4. Modellierung mit Graphen

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1 4. Moellierung mit Grphen Mo-5.1 Moellierung eshreit Ojekte un Beziehungen zwishen ihnen. Grphen eignen sih zur Moellierung für ein reites Aufgenspektrum. Ein Grph ist eine Astrktion us Knoten un Knten: Knoten: Eine Menge gleihrtiger Ojekte Knten: Beziehung zwishen je zwei Ojekten, 2-stellige Reltion üer Knoten Je nh Aufgenstellung weren ungerihtete oer gerihtete Grphen verwenet. ungerihtet gerihtet Bielefel Hnnover heen Ziffer wählen Kmen Perorn uflegen Gespräh führen Kssel Unn Wünnenerg Beshränkung uf enlihe Knotenmengen un 2-stellige Reltion reiht hier us.

2 Themenüersiht Mo Grunlegene Definitionen gerihteter, ungerihteter Grph, Grphrstellungen, Teilgrphen, Gr, Mrkierungen 4.2 Wegeproleme Weg, Kreis, Runwege, Zusmmenhng 4.3 Verinungsproleme Spnnum 4.4 Moellierung mit Bäumen gewurzelte Bäume, Entsheiungsäume, Strukturäume, Kntorowitsh-Bäume 4.5 Zuornungsproleme konfliktfreie Mrkierung, iprtite Grphen 4.6 Ahängigkeitsproleme Anornungen, Afolgen

3 5.1 Grunlegene Definitionen Gerihteter Grph Mo-5.3 Ein gerihteter Grph G = (V, E) ht eine enlihe Menge V von Knoten un eine Menge E gerihteter Knten, mit E V V. Die Kntenmenge E ist eine 2-stellige Reltion üer V. Beispiel: V = {,,, } E = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )} Eine Knte wir ls (v, u) oer v -> u notiert. Eine Knte (v, v) heißt Shleife oer Shlinge. Die Definition von Grphen shränkt ein uf enlihe Grphen mit enlihen Knotenmengen, einfhe Knten: - eine Knte verinet niht mehr ls zwei Knoten, - zwishen zwei Knoten git es höhstens eine Knte Multigrph: Es knn mehr ls eine Knte zwishen enselen Knoten geen (siehe Mo-5.7)

4 Ungerihteter Grph Mo-5.4 Ist ie Kntenmenge E eines gerihteten Grphen eine symmetrishe Reltion, so eshreit er einen ungerihteten Grphen: Zu jeer Knte x -> y us E git es uh y -> x in E. Wir fssen zwei Knten x -> y, y -> x zu einer ungerihteten Knte zusmmen: {x, y} ie Menge er Knoten, ie ie Knte verinet. Ungerihtete Grphen weren uh irekt efiniert: Ein ungerihteter Grph G = (V, E) ht eine enlihe Menge V von Knoten un eine Menge E ungerihteter Knten, mit E { {x, y} x, y V } Der geilete Grph mit ungerihteten Knten: V = {,,, } E = { {, }, {, }, {, }, { }, {, }, {, }, {, } } In ieser Nottion ist eine Shleife eine 1-elementige Menge, z. B. { }

5 Drstellung von Grphen Mo-5.5 strkt: Knotenmenge V = {,,, } nshulih: Grphik Kntenmenge E = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )} Dtenstrukturen für lgorithmishe Berehnungen: Knotenmenge V ls Inexmenge linere Ornung er Knoten efinieren,,, sei V = n Ajzenzmtrix AM mit n * n Whrheitswerten zur Drstellung er (gerihteten) Knten: AM(i, j) = (i, j) E f w w w f w w f f f f f f w w f Ajzenzlisten: zu jeem Knoten i eine Folge von Knoten, zu enen er eine Knte ht (i, j) E (,, ) (, ) () (, ) Ungerihtete Grphen ls gerihtete Grphen mit symmetrisher Kntenmenge rstellen

