) T R n zwei Vektoren. Dnn nennt mn die Zhl vol ( [,b) ) flls [,b) =, := n (b i i ) sonst i=1 ds n-dimensionle Volumen von [,b). Die so definierte Funktion vol : J(R n ) R wird die n-dimensionle Volumenfunktion gennnt. Fürn = 1entsprichtvol([,b))genuderLängeb desintervlls[,b) R.Fürn = 2ist vol([,b))genuderflächeninhlt(b 1 1 )(b 2 2 )desrechtecks[,b) R 2,undfürn = 3 ist vol([,b)) genu der Ruminhlt (b 1 1 )(b 2 2 )(b 3 3 ) des Quders [,b) R 3. Die n-dimensionle Volumenfunktion ordnet lso jedem rechtsoffenen Intervll ein Volumen

3 7.1. DAS LEBESGUE MASS 161 zu, welches für n {1,2,3} genu der geometrischen Länge bzw. dem geometrischen Flächeninhlt bzw. dem geometrischen Ruminhlt entspricht. Mn betrchte dzu uch die nchfolgenden Beispiele. Beispiele. () Für ds rechtsoffene Intervll [1,3) R gilt vol([1,3)) = 3 1 = 2. Ds Volumen vol([1, 3)) entspricht offenbr genu der Länge des Intervlls. (b) Für = ( 1, 1) T R 2 und b = (1,1) T R 2 gilt vol([,b)) = (1 ( 1)) 2 = 4. Ttsächlich ist ds rechtsoffene Intervll [, b) ein Qudrt, dessen Seiten die Länge 2 besitzen. Ds Volumen vol([, b)) entspricht somit genu dem Flächeninhlt des Qudrts. Mit Hilfe der n-dimensionle Volumenfunktion knn mn für jede Teilmenge des R n ein so gennntes äußeres Lebesgue Mß definieren. Die Definition des äußeren Lebesgue Mßen bildet eine wichtige Vorstufe für die Definition eines llgemeinen Volumenbegriffs. Definition (äußeres Lebesgue Mß). Sei n N eine ntürliche Zhl, und sei P(R n ) die Potenzmenge von R n. Dnn heißt die Funktion mes : P(R n ) R { }, welche durch { } mes (A) := inf vol(j k ) (J k) k N ist eine Folge in J(R n ) mit J k A für lle A P(R n ) definiert ist, die n-dimensionle, äußere Lebesgue Mßfunktion. Für jede Menge A P(R n ) nennt mn mes (A) ds n-dimensionle, äußere Lebesgue Mß von A. Die Definition des n-dimensionlen äußeren Lebesgue Mßes knn folgendermßen motiviert werden: Durch die äußere Lebesgue Mßfunktion mes soll jeder Teilmenge A des R n genu eine nichtnegtive Zhl mes (A) zugeordnet werden, die einen möglichen Wert für ds Volumen von A drstellt. Dbei lässt mn die Frge ußer Acht, ob der Menge A ttsächlich in sinnvoller Weise ein Volumen zugeordnet werden knn. Zu dem möglichen Wert für ds Volumen von A gelngt mn durch folgende Überlegung: Wenn eine Folge rechtsoffener Intervlle (J k ) k N eine Überdeckung (siehe Abschnitt 3.4) von A bildet, dnn muss die Summe ller Intervllvolumin größer oder gleich dem Volumen von A sein. Knn mn die Überdeckung (J k ) k N so wählen, dss die Summe der Intervllvolumin möglichst klein ist, so ht mn ds mögliche Volumen von A gut pproximiert. Mn sucht lso ds Infimum der Menge { } vol(j k ) (J k) k N ist eine Folge in J(R n ) mit J k A. D jedes Intervllvolumen größer oder gleich Null ist, ist uch die Summe ller Intervllvolumin größer oder gleich Null. Dies gilt für jede Folge rechtsoffener Intervlle (J k ) k N, die eine Überdeckung von A bildet. Die obige Menge ist lso durch Null nch unten beschränkt, weshlb sie ein Infimum besitzt. Dieses Infimum, welches die Zhl mes (A) definiert, ist die größte untere Schrnke für lle Volumensummen von Intervllfolgen, welche die Menge A überdecken. Ds äußere Lebesgue Mß besitzt eine Reihe von Eigenschften, die mn von einem Volumenbegriff erwrten würde. Der nchfolgende Stz listet die wichtigsten Eigenschften des äußeren Lebesgue Mßes uf.

4 162 KAPITEL 7. INTEGRALRECHNUNG Stz 7.1. Sei n N eine ntürliche Zhl. Dnn gelten die folgenden Aussgen. (1) mes ( ) =. (2) Seien A P(R n ) und B P(R n ) zwei Mengen mit A B. Dnn gilt mes (A) mes (B). (3) Sei (A k ) k N eine Folge in P(R n ). Dnn gilt ( ) mes A k mes (A k ). (4) Sei A P(R n ) eine Menge und x R n ein Vektor. Dnn gilt Hierbei ist A+x := {+x A}. mes (A+x) = mes (A). Weiterhin knn mn zeigen, dss ds n-dimensionle äußere Lebesgue Mß mes (J) eines rechtsoffenen Intervlls J J(R n ) mit dem Volumen vol(j) des Intervlls überein. Dies ist der Inhlt des nchfolgenden Stzes. Stz 7.2. Sei n N eine ntürliche Zhl und J J(R n ) ein rechtsoffenes Intervll. Dnn gilt mes (J) = vol(j). Mit Hilfe des äußeren Lebesgue Mßes wird eine wichtige Klsse von Mengen definiert, welche mn die Lebesgue Nullmengen nennt. Definition (Lebesgue Nullmenge). Eine Menge N R n wird Lebesgue Nullmenge gennnt, wenn mes (N) = gilt. Die Menge ller Teilmengen des R n, welche Lebesgue Nullmengen sind, wird mit N(R n ) bezeichnet. Nch Definition des n-dimensionlen äußeren Lebesgue Mßes ist eine Teilmenge N des R n genu dnn eine Lebesgue Nullmenge, wenn es zu jeder positiven Zhl ε > eine Folge (J k ) k N in J gibt, so dss J k N und vol(j k ) < ε gilt. Nchfolgend geben wir einige wichtige Beispiele für Lebesgue Nullmengen n. Beispiele. () Lut Aussge (1) in Stz 7.1 ist die leere Menge eine Lebesgue Nullmenge. (b) Jede einpunktige Menge {x} mit x R n ist eine Lebesgue Nullmenge.

