Hinweise zur Berechnung von statisch bestimmten Systemen

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1 Hinweise zur Berechnung von sttisch bestimmten Systemen. Knn ds System eindeutig us sttisch bestimmten Grundsystemen ufgebut werden, ohne Hilfsfesseln einzuführen? Wenn j, Teilsysteme ncheinnder entsprechend dem Krftfluß brbeiten.. Lssen sich Auflgergrößen us ΣF x =0, ΣF z =0 m Gesmtsystem ermitteln? 3. Lssen sich Auflgergrößen us Σ=0 m Gesmtsystem ermitteln? 4. An belsteten Stäben dieser Form lssen sich immer die - und Q-Verläufe bestimmen. An unbelsteten Stäben dieser Form (Pendelstäbe) sind und Q=0. F p N l Q l Q r N r 5. An belsteten Stäben dieser Form läßt sich immer eine Krft bestimmen us ΣF x =0 bzw ΣF z =0. N l N r N l Q l Q l Q r N r Q r Q l N l Q l N l 6. In ds System rein, intelligente Schnitte führen.

2 Einflusslinien mit dem PVV (kinemtische ethode). Befreiung der gesuchten Krftgröße durch ein rbeitskonformes Gelenk. eine zwngläufige kinemtische Kette entsteht 3. virtuelle Verschiebungsfigur zeichnen (Polpln) 4. Arbeitsbilnz: δ A = Zim δui + Pm δum = 0 Z im Pm δu = δu i m 5. Einflusslinie zeichnen 6. Auswertung der Einflusslinie Z = im P m η im Ziel: virtuelle Verschiebungsfigur δ um == Einflusslinie η im η δu m im = δ u i = δui Stz von Lnd Die Einflusslinie einer Krftgröße Z i entsteht ls Verschiebungslinie δ u( x m ) = δum des Lstgurtes in Richtung der Belstung Pm derjenigen kinemtischen Kette, die sich usbildet, wenn die zu korrespondierende Weggröße u = gesetzt wird. i

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4 ( ξ ), ( ξ ), x ξ = x u = p p( u) = f ( ξ ) κ κ ( u) } C ϕ } = F = w x η( x) C C = f ( ξ ) ( ξ ) dξ = 0 f (u) = h η -Tfel ( Lösung der Integrle mit den Rndbedingungen F m Anfng und m Ende 0 ) b c d e f g h i j ηl η ηr = ηl η ηl = r = η η η m r l η l η r l ηr η ηr l h h ( - x ) l h l 3 h r x h ( - x ) h r 6 l h ( 3 l - x ) ( 3 x - ) h l 6 h l 4 h r h 4( x - x ) 0 m h m 3 h ( - x ) l h r x h l 4 h r h m x h ( - x ) m h m ηm 4 ( x ) ( x ) C } = = ϕ Tbelle ohr-anlogie DGL Gleichgewicht Verträglichkeit F Q (ξ ) } = F = ϕ( ξ ) (ξ )} = F = w( ξ ) F' = -f Q' = -p f' = -k f ( ξ ) ξdξ = 0 ξ F ( u) du = 0 F ( ξ ) d ξ = 0 F' = F ' = Q w' = f ξ F f ( u) du = f = p =k F = Q =j F = = w 0 F'' = -f '' = -p w'' = -k x x = h h h h 3 ' w w h l h l 3 6 h l w' b 4 h r 3 h r w' -h l 3 h r 0 4 c h r w c 6 h l w' d h l w d 0 h l w' e h l w e 3 3 hl h 48 r 48 w = w = w b c = w = w d e = w f = w g = w = w = w j = h i 3 3 ( x - x ) ( x - x ) x( - x ) ( - x ) x [( - x ) - ( - x ( 3 ) ) ] ( x - x ) (3x - 4x ) ( x - x + x ) 6 x - x + x 3 6 ( x - 3x + x ) 3 [3( - x) - 4( - 0, 0, ,0850 0,0650 0,000 0,005 0,005 0,0370 0,0033 0, ,0467 0, 0, , ,0300 0,0600 0,0300 0, ,0687 0,0353 0,0653 0, ,3 0,0500 0, , ,0400 0, ,0575 0, , ,0433 0, ,4 0,000 0, , , , ,0400 0,0990 0,0390 0,030 0, ,5 0,500 0,0650 0,0650 0, ,035 0,035 0,047 0, , , ,6 0,000 0, , , ,0400 0, ,0990 0,030 0,0390 0, ,7 0,0500 0, , ,0400 0,0575 0, , ,0433 0, , ,8 0, ,0300 0, ,0600 0, ,0300 0,0687 0,0653 0,0353 0, ,9 0, ,0650 0,0850-0,000 0,005 0,005 0,0370 0, ,0033 0,0467 x x = h l w b w ' = w ' b = w ' = w ' d = c w ' e = w ' f = w ' g = w ' h = w ' = w' i j = - x ( - x + x ) ( - x ) ( - x + x ) ( - 4x + 3x ) (x - 3x ) ( - 3x + x ) ( - 3x + 3x - x ) ( - x ) - x x + x 0,0 0, , ,6667 0,6667 0,5000 0, , ,5000 0, ,5000 0, 0, ,3833 0,667 0, ,5750 0,0450 0,3467 0,5967 0, ,4000 0, 0, ,5333 0,4667 0, , , ,6400 0, , ,000 0,3 0,0000 0, ,67-0, ,0750 0,0850 0,8933 0,0300 0, ,6000 0,4 0,0000 0,0333 0, , , , , ,033 0,0600 0, ,5 0, ,0467 0,0467-0, ,0650 0,0650 0, ,0467 0,0467 0, ,6-0,0000-0, ,0333-0, , , , ,0600 0,033-0, ,7-0,0000-0,67-0, , ,0850-0,0750-0,8933-0, ,0300-0,6000 0,8-0, ,4667-0,5333 0, , , ,6400-0, , ,000 0,9-0, ,667-0,3833 0, ,0450-0,5750-0,3467-0, ,5967-0,4000,0-0, ,6667-0, ,6667 0, ,5000-0, , ,5000-0,5000 h r 4 h r w' h r w f f h m h m 3 3 h w' m g h w m g 5 h l h l 3 h l w' h h l w h 40 h r h r 3 4 h r w' i h r w i 40 4 h m 4 h w' m h w m j h m 3 j 5 96 x 3 ) ] ( x ) ( x ) ( x ) ( x )

5 Sttik I Arbeitsbltt Konstruktionsregeln für Polpln und Verschiebungsfigur ) Ist eine Scheibe durch ein Festlger gefesselt, dnn stellt ds Festlger einen Huptpol für die Scheibe dr. Polstrhl ÉÉÉÉ Festlger= HP ) Der Polstrhl eines Punktes der Scheibe ist die Verbindung des Punktes mit dem HP der Scheibe. Die Verschiebungsrichtung des Punktes steht senkrecht uf dem Polstrhl. Ist eine Scheibe durch ein Gleitlger gefesselt, so gibt ds Lger einen geometrischen Ort (GO) für den HP der Scheibe n. Der geometrische Ort steht senkrecht uf der Bewegungsrichtung des Lgers. GO Verschiebungsrichtung Bewegungsrichtung des Lgers 3) Verschiebt sich eine Scheibe nur prllel, so liegt ihrt HP senkrecht zur Bewegungsrichtung im Unendlichen. HP Bewegungsrichtung

6 4) Sind Scheiben durch ein omentengelenk verbunden, so stellt ds Gelenk den Nebenpol der beiden Scheiben dr. NP (,) Scheibe Scheibe ÉÉÉ ÉÉÉ 5) Sind Scheiben durch ein Querkrftgelenk verbunden, so liegt der NP der beiden Scheiben senkrecht zur Bewegungsrichtung des Gelenks im Unendlichen. 6) NP (,) ÉÉÉÉ ÉÉÉÉ Scheibe Scheibe NP (,) Bewegungsrichtung ÉÉÉÉ ÉÉÉÉ Sind Scheiben durch ein Normlkrftgelenk verbunden, so liegt der NP der beiden Scheiben senkrecht zur Bewegungsrichtung des Gelenks im Unendlichen. NP (,) Scheibe Scheibe ÉÉÉ ÉÉÉ NP (,) Bewegungsrichtung 7) Die Verbindung zweier beknnter Pole gibt durch Wegstrei chen einen GO für einen weiteren Pol n: uf dem Schnittpunkt zweier GO liegt der Pol. HP (0,) NP (,) NP (,3) 3 HP (0,) 0, HP (0,3) GO 0,, ÉÉÉ 0,3,3 ÉÉÉÉ GO 0,

7 Polplnregeln:. Ein Huptpol ist der Punkt, um den sich lle Punkte der Scheibe bewegen. Ein fester Punkt einer Scheibe ist ein Huptpol. Ein Huptpol muß nicht unbedingt ein Punkt eines Stbes sein. Ι ( 0, ). Gemeinsme Punkte zweier Scheiben werden ls Nebenpol bezeichnet. Über einem Nebenpol lssen sich die kinemtischen Beziehungen zwischen Scheiben bestimmen. Ι ΙΙ (, ) 3. Huptpole und der zugehörige Nebenpol liegen uf einer Gerden. 0, -, - 0, ( 0, ) Ι (, ) ΙΙ ( 0, ) 4. 3 zugehörige Nebenpole liegen uf einer Gerden., -,3 -,3 bzw.,3-3,5-5,6 usw. Ι ΙΙ (, ) (,3 ) ΙΙΙ G.O., Liegt ein Huptpol in, so knn die entsprechende Scheibe nur eine Prllelverschiebung usführen (sofern sich der Polpln widerspruchsfrei konstruieren lässt). Liegt ein Nebenpol zweier Scheiben in dem selben Winkel., so verdrehen sich die Scheiben mit 7. Es werden nur infinitesimle (sehr kleine) Verdrehungen und Verschiebungen behndelt, ds bedeutet: die Verschiebungsfigur lässt sich nicht mßstäblich zeichnen. Es gilt: sinϕ =ϕ, cosϕ= usw.

