Mathematik für Physiker, Informatiker und Ingenieure

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1 Mthemtik für Physiker, Informtiker und Ingenieure (Kpitel IV) Dr. Gunther Dirr Institut für Mthemtik Universität Würzburg Skript vom 15. April 2016

2 Inhltsverzeichnis Sommersemester 2 IV Differentil- und Integrlrechnung 3 1 Ein wenig Topologie Stetigkeit und der Zwischenwertstz Ds Riemnn-Integrl Einschub: Ds Riemnn-Integrl im R n Differenzierbrkeit und der Mittelwertstz Huptstz der Differentil- & Integrlrechnung Höhere Ableitungen und der Stz von Tylor

3 Sommersemester 2

4 Kpitel IV Differentil- und Integrlrechnung (in einer reellen Veränderlichen) Litertur: Jedes gute Anlysis-Buch, z.b. Bröcker, Königsberger, Rudin, usw. (vgl. uch Litertur zu Kpitel III) 1 Ein wenig Topologie Definition 1 Sei X eine beliebige nichtleere Menge und sei d : X X R + 0 eine Abbildung mit folgenen Eigenschften: () Für lle x, y X gilt d(x, y) 0 und d(x, y) = 0 x = y. (b) Für lle x, y X gilt d(x, y) = d(y, x). (Symmetrie) (c) Für lle x, y, z X gilt d(x, z) d(x, y) + d(y, z). (Dreiecksungleichung) Dnn bezeichnen wir d ls Metrik uf X und ds Pr (X, d) ls metrischen Rum. Definition 2 () Sei V ein reeller oder komplexer Vektorrum 1 und sei : V R + 0 eine Abbildung mit folgenen Eigenschften: i) Für lle x V gilt x 0 und x = 0 x = 0. ii) Für lle x X und lle λ R (bzw. λ C) gilt λx = λ x. iii) Für lle x, y V gilt x + y x + y. (Dreiecksungleichung) Dnn bezeichnen wir ls Norm uf V und ds Pr (V, ) ls normierten Rum. 1 D der Begriff der Vektorrums erst exkt in Kpitel V eingeführt wird, knn sich der Leser hier unter V stndrdmäßig den R n oder C n vorstellen. 3

5 (b) Sei V ein reeller oder komplexer Vektorrum. Zwei Normen 1 und 2 uf V heißen äquivlent, wenn es Konstnten L 1, L 2 > 0 gibt, so dss für lle x V die folgenden Abschätzungen erfüllt sind x 2 L 1 x 1 und x 1 L 2 x 2. Lemm 1 Sei (V, ) ein normierten Rum. Dnn definiert d(x, y) := x y eine Metrik uf V. Diese bezeichnet mn uch ls die von induzierte Metrik uf V. Beweis. Zu (): Die gewünschten Eigenschften von d folgen unmittelbr us den Eigenschft () einer Norm. Zu (b): Seien x, y V. Dnn liefert die Eigenschft (b) einer Norm die Umformung d(x, y) := x y = ( 1)(y x) = 1 y x = y x =: d(x, y), d.h. d ist symmetrisch. Zu (c): Seien x, y, z V. Dnn folgt us Eigenschft (c) einer Norm die Abschätzung d(x, z) := x z = x y +y z x y + y z =: d(x, y)+d(y, z), d.h. d erfüllt die Dreiecksungleichung. Beispiele: 1) Im Weiteren bezeichne die Betrgsfunktion uf R oder C. Dnn sind (R, ) und (C, ) normierte und mittels d(x, y) := x y bzw. d(z, w) := z w = (z w)( z w) uch metrische Räume. 2) Sei X eine beliebige nichtleere Menge und sei d D wie folgt definiert { 0 für x = y, d D (x, y) := 1 für x y. Dnn ist (X, d D ) ein metrischer Rum und d D bezeichnet mn ls diskrete Metrik uf X. 3) Sei X eine beliebige (endliche) Menge, z.b. X := {0, 1} und sei X n := X X X ds n-fche krtesische Produkt von X (= Menge ller n-tupel mit Werten in X). Setze d H (x, y) := {i x i y i } (= Anzhl der Fehlstände). Dnn ist (X n, d H ) ein metrischer Rum. In der Kodierungstheorie wird X n ls die Menge ller Wörter der Länge n über dem Alphbet X bezeichnet und d H ls Hmming-Distnz. Insbesondere gilt der folgende Zusmmenhng zu Beispiel 2 n d H (x, y) := d D (x i, y i ). i=1 4

6 4) Sei X := R n die Menge ller reellen n-tupel. Setze x 1 := n x i i=1 x 2 := n x i 2 i=1 x := mx 1 i n x i := mx { x i i = 1,... n }. Dnn sind 1, 2 und Normen uf dem R n und d 1 (x, y) := x y 1, d 2 (x, y) := x y 2 sowie d (x, y) := x y die entsprechenden Metriken. Definition 3 Sei (X, d) ein beliebiger metrischer Rum und sei M eine beliebige Teilmenge von X. () Für x X und r > 0 bezeichnen wir die Menge B r (x) := {y X d(x, y) < r} ls die offene Kugel um x X mit Rdius r und K r (x) := {y X d(x, y) r} ls bgeschlossene Kugel um x X mit Rdius r. Im Fll einer bgeschlossenen Kugel lssen wir uch r = 0 zu. (b) Eine Teilmenge M X heißt beschränkt, wenn es eine bgeschlossene Kugel K r (x) in X gibt, die M enthält, lso M K r (x) gilt. (c) Wir bezeichnen x M ls einen inneren Punkt von M, wenn es eine offene Kugel B r (x) gibt, die gnz in M liegt. Die Menge ller inneren Punkte von M wird ds Innere von M gennnt und mit M bezeichnt. (d) Die Menge M heißt offen, wenn jeder Punkt von M ein innerer Punkt von M ist, lso wenn M = M. (e) Eine Teilmenge M X heißt bgeschlossen, wenn ihr Komplement X \M offen ist. Folgerung 1 () Seien U 1,... U n endlich viele offene Mengen von (X, d). Dnn ist uch U := U 1 U 2... U n wieder offen. Sei ferner {U α α I} ein beliebiges System offener Mengen. Dnn ist uch U := α I U α wieder offen in X. (b) Seien A 1,... A n endlich viele bgeschlossene Mengen von X. Dnn ist uch A := A 1 A 2... A n wieder bgeschlossen. Für jedes beliebige nichtleere System {A α α I} bgeschlossener Mengen ist A := α I A α wieder bgeschlossen. 5

7 Beweis. Zu (): siehe Übung Zu (b): Folgt unmittelbr us () und den de Morgn schen Regeln X \ A α = X \ A α und X \ A α = X \ A α. α I α I α I α I Beispiele: 1) Sei X := R 2. Dnn erhlten wir für die Stndrdnormen 1, 2 und die folgenden Einheitskugeln (siehe uch Fig.??): K 1 (0) = { y R 2 y 1 + y 2 1 } (bzgl. 1 ) K 1 (0) = { y R 2 y1 2 + y2 2 1} (bzgl. 2 ) K 1 (0) = { y R 2 mx { y 1, y 2 } } 1 (bzgl. ) 1 Rnd der Einheitskugel K 1 (0) bzgl. d Rnd der Einheitskugel K 1 (0) bzgl. d 2 Rnd der Einheitskugel K 1 (0) bzgl. d Abbildung IV.1: Einheitskugeln bzgl. der Stndrdnormen des R 2. 2) Seien, b R und sei X := R mit der Stndrdmetrik d(x, y) := x y versehen. Dnn ist jedes offene Intervll (, b), (, + ) und (, b) eine offene und jedes bgeschlossene Intervll [, b], (, b] und [, + ) eine bgeschlossene Teilmenge von R. Ds Innere von [, b] ist gerde (, b). 3) Die Menge M := {x = (x 1, x 2 ) R 2 x 2 > x 1 } ist im R 2 offen bzgl. d. Dies sieht mn wie folgt: Sei x = (x 1, x 2 ) M beliebig. Setze r := 1 2 (x 2 x 1 ) und betrchte y R 2 mit d (x, y) < r, lso Drus folgt die Abschätzung mx { x 1 y 1, x 2 y 2 } < 1 2 (x 2 x 1 ) y 2 y 1 = y 2 x 2 + x 2 x 1 + x 1 y 1 > y 2 x 2 + x 2 x 1 x 1 y 1 > 1 2 (x 2 x 1 ) + x 2 x (x 2 x 1 ) = 0, d.h. B r (x) ist in M. Somit ist jeder Punkt von M ein innerer Punkt, lso ist M offen. Anlog knn mn zeigen, dss M uch bzgl. d 1 und d offen ist. 6