5 7.1. DAS LEBESGUE MASS 163 (c) Mn knn zeigen dss jede Vereinigung bzählbr vieler Lebesgue Nullmengen ebenflls eine Lebesgue Nullmenge ist. Dher sind uch die Mengen N, Z und sogr Q ls Teilmengen von R Lebesgue Nullmengen. (d) Jede Gerde im Vektorrum R n mit n 2 und jede Ebene im Vektorrum R n mit n 3 eine Lebesgue Nullmenge. Wie bereits ngedeutet wurde, wird ds n-dimensionle äußere Lebesgue Mß letztendlich nicht dzu verwendet, einen Volumenbegriff für Teilmengen des R n zu definieren. Der Grund hierfür ist, dss die Funktion mes im Allgemeinen nicht dditiv ist. Mn knn nämlich zeigen, dss es Teilmengen A des R n gibt, für die jeweils mindestens eine Menge E R n existiert, so dss mes (E) < mes (E A)+mes (E \A) gilt. Definiert mn nun die Menge B := E \A, so sind A und B offenbr zwei disjunkte Mengen, für die A B = E gilt. Würde mn ds äußere Lebesgue Mß dzu verwenden, die Volumin der Mengen A, B und A B zu definieren, so würde dies zu einem prdoxen Resultt führen. Aus der obigen Ungleichung und der Ttsche, dss E A A gilt, folgt nämlich die Ungleichungskette mes (A B) = mes (E) < mes (E A)+mes (B) mes (A)+mes (B). Die Summe der Volumin von A und B wäre somit echt größer ls ds Volumen der disjunkten Vereinigung von A und B. Dies widerspricht jedoch einer fundmentlen Vorstellung, die mn üblicherweise von einem Volumenbegriff ht. Die Summe der Volumin zweier disjunkter Mengen sollte nch dieser Vorstellung nämlich stets gleich dem Volumen der Vereinigung beider Mengen sein. Ws ist lso zu tun? Einerseits besitzt ds n-dimensionle äußere Lebesgue Mß eine Reihe wichtiger Eigenschften, die mn von einem Volumenbegriff erwrten würde. Andererseits führt ds n-dimensionle äußere Lebesgue Mß für gewisse Teilmengen des R n zu Resultten, die mit einem Volumenbegriff nicht vereinbr sind. Einerseits ist ds Lebesgue Mß lso ein ntürlicher Kndidt für einen Volumenbegriff, ndererseits liefert es für bestimmte Mengen prdoxe Resultte. Aus diesem Grund geht mn folgendermßen vor: Zunächst gibt mn ds Ziel uf, für jede Teilmenge des R n ein Volumen zu definieren. Mit Hilfe des äußeren Lebesgue Mßes definiert mn dnn nur für jene Teilmengen des R n ein Volumen, für die sich keine prdoxen Resultte ergeben. Solche Mengen werden Lebesgue messbr gennnt. Definition (Lebesgue messbre Menge). Sei n N eine ntürliche Zhl. Eine Menge A R n wird Lebesgue messbr gennnt, wenn mes (E) = mes (E A)+mes (E \A) für lle E R n gilt. Ds Mengensystem ller Lebesgue messbren Teilmengen des R n wird mit L(R n ) bezeichnet. Ds Mengensystem L(R n ) besteht genu us den Teilmengen des R n, für die mn mit Hilfe des äußeren Lebesgue Mßes einen sinnvollen Volumenbegriff definieren knn. Wie die nchfolgenden beiden Sätze zeigen, ist ds Mengensystem L(R n ) sehr groß, d.h. es enthält sehr viele Teilmengen des R n.

6 164 KAPITEL 7. INTEGRALRECHNUNG Stz 7.3. Sei n N eine ntürliche Zhl. Dnn gelten die folgenden Aussgen. (1) R n L(R n ). (2) Für jede Menge A L(R n ) gilt uch R n \A L(R n ). (3) Sei (A k ) k N eine Folge in L(R n ). Dnn gilt A k L(R n ). Sei (A k ) k N eine Folge in L(R n ). Dnn gilt A k L(R n ). Im wesentlichen besgt der Stz 7.3, dss mn us gegebenen Lebesgue messbren Mengen durch Bildung des Komplements, der Vereinigung und des Durchschnitts weitere Lebesgue messbre Mengen konstruieren knn. Der nchfolgende Stz listet einige Klssen Lebesgue messbrer Mengen uf. Stz 7.4. Sei n N eine ntürliche Zhl. Dnn gelten die folgenden Aussgen. (1) Für jede offene Menge O R n gilt O L(R n ). (2) Für jede bgeschlossene Menge A R n gilt A L(R n ). (3) Für jedes rechtsoffene Intervll J J(R n ) gilt J L(R n ). (4) Für jede Nullmenge N N(R n ) gilt N L(R n ). Für lle Lebesgue messbren Teilmengen des R n definiert mn nun in folgender Weise ds so gennnte n-dimensionle Lebesgue Mß. Definition (Lebesgue Mß). Sei n N eine ntürliche Zhl, und sei L(R n ) ds Mengensystem ller Lebesgue messbren Teilmengen von R n. Dnn heißt die Funktion mes : L(R n ) R { }, welche durch mes(a) := mes (A) für lle A L(R n ) definiert ist, die n-dimensionle, Lebesgue Mßfunktion. Für jede Menge A L(R n ) nennt mn mes(a) ds n-dimensionle, Lebesgue Mß von A. Per Definition stimmt ds Lebesgue Mß mes(a) jeder Lebesgue messbren Menge A stets mit dem äußeren Lebesgue Mß mes (A) der Menge überein. Die Funktionen mes und mes unterscheiden sich nämlich lediglich in ihren Definitionsbereichen. Während die äußere Lebesgue Mßfunktion mes uf der Potenzmenge P(R n ) definiert ist, ist die Lebesgue Mßfunktion mes nur uf dem Mengensystem ller Lebesgue messbren Mengen L(R n ) definiert. D L(R n ) eine Teilmenge von P(R n ) ist, gilt der folgende Grundstz: Sämtliche Aussgen in Stz 7.1 bleiben gültig, wenn mn P(R n ) durch L(R n ) und mes durch mes ersetzt. Drüber hinus besitzt ds n-dimensionle Lebesgue Mß weitere wichtige Eigenschften, die im nchfolgenden Stz ufgelistet werden.

7 7.1. DAS LEBESGUE MASS 165 Stz 7.5. Sei n N eine ntürliche Zhl. Dnn gelten die folgenden Aussgen. (1) Sei J J(R n ) ein rechtsoffenes Intervll. Dnn gilt mes(j) = vol(j). (2) Sei (A k ) k N eine Folge prweise disjunkter Mengen in L(R n ). Dnn gilt ( ) mes A k = mes(a k ). (3) Seien A L(R n ) und B L(R n ) zwei Lebesgue messbre Mengen. Dnn gilt mes(a B)+mes(A B) = mes(a)+mes(b). Die Aussge (2) in Stz 7.5 impliziert, dss ds Lebesgue Mß dditiv ist. Sind nämlich A und B zwei disjunkte, Lebesgue messbre Teilmengen des R n, so knn mn eine Folge prweise disjunkter Mengen (A k ) k N in L(R n ) durch A 1 := A, A 2 := B und A k := für lle k N mit k 3 definieren. Es gilt dnn ( ) mes(a B) = mes A k = mes(a k ) = mes(a)+mes(b). Die Summe der Lebesgue Mße zweier disjunkter Mengen ist somit immer gleich dem Lebesgue Mß der Vereinigung beider Mengen. Diese Eigenschft wr für ds äußere Lebesgue Mß nicht gegeben. Ds Lebesgue Mß erfüllt indes lle wichtigen Eigenschften eines Volumens. Dher definiert mn für jede Lebesgue messbre Teilmenge A des R n ds n-dimensionle Lebesgue Mß mes(a) ls ds Volumen von A. Lut Aussge (1) in Stz 7.5 knn ds Lebesgue Mß eines rechtsoffenen Intervlls explizit berechnet werden. Knn mn weiterhin eine gegebene Menge A R n ls disjunkte Vereinigung einer Folge prweise disjunkter, rechtsoffener Intervlle (J k ) k N und einer Lebesgue Nullmenge N drstellen, so knn mn uch ds Lebesgue Mß von A explizit berechnen. Es gilt dnn nämlich ( ) ( ) mes(a) = mes N A k = mes(n)+mes A k = + mes(a k ). Mn betrchte dzu uch die nchfolgenden Beispiele. Beispiele. () Es soll ds eindimensionle Lebesgue Mß eines nichtleeren, bgeschlossenen Intervlls [,b] mit den Intervllgrenzen,b R bestimmt werden. Offenbr ist [,b] die disjunkte Vereinigung des rechtsoffenen Intervlls [, b) und der Lebesgue Nullmenge {b}. Es gilt demnch mes ( [,b] ) = mes ( [,b) {b} ) = mes ( [,b) ) +mes ( {b} ) = mes ( [,b) ) = b.

8 166 KAPITEL 7. INTEGRALRECHNUNG () (b) Abbildung 7.2: () Ds Dreieck := {x R 2 x 1, x 2, x 1 +x 2 < 1}. (b) Eine mögliche Kchelung von mit rechtsoffenen Intervllen J (l) k. (b) Sei (, b) ein nichtleeres, offenes Intervll mit den Intervllgrenzen, b R. Dnn ist ds rechtsoffene Intervll [, b) offenbr die disjunkte Vereinigung von (, b) und der Lebesgue Nullmenge {}. Mn erhält lso mes ( (,b) ) = mes ( {} ) +mes ( (,b) ) = mes ( {} (,b) ) = mes ( [,b) ) = b. (c) DieMenge := {x = (x 1,x 2 ) T R 2 x 1, x 2, x 1 +x 2 < 1}besitztdieGestlt eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Ktheten prllel zu den Koordintenchsen im R 2 verlufen (siehe Abbildung 7.2()). Ds zweidimensionle Lebesgue Mß dieser Menge knn folgendermßen bestimmt werden: Für jeden Index l N und jeden Index k {,1,...,2 l 1} definiert mn ds zweidimensionle, rechtsoffene Intervll J (l) k := [ k 2k +1 2l, 2 l+1 ) [ 2 l k 1 2 l, 2l+1 2k 1 2 l+1 Mn knn zeigen, dss die disjunkte Vereinigung ll dieser Intervlle J (l) k ist (siehe Abbildung 7.2(b)). Mn rechnet ußerdem leicht nch, dss mes ( J (l) ) 1 k = 2 2l+2 für lle l N und lle k {,1,...,2 l 1} gilt. Entsprechende erhält mn ( ( 2 )) ( l 1 2 l 1 mes( ) = mes = mes ( J (l) ) ) k = l= = 1 2. l= k= 2 l 2 2l+2 = 1 4 J (l) k l= l= ( ) 1 l = k= Wie erwrtet, entspricht ds Lebesgue Mß von genu dem Flächeninhlt eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Ktheten beide die Länge 1 hben. Zum Abschluss dieses Kpitels kommen wir noch uf eine Formulierung zu sprechen, die häufig in der Integrtionstheorie wie uch in der Stochstik verwendet wird. ).

9 7.1. DAS LEBESGUE MASS 167 Definition (Lebesgue fst überll). Sei n N eine ntürliche Zhl, und sei A R n eine beliebige Menge. Mn sgt, dss eine Eigenschft Lebesgue fst überll oder einfch nur fst überll uf A gilt, wenn die Menge N ller Punkte von A, für die die Eigenschft nicht gilt, eine Lebesgue Nullmenge ist. Die nchfolgenden Beispiele sollen verdeutlichen, wie die Formulierung fst überll üblicherweise verwendet wird. Beispiele. () Die Signumfunktion sgn : R R ist n jeder Stelle x R\{} stetig. An der Stelle x = ist sie nicht stetig. Die Menge ller Punkte in R, n denen die Signumfunktion nicht stetig ist, ist lso die einpunktige Menge {}. D {} eine Lebesgue Nullmenge ist, ist die Signumfunktion fst überll uf R stetig. (b) Die Betrgsfunktion : R R ist n jeder Stelle x R\{} differenzierbr. Also ist die Betrgsfunktion fst überll uf R differenzierbr. (c) Die so gennnte Dirichlet Funktion D : R R ist durch { 1 flls x Q, D(x) := sonst für lle x R definiert. D die Menge ller rtionlen Zhlen Q eine Lebesgue Nullmenge ist, besitzt die Dirichlet Funktion fst überll uf R den Funktionswert Null. Übungsufgben 1. Sein NeinentürlicheZhl,undseienA L(R n )undb L(R n )zweilebesgue messbre Mengen. Zeigen Sie, dss dnn uch A B L(R n ), A B L(R n ) und B \ A L(R n ) gilt. Verwenden Sie dzu die Aussgen in Stz 7.3. Dbei knn es hilfreich sein, die Folge (A k ) k N in L(R n ) zu betrchten, welche durch A 1 := A, A 2 := B und A k := für lle k 3 definiert ist. 2. Sei n N eine ntürliche Zhl, und seien A L(R n ) und B L(R n ) zwei Lebesgue messbre Mengen mit A B. Zeigen Sie, dss dnn mes(b \ A) = mes(b) mes(a) gilt. Verwenden Sie dzu die definierende Eigenschft Lebesgue messbrer Mengen, sowie die Ttsche, dss mes(m) = mes (M) für lle M L(R n ) gilt. 3. Bestimmen Sie die zweidimensionlen Lebesgue Mße der folgenden Mengen: M 1 := ( [3,5) [1,2) ) ( [3,4) [2,3) ) M 2 := ( [,3) [,2) ) ( [1,3) [1,4) ), M 3 := ( [1,4) [3,7) ) \ ( [2,3) [4,6) ), ( [2 k ) [ ) ) 1 M 4 := 2 k, 2k k+1, 2 k+1 k= Verwenden Sie dzu die Aussgen in Stz 7.5. Es knn hilfreich sein, die Mengen zu skizzieren. 4. Zeigen Sie, dss die Strecke S := {x = (x 1,x 2 ) T R 2 x 1 < 1, x 2 = x 1 } eine Lebesgue Nullmenge ist. Konstruieren Sie dzu für jede ntürliche Zhl n N genu n rechtsoffene Intervlle J (n) 1,J (n) 2,...,J n (n) J(R 2 ) derrt, dss die Vereinigung J (n) 1 J (n) 2 J n (n) die Strecke S überdeckt und die Summe der Intervllvolumin genu 1/n beträgt.

10 168 KAPITEL 7. INTEGRALRECHNUNG 7.2 Ds Lebesgue Integrl Nchdem wir im vorn gegngenen Abschnitt ds Lebesgue Mß eingeführt hben, wenden wir uns in diesem Abschnitt dem so gennnten Lebesgue Integrl zu. Es ht sich gezeigt, dss es verschiedene Möglichkeiten gibt, ds Integrl f(x)dx einer Funktion f : D R über einer Menge D mit D R n sinnvoll zu definieren. Verwendet mn die Definition, die im wesentlichen uf Henri Léon Lebesgue zurück geht, erhält mn ds so gennnte Lebesgue Integrl von f über. Andere Definitionen des Integrls gehen uf den deutschen Mthemtiker Bernhrd Riemnn ( ) bzw. uf den frnzösischen Mthemtiker Mrie Ennemond Cmille Jordn( ) zurück. Verwendet mn deren Definitionen, so erhält mn ds Riemnn Integrl bzw. ds Jordn Integrl von f über. Heutzutge verwendet mn in der Regel die Definition des Integrls nch Lebesgue. Wie wir noch sehen werden, knn ds Lebesgue Integrl von f über nur für bestimmte Funktionen f und nur für bestimmte Mengen definiert werden. Die Menge muss nämlich Lebesgue messbr sein. Die Funktion f wiederum muss ebenflls Lebesgue-messbr sein. Ws dies bedeutet soll nchfolgend erläutert werden. Zunächst jedoch definieren wir einige grundlegende Begriffe. Definition (chrkteristische Funktion). Sei n N eine ntürliche Zhl, und seien D R n und A R n zwei beliebige Mengen. Dnn heißt die Funktion χ A : D R, welche durch { 1 flls x D A, χ A (x) := flls x D \A für lle x D definiert ist, die chrkteristische Funktion oder die Indiktorfunktion von A uf D gennnt. Gemäß Definition nimmt jede chrkteristische Funktion χ A uf einer Menge D mximl zwei verschiedene Funktionswerte n, nämlich und 1. Für die zugehörigen Urbilder gilt χ 1 A ({}) = D \ A und χ 1 A ({1}) = D A. Wir kennen bereits einige Funktionen, die ls chrkteristische Funktionen bestimmter Teilmengen von R ufgefsst werden können. Mn betrchte dzu die nchfolgenden Beispiele. Beispiele. () Die chrkteristischefunktionχ [, ) : R RderMenge llernichtnegtivenzhlen uf R entspricht genu der Heviside Funktion (siehe Beispiel (b) uf Seite 12). (b) Die chrkteristische Funktion χ Q : R R der Menge ller rtionlen Zhlen uf R entspricht genu der Dirichlet Funktion (siehe Beispiel (c) uf Seite 167). Mit Hilfe der chrkteristischen Funktionen knn mn eine bestimmte Klsse reellwertiger Funktionen definieren, die ls einfche Funktionen bezeichnet werden.