8 Bestimmung der Verformungen durch Verschiebungsrbeit Prinzip der virtuellen Arbeit Prinzip der virtuellen Kräfte (PvK) Arbeitsstz für ebene Stbwerke: W* () + W* (i) = 0 δ ik + L C Li c Lk + w wi ϕ wk L 0 σ T xi ε xk dx = 0 W* () = - W* (i) mit ε xk = E σ xk N xk QxiQxk xk ΔT δ ik = { N xi[ + αtt] + + xi[ + αt ]} dx + EA GA EI h L C Li L 0 c Lk w wi ϕ wk Q n NniN c n nk + m mi c m mk Vorgehensweise zur Bestimmung der Verschiebung δ ik :. Systemnlyse: Steifigkeiten, Lgerungen und Art der Benspruchung k Welche Terme des Arbeitsstzes benötige ich?. Erforderliche Zustndslinien etc. für ds System unter der gegebenen Benspruchung k ermitteln! 3. Bestimmung der Zustndslinien etc. ufgrund eines fiktiven (virtuellen) Krftzustndes i rbeitskonform zur gesuchten Verschiebungsgröße. 4. Auswertung des Arbeitsstzes (mittels Integrltfel) Im Lstfll Tempertur gilt dbei: Sttisch bestimmte Systeme können sich zwngsfrei verformen, d.h. dbei entstehen keine Schnittgrößen! gleichmäßige Tempertur über die Querschnittshöhe: drus folgt Dehnung: ε, T T T = ½ * (To + Tu) TEinbu ε = * T[ K * K] = [ ] T α T κ,δt bei veränderlicher Tempertur: drus folgt Krümmung: T h Th = Tu To κ T ΔT K * K = αt = h m m (Anmerkung: Tu meint stets den Wert n der Bezugsfser!)

9 Kochrezept 00 kn 8 =?, kn 5,5,5,5,5 ÉÉÉÉ ÉÉÉÉ. Die gesuchte Krftgröße ist durch ds Einfügen eines rbeitskonformen Gelenkes us der Bindung zu befreien. Ddurch wird ein sttisch bestimmtes System kinemtisch.. Die Verschiebungsfigur m kinemtischen System ist mit dem Polpln zu ermitteln und ls virtuelle Weggrößenfigur zu verwenden. Wegen der Kinemtik gilt (ε v,γ v,κ v ) 0 und dmit uch Die virtuellen Arbeiten mit dem PvW bilnzieren. W v W v W v i 0 W v Aus der Bedingung W v 0 knn mn die gesuchte Krftgröße ermitteln. W v i

10 ) z.b. Eigengewicht der Treppe Streckenlsten uf schrägen Blken p p [ kn/m Stblänge ] ; R [ Resultierende in kn ] R = plsin R = plcos R l b = lcos b = lsin R R = pl + p cosl 8 + p cosl Q = p p N pb pb b) z.b. Schneelst uf dem Dch p p [ kn/m Grundlinie ] ; R [ Resultierende in kn ] R = psin R = pcos R l b = lcos b = lsin R R = p + p 8 + pcos Q pcos - N + - psin psin

11 ) z.b. Windlst uf ein Dch p p [ kn/m Stblänge ] ; R [ Resultierende in kn ] l b = lcos b = lsin plcos R=pl plsin Q - pl N p l 8 pl pb cos

12 Streckenlsten uf schrägen Stäben n x p z n p α α n z p x Betrchtung m differentiellen Stbbschnitt: pz dx ds p ds p x dz nz dz nx dx α n ds α dz ds = dz / sinα, bzw. ds = dx / cosα dx Aus der Aufteilung der resultierenden Kräfte der vier Streckenlsten in senkrechte und prllele Stbrichtung für einen Stbbschnitt der Länge ds folgt unter Berücksichtigung der Beziehungen zwischen ds, dx und dz: ds n = n x dx cosα - p z dx sinα - n z dz sinα + p x dz cosα ds p = n x dx sinα + p z dx cosα + n z dz cosα + p x dz sinα Bei konstnten Streckenlsten folgt dnn für den gnzen Stb: n = n x cos α - p z sinα cosα - n z sin α + p x sinα cosα p = n x sinα cosα + p z cos α + n z cosα sinα + p x sin α Für den Lstfll Eigengewicht gilt: g g g g α α α g = - g sinα g = g / cosα g = g cosα

13 Symmetrische Trgwerke Vorussetzungen: - symmetrische Systemgeometrie - symmetrische/ntimetrische Belstung Vereinfchung: - Berechnung m hlben System ) Symmetriebedingungen in der Symmetriechse SA Bedingung: Stb ist nicht prllel zur Symmetr iechse SA ϕ X,u x Schnittgrößen Verformungen ϕ ϕ Z,u z N N u x u x Q Q SA u z SA u z symmetrische Größen ntimetrische Größen, N Q u z u x, ϕ Stz: Antimetrische Größen besitzen in der Symmetriechse einen N ulldurchgng. Stz: In einem symmetrischen Trgwerk rufen symmetrische Lstnteile symmetrische Zustndsgrößen (Normlkrft N, oment, Auflgerrektionen) sowie nt imetrische Querkräfte Q hervor. Es gilt in der Symmetriechse:, N 0 ϕ = u Q = 0 u z 0 x = 0 Stz: In einem symmetrischen Trgwerk rufen ntimetrische Lstnteile ntimetrische Zustndsgrößen (Normlkrft N, oment, Auflgerrektionen) sowie symmetrische Querkräfte Q hervor. Es gilt in der Symmetriechse:, N = 0 ϕ 0, u Q 0 u z = 0 x 0

14 Symmetrieeigenschften symmetrischer Systeme Stäbe nicht in der Symmetriechse (SA) symmetrische Belstung p F X F X ntimetrische Belstung F X p F X F Z F X p SA p SA F X F X F Z F X -, N-Verläufe symmetrisch Q-Verluf ntimetrisch (Nulldurchgng in SA) u-, f- Verläufe ntimetrisch (Nulldurchgng in SA) w-verluf symmetrisch -, N-Verläufe ntimetrisch (Nulldurchgng in SA) Q-Verluf symmetrisch u-, f- Verläufe symmetrisch w-verluf ntimetrisch (Nulldurchgng in SA) Sonderfll: Stb in der Symmetriechse (SA) symmetrische Belstung ntimetrische Belstung F Z F Z F Z F Z () () () () im Stb ()-(): & Q=0 ; N=0 w & f=0 ; u=0 im Stb ()-(): & Q=0 ; N=0 w & f=0 ; u=0

15 SYETRIEEIGENSCHAFTEN Symmetrisches System Symmetrische Belstung Antimetrische Belstung p p p p S.A. S.A. w ϕ u V H w ϕ u V H S.A. S.A. N- Verläufe symmetrisch Q- Verläufe ntimetrisch - Verläufe symmetrisch u- Verläufe ntimetrisch w- Verläufe symmetrisch ϕ Verläufe ntimetrisch N- Verläufe ntimetrisch Q- Verläufe symmetrisch - Verläufe ntimetrisch u- Verläufe symmetrisch w- Verläufe ntimetrisch ϕ Verläufe symmetrisch Verschiebungen n der S.A. u = 0 w = 0 ϕ = 0 Verschiebungen n der S.A. u = 0 w = 0 ϕ = 0 Lgerrektionskräfte n der S.A. H V = 0 = 0 = 0 Lgerrektionskräfte n der S.A. H = 0 V = 0 = 0

16 Symmetrische Trgwerke Sonderfll: Stb in der Symmetriechse, d.h. der Stb ist prllel zur Symmetriechse Schnittgrößen Verformungen SA SA ϕ Z,u z X N,u x SA ϕ u z Q u x N Q symmetrische Größen ntimetrische Größen N,Q u x u z, ϕ Stz: In einem symmetrischen Trgwerk bewirken symmetrische Lstnteile symmetrische Zustndsgrößen (Normlkrft N, Verfomungen u x ) in der Stbchse. Antimetrische Größen sind Null. Es gilt in der Symmetriechse: N 0; u, Q, ϕ, u z = 0 Stz: In einem symmetrischen Trgwerk bewirken ntimetrische Lstnteile ntimetrische Zustndsgrößen (Querkrft Q, oment, Verschiebung u z sowie Verdrehung φ) in der Stbchse. x 0 Es gilt in der Symmetriechse: N, u x = 0, Q, ϕ, u z 0

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29 Stbendmomente nch Theorie I. Ordnung für ds Drehwinkelverfhren Grundstb Belstung+Biegelinie Stbendmomente omentenverluf Knotenverdrehung φ K EI 4 s KL φ K EI LK - φ s K Knotenverdrehung φ L EI s KL φ L EI LK - 4 φ s L Stbverdrehung ψ KL EI s EI 6 ψ s KL -6 ψkl LK KL Stbverdre hung ψ LK EI s EI s KL -6 ψ LK LK 6 ψ LK ps² ps² Streckenlst KL - LK - Temperturdifferenz KL α -EI T ΔT h h LK α -EI T ΔT h h Einzellst KL -Fsαβ² LK -Fsαβ² Einzelmoment KL β 3β² LK α 3α²

30 Stbendmomente nch Theorie I. Ordnung für ds Drehwinkelverfhren Grundstb Belstung+Biegelinie Stbendmomente omentenverluf Knotenverdrehung φ K EI 3 s KL φ K Knotenverdrehung φ L LK EI - 3 s φ L Stbverdrehung ψ KL EI - 3 s KL ψ KL Stbverdrehung ψ LK EI 3 s LK ψ LK Streckenlst KL ps² - 8 Temperturdifferenz KL -.5 EI αtδth h Einzellst KL Fsα β β ² Einzelmome nt KL 3 β ²

31 Berechnung von Einflusslinien für Krftgrößen n sttisch unbestimmten Systemen mit dem Krftgrößenverfhren Berechnung der Einflusslinien für sttisch Überzählige (vgl. Buch Trgwerke ) Die Berechnung der Einflusslinie knn für jede beliebige sttisch Überzählige X j des gewählten SGS erfolgen. Stz: Die Einflusslinie n X km einer sttisch Überzähligen entsteht ls Biegelinie des Lstgurtes infolge der Krftgrößeneinwirkung X j = 0 β kj (j =, b,.., i,..n). Die Einflusslinie ergibt sich us der Überlgerung der Einflusslinien der einzelnen Zustände der sttisch Überzähligen. X j sttisch Überzählige k Ort der gesuchten Einflussgröße n Grd der sttischen Unbestimmtheit 0 β kj Elemente der trix 0 β trix 0 β negtive Inverse der trix 0 δ Berechnungsverfhren: Für eine Einflusslinie einer Krftgröße n der Stelle k. Whl eines SGS, ds die gesuchte(n) Einflussgröße(n) ls sttisch Überzählige besitzt. Berechnung der trix 0 δ 3. Berechnung der trix 0 β = - ( 0 δ - ) Es sind verschiedene Wege möglich, um die Einflusslinie zu bestimmen. Der Zeitpunkt der Superposition unterscheidet beide Algorithmen. Lösungsweg A 4.A Ermittlung der n Biegelinien (jedes Einheitszustndes) infolge X j = (Biegelinie entspricht der EL) 5.A Superposition der Biegelinien der Einzelzustände n X km = 0 β k * 0 δ m + 0 β k * 0 δ m β kn * 0 δ mn Lösungsweg B 4.B Belstung des SGS mit X = 0 β k, X = 0 β k, X n = 0 β kn (Superposition der Belstung) 5.B Berechnung der Biegelinie (Biegelinie entspricht der EL) Diese ethode eignet sich vorrngig für die Bestimmung verschiedener Einflusslinien eines Systems.

32 Alterntive: Berechnung von Einflusslinien gemäß dem Stz von Lnd Stz von Lnd: Die Einflusslinie für eine Krftgröße n der Stelle k entsteht ls Biegelinie des Lstgurtes, wenn mn m Ort k der gesuchten Einflusslinie die Krftgröße durch ein Gelenk us der krftschlüssigen Bindung befreit und im Gelenk die zur Krftgröße rbeitskonforme Weggröße - einprägt. Die Berechnung der Einflusslinie ist ls Lstfll eingeprägter Weggrößen (Wegsprung) zu betrchten. vgl. Arbeitsbltt: Berechnung sttisch unbestimmter Systeme unter der Einwirkung von eingeprägten Weggrößen Der Berechnungsgng wird mßgeblich von der Whl des SGS bestimmt.. Vrinte: Kombinierte Gelenkmethode Eine der sttisch Überzähligen X i im SGS entspricht der gesuchten Einflussgröße. An dieser Stelle wird gemäß des Stzes von Lnd der rbeitskonforme Wegsprung von - eingeführt. m Ort der gesuchten Einflussgröße δ i = für lle ndere Gelenke gilt der Gelenkschluss d. h. δ i = 0 δ 0, δ 0,.. δ i0 = 0. Vrinte: Getrennte Gelenkmethode Ds SGS wird so gewählt, dss keine der sttisch Überzähligen der gesuchten Einflussgröße entspricht. für lle eingeführten Gelenke gilt der Gelenkschluss, d.h. δ i = 0 die Größen δ 0, δ 0,.. δ i0 sind zu bestimmen Die Ermittlung der Größen δ 0, δ 0,.. δ i0 knn erfolgen mit ) PVK z. B. Einflusslinie der Querkrft im Punkt k, gemäß Stz von Lnd ist n der Stelle k der Wegsprung von - ls Belstung einzuprägen, n = -fch sttisch unbestimmt δ 0 δ Q k * w 0 δ Q *( ) 0 0 * + k 0 = b) Polpln 0 * + k = Nch Lösung des Gleichungssystems und Superposition der Lösung wird die Biegelinie ermittelt (PVK mit Reduktionsstz, ω-verfhren, etc.).

33 Ermittlung der geometr. Unbestimmheit. System gednklich in einzelne Stäbe unterteilen, die durch Auflger oder Geometriesprünge begrenzt werden. () () (3). Anordnen von Drehfesseln n den mrknten Punkten, n denen weder die Verdrehung noch ds oment beknnt ist. Drehfesseln 3. Prüfen m Gelenkwerk (omentengelenke n den mrknten Punkten bzw. Stbendpunkten einfügen), ob dnn ds System verschieblich ist und ggf. durch Anordnen von Wegfesseln unverschieblich mchen. BS BS BS bechte: EA Wegfessel erforderlich (unterschiedliche Anordnung möglich) BS 3GR 4. Der Grd der geometr. Unbestimmheit ergibt sich ls die Summe ller Fesseln. 3 fch geometr. unbestimmt

34 Krftgrößenverfhren (KGV). Bestimmung des Grdes der sttischen Unbestimmtheit Abzählkriterium, Aufbuprinzip. Whl eines sttisch bestimmten Grundsystems (SGS) / Huptsystems (HS) und Festlegung der sttisch Überzähligen X i, i=,...,n kein kinemtisch verschiebliches System oder Teilsystem entwickeln möglichst wenig gemeinsme omentenflächen einzelner Zustände, Ziel: geringer Aufwnd beim PVK 3. Ermittlung der Schnitt- und Auflgergrößen der Lstzustände m SGS/HS N XL, Q XL, XL, N XV, Q XV, XV 0 -Zustnd: N 0, Q 0 und 0 4. Ermittlung der Schnitt- und Auflgergrößen der n Einheitszustände m SGS/HS X i =: N xi, Q xi, xi,,, n -Zustände: z. B.: N, Q und etc. 5. Bestimmung ller Klffungen (Gelenkverformungen) der Lstzustände sowie der n Einszustände mit dem PVK L N xk QxiQxk xk ΔT δ ik = { N xi[ + αtt] + + xi[ + αt ]} dx + EA GA EI h L C Li 0 c Lk w wi ϕ wk Q n N ni c N n nk + m mi c m mk 6. Aufbu und Lösung des Systems der Elstizitätsgleichungen δ = δ i i0 + X Beispiel * δ X n * δ in = 0 Crmersche Regel: Ist A eine qudrtische (n,n)-trix mit A 0, so ist δ = δ δ δ 0 δ = δ 0 + X + X * δ * δ δ X * δ X + X + X * δ * δ δ0 = δ 0 = 0 = 0 ds LGS A * x r = b r eindeutig lösbr. Für die Lösungen x r = (x, x,, x n ) gilt: x i = A i / A, für i =,,, n wobei A i die (n,n)-trix ist, die us A entsteht, indem r mn die i-te Splte von A durch b ersetzt. 7. Ermittlung der wirklichen Schnitt- und Auflgergrößen durch Superposition z. B. ges = 0 + X * X n * n

35 Berechnung sttisch unbestimmter Systeme unter der Einwirkung von eingeprägten Weggrößen Beispiele: - Auflgerverdrehung φ - Stützensenkung u z, u x - Winkelsprung φ - Verschiebungssprung u z, u x Es gilt die Polplnkinemtik, d. h. eingeprägte Weggrößen bewirken keine Schnittgrößen m sttisch bestimmten System. Sttisch bestimmte Systeme sind in der Lge sich zwngsfrei zu verformen. Erfssung des Lstflls eingeprägte Verschiebung im Krftgrößenverfhren Der Berechnungsgng wird mßgeblich von der Whl des SGS bestimmt.. Vrinte: Einführung der sttisch unbestimmten Größen X i ls rbeitskonforme Größe zur eingeprägten Weggröße. δ 0, δ 0,.. δ i0 = 0 ber δ i = δ n Orten eingeprägter Verschiebungen δ rbeitskonform zur Unbeknnten X i bzw. δ i = 0 sonst. Vrinte: Ds SGS wird so gewählt, dss keine der sttisch Unbestimmten rbeitskonform zu eingeprägten Verschiebungsgrößen wirkt. δ i = 0 Die Ermittlung der Größen δ 0, δ 0,.. δ i0 knn erfolgen mit ) PVK b) Polpln

36 Ausnutzung der Symmetrieeigenschften des Systems Berechnung m hlben System Gruppenlsten. Berechnung m hlben System Vorrussetzung: Es muss ein symmetrisches System vorliegen, dss entweder eine symmetrische oder ntimetrische Belstung ufweist. Eine beliebige Belstung knn mittels einer Belstungsumordnung (BU-Verfhren) in symmetrische und ntimetrische Lstnteile ufgeteilt werden. Gemäß der vorliegenden Belstungsform (symmetrisch oder ntimetrisch) wird ds ds hlbe System mit den entsprechenden Rndbedingungen in der Symmetriechse entwickelt. Die Berechung erfolgt m hlben System. Für die Berechnung m hlben System wird uf ds Arbeitsbltt Symmetrie verwiesen.. Berechnung mittels Gruppenlsten Bei der Berechnung symmetrischer Trgwerke nch dem Krftgrößenverfhren mit Gruppenlsten bleibt die Anzhl der Unbeknnten n stets erhlten. Es gilt: n = n symm + n nti Ferner gilt für die Anzhl der Unbeknnten der symmetrischen und ntimetrischen Zustände: Krftgrößenverfhren Symmetrie Antimetrie n n n symm n nti Vorgehensweise mit Gruppenlsten:. SGS muss symmetrisch sein. Anzhl der Gruppenzustände == Grd der sttischen Unbestimmtheit 3. Gruppen so wählen, dss sie prweise ( Krftgrößen) symmetrisch bzw. ntimetrisch sind 4. ds Einfügen eines Gelenks (sttisch Überzählige) in der Symmetriechse bildet mit dieser Krftgröße einen Gruppenzustnd, der entweder symmetrisch oder ntimetrisch ist 5. Die Überlgerung von symmetrischen und ntimetrischen Zuständen ergibt Null

37 3. Gegenüberstellung der Verfhren Berechnung m hlben System Vorteile: Bei ntimetrischer Belstung knn die sttische Unbestimmtheit entschieden verringert sein Berechnung mittels Gruppenlsten Nchteil: Ds Verfhren ist weniger nschulich. Nchteile: Die Belstung muss entweder symmetrisch oder ntimetrisch sein, um die Symmetriebedingungen nwenden zu können. Eine Zerlegung einer beliebigen Lst in symmetrischen und ntimetrischen Anteil nch dem Belstungsumordnungsverfhren ist möglich. Jedoch gehen die Vorteile ufgrund dieser Berechnung ufgrund eines symmetrischen und ntimetrischen Berechnungsgng verloren. Vorteil: Die Belstung muss nicht symmetrisch sein. Durch eine Entkopplung der symmetrischen und ntimetrischen Einheitszustände wird ds Gleichungssystem vereinfcht. Dieses Verfhren ist uch uf unsymmetrische begrenzt nwendbr.

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41 Vorfktoren der Stbendmomente Druckstäbe Zugstäbe e A B C A+B A B C A+B 0,00 4,000,000 3,000 6,000 4,000,000 3,000 6,000 0,0 4,000,000 3,000 6,000 4,000,000 3,000 6,000 0,0 4,000,000 3,000 6,000 4,000,000 3,000 6,000 0,03 4,000,000 3,000 6,000 4,000,000 3,000 6,000 0,04 4,000,000 3,000 6,000 4,000,000 3,000 6,000 0,05 4,000,000,999 6,000 4,000,000 3,000 6,000 0,06 4,000,000,999 6,000 4,000,000 3,00 6,000 0,07 3,999,000,999 6,000 4,00,000 3,00 6,000 0,08 3,999,000,999 5,999 4,00,000 3,00 6,00 0,09 3,999,000,998 5,999 4,00,000 3,00 6,00 0,0 3,999,000,998 5,999 4,00,000 3,00 6,00 0, 3,998,000,998 5,999 4,00,000 3,00 6,00 0, 3,998,000,997 5,999 4,00,000 3,003 6,00 0,3 3,998,00,997 5,998 4,00,999 3,003 6,00 0,4 3,997,00,996 5,998 4,003,999 3,004 6,00 0,5 3,997,00,995 5,998 4,003,999 3,004 6,00 0,6 3,997,00,995 5,997 4,003,999 3,005 6,003 0,7 3,996,00,994 5,997 4,004,999 3,006 6,003 0,8 3,996,00,994 5,997 4,004,999 3,006 6,003 0,9 3,995,00,993 5,996 4,005,999 3,007 6,004 0,0 3,995,00,99 5,996 4,005,999 3,008 6,004 0, 3,994,00,99 5,996 4,006,999 3,009 6,004 0, 3,994,00,990 5,995 4,006,998 3,00 6,005 0,3 3,993,00,989 5,995 4,007,998 3,0 6,005 0,4 3,99,00,988 5,994 4,008,998 3,0 6,006 0,5 3,99,00,987 5,994 4,008,998 3,0 6,006 0,6 3,99,00,986 5,993 4,009,998 3,03 6,007 0,7 3,990,00,985 5,993 4,00,998 3,05 6,007 0,8 3,990,003,984 5,99 4,00,997 3,06 6,008 0,9 3,989,003,983 5,99 4,0,997 3,07 6,008 0,30 3,988,003,98 5,99 4,0,997 3,08 6,009 0,3 3,987,003,98 5,990 4,03,997 3,09 6,00 0,3 3,986,003,979 5,990 4,04,997 3,00 6,00 0,33 3,985,004,978 5,989 4,04,996 3,0 6,0 0,34 3,985,004,977 5,988 4,05,996 3,03 6,0 0,35 3,984,004,975 5,988 4,06,996 3,04 6,0 0,36 3,983,004,974 5,987 4,07,996 3,06 6,03 0,37 3,98,005,973 5,986 4,08,995 3,07 6,04 0,38 3,98,005,97 5,986 4,09,995 3,09 6,04 0,39 3,980,005,969 5,985 4,00,995 3,030 6,05 0,40 3,979,005,968 5,984 4,0,995 3,03 6,06 0,4 3,978,006,966 5,983 4,0,994 3,033 6,07 0,4 3,976,006,965 5,98 4,03,994 3,035 6,08 0,43 3,975,006,963 5,98 4,05,994 3,037 6,08 0,44 3,974,006,96 5,98 4,06,994 3,039 6,09 0,45 3,973,007,959 5,980 4,07,993 3,040 6,00 0,46 3,97,007,957 5,979 4,08,993 3,04 6,0 0,47 3,970,007,956 5,978 4,09,993 3,044 6,0 0,48 3,969,008,954 5,977 4,03,99 3,046 6,03 0,49 3,968,008,95 5,976 4,03,99 3,048 6,04

42 Druckstäbe Zugstäbe e A B C A+B A B C A+B 0,50 3,967,008,950 5,975 4,033,99 3,050 6,05 0,5 3,965,009,948 5,974 4,035,99 3,05 6,06 0,5 3,964,009,945 5,973 4,036,99 3,054 6,07 0,53 3,96,009,943 5,97 4,037,99 3,056 6,08 0,54 3,96,00,94 5,97 4,039,990 3,058 6,09 0,55 3,960,00,939 5,970 4,040,990 3,060 6,030 0,56 3,958,0,937 5,969 4,04,990 3,06 6,03 0,57 3,956,0,934 5,967 4,043,989 3,064 6,03 0,58 3,955,0,93 5,966 4,045,989 3,067 6,034 0,59 3,953,0,930 5,965 4,046,989 3,069 6,035 0,60 3,95,0,97 5,964 4,048,988 3,07 6,036 0,6 3,950,03,95 5,963 4,049,988 3,074 6,037 0,6 3,948,03,9 5,96 4,05,987 3,076 6,038 0,63 3,947,03,90 5,960 4,053,987 3,078 6,040 0,64 3,945,04,97 5,959 4,054,987 3,08 6,04 0,65 3,943,04,94 5,958 4,056,986 3,083 6,04 0,66 3,94,05,9 5,956 4,058,986 3,086 6,043 0,67 3,940,05,909 5,955 4,060,985 3,089 6,045 0,68 3,938,06,906 5,954 4,06,985 3,09 6,046 0,69 3,936,06,903 5,95 4,063,984 3,094 6,047 0,70 3,934,07,90 5,95 4,065,984 3,097 6,049 0,7 3,93,07,898 5,949 4,067,983 3,099 6,050 0,7 3,930,08,895 5,948 4,069,983 3,0 6,05 0,73 3,98,08,89 5,947 4,07,983 3,05 6,053 0,74 3,96,09,889 5,945 4,07,98 3,08 6,055 0,75 3,94,09,886 5,944 4,074,98 3, 6,056 0,76 3,9,00,883 5,94 4,076,98 3,4 6,058 0,77 3,90,00,879 5,940 4,078,98 3,7 6,059 0,78 3,98,0,876 5,939 4,080,980 3,0 6,06 0,79 3,96,0,873 5,937 4,083,980 3,3 6,06 0,80 3,94,0,870 5,936 4,085,979 3,6 6,064 0,8 3,9,0,866 5,934 4,087,979 3,9 6,065 0,8 3,90,03,863 5,93 4,089,978 3,3 6,067 0,83 3,907,03,859 5,93 4,09,978 3,35 6,069 0,84 3,905,04,856 5,99 4,093,977 3,38 6,070 0,85 3,903,05,85 5,97 4,095,976 3,4 6,07 0,86 3,900,05,849 5,96 4,098,976 3,45 6,074 0,87 3,898,06,845 5,94 4,00,975 3,48 6,075 0,88 3,896,06,84 5,9 4,0,975 3,5 6,077 0,89 3,893,07,838 5,90 4,05,974 3,55 6,079 0,90 3,89,08,834 5,99 4,07,974 3,58 6,08 0,9 3,888,08,830 5,97 4,09,973 3,6 6,08 0,9 3,886,09,86 5,95 4,,973 3,65 6,084 0,93 3,883,030,83 5,93 4,4,97 3,69 6,086 0,94 3,88,030,89 5,9 4,6,97 3,7 6,088 0,95 3,878,03,85 5,909 4,9,97 3,76 6,090 0,96 3,876,03,8 5,907 4,,970 3,80 6,09 0,97 3,873,03,807 5,905 4,4,970 3,83 6,093 0,98 3,870,033,80 5,903 4,6,969 3,87 6,095 0,99 3,868,034,798 5,90 4,9,968 3,9 6,097,00 3,865,034,794 5,899 4,3,968 3,95 6,099

43 Druckstäbe Zugstäbe e A B C A+B A B C A+B,0 3,86,035,790 5,897 4,34,967 3,98 6,0,0 3,859,036,785 5,895 4,37,966 3,0 6,03,03 3,857,037,78 5,893 4,40,966 3,06 6,05,04 3,854,037,777 5,89 4,4,965 3,0 6,07,05 3,85,038,77 5,889 4,45,964 3,4 6,09,06 3,848,039,768 5,887 4,48,964 3,8 6,,07 3,845,040,763 5,885 4,50,963 3, 6,4,08 3,84,040,759 5,88 4,53,96 3,6 6,6,09 3,839,04,754 5,880 4,56,96 3,30 6,8,0 3,836,04,749 5,878 4,59,96 3,34 6,0, 3,833,043,744 5,876 4,6,960 3,38 6,, 3,830,043,740 5,873 4,65,960 3,4 6,4,3 3,87,044,735 5,87 4,67,959 3,47 6,7,4 3,84,045,730 5,869 4,70,958 3,5 6,9,5 3,8,046,75 5,866 4,73,958 3,55 6,3,6 3,87,047,70 5,864 4,76,957 3,59 6,33,7 3,84,048,75 5,86 4,79,956 3,64 6,36,8 3,8,048,70 5,859 4,8,956 3,68 6,38,9 3,808,049,705 5,857 4,85,955 3,7 6,40,0 3,804,050,699 5,854 4,88,954 3,77 6,43, 3,80,05,694 5,85 4,9,953 3,8 6,45, 3,798,05,689 5,850 4,95,953 3,86 6,47,3 3,794,053,683 5,847 4,98,95 3,90 6,50,4 3,79,054,678 5,845 4,0,95 3,95 6,5,5 3,787,055,673 5,84 4,04,950 3,99 6,55,6 3,784,056,667 5,839 4,07,950 3,304 6,57,7 3,780,057,66 5,837 4,,949 3,309 6,59,8 3,777,058,656 5,834 4,4,948 3,33 6,6,9 3,773,058,650 5,83 4,7,947 3,38 6,64,30 3,769,059,644 5,89 4,,946 3,33 6,67,3 3,766,060,639 5,86 4,4,946 3,38 6,70,3 3,76,06,633 5,84 4,7,945 3,33 6,7,33 3,758,06,67 5,8 4,3,944 3,337 6,75,34 3,755,063,6 5,88 4,34,943 3,34 6,77,35 3,75,064,65 5,85 4,37,943 3,347 6,80,36 3,747,065,609 5,83 4,4,94 3,35 6,83,37 3,743,066,603 5,80 4,44,94 3,357 6,85,38 3,739,067,596 5,807 4,48,940 3,36 6,88,39 3,736,068,590 5,804 4,5,939 3,367 6,9,40 3,73,070,584 5,80 4,55,938 3,37 6,93,4 3,78,07,578 5,798 4,58,938 3,377 6,96,4 3,74,07,57 5,795 4,6,937 3,38 6,99,43 3,70,073,565 5,79 4,66,936 3,387 6,0,44 3,76,074,558 5,789 4,69,935 3,39 6,04,45 3,7,075,55 5,787 4,73,934 3,397 6,07,46 3,707,076,545 5,784 4,77,933 3,403 6,0,47 3,703,077,538 5,780 4,80,933 3,408 6,3,48 3,699,078,53 5,777 4,84,93 3,43 6,6,49 3,695,079,55 5,774 4,88,93 3,48 6,9,50 3,69,08,58 5,77 4,9,930 3,44 6,,5 3,686,08,5 5,768 4,95,99 3,49 6,4

44 Druckstäbe Zugstäbe e A B C A+B A B C A+B,5 3,68,083,504 5,765 4,99,98 3,434 6,7,53 3,678,084,497 5,76 4,303,97 3,440 6,30,54 3,673,085,490 5,759 4,307,96 3,445 6,33,55 3,669,086,483 5,756 4,3,95 3,45 6,36,56 3,665,088,475 5,75 4,35,95 3,456 6,39,57 3,660,089,468 5,749 4,39,94 3,46 6,4,58 3,656,090,46 5,746 4,33,93 3,467 6,45,59 3,65,09,453 5,74 4,36,9 3,473 6,48,60 3,647,093,446 5,739 4,330,9 3,478 6,5,6 3,64,094,438 5,736 4,334,90 3,484 6,55,6 3,637,095,43 5,73 4,339,99 3,490 6,58,63 3,633,096,43 5,79 4,343,98 3,495 6,6,64 3,68,098,45 5,76 4,347,97 3,50 6,64,65 3,63,099,407 5,7 4,35,96 3,507 6,67,66 3,68,00,399 5,79 4,355,95 3,5 6,70,67 3,64,0,39 5,75 4,359,94 3,58 6,74,68 3,609,03,383 5,7 4,363,94 3,54 6,77,69 3,604,04,375 5,708 4,367,93 3,530 6,80,70 3,599,06,367 5,705 4,37,9 3,536 6,83,7 3,594,07,359 5,70 4,376,9 3,54 6,86,7 3,589,08,35 5,698 4,380,90 3,547 6,90,73 3,584,0,34 5,694 4,384,909 3,553 6,93,74 3,579,,334 5,690 4,389,908 3,559 6,96,75 3,574,3,35 5,687 4,393,907 3,565 6,300,76 3,569,4,37 5,683 4,397,906 3,57 6,303,77 3,564,6,308 5,679 4,40,905 3,577 6,307,78 3,559,7,99 5,676 4,406,904 3,583 6,30,79 3,554,8,9 5,67 4,40,903 3,589 6,33,80 3,548,0,8 5,668 4,45,90 3,595 6,37,8 3,543,,73 5,664 4,49,90 3,60 6,30,8 3,538,3,64 5,66 4,44,900 3,608 6,34,83 3,53,4,55 5,657 4,48,899 3,64 6,37,84 3,57,6,46 5,653 4,433,898 3,60 6,33,85 3,5,7,36 5,649 4,437,897 3,66 6,334,86 3,56,9,7 5,645 4,44,896 3,633 6,338,87 3,5,3,8 5,64 4,446,895 3,639 6,34,88 3,505,3,08 5,637 4,45,894 3,645 6,345,89 3,500,34,99 5,633 4,456,893 3,65 6,348,90 3,494,35,89 5,69 4,460,89 3,658 6,35,9 3,488,37,79 5,65 4,465,89 3,664 6,356,9 3,483,39,70 5,6 4,469,890 3,670 6,359,93 3,477,40,60 5,67 4,474,889 3,677 6,363,94 3,47,4,50 5,63 4,479,888 3,683 6,367,95 3,466,43,40 5,609 4,484,887 3,690 6,370,96 3,460,45,30 5,605 4,488,886 3,696 6,374,97 3,454,47,9 5,60 4,493,885 3,703 6,378,98 3,448,48,09 5,596 4,498,884 3,709 6,38,99 3,44,50,099 5,59 4,503,883 3,76 6,385,00 3,436,5,088 5,588 4,508,88 3,7 6,389,0 3,430,54,078 5,584 4,5,880 3,79 6,393,0 3,44,55,067 5,580 4,57,879 3,735 6,397

45 Druckstäbe Zugstäbe e A B C A+B A B C A+B,03 3,48,57,057 5,575 4,5,878 3,74 6,400,04 3,4,59,046 5,57 4,57,877 3,749 6,404,05 3,406,6,035 5,567 4,53,876 3,755 6,408,06 3,400,63,04 5,56 4,537,875 3,76 6,4,07 3,393,64,03 5,558 4,54,874 3,769 6,46,08 3,387,66,00 5,553 4,547,873 3,775 6,40,09 3,38,68,99 5,549 4,55,87 3,78 6,44,0 3,374,70,979 5,544 4,557,87 3,789 6,48, 3,368,7,968 5,540 4,56,870 3,796 6,43, 3,36,74,956 5,535 4,567,869 3,80 6,436,3 3,355,76,945 5,53 4,57,868 3,809 6,440,4 3,349,77,933 5,56 4,577,866 3,86 6,444,5 3,34,79,9 5,5 4,58,865 3,83 6,448,6 3,336,8,909 5,57 4,587,864 3,830 6,45,7 3,39,83,897 5,5 4,593,863 3,837 6,456,8 3,3,85,885 5,508 4,598,86 3,844 6,460,9 3,36,87,873 5,503 4,603,86 3,85 6,464,0 3,309,89,86 5,498 4,608,860 3,858 6,468, 3,30,9,848 5,494 4,63,859 3,864 6,47, 3,95,93,836 5,489 4,69,858 3,87 6,476,3 3,89,95,83 5,484 4,64,857 3,878 6,48,4 3,8,97,80 5,479 4,69,855 3,886 6,485,5 3,75,00,797 5,474 4,635,854 3,893 6,489,6 3,68,0,784 5,469 4,640,853 3,900 6,493,7 3,6,04,77 5,465 4,645,85 3,907 6,497,8 3,54,06,758 5,460 4,65,85 3,94 6,50,9 3,47,08,745 5,455 4,656,850 3,9 6,506,30 3,40,0,73 5,450 4,66,849 3,98 6,50,3 3,3,,78 5,445 4,667,848 3,935 6,54,3 3,5,5,704 5,440 4,67,847 3,94 6,59,33 3,8,7,69 5,435 4,678,845 3,950 6,53,34 3,,9,677 5,430 4,683,844 3,957 6,57,35 3,03,,663 5,45 4,689,843 3,964 6,53,36 3,96,4,649 5,49 4,694,84 3,97 6,536,37 3,88,6,635 5,44 4,700,84 3,979 6,540,38 3,8,8,60 5,409 4,705,840 3,986 6,545,39 3,73,30,606 5,404 4,7,839 3,993 6,549,40 3,66,33,59 5,399 4,76,837 4,000 6,554,4 3,58,35,576 5,393 4,7,836 4,008 6,558,4 3,5,38,56 5,388 4,78,835 4,05 6,563,43 3,43,40,547 5,383 4,733,834 4,03 6,567,44 3,35,4,53 5,378 4,739,833 4,030 6,57,45 3,7,45,56 5,37 4,744,83 4,037 6,576,46 3,0,47,50 5,367 4,750,83 4,045 6,58,47 3,,50,485 5,36 4,756,89 4,05 6,585,48 3,04,5,470 5,356 4,76,88 4,060 6,590,49 3,096,55,454 5,350 4,767,87 4,067 6,594,50 3,088,57,438 5,345 4,773,86 4,075 6,599,5 3,080,60,4 5,339 4,779,85 4,08 6,604,5 3,07,6,406 5,334 4,785,84 4,090 6,608,53 3,064,65,389 5,38 4,790,8 4,097 6,63

46 Druckstäbe Zugstäbe e A B C A+B A B C A+B,54 3,055,67,373 5,33 4,796,8 4,05 6,67,55 3,047,70,356 5,37 4,80,80 4, 6,6,56 3,039,73,339 5,3 4,808,89 4,0 6,67,57 3,03,75,3 5,306 4,84,88 4,7 6,63,58 3,0,78,305 5,300 4,80,87 4,35 6,636,59 3,04,8,88 5,94 4,86,85 4,43 6,64,60 3,005,83,70 5,89 4,83,84 4,50 6,646,6,997,86,53 5,83 4,837,83 4,58 6,650,6,988,89,35 5,77 4,843,8 4,65 6,655,63,980,9,7 5,7 4,849,8 4,73 6,660,64,97,95,99 5,65 4,855,80 4,8 6,665,65,96,97,80 5,60 4,86,808 4,89 6,670,66,953,300,6 5,54 4,867,807 4,96 6,674,67,945,303,43 5,48 4,873,806 4,04 6,679,68,936,306,4 5,4 4,879,805 4, 6,684,69,97,309,05 5,36 4,885,804 4,0 6,689,70,98,3,086 5,30 4,89,80 4,7 6,694,7,909,35,067 5,4 4,898,80 4,35 6,699,7,900,38,047 5,8 4,904,800 4,43 6,704,73,89,3,07 5, 4,90,799 4,5 6,709,74,88,34,007 5,05 4,96,798 4,59 6,74,75,87,37 0,987 5,99 4,9,796 4,66 6,79,76,863,330 0,967 5,93 4,98,795 4,74 6,74,77,854,333 0,946 5,87 4,934,794 4,8 6,79,78,844,336 0,96 5,80 4,94,793 4,90 6,734,79,835,339 0,905 5,74 4,947,79 4,98 6,739,80,85,34 0,883 5,68 4,953,79 4,306 6,744,8,86,346 0,86 5,6 4,959,789 4,34 6,749,8,806,349 0,840 5,55 4,966,788 4,3 6,754,83,797,35 0,88 5,49 4,97,787 4,330 6,759,84,787,355 0,796 5,4 4,978,786 4,338 6,764,85,777,359 0,774 5,36 4,984,785 4,346 6,769,86,767,36 0,75 5,9 4,99,783 4,354 6,774,87,758,365 0,79 5,3 4,997,78 4,36 6,779,88,748,369 0,705 5,6 5,003,78 4,370 6,784,89,738,37 0,68 5,0 5,00,780 4,378 6,790,90,78,376 0,659 5,03 5,06,779 4,386 6,795,9,78,379 0,635 5,097 5,03,777 4,394 6,800,9,707,383 0,6 5,090 5,09,776 4,40 6,805,93,697,386 0,586 5,083 5,035,775 4,40 6,80,94,687,390 0,56 5,077 5,04,774 4,48 6,86,95,677,393 0,537 5,070 5,048,773 4,46 6,8,96,666,397 0,5 5,063 5,055,77 4,434 6,86,97,656,400 0,486 5,056 5,06,770 4,44 6,83,98,645,404 0,46 5,049 5,068,769 4,450 6,837,99,635,408 0,435 5,043 5,074,768 4,459 6,84 3,00,64,4 0,408 5,036 5,08,766 4,467 6,847 3,0,64,45 0,38 5,09 5,087,765 4,475 6,853 3,0,603,49 0,355 5,0 5,094,764 4,483 6,858 3,03,59,43 0,37 5,05 5,0,763 4,49 6,863 3,04,58,47 0,300 5,008 5,07,76 4,499 6,869

47 Druckstäbe Zugstäbe e A B C A+B A B C A+B 3,05,570,430 0,7 5,00 5,4,760 4,508 6,874 3,06,559,434 0,44 4,994 5,0,759 4,56 6,880 3,07,548,438 0,5 4,987 5,7,758 4,54 6,885 3,08,537,44 0,86 4,979 5,34,757 4,53 6,890 3,09,56,446 0,57 4,97 5,40,756 4,54 6,896 3,0,55,450 0,7 4,965 5,47,754 4,549 6,90 3,,503,454 0,097 4,958 5,54,753 4,557 6,907 3,,49,458 0,067 4,95 5,60,75 4,565 6,9 3,3,48,463 0,036 4,943 5,67,75 4,574 6,98 3,4,469,467 0,005 4,936 5,74,750 4,58 6,93 3,5,458,47-0,07 4,99 5,80,748 4,590 6,99 3,6,446,475-0,059 4,9 5,87,747 4,599 6,934 3,7,434,479-0,09 4,94 5,94,746 4,607 6,940 3,8,43,484-0,4 4,906 5,0,745 4,65 6,946 3,9,4,488-0,57 4,899 5,08,744 4,64 6,95 3,0,399,49-0,9 4,89 5,4,74 4,63 6,957 3,,387,497-0,5 4,884 5,,74 4,640 6,96 3,,375,50-0,59 4,876 5,8,740 4,649 6,968 3,3,363,506-0,94 4,869 5,35,739 4,657 6,974 3,4,35,50-0,330 4,86 5,4,738 4,666 6,979 3,5,339,55-0,366 4,853 5,49,736 4,674 6,985 3,6,36,59-0,403 4,846 5,55,735 4,683 6,99 3,7,34,54-0,440 4,838 5,6,734 4,69 6,996 3,8,30,59-0,477 4,830 5,69,733 4,699 7,00 3,9,89,533-0,55 4,8 5,76,73 4,708 7,008 3,30,76,538-0,554 4,84 5,83,730 4,76 7,03 3,3,64,543-0,593 4,807 5,90,79 4,75 7,09 3,3,5,548-0,633 4,799 5,97,78 4,733 7,05 3,33,38,553-0,673 4,79 5,304,77 4,74 7,03 3,34,5,558-0,75 4,783 5,3,75 4,750 7,036 3,35,,563-0,756 4,775 5,38,74 4,759 7,04 3,36,99,568-0,798 4,767 5,35,73 4,767 7,048 3,37,86,573-0,84 4,759 5,33,7 4,776 7,054 3,38,73,578-0,885 4,75 5,339,7 4,784 7,060 3,39,60,583-0,99 4,74 5,346,79 4,793 7,065 3,40,46,588-0,974 4,734 5,353,78 4,80 7,07 3,4,33,593 -,00 4,76 5,360,77 4,80 7,077 3,4,9,599 -,067 4,78 5,367,76 4,89 7,083 3,43,06,604 -,4 4,70 5,374,75 4,87 7,089 3,44,09,609 -,6 4,70 5,38,73 4,836 7,095 3,45,078,65 -, 4,693 5,388,7 4,844 7,0 3,46,065,60 -,6 4,685 5,396,7 4,853 7,07 3,47,05,66 -,3 4,676 5,403,70 4,86 7,3 3,48,037,63 -,363 4,668 5,40,709 4,870 7,9 3,49,03,637 -,45 4,659 5,47,707 4,879 7,5 3,50,008,64 -,468 4,65 5,44,706 4,888 7,3 3,5,994,648 -,5 4,64 5,43,705 4,896 7,37 3,5,980,654 -,578 4,634 5,439,704 4,905 7,43 3,53,965,660 -,634 4,65 5,446,703 4,93 7,49 3,54,95,665 -,69 4,66 5,453,70 4,9 7,55 3,55,936,67 -,749 4,608 5,460,700 4,93 7,6

48 Druckstäbe Zugstäbe e A B C A+B A B C A+B 3,56,9,677 -,809 4,599 5,468,699 4,940 7,67 3,57,907,683 -,870 4,590 5,475,698 4,948 7,73 3,58,89,689 -,93 4,58 5,48,697 4,957 7,79 3,59,877,696 -,994 4,57 5,489,696 4,966 7,85 3,60,86,70 -,059 4,564 5,497,694 4,974 7,9 3,6,847,708 -,4 4,555 5,504,693 4,983 7,97 3,6,83,74 -,9 4,546 5,5,69 4,99 7,03 3,63,86,7 -,60 4,537 5,59,69 5,00 7,09 3,64,80,77 -,39 4,58 5,56,690 5,009 7,5 3,65,785,733 -,40 4,59 5,533,688 5,08 7, 3,66,769,740 -,473 4,50 5,54,687 5,07 7,8 3,67,754,747 -,548 4,500 5,548,686 5,036 7,34 3,68,738,753 -,64 4,49 5,555,685 5,044 7,40 3,69,7,760 -,70 4,48 5,563,684 5,053 7,46 3,70,706,767 -,78 4,473 5,570,683 5,06 7,53 3,7,690,774 -,86 4,463 5,578,68 5,07 7,59 3,7,674,780 -,946 4,454 5,585,680 5,079 7,65 3,73,657,787-3,03 4,445 5,59,679 5,088 7,7 3,74,64,795-3,8 4,435 5,600,678 5,097 7,78 3,75,64,80-3,08 4,46 5,607,677 5,06 7,84 3,76,608,809-3,300 4,46 5,65,675 5,5 7,90 3,77,59,86-3,394 4,407 5,6,674 5,4 7,96 3,78,574,83-3,490 4,397 5,630,673 5,3 7,303 3,79,557,83-3,589 4,388 5,637,67 5,4 7,309 3,80,540,838-3,69 4,378 5,645,67 5,50 7,35 3,8,53,846-3,795 4,368 5,65,670 5,59 7,3 3,8,505,853-3,90 4,359 5,660,668 5,68 7,38 3,83,488,86-4,03 4,349 5,667,667 5,77 7,335 3,84,470,869-4,6 4,339 5,675,666 5,86 7,34 3,85,453,877-4,43 4,39 5,68,665 5,95 7,347 3,86,435,884-4,363 4,39 5,690,664 5,03 7,354 3,87,47,89-4,486 4,30 5,697,663 5, 7,360 3,88,399,900-4,64 4,300 5,705,66 5, 7,367 3,89,38,909-4,745 4,90 5,73,660 5,30 7,373 3,90,363,97-4,88 4,80 5,70,659 5,39 7,379 3,9,344,95-5,00 4,69 5,78,658 5,48 7,386 3,9,36,934-5,65 4,59 5,736,657 5,57 7,39 3,93,307,94-5,34 4,49 5,743,656 5,66 7,399 3,94,88,95-5,468 4,39 5,75,654 5,75 7,405 3,95,70,959-5,68 4,9 5,758,653 5,84 7,4 3,96,5,968-5,793 4,8 5,766,65 5,93 7,48 3,97,3,977-5,965 4,08 5,774,65 5,30 7,45 3,98,,986-6,4 4,98 5,78,650 5,3 7,43 3,99,93,995-6,37 4,87 5,789,649 5,30 7,438 4,00,73 3,004-6,58 4,77 5,797,648 5,39 7,444 4,0,53 3,03-6,77 4,66 5,805,646 5,338 7,45 4,0,34 3,0-6,94 4,56 5,8,645 5,347 7,458 4,03,4 3,03-7,39 4,45 5,80,644 5,356 7,464 4,04,094 3,04-7,364 4,35 5,88,643 5,365 7,47 4,05,073 3,05-7,598 4,4 5,835,64 5,374 7,477 4,06,053 3,060-7,843 4,3 5,843,64 5,383 7,484

