10. Flüsse und Artikulationspunkte
|
|
|
- Arwed Becker
- vor 5 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 0. Flüe un Artikultionpunkte Flüe in Netzwerken Artikultionpunkte Prof. Dr. O. Bittel, HTWG Kontnz Algorithmen un Dtentrukuren Flüe un Artikultionpunkte SS 09 0-
2 Netzwerk Ein Netzwerk it ein gewihteter un gerihteter Grph mit zwei peziellen Knoten: - Quelle (engl. oure): Knoten ohne eingehene Knten - Senke (engl. ink): Knoten ohne ugehene Knten. Die Gewihte (v,w) weren uh l Kpzitäten ezeihnet. Beipiel: 4 Netzwerk mit Quelle, Senke un Kpzitäten. Anwenungen: Strßenverkehrnetz: Kpzitäten geen mximl möglihe Verkehrihte je Strße n. Knlitionyytem: Kpzitäten geen mximle Wermenge n, ie je Zeiteinheit urh ein Rohr fließen knn. Prof. Dr. O. Bittel, HTWG Kontnz Algorithmen un Dtentrukuren Flüe un Artikultionpunkte SS 09 0-
3 Flu Ein Flu f in einem Netzwerk G ornet jeer Knte (v,w) eine Zhl f(v,w) mit folgenen Eigenhften zu: () Kpzitätehränkung: 0 f(v,w) (v,w); () für jeen Knoten (ußer Quelle un Senke) gilt ie Erhltungeigenhft: ie Summe er eingehenen Flüe it gleih er Summe er ugehenen Flüe. Folgerung: Die Summe er Flüe, ie ie er Quelle verlen, mu gleih er Summe er Flüe ein, ie n er Senke nkommen. Der Wert eine Flue it gleih er Summe er Flüe, ie ie Quelle verlen. Ziel: etimme einen mximlen Flu eine Netzwerke (mximler Flu mu niht eineutig ein). Anwenungen: - Welhen Verkehrflu verkrftet eine Stt, für ie ein Strßenverkehrnetz gegeen it. - Welhe Wermenge lät ih urh eine Knlition höhten trnportieren. Prof. Dr. O. Bittel, HTWG Kontnz Algorithmen un Dtentrukuren Flüe un Artikultionpunkte SS 09 0-
4 Beipiel für Netzwerk mit mximlem Flu / / 0/ / / /4 / / Flu / Kpzität Mximler Flu ht en Wert 5. Prof. Dr. O. Bittel, HTWG Kontnz Algorithmen un Dtentrukuren Flüe un Artikultionpunkte SS
5 Iee e Algorithmu Strte mit Null-Flu,.h. f(v,w) = 0 für lle Knten (v,w); o { () // Erweiterungweg uhen: Suhe einen Weg p von nh, ei em jee Knte um einen Flu Df vergrößert weren knn; () // Fluerweiterung: vergrößere für jee Knte (v,w) im Weg p en Flu f(v,w) um Df; } while (Flu konnte erweitert weren); 0/ 0/ 0/ 0/ 0/ 0/4 0/ 0/ Null-Flu.,,, it ein mögliher Erweiterungweg: jee Knte knn um en Flu Df = vergrößert weren. Prof. Dr. O. Bittel, HTWG Kontnz Algorithmen un Dtentrukuren Flüe un Artikultionpunkte SS
6 Prolem Die Whl eine Erweiterungwege knn in eine Skge führen (uoptimle Löung). Beipiel 0/ 0/ 0/ 0/ 0/ 0/4 0/ 0/ Erweiterungweg, ei em jee Knte um Df = vergrößert weren knn. / 0/ 0/ 0/ 0/ /4 0/ / Nh Fluerweiterung: Flu ht nun en Wert. E git nun keinen weiteren Erweiterungweg, owohl e eine Löung mit einem Fluwert von 5 git (iehe S. 0-40) Prof. Dr. O. Bittel, HTWG Kontnz Algorithmen un Dtentrukuren Flüe un Artikultionpunkte SS
7 Reiulgrphen Löung e Prolem: Mn erlut nh er Vergrößerung uh wieer eine Verkleinerung von Kntenflüen. Verwlte ußer Grph G mit en ktuellen Flüen zuätzlih einen ogennnten Reiulgrphen G r (reiul = l Ret zurükleien). Im Reiulgrph wir gepeihert, um welhen Wert er Flu jeer Knte noh veränert weren rf (Reiulflu): () Ht eine Knte (v,w) en Flu f(v,w) > 0, nn rf er Flu verkleinert weren. Im Reiulgrphen G r wir ie Knte (w,v) mit em Reiulflu f(v,w) gepeihert. Behte: Knte in G r verläuft in umgekehrter Rihtung. (Fluerhöhung in umgekehrter Rihtung verkleinert en Flu.) () Ht eine Knte (v,w) en Flu f(v,w) < (v,w), nn rf er Flu vergrößert weren. Im Reiulgrphen G r wir ie Knte (v,w) mit em Reiulflu (v,w) - f(v,w) gepeihert. Prof. Dr. O. Bittel, HTWG Kontnz Algorithmen un Dtentrukuren Flüe un Artikultionpunkte SS
8 Beipiel Reiulgrph für Nullflu 0/ 0/ 0/ 0/ 0/4 4 0/ 0/ 0/ Grph G mit Nullflu. Reiulgrph G r mit Reiulflüen Reiulgrph nh Fluerweiterung,,, wir l Erweiterungweg gewählt. Flu lät ih um Df = vergrößern. 0/ / 0/ 0/ /4 0/ / 0/ Grph G mit Fluwert. Reiulgrph G r mit Reiulflüen Flu von nh rf um i zu verringert weren. Flu von nh rf um i zu erhöht un i zu verringert weren. Flu von nh rf um i zu verringert weren. Prof. Dr. O. Bittel, HTWG Kontnz Algorithmen un Dtentrukuren Flüe un Artikultionpunkte SS
9 Algorithmu zur Berehnung eine mximlen Flue Initiliiere Grph G mit Null-Flu,.h. f(v,w) = 0 für lle Knten (v,w); Initiliiere Reiulgrph G r ; o { () // Erweiterungweg uhen: Suhe im Reiulgrphen G r einen Weg p von nh ; Df = Minimum ller Reiul-Flüe im Weg p; () // Flu vergrößern: vergrößere für jee Knte (v,w) im Weg p en Flu f(v,w) um Df (ehte ei, umgekehrte Reiulflüe en Flu verkleinern); führe entprehene Änerungen im Reiulgrphen urh; } while (Flu konnte vergrößert weren); Anätze, um einen Erweiterungweg von nh im Reiulgrphen zu uhen: uhe en Weg mit em größten Df (wie ei kürzete Wege in Ditnzgrphen; iehe Algorithmu von Dijktr) uhe Weg mit kleinter Kntenzhl (wie kürzete Wege in ungewihteten Grphen urh erweiterte Breitenuhe) Prof. Dr. O. Bittel, HTWG Kontnz Algorithmen un Dtentrukuren Flüe un Artikultionpunkte SS