8 Lemm 2 Jede offene Kugel eines metrischen Rums (X, d) ist eine offene und jede bgeschlossene Kugel eine bgeschlosse Teilmenge von X. Beweis. Sei B r0 (x 0 ) eine offene Kugel um x 0 X und sei x B r (x 0 ). D d(x, x 0 ) < r 0, folgt r := r 0 d(x, x 0 ) > 0 und somit ergibt sich für y B r (x) die Abschätzung d(y, x 0 ) d(y, x) + d(x, x 0 ) < r + d(x, x 0 ) = r 0. D.h., y B r0 (x 0 ) und folglich B r (x) B r0 (x 0 ). D x B r0 (x 0 ) beliebig gewählt wr, zeigt dies die Offenheit von B r0 (x 0 ). Zur Abgeschlossenheit von K r0 (x 0 ) siehe Übung. Lemm 3 Sei V ein reeller oder komplexer Vektorrum und seien 1 und 2 äquivlente Normen uf V. Eine Teilmenge M V ist genu dnn offen (bgeschlossen) bzgl. der Norm 1, wenn sie bzgl. der Norm 2 offen (bgeschlossen) ist. Beweis. Offensichtlich genügt zu zeigen, dss jede offene Kugel bzgl. 1 eine offene Kugel B 1 r 1 (x) := {y V y x 1 < r 1 } B 2 r 2(x) := {y V y x 2 < r 2 } bzgl. 2 enthält und umgekehrt. Wähle r 2 := r1 L 2. Dnn gilt für lle y B 2 r 2 (x) die Abschätzung y x 1 L 2 y x 2 < L 2 r 2 = L2r1 L 2 = r 1. d.h., y Br 1 1 (x), lso Br 2 2 (x) Br 1 1 (x) für r 2 := r1 L 2. Völlig nlog zeigt mn, Br 1 1 (x) Br 2 2 (x) für r 1 := r2 L 1. Dmit ist jede Teilmenge von V, die bzgl. 1 offen ist, uch bzgl. 2 offen und umgekehrt. Die entsprechende Aussge über bgeschlossene Menge führt mn uf die Offenheit der Komplement zurück. Definition 4 Sei (X, d) ein beliebiger metrischer Rum und seien M, U X. () Wir bezeichnen U ls eine Umgebung von x X, wenn x ein innerer Punkt von U ist. (b) Einen Punkt x M heißt isolierten Punkt von M, wenn es eine Umgebung U von x gibt, die keinen weiteren Punkt von M enthält ußer x. (c) Wir bezeichnen einen Punkt x X ls Häufungspunkt von M, wenn in jeder Umgebung von x mindestens ein Punkt von M \ {x} liegt. Für die Menge ller Häufungspunkte von M schreiben wir HP(M) (d) Die Menge M := M HP(M) heißt der Abschluß von M (e) Eine Folge (x n ) n N mit Werten x n X heißt i) beschränkt, wenn ihre Bildmenge {x n ; n N} beschränkt ist. 7

9 ii) konvergent gegen x, wenn d(x n, x ) 0 für n, iii) Cuchy-Folge, wenn d(x n, x m ) 0 für n, m. Lemm 4 Sei (X, d) ein beliebiger metrischer Rum. () Der Grenzwert jeder konvergenten Folge in X ist eindeutig. (b) Jede konvergente Folge in X, ist uch eine Cuchy-Folge. (c) Jede Cuchy-Folge in X, ist beschränkt. Beweis. Der Beweis knn völlig nlog zum reellwertigen Fll (siehe Kpitel III, Lemm??) geführt werden. Lemm 5 Sei V ein reeller oder komplexer Vektorrum und seien 1 und 2 äquivlente Normen uf V. Dnn konvergiert die Folge (x n ) n N (gegen x V ) bzgl. 1 genu dnn, wenn die Folge (x n ) n N (gegen x V ) bzgl. 2 konvergiert. Eine nloge Aussge gilt für Cuchy-Folgen. Beweis. Der Beweis folgt unmittelbr us den Abschätzungen x 2 L 1 x 1 und x 1 L 2 x 2 für lle x V. Beispiele: Sei X := R versehen mit der Stndrdmetrik d(x, y) = x y. 1) Dnn besteht die Menge M 1 := {1, 2, π} nur us isolierten Punkten und besitzt keine Häufungspunkte. 2) Die Menge M 2 := { 1 n n N} besteht uch us isolierten Punkten, besitzt ber 0 ls Häufungspunkt. 3) Die Menge ller Häufungspunkte von M 3 := [, b] ist [, b] selbst und somit besitzt M 3 keine isolieren Punkte. 4) Ws ist die Menge ller Häufungspunkte von Q? Lemm 6 Sei (X, d) ein metrischer Rum und sei M eine beliebige Teilmenge von X. So ist x X genu dnn ein Häufungspunkt von M, wenn es eine Folge (x n ) n N mit Werten in M \ {x} gibt, die gegen x konvergiert. Beweis. = : Sei x eine Häufungspunkt von M. Dnn betrchten wir für n N die Umgebungen B 1 (x). Nch Vorussetzung existiert zu jedem n N ein n x n B 1 (x) M mit x n x. Die so konstruierte Folge (x n n ) n N konvergiert offensichtlich gegen x. = : Sei nun U eine beliebige Umgebung von x, d.h. es existiert ein ε > 0 mit B ε (x) U. Nch Vorussetzung gibt es eine Folge (x n ) n N mit Werten x n M \ {x}, die gegen x konvergiert. Drus folgt d(x, x n ) < ε, flls n N genügend groß ist. Also x n B ε (x) M \ {x} und somit x n U M \ {x}. D U beliebig gewählt wr, ist x ein Häufungspunkt von M. Folgerung 2 Sei (X, d) ein metrischer Rum und sei M eine beliebige Teilmenge von X. Dnn sind die folgenden Aussgen äquivlent: () M ist bgeschlossen. 8

10 (b) Jeder Häufungspunkt von M ist in M enthlten. (c) Der Grenzwert jeder konvergenten Folge mit Werten in M liegt in M. Beweis. () = (b): Es genügt zu zeigen, dss kein Punkt von X \M Häufungspunkt von M ist. Sei lso y X \ M. D M bgeschlossen ist, ist X \ M offen und somit existiert ein ε > 0, so dss B ε (y) X \ M, lso B ε (y) M =, d.h. y ist kein Häufungspunkt von M. (b) = (c): Sei (x n ) n N eine beliebige konvergente Folge mit Werten in M und Grenzwert x. Flls es ein N N gibt mit x n = x für lle n N, so ist offensichtlich der Grenzwert von (x n ) n N in M. Flls es ein N N nicht gibt, so existiert eine konvergente Teilfolge (x kn ) n N mit x kn x für lle n N. Dmit ist x Häufungspunkt von M, lso x M. (c) = (): Wir müssen zeigen, dss X \ M offen ist. Sei y X \ M beliebig gewählt. Dnn existiert ein r > 0 mit B r (y) M =, denn nsonsten gäbe es eine Folge mit Werten in M, die gegen y konvergieren würde, und folglich wäre im Widerspruch zur Vorussetzung y M. Aus B r (y) M = folgt nun, dss y ein innerer Punkt von X \ M ist, und somit ist X \ M offen. Definition 5 Sei (X, d) metrischer Rum und sei M X. () Sei {U α α I} ein beliebiges System offener Mengen mit M α I U α. Dnn bezeichnen wir {U α α I} ls eine offene Überdeckung von M. (b) Eine Teilmenge M X heißt überdeckungskompkt, wenn es zu jeder offenen Überdeckung {U α α I} von M eine endliche Teilüberdeckung gibt, d.h. wenn es endlich viele α 1,..., α n I gibt, so dss {U αk k = 1,..., n} eine Überdeckung vom M ist, lso M U α1 U αn gilt. (c) Eine Teilmenge M X heißt folgenkompkt, wenn jede Folge (x n ) n N mit Werten in M eine konvergente Teilfolge mit Grenzwert in M besitzt. Beispiele: 1) Im Folgenden stellen wir einige offene Überdeckungen von R bzw. (0, 1) vor und untersuchen, ob diese endliche Teilüberdeckungen besitzen. () Sei X = R und sei ε > 0 fest. Dnn ist {U x x R} mit U x := B ε (x) eine offene Überdeckung von R. (b) Sei X = R. Dnn ist uch {U n n N} mit U n := B n (0) eine offene Überdeckung von R. (c) {Ũn n N} mit Ũn := ( 1 n, 1) ist eine offene Überdeckung von (0, 1). Mn überlegt sich leicht, dss lle 3 Fälle keine endlichen Teilüberdeckung erluben. 2) Die Fälle () und (b) us Teil 1 können uch ls Überdeckungen des kompkten Intervlls [0, 1] betrchtet werden. Dnn besitzen sie endliche Teilüberdeckungen. 3) Ist [0, 1] Q kompkt? 9

