Ähnlichkeitssätze für Dreiecke

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1 Klsse 9 Mth./Ähnlihkeitssätze S.1 Let Ähnlihkeitssätze für Dreieke Def.: Die Verkettung (Hintereinnderusführung) einer zentrishen Strekung mit einer Kongruenzbbildung heißt Ähnlihkeitsbbildung. Zwei Figuren, die durh ein Ähnlihkeitsbbildung ufeinnder bgebildet werden können, heißen zueinnder ähnlih. Stz: Ähnlihe Figuren stimmen in entsprehenden Winkeln und im Verhältnis entsprehender Streken überein. Bew. folgt us den Treueeigenshften zentrisher Strekungen und Kongruenzbbildungen. Kehrstz: Stimmen zwei Figuren in llen entsprehenden Winkeln und in llen Verhältnissen entsprehender Streken überein, dnn lssen sie sih durh eine Ähnlihkeitsbbildung ineinnder überführen, d.h. dnn sind sie zueinnder ähnlih. Ohne Beweis. Gesuht sind für Dreieke - den Kongruenzsätzen nlog - einfhe Kriterien, die ohne den mühsmen Nhweis der Existenz einer Ähnlihkeitsbbildung die Ähnlihkeit zwishen Dreieken grntieren. 1. Ähnlihkeitsmerkml (W-W-Stz) Zwei Dreieke sind bereits ähnlih, wenn sie in zwei Winkeln übereinstimmen.

2 Klsse 9 Mth./Ähnlihkeitssätze S.2 Let Vorussetzung: Die Dreieke ABC und AzBzCz stimmen in den Winkeln α und β überein. Behuptung: Die Dreieke ABC und AzBzCz sind zueinnder ähnlih, d.h. es gibt eine Ähnlihkeitsbbildung, die ABC uf AzBzCz bbildet. Begründung: Es gibt eine zentrishe Strekung S(Z λ), die Dreiek ABC so bbildet, dß AzBz = A B gilt. Z ist dbei beliebig wählbr, für λ muß der Wert AzBz genommen werden. Ds Bilddreiek A B C weist AB wegen der Winkeltreue zentrisher Strekungen ebenflls die Winkel α und β uf. Somit hben die Dreieke A B C und AzBzCz übereinstimmende Strekenlängen AzBz, A B und die n diesen Streken liegenden prweise gleihen Winkel α und β. Der Kongruenzstz WSW sgt unter diesen Vorussetzungen us, dß es eine Kongruenzbbildung gibt, die Dreiek A B C uf Dreiek AzBzCz bbildet. Obiges zeigt, dß Dreiek ABC durh eine zentrishe Strekung mit sih nshließender Kongruenzbbildung uf Dreiek AzBzCz bbildbr ist. Die Dreieke ABC und AzBzCz sind deshlb ähnlih, d.h. sie stimmen in llen Winkeln und Verhältnissen entsprehender Seiten überein. 2. Ähnlihkeitsmerkml (S:S-S:S-Stz) Zwei Dreieke sind bereits ähnlih, wenn sie in zwei Strekenverhältnissen übereinstimmen.

3 Klsse 9 Mth./Ähnlihkeitssätze S.3 Let Vorussetzung: Die Dreieke ABC und AzBzCz weisen die Übereinstimmungen :b = z:bz und b: = bz:z uf. Drus folgt wegen = b b = z bz bz z = z z uh die Übereinstimmung : = z:bz. (Kurzshreibweise für diese drei Beziehungen: :b: = z:bz:z) Diese Vorussetzung und ihre Folgerung läßt sih mittels Digonltushäquivlentumformung der drei Verhältnisgleihungen über die Shlußkette b = z bz z = b bz b = bz z b bz = z z = b bz = z z = bz b = z uf die Gestlt z = bz b = z bringen. Behuptung: Die Dreieke ABC und AzBzCz sind einnder ähnlih. Begründung: Der Wert von z = bz b = z wird ls λ-wert für eine zentrishe Strekung mit beliebigem Zentrum Z gewählt. Angewndt uf Dreiek ABC liefert sie ls Bild ds Dreiek A B C mit den Seitenlängen = λ = z = z ; b = λ b = bz b b = bz ; = λ = z = z. Dieses stimmt somit in llen Seitenlängen mit denen des Zieldreieks AzBzCz überein, so dß wegen des SSS-Kongruenzstzes eine Kongruenzbbildung zwishen beiden besteht. Dmit ist gezeigt, dß sih ds Dreiek ABC durh eine zentrishe Strekung mit nhgeshlteter Kongruenzbbildung uf ds Dreiek AzBzCz bbilden läßt. Beide Dreieke sind somit zueinnder ähnlih. 3. Ähnlihkeitsmerkml (S:W:S-Stz) Zwei Dreieke sind bereits ähnlih, wenn sie im Verhältnis zweier Seiten und dem Zwishenwinkel übereinstimmen.

4 Klsse 9 Mth./Ähnlihkeitssätze S.4 Let Vorussetzung: Für die beiden Dreieke ABC und AzBzCz gilt o.b.d.a. (Ohne Beshränkung der Allgemeinheit) :b = z:bz und γ = γ z. Behuptung: ABC ~ AzBzCz. Begründung: b = z bz z = b bz z = bz = λ. Eine zentrishe Strekung b mit beliebigem Zentrum Z und dem Strekungsfktor z = bz b = λ bildet ds ABC uf ds A B C b. Dbei gilt = λ = z bz = z ; b = λ b = b = bz und γ = γ = γz. b Ds Dreiek A B C stimmt somit mit dem Zieldreiek AzBzCz in zwei Seiten und dem Zwishenwinkel überein. Nh dem SWS-Kongruenzstz gibt es eine Kongruenzbbildung zwishen beiden. Dmit ist gezeigt, dß sih ds Dreiek ABC durh eine zentrishe Strekung mit nhgeshlteter Kongruenzbbildung uf ds Dreiek AzBzCz bbilden läßt. Beide Dreieke sind somit zueinnder ähnlih. 4. Ähnlihkeitsmerkml (S:s-W-Stz) Zwei Dreieke sind bereits ähnlih, wenn sie im Verhältnis zweier Seiten und dem Gegenwinkel der größeren Seite übereinstimmen.

5 Klsse 9 Mth./Ähnlihkeitssätze S.5 Let Vorussetzung: = z γ = γz o.b.d.a. z Behuptung: ABC ~ AzBzCz. Begründung: = z z z = z z = z = λ. Eine zentrishe Strekung mit beliebigem Zentrum Z und dem Strekungsfktor z = z = λ bildet ds ABC uf ds A B C b. Dbei gilt = λ = z = z ; = λ = z b = z und γ = γ = γz. Ds Dreiek A B C stimmt somit mit dem Zieldreiek AzBzCz in zwei Seiten und dem Gegenwinkel der größeren Seite überein. Nh dem SsW- Kongruenzstz gibt es somit eine Kongruenzbbildung zwishen beiden. Dmit ist gezeigt, dß sih ds Dreiek ABC durh eine zentrishe Strekung mit nhgeshlteter Kongruenzbbildung uf ds Dreiek AzBzCz bbilden läßt. Beide Dreieke sind somit zueinnder ähnlih.