4.1 Funktionsweise von Petrinetzen. 4. Spezifikation mit Petrinetzen. Motivation für Petrinetze. 4.1 Funktionsweise von Petrinetzen

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1 4. Spezifiktion mit Petrinetzen 4. Funktionsweise von Petrinetzen 4. Funktionsweise von Petrinetzen 4.2 Erreihrkeitsgrphen un Üerekungsgrphen 4.3 S- un T-Invrinten 4.4 Werkzeuggestützte Anlyse von Petrinetzen 4.5 Fllstuien 4.6 Äquivlenzen von Petri-Netzen Motivtion für Petrinetze Shltverhlten typishe Netzeigenshften Firness Motivtion für Petrinetze Moelle sollen zur Verifiktion möglihst einfh sein Generell git es zwei Arten von Informtionen in Moellen Dten, ie ereitet weren Aktionen (Trnsitionen), ie Dten verreiten; us Dten neue Dten erehnen Shltregel von Petrinetzen Eine Trnsition (Ksten oer Strih) knn shlten, wenn uf jeer eingehenen Knte einer Stelle (Kreis) minestens ein Token (gefüllter Punkt) liegt Beim Shlten wir ein Token von jeer Stelle einer eingehenen Knte weggenommen un ein Token uf jee Stelle einer usgehenen Knte gelegt Petrinetz-Anstz nh C. A. Petri (962) Stellen, ie Dten ufnehmen können Dten ls Token, ie uf Stellen liegen Trnsitionen nehmen Token us Stellen un legen neue Token uf evtl. nere Stellen

2 Beispiel für Shltmöglihkeiten Definition S/T-Netz (/2) {t} shltet {,} shltet {t,t4} shltet t t t t s s s s t4 t4 t4 t4 Definition (Petri-Netz): Ein Petri-Netz P =(S,T,G) esteht us einer Menge von Stellen S, einer Menge von Trnsitionen T un einem gerihteten Verinungsgrphen G, ei em nur Stellen mit Trnsitionen un Trnsitionen mit Stellen verunen sin, G (S T) (T S). Definition (Vorereih, Nhereih): Sei t T eine Trnsition eines Petri-Netzes, nn heißt pre(t) = {s S (s,t) G} Vorereih von t post(t) = {s S (t,s) G} Nhereih von t Definition (Mrkierung): Eine Mrkierung M eines Petrinetzes P=(S,T,G) ist eine Ailung, ie jeer Stelle es Netzes eine Anzhl von Token zuornet, M: S N Definition S/T-Netz (2/2) Definition (Shlten eines Netzes): Sei M eine Mrkierung eines Petri-Netzes P=(S,T,G), nn heißt eine Trnsition t ktiviert unter M, zw. knn t shlten unter M, wenn uf llen Stellen es Vorereihs von t minestens ein Token liegt,.h. für lle s pre(t): M(s) Eine Trnsitionsmenge T T ist zusmmen ktiviert, zw. knn zusmmen shlten, wenn genügen Mrken uh in en gemeinsmen Vorereihen liegen. Für lle s sei s pre(t ) ie Häufigkeit, mit er s in en Vorereihen von T vorkommt, s pre(t ) = {t T s pre(t)}, nn muss für lle s S: M(s) s pre(t ) Weiterhin sei s post(t ) = {t T s post(t)}. Sei M eine Mrkierung un T T ktiviert unter M, nn ht s Netz nh em Shlten ie Folgemrkierung M (geshrieen: M[T >M ), woei für lle s S gilt: M (s) = M(s)-s pre(t ) + s post(t ). Für eine Trnsition t T heißt s: M(s), flls s pre(t) post(t) oer s pre(t) post(t) M (s) = M(s)- flls s pre(t) un s post(t) M(s)+ flls s post(t) un s pre(t) 245 Anlyse es Shltverhltens s t t un sin jeweils ktiviert, {t,} ist niht ktiviert, nur ein Token uf s immer ktiviert, knn elieig viele Token erzeugen t4 t4 ktiviert, knn elieig viele Token (wenn vorhnen) von löshen 246

3 Petri-Netze ls Prozesse Firness ei Netzen Zu einem Petri-Netz wir immer eine Anfngsmrkierung M ngegeen, nn können Frgen us er Prozesswelt relevnt weren: knn s Netz terminieren: wir eine Mrkierung erreiht, unter er keine Trnsition mehr ktiviert ist terminiert s Netz immer: Netze niht-eterministish sin, können in vershieenen Aläufen vershieene Mrkierungen erreiht weren unerwünshte Terminierung = Delok wie ei Prozessen spielt ei Frgestellungen Firness für einen Ausführungspf M[t>M[>M2[... eine Rolle shwh fir: Trnsition, ie unenlih oft ktiviert ist, shltet uh strk fir: Trnsition, ie unenlih oft immer wieer ktiviert ist, shltet uh t t unfir terminiert s Netz niht, shwh fir terminiert es, immer t ktiviert unfir un shwh fir terminiert s Netz niht, strk fir terminiert es, immer wieer t ktiviert Spezielle Netze In unserer Definition können elieig viele Token uf einer Stelle liegen, weiterhin ewegt jee Trnsition pro Stelle nur ein Token s 2 3 Vrinte : Die Knten es Netzes weren gewihtet, z,b. t zieht zwei Token von s (enötigt iese) un erzeugt rei Token uf Erreihrkeits- un Üerekungsgrphen Erreihrkeit von Mrkierungen Erreihrkeitsgrph Üerekungsgrph Vrinte 2: Die Tokennzhl pro Stelle wir egrenzt, es ürfen mximl mx(s)-token uf einer Stelle s liegen,.h. zum Shlten muss sihergestellt sein, ss uf post(s) genügen Pltz ist Vrinte 2.: Es wir für lle Stellen s mx(s)= gesetzt, entweer ein Token vorhnen oer niht Vrinte ist usruksmähtig wie S/T-Netze Vrinten 2 un 2. usruksmähtig wie enlihe Automten 249 Aus Grphen leitre Erkenntnisse 25

4 Erreihre Mrkierungen Definition (Erreihre Mrkierungen): Sei M eine Mrkierung eines Petri-Netzes P=(S,T,G), nn ezeihnet Erreihr(P,M) ie Menge ller von M us erreihren Mrkierungen. Forml: Erreihr(P,M)={ M es git ein i mit i n un Trnsitionen ti T, sowie Mrkierungen Mi, so ss es eine Trnsitionsfolge M [t> M [> M2... [tn> Mn=M git} Ahängig vom Petrinetz knn Erreihr(P,M) enlih oer unenlih sein. 25 Erreihrkeitsgrph (uh: Fllgrph) Mn knn lle erreihren Mrkierungen (Zustäne) in einen Grphen eintrgen un Knten mit gefeuerten Trnsitionen eshriften: s t (,2,,) (,,,) (,2,,) (2,,,) Prolem: Erreihrkeitsgrph niht immer enlih (nur grntiert ei Stellenkpzitätseshränkung) t, (2,,,) t (,,,) 252 t t, t t Formle Definition es Erreihrkeitsgrphen Definition (Erreihrkeitsgrph): Sei M eine Mrkierung eines Petri-Netzes P=(S,T,G), nn heißt ein Grph G=(Erreihr(P,M), Tr), woei Tr Erreihr(P,M) 2 T Erreihr(P,M) genu ie Knten (M,T,M ) enthält, für ie es eine Menge von Trnstionen T T mit M [T > M git, Erreihrkeitsgrph (oer uh Fllgrph) von P un M. 2 T ezeihnet ie Potenzmenge von T Ein Erreihrkeitsgrph knn nur nn sinnvoll rgestellt weren, wenn Erreihr(P,M) enlih ist. Ornung uf Mrkierungen Möhte mn einen enlihen Grphen zur Drstellung er Zustnsfolgen, ist ie Iee, wenn ie Werte einer erreihten Mrkierung M eht größer ls ie Werte einer vorher erreihten Mrkierung M sin, nn knn ie Tokennzhl n en Stellen elieig steigen, n enen ie Tokennzhl gestiegen ist. M > M: für lle s S: M (s) M(s) un es git ein s S: M (s)>m(s) gilt M >M un für eine Stelle s mit M (s)>m(s), nn können uf s elieig viele Token erzeugt weren. z. B. (,4,,) > (,3,,),.h. (,x,y,) mit elieig großen x un y erreihr niht jee x,y-komintion erreihr

5 Üerekungsgrph Üerekungsgrph wir wie Erreihrkeitsgrph konstruiert, llerings, wenn M > M für vorher uf em Pf hin erehnete Mrkierungen wir für lle Stellen s mit M (s)>m(s), wir sttt M (s) er Wert ω für unenlih eingetrgen (es weren lle isher erreihten M etrhtet) s Aus em Üerekungsgrphen lässt sih lesen, welhe Stellen eshränkt, zw. uneshränkt sin; ei uneshränkten Stellen knn ie Tokennzhl elieig whsen (,,) (,,) (,, ω) (,, ω) 255 Üerekungsgrph niht eineutig [Rei] (,,) s 2 (,,) 4 6 (,,) (,ω,ω) 3 5 (,,) : git Areitsshrittnummer n 7 Anmerkung: 8 (,,) (,ω,ω) muss niht 3 5 eeuten, ss elieige (,x,y) (,,) (,,ω) (,ω,ω) 2 4 erreiht weren 6 können 256 Theoretishe Aussgen zu Petri-Netzen Die Frge für ein gegeenes Petri-Netz, o eine Mrkierung erreihr ist, ist unensheir Die Frge für ein gegeenes Petri-Netz, o eine Mrkierung M üerekt weren knn, ist entsheir (konstruiere Üerekungsgrph, nlysiere lle Mrkierungen M, flls M M, nn üerekr) Sin lle Stellen eshränkt, sin ie gennnten Proleme trivil entsheir 4.3 S- un T-Invrinten Typishe zu prüfene Eigenshften Netze ls Mtrizen T- Invrinten S-Invrinten

6 Typishe Frgen n Netzmoelle Ist s Netz leenig? (Knn immer eine neue Trnsition shlten?) Ist ie Tokennzhl für lle (für estimmte) Stellen eshränkt? Bleit ie Tokennzhl für estimmte Stellen konstnt (z. B. für wehselseitigen Ausshluss?) Wir zyklish urh shltene Trnsitionen immer wieer ie gleihe Sitution erzeugt? Mtrixrstellung von Netzen Jees Petrinetz P knn urh eine Mtrix Mtrix(P) rgestellt weren, Trnsitionen geen n, von welhen Stellen Token entfernt weren, n welhe Stellen Token gelegt weren Anfngsmrkierung (generell Mrkierungen) ls Vektor rstellr s Anfng s Shlten entspriht nn Summenilung von Vektoren (z. B. Anfng +) Beeutung er Mtrixmultipliktion T-Invrinten informell s * i eeutet, ss,, jeweils einml, null-ml usgeführt wure e eshreit ie Veränerung er Ausgngsmrkierung, s un hen genuso viele Token wie vorher, un verlieren ein Token, gewinnt ein Token i eshreit niht, in welher Reihenfolge ie Trnsitionen usgeführt weren i grntiert niht, ss Trnsitionen (in ieser Reihenfolge) usführr, Mtrixmultipliktion uh mit negtiven Werten reitet, z.... usführr,.. niht i = e - - Petri-Netze eignen sih gut, sih wieerholene Prozesse, z. B. Steuerungen zu moellieren Nh einem Durhluf soll möglihst ie gleihe Sitution wieer hergestellt sein Frge: git es Shltsequenzen, ie ie gleihe Sitution wieer herstellen? Die Häufigkeit er enutzten Trnsitionen wir T- Invrinte gennnt Im Beispiel: Shltsequenzen. un., forml i()=, i()=, i()=, i()=; i()=, i()=, i()=, i()=; s

7 T-Invrinten Beispiel: Lösung es Gleihungssystems (/2) Eine Mrkierung M eines Netzes P heißt reprouzierr, wenn es eine niht leere Folge von Trnsitionen mit M[t>M[>...[tn>Mn=M git, ei müssen ie ti un Mrkierungen Mi niht untershielih sein. Sei Mtrix(P) ie Mtrix es Netzes P. Dnn heißt eine Lösung i er Gleihung Mtrix(P)*i= T-Invrinte von P. Anshulih git i(t) n, wie häufig eine Trnsition für eine reprouzierre Mrkierung shlten muss Stz: P esitzt genu nn eine positive T-Vrinte i (für lle t: i(t), für minestens ein t i(t)>), wenn P eine reprouzierre Mrkierung ht Ahtung: Niht jee positive T-Invrinte knn relisiert weren,.h. in eine möglihe Shltfolge üersetzt weren (hängig von Anfngsmrkierung) un 4. Zeile tushen, neue. Zeile zur 3. un 4. Zeile ieren * i i2 i3 i4 = 3. Zeile = 3. Zeile 2. Zeile 5. Zeile = 5. Zeile + 2. Zeile Beispiel: Lösung es Gleihungssystems (2/2) Beispiel: T-Invrinte - - * i i2 i3 i4 = t s mn erhält, ss i4=λ un i3=λ2 frei wählr sin 2. Zeile ergit i2=i4=λ. Zeile ergit i=i3=λ2 Lösungsrum: j * + k * j=, k=: i()=, i()=, i()=, i()=,. usführr,. niht j=, k=: i()=, i()=, i()=, i()=. usführr,. niht j=, k=: i()=, i()=, i()=, i()=...,... usführr, Rest z. B.... niht 265 i() = λ i() = λ i(t)=i()+i()= 2 λ z.b. i(t)=2, i()=, i()= Anlysieren, o eine er Shltfolgen, ie zweiml t un je einml un enthlten, relisierr sin: t..t., t.t.. sin relisierr, lle neren niht 266