10 Beipiel () Strte mit Nullflu 0/ 0/ 0/ 0/ 0/4 4 0/ 0/ Grph G mit Nullflu 0/ Reiulgrph G r mit Reiulflüen Prof. Dr. O. Bittel, HTWG Kontnz Algorithmen un Dtentrukuren Flüe un Artikultionpunkte SS
11 Beipiel () Suhe Weg mit größten Df im Reiulgrphen: 4,,, it Weg mit größtem Df. Df = Minimum er Reiul-Flüe im Weg =. Reiulgrph G r Fluerweiterung um Df: / 0/ 0/ 0/ 0/ 0/ /4 / Grph G mit Fluwert Reiulgrph G r Prof. Dr. O. Bittel, HTWG Kontnz Algorithmen un Dtentrukuren Flüe un Artikultionpunkte SS 09 0-
12 Beipiel () Suhe Weg mit größten Df im Reiulgrphen:,,,,, it Weg mit größtem Df. Df = Minimum er Reiul-Flüe im Weg =. Reiulgrph G r Fluerweiterung um Df: / / / Behte: Flu wure verkleinert! / 0/ /4 / / Grph G mit Fluwert 5 Reiulgrph G r Ene: E git im Reiulgrphen keine Wege mehr von nh. Mximler Flu gefunen! Prof. Dr. O. Bittel, HTWG Kontnz Algorithmen un Dtentrukuren Flüe un Artikultionpunkte SS 09 0-
13 Anlye ergit: T = O( E log V ) Anlye un Bemerkungen (Bewei iehe [Turu 004]). Bemerkungen: - Der hier ehrieene Algorithmu geht zurük uf For un Fulkeron (956). Anlye von Krp un Emon (97). - Mn ehte, ei einem ihten Grphen (.h. E = O( V ) ie Lufzeit nwäht uf T = O( V 4 log V ) - E git inzwihen weentlih hnellere Algorithmen: Preflow-Puh-Algorithmu von Golerg, 985: T = O( V ). Mittel pezieller Dtentrukturen erreihte Golerg 988 ogr: T = O( E V log( V / E ). Prof. Dr. O. Bittel, HTWG Kontnz Algorithmen un Dtentrukuren Flüe un Artikultionpunkte SS 09 0-
14 0. Flüe un Artikultionpunkte Flüe in Netzwerken Artikultionpunkte Prof. Dr. O. Bittel, HTWG Kontnz Algorithmen un Dtentrukuren Flüe un Artikultionpunkte SS
15 Artikultionpunkt Ein ungerihteter Grph heißt zummenhängen (engl. onnete), fll e für jeen Knoten einen Weg zu jeem neren Knoten git. Eine Zummenhngkomponente eine ungerihteten Grphen G it ein mximl zummenhängener Teilgrph. Ein Knoten heißt Artikultionpunkt (Artikultion me. = Gelenk; engl. rtiultion point), wenn ein Wegfll ie Anzhl er Zummenhngkomponenten erhöht. Ein Grph heißt zweifh zummenhängen (engl. ionnete), fll er keinen Artikultionpunkt eitzt. Ziel: Betimme in einem ungerihteten Grphen lle Artikultionpunkte. B A Ein ungerihteter Grph G mit en Artikultionpunkten C un D. C D F G \ {C} zerfällt in Zummenhngkomponenten G H E G \ {D} zerfällt in Zummenhngkomponenten. Prof. Dr. O. Bittel, HTWG Kontnz Algorithmen un Dtentrukuren Flüe un Artikultionpunkte SS
16 Tiefenuhwl mit Rükwärtknten (TR) Stellt mn ie Tiefenuhe grphih r, ergit ih er Tiefenuhwl. Der Tiefenuhwl eteht u Vorwärtknten. Zuätzlih wir er Tiefenuhwl ergänzt um Rükwrtknten. Rükwrtknten in Knten, ie einen Knoten mit einem ereit früher euhten Knoten verinen jeoh niht en unmittelr vor euhten Knoten. Akürzung TR für Tiefenuhwl mit Rükwärtknten. B A H I B A H I J C C D F D G J G E F E TR, er mit A eginnt Vorwärtknten un Rükwärtknten Prof. Dr. O. Bittel, HTWG Kontnz Algorithmen un Dtentrukuren Flüe un Artikultionpunkte SS
17 Vorfhre un Rükwärtweg Knoten v it Vorfhre von w, fll e im TR einen Weg von v nh w git, er nur u Vorwärtknten eteht. Ein Rükwärtweg it ein Weg in einem TR mit einer elieig lngen (evtl. leeren) Folge von Vorwärtknten un nn genu einer Rükwärtknte. A F E D C G B Beipiele: C it Vorfhre von D, E, F un G E F D it ein Rükwärtweg B C D A it ein Rükwärtweg E F D A it kein Rükwärtweg Prof. Dr. O. Bittel, HTWG Kontnz Algorithmen un Dtentrukuren Flüe un Artikultionpunkte SS
18 Betimmung von Artikultionpunken (W) (NW) Die Wurzel it ein Artikultionpunkt, wenn ie mehr l ein Kin ht. Ein Knoten v Wurzel it ein Artikultionpunkt, fll v im TR ein Kin ht, von em e keinen Rükwärtweg zu einem Vorfhren von v git. B A C A B G B A C C D F D D G G E E E F F TR, er mit Knoten C eginnt C it Artikultionpunkt wegen (W) D it Artikultionpunkt wegen (NW) TR, er mit Knoten A eginnt C un D in Artikultionpunkte wegen Regel (NW) Prof. Dr. O. Bittel, HTWG Kontnz Algorithmen un Dtentrukuren Flüe un Artikultionpunkte SS
19 Zuätzlihe Nummerierungen im TR TSNr[v]: git für jeen Knoten v en Beuhzeitpunkt ei er Tiefenuhe n. MinNr[v]: ie kleinte TSNr eine Knoten w, er von v üer einen Rükwärtweg erreiht weren knn. Fll e von v keine Rükwärtwege git, it MinNr[v] = TSNr[v]. A, B A B, C, C D F D 4, G 7,7 G E F E 6,4 5,4 TR mit TSNr un MinNr Regel (NW) lät ih mit wie folgt umetzen: Knoten v (ußer Wurzel) it genu nn ein Artikultionpunkt, wenn v ein Kin w ht mit MinNr[w] ³ TSNr[v]. Prof. Dr. O. Bittel, HTWG Kontnz Algorithmen un Dtentrukuren Flüe un Artikultionpunkte SS