11 Den folgenden wichtigen Stz über kompkte Mengen geben wir hier ohne Beweis n, d dieser etws ufwendiger ist und uns zuweit vom eigentlichen Them der Vorlesung entfernen würde. Der interessierte Leser findet einen vollständigen Beweis z.b. in Königsberger, Anlysis 2, Springer, Stz 1 In metrischen Räumen ist eine Teilmenge genu dnn überdeckungskompkt, wenn sie folgenkompkt ist. Konvertion: Aufgrund von Stz 1 unterscheiden wir im Weiteren nicht mehr zwischen überdeckungs- und folgenkompkt und benutzen die vereinfchende Bezeichnung kompkt. Lemm 7 Jede kompkte Teilmenge M eines metrischen Rums (X, d) ist bgeschlossen und beschränkt. Beweis. Zur Abgeschlossenheit: Sei x X ein beliebiger Häufungspunkt von M. Dnn existiert eine Folge (x n ) n N mit Werten in M \ {x}, die gegen x konvergiert. D M (folgen-) kompkt ist, besitzt die Folge (x n ) n N eine konvergente Teilfolge (x kn ) n N, deren Grenzwert x in M liegt. Andererseits muss (x kn ) n N ls Teilfolge der konvergenten Folge (x n ) n N gegen x konvergieren, lso x = x. Somit gilt x M und folglich ist M nch Folgerung 2 bgeschlossen. Zur Beschränktheit: Wähle x 0 X beliebig und betrchte für n N die offenen Mengen U n := B n (x 0 ). Dnn gilt M X = n N B n (x 0 ), d.h., {U n n N} ist eine offene Überdeckung von M. D M (überdeckungs-) kompkt ist, existiert eine endliche Teilüberdeckung U k1,..., U kn. Setze N := mx{k 1,..., k n }. Dnn gilt d.h., M ist beschränkt. M U k1 U kn = B N (x 0 ), Stz 2 (Kleiner Stz von Heine/Borel) Eine Teilmenge von R bzw. C ist genu dnn kompkt, wenn sie bgeschlossen und beschränkt ist. Dbei sei R bzw. C mit der Stndrdmetrik d(x, y) := x y versehen. Beweis. = : Die Aussge folgt us Lemm 7. = : Sei nun M eine bgeschlossene und beschränkte Teilmenge von R bzw. C und sei (x n ) n N. eine beliebige folge in M. Dnn folgt us dem Stz von Bolzno/Weierstrß (Kpitel III Stz???), dss (x n ) n N eine konvergente Teilfolge (x kn ) n N besitzt. Ferner impliziert Folgerung 2, dss der Grenzwert von (x kn ) n N in M liegt, d.h. M ist (folgen-) kompkt. Lemm 8 Sei (x k ) k N eine Folge im R n bzw. C n und bezeichne (x k,i ) k N ihre i-te Komponentenfolgen, lso x k := (x k,1,..., x k,n ) für k N. Ferner sei R n bzw. C n mit d 1, d 2 oder d versehen. Dnn gelten die folgenden Aussgen: () Die Folge (x k ) k N konvergiert genu dnn, wenn sie komponentenweis konvergiert, d.h., wenn ihre Komponentenfolgen (x k,i ) k N für i = 1,..., n konvergieren. 10

12 (b) Die Folge (x k ) k N ist genu dnn eine Cuchy-Folge, wenn ihre Komponentenfolgen (x k,i ) k N für i = 1,..., n Cuchy-Folgen bilden. Beweis. siehe Übung; vergleiche uf Kpitel III, Lemm 5 Stz 3 Jede Cuchy-Folge im R n bzw. C n konvergiert. Beweis. Die Aussge folgt unmittelbr us Lemm 8 und Stz 1 in Kpitel III. Stz 4 (Stz von Heine/Borel) Eine Teilmenge des R n bzw. C n ist gnu dnn kompkt, wenn sie bgeschlossen und beschränkt ist. Dbei sei der R n bzw. C n mit einer der Stndrdmetriken d 1, d 2 oder d versehen. Beweis. = : Die Aussge folgt us Lemm 7. = : Sei nun M eine bgeschlossene und beschränkte Teilmenge von R n bzw. C n. Mittel Lemm 8 knn mn nun fst völlig nlog zum Beweis von Stz 2 die (Folgen-) Kompktheit von M nchweisen. Bemerkung: Allgemeiner knn mn zeigen, dss die Aussge von Stz 4 bzgl. jeder beliebigen Norm uf dem R n bzw. C n gilt. 2 Stetigkeit und der Zwischenwertstz Definition 6 () Seien (X, d X ) und (Y, d Y ) zwei metrische Räume und sei f : ˆX Y mit ˆX X eine beliebige Abbildung. Ferner sei x0 X ein Häufungspunkt von ˆX. Dnn bezeichnen wir y 0 Y ls Grenzwert von f in x 0 X, flls es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 gibt, so dss für lle x ˆX mit 0 < d X (x, x 0 ) < δ die Abschätzung d Y (f(x), y 0 ) < ε gilt. Wir sgen uch, dss f(x) gegen y 0 konvergiert, wenn x gegen x 0 strebt, und schreiben lim f(x) = y 0 oder f(x) y 0 für x x 0. x x 0 (b) Flls X = R, so lssen wir in der obigen Grenzwertdefinition für x 0 uch die Werte + und zu. Wir schreiben lso lim f(x) = y 0 und lim f(x) = y 0, x + x wenn es zu jedem ε > 0 ein ω > 0 gibt, so dss d(f(x), y 0 ) < ε für lle x > ω bzw. für lle x < ω. (c) Flls Y = R, so schreiben wir lim x x 0 f(x) = + und lim x x 0 f(x) =, wenn für lle ω > 0 ein δ > 0 existiert, so dss für lle x ˆX mit 0 < d X (x, x 0 ) < δ die Abschätzung f(x) > ω bzw. f(x) < ω gilt. Mn bezeichnet in diesem Fll f(x) uch ls bestimmt divergent (gegen + bzw. ) für x gegen x 0. 11

13 Konvention: Im Weiteren benutzen wir (der Einfchheit hlber) für die Metriken d X und d Y keine unterschiedlichen Symbole mehr und schreiben stttdessen einfch d. Beispiele: In den folgenden Beispielen sei der Rum R und seine Teilmenge immer mit der Stndrdmetrik d(x, y) := x y versehen. 1) Sei X = Y = R und x 0 = 1. Betrchte f 1 : R R, f 1 (x) = x f 2 : R \ {1} R, f 2 (x) = x { x x 1 f 3 : R R, f 3 (x) = 17 x = 1 Behuptung: 1 = lim x 1 f 1 (x) = lim x 1 f 2 (x) = lim x 1 f 3 (x) Beweis. Es genügt die Behuptung für f 1 zu zeigen. Sei lso ε > 0 gegeben. Dnn gilt für lle x R mit 0 < x 1 < δ := ε die Abschätzung f 1 (x) 1 = x 1 < ε, d.h. f 1 ht y 0 = 1 ls Grenzwert für x x 0 = Abbildung IV.2: Skizze 2) Sei X = Y = R, ˆX = X und x0 = 0. Ferner sei f : R R wie folgt definiert 0 für x { 1 n f(x) := n N} 1 für x { 1 n n N} Behuptung: Dnn besitzt f keinen Grenzwert in x 0 = 0. Beweis. siehe Stz 5. 3) Sei X = Y = R, ˆX = R \ {1} und sei x0 = 1. Ferner sei n N eine beliebige, ber feste ntürliche Zhl und f : ˆX R sei definiert druch f(x) := xn 1 x 1. Behuptung: lim x 1 f(x) = n. [Mn bechte, dss 1 offensichtlich ein Häufungspunkt von ˆX ist.] 12

14 Beweis. Sei ε > 0 gegeben und o.b.d.a. n 2. Wähle δ := min { 1, ε L mit L := (n 1)2 n 2. Dnn gilt für lle x ˆX mit 0 < x 1 < δ die folgende Abschätzung: } x n 1 x 1 n = x n 1 + x n n = ( (x 1) x n 2 + 2x n (n 2)x + 1 n ) = x 1 n 2 (n 1 k) x k L x 1 < Lε L = ε. K=0 Somit gilt f(x) n für x 1. ( ) Stz 5 Seien (X, d) und (Y, d) metrische Räume und sei x 0 Häufungspunkt von ˆX X. Frener sei f : ˆX Y eine beleibige Abbildung. Dnn sind folgende Aussgen äquivlent: () lim x x0 f(x) = y 0 (b) Flls (x n ) n N eine Folge mit Werten in ˆX \ {x 0 } ist, die gegen x 0 X konvergiert, so konvergiert die Bildfolge ( f(x n ) ) n N gegen y 0, lso lim x n = x 0 und x n ˆX \ {x 0 } für lle n N = lim f(x n) = y 0. n n Beweis. = : Sei () erfüllt und sei (x n ) n N eine entsprechende Folge. Ferner sei ε > 0 gegeben. Dnn existiert nch Vorussetzung ein δ > 0 mit d(f(x), y 0 ) < ε für lle x ˆX mit 0 < d(x, x 0 ) < δ. D (x n ) n N gegen x 0 konvergiert, existiert ein N N mit d(x n, x 0 ) < δ für lle n N. Mn Bechte, dss d(x n, x 0 ) 0 nch Vorussetzung erfüllt ist. Also gilt d(f(x n ), y 0 ) < ε für lle n N, d.h. ( f(x n ) ) n N konvergiert gegen y 0. = : Wir zeigen im Weiteren () = (b), d.h. wir nehmen n, dss () flsch ist und konstruieren eine Folge, die gegen x 0 konvergiert, deren Bildfolge ( f(x n ) ) n N ber nicht gegen y 0 geht. D () flsch ist, existiert ein ε 0 > 0, so dss zu jedem δ > 0 ein x ˆX existiert mit 0 < d(x, x 0 ) < δ und d(f(x), y 0 ) ε 0. Somit können wir zu δ = 1 n > 0 ein x n ˆX wählen mit 0 < d(x n, x 0 ) < 1 n und d(f(x n), y 0 ) ε 0, d.h., (x n ) n N konvergiert gegen x 0, ber ( f(x n ) ) n N nicht gegen y 0. Folglich ist die Aussge (b) flsch und unser Beweis vollständig. Folgerung 3 Flls f : ˆX Y einen Grenzwert für x x0 besitzt, so ist dieser eindeutig. Beweis. Nch Stz 5 gilt y 0 = lim xn x 0 f(x n ) für jede Folge (x n ) n N mit lim n x n = x 0. D x 0 ein Häufungspunkt von ˆX existiert mindestens eine derrtige Folge und somit ist y 0 (nch Kpitel III, Folgerung???) eindeutig. 13

15 Definition 7 Seien (X, d) und (Y, d) zwei metrische Räume und sei f : ˆX Y mit ˆX X eine beliebige Abbildung. Ferner sei x 0 X ein Häufungspunkt von ˆX. Dnn besitzt f die Cuchy-Eigenschft in x 0 X, flls es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 gibt, so dss für lle x, x ˆX mit 0 < d(x, x 0 ) < δ und 0 < d(x, x 0 ) < δ die folgende Abschätzung gilt d ( f(x), f(x ) ) < ε. Stz 6 Sei (X, d X ) ein beliebiger metrischer Räum und sei R n versehen mit einer der Stndrdmetiken d 1, d 2 oder d. Ferner sei f : ˆX R n mit ˆX X eine beliebige Abbildung und x 0 ein Häufungspunkt von ˆX. Dnn sind die folgenden Aussgen äquivlent: () f besitzt einen Grenzwert in x 0. (b) f besitzt in x 0 die Cuchy-Eigenschft. Beweis. () = (b): Die Aussge folgt unmittelbr us Definition 6 und der Dreiecksungleichung d ( f(x), f(x ) ) d ( f(x), y 0 ) + d ( y0, f(x ) ). (b) = (): Sei (x k ) k N eine beliebige Folge mit Werten in ˆX \ {x 0 }, die gegen x 0 X konvergiert. Dnn folgt us der Cuchy-Eigenschft von f in x 0, dss die Bildfolge ( f(x k ) ) k N eine Cuchy-Folge im Rn bildet und somit nch Stz 3 konvergiert. Setze y 0 := lim k f(x k). Wir müssen noch zeigen, dss y 0 der Gernzwert von f in x 0 ist. Aufgrund von Stz 5 genügt es eine beliebige (weitere) Folge (x k ) k N mit Werten in ˆX \ {x 0 }, die gegen x 0 X konvergiert, zu untersuchen. Dzu betrchte mn die sogennnte gemischte Folge für k ungerde z k := x k+1 2 x k 2 für k gerde lso z = (x 1, x 1, x 2, x 2,... ). Offensichtlich konvergiert uch (z k ) k N gegen x 0 und somit ist uch ( f(z k ) ) k N eine Cuchy-Folge, lso konvergent. D ( f(z k ) ) k N die Folgen ( f(x k ) ) k N und ( f(x k )) ls Teilfolgen enthält, gilt k N lim f(z k) = lim k k f(x k) = lim f(x k) = y 0, k d.h., y 0 ist der Gernzwert von f in x 0. Bemerkung: Der obige Beweis zeigt, dss die Impliktion () = (b) in jedem metrischen Rum (Y, d) bzw. für jede Abbildung f : ˆX Y gilt. Definition 8 Sei M eine beliebige Menge und seien f, g : M R beliebige Abbildungen. Dnn definieren wir Summe, Differenz, Produkt und Quotient von f und g wie folgt: 14

16 f ± g : M R, f g : M R, (f ± g)(x) := f(x) ± g(x) (f g)(x) := f(x) g(x) f/g : M R, (f/g)(x) := f(x) g(x), flls g(x) 0. Flls f, g : M C komplexwertig sind, können wir die obigen Definitionen entsprechend übertrgen. Folgerung 4 Sei (X, d) ein beliebiger metrischer Rum und seien R bzw. C mit der Stndrdmetrik versehen. Ferner seien f, g : ˆX R bzw. f, g : ˆX C Abbildungen mit lim x x0 f(x) = y 0 und lim x x0 g(x) = z 0, wobei x 0 X ein Häufungspunkt von ˆX sei. Dnn gilt: () (b) (c) (d) lim f(x) = y 0 x x 0 lim (f ± g)(x) = lim f(x) ± g(x) = lim f(x) ± lim g(x) = y 0 ± z 0 x x 0 x x 0 x x 0 x x 0 lim (f g)(x) = lim f(x) g(x) = lim f(x) lim g(x) = y 0 z 0 x x 0 x x 0 x x 0 x x 0 f(x) lim (f/g)(x) = lim x x 0 x x g(x) = 0 und z 0 0. lim f(x) x x 0 lim g(x) = y0 z 0, flls g(x) 0 für lle x ˆX x x 0 Beweis. Die obigen Behuptungen folgen unmittelbr us Stz 5 und Folgerung??? in Kpitel III. Beispiele: Sei (X, d) = (R 2, d 2 ) und ˆX = {(x, y) 0 < x y}. Ferner sei die Abbildungen f und g definiert durch f : ˆX R, f(x, y) = x 2 y g : ˆX R, g(x, y) = x Behuptung: Dnn gilt lim f(x, y) = 0 (x,y) (0,0) f(x,y) lim (x,y) (0,0) g(x,y) Beweis. siehe Übung existiert nicht. Definition 9 Seien (X, d) und (Y, d) metrische Räume und sei x 0 X. Dnn heißt die Abbildung f : X Y stetig in x 0, wenn für jedes ε > 0 ein δ > 0 existiert, so dss für lle x X mit d(x, x 0 ) < δ die Abschätzung d(f(x), f(x 0 )) < ε gilt. Wenn f für lle x X stetig ist, so sgen wir f ist stetig uf X. Bemerkung: Mn bechte, dss die Forderung für lle x X mit d(x, x 0 ) < δ gilt d(f(x), f(x 0 )) < ε 15

17 us obiger Definition zu der Inklusion äquivlent ist. f(b δ (x 0 ) X) B ε (f(x 0 )) Beispiel: Zur Definition von f 1, f 2 und f 3 siehe Beispiel 1 uf Seite 12) Die Abbildung f 1 ist stetig in x 0 = 1. Die Frge nch der Stetigkeit von f 2 in x 0 = 1 ist sinnlos, d f 2 n der Stelle x 0 = 1 nicht definiert ist. Die Abbildung f 1 ist unstetig in x 0 = 1. Lemm 9 Seien (X, d) und (Y, d) metrische Räume und sei f : X Y eine beliebige Abbildung. () Flls x 0 X ein isolierter Punkt ist, so ist f stetig in x 0. (b) Flls x 0 X ein Häufungspunkt ist, so ist f genu dnn stetig in x 0, wenn lim x x0 f(x) = f(x 0 ). Beweis. siehe Übung Folgerung 5 Seien (X, d) und (Y, d) metrische Räume. Eine Abbildung f : X Y ist genu dnn stetig uf X, wenn für lle Häufungspunkte x 0 X die Aussge lim x x0 f(x) = f(x 0 ) gilt. Beweis. Die Behuptung folgt unmittelbr us Definition 9 und Lemm 9. Folgerung 6 Seien (X, d) und (Y, d) metrische Räume und sei f : X Y eine beliebige Abbildung. Dnn sind folgende Aussgen äquivlent: () f ist stetig in x 0 X. (b) Flls (x n ) n N eine Folge mit Werten in X ist, die gegen x 0 X konvergiert, so konvergiert die Bildfolge ( f(x n ) ) n N gegen f(x 0). Beweis. Die Aussge knn völlig nlog zum Beweis von Stz 5 gezeigt werden. Stz 7 Seien (X, d) und (Y, d) metrische Räume. () Eine Abbildung f : X Y ist genu dnn stetig uf X, wenn Urbilder offener Mengen (unter f) offen sind, d.h., wenn ds Urbild f 1 (U) X jeder offenen Menge U Y offen ist. (b) Eine Abbildung f : X Y ist genu dnn stetig uf X, wenn Urbilder bgeschlossener Mengen (unter f) bgeschlossen sind, d.h. wenn ds Urbild f 1 (A) X jeder bgeschlossenen Menge A Y bgeschlossen ist. 16

