Einführung in die Theoretische Informatik I/ Grundlagen der Theoretischen Informatik. SS 2007 Jun.-Prof. Dr. Bernhard Beckert Ulrich Koch.

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1 Einführung in die Theoretishe Informtik I/ Grundlgen der Theoretishen Informtik SS 2007 Jun.-Prof. Dr. Bernhrd Bekert Ulrih Koh Nhklusur Persönlihe Dten itte gut leserlih usfüllen! Vornme:... Nhnme:... Mtrikelnummer:... Klusurergenis itte niht usfüllen! Aufge 1:... Aufge 2:... Aufge 3:... Aufge 4:... Aufge 5:... Aufge 6:... Aufge 7:... Aufge 8:... Aufge 9:... Aufge 10:... (38 Punkte) (6 Punkte) (11 Punkte) (5 Punkte) (6 Punkte) (6 Punkte) (5 Punkte) (2 Punkte) (6 Punkte) (5 Punkte) Gesmtergenis:... Note:...

2 Nhklusur Theoretishe Informtik I, Multiple Choie ( = 38 Punkte) Hinweis: Bei den folgenden Ankreuzufgen führen e Kreuze zu Punktzug! Dei werden insgesmt jedoh keinesflls weniger ls 0 Punkte für die jeweilige Teilufge vergeen. () Logik (5 Punkte) i. Kreuzen Sie zu den drei folgenden ntürlihsprhlihen Sätzen jeweils diejenige prädiktenlogishe Formel n, die die essere Formlisierung des Stzes ist. Es git einen Studenten, der niht shlu ist. s(student(s) shlu(s)) s(student(s) shlu(s)) Der Brier rsiert genu diejenigen, die sih niht selst rsieren. x( rsiert(x, x) rsiert(rier, x)) x(rsiert(rier, x) rsiert(x, x)) x(rsiert(rier, x) rsiert(x, x)) ii. Entsheiden Sie durh Ankreuzen, o die folgenden Aussgen rihtig oder sind. x(p(x)) x(p(x)) x(p(x) q(x)) x(p(x)) () Azählrkeit (3 Punkte) ist llgemeingültig. ist llgemeingültig. rihtig Entsheiden Sie durh Ankreuzen, o die folgenden Aussgen rihtig oder sind. Eine Menge ist genu dnn zählr, wenn sie rekursiv ufzählr ist. Keine unendlihe Menge ist zählr. rihtig rihtig Die Menge ller Sprhen ist üerzählr.

3 Nhklusur Theoretishe Informtik I, () Sprhen und Grmmtiken (3 Punkte) Entsheiden Sie durh Ankreuzen, o die folgenden Aussgen rihtig oder sind. Es git Sprhen L, für die gilt. = {ε} LL = L Zu jeder eshränkten Grmmtik git es eine äquivlente kontextsensitive Grmmtik. (d) Reguläre Sprhen und rehtslinere Grmmtiken (3 Punkte) Entsheiden Sie durh Ankreuzen, o die folgenden Aussgen rihtig oder sind. Jede endlihe Sprhe ist regulär. Es git kontextfreie Grmmtiken, die reguläre Sprhen erzeugen. Um zu eweisen, dss eine Sprhe L regulär ist, genügt es, zu zeigen, dss ds L 3 -Pumping-Lemm für L gilt. (e) Endlihe Automten und reguläre Ausdrüke (3 Punkte) rihtig Entsheiden Sie durh Ankreuzen, o die folgenden Aussgen rihtig oder sind. Ein Wort w Σ wird von einem indeterminierten endlihen Automten kzeptiert, wenn I(( + ) ) = I( + ) A = (K, Σ,, I, F) s I f F (((s, w), f) ) rihtig I(( + )) = I( + )

4 Nhklusur Theoretishe Informtik I, (f) Ashlusseigenshften regulärer Sprhen (3 Punkte) Entsheiden Sie durh Ankreuzen, o die folgenden Aussgen rihtig oder sind. Wenn die Sprhen L 1 und L 2 regulär sind, dnn ist uh L 1 L 2 regulär. Wenn eine Sprhe L regulär ist, dnn ist uh L regulär. Wenn eine Sprhe L niht regulär ist, dnn ist L niht regulär. (g) Aleitungsäume (2 Punkte) rihtig Entsheiden Sie durh Ankreuzen, o die folgenden Aussgen rihtig oder sind. Es git kontextfreie Grmmtiken G, so dss es mehr ls einen Aleitungsum für die Aleitung desselen Wortes w in G git. Gegeen sei eine kontextfreie Grmmtik. Dnn git es zu jedem Aleitungsum genu eine Linksleitung. (h) Kontextfreie Sprhen und PDAs (5 Punkte) Entsheiden Sie durh Ankreuzen, o die folgenden Aussgen rihtig oder sind. Alle kontextfreien Sprhen sind Dyk-Sprhen. Wenn es einen Push-down-Automten (PDA) git, der eine Sprhe L per Endzustnd erkennt, dnn git es uh einen Push-down-Automten, der L per leerem Keller erkennt. Wenn L 1 und L 2 kontextfrei sind, dnn ist uh L 1 L 2 kontextfrei. Wenn L 1 und L 2 kontextfrei sind, dnn ist uh L 1 L 2 kontextfrei. rihtig rihtig Wenn L kontextfrei ist, dnn ist uh L kontextfrei.