20 Berehnung von MinNr MinNr[v] = Minimum von (M) TSNr[v], (M) kleinter Wert von TSNr[w] für lle Rükwärtknten (v,w) (M) kleinter Wert von MinNr[w] für lle Vorwärtknten (v,w) B A A, B, C D F D 4, C, G 7,7 G E E 5,4 F 6,4 TR mit TSNr un MinNr Prof. Dr. O. Bittel, HTWG Kontnz Algorithmen un Dtentrukuren Flüe un Artikultionpunkte SS
21 Algorithmu zur Betimmung von Artikultionpunkten () Set<Vertex> viite; int ounter; int[ ] TSNr; int[ ] MinNr; Vertex[ ] p; puli voi finartpoint(grph g) { viite = Æ; ounter = ; } for (jeen Knoten v) if (! viite.ontin(v) ) finartpoint(g, v); privte voi finartpoint(grph g, Vertex v) { //. nähte Seite } Glole Vrilen: ounter ient zum Hohzählen er Beuhzeitpunkte. TSNr un MinNr wie oeen ehrieen. p[v] peihert en im TR zu v gehörenen Elternknoten. finartpoint(g) git lle Artikultionpunkte e ungerihteten Grphen g u. finartpoint(g,v) trtet eine rekurive Tiefenuhe ei Knoten v. Behte: Die Prüfung, o eine Wurzel ein Artikultionpunkt it (Regel (W)), wure einfhheithler weggelen. Prof. Dr. O. Bittel, HTWG Kontnz Algorithmen un Dtentrukuren Flüe un Artikultionpunkte SS 09 0-
22 Algorithmu zur Betimmung von Artikultionpunkten () Set<Vertex> viite; int ounter; int[ ] TSNr[n]; int[ ] MinNr; int[ ] p; //... Glole Vrilen: ounter ient zum Hohzählen er Beuhzeitpunkte. TSNr un MinNr wie oeen ehrieen. p[v] peihert en im TR zu v gehörenen Elternknoten. privte voi finartpoint(grph g, Vertex v) { viite.(v); TSNr[v] = ounter++; MinNr[v] = TSNr[v]; // (M) } for (jeen Nhrn w von v ) { if (! viite.ontin(w)) { p[w] = v; finartpoint(g, w); if (MinNr[w] >= TSNR[v]) println(v + it ein Artikultion-Punkt ); MinNr[v] = Minimum(MinNr[v], MinNr[w]); // (M) } ele if (p[v]!= w) // (v,w) it Rükwärtknte MinNr[v] = Minimum(MinNr[v], TSNr[w]); // (M) } Prof. Dr. O. Bittel, HTWG Kontnz Algorithmen un Dtentrukuren Flüe un Artikultionpunkte SS 09 0-
Teil 2: Graphenalgorithmen
Teil : Grphenlgorithmen Anwenungen Definitionen Dtentrukturen für Grphen Elementre Algorithmen Topologihe Sortieren Kürzete Wege Miniml ufpnnene Bäume Flüe in Netzwerken Zummenhngkomponenten M.O.Frnz,
Wurzelbäume. Definition 1
Wurzeläume Definition 1 Ein Wurzelum (oer uh gerihteter Bum) ist ein gerihteter zyklisher Grph, in em genu ein Knoten w Eingngsgr 0 esitzt un lle neren Knoten Eingngsgr 1 esitzen. Knoten w heißt ie Wurzel
a) Behauptung: Es gibt die folgenden drei stabilen Matchings:
Musterlösung - ufgenltt 1 ufge 1 ) ehuptung: Es git ie folgenen rei stilen Mthings: ies knn mn ntürlih für ein so kleines eispiel urh etrhten ller möglihen 3! = 6 Mthings eweisen. Mn knn er uh strukturierter
Vorlesung Diskrete Strukturen Transportnetze
Vorlesung Diskrete Strukturen Trnsportnetze Bernhr Gnter WS 2009/10 Gerihtete Grphen Ein shlingenloser gerihteter Grph ist ein Pr (V, A), woei V eine elieige Menge ist, eren Elemente wir Eken nennen un
Graphen vielseitig verwendbar zur Repräsentation von Zusammenhängen, etwa:
7. Grphentheorie Grphen vielseitig verwenr zur Repräsenttion von Zusmmenhängen, etw: Stäte Personen Aktionen... Verinungswege Reltionen zwishen ihnen zeitlihe Ahängigkeiten Def. 7.1: Ein gerihteter Grph
Kürzeste Wege. möglich ist 6. Füge v zu S hinzu und setze d[v] d [v] (u,v) E. Datenstrukturen und Algorithmen 14. Elementare Graphalgorithmen
![Kürzeste Wege. möglich ist 6. Füge v zu S hinzu und setze d[v] d [v] (u,v) E. Datenstrukturen und Algorithmen 14. Elementare Graphalgorithmen](/thumbs/71/64497347.jpg "Kürzeste Wege. möglich ist 6. Füge v zu S hinzu und setze d[v] d [v] (u,v) E. Datenstrukturen und Algorithmen 14. Elementare Graphalgorithmen")
Algorithmus von Dijkstr: 1. Es sei S ie Menge er enteckten Knoten. Invrinte: Merke optimle Lösung für S: Für lle v S sei [v] = δ(s,v) ie Länge es kürzesten Weges von s nch v 3. Zu Beginn: S={s} un [s]=
15. Kürzeste Wege. SS 2017 DuA - Kapitel 15 1
5. Kürzeste Wege t s SS DuA - Kpitel 5 Gewichtete Grphen Ein gewichteter Grph G ist ein Pr (V,E) zusmmen mit einer Gewichtsfunktion w, woei E V V un w: E IR. Für e E heißt w(e) s Gewicht von e. Für einen
Shortest Path Algorithmus von Edsger Dijkstra
Shortest Pth Algorithmus von Esger Dijkstr Mihel Dienert 16. Dezemer 2010 Inhltsverzeihnis 1 Shortest Pth Algorithmus 1 1.1 Grphen................................. 1 1.2 Knoten..................................
Relationen: Verkettungen, Wege, Hüllen
FH Gießen-Frieerg, Sommersemester 00 Lösungen zu Üungsltt 9 Diskrete Mthemtik (Informtik) 9./. Juni 00 Prof. Dr. Hns-Ruolf Metz Reltionen: Verkettungen, Wege, Hüllen Aufge. Es ezeihne R ie Reltion {(,
Durch die Umformung ergibt sich eine Schaltfunktion mit einer minimalen Anzahl von Verknüpfungsoperationen, nämlich 2.
2 Die shltlgerishe Umformung von Shltfunktionen in Normlform soll m Beispiel er Umformung einer Mxterm-Normlform in eine Minterm-Normlform gezeigt weren. Beispiel: y = ) ( ) ( ) ( Es ietet sih ie Anwenung
6 Tiefensuche in ungerichteten Graphen: Zweifache Zusammenhangskomponenten
66 6 ZWEIFACHE ZUSAMMENHANGSKOMPONENEN 6 iefenshe in ngerihteten Grphen: Zeifhe Zsmmenhngskomponenten Der Algorithms ist gnz gen ersele ie im gerihteten Fll! Ailng 1 zeigt noh einml en gerihtete Fll n
Einführung in die Mathematik des Operations Research
Universität zu Köln Mthemtishes Institut Prof. Dr. F. Vllentin ufge ( + 7 = 0 Punkte) Einführung in die Mthemtik des Opertions Reserh Sommersemester 0 en zur Klusur (7. Juli 0). Es seien M = {,..., n },
Dreiecke können einerseits nach den Eigenschaften ihrer Seiten und andererseits nach ihren Winkeln benannt werden. Einteilung nach den Seiten:
gnz klr: Mthemtik 2 - s Ferienheft mit Erfolgsnzeiger 3 Rettungsring Eigenshften von reieken & Viereken Eigenshften von reieken Ein reiek ht immer 3 Ekpunkte, 3 Seiten un 3 Innenwinkel. ie eshriftung eines
Fragebogen 1 zur Arbeitsmappe Durch Zusatzempfehlung zu mehr Kundenzufriedenheit
Teilnehmer/Apotheke/Ort (Zus/1) Frgeogen 1 zur Areitsmppe Durh Zustzempfehlung zu mehr Kunenzufrieenheit Bitte kreuzen Sie jeweils ie rihtige(n) Antwort(en) in en Felern is n! 1. Worin esteht ie Beeutung
Eine endliche Folge von Operationen und Entscheidungen, die ein Problem in endlich vielen Schritten löst.
Formle Methoen er Informtik WS 00/0 Lehrstuhl für Dtennken un Künstliche Intelligenz ProfDrDrFJRermcher H Ünver T Rehfel J Dollinger Aufgenltt Besprechung in en Tutorien vom 000 ( Üungstermin) is 000 (is
Lineare Gleichungssysteme mit 3 und mehr Variablen
Linere Gleihungssysteme mit un mehr rilen Beispiel 1 mit rilen: 11 Zunähst estimmt mn ie rile, ie mn ls Erste eliminieren will. In iesem Fll soll von hinten nh vorn vorgegngen weren,.h. zuerst soll rile
Übungen zur Vorlesung Modellierung WS 2003/2004 Blatt 11 Musterlösungen
Dr. Theo Lettmnn Pderorn, den 9. Jnur 24 Age 9. Jnur 24 A x, A 2 x, Üungen zur Vorlesung Modellierung WS 23/24 Bltt Musterlösungen AUFGABE 7 : Es sei der folgende prtielle deterministishe endlihe Automt
Ausarbeitung zum Satz von Brahmagupta. Thimo Wanders Dozent: Dr. Marco Sobiech Proseminar Lineare Algebra
usreitung zum Stz von rhmgupt Thimo Wners ozent: r. Mro Soieh Proseminr Linere lger Sommersemester 2018 Inhltsverzeihnis 1 Einleitung 2 1.1 Nottion..................................... 2 2 Sehnenviereke
4. Modellierung mit Graphen
4. Moellierung mit Grphen Mo-5.1 Moellierung eshreit Ojekte un Beziehungen zwishen ihnen. Grphen eignen sih zur Moellierung für ein reites Aufgenspektrum. Ein Grph ist eine Astrktion us Knoten un Knten:
Grundzüge der Informationstheorie (2)
Bisherige Erkenntnisse zum Informtionsgehlt: Der Informtionsgehlt h eines Zeihens (einer Nhriht) ist um so höher, je unwhrsheinliher sein Auftreten ist: h = l [ /p ] = -l p Treten ie n Zeihen eines Zeihenvorrts
Größter gemeinsamer Teiler und kleinstes gemeinsames Vielfaches
Größter gemeinsmer Teiler un kleinstes gemeinsmes Vielfhes 1 Der größte gemeinsme Teiler (ggt) Zu jeer Zhl knn mn ihre Teilermenge ngeen. Τ0 {1; 2; ; 5; 6; 10; 15; 0} Τ {1; 2; ; ; 6; } Die gemeinsmen Teiler
x a 2 (b 2 c 2 ) (a + b 4 + a + weil Klammern nicht geschlossen oder Operationszeichen keine Terme verbinden.
Termnlyse Mthemtik. Klsse Ivo Blöhliger Terme Ein wihtiger Teil es mthemtishen Hnwerks esteht rin, Terme umzuformen. Dzu müssen einerseits ie Rehengesetze er reellen Zhlen verinnerliht sein, un nererseits
Automaten und formale Sprachen Notizen zu den Folien
Automten un formle Sprhen Notizen zu en Folien 1 Grunlgen un formle Beweise Venn-Digrmme (Folie 6) Im oeren Digrmm er Folie 6 sin zwei Mengen ngegeen: A un B. Es ist explizit ein Element von A ngegeen,
Vorlesung 24: Topological Sort 1: Hintergrund. Einführung in die Programmierung. Bertrand Meyer. Topological sort
Einführung in ie Progrmmierung Vorlesung 4: Topologil Sort : Hintergrun Bertrn Meer Letzte Üerreitung 3. Jnur 4 3 Topologil sort 4 Prouziere eine zu einer gegeenen Prtiellen Ornung komptile Vollstänige
Der Begriff der Stammfunktion
Lernunterlgen Integrlrehnung Der Begriff der Stmmfunktion Wir gehen von folgender Frgestellung us: welhe Funktion F x liefert ls Aleitung eine gegeene Funktion f x. Wir suhen lso eine Umkehrung der Aleitung
DOWNLOAD. Grundrechenarten 5./6. Klasse: Multiplikation. Mathetraining in 3 Kompetenzstufen
DOWNLOD rigitte Penzenstler 5./6. Klsse: Multipliktion Mthetrining in 3 Kompetenzstufen rigitte Penzenstler ergeorfer Unterrihtsieen Downlouszug us em Originltitel: Mthetrining in 3 Kompetenzstufen n 1:
Wirtschaftsmathematik - Übungen WS 2018
Wirtshftsmthemtik - Üungen WS 8 Bltt : Linere Alger. Gegeen ist eine eine 3 3 Mtrix C =( ij ) mit un eine Mtrix B = A ) Shreien Sie ie Mtrix C n! Y _] j i für ij
Informatik II SS Pumping Lemma für reguläre Sprachen (1/2) Pumping Lemma für reguläre Sprachen (2) Beweis
Pumping Lemm für reguläre Sprhen (1/2) Informtik II SS 2004 Teil 6: Sprhen, Compiler un Theorie 2 Ds Pumping Lemm ist eine Methoe, um herus zu finen, o eine Sprhe niht regulär. Prof. Dr. Dieter Hogrefe
Algorithmentheorie. 15 Suchen in Texten (1)
Algorithmentheorie 15 Suhen in Texten (1) Prof. Dr. S. Alers Suhe in Texten Vershiedene Szenrien: Sttishe Texte Literturdtennken Biliothekssysteme Gen-Dtennken WWW-Verzeihnisse Dynmishe Texte Texteditoren