18 Beweis. Zu (): = : Sei f : X Y stetig und sei U Y offen. Wir müssen zeigen, dss f 1 (U) offen ist. Dzu beweisen wir, dss jeder Punkt von f 1 (U) innerer Punkt ist. Sei lso o.b.d.a. f 1 (U) und x 0 f 1 (U), d.h. f(x 0 ) =: y 0 U. D U offen ist und y 0 U, existiert ein ε > 0 mit B ε (y 0 ) U. Ferner existiert der Stetigkeit von f wegen ein δ > 0 mit f ( B δ (x 0 ) ) B ε (y 0 ), lso f ( B δ (x 0 ) ) U. Somit gilt B δ (x 0 ) f 1 (U), d.h. x 0 ist ein innerer Punkt von f 1 (U). D x 0 f 1 (U) beliebig gewählt wr, ist f 1 (U) offen. = : Es sei f 1 (U) offen für lle offenen Teilmengen U Y. Ferner sei x 0 X und ε > 0 gegeben. Wir betrchten nun die offene Kugel B ε (y 0 ) für y 0 := f(x 0 ). Dnn ist f 1( B ε (y 0 ) ) nch Vorussetzung offen. D x 0 f 1( B ε (y 0 ) ), existiert ein δ > 0 mit B δ (x 0 ) f 1( B ε (y 0 ) ), lso f(b δ (x 0 )) B ε (y 0 ). Drus folgt, dss f stetig in x 0 X ist. D x 0 X beliebig gewählt wr, ist f stetig uf X. Zu (b): D eine Menge genu dnn bgeschlossen ist, wenn Ihr Komplement offen ist, folgt die Behuptung unmittelbr us Teil () und der Identität f 1 (Y \ M) = X \ f 1 (M). Stz 7 erlubt uch die folgende lokle Version. Stz 8 Seien (X, d) und (Y, d) metrische Räume. Eine Abbildung f : X Y ist genu dnn stetig in x 0 X, wenn ds Urbild f 1 (U) X jeder Umgebung U Y von f(x 0 ) eine Umgebung von x 0 ist. Beweis. Der Beweis knn völlig nlog zum obigen Beweis geführt werden. Stz 9 Seien (X, d), (Y, d) und (Z, d) metrische Räume. Ferner seien f : X Y und g : Y Z stetig uf X bzw. Y. Dnn ist g f : X Z stetig uf X. Beweis. Sei U Z offen. Dnn ist g 1 (U) =: V offen in Y, d g stetig ist. Ferner ist f 1 (V ) offen in X, d f stetig ist. Somit ist (g f) 1 (U) = f 1( g 1 (U) ) = f 1 (V ) offen und folglich ist g f nch Stz 7 stetig. Stz 9 gilt uch in der folgenden lokle Vrinte. Stz 10 Seien (X, d), (Y, d) und (Z, d) metrische Räume. Ferner seien f : X Y und g : Y Z stetig in x 0 X bzw. in y 0 := f(x 0 ) Y. Dnn ist g f : X Z stetig in x 0 X. Beweis. siehe Übung (benutze Stz 8) Folgerung 7 Seien (X, d) ein metrischer Räume und R versehen mit der Stndrdmetrik d(x, y) := x y. Ferenr seien f : X R und g : X R stetige Abbildungen uf X. Dnn sind uch die folgenden Abbildungen stetig: f ± g : X R und f g : X R. f/g : X \ N g R mit N g := {x X g(x) = 0}. Eine nloge Aussge gilt für komplexwertige Abbildungen f : X C und g : X C. 17

19 Beweis. Die Behuptung ergibt sich unmittelbr us den Folgerungen 4 und 5. Beispiel: Sei X = Y = R versehen mit der Stndrdmetrik. Ferner seien f : R R und g : R R definiert durch f(x) = x und g(x) =, wobei R fest gewählt sei. Dnn sind f und g offensichtlich stetig uf R, wie mn leicht durch Nchrechnen der ε-δ-beziehung (siehe Definition 9) zeigt. Somit sind nch Folgerung 7 uch die Abbildungen: und x x, x x 2, x R x R stetig uf R. Allgemein gilt (mittels wiederholter Anwendung von Folgerung 7), dss jedes Polynom m x p(x) := k x k, x R und jede rtionle Funktion x p(x) q(x) := k=0 n k=0 kx k n k=0 b kx k, x R \ N q, N q := {x R q(x) = 0} stetig uf R bzw. R \ N q ist. Eine entsprechende Aussge gilt für komplexe Polynome und komplexe rtionle Funktionen. Stz 11 Seien (X, d) und (Y, d) metrische Räume und sei K X kompkt. Flls f : X Y stetig ist, so ist uch f(k) Y kompkt. Kurzform: Bilder kompkter Mengen (unter stetigen Abbildungen) sind kompkt. Beweis. Sei {U α α I} eine beliebige offene Überdeckung von f(k). Dnn ist f 1 (U α ) nch Stz 7 offen in X und folglich ist {f 1 (U α ) α I} eine offene Überdeckung von K. D K kompkt ist, existiert eine endliche Teilüberdeckung, d.h., es gibt α 1,..., α n mit K n f 1 (U αk ). k=1 Drus erhält mn d.h. f(k) ist kompkt. n f(k) U αk, k=1 Folgerung 8 Seien (X, d) metrischer Rum und sei R versehen mit der Stndrdmetrik. Ferner sei f : X R stetig und sei K X kompkt und nichtleer. Dnn besitzt f ein Mximum und ein Minimum uf K, d.h. es existiert ein x K bzw. ein x K mit f(x) f(x ) und f(x) f(x ) für lle x K. 18

20 Beweis. Aus Stz 9 folgt, dss f(k) kompkt lso nch dem Stz von Heine/Borel 2 beschränkt und bgeschlossen ist. Dher existiert ds Supremum s := sup f(k). Nch Folgerung 2 gilt s f(k), denn mn zeigt leicht, dss es eine Folge (y n ) n N mit Werten in f(k) gibt, die gegen s konvergiert. Somit existiert ein x K mit f(x ) = s, d.h. x ist ein Mximum von f uf K. Anlog zeigt mn die Existenz eines Minimums x K. Definition 10 Seien (X, d) und (Y, d) metrische Räume. Eine Abbildung f : X Y heißt gleichmäßig stetig uf X, wenn für jedes ε > 0 ein δ > 0 existiert, so dss für lle x, y X mit d(x, y) < δ die Abschätzung d(f(x), f(y)) < ε gilt. Stz 12 Seien (X, d) und (Y, d) metrische Räume und sei K X kompkt. Jede stetige Funktion f : K Y ist gleichmäßig stetig. Beweis. Sei ε > 0 gegeben. Dnn existiert zu jedem x K ein δ x > 0 mit d(f(y), f(x)) < ε 2 für d(y, x) < δ x. Wir betrchten nun die offene Überdeckung {B δx/2(x) x K} von K. D K kompkt ist, existiert eine endliche Teilüberdeckung B 1 (x 1),..., B 2 δx 1 (x n). 1 2 δxn Setze δ := 1 2 min{δ x 1,..., δ xn }. Dnn existiert für x, y K mit d(x, y) < δ ein i {1,..., n} mit x B 1 (x 2 δx i ) und somit x, y B δxi (x i ). Drus folgt i d ( f(x), f(y) ) d ( f(x), f(x i ) ) + d ( f(x i ), f(y) ) < ε 2 + ε 2 = ε, d.h. f ist gleichmäßig stetig uf K. Definition 11 () Ein metrischer Rum (X, d) heißt unzusmmenhängend, wenn es offene Mengen U X und V X mit folgenden Eigenschften gibt: i) X U und X V ii) U V = iii) U V = X. Ein metrischer Rum heißt zusmmenhängend, wenn er nicht unzusmmenhängend ist. (b) Eine Teilmenge ˆX eines metrischen Rums (X, d) heißt unzusmmenhängend, wenn es offene Mengen U X und V X mit folgenden Eigenschften gibt: i) ˆX U und ˆX V ii) ˆX U V = iii) U V ˆX. Jede Teilmenge ˆX die nicht unzusmmenhängend ist, heißt zusmmenhängend. Stz 13 Sei f : X Y eine stetige Abbildung zwischen metrischen Räumen (X, d) und (Y, d) und sei Z eine zusmmenhängende Teilmenge von X. Dnn ist uch f(z) zusmmenhängend. 19

21 Kurzform: Bilder zusmmenhängender Mengen (unter stetigen Abbildungen) sind zusmmenhängend. Beweis. Angenommen f(z) wäre unzusmmenhängend. Dnn gäbe es offene Mengen U Y und V Y mit f(z) U, f(z) V, f(z) U V = und f(z) U V. Somit wären uch U := f 1 (U) und V := f 1 (V ) offen sowie die folgenden Beziehungen erfüllt: i) Z U, denn us z Z und f(z) U folgt z f 1 (U) = U, lso und Z U. Anlog zeigt mn Z V. ii) Z U V =, denn us f(z) U V = folgt = f 1( f(z) U V ) = f 1( f(z) ) f 1 (U) f 1 (V ) Z U V, lso Z U V =. iii) Z U V, denn us f(z) U V folgt Z f 1( f(z) ) f 1( U V ) = f 1 (U) f 1 (V ) = U V, lso Z U V. Dies ist ber einen Widerspruch zur Vorussetzung, dss Z zusmmenhängend ist. Stz 14 Die zusmmenhängenden Teilmengen von R (versehen mit der Stndrdmetrik) sind genu die Intervlle, lso die Mengen der Form, (, b), (, b], [, b), [, b], (, b), (, + ), (, b], [, + ) und R mit, b R. Beweis. siehe Übung Stz 15 (Zwischenwertstz) Sei R im Weitern mit der Stndrdmetrik versehen. Dnn sind die folgenden Aussgen erfüllt. () Sei f : X R eine stetige Abbildung und sei X zusmmenhängend. Dnn ist f(x) ein Intervll in R. (b) Sei f : [, b] R eine stetige Abbildung und sei η zwischen f() und f(b), d.h. f() η f(b) oder f(b) η f(). Dnn existiert ein ξ [, b] mit f(ξ) = η. Beweis. Zu (): Dies ist eine Unmittelbre Folgerung us den Sätzen 13 und 14. Zu (b): Sei o.b.d.a. f() f(b). Aus Teil () folgt, dss f([, b]) ein Intervll ist, ds f() und f(b), lso uch [f(), f(b)] enthält und somit wird uch jeder Wert η [f(), f(b)] von f ngenommen, d.h. ex existiert ein ξ [, b] mit f(ξ) = η. Folgerung 9 (Nullstellenstz von Rolle) Sei f : [, b] R stetig (bzgl. der Stndrdmetrik) und sei eine der beiden folgenden Bedingungen erfüllt: 20

22 f() 0 und f(b) 0 f() 0 und f(b) 0 Dnn besitzt f uf [, b] mindestens eine Nullstelle, d.h. es existiert ein x 0 [, b] mit f(x 0 ) = 0. Beweis. Die Behuptung folgt unmittelbr us Stz 15 ngewndt uf ξ = 0. Folgerung 10 ( kleiner Fixpunktstz von Brouwer) Sei f : [, b] [, b] stetig (bzgl. der Stndrdmetrik). Dnn besitzt f einen Fixpunkt, d.h. es existiert ein x 0 [, b] mit f(x 0 ) = x 0. Beweis. Mn betrchte die Abbildung g(x) := f(x) x. Offensichtlich folgten us der Bedingung f ( [, b] ) [, b] die Abschätzungen g() 0 und g(b) 0. Somit impliziert Stz 15 bzw. Folgerung 9, dss g eine Nullstelle x 0 in [, b] besitzt, d.h 0 = g(x 0 ) = f(x 0 ) x 0, lso f(x 0 ) = x 0. Beispiele: (Anwendungsbeispiele der obigen Sätze) 1) Behuptung: Die Gleichung x 5 x = 1 besitzt mindestens eine Lösung in R. Beweis. Setze f : [ 2, 2] R, f(x) := x 5 x 1. Dnn ist f ls reelles Polynom stetig und erfüllt offensichtlich die Abschätzungen f(2) > 0 sowie f( 2) < 0. Somit folgt die Behuptung unmittelbr us Folgerung 9. 2) Behuptung: Flls f : [0, 1] [0, 1] stetig ist, so besitzt ds diskrete dynmische System x n+1 = f(x n ) ( ) einen Fixpunkt ht, d.h. es existiert ein x [0, 1] mit f(x ) = x. Flls f zusätzlich uf [0, 1 2 ] monoton steigend ist sowie f(0) = f(1) = 0 und f( 1 2 ) = 1 erfüllt, so verfügt ( ) uch über einen Punkt der Periode 2 besitzt, d.h., es gibt ein x [0, 1] gibt mit f ( f(x ) ) = x und f(x ) x. Beweis. Der erste Teil der Behuptung folgt unmittelbr dem Fixpunktstz von Brouwer. Den zweiten Teil erhält mn Hilfe einer wiederholten Anwendung des Zwischenwertstzes 15 (siehe Übung). Stz 16 Sei f : (, b) R stetig und streng monoton steigend. Dnn existieren die Grenzwerte lim x f(x) =: α und lim x b f(x) =: β mit α, β R ± und es gilt f ( (, b) ) = (α, β). Ferner besitzt die Abbildung f : (, b) (α, β) eine stetige, streng monotone Umkehrbbildung. Offensichtlich gilt eine entsprechende Aussge uch für streng monoton fllende Funktionen. Beweis. Wir zeigen zuerst, dss der Grenzwert lim x b f(x) existiert. Dzu betrchten wir im Weiteren zwei Fälle. 1. Fll: Sei B := f ( (, b) ) ist nch oben unbeschränkt. Dnn folgt us der Monotonie von f die Identität lim x b f(x) = +. 21

23 2. Fll: Sei B ist nch oben beschränkt, d.h. f(x) M für lle x (, b). Setze β := sup B. Dnn existiert zu ε > 0 ein x 0 (, b) mit f(x 0 ) > β ε. Setze δ := b x 0. Nun folgt ufgrund der Monotonie von f die Abschätzung β ε < f(x) < β, lso f(x) β < ε für lle x (b δ, b), d.h. lim x b f(x) = β. Anlog zeigt mn lim x f(x) = inf B =: α. Während nun mit Hilfe des Zwischenwertstzes 15 die Inklusion (α, β) B folgt, ergibt sich die Inklusion B (α, β) unmittelbr us der Definition von α und β. Insgesmt erhlten wir somit (α, β) = B. D f ls streng monotone Funktion uch injektiv ist, ist f : (, b) (α, β) bijektiv und somit existiert die Umkehrfunktion f 1 : (α, β) (, b). Wir müssen noch zeigen, dss f 1 stetig und streng monoton ist. Zur Monotonie: Seien y, y (α, β) mit y < y. Dnn existieren x, x (, b) mit f(x) = y und f(x ) = y. Aufgrund der Monotonie von f gilt x < x, lso f 1 (y) = x < x = f 1 (y ) und somit ist f 1 streng monoton. Zur Stetigkeit: Sei y 0 (α, β) beliebig und sei ε > 0 gegeben. Setze x 0 := f 1 (y 0 ) und betrchte y := f(x 0 ε) und y + := f(x 0 + ε). Mittels der Monotonie von f 1 folgt für lle y (, b) mit y < y y 0 die Abschätzung f 1 (y 0 ) f 1 (y) < f 1 (y 0 ) f 1 (y ) = x 0 (x 0 ε) = ε und für lle y (, b) mit y 0 y < y + die Abschätzung Somit erhlten wir f 1 (y) f 1 (y 0 ) < f 1 (y + ) f 1 (y 0 ) = x 0 + ε + x 0 = ε. f 1 (y) f 1 (y 0 ) < ε für lle y (, b) mit y y 0 < δ := min{y 0 y, y + y 0 }, d.h. f 1 ist stetig uf (α, β). Stz 17 Sei (f n : X Y ) n N eine Folge von stetigen Funktionen, die uf X gleichmäßig gegen die Grenzfunktion f : X Y konvergiert. Dnn ist uch f stetig uf X. Beweis. Sei x 0 X beliebig gewählt und ε > 0 gegeben. Allgemein gilt d ( f(x), f(x 0 ) ) d ( f(x), f n (x) ) + d ( f n (x), f n (x 0 ) ) + d ( f n (x 0 ), f(x 0 ) ). ( ) D (f n ) n N gleichmäßig konvergiert, existiert ein N N, so dss d ( f(x), f n (x) ) ε 3 für lle n N und lle x X. Ferner gibt es ein δ > 0, so dss d ( f N (x), f N (x 0 ) ) < ε 3 für lle x X mit d(x, x 0 ) < δ. Drus folgt mittels ( ) die Abschätzung d ( f(x), f(x 0 ) ) d ( f(x), f N (x) ) + d ( f N (x), f N (x 0 ) ) + d ( f N (x 0 ), f(x 0 ) ) < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε für lle x X mit d(x, x 0 ) < δ, d.h. f ist stetig in x 0 X. 22

24 Folgerung 11 Jede reelle oder komplexe Potenzreihe stellt im Inneren ihres Konvergenzgebiets eine stetige Funktion dr. Beweis. Sei R > 0 der Konvergenzrdius der Potenzreihe k=0 kz k. Mn wähle nun ein R > 0 mit R < R. Dnn wissen wir nch dem Stz von Cuchy/Hdmrd (Kpitel III, Stz??), dss die Potenzreihe k=0 kz k oder genuer gesgt die Folge stetiger Funktionen n f n (z) := k z k, n N k=0 uf K R (0) gleichmäßig konvergiert und somit nch Stz 17 eine stetig Grenzfunktion f uf K R (0) besitzt. D dies für lle R < R gilt, ist die drgestellte Funktion f(z) := k z k sogr uf B R (0) stetig. k=0 Bemerkung: 1) Wir werden sehen, dss Potenzreihen sogr beliebig oft differenzierbr sind. 2) Die Frge nch der Stetigkeit in den Rndpunkten (flls die Potenzreihe dort existiert) ist schwieriger zu klären und wird u.. durch den Grenzwertstz von Abel bentwortet. Existenz von π Wir hben in Kpitel III die Zhl π ls die kleinste echt positive Nullstelle der Sinusfunktion definiert, konnten ber zu diesem Zeitpunkt deren Existenz nicht beweisen. Mit den obigen Hilfsmittels können wir nun einen vollständigen Beweis liefern (siehe uch Übung): Behuptung: Die Sinusfunktion besitzt eine kleinste echt positive Nullstelle. Beweis. 1. Schritt: Mn zeigt leicht, dss es ein ε > 0 gibt mit sin x > 0 für 0 < x ε, z.b. knn mn mittels der Potenzreihendrstellung für ε = 1 die gewünschte Abschätzung erhlten. 2. Schritt: Setze N + := {x > 0 sin x = 0}. Nch Schritt 1 gilt die Identität N + = sin 1 ( {0} ) [1, ) und somit ist N + ls Durchschnitt zweier bgeschlossener Mengen bgeschlossen. Dbei folgt die Abgeschlossenheit von sin 1 ( {0} ) us Stz 7 und der Stetigkeit der Sinusfunktion, die wiederum durch Folgerung 11 grntiert wird. Ferner ist N + nch unten beschränkt und folglich ist inf N + = min N + > 0 die gesuchte kleinste echt positive Nullstelle der Sinusfunktion Vorsicht! Diese Argumenttion ist nur korrekt, wenn N + nicht leer ist. 3. Schritt: Wir müssen noch N + zeigen. Dzu betrchtet mn x = 4 und zeigt mittels der Potenzreihendrstellung des Sinus sowie der Ungleichung 4 2n 1 (2n 1)! 42n+1 (2n + 1)! 23

25 für n 2 die Abschätzung sin ! ! 47 7! ! < 0. Abschließend erhält mn us Folgerung 9 die Existenz einer Nullstelle im Intervll [1, 4] und somit gilt insbesondere N +. 3 Ds Riemnn-Integrl Konvention: Im Weiteren sei R, sofern nichts Gegenteiliges explizit vorusgesetzt wird, immer mit der Stndrdmetrik d(x, y) = x y versehen und [, b] bezeichne stets ein kompktes, nichtleeres Intervll, lso, b R mit b. Definition 12 Sei [, b] R ein kompktes Intervll mit b und sei f : [, b] R eine beliebige beschränkte Funktion, d.h. es existieren Konstnten m, M R mit m f(x) M für lle x [, b]. () Unter einer Prtition P von [, b] verstehen wir eine endliche Folge von Punkten (x 0,..., x n ) mit = x 0 x 1... x n = b. Die Punkte x i bezeichnen wir uch ls die Stützstellen der Prtition P. Ferner setzen wir x i := x i x i 1 für i = 1,... n und definieren die Obersumme bzw. Untersumme von f bzgl. P wie folgt: ( ) n S (f, P ) := sup x i i=1 x i 1 x x i f(x) }{{} M i(f) n ( ) S (f, P ) := inf f(x) x i x i 1 x x i i=1 }{{} m i(f) (b) D lle Obersummen nch unten (durch m(b )) und lle Untersummen nch oben (durch M(b )) beschränkt sind, können wir ds Oberintegrl bzw. Unterintegrl von f wie folgt definieren: b f(x)dx := inf { S (f, P ) P beliebige Prtition von [, b] } f(x)dx := sup { S (f, P ) P beliebige Prtition von [, b] }. (c) Abschließend heißt f Riemnn-integrierbr, wenn Oberintegrl und Unterintegrl übereinstimmen. In diesem Fll schreiben wir f(x)dx := f(x)dx = b f(x)dx. 24

26 Frgen: für den gemeinsmen Wert und bezeichnen ihn ls ds Riemnn-Integrl von f. Zusätzlich definieren wir für > b f(x)dx = flls f uf Riemnn-integrierbr uf [b, ] ist. b f(x)dx, Welche Funktionen sind Riemnn-integrierbr? Wie berechnet mn ds Integrl, flls es existiert? Zur Klärung der obigen Frgen benötigen wir noch die folgenden Begriffe und Konzepte. Definition 13 () Eine Verfeinerung ˆP = (ˆx 0,..., ˆx n ) von P = (x 0,..., x m ) ist eine Prtition von [, b], die jeden Stützpunkt von P enthält, d.h. für jedes i {0,... m} existiert j {0,... n} mit x i = ˆx j. (b) Die gemeinsme Verfeinerung von zwei Prtitionen P und P des Intervlls [, b] ist die Prtition, die genu us den Stützstellen von P und P besteht. Lemm 10 (Verfeinerungslemm) und P Prtitionen von [, b]. Sei f : [, b] R beschränkt und seien P () Für jede Verfeinerung ˆP von P gilt S (f, P ) S (f, ˆP ) S (f, ˆP ) S (f, P ). (b) Es gibt eine Prtition ˆP mit S (f, ˆP ) S (f, P ) und S (f, ˆP ) S (f, P ) sowie S (f, ˆP ) S (f, P ) und S (f, ˆP ) S (f, P ). Beweis. Zu (): Sei ˆP = (ˆx 0,... ˆx n ) eine Verfeinerung von P = (x 0,... x m ) und sei o.b.d.a. n = m + 1, d.h. es gibt ein i 0 {1, n 1} mit ˆx 0 = x 0... ˆx i0 1 = x i0 1 ˆx i0 ˆx i0+1 = x i0... ˆx m+1 = x m. 25

27 Drus folgt S (f, P ) = = i 0 1 i=1 i 0 1 i=1 ({}} ){ m sup f(x) x i x i 1 x x i i=1 M i (f) x i + M i (f) x i + M i(f) m i=i 0+1 m i=i 0+1 M i (f) x i + sup f(x) x i0 x i0 1 x i0 1 x x i0 M i (f) x i + sup f(x) ˆx i0 ˆx i0 1 + sup f(x) ˆx i0+1 ˆx i0 = S (f, ˆP ), ˆx i0 1 x ˆx i0 ˆx i0 x ˆx i0 +1 lso S (f, P ) S (f, ˆP ). Anlog zeigt mn S (f, P ) S (f, ˆP ). Die Abschätzung S (f, ˆP ) S (f, ˆP ) ist trivil. Somit ist Teil () bewiesen. Zu (b): Sei ˆP die gemeinsme Verfeinerung von P und P. Dnn folgt die Behuptung unmittelbr us Teil (). Folgerung 12 Für jede beschränkte Funktion f : [, b] R gilt f(x)dx b f(x)dx. Beweis. Seien P und P beliebige Prtitionen. Dnn folgt us Lemm 10 Also S (f, P ) S (f, P ) S (f, P ) inf { S (f, P ) P beliebige Prtition von [, b] } = und somit f(x)dx = sup { S (f, P ) P beliebige Prtition von [, b] } b b f(x)dx f(x)dx. Sei f : [, b] R be- Stz 18 (Kriterium für Riemnn-Integrierbrkeit) schränkt. Dnn sind folgende Aussgen äquivlent: () f ist uf [, b] Riemnn-integrierbr. (b) Zu jedem ε > 0 existiert eine Prtition P von [, b], so dss die Abschätzung S (f, P ) S (f, P ) < ε gilt. 26

28 Beweis. () = (b): Sei f Riemnn-integrierbr uf [, b]. Dnn existieren Oberund Untersummen S (f, P ) und S (f, P ) mit S (f, P ) b f(x)dx < ε 2 und f(x)dx S (f, P ) < ε 2. Somit folgt für die gemeinsme Verfeinerung ˆP := P P die Abschätzung S (f, ˆP ) S (f, ˆP ) S (f, P ) S (f, P ) = S (f, P ) = S (f, P ) ε 2 + ε 2 = ε. b f(x)dx + f(x)dx + f(x)dx S (f, P ) f(x)dx S (f, P ) Dbei hben wir die ufgrund der Riemnn-integrierbr von f geltende Identität usgenutzt. b f(x)dx = f(x)dx = f(x)dx (b) = (): Sei nun die Aussge (b) erfüllt und sei P eine Prtition mit Drus folgt 0 b f(x)dx S (f, P ) S (f, P ) < ε. f(x)dx S (f, P ) S (f, P ) < ε. wobei sich die erste Abschätzung unmittelbr us Folgerung 12 ergibt. D ( ) für jedes ε > 0 gilt, erhält mn die Identität b d.h. f ist Riemnn-integrierbr. Sei f : [, b] R beschränkt. Dnn sind die folgenden Auss- Folgerung 13 gen äquivlent: f(x)dx = f(x)dx, () f ist Riemnn-integrierbr uf [, b]. (b) Es existiert eine Folge (P n ) n N von Prtitionen von [, b], so dss die Differenz S (f, P n ) S (f, P n ) us den entsprechenden Ober- und Untersummen eine Nullfolge bildet. ( ) 27

29 Flls die Aussge (b) erfüllt ist, so gilt insbesondere f(x)dx = lim n S (f, P n ) = lim n S (f, P n ). Beweis. Die Äquivlenz von () und (b) folgt unmittelbr us Stz 18. Die zusätzlichen Grenzwertussgen erhält mn wie folgt. D f nch () Riemnnintegrierbr ist, existiert ds Integrl von f über [, b] und erfüllt die Abschätzung S (f, p n ) f(x)dx = = Sn(f, P n ) Somit gilt lim n S (f, P n ) = f(x)dx. f(x)dx S (f, P n ) S n (f, P n ) 0 für n. f(x)dx. Anlog zeigt mn lim n S (f, P n ) = Folgerung 14 () Sei f : [, b] R Riemnn-integrierbr. Dnn ist uch f : [c, d] R für lle [c, d] [, b] Riemnn-integrierbr. (b) Sei f : [, b] R Riemnn-integrierbr uf [, c] und [c, b] mit c b. Dnn ist f uch Riemnn-integrierbr uf [, b]. Beweis. Zu (): Sei o.b.d.a. P eine Prtition von [, b], die sowohl c ls uch d ls Stützpunkte enthält und S (f, P ) S (f, P ) < ε erfüllt. Flls P die Punkte c und d nicht enthält, betrchtet mn die entsprechende Verfeinerung. Dnn gilt für c = x k und d = x l für k l geeignet und somit ergibt sich die Abschätzung l i=k+1 M i (f) x i k i=k+1 m i (f) x i n M i (f) x i i=1 = S (f, P ) S (f, P ) < ε, n m i (f) x i d.h. P := (c = x k, x k+1,..., x l = d) ist eine Prtition von [c, d] mit S (f, P ) S (f, P ) < ε. und somit ist f nch Stz 18 Riemnn-integrierbr uf [c, d]. Zu (b): Seien P := (x 0, x 1,..., x m) und P := (x 0,..., x n) Prtitionen von [, c] bzw. [c, b] und S (f, P ) S (f, P ) < ε 2 und S (f, P ) S (f, P ) < ε 2. i=1 28

30 D x m = c = x 0, gilt für die Prtition P := (x 0,..., x m, x 0,..., x n) von [, b] die Abschätzung S (f, P ) S (f, P ) < ε 2 + ε 2 = ε, und folglich ist f nch Stz 18 Riemnn-integrierbr. Stz 19 (Eigenschften des Riemnn-Integrls) Sei b und seien f, g : [, b] R Riemnn-integrierbre Funktionen. Dnn sind die folgenden Aussgen erfüllt: () Für lle α, β R ist uch αf + βg Riemnn-integrierbr mit αf(x) + βg(x)dx = α f(x)dx + β g(x)dx. (Linerität) (b) Für lle c [, b] gilt c f(x)dx + c f(x)dx = f(x)dx. (Additivität) (c) Für f g gilt f(x)dx g(x)dx. (Monotonie) (d) Die Funktion f ist Riemnn-integrierbr uf [, b] und es gilt f(x)dx f(x) dx. Beweis. Zu (): Sei o.b.d.a. (P n ) n N eine Folge von Prtitionen von [, b] mit und S (f, P n ) S (f, P n ) 0 für n S (g, P n ) S (g, P n ) 0 für n. Mn bechte, dss eine derrtige Folge (P n ) n N von Prtitionen nch Folgerung 13 und Lemm 10 existiert. Drus folgt S (f + g, P n ) S (f + g, P n ) = S (f, P n ) + S (g, P n ) S (f, P n ) S (g, P n ) = S (f, P n ) S (f, P n ) + S (g, P n ) S (g, P n ) 0 für n und für α 0 erhält mn S (αf, P n ) S (αf, P n ) = αs (f, P n ) αs (f, P n ) = α ( ) S (f, P n ) S (f, P n ) 0 für n. 29

31 Eine nloge Aussge ergibt sich für α < 0 mittels der Beziehungen S (αf, P n ) = αs (f, P n ) und S (αf, P n ) = αs (f, P n ). Somit impliziert Folgerung 13 sowohl die Riemnn-Integrierbrkeit von f + g ls uch die von αf und liefert die Identitäten und f(x) + g(x)dx = lim n S (f + g, P n ) = lim n S (f, P n ) + S (g, P n ) = f(x) + g(x)dx + f(x) + g(x)dx αf(x)dx = lim n S (αf, P n ) = lim n αs (f, P n ) = α f(x)dx. Insgesmt folgt drus die Riemnn-Integrierbrkeit von αf + βg und αf(x) + βg(x)dx = α f(x)dx + β g(x)dx. Zu (b): Aus Folgerung 14 wissen wir schon, dss f uf [, c] und [c, b] Riemnnintegrierbr ist. Sei ferner (P n ) n N eine Folge von Prtitionen von [, b], so dss c eine Stützstelle von llen P n ist und gilt. Drus folgt und S (f, P n ) S (f, P n ) 0 für n S (f, P n [,c] ) S (f, P n [,c] ) S (f, P n ) S (f, P n ) 0 für n S (f, P n [c,b] ) S (f, P n [c,b] ) S (f, P n ) S (f, P n ) 0 für n, wobei P n [,c] und P n [c,b] die Einschränkungen der Prtition P n uf [, c] bzw. [c, b] bezeichne. Aus Folgerung 13 erhält mn nun die gewünschte Identität f(x)dx = lim n S (f, P n ) = lim n S (f, P n [,c] ) + S (f, P n [c,b] ) = c f(x)dx + c f(x)dx. Zu (c): Offensichtlich gilt für jede Obersumme S (f, P ) S (g, P ). Drus folgt b f(x)dx b g(x)dx lso f(x)dx g(x)dx. 30

32 Zu (d): Zum Beweis der Riemnn-Integrierbrkeit von f verweisen wir hier uf Stz 22 oder speziell Folgerung 15. Sobld die Riemnn-Integrierbrkeit von f gesichert ist, erhält mn die gewünschte Abschätzung wie folgt us Teil (c). Einerseits gilt f f und somit f(x)dx Andererseits gilt uch f f und dher f(x)dx = f(x) dx. f(x)dx Insgesmt folgt us ( ) und ( ) die Abschätzung f(x)dx f(x)dx. f(x) dx. ( ) ( ) Stz 20 Jede monotone Funktion f : [, b] R ist Riemnn-integrierbr. Beweis. Sei P n eine äquidistnte Prtition mit x i = := b n, d.h. x 0 =, x 1 = + b n, x 2 = +2 b n,..., x n = b, und sei f o.b.d.a. monoton steigend. Dnn gilt n n S (f, P ) S (f, P ) = M i (f) x i m i (f) x i = n f(x i ) i=1 i=1 n i=1 i=1 f(x i 1 ) = ( f(b) (f() ) b n 0 für n. Somit ist f nch Folgerung 13 Riemnn-integrierbr. Stz 21 Jede stetige Funktion f : [, b] R ist Riemnn-integrierbr. Beweis. Sei o.b.d.a. < b und sei ε > 0 gegben. D [, b] kompkt ist, ist f nch Stz 12 gleichmäßig stetig uf [, b] und somit existiert zu ε := δ > 0, so dss f(x) f(x ) < ε ( ) ε b ein flls x x < δ. Mn wähle nun eine (z.b. äquidistnte) Prtition P mit mx{ x i i = 1,... n} < δ. Dnn folgt us ( ) die Abschätzung n n S (f, P ) S (f, P ) = M i (f) x i m i (f) x i = i=1 i=1 n ( Mi (f) m i (f) ) n x i ε x i = ε, i=1 und somit ist f nch Stz 18 Riemnn-integrierbr. i=1 } {{ } b 31

33 Problem: Nch den Aussgen der Sätze 20 und 21 stellt sich der Frge, ob es überhupt Funktionen gibt, die nicht Riemnn-integrierbr sind? J, derrtige Funktionen existieren sehr wohl, wie ds folgende Beispiel zeigt. 0 für x Q [0, 1] f : [0, 1] R, f(x) = (Dirichlet-Funktion) 1 für x [0, 1] \ Q Beweisidee. Mn zeige, dss lle Obersummen den Wert eins und lle Untersummen den Wert null nnehmen, lso S (f, P ) = 1 und S (f, P ) = 0 für lle Prtitionen P. Stz 22 Sei f : [, b] [c, d] Riemnn-integrierbr und sei g : [c, d] R stetig. Dnn ist uch g f : [, b] R Riemnn-integrierbr. Beweis. D g stetig und [c, d] kompkt ist, ist g insbesondere beschränkt, lso m g(y) M für lle y [c, d], und somit ist uch g f beschränkt mit m g ( f(x) ) M für lle x [, b]. Sei nun ε > 0 gegeben. Dnn existiert ufgrund der gleichmäßigen Stetigkeit von g uf [c, d] zu ε := so dss g(y) g(y ) < ε ε 2(b ) ein δ > 0, flls y y < δ. Sei nun P eine Prtition von [, b] mit S (f, P ) S (f, P ) δ 2 und sei die Indexmngen N 1 und N 2 wie folgt definiert: N 1 := { i {1,... n} M i (f) m i (f) < δ } Dnn gilt δ N 2 := { i {1,... n} M i (f) m i (f) δ } = {1,... n} \ N 1. i N 2 x i ( Mi (f) m i (f) ) x i i N 2 ( Mi (f) m i (f) ) x i + ( Mi (f) m i (f) ) x i i N 2 i N 1 = S (f, P ) S (f, P ) δ 2, lso Drus folgt i N 2 x i < δ. S (g f, P ) S (g f, P ) = ( Mi (g f) m i (g f) ) x i + ( Mi (g f) m i (g f) ) x i i N 1 i N 2 ε 2(b ) x i + (M m) x i ε 2 + (M m) δ. i N 1 i N 2 32