49 Druckstäbe Zugstäbe e A B C A+B A B C A+B 4,07,03 3,070-8,098 4,0 5,85,640 5,39 7,49 4,08,0 3,080-8,366 4,09 5,859,638 5,40 7,497 4,09 0,99 3,090-8,647 4,08 5,867,637 5,40 7,504 4,0 0,970 3,00-8,94 4,070 5,874,636 5,49 7,5 4, 0,949 3,0-9,50 4,059 5,88,635 5,48 7,57 4, 0,97 3, -9,575 4,048 5,890,634 5,437 7,54 4,3 0,906 3,3-9,97 4,037 5,898,633 5,446 7,53 4,4 0,884 3,4-0,78 4,06 5,906,63 5,455 7,537 4,5 0,86 3,5-0,660 4,05 5,93,63 5,464 7,544 4,6 0,840 3,63 -,063 4,004 5,9,69 5,473 7,55 4,7 0,88 3,74 -,49 3,99 5,99,68 5,48 7,557 4,8 0,796 3,85 -,946 3,98 5,937,67 5,49 7,564 4,9 0,774 3,96 -,430 3,970 5,945,66 5,500 7,57 4,0 0,75 3,07 -,947 3,958 5,953,65 5,509 7,578 4, 0,78 3,9-3,499 3,947 5,96,64 5,58 7,584 4, 0,705 3,30-4,090 3,936 5,969,63 5,57 7,59 4,3 0,68 3,4-4,76 3,94 5,976,6 5,537 7,598 4,4 0,659 3,54-5,4 3,9 5,984,60 5,546 7,605 4,5 0,635 3,66-6,5 3,90 5,99,69 5,555 7,6 4,6 0,6 3,78-6,954 3,889 6,000,68 5,564 7,68 4,7 0,588 3,90-7,88 3,878 6,008,67 5,573 7,65 4,8 0,564 3,30-8,783 3,866 6,06,66 5,58 7,63 4,9 0,539 3,35-9,830 3,854 6,04,65 5,59 7,639 4,30 0,55 3,37-0,984 3,84 6,03,64 5,600 7,646 4,3 0,490 3,340 -,63 3,830 6,040,63 5,609 7,653 4,3 0,465 3,353-3,688 3,88 6,048,6 5,69 7,660 4,33 0,440 3,366-5,86 3,806 6,056,60 5,68 7,667 4,34 0,45 3,379-7,09 3,794 6,064,609 5,637 7,673 4,35 0,390 3,393-9,46 3,78 6,07,608 5,646 7,680 4,36 0,364 3,406-3,507 3,770 6,080,607 5,655 7,687 4,37 0,338 3,40-34,49 3,758 6,088,606 5,664 7,694 4,38 0,3 3,434-37,47 3,746 6,096,605 5,674 7,70 4,39 0,86 3,448-4,37 3,733 6,04,604 5,683 7,708 4,40 0,59 3,46-45,98 3,7 6,,603 5,69 7,75 4,4 0,3 3,476-5,76 3,709 6,0,60 5,70 7,7 4,4 0,05 3,49-59,3 3,696 6,8,60 5,70 7,79 4,43 0,78 3,506-68,779 3,684 6,36,600 5,79 7,736 4,44 0,5 3,50-8,060 3,67 6,44,598 5,79 7,743 4,45 0,3 3,536-0,454 3,659 6,53,597 5,738 7,750 4,46 0,095 3,55-3,450 3,646 6,6,596 5,747 7,757 4,47 0,067 3,566-89,97 3,633 6,69,595 5,756 7,764 4,48 0,039 3,58-333,075 3,6 6,77,594 5,765 7,77 4,49 0,00 3,598-35,90 3,608 6,85,593 5,775 7,778 4,50-0,09 3,64 683,788 3,595 6,93,59 5,784 7,785 4,5-0,048 3,630 7,89 3,58 6,0,59 5,793 7,79 4,5-0,078 3,647 70,949 3,569 6,09,590 5,80 7,799 4,53-0,07 3,663 4,753 3,556 6,8,589 5,8 7,806 4,54-0,37 3,680 98,38 3,543 6,6,588 5,8 7,83 4,55-0,68 3,697 8,35 3,530 6,34,587 5,830 7,8 4,56-0,98 3,75 69,387 3,57 6,4,586 5,839 7,88 4,57-0,9 3,73 60,56 3,503 6,50,585 5,849 7,835

50 Druckstäbe Zugstäbe e A B C A+B A B C A+B 4,58-0,60 3,750 53,773 3,490 6,58,584 5,858 7,84 4,59-0,9 3,768 48,387 3,477 6,67,58 5,867 7,849 4,60-0,33 3,787 44,008 3,463 6,75,58 5,876 7,856 4,6-0,355 3,805 40,378 3,450 6,83,580 5,886 7,863 4,6-0,388 3,84 37,39 3,436 6,9,579 5,895 7,87 4,63-0,40 3,843 34,706 3,43 6,99,578 5,904 7,878 4,64-0,453 3,86 3,447 3,409 6,308,577 5,93 7,885 4,65-0,487 3,88 30,475 3,395 6,36,576 5,93 7,89 4,66-0,50 3,90 8,738 3,38 6,34,575 5,93 7,899 4,67-0,554 3,9 7,96 3,368 6,33,574 5,94 7,906 4,68-0,589 3,94 5,87 3,354 6,34,573 5,950 7,94 4,69-0,63 3,963 4,577 3,340 6,349,57 5,960 7,9 4,70-0,658 3,984 3,456 3,36 6,357,57 5,969 7,98 4,7-0,694 4,005,437 3,3 6,365,570 5,978 7,935 4,7-0,79 4,07,506 3,98 6,374,569 5,988 7,943 4,73-0,765 4,049 0,65 3,83 6,38,568 5,997 7,950 4,74-0,80 4,07 9,867 3,69 6,390,567 6,006 7,957 4,75-0,839 4,093 9,4 3,55 6,399,566 6,06 7,964 4,76-0,876 4,6 8,469 3,40 6,407,565 6,05 7,97 4,77-0,94 4,40 7,844 3,6 6,45,564 6,034 7,979 4,78-0,95 4,63 7,6 3, 6,44,563 6,043 7,986 4,79-0,990 4,87 6,77 3,97 6,43,56 6,053 7,994 4,80 -,09 4, 6,07 3,8 6,440,56 6,06 8,00 4,8 -,068 4,36 5,78 3,68 6,449,560 6,07 8,008 4,8 -,08 4,6 5,77 3,53 6,457,559 6,08 8,06 4,83 -,48 4,86 4,853 3,38 6,465,558 6,090 8,03 4,84 -,89 4,3 4,45 3,3 6,474,557 6,099 8,030 4,85 -,30 4,338 4,07 3,08 6,48,556 6,09 8,038 4,86 -,7 4,365 3,7 3,093 6,490,555 6,8 8,045 4,87 -,34 4,39 3,369 3,078 6,499,554 6,7 8,05 4,88 -,356 4,49 3,044 3,063 6,507,553 6,37 8,060 4,89 -,399 4,447,734 3,048 6,56,55 6,46 8,067 4,90 -,443 4,475,439 3,03 6,54,55 6,56 8,075 4,9 -,487 4,504,57 3,07 6,53,550 6,65 8,08 4,9 -,53 4,533,887 3,00 6,54,549 6,74 8,089 4,93 -,576 4,563,69,986 6,549,548 6,84 8,097 4,94 -,6 4,593,38,97 6,558,547 6,93 8,04 4,95 -,668 4,63,43,955 6,566,546 6,0 8, 4,96 -,75 4,655 0,95,939 6,575,545 6, 8,9 4,97 -,763 4,686 0,696,94 6,583,544 6, 8,7 4,98 -,8 4,78 0,484,908 6,59,543 6,3 8,34 4,99 -,859 4,75 0,8,89 6,600,54 6,40 8,4 5,00 -,909 4,785 0,084,876 6,608,54 6,49 8,49 5,0 -,959 4,88 9,895,860 6,67,540 6,59 8,57 5,0 -,009 4,853 9,7,844 6,65,539 6,68 8,64 5,03 -,060 4,888 9,535,87 6,634,538 6,77 8,7 5,04 -, 4,94 9,363,8 6,64,537 6,87 8,79 5,05 -,65 4,960 9,97,795 6,65,536 6,96 8,87 5,06 -,8 4,997 9,036,778 6,659,535 6,306 8,94 5,07 -,73 5,034 8,880,76 6,668,534 6,35 8,0 5,08 -,37 5,073 8,79,745 6,676,533 6,34 8,09

51 Druckstäbe Zugstäbe e A B C A+B A B C A+B 5,09 -,383 5, 8,58,79 6,685,53 6,334 8,7 5,0 -,439 5,5 8,439,7 6,693,53 6,343 8,4 5, -,497 5,9 8,300,695 6,70,530 6,353 8,3 5, -,555 5,33 8,64,678 6,7,59 6,36 8,39 5,3 -,64 5,75 8,033,66 6,79,58 6,37 8,47 5,4 -,673 5,38 7,904,644 6,78,57 6,38 8,55 5,5 -,734 5,36 7,779,67 6,736,56 6,390 8,6 5,6 -,796 5,406 7,657,60 6,745,55 6,400 8,70 5,7 -,858 5,45 7,538,593 6,753,54 6,409 8,77 5,8 -,9 5,497 7,4,575 6,76,53 6,49 8,85 5,9 -,986 5,544 7,307,558 6,770,5 6,48 8,93 5,0-3,05 5,59 7,96,540 6,779,5 6,438 8,300 5, -3,8 5,64 7,087,53 6,788,50 6,447 8,308 5, -3,86 5,69 6,98,505 6,796,59 6,456 8,36 5,3-3,54 5,74 6,876,487 6,805,59 6,466 8,33 5,4-3,34 5,794 6,774,470 6,83,58 6,475 8,33 5,5-3,395 5,847 6,674,45 6,8,57 6,485 8,339 5,6-3,467 5,90 6,576,434 6,83,56 6,494 8,346 5,7-3,54 5,956 6,479,46 6,839,55 6,504 8,354 5,8-3,66 6,03 6,385,397 6,848,54 6,53 8,36 5,9-3,69 6,07 6,9,379 6,857,53 6,53 8,369 5,30-3,769 6,30 6,00,36 6,865,5 6,53 8,377 5,3-3,848 6,90 6,,34 6,874,5 6,54 8,385 5,3-3,98 6,5 6,03,34 6,88,50 6,55 8,393 5,33-4,009 6,34 5,936,305 6,89,509 6,56 8,400 5,34-4,09 6,379 5,85,87 6,900,508 6,570 8,408 5,35-4,77 6,445 5,767,68 6,908,507 6,580 8,46 5,36-4,63 6,5 5,684,49 6,97,506 6,589 8,44 5,37-4,35 6,58 5,60,30 6,96,506 6,598 8,43 5,38-4,44 6,65 5,5, 6,934,505 6,608 8,439 5,39-4,53 6,74 5,443,9 6,943,504 6,67 8,447 5,40-4,65 6,798 5,365,7 6,95,503 6,67 8,455 5,4-4,70 6,873 5,88,53 6,96,50 6,636 8,46 5,4-4,87 6,95 5,,34 6,969,50 6,646 8,470 5,43-4,97 7,03 5,37,4 6,978,500 6,655 8,478 5,44-5,08 7, 5,063,094 6,987,499 6,665 8,486 5,45-5, 7,96 4,990,075 6,995,498 6,674 8,494 5,46-5,6 7,8 4,98,055 7,004,497 6,684 8,50 5,47-5,334 7,369 4,846,035 7,03,497 6,693 8,509 5,48-5,445 7,459 4,775,05 7,0,496 6,703 8,57 5,49-5,557 7,55 4,706,995 7,030,495 6,7 8,55 5,50-5,673 7,647 4,636,975 7,039,494 6,7 8,533 5,5-5,79 7,745 4,568,954 7,048,493 6,73 8,54 5,5-5,9 7,845 4,500,934 7,056,49 6,74 8,549 5,53-6,035 7,948 4,433,93 7,065,49 6,750 8,556 5,54-6,6 8,054 4,367,893 7,074,490 6,760 8,564 5,55-6,9 8,63 4,30,87 7,083,489 6,770 8,57 5,56-6,45 8,76 4,35,85 7,09,489 6,779 8,580 5,57-6,56 8,39 4,7,830 7,00,488 6,789 8,588 5,58-6,70 8,50 4,07,809 7,09,487 6,798 8,596 5,59-6,845 8,633 4,043,788 7,8,486 6,808 8,604

52 Druckstäbe Zugstäbe e A B C A+B A B C A+B 5,60-6,99 8,759 3,980,767 7,7,485 6,87 8,6 5,6-7,44 8,889 3,97,745 7,35,484 6,87 8,60 5,6-7,99 9,03 3,855,74 7,44,483 6,836 8,68 5,63-7,460 9,6 3,793,70 7,53,48 6,846 8,635 5,64-7,64 9,305 3,73,680 7,6,48 6,855 8,643 5,65-7,794 9,45 3,670,659 7,7,48 6,865 8,65 5,66-7,968 9,605 3,60,637 7,79,480 6,874 8,659 5,67-8,48 9,763 3,549,65 7,88,479 6,884 8,667 5,68-8,333 9,96 3,489,593 7,97,478 6,893 8,675 5,69-8,54 0,094 3,430,570 7,06,477 6,903 8,683 5,70-8,7 0,69 3,370,548 7,5,476 6,93 8,69 5,7-8,95 0,450 3,3,55 7,4,476 6,9 8,699 5,7-9,35 0,638 3,53,503 7,3,475 6,93 8,707 5,73-9,353 0,833 3,94,480 7,4,474 6,94 8,75 5,74-9,578,035 3,36,457 7,50,473 6,95 8,73 5,75-9,8,45 3,078,434 7,59,47 6,960 8,73 5,76-0,05,463 3,00,4 7,68,47 6,970 8,739 5,77-0,30,690,96,388 7,77,47 6,979 8,747 5,78-0,56,96,905,364 7,86,470 6,989 8,755 5,79-0,83,7,848,34 7,94,469 6,999 8,763 5,80 -,,48,79,37 7,303,468 7,008 8,77 5,8 -,40,695,734,93 7,3,467 7,08 8,779 5,8 -,705,975,677,70 7,3,466 7,07 8,787 5,83 -,0 3,66,60,46 7,330,466 7,037 8,795 5,84 -,350 3,57,564, 7,339,465 7,046 8,804 5,85 -,694 3,89,507,97 7,348,464 7,056 8,8 5,86-3,054 4,6,45,73 7,357,463 7,066 8,80 5,87-3,430 4,578,395,48 7,366,46 7,075 8,88 5,88-3,84 4,948,338,4 7,374,46 7,085 8,836 5,89-4,37 5,336,8,099 7,383,46 7,094 8,844 5,90-4,67 5,745,6,074 7,39,460 7,04 8,85 5,9-5,8 6,77,70,049 7,40,459 7,4 8,860 5,9-5,609 6,63,4,04 7,40,458 7,3 8,868 5,93-6,6 7,4,058 0,998 7,49,457 7,33 8,876 5,94-6,65 7,65,00 0,973 7,48,457 7,4 8,885 5,95-7,9 8,66,946 0,947 7,437,456 7,5 8,893 5,96-7,80 8,74,890 0,9 7,446,455 7,6 8,90 5,97-8,459 9,354,834 0,895 7,455,454 7,7 8,909 5,98-9,38 0,007,778 0,869 7,464,453 7,8 8,97 5,99-9,863 0,706,7 0,843 7,473,453 7,90 8,95 6,00-0,638,454,665 0,86 7,48,45 7,00 8,933 6,0 -,468,58,609 0,790 7,49,45 7,09 8,94 6,0 -,360 3,3,553 0,763 7,500,450 7,9 8,950 6,03-3,3 4,057,496 0,736 7,508,449 7,9 8,958 6,04-4,360 5,069,439 0,709 7,57,449 7,38 8,966 6,05-5,486 6,68,383 0,68 7,56,448 7,48 8,974 6,06-6,7 7,367,36 0,655 7,535,447 7,58 8,98 6,07-8,05 8,679,69 0,67 7,544,446 7,67 8,99 6,08-9,5 30,0, 0,600 7,553,445 7,77 8,999 6,09-3,40 3,7,54 0,57 7,56,445 7,86 9,007 6,0-3,934 33,478,097 0,544 7,57,444 7,96 9,05

53 Druckstäbe Zugstäbe e A B C A+B A B C A+B 6, -34,934 35,450,039 0,56 7,580,443 7,306 9,04 6, -37,76 37,664 0,98 0,487 7,589,44 7,35 9,03 6,3-39,709 40,68 0,93 0,459 7,598,44 7,35 9,040 6,4-4,593 43,03 0,865 0,430 7,607,44 7,334 9,048 6,5-45,907 46,309 0,806 0,40 7,66,440 7,344 9,056 6,6-49,756 50,9 0,748 0,37 7,65,439 7,354 9,065 6,7-54,83 54,66 0,689 0,343 7,634,439 7,363 9,073 6,8-59,68 59,996 0,69 0,34 7,643,438 7,373 9,08 6,9-66,37 66,5 0,570 0,84 7,65,437 7,383 9,089 6,0-74,36 74,67 0,50 0,55 7,66,436 7,39 9,098 6, -84,703 84,98 0,450 0,5 7,67,436 7,40 9,06 6, -98,3 98,505 0,390 0,95 7,680,435 7,4 9,4 6,3-7,08 7,9 0,39 0,64 7,689,434 7,4 9,3 6,4-44,404 44,538 0,68 0,34 7,698,433 7,43 9,3 6,5-88,67 88,37 0,06 0,03 7,707,433 7,440 9,39 6,6-69,950 70,03 0,45 0,07 7,76,43 7,450 9,47 6,7-475,50 475,543 0,083 0,04 7,75,43 7,460 9,56 6,8-97,546 97,556 0,00 0,00 7,734,430 7,469 9,64

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66 Prktischer Nchweis von Druckgliedern bzw. Stützen ) STAHLBAU ( DIN 8800 T ) Nchweis m Gesmtsystem Eingngsgrößen: -System -Lsten -Imperfektionen -teril -Querschnittswerte Einzelstbnchweis früher: ω- Verfhren -Knicklänge des Stbes -Knicklänge des -i.a. Schnittgrößen Stbes nch Th. I O. -Schnittgrößen nch -teril Th. I O. -Querschnittswerte -teril -Querschnittswerte b) HOLZBAU (DIN 05) ALUINIUKONSTRUKTIONEN ( DIN 43 ) Nchweis m Gesmtsystem Eingngsgrößen: -System -Lsten -Imperfektionen -teril -Querschnittswerte ω- Verfhren -Knicklänge des Stbes -Schnittgrößen nch Th. I O. -teril -Querschnittswerte c) STAHLBETON ( DIN 045) Eingngsgrößen : Anwendung Bemerkungen Direkter Nchweis der Stbilität -System -Lsten -Imperfektionen -teril -Querschnittswerte i.a. bei verschieblichen Systemen. Solche Systeme gelten ls sttisch schwierige Buten und werden i.a. vermieden. Einzelstbnchweis -Knicklänge des Stbes -Schnittgrößen nch Th. I O. -teril -Querschnittswerte Nur n unverschieblichen Systemen. Unterscheidung nch Stäben mit unterschiedlichen Schlnkheitsgrden, d die Knicklänge i.a. uch belstungsbhängig ist.