Suche in Texten. Naiver Algorithmus. Knuth-Morris-Pratt-Algorithmus. Karp-Rabin-Algorithmus
Suhe in Texten Niver Algorithmus Knuth-Morris-Prtt-Algorithmus Krp-Rin-Algorithmus M.O.Frnz; Jnur 2008 Algorithmen und Dtenstrukturen - Textsuhe 2-1 Suhe in Texten Niver Algorithmus Knuth-Morris-Prtt-Algorithmus
Musterlösung zur Probeklausur zur Geometrie
UNIVERSITÄT ULM Institut für Zhlentheorie un Whrsheinlihkeitstheorie Musterlösung zur Proeklusur zur Geometrie Prof. Dr. Helmut Mier, Hns- Peter Rek Gesmtpunktzhl: 3 Punkte, Punkte= % keine Age. Gi Definitionen
Dank. 1 Determinierte endliche Automaten (DEAs) 2 Indetermnierte endliche Automaten (NDEAs) 3 Automaten mit ε-kanten
Dnk Vorleung Grundlgen der Theoretichen Informtik / Einführung in die Theoretiche Informtik I Bernhrd Beckert Diee Vorleungmterilien ieren gnz weentlich uf den Folien zu den Vorleungen von Ktrin Erk (gehlten
Fluß. Flußnetzwerk. Definition 6.2. Es sei N = (G, c, s, t) ein Flußnetzwerk. Für einen Knoten
6. Flüe un Zuornungen Fluß In ieem Kapiel weren Bewerungen von Kanen al maximale Kapaziäen inerpreier, ie üer iee Kane pro Zeieinhei ranporier weren können. Wir können un einen Graphen al Verorgungnezwerk
Wirtschaftsmathematik - Übungen SS 2018
Wirtshftsmthemtik - Üungen SS 8 Bltt : Linere Alger. Gegeen sin ie Punkte P =( 3, ) un =(6, ). Bestimmen Sie ie Prmeterrstellung er Geren urh iese Punkte! Zeihnen Sie iese Gere! Wie lutet ie Koorintenrstellung
1 Planarbeit Planarbeit
Erreiten Sie sih shrittweise ie folgenen Themen. Notieren Sie gegeenenflls zu jeem Them Frgen. Lösen Sie jeweils ie zugehörige Kontrollufge. Kontrollieren Sie Ihre Lösung mit er Musterlösung. Lösen Sie
Suche in Texten: Suffix-Bäume
Suhe in Texten: Suffix-Bäume Prof. Dr. S. Alers Prof. Dr. Th. Ottmnn 1 Suhe in Texten Vershiedene Szenrios: Dynmishe Texte Texteditoren Symolmnipultoren Sttishe Texte Literturdtennken Biliothekssysteme
Teil III: Kreise, Rundreisen, Transportnetze
Teil III: Kreie, Rundreien, Trnportnetze 1. Kreie 2. Trveling Slemn Problem 3. Trnportnetzwerke Frnz-Joef Rdermcher & Uwe Schöning, Fkultät für Ingeneurwienchften und Informtik, Univerität Ulm, 2009/2010
Automaten und formale Sprachen Notizen zu den Folien
5 Ds Pumping Lemm Shufhprinzip (Folie 137) Automten und formle Sprhen Notizen zu den Folien Im Blok Ds Shufhprinzip für endlihe Automten steht m n (sttt m > n), weil die Länge eines Pfdes die Anzhl von
Stabile Hochzeiten wie und warum?
Stile Hohzeiten wie un wrum? Tg er Mthemtik HU erlin 25. pril 2009 Stefn elsner TU erlin, Mthemtik felsner@mth.tu-erlin.e Ws sin stile Hohzeiten? Gegeen: Menge von ruen, M Menge von Männern, = M. Jee Person
Aufgaben Mikroökonomie (mit Lösungen) 3 Wahl des Konsumenten
Aufgen Mikroökonomie (mit Lösungen) 3 Whl des Konsumenten Budgetgerde Ein Konsument verfügt üer ein Einkommen von 300, ds er gnz für den Kuf des Gutes A und/oder B usgit. Eine Einheit A kostet 3 und eine
Hans U. Simon Bochum, den Annette Ilgen. Beispiele zur Vorlesung. Theoretische Informatik. WS 08/09
Hns U. Simon Bohum, den 7..28 Annette Ilgen Beispiele zur Vorlesung Theoretishe Informtik WS 8/9 Voremerkung: Hier findet sih eine Smmlung von Beispielen und Motivtionen zur Vorlesung Theoretishe Informtik.
Gruppe A Bitte tragen Sie SOFORT und LESERLICH Namen und Matrikelnr. ein, und legen Sie Ihren Studentenausweis bereit.
Gruppe A Bitte trgen Sie SOFORT und LESERLICH Nmen und Mtrikelnr. ein, und legen Sie Ihren Studentenusweis ereit. 1. Leistungsüerprüfung AUS DATENMODELLIERUNG (184.685) GRUE A 16.04.2013 Mtrikelnr. Fmiliennme
Wurzel b bedeutet: Suche die Zahl, die mit sich selbst multipliziert gerade die Zahl ergibt, die unter der Wurzel steht.
/0 Areitsltt Wurzel edeutet: Suhe die Zhl, die mit sih selst multipliziert gerde die Zhl ergit, die unter der Wurzel steht. Also: - suhe eine Zhl, die mit sih selst multipliziert, genu ergit. Die Lösung
Geometrie. Inhaltsverzeichnis. 8.1 Der Satz von Ptolemäus und sein klassischer Beweis. Der Satz von Ptolemäus. 8 Der Satz von Ptolemäus
Der Stz von Ptolemäus 1 Geometrie Der Stz von Ptolemäus Autor: Peter Anree Inhltsverzeihnis 8 Der Stz von Ptolemäus 1 8.1 Der Stz von Ptolemäus un sein lssisher Beweis........... 1 8.2 Verhältnis er Digonlen
TECHNISCHER BERICHT. 2. Übungsprogramm: Sphärische Geometrie 1. AUFGABENSTELLUNG:...3
Gnder Dniel 00099 GEOMATHEMATIK SS 00 TECHISCHER BERICHT. Üungprogrmm: Sphärihe Geometrie. AUFGABESTELLUG:.... LÖSUGSWEG:.... Skizze:.... Umrehnung der phärihen Ditnzen in Winkel:.... Berehnung ller fehlerfreien
Übungen zu CFGs (Daniel Siebert 2011, cc-by-nc-sa)
Üungen zu CFGs (niel ieert 2011, -y-n-s) nmerkungen: 1. Wenn niht explizit ngegeen gilt für lle CFGs s trtsymol. ie Terminl- un ihtterminlsymole ergeen sih us en Prouktionsregeln. 2. ufgentypen zur Einshätzung
Bruchrechnen. Faßt man zwei Drittel eines Ganzen zusammen, so schreibt man 3. Bezeichnungen bei Brüchen: Der Bruch als Quotient:
Bruhrehnen Zerlegt mn ein Gnzes (einen Li Brot, eine Torte, einen Apfel, einen Geletrg, eine Kreisflähe, ein Rehtek, eine Streke,... ) in,,... gleihe Teile, so heißt ein solher Teil (Bruhteil es Gnzen)
ping karlsruhe Mining Software Call Graphs Frank Eichinger
ping krlsruhe Motivtion Softwre Mining Cll-Grphen Grph Mining Trnsformtionen Auslik Mining Softwre Cll Grphs Frnk Eihinger Lehrstuhl Prof. Böhm Institut für Progrmmstrukturen und Dtenorgnistion (IPD) Universität
Lineare Algebra. Übungsblatt November Aufgabe 1. (4=2+2 Punkte) Sei V ein K-Vektorraum und seien v 1,..., v n V.
Goethe-Univesität Fnkfut Institut fü Mthemtik Linee Alge Wintesemeste 28/9 Pof. D. Jko Sti Mtin Lütke Üungsltt 5 3. Noveme 28 Aufge. (42+2 Punkte) Sei V ein K-Vektoum un seien v... v n V. () Sei K α n
Ober- und Untersummen, Riemann Integrale
Oer- und Untersummen, Riemnn Integrle 1. Ds Prolem des Fläheninhlts Ausgngspunkt für die Entwiklung des Integrlegriffs wren vershiedene Frgestellungen, u.. ds Prolem der Messung des Fläheninhltes eines
Warum Bäume? Teil 1: Suchen. Bäume: Begriffe und Eigenschaften (2) Bäume: Begriffe und Eigenschaften (1)
Wrum Bäume? Teil : Suhen Prolemstellung Elementre Suhverfhren Hshverfhren Binäre Suhäume (Wiederholung us Prog ) Bäume: Begriffe, Eigenshften und Trversierung Binäre Suhäume Gefädelte Suhäume Ausgeglihene
10 1 Grundlagen der Schulgeometrie. 1.3 Das Dreieck
10 1 Grundlgen der Shulgeometrie 13 Ds Dreiek In diesem shnitt findet lles in der ffinen Stndrdeene 2 = R 2 sttt Drei Punkte, und, die niht uf einer Gerden liegen, ilden ein Dreiek Die Punkte,, nennt mn
1. Motivation und Begriffe. Modelchecking. Hintergrund. Hintergrund. Schwache Fairness. Progress
1. Motivtion un Begriffe Moelheking VI. Firness Motivtion un Begriffe Firness in Kripkestrukturen Fires CTL*, CTL un LTL Fires Moelheking für CTL Firness in NuSMV Hintergrun Progress Shwhe Firness Strke
Grundwissen Mathematik 8.Klasse Gymnasium SOB. Darstellung im Koordinatensystem: Der Kreisumfang ist direkt proportional zu seinem Radius.
Gymso 1 Grundwissen Mthemtik 8.Klsse Gymnsium SOB 1.Funktionle Zusmmenhänge 1.1.Proportionlität Ändern sih ei einer Zuordnung die eiden Größen im gleihen Verhältnis, so spriht mn von einer direkten Proportionlität.
Algorithmen II Vorlesung am
Algorithmen II Vorlesung m 29.11.2012 Algorithmishe Geometrie: Shnitte von Streken Sweep-Line INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK PROF. DR. DOROTHEA WAGNER KIT Universität des Lndes Bden-Württemberg und
solche mit Textzeichen (z.b. A, a, B, b,!) solche mit binären Zeichen (0, 1)
teilung Informtik, Fh Progrmmieren 1 Einführung Dten liegen oft ls niht einfh serier- und identifizierre Dtensätze vor. Stttdessen reräsentieren sie lnge Zeihenketten, z.b. Text-, Bild-, Tondten. Mn untersheidet
VORKURS: MATHEMATIK RECHENFERTIGKEITEN, LÖSUNGEN. Dienstag
Lösungen Dienstg -- VORKURS: MATHEMATIK RECHENFERTIGKEITEN, LÖSUNGEN Dienstg Blok.. - 4 3y 6 3-6y 3-3 y -. - 3y 4 - y 9 - y -93. y 0,,y Sämtlihe Lösungsmethoden liefern hier whre Aussgen. Z. Bsp. «0 0».
5.2 Quadratische Gleichungen
Mthemtik mit Mthd MK..0 0_0_Qud_Gleih.xmd Einfhe qudrtishe Gleihungen. Qudrtishe Gleihungen ef.: Eine Gleihung, in der x höhstens qudrtish (in der zweiten Potenz) vorkommt, heißt qudrtishe Gleihung. Gewöhnlihe
Erkundungen. Terme vergleichen. Rechteck Fläche als Produkt der Seitenlängen Fläche als Summe der Teilflächen A B
Erkundungen Terme vergleihen Forshungsuftrg : Fläheninhlte von Rehteken uf vershiedene Arten erehnen Die Terme () is (6) eshreien jeweils den Fläheninhlt von einem der drei Rehteke. Ordnet die Terme den
Dank. Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I. Determiniert / indeterminiert. Teil III.