5 Nhklusur Theoretishe Informtik I, (i) Turing-Mshinen (3 Punkte) Entsheiden Sie durh Ankreuzen, o die folgenden Aussgen rihtig oder sind. Jede universelle Turing-Mshine knn sih selst simulieren. Turing-Mshinen mit mehreren Bändern sind mähtiger ls Turing-Mshinen mit einem Bnd. Determinierte und indeterminierte Turing-Mshinen sind gleihmähtig. (j) Entsheidrkeit (5 Punkte) rihtig Entsheiden Sie durh Ankreuzen, o die folgenden Aussgen rihtig oder sind. Jede entsheidre Sprhe ist kzeptierr. Ds Komplement jeder rekursiv ufzählren Sprhe ist rekursiv ufzählr. Jede endlihe Sprhe ist kzeptierr. Jede unentsheidre Sprhe ist unendlih. Es git eine Turing-Mshine, die für lle Jv-Progrmme P entsheiden knn, o P, wenn mn es lufen lässt, eine NullPointerExeption werfen wird. (k) Komplexität (3 Punkte) rihtig rihtig Entsheiden Sie durh Ankreuzen, o die folgenden Aussgen rihtig oder sind. Es ist eknnt und einfh zu eweisen, dss P NP. Ds Erfüllrkeitsprolem der Aussgenlogik ist NP-hrt. rihtig Jedes NP-hrte Prolem liegt in NP. rihtig

6 Nhklusur Theoretishe Informtik I, Sprhen und Grmmtiken (3+3 = 6 Punkte) Geen Sie für jede der eiden folgenden Grmmtiken n, welhe Sprhe von der Grmmtik erzeugt wird. () G 1 = ({S, A, B, C}, {,,, d}, R, S) mit folgenden Regeln in R: S A B C A B C Sd B ε B L(G 1 ) = { m n n d m m, n IN 0 } (Die Regeln S C und C B sind wegen S B redundnt.) () G 2 = ({S, A, B}, {,, }, R, S) mit folgenden Regeln in R: S A B B AB A ε L(G 2 ) = { n n IN 0 } = I( ) (Vom Strtsymol us können keine Wörter geleitet werden, in denen B vorkommt. Drum ist die Regel B redundnt.)

7 Nhklusur Theoretishe Informtik I, Endlihe Automten ( = 11 Punkte) () Geen Sie einen determinierten endlihen Automten n für die Sprhe,, I( ( + ) ) fil,,, () Geen Sie einen indeterminierten endlihen Automten n für die Sprhe,, I( () + () ) Hinweise: 1. Indeterminierte Automten können mehr ls einen Strtzustnd hen. 2. Behten Sie, dss eispielsweise ds Wort niht in dieser Sprhe liegt. ok

8 Nhklusur Theoretishe Informtik I, () Welhe Sprhe kzeptiert der folgende determinierte endlihe Automt? L = I((( + )) ) = I(( + ) ),,,, (d) Ergänzen Sie den folgenden determinierten endlihen Automten so, dss er ds Komplement L derjenigen Sprhe L kzeptiert, die der Automt us Teilufge () kzeptiert.,,,,,, fil,,

9 Nhklusur Theoretishe Informtik I, Automten und reguläre Ausdrüke (3+2 = 5 Punkte) () Geen Sie einen regulären Ausdruk für folgende Sprhe n: oder uh oder uh {w {, } w enthält eine gerde Anzhl von } ( ) ( ) ( ) () Geen Sie einen endlihen Automten mit ε-knten für die Sprhe n. L = I( ( + ) )

10 Nhklusur Theoretishe Informtik I, Kontextfreie Grmmtiken (3+3 = 6 Punkte) () Geen Sie eine kontextfreie Grmmtik für die Sprhe n. Die Sprhe lässt sih uh drstellen ls { n m m, n IN 0 mit m n} { k m m m, k IN 0 } Dmit ist die Grmmtik G = ({S, A, T }, {, }, R, S) eine Lösung, woei R die folgenden Regeln enthält: S A T AT A ε T ε () Entfernen Sie lle nutzlosen Symole us der kontextfreien Grmmtik mit folgenden Regeln in R: G = ({S, A, B, C, D, E}, {,,, d}, R, S) S A B C D E AB AC A ε D E Ad CC (Die Symole E und C sind niht o-erreihr.) S AB A B D A ε D Ad

11 Nhklusur Theoretishe Informtik I, Pumping-Lemm für kontextfreie Sprhen (3+3 = 6 Punkte) () Wie lutet ds Pumping-Lemm für kontextfreie Sprhen? Ergänzen Sie den folgenden Lükentext n den punktierten Linien. