4 Einführung in die Integralrechnung

Transkript

1 4- Vorlesungsmnuskript Mthemtik I/II 4 Einführung in die Integrlrehnung 4. Grundlegende Üerlegungen Wir wollen uns die Integrlrehnung n Hnd der Berehnung des Inhltes krummlinig egrenzter Flähen einsihtig mhen, owohl dieses Prolem in der Pris der Integrlrehnung nur eine untergeordnete Bedeutung ht. Der Vorteil dieses Prolems ei der Erreitung der Integrlrehnung und ihrer Regeln liegt in der Ttshe egründet, dß die Berehnung des Fläheninhltes eine nshulihe Deutung ller Rehenshritte erlut. Prolemdefinition: Berehnung der shrffierten Flähe gemäß Skizze unterhl der Funktion f() im Intervll [, ]: Ohne weitergehende Kenntnisse können wir zwei Näherungen für den Fläheninhlt ngeen: Näherung: F > ( - ) f () (Rehtek --3-4) y f () f () 3 3 f (). Näherung: F < ( - ) f () (Rehtek ) Die. Näherung ergit offensihtlih einen kleineren Fläheninhlt ls die shrffierte Flähe, während die. Näherung einen größeren Wert ufweist. Wir hen ddurh zwei Grenzen für den Fläheninhlt gefunden, zwishen denen der whre Wert ttsählih liegen muß! 4 Wenn wir ds Intervll [, ] in kleinere Unterintervlle einteilen, so können wir die Genuigkeit veressern. Die Summe der Fläheninhlte der shrffierten Rehteke ist siherlih genuer ls der Wert der. Näherung(mhen sie sih dies itte seler klr!): F > U n ; n Un f ( i) ( i+ i) i Auh in diesem Flle knn mn generell feststellen, dß der whre Fläheninhlt größer ist ls der Wert dieser sogennnten Untersumme U n. y f ( i ) ii+ f ()

2 4- Vorlesungsmnuskript Mthemtik I/II Betrhten wir nun die Rehteke in der neenstehenden Skizze. Hier gilt siherlih, dß der y whre Fläheninhlt kleiner ist ls die der sogennnten Oersumme O n : f ( i ) n F < O n ; On f ( i+ ) ( i+ i) i Flls wir nun diese Verfeinerung weiter fortsetzen und die Anzhl der Rehteke üer lle Grenzen whsen lssen, so muß sih ein Grenzwert ergeen, wenn die Genuigkeit mit zunehmender Anzhl n steigt. Flls die eiden Grenzwerte U n n lim und O n n lim eistieren und identish sind, wird us der Ungleihung ii+ f () U n < F < O n in diesem Grenzfll die Gleihung F U O Unter diesen Bedingungen nennt mn die Funktion f() integrierr. Dmit ist die Bestimmung der eingngs definierten Flähe ekt durhführr: n F lim f ( ) ( ) n i i i+ i Die Berehnung des Grenzwertes dieser Summe nennt mn integrieren. Wir werden uns nun usführlih mit seiner Berehnung eshäftigen. Zur gekürzten Nottion dieser Summe mit unendliher Anzhl von Gliedern ht sih folgende symolishe Shreiweise durhgesetzt: n F lim f ( i ) ( i+ i ) f ( ) d n i Die Werte und nennt mn Integrtionsgrenzen. StilisiertesSummenzeihen Aus dieser Definition ergit sih, dß Flähennteile unterhl der -Ahse negtive Beiträge liefern, d f ( i ) < gilt und dmit die Glieder der Summe in diesem Bereih negtive Werte ufweisen: y A A t t A 3 f () Mit der Formel F lim n n i f ( i ) ( i+ i ) f ( ) d