Dnk Vorleung Grundlgen der Theoretichen Informtik / Einführung in die Theoretiche Informtik I Bernhrd Beckert Diee Vorleungmterilien ieren gnz weentlich uf den Folien zu den Vorleungen von Ktrin Erk (gehlten
Mathematische Probleme, SS 2018 Dienstag 5.6. $Id: dreieck.tex,v /06/05 15:41:51 hk Exp $ 2.1 Dreiecksberechnung mit Seiten und Winkeln
Mthemtishe Proleme, SS 2018 Dienstg 5.6 $Id: dreiek.tex,v 1.43 2018/06/05 15:41:51 hk Exp $ 2 Dreieke 2.1 Dreiekserehnung mit Seiten und Winkeln Am Ende der letzten Sitzung htten wir den sogennnten Kongruenzstz
Kapitel 7: Flüsse in Netzwerken und Anwendungen Gliederung der Vorlesung
Gliederung der Vorleung. Falltudie Bipartite Graphen. Grundbegriffe 3. Elementare Graphalgorithmen und Anwendungen 4. Minimal pannende Bäume 5. Kürzete Pfade 6. Traveling Saleman Problem 7. Flüe in Netzwerken
Wirtschaftsmathematik - Übungen WS 2015/16
Wirtshftsmthemtik - Üungen WS 25/6 Bltt 2: Linere Alger. Gegeen sin ie Punkte P =( 2, 2) un =(4, ). ) Bestimmen Sie ie Prmeterrstellung er Geren urh iese Punkte! Zeihnen Sie ie Gere! Wie lutet ie Koorintenrstellung
Mathematische Probleme, SS 2013 Montag $Id: dreieck.tex,v /04/15 09:12:15 hk Exp hk $ 1.4 Dreiecksberechnung mit Seiten und Winkeln
Mthemtishe Proleme, SS 2013 Montg 15.4 $Id: dreiek.tex,v 1.5 2013/04/15 09:12:15 hk Exp hk $ 1 Dreieke 1.4 Dreiekserehnung mit Seiten und Winkeln In der letzten Sitzung htten wir egonnen die vershiedenen
Algorithmen auf Sequenzen Volltext-Indexdatenstrukturen: Suffixbäume
Algorithmen uf Sequenzen Volltext-Indexdtenstrukturen: Suffixäume Sven Rhmnn Genominformtik Universitätsklinikum Essen Universität Duisurg-Essen Universitätsllinz Ruhr Motivtion Bei wiederholten Suhen
Dank. 1 Determinierte endliche Automaten (DEAs) 2 Indeterminierte endliche Automaten (NDEAs) 3 Automaten mit epsilon-kanten
Dnk Vorleung Grundlgen der Theoretichen Informtik / Einführung in die Theoretiche Informtik I Bernhrd Beckert Diee Vorleungmterilien ieren gnz weentlich uf den Folien zu den Vorleungen von Ktrin Erk (gehlten
Vertragsbedingungen MAILOFANT Stand Januar 2011
Vertrgseingungen MAILOFANT Stn Jnur 2011 1 Funktionsweise 1.1 Beshreiung Der MAILOFANT ist ein revisionssiheres wesiertes E-Milrhiv, welhes E-Mils unveränerr un lükenlos rhiviert. 1.2 Anlge es Arhivs Der
Mathematik PM Rationale Zahlen. Ist a kein Vielfaches von b, so entsteht eine neue Zahl, Bruch oder rationale Zahl genannt. Sie bilden die Menge Q.
Mthetik PM Rtionle Zhlen Rtionle Zhlen. Einführung Die Gleihung = 9 ht ie Lösung. Z 9 9 Die Gleihung = ht ie Lösung. Z Definition Die Gleihung =, it, Z un 0, ht ie Ist kein Vielfhes von, so entsteht eine
Einführung in die Theoretische Informatik I/ Grundlagen der Theoretischen Informatik. SS 2007 Jun.-Prof. Dr. Bernhard Beckert Ulrich Koch.
Einführung in die Theoretishe Informtik I/ Grundlgen der Theoretishen Informtik SS 2007 Jun.-Prof. Dr. Bernhrd Bekert Ulrih Koh Nhklusur 25. 09. 2007 Persönlihe Dten itte gut leserlih usfüllen! Vornme:...
Kapitel 3: Deckabbildungen von Figuren - Symmetrie. 3.1 Die Gruppe (K,o) aller Kongruenzabbildungen einer Ebene
Gruppe er Kongruenzilungen 1 Gruppe er Kongruenzilungen 2 Kpitel 3: ekilungen von Figuren - Symmetrie 3.1 ie Gruppe (K,o) ller Kongruenzilungen einer Eene K ist ie Menge ller Kongruenzilungen E E; o ist
Fachgebiet Rechnersysteme 2. Übung Logischer Entwurf. Technische Universität Darmstadt. 4. Aufgabe. b) Minterm-Normalform
Fhgeiet Rehnersysteme 2. Üung Logisher Entwur Tehnishe Universität Drmstt 2. Üung Logisher Entwur 4. Auge 1 4. Auge 2. Üung Logisher Entwur 4. Auge 3 ) Minterm-Normlorm Geen sei ie ooleshe Funktion + +
KOMPETENZHEFT ZUR TRIGONOMETRIE, III
Mthemtik mht Freu(n)de KOMPETENZHEFT ZUR TRIGONOMETRIE, III 1. Aufgenstellungen Aufge 1.1. Zur Shneelsterehnung wird der Neigungswinkel α des in der nhstehenden Aildung drgestellten Dhes enötigt. Dei gilt:
Formale Systeme, Automaten, Prozesse SS 2010 Musterlösung - Übung 2 M. Brockschmidt, F. Emmes, C. Fuhs, C. Otto, T. Ströder
Prof Dr J Giesl Formle Systeme, Automten, Prozesse SS 2010 Musterlösung - Üung 2 M Brockschmidt, F Emmes, C Fuhs, C Otto, T Ströder Hinweise: Die Husufgen sollen in Gruppen von je 2 Studierenden us dem
Aufgabe 1. Die Zahl 6 wird aus 3 gleichen Ziffern mit Hilfe der folgenden mathematischen
Deprtment Mthemtik Tg der Mthemtik 5. Juli 008 Klssenstufen 9, 10 Aufge 1. Die Zhl 6 wird us 3 gleihen Ziffern mit Hilfe der folgenden mthemtishen Symole drgestellt: + Addition Sutrktion Multipliktion
Lösungen zum Ergänzungsblatt 4
en zum Ergänzungsltt 4 Letzte Änderung: 23. Novemer 2018 Theoretische Informtik I WS 2018 Crlos Cmino Vorereitungsufgen Vorereitungsufge 1 Sei M = ({p, q, r}, {, }, δ, p, {q, r}) ein DEA mit folgender
Aufgaben zu Karnaugh-Diagrammen und Quine-McCluskey
Weissenher Wintersteiger Digitltehnik Aufgen zu Krnugh-Digrmmen un Quine-MCluskey Für ie nhfolgenen Aufgen können Sie iese niht usgefüllten Krnugh-Digrmme ls Vorlge verwenen: 0 1 5 4 2 3 7 6 0 1 5 4 2
Kapitel 7 Kalender, Erinnerungen und Kontakte
Kpitel 7 Klener, Erinnerungen un Kontkte Zu einem orentlihen Smrtphone gehören ntürlih uh eine usgereif- te Klener- un Erinnerungsfunktion un eine gute Kontktverwltung. Beim iphone reiten lle iese Funktionen
4.1 Funktionsweise von Petrinetzen. 4. Spezifikation mit Petrinetzen. Motivation für Petrinetze. 4.1 Funktionsweise von Petrinetzen
4. Spezifiktion mit Petrinetzen 4. Funktionsweise von Petrinetzen 4. Funktionsweise von Petrinetzen 4.2 Erreihrkeitsgrphen un Üerekungsgrphen 4.3 S- un T-Invrinten 4.4 Werkzeuggestützte Anlyse von Petrinetzen
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 1 17.11.2010
R. rinkmnn http://rinkmnn-du.de Seite 7..2 Grundegriffe der Vektorrehnung Vektor und Sklr Ein Teil der in Nturwissenshft und Tehnik uftretenden Größen ist ei festgelegter Mßeinheit durh die nge einer Mßzhl
2.6 Reduktion endlicher Automaten
Endliche Automten Jörg Roth 153 2.6 Reduktion endlicher Automten Motivtion: Wir sind n Automten interessiert, die mit möglichst wenigen Zuständen uskommen. Automten, die eine Sprche mit einem Minimum n
Klausur über den Stoff der Vorlesung Grundlagen der Informatik II (90 Minuten)
Institut für Angewndte Informtik und Formle Beschreiungsverfhren 2.7.24 Klusur üer den Stoff der Vorlesung Grundlgen der Informtik II (9 Minuten) Nme: Vornme: Mtr.-Nr.: Semester: (SS 24) Ich estätige,
b) Das Restnetzwerk zu f sieht folgendermaßen aus:
Techniche Univeriä München Zenrum Mhemik Dikree Opimierung: Grundlgen (MA 0) Prof Dr R Hemmecke, Dr R Brndenerg, MSc-Mh B Wilhelm Üungl 7 Aufge 7 Die folgende Aildung zeig ein Nezwerk N mi einen Flukpziäen
Grundlagen der Technischen Informatik. Bausteine der Digitaltechnik - Binäre Schalter und Gatter. Kapitel 7.1
Busteine er Digitltehnik - Binäre Shlter un Gtter Kpitel 7. Dr.-Ing. Stefn Wilermnn ehrstuhl für rwre-softwre-co-design Entwurfsrum - Astrktionseenen SYSTEM-Eene + MODU-/RT-Eene (Register-Trnsfer) ogik-/gatter-eene
Bündelungsgrad und Abstandsfaktor
ünelungga un btanfakto Die Gleihung fü ie ieale Rihthaakteitik von ikofonen lautet ( o (: Übetagungfakto : Dukanteil : Gaientenanteil mit a l ünelungga bezeihnet man a Vehältni e von einem iealen mikofon
6. Übungsblatt. (i) Von welchem Typ ist die Grammatik G? Begründen Sie Ihre Antwort kurz.
Vorlesung Theoretische Informtik Sommersemester 2015 Prof. S. Lnge 6. Üungsltt 1. Aufge Es sei die folgende Grmmtik G = [Σ, V, S, R] gegeen. Dei seien Σ = {, } und V = {S, B}, woei S ds Strtsymol ist.
Volumen und Oberfläche von Prismen und Zylindern: Das Volumen und die Oberfläche sind für alle geraden Prismen und Zylinder wie folgt zu berechnen:
Körpererehnungen Grunwissen Grunwissen Viele mthemtishe Körper lssen sih us en eknnten geometrishen Grunkörpern zusmmensetzen: us geren Prismen, Zylinern, Kegeln, Pyrmien un Kugeln. Hinsihtlih er Oerflähen-
KAPITEL 1 EINFÜHRUNG: STABILE MATCHINGS
KPITEL 1 EINFÜHRUNG: STILE MTHINGS F. VLLENTIN,. GUNERT In iesem Kpitel weren wir ein erstes konkretes Prolem es Opertions Reserh kennenlernen. Es hnelt sih um s Prolem es stilen Mthings, ein wihtiges
Mathematik 17 Bruchrechnen 00 Name: Vorname: Datum: Lernziele:
Mthemtik 7 Bruhrehnen 00 Nme: Vornme: Dtum: Lernziele: Nr. Lernziel A Ih knn ie vier Grunopertionen (Aition, Subtrktion, Multipliktion un Division) uf Aufgben mit Brühen nwenen. B Ih knn ie vier Grunopertionen
Matrizen und lineare Gleichungssysteme
KAPITEL 0 Mtrizen un linere Gleihungssysteme 0 Mtrizen 2 02 Linere Gleihungssysteme 25 0 Guß-Algorithmus 25 0 Guß-Jorn-Algorithmus 26 05 Invertierre Mtrizen 266 06 Anwenungen von lineren Gleihungssystemen
1. Ableitung von Funktionen mit einer Veränderlichen
. Ableitung von Funktionen mit einer Veränerlichen. Algebrische Interprettion Die Ableitung einer Funktion f f f+ f = lim. 0 = ist efiniert ls In Worten usgerückt ist ie Ableitung er Grenzwert er Änerungsrte
Der Tigerschwanz kann als Stimmungsbarometer gesehen werden. a) Richtig b) Falsch. Tiger sind wasserscheu. a) Richtig b) Falsch
?37??38? Der Tigershwnz knn ls Stimmungsrometer gesehen werden. Tiger sind wssersheu.?39??40? Ds Gerüll der Tigermännhen soll die Weihen nloken. Die Anzhl der Südhinesishen Tiger eträgt nur mehr ) 2 )
Formelsammlung. 2 c 3. Wenn die Ebene durch die Gerade g und den Punkt g gehen soll, gilt: 3 und h : 2
Formelsmmlug Gere urh zwei Pukte A( 3 ) u B( 3 ) g AB : 3 Eee urh rei Pukte A( 3 ), B( 3 ) u C( 3 ) [Eee i Prmeterform] E ABC : 3 s 3 Eee urh Gere u Pukt. Sei P( p p p 3 ) u g : We ie Eee urh ie Gere g
Grundlagen: Algorithmen und Datenstrukturen
Grundlagen: Algorithmen und Datentrukturen Prof. Dr. Hanjo Täubig Lehrtuhl für Effiziente Algorithmen (Prof. Dr. Ernt W. Mayr) Intitut für Informatik Techniche Univerität München Sommeremeter H. Täubig
Grundwissenkatalog / g8 Geometrie / 7. Jahrgangsstufe
Grundwissenktlog / g8 Geometrie /. Jhrgngsstufe Die folgende ufstellung enthält mthemtishe Grundfertigkeiten, die ein Shüler nh der. Jhrgngsstufe eherrshen sollte. Dieses Wissen wird in den folgenden Jhren
a q 0 q 1 a M q 1 q 3 q 2
Prof Dr J Giesl Formle Systeme, Automten, Prozesse SS 2010 Musterlösung - Üung 4 M Brockschmidt, F Emmes, C Fuhs, C Otto, T Ströder Hinweise: Die Husufgen sollen in Gruppen von je 2 Studierenden us dem
Reduktion. Seien A Σ und B Γ. Man sagt A ist reduzierbar auf B (A B) gdw. von speziellem Interesse: Polynomialzeitreduktion
Reduktion Seien A Σ und B Γ. Mn sgt A ist reduzierr uf B (A B) gdw. f : Σ Γ. x Σ.x A f(x) B Í* * A B von speziellem Interesse: Polynomilzeitreduktion ( pol ), logrithmische-pltz- Reduktion ( log ). F3
1 Mein Wissen aus der 3. Klasse Beispiele
Mein Wissen us er. Klsse eispiele en Lösungen sin Wortteile zugeornet. Sie ergeen er Reihe nh einen mthemtishen egriff, en u in er. Klsse erehnen wirst! ei rzhlung wir vom Preis eines utos % Preisnhlss