11 7.2. DAS LEBESGUE INTEGRAL 169 Definition (einfche Funktion). Sei n N eine ntürliche Zhl und D L(R n ) eine nichtleere, Lebesgue messbre Menge. Eine Funktion f : D R wird einfch gennnt, wenn es endlich viele Lebesgue messbre Mengen A 1,A 2,...,A N L(R n ) und ebenso viele von Null verschiedene Zhlen 1, 2,..., N R\{} gibt, so dss f = N k χ Ak gilt, wobei χ Ak für lle k = 1,2,...,N die chrkteristische Funktion der Menge A k uf D bezeichnet. Die Menge ller einfchen Funktionen von D nch R wird im folgenden mit E(D) bezeichnet. Einfche Funktionen sind lso Linerkombintionen endlich vieler chrkteristischer Funktionen von Lebesgue messbren Mengen. Aus diesem Grund besitzt jede einfche Funktion nur endlich viele unterschiedliche Funktionswerte. Nchfolgend geben wir einige Beispiele für einfche Funktionen n. Beispiele. () Für je zwei Lebesgue messbre Mengen D L(R n ) und A L(R n ) ist die chrkteristische Funktion χ A von A uf D einfch. (b) Jede Nullfunktion f : R n {} ist einfch. Es gilt nämlich f = χ, wobei χ die chrkteristische Funktion der leeren Menge uf R n bezeichnet. Die leere Menge ist eine Lebesgue Nullmenge und somit Lebesgue messbr lut Stz 7.4(4). (c) Jede konstnte Funktion f : R n {} mit > ist einfch. Es gilt nämlich f = χ R n. Hierbei bezeichnet χ R n die chrkteristische Funktion von R n uf R n. Der Vektorrum R n ist lut Stz 7.3(1) eine Lebesgue messbre Menge. (d) Die Signumfunktion sgn : R R ist einfch. Es gilt nämlich sgn = χ (, ) χ (,), wobei χ (,) und χ (, ) die chrkteristischen Funktionen der Mengen ller negtiven bzw. ller positiven Zhlen uf R bezeichnen. Die Mengen (,) und (, ) sind offen und dmit uch Lebesgue messbr lut Stz 7.4(1). Für einfche Funktionen, deren Funktionswerte nichtnegtiv sind, definiert mn ds Lebesgue Integrl in folgender Weise. Definition (Lebesgue Integrl einer nichtnegtiven, einfchen Funktion). Sei n N eine ntürliche Zhl, sei D L(R n ) eine nichtleere, Lebesgue messbre Menge, und sei f E(D) eine einfche Funktion mit der Drstellung f = N kχ Ak, wobei die Zhlen 1, 2,..., N lle positiv seien. Sei ferner L(R n ) eine Lebesgue messbre Menge mit D. Dnn nennt mn f(x)dx := ds Lebesgue Integrl von f über. N k mes(a k )

12 17 KAPITEL 7. INTEGRALRECHNUNG () (b) Abbildung 7.3: () Grph der einfchen Funktion f = 2χ [ 1,1] +χ [2,3) +3χ [3,5]. (b) Ds Lebesgue Integrl von f über dem Intervll [, 4] entspricht genu dem Flächeninhlt der gru unterlegten Fläche. Um ds Lebesgue Integrls einer nichtnegtiven, einfchen Funktion f zu berechnen, muss mn lediglich zu jedem positiven Funktionswert k von f die Teilmenge A k des Integrtionsbereichs kennen, uf der dieser Funktionswert ngenommen wird. Ds Lebesgue Integrl wird dnn berechnet, indem mn jeden positiven Funktionswert mit dem Mß der entsprechenden Menge multipliziert und nschließend lle Produkte ufsummiert. D ds Lebesgue Mß einer Menge uch sein knn, ist es durchus möglich, dss f(x)dx = gilt. Ds Integrl wird in diesem Fll unbeschränkt gennnt. Die Berechnung des Lebesgue Integrls einer nichtnegtiven, einfchen Funktion soll noch nhnd eines Beispiels verdeutlicht werden. Beispiel. Die einfche Funktion f E(R) sei durch f := 2χ [ 1,1] +χ [2,3) +3χ [3,5] definiert (siehe Abbildung 7.3()). Offenbr besitzt f nur nichtnegtive Funktionswerte, weshlb ds Lebesgue Integrl von f über jeder Lebesgue messbren Teilmenge von R definiert ist. Im Fll = [,4] erhält mn insbesondere f(x)dx = 2mes ( [ 1,1] [,4] ) +mes ( [2,3) [,4] ) +3mes ( [3,5] [,4] ) [,4] = 2mes ( [,1] ) +mes ( [2,3) ) +3mes ( [3,4] ) = = 6. Ds Lebesgue Integrl entspricht genu dem Flächeninhlt der Menge ller Punkte, die sich unterhlb des Grphen von f und oberhlb der x-achse, sowie innerhlb des Intervlls [, 4] befinden (siehe Abbildung 7.3(b)). Bislng wurde ds Lebesgue Integrl lediglich für nichtnegtive, einfche Funktionen definiert. Unser nächstes Ziel ist es, ds Lebesgue Integrl drüber hinus für möglichst viele Funktionen zu definieren. Zu diesem Zwecken führen wir den sogennnten Positivteil und den Negtivteil einer reellwertigen Funktion ein. Definition (Positivteil). Sei X eine nichtleere Menge und f : X R eine Funktion. Dnn heißt die Funktion f + : X R, welche durch f + (x) := mx{f(x),} für lle x X definiert ist, der Positivteil von f.

13 7.2. DAS LEBESGUE INTEGRAL 171 () (b) (c) Abbildung 7.4: () Grph einer Funktion f : R R. (b) Grph des Positivteils f + von f. (c) Grph des Negtivteils f von f. Definition (Negtivteil). Sei X eine nichtleere Menge und f : X R eine Funktion. Dnn heißt die Funktion f : X R, welche durch f (x) := mx{ f(x),} für lle x X definiert ist, der Negtivteil von f. Mn mcht sich leicht klr, dss für jede reellwertige Funktion f die Identität f = f + f gilt. Zu bechten ist, dss sowohl der Positivteil f + ls uch der Negtivteil f nichtnegtive Funktionen sind. Es ist dher möglich, jede reellwertige Funktion ls Differenz zweier nichtnegtiver Funktionen drzustellen. Mn überlegt sich ußerdem leicht, dss der Positivteil und der Negtivteil jeder einfchen Funktion ebenflls einfche Funktionen sind. Als nächstes definieren wir eine Klsse von Funktionen, die ls Grenzfunktionen bestimmter Folgen von einfchen Funktionen drstellbr sind. Diese Funktionen werden Lebesgue messbr gennnt. Definition (Lebesgue messbre Funktion). Sei n N eine ntürliche Zhl, und sei D L(R n ) eine nichtleere, Lebesgue messbre Menge. Eine Funktion f : D R wird Lebesgue messbr gennnt, wenn eine Funktionenfolge (f m ) m N in E(D) existiert, so dss für jedes x D die Folgen (f + m(x)) m N und (f m(x)) m N monoton wchsend sind und gegen f + (x) bzw. gegen f (x) konvergieren. Die Menge ller Lebesgue messbren Funktionen, die uf einer Lebesgue messbren Menge D definiert sind, ist sehr groß. Wie der nchfolgende Stz zeigt, umfsst diese Menge insbesondere lle stetigen Funktionen uf D. Stz 7.6. Sei n N eine ntürliche Zhl, sei D L(R n ) eine Lebesgue messbre Menge, und sei f : D R eine stetige Funktion. Dnn ist f Lebesgue messbr. D der Positivteil f + wie uch der Negtivteil f einer Lebesgue messbren Funktion f Grenzfunktionen zweier Folgen nichtnegtiver, einfcher Funktionen sind, und d für jede nichtnegtive, einfche Funktion ds Lebesgue Integrl über einer Lebesgue messbren Menge definiert ist, knn mn in folgender Weise ds Lebesgue Integrl von f + und f über definieren.