3 4- Vorlesungsmnuskript Mthemtik I/II erhält mn dher die Differenzflähe A - A + A 3, wenn diese A i die (immer positiven!) Mßzhlen für den Fläheninhlt drstellen. Flls mn die ttsählihe Gesmtflähe enötigt, muß ds Integrtionsintervll entsprehend ufgeteilt werden: t A f ( ) d ; A f ( ) d ; A f ( ) d ; A A 3 t t Nullstellen im Integrtionsgeiet sind lso entsprehend zu ehten! In der Pris ergeen sih er durhus Fälle, in denen die Differenzflähe interessnt ist, d die Interprettion des Ergenisses von Integrlen niht immer ttsählihe Flähen sein müssen! Mn muß sih dher ei Anwendungen genu üerlegen, ws ds Integrl eigentlih edeutet. t Ges 3 i i 4. Elementre Integrtionsregeln Bevor wir uns mit den Tehniken zur Ermittlung dieser Summen mit unendlih vielen Gliedern eshäftigen (ds nennt mn integrieren ), wollen wir uns einige Regeln nsehen, die mn verstehen knn, ohne zu wissen, wie mn die Integrle ttsählih erehnet: ) f ( ) d Diese Aussge edeutet, dß die Flähe eines Flähenstreifens mit einer Breite Å vershwindet. Dies ist siher sehr nshulih. ) f ( ) d f ( ) d Diese Regel esgt, dß die Flähe mit negtiver Breite uh negtiv wird. Die negtive Breite wird durh ds Vertushen der Integrtionsgrenzen drgestellt! 3) f ( ) d f ( ) d f ( ) d + In dieser Regel wird nur usgedrükt, dß mn die zu erehnende Flähe im Intervll [, ] uh erhält, wenn mn dieses Intervll in [, ] und [, ] ufteilt. Dies sieht mn sofort n Hnd der Grfik ein, wenn mn sih vorstellt, dß der Wert für zwishen und liegt. Mit einigem Nhdenken werden Sie siher uh zu der Üerzeugung gelngen, dß diese Regel unhängig von der Lge der Grenze ist!? 4) k f ( ) d k f ( ) d Diese Regel ist direkt us der Summenformel herleitr. Sie esgt nihts nderes, ls dß sih ein konstnter Fktor (hier k) us einer Summe usklmmern läßt. y f ()

4 4-3 Vorlesungsmnuskript Mthemtik I/II ( ) 5) f ( ) + h( ) d f ( ) d + h( ) d Auh diese Regel geht direkt us der Summenformel hervor. Sie sgt us, dß eine Summe, die us zwei Teilsummen esteht, sih uh ddurh erehnen läßt, dß mn zunähst diese Teilsummen erehnet und die eiden Ergenisse dnn ddiert. 6) f ( ) h( ) f ( ) d h( ) d Hier wird usgesgt, dß die Flähe unter der Funktion f() kleiner ist ls unter der Funktion h(), wenn f() n jeder Stelle im Intervll [, ] kleiner ist ls h(). Erster Mittelwertstz der Integrlrehnung: f f ( mit min zw. )d µ ( ) µ f m f ( )d f ( ξ ) ( ) ; ξ Mit diesem Stz wird die Aussge getroffen, dß es einen Wert für ξ git, der im Intervll [, ] liegt und der die Eigenshft ht, dß ds Rehtek, welhes die Höhe f(ξ) und die Breite ( - ) ht, den gleihen Fläheninhlt esitzt wie die Flähe unter der Funktion f() im selen Intervll. In der Skizze edeutet dies, dß die Flähe mit der Begrenzung A B C D genuso groß ist wie die Flähe A B C D! y f (ξ ) A A D ξ B f () B C Zweiter Mittelwertstz der Integrlrehnung: ξ f ( ) h( ) d f ( ) g( ) d + f ( ) g( ) d f() Monoton und eshränkt! 4. Eigenshften der durh Integrtion gewonnenen Funktion Unestimmte Integrtion wollen wir den Vorgng nennen, ei dem ls oere ( rehte ) Integrtionsgrenze eine Vrile und kein fester Wert uftritt. Unter dieser Vorussetzung entsteht durh die Integrtion der sogennnten Grundfunktion (oder Integrnd) die Stmmfunktion F(): F( ) f ( ξ) dξ F () Stmmfunktion ξ f () Grundfunktion oder Integrnd Rein forml shreien wir im Integrnden nstelle von die Vrile ξ, um ls Ergenis nh Einsetzen der Grenzen wieder eine Funktion von zu erhlten. Nun wollen wir uns die llgemeinen Eigenshften dieser neuen Funktion nsehen, die wir unhängig von einer konkreten Funktion f() formulieren können. Die neue Funktion ist stetig:

5 4-4 Vorlesungsmnuskript Mthemtik I/II [ ] lim F( ) F( ) für, mit F( ) f ( ξ) dξ ; F( ) f ( ξ) dξ Dies ist leiht einsihtig, d die Stmmfunktion F() den Verluf des Fläheninhltes unter der Kurve f() im Intervll [, ] eshreit. Aus diesem Grund leit F() uh n der Stelle stetig, selst wenn die Grundfunktion f() n dieser Stelle unstetig ist. Nh dieser nshulihen Begründung nun die mthemtishe Berehnung der Sprunghöhe δ, die null werden muß, flls F() n der Stelle stetig ist: (*) δ F ) F( ) f ( ξ ) dξ f ( ξ ) dξ f ( ξ ) dξ + f ( ξ ) dξ Nh Stz 6) gilt: ( f ( ξ ) dξ ( k) d f ( ) d mit ( k) f ( ) f ( ) d kd mit f ( ) k Hierus folgt eine Intervllshhtelung für die rehte Seite von (*): kd f( ) d kd k( ) f ( ) d k( ) Sowohl die linke ls uh die rehte Seite der Ungleihung vershwinden für! Dher muß ds Integrl eenflls vershwinden: lim F( ) F( ) f ( ) d Dmit ist der Beweis der Stetigkeit für elieige Integrnden f() errht. Wenn lso δ F() - F( ) vershwindet, dnn knn mn uh vermuten, dß der Differentilquotient von F() gemäß F + F F ( ) lim ( ) ( ) lim δ eistiert, d j sowohl der Zähler ls uh der Nenner gegen Null geht! Untersuhen wir nun, wie die Aleitung von F() zu erehnen ist:

6 4-5 Vorlesungsmnuskript Mthemtik I/II F( + ) F( ) + + f ( ) d f ( ) d f ( ) d ξ ξ ξ ξ ξ ξ Nh dem ersten Mittelwertstz gilt: + f ( ξ )dξ f ( µ ) mit µ + F + F F ( ) lim ( ) ( ) f d [ f ] f ( ξ) ξ ( µ ) ( ) d µ für Å gegen geht (s. Gl. (**))! + (**) d F ( ) f d f d ( ) ( ) Diese Aussge ist von grundlegender Bedeutung, denn sie formuliert die Ttshe, dß der Prozeß der Integrtion und der Differentition mit dieser Gleihung uf llgemeine Art miteinnder verknüpft ist: Integrieren ist die Umkehrung des Differenzierens Integrieren edeutet nh dieser Formel dher nihts nderes, ls diejenige Funktion F() zu finden, die differenziert die zu integrierende Funktion f() ergit. Diese Ttshe erleihtert dher sehr die Auswertung der Summenformel, die wir ls Integrl üer f() definiert htten, d wir sie offensihtlih gr niht enötigen. Wie wir noh sehen werden, knn mn die Grundintegrle im wesentlihen ddurh gewinnen, dß mn die Telle der Aleitungen rükwärts liest. Diese Vorgehensweise ist ntürlih viel einfher ls die Berehnung des Grenzwertes einer Summe mit unendlih vielen Gliedern. Unestimmtes Integrl: F ( ) f ( ) F( ) f ( ) d + C D ds Integrieren die Umkehrung des Differenzierens ist, müssen wir erüksihtigen, dß eim Differenzieren dditive Konstnten wegfllen. Ds edeutet, wir müssen ei der Umkehrung drn denken, diese wieder hinzuzufügen. Dies mg im Augenlik sehr spitzfindig ersheinen, er ohne diese Integrtionskonstnte wäre die gesmte Integrlrehnung solut sinnlos, wie wir noh sehen werden. Huptstz der Differentil- und Integrlrehnung: Die Grundfunktion F() esitzt eine stetige Shr von Stmmfunktionen F( ) f ( ) d+ C C R

7 4-6 Vorlesungsmnuskript Mthemtik I/II Bestimmen der Integrtionskonstnte C eim estimmten Integrl: F ( ) f ( ) d ; F ( ) f ( ) d + C ; F ( ) f ( ) d + C F( ) F( ) f ( f ( f ( )d )d + )d f ( )d f ( )d ( Regel ) ( Regel 3) f ( ) d F ( ) F ( ) F ( ) Die Ttshe, dß die Integrlrehnung die Umkehrung der Differentilrehnung ist, knn mn usnutzen, um die sogennnten Grundintegrle zu ermitteln. Hierei liest mn die Gleihung der Aleitung einer Funktion von links nh rehts : Hier einige Beispiele: n + n + F( ) F ( ) n nd C n + n + + F( ) ln F ( ) d ln C F( ) ln( ) F ( ) d ln C Aus den eiden vorhergehenden Formeln ergit sih: F( ) ln F ( ) d ln + C Weiterhin: F( ) sin F ( ) os osd sin+ C F( ) e F ( ) e e d e + C d F( ) rsin F ( ) rsin+ C Für stükweise stetige oder definierte Funktionen f() muß die Integrtion uf die Teilgeiete eshränkt und gemäß Regel 5 ds Ergenis erehnet werden.

8 4-7 Vorlesungsmnuskript Mthemtik I/II 4. Methoden der nlytishen Integrtion - Differentilrehnung: Alle Funktionen, die elementr zusmmengesetzt sind, führen durh die Differentition wieder uf elementre Funktionen - Integrlrehnung: Die Integrtion von elementr zusmmengesetzten Funktionen führt niht zwngsläufig uf elementre Funktionen. Flls dies niht möglih ist, spriht mn von niht geshlossen lösren Integrlen. Ausweg: Potenzreihen, numerishe Integrtion. Zu diesen in der Pris sehr wihtigen Methoden finden spezielle Vorlesungen sttt. Selst sehr einfh strukturierte Funktionen lssen sih oft niht geshlossen integrieren, hier einige Beispiele: sin ; d ln d ; sin ² d ; e d Ziel nlytisher Integrtionsverfhren: Die Integrtionsverfhren sollen helfen, zu integrierende Ausdrüke uf Grundintegrle zurükzuführen, die durh Rükwärtslesen der Differentitionstelle definiert sind. 4.. Integrtion durh Sustitution 4... Grundlgen der Sustitutionsmethode Gegeen sei eine stetige Funktion y f (z) im Intervll [, ]: Fz () f() zdz Weiterhin sei im selen Intervll eine differenzierre Funktion z ϕ () gegeen. Wir trnsformieren nun ds Integrl von der Vrilen z uf die Vrile üer die Sustitution z ϕ (). Wir müssen dei ehten, dß jeder Ausdruk von z durh ersetzt werden muß. Insesondere vergessen Ungeüte gerne, ds Differentil dz eenflls zu trnsformieren: d dz ϕ d d z f ( ) dz f ( ϕ( )) ϕ d z m min F ( z ) F ( z ) F ( ϕ( )) F ( ϕ( )) m min m min m min z min ϕ ( min ) z m ϕ ( m ) Weiterhin muß ehtet werden, dß ei der Sustitution die Grenzen gemäß der Sustitutionsformel eenflls trnsformiert werden müssen! Als unestimmtes Integrl: f ( z )dz f ( ϕ( )) ϕ ( ) d

9 4-8 Vorlesungsmnuskript Mthemtik I/II Diese Sustitution knn in Rihtungen gelesen werden. Liegt die rehte Seite vor, so knn mn die linke Seite erzeugen und umgekehrt. Mn hte insesondere druf, wenn im Integrnden eine Funktion ( hier f(...) ) uf eine ndere Funktion ( hier ϕ() ) ngewendet wird und dieses mit der Aleitung von ϕ() multipliziert wird. Ds ist die rehte Seite dieser Gleihung. Die Sustitution z ϕ () führt zur linken Seite, die oft sehr viel einfher ist. Mn enutze diese Formel entsprehend fleiel! Beispiel: Umkehrung: I ln(sin ) os d ; f(...) ln(...) ; ϕ() sin ; ϕ () os ; Hier empfiehlt sih offenr die Umkehrung mit z ϕ(): z sin ; dz os d I ln zdz z ln z z + C sin ln(sin ) sin + C ) I d t I + t t t dt + t ++ t dt Polynomdivision des. Integrls: t ( + t ) ( t + ) Polynomdivision des. Integrls: ; Sustitution: + t + t dt d d t dt + t + + t dt t + t dt I dt t ln( + t) + t t² 4 ( + t) t + + t t² + t t t 4 I t² t dt t 4 dt t t² t + 4ln( + t) 4 Die Gesmtlösung ergit sih zu: t² I t + ln( + t) + C ( + ) + + ln( + + ) + Für ds estimmte Integrl gilt die oige Gleihung nlog: C f ( )d g( ) f g( ) ( g( z )) g ( z )dz g( z )

10 4-9 Vorlesungsmnuskript Mthemtik I/II 4... Beispiele für Sustitutionen Die rihtige Whl der Sustitution ist niht immer leiht. Grundsätzlih gilt ntürlih, dß jede Sustitution im Prinzip erlut ist. Allerdings sollte die Sustitution eines Integrls die Eigenshft esitzen, die Integrtion leihter oder vielleiht sogr erst möglih zu mhen. Es git llerdings einige Stndrdfälle, in denen mn die erfolgreihe Sustitution siher vor erkennen knn. Hier einige Beispiele für solhe Sustitutionen: 4... Integrle vom Typ F( ) f ( + ) d z Sust.: z + dz d ; dz Fz () f() z ; Å Fz () f () z dz Beispiel: f ( ) ln( + ) F( ) ln( + ) d ; z + dz d F( ) ln z dz [ z ln z z] [( + ) ln( + ) ( + ) ] 4... Integrle vom Typ F( ) f (, ² ²) d Durh die Sustitution sin z d os z dz ; R onst. knn mn die Wurzel im Integrl eseitigen: ² ² ² ² sin ² z os² z osz und mn erhält ein Integrl, welhes nur trigonometrishe Funktionen enthält: Fz () f( sin, z os) z osz dz f ( ) d Integrle diesen Typs werden im Folgenden ehndelt Integrle vom Typ F( ) f (, ² + ²) d Integrle vom Typ F( ) f (, ² ²) d Integrle vom Typ F( ) f (, ² + + ) d Integrle vom Typ F( ) f ( ) f ( ) d Integrle vom Typ F ( ) f( ϕ( )) ϕ d Integrle vom Typ F( ) f (sin,os, tn ) d

11 4- Vorlesungsmnuskript Mthemtik I/II Die Sustitutionen für diese Typen finden Sie in der Formelsmmlung. 4.. Prtielle Integrtion Wir wollen uns nun die Differentilrehnung, insesondere die Produktregel näher nsehen, o mn us dieser Regel niht Nutzen für die Integrlrehnung ziehen knn. Die Sitution sei folgende: u(), u (), v() sowie v () seien im Intervll [, ] eistent und stetig. Dnn gilt die Produktregel der Differentilrehnung: d( u v) d du d v + u dv Multipliktion mit d d d( u v) v du d d + u dv d v u d + u v d d Nun integrieren wir uf eiden Seiten: (*) u v v u d + u v d Benennen wir die Funktionen um: [ ] [ ] [ ] u f( ) ; v g ( ) ; uv f( d ) g ( ) mitgl.(*): f ( ) d g( ) g( ) f ( ) d + f ( ) d g ( ) d Diese Gleihung stellen wir um: (**) [ ] [ ] g( ) f ( ) d f ( ) d g( ) f ( ) d g ( ) d Gehen wir nun dvon us, dß sih der Ausdruk (***) f ( ) d direkt integrieren läßt, so können wir durh die Gleihung (**) Integrnden umformen, in denen Funktionen durh Produkte verknüpft sind. Auf der linken Seite dieser Gleihung steht ds Integrl üer ds Produkt der Funktionen g() und f(). Der erste Term uf der rehten Seite enthält kein Integrl mehr (wegen (***) ), nur der zweite Term enthält noh ein niht gelöstes Integrl. Diese Formel mg im Moment sehr undurhsihtig und verwirrend ersheinen. Der Nutzen ist siherlih uh im Augenlik niht so gnz verständlih. Mn knn sih diese Formel jedoh ls Anlogon zur Produktregel der Differentilrehnung vorstellen. Durh diese Formel lssen sih Integrle üer Produkte von Funktionen vielfh in einfhere

