2 Mathematik: Fourier Analyse und Delta Funktion

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1 Skript zur 2. Vorlesung Quntenmehnik, Freitg den 5. April, Mthemtik: Fourier Anlyse und Delt Funktion Fourier Anlyse ist ein wihtiges mthemtishes Hilfsmittel bei der Anlyse von Wellen und, dher, uh in der Quntenmehnik. In dieser Vorlesung wird die Fourier Anlyse und ihre Beziehung zur Dir Delt Funktion besprohen. 2. Dir Delt-Funktion. Die Dir Delt Funktion δ(x) ist eine reelle Funktion δ(x) mit den Eigenshften δ(x) = δ( x), δ(x) = 0 für x 0, dxδ(x) =. 2. Aus diesen Eigenshften folgen die weitere Eigenshften: b dxf(x)δ(x) = F(0) für eine beliebige, stetige Funktion F(x), wenn < 0 und b > 0. Wenn niht < 0 < b, dnn b dxf(x)δ(x) = 0. { b F(x dxf(x)δ(x x ) = ) wenn < x < b, sonst. { F(x ) b wenn < x dxf(x)δ(x x ) = < b, 0 sonst. Beweis: Wenn > 0: b b dxf(x)δ(x x ) = dyf = ( x ) F ( y ) δ(y x ) (wenn < x < b) = F(x ) (wenn < x < b) 9

2 Wenn < 0: b dxf(x)δ(x x ) = b b dyf = dyf = ( ) F x ( y ) δ( y x ) ( ) y δ(y +x ) (weil δ symmetrish) (wenn < x < b) = F(x ) (wenn < x < b) Es folgt direkt us den vorherigen Eigenshften, dss b dxf(x)δ(g(x)) = n: x nnullstellevong(x) g (x n ) F(x n ). Die oben gennnten Eigenshften beziehen sih lle uf Integrle. Es ist sehr wihtig, zu bedenken, dss die δ-funktion nur eine Bedeutung in einem Integrl ht. In der Mthemtik werden solhe Objekte Distributionen gennnt. Mthemtiker sprehen deshlb uh von de Delt Distribution, niht von der Delt Funktion. Die meisten Physiker mhen diesen Untershied niht, und betrhten, uf jeden Fll rein symbolish, die Dir Delt Funktion ls eine normle Funktion. So werden die vier oben gennnten Eigenshften ls Eigenshften einer Funktion geshrieben: F(x)δ(x) = F(0)δ(x) F(x)δ(x x ) = F(x )δ(x x ) F(x)δ(x x ) = F(x )δ(x x ) F(x)δ(g(x)) = n g (x n) F(x n )δ(x x n ) (In der letzten Gleihung findet die Summe über die Nullstellen der Funktion g(x) sttt.) Mn sollte ber immer bedenken, dss diese und ähnlihe Gleihungen nur in einem Integrl eine Bedeutung hben! 3. Eine Drstellung der δ-funktion ist eine reguläre Funktion δ ǫ (x), für die der Limes ǫ 0 die Eigenshften der δ-funktion ht. Beispiele: 0

3 δ ǫ (x) = { ǫ für x < ǫ 2 0 sonst δ ǫ (x) = π ǫ = Im ( ) x 2 +ǫ 2 π x iǫ = Im ( ) 2 π x+iǫ δ ǫ (x) = πx sin x ǫ Aus der letzten Drstellung der δ-funktion folgt eine wihtige Gleihung: sin x ǫ δ(x) = lim ǫ 0 π x sin(xl) = lim L π x L L L = lim = dk oskx dk oskx = Dies ist die Fourier-Drstellung der δ-funktion. dke ikx 4. Wir werden häufig eine δ-funktion in 3 Dimensionen benützen, δ(x, y, z) = δ(x)δ(y)δ(z).

4 Mn shreibt δ(r) = δ(x, y, z). Die Fourier-Drstellung von δ(r) ist: δ(r) = dke ikr. () Fourier Theorie Eine Funktion F(x) mit der Eigenshft dx F(x) 2 < wird qudrtintegrbel gennnt. Die Fourier Theorie beshäftigt sih mit solhen qudrtintegrblen Funktionen.. Sei F(x) eine qudrtintegrble Funktion, dnn F(x) = dkg(k)e ikx, wobei G(k) = Hier heißt G(k) Fourier-trnsformierte Funktion. Beweis durh die Fourier-Drstellung der Delt Funktion: F(x) = = = dx F(x )δ(x x) dx F(x ) dkg(k)e ikx. dke ik(x x ) dxf(x)e ikx. 2. Wihtiger Stz us der Fourier-Theorie (Prsevl): Sei F(x) eine qudrtintegrble Funktion und G(k) die Fourier-trnsformierte, dnn gilt dx F(x) 2 = dk G(k) 2 Beweis: Die Fourier-trnformierte der komplex-konjugierte Funktion F (x) ist F (x) = 2 dkg (k)e ikx.

5 Dnn findet mn, dss dxf (x)f(x) = = = dx dkg (k) dkg (k)g(k). dkg (k)e ikx F(x) dxf(x)e ikx Eine Generlisierung des Prsevlshen Theorems beshäftigt sih mit zwei qudrtintegrblen Funktionen F (x) und F 2 (x). In diesem Fll gilt dxf (x)f 2(x) = dkg (k)g 2(k), wobei G j (k) die Fourier-Trnsformierte von F j (x) ist, G j (k) = dxf j (x)e ikx, j =,2. Beweis: Versuhen Sie es selbst! 3. Für qudrtintegrble Funktionen F(r) = F(x, y, z) in drei Dimensionen gilt ähnlih, dss F(r) = dkg(k)e ikr, G(k) = drf(r)e ikr. () 3 2 () Wenn Verwehslung usgeshlossen ist, shreiben wir häufig F(k) oder F(k) für die Fourier-Trnsformierte einer Funktion F(x) bzw. F(r). 5. Ein wihtiges Beispiel einer Fourier Trnsformtion ist die Fourier-trnsfomierte der Guß-Funktion F(x) = e x2 (πd 2 ) 2d 2. 4 Mit dem Gusshen Integrl dx exp ( x 2 ±ibx ) = π b 2 e 4 3

6 mit > 0 findet mn dnn, dss ( ) d 2 4 G(k) = e 2 d2 k 2. π Durh Berehnung lässt sih nun shnell überprüfen, dss dx F(x) 2 = dk G(k) 2 =. Eine wihtige Beobhtung ist, dss für kleine d F(x) eine hohe Spitze bei x = 0 ht. Die Fourier-Trnsformierte G(k) ht dnn ein breites Mximum bei k = 0. Für große d gilt genu ds Umgekehrte. F(x) d G(k) /d x k 4