14 172 KAPITEL 7. INTEGRALRECHNUNG Definition (Lebesgue Integrl des Positivteils). Sei n N eine ntürliche Zhl, sei D L(R n ) eine nichtleere, Lebesgue messbre Menge, und sei f : D R eine Lebesgue messbre Funktion. Sei ußerdem (f m ) m N eine Funktionenfolge in E(D), so dss für jedes x D die Folge (f m(x)) + m N streng monoton wchsend gegen f + (x) konvergiert. Für jede Lebesgue messbre Menge L(R n ) mit D heißt dnn f + (x)dx := lim f + m m(x)dx ds Lebesgue Integrl von f + über. Definition (Lebesgue Integrl des Negtivteils). Sei n N eine ntürliche Zhl, sei D L(R n ) eine nichtleere, Lebesgue messbre Menge, und sei f : D R eine Lebesgue messbre Funktion. Sei ußerdem (f m ) m N eine Funktionenfolge in E(D), so dss für jedes x D die Folge (fm(x)) m N streng monoton wchsend gegen f (x) konvergiert. Für jede Lebesgue messbre Menge L(R n ) mit D heißt dnn f (x)dx := lim f m m(x)dx ds Lebesgue Integrl von f über. Mn bechte, dss die Integrle der einfchen Funktionen in den obigen Definition unbeschränkt sein können. Außerdem können sie gegen bestimmt divergieren, wenn m gegen strebt. In beiden Fällen wäre dnn ds Integrl des Positivteils bzw. des Negtivteils unbeschränkt. Ist hingegen f eine Funktion derrt, dss jedes Integrl des Positivteils f + und jedes Integrl des Negtivteils f beschränkt ist, so nennt mn die Funktion f Lebesgue integrierbr. Definition (Lebesgue integrierbre Funktion). Sei n N eine ntürliche Zhl, und sei D L(R n ) eine nichtleere, Lebesgue messbre Menge. Eine Funktion f : D R wird Lebesgue integrierbr gennnt, wenn sie Lebesgue messbr ist, und wenn f + (x)dx < und D D f (x)dx < gilt. Die Menge ller Lebesgue integrierbren Funktionen von D nch R wird üblicherweise mit L 1 (D) bezeichnet. Für jede Lebesgue integrierbre Funktion knn nun in folgender Weise ds Lebesgue Integrl definiert werden. Definition (Lebesgue Integrl). Sei n N eine ntürliche Zhl, und sei D L(R n ) eine nichtleere, Lebesgue messbre Menge, und sei f L 1 (D) eine Lebesgue messbre Funktion. Sei ferner L(R n ) eine Lebesgue-messbre Menge mit D. Dnn heißt f(x)dx := f + (x)dx f (x)dx ds Lebesgue Integrl von f über.

15 7.2. DAS LEBESGUE INTEGRAL 173 () (b) (c) Abbildung 7.5: () (c) Die Folge nichtnegtiver, einfcher Funktionen (f m ) m N konvergiert punktweise monoton wchsend gegen die Funktion f : [,1] R, x x 2. Die Flächeninhlte der gru unterlegten Bereiche entsprechen jeweils genu den Lebesgue Integrlen der Folgenglieder von (f m ) m N. Ds nchfolgende Beispiel dient dzu, die Definition des Lebesgue Integrls noch einml zu verdeutlichen. Außerdem zeigt ds Beispiel, wie mn ds Lebesgue Integrl bestimmter Funktionen streng nch Definition berechnen knn. Beispiel. Wir betrchten die Funktion f : [,1] R, welche durch f(x) := x 2 für lle x R n definiert ist. D die Funktion f usschließlich nichtnegtive Funktionswerte besitzt, gilt f + = f und f =. Für jede ntürliche Zhl m N und jeden Index k {1,2,...,2 m 1} definieren wir ds rechtsoffene Intervll J (m) k := [ k k +1 2m, 2 m sowie die Zhl (m) k := k 2 /2 2m. Es gilt dnn mes(j (m) k ) = 1/2 m für lle m N und jeden Index k {1,2,...,2 m 1}. Als nächstes definieren wir die Funktionenfolge (f m ) m N in E([,1]) durch f m := 2 m 1 ) (m) k χ J (m) k für lle m N (siehe Abbildung 7.5). Mn überlegt sich leicht, dss ( 2 f m(x) + m ) x 2 = f m (x) = für lle m N und lle x [,1] gilt. Verwendet mn die Ttsche, dss +b + b für lle,b R gilt, so knn mn zeigen, dss die Folge (f + m(x)) m N für jedes x [,1] monoton wächst. Mit Hilfe des Sndwichtheorems (siehe Stz 4.3) zeigt mn ußerdem leicht, dss die Folge (f + m(x)) m N für jedes x [,1] gegen x 2 und somit gegen den Funktionswertf + (x)konvergiert.diefolge(f + m) m N konvergiertlsopunktweisemonotonwchsend gegen f +. Die Funktion f ist demnch Lebesgue messbr. Weiterhin gilt [,1] 2 m 2 m 1 f + (x)dx = lim f + m m(x)dx = lim [,1] m 2 m 1 = lim m k 2 = lim 23m m 2 1 m 1 2 3m 1 = lim m 2 3m (2m 1)2 m (2 m+1 1) 6 (m) k k 2 mes ( J (m) ) k

16 174 KAPITEL 7. INTEGRALRECHNUNG sowie 2 2 3m 3 2 2m +2 m = lim m 6 2 3m m +2 2m = lim m 6 = 1 3, [,1] f (x)dx =, d der Negtivteil f von f die Nullfunktion ist. Die Funktion f ist lso Lebesgue integrierbr, und ihr Lebesgue Integrl über dem Intervll [, 1] ist durch f(x)dx = f + (x)dx [,1]f (x)dx = 1 3 gegeben. [,1] [,1] Ntürlich ist die im Beispiel verwendete Methode zur Berechnung des Lebesgue Integrls für die meisten Funktionen eher ungeeignet. In vielen Fällen knn mn ein Lebesgue Integrl nämlich mittels bestimmter Integrtionsregeln berechnen. Einige dieser Integrtionsregeln werden wir im nchfolgenden Abschnitt kennen lernen. Im Folgenden gehen wir zunächst uf grundlegende Eigenschften des Lebesgue Integrls ein. Der nchfolgende Stz zählt die wichtigsten Eigenschften uf. Stz 7.7. Sei n N eine ntürliche Zhl, und seien D L(R n ) und L(R n ) zwei Lebesgue messbre Mengen mit D. Seien ferner f L 1 (D) und g L 1 (D) zwei Lebesgue integrierbre Funktionen, und sei α R eine reelle Zhl. Dnn gelten die folgenden Aussgen: (1) Ds Lebesgue Integrl ist liner, d.h. es gilt f(x)+g(x)dx = f(x)dx+ αf(x)dx = α f(x)dx. g(x) dx, (2) WenneineLebesgue NullmengeN L(R n )mitn D existiert,sodssf(x) g(x) für lle x \N gilt, dnn gilt uch f(x)dx = g(x) dx. (3) Sei ( k ) k N eine Folge prweise disjunkter Mengen in L(R n ), d.h. es gelte k l = für lle k,l N mit k l. Wenn ußerdem gilt, dnn gilt uch f(x)dx = = k k f(x)dx.