12 4- Vorlesungsmnuskript Mthemtik I/II Drstellungen ringen. Wir werden n einigen Beispielen die Anwendung von (**) kennenlernen. Mit etws Üung werden uh Sie siher Nutzen us ihr ziehen können! Diese Umformung nennt mn prtielle Integrtion, weil der erste Term uf der rehten Seite teilweise (prtiell) integriert wird. Hier ist die Integrtion so durhgeführt worden, ls sei g() ein konstnter Fktor. Der zweite Term ist dnn so interpretierr, dß er diesen Fehler wieder korrigiert. Für estimmte Integrle nimmt die Formel (**) die entsprehende Form n: [ ] [ ] g ( ) f( d ) f( d ) g ( ) f ( ) d g ( ) d Ds Prinzip der prtiellen Integrtion: [ ] [ ] g( ) f ( ) d f ( ) d g( ) f ( ) d g ( ) d } } integrieren differenzieren } Nun einige Beispiele: sin d ( os ) ( os ) d os ( sin ) + C os + sin + C Wir hen hier f() sin und g() gewählt. D Produkte vertushr sind, hen wir die freie Whl, welhe Funktion f() und welhe g() sein soll, wir müssen uns lso nur merken, welhe Funktion integriert und welhe differenziert wird. Auf diese Weise knn mn sih die Formel der prtiellen Integrtion gemäß oiger Prinzipskizze viel esser einprägen! Weiter unten werden wir diskutieren, wie wir diese Whl sinnvoll treffen können. In diesem Fll hen wir lso im ersten Term konstnt gehlten und nur sin integriert. Diesen Fehler hen wir dnn ddurh korrigiert, dß wir ds Integrl üer ds, ws wir integriert htten (hier: - os ) multipliziert mit der Aleitung dessen, ws wir konstnt gehlten htten (hier: ), geildet hen. Wir hen mit dieser Umformung ( prtielle Integrtion ) einen Integrlusdruk erehnet, den wir isher ohne dieses Tools niht erehnen konnten. Dies zum Nutzen dieser Umformung.

13 4- Vorlesungsmnuskript Mthemtik I/II Wenn wir uns die Formel zur prtiellen Integrtion genuer nsehen, dnn stellen wir fest, dß eine Funktion (in der Formel die Funktion f()) integriert, die ndere geleitet wird (hier g() ). Diese Erkenntnis sollte uns ei der Whl, welhe Funktion wir integrieren ( lso f() zuordnen ) und welhe wir leiten (lso g() zuordnen), helfen. In vielen Fällen ist es günstig, die Funktionen, die sih durh Aleiten sehr strk vereinfhen, ls g() zu nehmen. Zu dieser Gruppe gehören z.b. die Polynome, wie wir im Beispiel gesehen hen. Diese Formel drf ntürlih uf ds verleiende Integrl nohmls ngewendet werden. Versuhen Sie es ml mit der Aufge F ( ) sind Hier ist es siher sinnvoll, zuleiten und sin zu integrieren, owohl Ihnen im Augenlik vielleiht die umgekehrt Whl ngenehmer ersheint. Bleit noh nhzutrgen, dß die Whl, welhe Funktion f() zw. g() zugewiesen wird, nur eine Frge der Geshiklihkeit ist, d ds verleiende Integrl sih leihter lösen lssen soll, ls ds Ausgngsintegrl. Auh wenn mn ungeshikt gewählt ht, leit die Umformung mittels prtieller Integrtion vollkommen rihtig, sie mg nur zur Lösung des Integrtionsprolems niht nützlih sein. Nehmen wir uns noh weitere Beispiele vor, um zu sehen, welhe Strtegien mn mit dieser Formel erfolgreih verfolgen knn: (*) F d d ( ) ln ln ln + 4 C Hier hen wir ein Beispiel dfür, dß es niht immer günstig ist, ein Polynom (in diesem Fll ds Polynom P() ) ls die Funktion nzusehen, die zuleiten ist. Die Einsiht, dß mn ds Integrl üer ln niht kennt, führt zu dieser Whl. Ein Eperte, für den dieses Integrl kein Prolem drstellt, könnte hier sih eventuell zunähst ungeshikt entsheiden. Nun wollen wir zum Eperten ufsteigen und uns die Aufge F ( ) lnd stellen. Sie werden mögliherweise einwenden, dß in diesem Fll gr kein Produkt vorliegt. Üerzeugen wir uns vom Gegenteil: F( ) ln d ln d ln + C (**) ln d ( ln ) + C Mn muß lso mit dieser Methode die Kretivität spielen lssen. Flls mn feststellt, dß eine Whl niht zum gewünshten Ziel führt, versuhe mn es mit der nderen Möglihkeit. Versuhen Sie nun, die Aufge (*) in umgekehrter Reihenfolge nzugehen, indem Sie die Formel (**) ls eknnt vorussetzen! Leider leit festzustellen, dß niht jedes Prolem mit dieser Methode lösr ist.

14 4-3 Vorlesungsmnuskript Mthemtik I/II Sehen wir uns ein weiteres Beispiel n: I ( ) e sin d e sin e os d e sin e os d Wir hen nun ein Restintegrl erhlten, welhes wir so ohne weiteres niht lösen können. Versuhen wir, die prtielle Integrtion uf ds Restintegrl nzuwenden: I( ) e d e e os os d ( sin ) e os + e sin d Setzen wir dieses Ergenis in die oige Gleihung ein, so erhlten wir: I e d e ( ) e sin sin d os e e e sin os + sin d e sin e os e sind Mn könnte ngesihts dieses Ergenisses zur Üerzeugung gelngen, dß hier die prtielle Integrtion niht zum Ziel führt, d ds Restintegrl dssele ist wie ds Ausgngsintegrl. Wir hen sheinr nihts gewonnen und sind im Kreis gegngen. Dies sieht er nur so us, wenn mn ds Resultt zu oerflählih etrhtet. Sehen wir genuer hin: I( ) e sin d e sin e os e sin d Restintegrl Wir hen ttsählih ds Ausgngsintegrl uf eiden Seiten erhlten! Wir können nun ds Restintegrl uf die linke Seite ringen: I e d e ( ) sin sin e + os I e d e ( ) sin e + sin os e sin e os + I( ) e sind [ sin os ] e + Wir hen nun die vershiedenen Grundstrtegien der Umformung mittels prtieller Integrtion n einigen Beispielen gesehen. Wenn Sie sih die Grundidee nohml deutlih mhen und einige Üungsufgen seler ewältigt hen, wird diese Methode sehr trnsprent und

15 4-4 Vorlesungsmnuskript Mthemtik I/II üersihtlih werden, uh wenn sie jetzt noh sehr unklr und vielleiht sogr etws geheimnisvoll wirkt. 4.3 Uneigentlihe Integrle Bisher: Integrtionsintervll und der Integrnd wren eshränkt In der Physik und Tehnik sind eide Vorussetzungen mnhml verletzt. Trotzdem lssen sih oft sinnvolle Integrle ilden. Diese heißen uneigentlihe Integrle. Es eistieren vershiedene Vrinten dieses Typs: ) Integrle üer eshränkte Funktionen, er mit uneshränkten Intervll I lim f ( ) d Wenn dieser Grenzwert eistiert, heißt er konvergentes uneigentlihes Integrl von f() üer ds Intervll [, [. Eistiert kein Grenzwert, heißt ds Integrl divergent. Bsp.: Shreiweise: I f ( ) d e d ( ) e e lim lim lim d α lim α + α [ ] + α α α α ) Integrle üer uneshränkte Funktionen für >! für - + α > α > I ε lim f ( ) d ε + - ε < ε < - f () sei im gegeenen Intervll eshränkt und integrierr. Eistiert der Grenzwert, so heißt dieser konvergentes uneigentlihes Integrl von f () üer [, ]. Dnn knn mn uh I f ( ) d shreien. Flls der Grenzwert niht eistiert, heißt I divergentes uneigentlihes Integrl.

16 4-5 Vorlesungsmnuskript Mthemtik I/II Beispiele: f ( ) ² ist für - ε ; < ε < eshränkt und stetig und dher integrierr. I ε d rsin( ε) rsin( ) ² π lim [ rsin( ε) ] rsin( ) ε + f ( ) - ε ; < ε < ε d ε I [ ln( )] lnε lim lnε eistiert niht Ds Integrl ist divergent! ε + Liegen Unstetigkeitsstellen im Integrtionsintervll, so muß ds Intervll ufgeteilt werden: ε I f ( ) d ; I f ( ) d + ε y Eistieren eide Grenzwerte, so gilt: [ ] lim [ ] I lim I + I ε ε oder ( ) d f ( ) d + f f ( ) d