8 T-Invrinten eventuell niht nutzr s t Netz mit T-Invrinte i mit i(t)=i()=i(t5)=i(t6)= un i()=i(t4)= Invrinte ist niht relisierr [Rei] Nh Stz existiert er Mrkierung, ie T-Invrinte nutzt: M(s)=, M()= t4 s6 267 t5 t6 S-Invrinte informell Ds Netz soll für en wehselseitigen Ausshluss stehen. Informell, immer nur mximl ein Token uf oer ein Anstz: Berehne Erreihrkeitsgrph oer Üerekungsgrph Grph-Berehnung oft reht ufwänig, folgener Anstz zeigt, ss mn leiht Invrinten erehnen knn S-Invrinte: Gegeen eine Teilmenge von Stellen, nn leit ie Anzhl er Token uf iesen Stellen immer gleih im Beispiel: Wenn,, eine S-Invrinte wäre, nn wäre uh wehselseitiger Ausshluss gezeigt 268 s Berehnung von S-Invrinten Definition (S-Invrinte): Sei Mtrix(P) ie Mtrix zu einem Petrinetz P un Mtrix (P) eren trnsponierte Mtrix nn sin S-Invrinten urh Lösung es lineren Gleihungssystem Mtrix (P) * x = estimmt. Trnsponieren: ie i-te Zeile von Mtrix(P) von links nh rehts gelesen zur i-ten Splte von Mtrix (P) von oen nh unten gelesen. D ie Lösung x nn genu S Zeilen ht, knn mn ie einzelnen Werte irekt er Mtrix zuornen, lso für ein s S uh x(s) shreien. S-Invrinten hen ntürlih nur einen Sinn, wenn lle Mrkierungswerte positiv un gnzzhlig sin. Beispielerehnung S-Invrinte un 3. Zeile tushen 2. un 4. Zeile tushen 3. Zeile= 3.Zeile +. Zeile 4. Zeile= 4.Zeile +2- zeile - - x x2 * x3 = x4 x5 Lösungsrum - - i* + j* + k* x3= λ, x4= λ2, x5= λ3 x2+x3-x5=.h. x2= - λ + λ3 x+x3-x4=.h. x=- λ+ λ

9 Interprettion er Lösung Aussgen üer S-Invrinten s - - i* + j* + k* i=, j=, k=: (,,,,), Summe er Token uf s un leit konstnt i=, j=, k=: (,,,,), Summe er Token uf un leit konstnt i=, j=, k=: (,,,,), Summe er Token uf, un leit konstnt ( hier nur ein Token, gilt wehselseitiger Ausshluss) oige rei Invrinten: Netz mit Invrinten üerekt i=, j=2, k=2: (,,,2,2), M(s)+M()+M()+2*M() +2*M() leit konstnt Definition: Eine S-Invrinte heißt positiv, wenn lle Werte größer-gleih un minestens ein Wert größer ls Null ist Definition: Ein Netz P heißt von S-Invrinten üerekt, wenn es für jee Stelle es Netzes eine positive S-Invrinte git, eren Wert für iese Stelle größer Null ist Stz: Ist ein Netz mit S-Invrinten üerekt, git es eine S-Invrinte, ie für lle Stellen einen Wert größer Null ht Stz: Ist ein Netz N von S-Invrinten üerekt, nn ist N eshränkt,.h. für lle Stellen git es eine mximle Anzhl von Token, ie erreiht weren knn (nn ist er Üerekungsgrph gleih em Erreihrkeitsgrphen) Werkzeuggestützte Anlyse von Petrinetzen Beispiel- Werkzeug: NetL für Winows (Üersiht) Üerlik Netl Spezifiktion von Stellen Spezifiktion von Trnsitionen Durhführung es Tokenspiels Berehnung von Erreihrkeits- un Üerekungsgrphen Berehnung un Visulisierung von S- un T- Invrinten Bereiten Stellen eingeen Trnsitionen eingeen Knten eingeen Nme Nummer (utomtish) Nme Nummer (utomtish) ktuelle Token/ mx. Token Institut für Regelungstehnik, RWTH Ahen, Leitung Prof. Dr. D. Ael Einfhe S/T-Netze mit Simultion un Invrintenerehnung keine shltenen Trnsitionsmengen (nur Interleving)

10 Bereitung einer Stelle zw. eines Knotens Bereitung einer Trnsition Anzhl er Mrken m Anfng (soll Anzhl unenlih sein) mximle Tokennzhl Stelle ist uneshränkt ngezeigter Nme ngezeigter Nme Nummer (eitierr, leit immer eineutig) Tokenspiel in Netl Berehung er Grphen Strt/Beenigung es Tokenspiels usführre Trnsitionen mit eteiligten Stellen sin umrnet Shlten urh Klik uf Trnsition

11 Berehnung un Anzeige von S-Invrinten 4.5 Fllstuien Geshäftsprozessmoellierung Dinierene Philosophen Delokvermeiung T-Invrinten nlog ls umrhmte Trnsitionen Prozessmoellierung Projektplnung Dmit vershieene Menshen (genuer Rollen) zusmmenreiten können, muss geregelt sein, wnn ws pssiert; ies sin Prozesseshreiungen Wer (verntwortlih) mht mit wem (mitwirken, erten) wnn (welhe Beingungen müssen eingetreten sein, welhe Eingngsproukte müssen vorliegen) ws (welhe Detilshritte sin urhzuführen) mit welhen Hilfsmitteln (z.b. welhe SW, welhe Stnrs un Guielines) wo (n welhen Orten) um welhes Ergenis (Ergenisproukt un Zustn es Ergenisses) zu erreihen. Diese Prozesse sin zu okumentieren un zu pflegen (z. B. n neue Beingungen nzupssen); eine zentrle Aufge es Qulitätsmngements Prozessläufe urh Petrinetze eshreir, Token sin zu ereitene Ojekte, Trnsitionen sin Bereitungsshritte Semntik von UML-Aktivitätsigrmmen forml mit Petrinetzen efiniert

12 S-Invrinten er Projektplnung Verknüpfung von Prozessen jee Stelle mximl ein Token Projektplnung Risikoverwltung Dinierene Philosophen (/4) Dinierene Philosophen (2/4) Drei Philosophen hen sih zum Spghetti- Essen getroffen. In er Mitte steht ein Topf mit Nueln. Zwishen zwei Philsophen liegt jeweils eine Gel. Wenn ein Philosoph Hunger ht, nimmt er ie linke un ie rehte Gel, isst un legt ie Geln wieer weg. Nueln

13 Dinierene Philosophen (3/4) Dinierene Philosophen (4/4) Erreihrkeitsgrph zeigt Delok Delok urh Regeln (z. B. wer nimmt in welher Reihenfolge) vermeir Äquivlenzen von Petri-Netzen Prllelkomposition von Netzen Prllelkomposition von Netzen Trnsitionseshriftungen können ls Kommuniktionen ngesehen weren, nlog zu Time Automt: senen!, empfngen? τ-trnsitionen, mrkiertes Netz Sprhe eines Netzes Tre-Reiness-Semntik!??!?! Kompositionsergenis

14 τ-trnsitionen τ -Trnsitionen, ezeihnen interne Shritte, ie nh ußen niht eohtr sin τ -Trnsitionen erluen es, Niht-Determinismus ohne sihtre Trnsition uszuführen τ τ <- Interne Entsheiung üer möglihe Folgekommuniktion -> Externe Entsheiung üer möglihe Folgekommuniktion Mrkiertes Petrinetz Definition (mrkiertes Petrinetz): Sei P=(S,T,G) ein Petrinetz, A eine enlihe Menge von Kommuniktionen un L eine Funktion, ie jeer Trnsition eine Kommuniktion oer τ zuornet, lso L: T A {τ}. Dnn heißt PM=(S,T,G,A,L) mrkiertes Petrinetz. Weiterhin können ie Kommuniktion mit en Zeihen! un? ergänzt weren.!!!! Sprhe un Rey-Mengen Definition (Sprhe eines mrkierten Petrinetzes): Sei PM=(S,T,G,A,L) ein Petrinetz mit Mrkierung M. Dnn ezeihnet L(PM,M) A* ie von PM eshrieene formle Sprhe. L(PM,M)= {t t=.....n, i A für lle i n, es git eine usführre Trnsitionsfolge M[t>M[>M2[... >Mm, so ss w(t......tm) = t gilt} Die Funktion w entfernt lle τ-trnsitionen un ist wie folgt efiniert. L(t).w(.....tm), wenn L(t) τ w(t......tm) = w(.....tm), wenn L(t) = τ Eine zur Tre t=.....n gehörene Rey-Menge enthält genu lle Kommuniktionen i A, für ie es eine von er nh t erreihten Mrkierung Mm usführre Trnsitionsfolge Mm[u>Mm+[u2>...[uk> mit w(u.u2.....uk)= i git. Beispiel: kontextsensitive Sprhe s τ Ds Netz erzeugt pref({ p. q. r p q r}) pref(l) für Präfix-Ashluss (lle Anfngswörter), z. B. pref({..})={ε,,.,..} τ s

15 Motivtion von Äquivlenz Um ie Performne eines luffähigen verteilten Systems zu erhöhen, knn mn entweer en Algorithmus änern (sehr ufwänig) oer wihtige Komponente optimieren (weniger ufwänig) Optimiere Komponente K, welhe Eigenshften muss K ls Ergenis hen Allgemeine Forerung: K muss sih wie K verhlten (exkt? wo ist Optimierung?) meist reiht: K muss K simulieren können oer äquivlent zu K sein, er ws heißt äquivlent? Sprhäquivlenz (/2) Mn knn Netzen N, wie Automten, eine formle Sprhe L(N) zuornen Äquivlenzforerung: L(K)=L(K ) Erinnerung: Berehnung minimler eterministisher Automten?! Beispiel: Sprhe pref({() n n>=})?!!? Sprhäquivlenz (2/2) für N un N2 keine Austushmöglihkeit in Prllelkomposition mit N3 grntiert N N2 N3!!!!!!!???? Tre-Reiness-Semntik Definition (Tre-Reiness-Semntik eines mrkierten Petrinetzes): Sei PM=(S,T,G,A,L) ein Petrinetz mit Mrkierung M. Dnn ezeihnet Sem(PM,M)={(t,R) t=.....n, i A für lle i n, es git eine usführre Trnsitionsfolge M[t>M[>M2[... >Mm, so ss w(t......tm) = t gilt, weiterhin gehört j A zu R (j R) genu nn, wenn es eine usführre Trnsitionsfolge Mm[u>Mm+[u2>...[uk> mit w(u.u2.....uk)= i git} ie Tre-Reiness-Semntik

16 Beispiele: Tre-Reiness-Semntik Tre-Reiness-Äquivlenz!! Sem(PM,M)={ ((ε,{,}), (, ), (, )} Zwei Netze M un M heißen Tre-Reiness-äquivlent, wenn sie ie gleihe Tre-Reiness-Semntik hen Äquivlenz erlut τ -Trnsitionen, ie weiteres Verhlten niht änern τ τ Sem(PM,M)={ ((ε,{,}), (ε,{}), (ε,{}), (, ), (, )} τ τ!! τ τ!!! τ τ τ!! τ! äquivlent niht äquivlent Ashlussemerkungen Es git viele weitere Vrinten Äquivlenzen uf Petri-Netzen zu efinieren (z. B. Bi-Simultion) Sinn er Äquivlenzegriffe hängt von Art er Netze : Sin τ Trnsitionen erlut? Ist Nihteterminismus mit Trnsitionen gleihen Nmens erlut? Auh ei Tre-Reiness-Semntik sin Vrinten möglih Generell ist er Austush einzelner Komponenten eines prllelen Systems sehr prolemtish, genu s gewünshte Verhlten eknnt sein muss Betrhtungen können für viele Netz-Arten (Stellenegrenzung, stohstishe Erweiterung, Zeiterweiterung) erweitert weren 3