17 7.2. DAS LEBESGUE INTEGRAL 175 (4) Für jede Lebesgue Nullmenge N L(R n ) mit N D gilt f(x)dx =. N Die Aussge (1) in Stz 7.7 ( Ds Lebesgue Integrl ist liner. ) knn noch etws präziser gefsst werden: Definiert mn zu je zwei Lebesgue messbren Mengen D L(R n ) und L(R n ) mit D die Abbildung I : L 1 (D) R durch I(f) := f(x)dx für lle Lebesgue integrierbren Funktionen f L 1 (D), so ist I eine linere Abbildung. Die Aussge impliziert uch, dss die Menge L 1 (D) ein Vektorrum über R ist. Gemäß Aussge (2) in Stz 7.7 ist die Abbildung I im folgenden Sinn monoton wchsend: Auf der Menge L 1 (D) knn mn eine Ordnungsreltion definieren, indem mn für jede zwei Lebesgue integrierbre Funktionen f L 1 (D) und g L 1 (D) festlegt, dss f g genu dnn gelten soll, wenn eine Lebesgue Nullmenge N L(R n ) mit N D existiert, so dss f(x) g(x) für lle x D \ N gilt. Die Reltion f g besteht lso genu dnn, wenn die Funktionswerte von f fst überll uf D kleiner oder gleich den entsprechenden Funktionswerten von g sind. Aus f g folgt dnn stets I(f) I(g). Die Aussgen (3) und (4) in Stz 7.7 sind für die Berechnung von Lebesgue Integrlen oft nützlich. Aus der Aussge (3) folgt insbesondere, dss für je zwei disjunkte Mengen A L(R n ) und B L(R n ) mit A D und B D stets f(x)dx = f(x)dx+ f(x)dx A B A gilt. Um dies zu sehen, definiert mn die Menge in Aussge (3) einfch durch := A B und die Folge ( k ) k N durch 1 := A, 2 := B und k := für lle k 3. Dnn nutzt mn us, dss gemäß Aussge (4) die Gleichung f(x)dx = gilt. Eine weitere wichtige Folgerung us Stz 7.7 ist durch ds nchfolgende Lemm gegeben. Lemm 7.8. Sei n N eine ntürliche Zhl, und sei D L(R n ) eine Lebesgue messbre Menge. Seien fernen f L 1 (D) und g L 1 (D) zwei Lebesgue integrierbre Funktionen derrt, dss eine Lebesgue Nullmenge N L(R n ) mit N D existiert, so dss f(x) = g(x) für lle x D \N gilt. Dnn gilt f(x)dx = g(x) dx. Ds Lebesgue Integrl zweier Funktionen stimmt lso immer dnn überein, wenn die Funktionen fst überll dieselben Funktionswerte nnehmen. Zum Abschluss dieses Abschnitts führen wir noch einige häufig verwendete Schreibweise für Lebesgue Integrle über eindimensionlen Intervllen ein. Sind R { } und b R { } zwei Zhlen, für die b gilt, so definiert mn b f(x)dx := f(x)dx. (,b) B

18 176 KAPITEL 7. INTEGRALRECHNUNG Den Ausdruck uf der linken Seite bezeichnet mn ls ds Integrl von f von nch b. Lut den Aussgen (3) und (4) von Stz 7.7 stimmt dieses Integrl mit dem Integrl von f über dem bgeschlossenen Intervll [,b] überein, sofern und b reelle Zhlen sind. Es gilt dnn nämlich f(x)dx = f(x)dx+ f(x)dx+ f(x)dx = f(x)dx, (,b) {b} (,b) [,b] {} d die einpunktigen Mengen {} und {b} Lebesgue Nullmengen sind. Flls < b gilt, definiert mn ußerdem b f(x)dx := b f(x)dx. Übungsufgben 1. Die einfche Funktion f : R R sei durch f := χ [,1) +2χ [1,2) +3χ [2,3) +4χ [3,4] definiert. Berechnen Sie ds (Lebesgue )Integrl f(x)dx. R 2. Die Heviside Funktion H : R R, die chrkteristische Funktion χ {} : R R, die Dirichlet Funktion D : R R und die Signumfunktion sgn : R R sind einfche Funktionen. Berechnen die die folgenden (Lebesgue )Integrle: 1 1 H(x) dx, 1 1 χ {} (x)dx, 1 D(x) dx, 1 1 sgn(x) dx. 3. Sei n N eine ntürliche Zhl, sei D L(R n ) eine Lebesgue messbre Menge, und sei f : D R eine Lebesgue messbre Funktion. Zeigen Sie, dss f genu dnn Lebesgue integrierbr ist, wenn die Funktion f Lebesgue integrierbr ist. 4. Seien n N eine ntürliche Zhl, seien A L(R n ) und B L(R n ) zwei Lebesgue messbre Mengen, und sei f L 1 (A B) eine Lebesgue integrierbre Funktion. Zeigen Sie, dss dnn f(x)dx = f(x)dx+ f(x)dx f(x)dx gilt. A B A 5. Sei n N eine ntürliche Zhl, und sei D L(R n ) eine Lebesgue messbre Menge. Sei ußerdem f L 1 (D) eine Lebesgue integrierbre Funktion mit der Eigenschft, dss die Menge S := {x D f(x) } eine Lebesgue Nullmenge ist. Zeigen Sie, dss dnn f(x) dx = gilt. D B A B

19 7.3. BERECHNUNG VON INTEGRALEN Berechnung von Integrlen Nchdem in den vorn gegngenen beiden Abschnitten definiert wurde, ws ds Lebesgue Integrl einer Lebesgue integrierbren Funktion über einer Lebesgue-messbren Menge ist, wenden wir uns in diesem Abschnitt einigen Methoden zu, mit denen bestimmte Lebesgue Integrle explizit berechnet werden können. Im Folgenden wird dbei nur noch von Integrlen, integrierbren Funktionen und messbren Mengen die Rede sein. Gemeint sind dmit jeweils Lebesgue Integrle, Lebesgue integrierbre Funktionen und Lebesgue messbre Mengen. Es ist wichtig zu wissen, dss ist es nicht immer möglich ist, ds Integrl einer integrierbren Funktion explizit zu berechnen. Auch die in diesem Abschnitt vorgestellten Integrtionsmethoden lssen sich bei weitem nicht uf lle integrierbren Funktionen nwenden. Ds wichtigste Hilfsmittel für die explizite Berechnung von Integrlen ist der so gennnt Fundmentlstz der Anlysis. Bevor wir diesen Stz jedoch formulieren können, müssen wir zunächst definieren, ws Stmmfunktionen sind. Definition (Stmmfunktion). Sei D R eine nichtleere, offene Menge. Seien ußerdem f : D R und F : D R zwei Funktionen, so dss F = f gilt. Dnn heißt F eine Stmmfunktion von f. Mn bechte, dss Stmmfunktionen nicht eindeutig bestimmt sind. Sei beispielsweise F einestmmfunktionvonf,undseiα ReinereelleZhl.DnnistdieFunktionG := F+α ebenflls eine Stmmfunktion von f. Es gilt nämlich G = (F +α) = F = f. Stmmfunktionen sind lso nur bis uf dditive Konstnten eindeutig bestimmt. Dies bereitet in der Regel jedoch keine Schwierigkeiten. Ttsächlich eröffnet sich ddurch die Möglichkeit, eine solche Konstnte pssend zur jeweiligen Anwendung zu wählen. Stz 7.9 (Fundmentlstz der Anlysis). Sei [, b] R ein nichtleeres, bgeschlossenesintervll.seiußerdemf L 1 ([,b])eineintegrierbrefunktion,undseif : [,b] R eine Stmmfunktion von f. Dnn gilt b f(x)dx = [ ] b F(x) := F(b) F(). x= Üblicherweise bezeichnet mn die Funktion, deren Integrl berechnet werden soll, ls Integrnd. Der Fundmentlstz der Anlysis besgt, dss mn ds Integrl einer integrierbren Funktion über einem eindimensionlen Intervll immer dnn explizit berechnen knn, wenn eine Stmmfunktion des Integrnden existiert. Es ist dbei üblich, die Differenz der Funktionswerte der Stmmfunktion n den Integrtionsgrenzen und b mit [ ] b F(x) x= zu bezeichnen. Oft wird uch einfch die Schreibweise [ ] b F(x) verwendet, wenn klr ist, dss x die Vrible der Stmmfunktion ist. In den nchfolgenden Beispielen wird demonstriert, wie der Fundmentlstz der Anlysis ngewendet wird.

20 178 KAPITEL 7. INTEGRALRECHNUNG Beispiele. () Es soll ds Integrl π sin(3x+π)dx berechnet werden. Die Funktion f : R R, welche durch f(x) := sin(3x + π) für lle x R gegeben ist, knn hierbei ls Integrnd ngesehen werden. Wie mn leicht erkennt, ist die Funktion F : R R, welche durch F(x) := cos(3x+π)/3 für lle x R definiert ist, eine Stmmfunktion von f. Es gilt nämlich F = f. Nch dem Fundmentlstz der Anlysis erhält mn lso π sin(3x+π)dx = [ cos(3x+π) 3 = cos(4π) 3 = 2 3. (b) Mn betrchte ds Integrl ] π x= + cos(π) x 2 1dx. cos(3π +π) = 3 = ( cos(+π) ) 3 Der Integrnd ist offenbr durch ds Polynom f : R R gegeben, welches durch f(x) := 3x 2 1 für lle x R definiert ist. Mn rechnet leicht nch, dss ds Polynom F : R R, welches durch F(x) = x 3 x für lle x R definiert ist, eine Stmmfunktion von f ist. Dher erhält mn 1 [ ] 1 3x 2 1dx = x 3 x = ( ( 1) 3 ( 1) ) = = 1 1 nch dem Fundmentlstz der Anlysis. Es gibt bestimmte Klssen von Funktionen, für die mn immer eine Stmmfunktion ngeben knn. Ds beknnteste Beispiel für eine solche Klsse von Funktionen sind die Polynome. Für jedes Polynom f : R R, welches durch f(x) := + 1 x+ 2 x n x n für lle x R gegeben ist, ist nämlich ds Polynom F : R R, welches durch F(x) := x+ 1 2 x x3 + + n n+1 xn+1 für lle x R gegeben ist, eine Stmmfunktion. Für Polynome existiert lso eine Regel für die Bildung von Stmmfunktionen. In den nchfolgenden Beispielen werden weitere Regeln für die Bildung von Stmmfunktionen ufgeführt. Beispiele. () Für jede reelle Zhl α R\{ 1} sei die Funktion p α : (, ) R durch p α (x) := x α für lle x R definiert. Wie mn leicht nchrechnet, ist für lle α R \ { 1} die Funktion P α : R R, welche durch P α (x) := x α+1 /(α+1) für lle x R definiert ist, eine Stmmfunktion von p α. Nch dem Fundmentlstz der Anlysis gilt lso b [ ] x x α α+1 b dx = α+1 für lle,b R mit < b. x=

21 7.3. BERECHNUNG VON INTEGRALEN 179 (b) Für jede positive Zhl α > sei die Funktion f α : R R durch f α (x) := α x für lle x R definiert. Für lle α > ist dnn die Funktion F α : R R, welche durch F α (x) := α x /ln(α) für lle x R definiert ist, eine Stmmfunktion von f α. Lut Fundmentlstz der Anlysis gilt somit b [ α α x x dx = ln(α) für lle,b R mit b. Insbesondere erhält mn für den Fll, dss α = e gilt, die Gleichung b e x dx = [e x] b für lle,b R mit b. (c) Sei D R eine nichtleere, offene Menge, und sei f C 1 (D) eine stetig differenzierbre Funktion, welche usschließlich positive Funktionswerte besitzt. Die Funktion g : D R sei durch g(x) := f (x)/f(x) für lle x D definiert. Dnn ist die Funktion G : D R, welche durch G(x) := ln(f(x)) für lle x R definiert ist, eine Stmmfunktion von g. Entsprechend gilt b ] b x= x= f (x) [ f(x) dx = ln ( f(x) )] b für lle,b R mit b und [,b] D. Wenn D = (, ) und f(x) = x für lle x D gilt, erhält mn insbesondere für lle,b R mit < b. b 1 [ x dx = ln ( x )] b x= x= (d) Die Funktionen cos und sin sind Stmmfunktionen von sin bzw. cos. Für die Berechnung von Integrlen über unbeschränkten Intervllen ist ds nchfolgende Lemm nützlich. Lemm 7.1. Sei (,b) R ein nichtleeres, offenes Intervll, wobei uch = oder b = zugelssen sei. Seien ußerdem f L 1 ((,b)) eine integrierbre Funktionen. Dnn gilt b f(x)dx = lim z b z f(x)dx = lim z + b z f(x)dx. Aus Lemm 7.1 und dem Fundmentlstz der Anlysis knn mn sehr leicht die folgende Aussge herleiten: Ist (,b) R ein offenes Intervll, und ist f L 1 ((,b)) eine integrierbre Funktion, die eine Stmmfunktion F : (, b) R besitzt. Dnn gilt b f(x)dx = lim F(x) lim F(x). x b x + Die Stmmfunktion F muss lso n denen Intervllgrenzen und b nicht notwendigerweise definiert sein. Sie muss dort lediglich einen Grenzwert besitzen. Diese Ttsche mcht

22 18 KAPITEL 7. INTEGRALRECHNUNG mn sich insbesondere bei der Berechnung von Integrlen über unbeschränkten Intervllen zunutze. Es gilt nämlich bzw. b f(x)dx = f(x)dx = [ ] f(x) := lim F(x) F(), x [ ] f(x) := F(b) lim F(x), x sofern die die Funktion f uf dem Intervll [, ) bzw. (,b] definiert und integrierbr ist. Mn betrchte dzu die nchfolgenden Beispiele. Beispiele. () Ds Integrl e x dx soll berechnet werden. Der Integrnd ist offenbr durch die Funktion f : R R gegeben, welche durch f(x) := e x für lle x R definiert ist. Die Funktion F : R R, welche durch F(x) := e x für lle x R definiert ist, ist eine Stmmfunktion von f. Nch Lemm 7.1 erhält mn e x dx = [ e x] = lim x e x ( e ) = +1 = 1. (b) Wie mn leicht erkennt, ist die Funktion f : (,1) R, welche durch f(x) := 1/ x für lle x (, 1) definiert ist, nicht beschränkt. Sie ist ber dennoch integrierbr, denn nch Lemm 7.1 gilt [ dx = lim dx = lim 2 ] 1 x = 2 1 lim 2 z = 2. x z + z x z + z z + (c) Es soll untersucht werden, ob die Funktion f : (1, ) R, welche durch f(x) := 1/x für lle x R definiert ist, integrierbr ist. Dies ist genu dnn der Fll, wenn ds Integrl von f über dem Definitionsbereich (1, ) endlich. Ttsächlich erhält mn ber 1 [ ] x dx = ln(x) = lim ln(x) ln(1) = lim ln(x) =. 1 x x 1 Die Funktion f ist demnch nicht integrierbr. Als nächstes betrchten wir eine Integrtionsmethode, die oft hilfreich ist, wenn der Integrnd ls Produkt zweier Funktionen drstellbr ist. Diese Methode wird die Methode der prtiellen Integrtion gennnt. Die Grundlge für diese Methode liefert der folgende Stz. Stz Sei (,b) R ein nichtleeres, offenes Intervll, und seien u C 1 ((,b)) und v C 1 ((,b)) zwei stetig differenzierbre Funktionen. Dnn gilt b u (x)v(x)dx = [ ] b u(x)v(x) x= b u(x)v (x)dx.

23 7.3. BERECHNUNG VON INTEGRALEN 181 Grundsätzlich ist es bei der Berechnung eines Integrls b f(x)dx immer dnn sinnvoll, die Methode der prtiellen Integrtion nzuwenden, wenn sich der Integrnd f ls Produkt zweier Funktionen w und v schreiben lässt, so dss w eine Stmmfunktion W besitzt und die Ableitung v von v einfcher ist ls die Funktion v selbst. Mn erhält dnn die Gleichung b f(x)dx = b w(x)v(x) dx = [ ] b W(x)v(x) x= b W(x)v (x)dx, und hofft, dss mn ds Integrl des Produkts von W und v explizit bestimmen knn. Sollte dies nicht möglich sein, knn mn erneut versuchen prtiell zu integrieren. Es knn uch vorkommen, dss die Methode der prtiellen Integrtion eine Gleichung für ds gesuchte Integrl liefert, die mn entsprechend lösen knn. In den nchfolgenden Beispielen wird die Methode der prtiellen Integrtion demonstriert. Beispiele. () Es soll ds Integrl 1 e x xdx bestimmt werden. D sich der Integrnd ls Produkt zweier Funktionen drstellen lässt, ist es nhe liegend die Methode der prtiellen Integrtion nzuwenden. Definiert mn die Funktionen u C 1 (R) und v C 1 (R) durch u(x) := e x und v(x) := x für lle x R, so ist der Integrnd gerde durch ds Produkt von u und v gegeben. Mn erhält lso 1 1 [ ] 1 1 e x xdx = u (x)v(x)dx = u(x)v(x) u(x)v (x)dx = = 1. [ e x x ] 1 1 e x 1dx = [ e x x ] 1 [ e x] 1 (b) Mit der Methode der prtiellen Integrtion können uch Integrle der Form b ln(x) dx mit > und b bestimmt werden. Definiert mn nämlich die Funktionen u C 1 ([,b]) und v C 1 ([,b]) durch u(x) := x und v(x) := ln(x) für lle x [,b], so erhält mn b b b [ ] b b ln(x)dx = 1 ln(x)dx = u (x)v(x)dx = u(x)v(x) u(x)v (x)dx = [ xln(x) Insgesmt erhält mn lso ] b b b 1dx = ln(x)dx = [ ] b [ ] b xln(x) x [ x(ln(x) 1) ] b.

24 182 KAPITEL 7. INTEGRALRECHNUNG (c) In bestimmten Fällen knn mn mit der Methode der prtiellen Integrtion uch eine Gleichung für ein Integrl herleiten. Mn betrchte etw ds Integrl 2π sin(x) cos(x) dx. Wir definieren zunächst die Funktionen u C 1 (R) und v C 1 (R) durch u(x) := cos(x) und v(x) := cos(x) für lle x R. Es gilt dnn 2π sin(x)cos(x)dx = = 2π = u (x)v(x)dx = [ cos(x) cos(x) 2π [ ] 2π u(x)v(x) ] 2π 2π sin(x) cos(x) dx. 2π cos(x) sin(x) dx u(x)v (x)dx Wie mn sieht, liefert die Methode der prtiellen Integrtion eine Gleichung von der Form I = I, wobei I ds gesuchte Integrl ist. Löst mn diese Gleichung nch I uf, so erhält mn I = und somit 2π sin(x)cos(x)dx =. (d) Mnchml ist es notwendig, die Methode der prtiellen Integrtion mehrfch nzuwenden, um ein Integrl zu bestimmen. Dies ist beispielsweise beim Integrl π cos(x)x 2 dx der Fll. Durch einmliges prtielles Integrieren erhält mn π cos(x)x 2 dx = 2 π sin(x)x dx Integriert mn die rechte Seite der Gleichung erneut prtiell, so erhält mn π [ ] π cos(x)x 2 dx = 2( cos(x)x π [ ] π [ = 2 cos(x)x +2 sin(x) = 2πcos(π) = 2π ) cos(x)dx ] π ls Ergebnis. Am Ende dieses Abschnitts wollen wir uns noch mit der Berechnung von Integrlen über mehrdimensionlen Intervllen befssen. Dzu definieren wir zunächst die so gennnten mehrdimensionlen, bgeschlossenen Intervlle wie folgt.

25 7.3. BERECHNUNG VON INTEGRALEN 183 Definition (n-dimensionles, bgeschlossenes Intervll). Sei n N eine ntürliche Zhl, und seien = ( 1, 2,..., n ) T R n und b = (b 1,b 2,...,b n ) T R n zwei Vektoren. Dnn nennt mn die Menge [,b] := [ 1,b 1 ] [ 2,b 2 ] [ n,b n ] = { x = (x 1,x 2,...,x n ) T R n i x i b i für lle i = 1,2,...,n } ein n-dimensionles, offenes Intervll. Für die Berechnung von Integrlen über mehrdimensionlen Intervllen ist der folgende Stz entscheidend, welcher ls Stz von Fubini beknnt ist. Stz 7.12 (Fubini). Sei n N eine ntürliche Zhl, seien = ( 1, 2,..., n ) T R n und b = (b 1,b 2,...,b n ) T R n zwei Vektoren, und sei f L 1 ((,b)) eine integrierbre Funktion. Dnn gilt [,b] f(x)dx = bπ(n) bπ(n 1) π(n) π(n 1) für jede n-stellige Permuttion π S n. bπ(2) bπ(1) π(2) π(1) f(x)dx π(1) dx π(2) dx π(n 1) dx π(n) Die Aussge des Stzes von Fubini knn mn folgendermßen zusmmenfssen: Mn berechnet ds Integrl einer Funktion mit vektorwertiger Vrible, indem mn ncheinnder nch jeder einzelnen Vektorkomponente integriert. Die Reihenfolge, in welcher mn nch den einzelnen Vektorkomponenten integriert, spielt dbei keine Rolle. Es gilt lso insbesondere die Identität [,b] f(x)dx = bn bn 1 n n 1 b2 b1 2 1 f(x)dx 1 dx 2 dx n 1 dx n, wobei die eindimensionlen Integrle von innen nch ußen zu berechnen sind. Ntürlich gilt eine nloge Regel uch für Integrle von Funktionen, die von mehreren reellwertigen Vriblen bhängen. Seien etw,b,c,d R reelle Zhlen, und sei f : (,b) (c,d) R eine Funktion, deren Vriblen mit x und y bezeichnet werden, so gilt [,b] [c,d] f(x,y)d(x,y) = d b c f(x,y)dxdy = b d c f(x,y)dydx. Die eindimensionlen Integrle werden wiederum flls möglich mit Hilfe des Fundmentlstzes der Anlysis, oder ber mit der Methode der prtiellen Integrtion bestimmt. Bei der Bestimmung von Stmmfunktionen wird nur diejenige Vrible berücksichtigt, nch der jeweils integriert wird. Die Anwendung des Stzes von Fubini wird in den nchfolgenden Beispielen erläutert. Beispiele. () Ds Integrl [,b] 2x 1 x x 3 2dx