6 Teilgrph, Knotengr Mo-5.6 Der Grph G' = (V', E') ist ein Teilgrph es Grphen G = (V, E), wenn V' V un E' E. (Gilt für gerihtete un ungerihtete Grphen.) Zu einem Grphen G = (V, E) inuziert eine Teilmenge er Knoten V' V en Teilgrphen G' = (V', E'), woei E' lle Knten us E enthält, eren Enen in V' liegen. Sei G = (V, E) ein ungerihteter Grph: Der Gr eines Knotens v ist ie Anzhl er Knten {x, v}, ie in v enen. 5 Sei G = (V, E) ein gerihteter Grph: Der Eingngsgr eines Knotens v ist ie Anzhl er Knten (x, v) E, ie in v münen. Der Ausgngsgr eines Knotens v ist ie Anzhl er Knten (v, x) E, ie von v usgehen. Der Gr eines Knotens v ist ie Summe seines Eingngs- un Ausgngsgres. Der Gr eines gerihteten oer ungerihteten Grphen ist er mximle Gr seiner Knoten

7 Mrkierte Grphen Mo Ein Grph G = (V, E) moelliert eine Menge von Ojekten V un ie Existenz von Beziehungen zwishen ihnen. Viele Aufgen erforern, ss en Knoten un/oer en Knten weitere Informtionen zugeornet weren. Dies leisten Mrkierungsfunktionen Knotenmrkierung MV : V WV, z.b. Einwohnerzhl: V Kntenmrkierung ME : E WE, z.b. Entfernung: E Spezielle Kntenmrkierungen: ΙN ΙN Kmen 48 Unn Bielefel Perorn Wünnenerg 12 Hnnover Kssel 281 Ornung: E ΙN legt ie Reihenfolge er Knten fest, ie von einem Knoten usgehen (z. B. im Kntorowitsh-Bum von links nh rehts, siehe Mo-3.6) Anzhl: E ΙN moelliert mehrfhe Verinungen zwishen enselen Knoten; G ist nn ein Mehrfhgrph (Multigrph). In er grphishen Drstellung shreit mn ie Anzhl n ie Knte oer zeihnet mehrere Knten.

8 5.2 Wegeproleme Mo Beispiel: Königserger Brükenprolem (Euler, 1736) Pregel Skizze von Königserg Multigrph zu. Git es einen Weg, er jee er 7 Brüken genu einml üerquert un zum Ausgngspunkt zurükkehrt?. Git es einen Weg, er jee er 7 Brüken genu einml üerquert?

9 Wege un Kreise Mo-5.9 Sei G = (V, E) ein ungerihteter Grph. Eine Folge von Knoten (v 0, v 1,..., v n ) mit {v i, v i+1 } E heißt ein Weg von v 0 nh v n. Er ht ie Länge n 0. Entsprehen für gerihtete Grphen: mit (v i, v i+1 ) E für i = 1,..., n-1 G 1 Ein Weg (v 0, v 1,..., v n ) einer Länge n 1 mit v 0 = v n un prweise vershieenen Knten (v 0, v 1 ),..., (v n-1, v n ) heißt Kreis im ungerihteten Grphen un Zyklus im gerihteten Grphen. G 2 Ein gerihteter Grph er keinen Zyklus enthält heißt zyklisher Grph (engl. irete yli grph, DAG).

10 Zusmmenhng in Grphen Mo-5.10 Ein ungerihteter Grph G = (V, E) heißt zusmmenhängen, wenn es für zwei elieige Knoten v, w V einen Weg von v nh w git. Ein gerihteter Grph heißt unter erselen Beingung strk zusmmenhängen. Ein Teilgrph G' = (V', E') eines ungerihteten (gerihteten) Grphen G = (V, E) heißt (strke) Zusmmenhngskomponente, wenn G' (strk) zusmmenhängen ist un wenn G keinen neren (strk) zusmmenhängenen Teilgrphen G'' ht, er G' ls Teilgrph enthält. G 3 e f Zusmmenhngskomponenten sin lso mximle Teilgrphen, ie zusmmenhängen sin. g G 4 e g f

11 Spezielle Wege un Kreise Mo-5.11 Sei G = (V, E) ein ungerihteter, zusmmenhängener, shleifenfreier Grph. Ein Euler-Weg zw. ein Euler-Kreis in G ist ein Weg, er jee Knte us E genu einml enthält. (,,,,, ) Euler-Weg (,,,, ) Euler-Kreis (,,,, ) Hmilton-Kreis G ht einen Euler-Kreis genu nn, wenn lle Knoten geren Gr hen. G ht einen Euler-Weg, er kein Kreis ist, genu nn, wenn G genu 2 Knoten mit ungerem Gr ht. Ein Hmilton-Kreis enthält jeen Knoten us V genu einml.

12 Wegeproleme mit Euler-Wegen Mo Königserger Brükenprolem (Mo-5.8): Euler-Weg, Euler-Kreis 2. Knn mn iese Figur in einem Zuge zeihnen? 3. Eine Inselgruppe mit n > 1 Inseln enötigt irekte Shiffsverinungen zwishen llen Pren von Inseln. Es git nur ein einziges Shiff. Knn es uf einer Tour lle Verinungen genu einml fhren? Für welhe n ist s möglih? 4. Plnen Sie ein Gruselkinett: Ein Hus mit n > 1 Räumen, 1 Eingngstür, eine Ausgngstür, elieig vielen Innentüren. Jee Tür shließt nh Durhgehen engültig. Die Besuher gehen einzeln urh s Hus. Es soll niemn eingesperrt weren. E A

13 Wegeproleme mit Hmilton-Kreisen Mo Trveling Slesmn's Prolem (Hnlungsreisener): n Stäte sin mit Strßen estimmter Länge verunen. Gesuht ist eine kürzeste Runreise urh lle Stäte In einem n * n Gitter von Prozessoren soll eine Botshft sequentiell von Prozessor zu Prozessor weitergegeen weren. Sie soll jeen Prozessor erreihen un zum Inititor zurükkehren. Für welhe n ist s möglih?

14 5.3 Verinungsproleme Mo-5.14 Moellierung urh Grphen wie ei Wegeprolemen (Ashnitt 5.2), er hier interessiert ie Existenz von Verinungen (Wegen) zwishen Knoten, ie Erreihrkeit von Knoten, niht estimmte Knotenfolgen. Sei G = (V, E) ein ungerihteter, zusmmenhängener Grph für lle folgenen Begriffe: Wenn G keine Kreise enthält, heißt er (ungerihteter) Bum. In Bäumen heißen Knoten mit Gr 1 Blätter. Für jeen ungerihteten Bum G = (V, E) gilt E = V - 1 G 4 Bäume G 1 G 2 G 3 G 4 Ein Teilgrph von G, er jeen Knoten us V enthält un ein Bum ist, heißt Spnnum zu G. 2 Spnnäume zu emselen Grphen G 4

15 Moellierung mit Spnnäumen zu Grphen Mo-5.15 Ein Spnnum ist ein zusmmenhängener Teilgrph mit er kleinsten Anzhl Knten. Er moelliert kostengünstigen Zusmmenhng. 1. Aufstänishe Gefngene wollen eine minimle Anzhl von Gefängnistüren sprengen, so ss lle Gefngenen freikommen: 2. Alle Agenten A,..., H sollen irekt oer inirekt miteinner kommunizieren. Die Risikofktoren jeer prweisen Verinung sin: A B F C G 7 H 3 D Es soll ein Netz mit geringstem Risiko gefunen weren E

16 Verinung un Zusmmenhng Mo-5.16 Sei G = (V, E) ein ungerihteter, zusmmenhängener Grph. v ist ein Shnittknoten in G, wenn G ohne v niht mehr zusmmenhängen ist. e ist eine Brükenknte in, wenn G ohne e niht mehr zusmmenhängen ist. G heißt orientierr, wenn mn für jee Knte eine Rihtung so festlegen knn, ss er entstehene gerihtete Grph strk zusmmenhängen ist. G ist genu nn orientierr, wenn G keine Brükenknte ht. 1. In er Innenstt sollen zur Huptverkehrszeit lle Strßen zu Einhnstrßen weren. Bleien lle Plätze von üerll erreihr? 2. In einer Stt sollen einzelne Strßen zur Reprtur gesperrt weren. Bleien lle Plätze von üerll erreihr? Shnittknoten Brükenknte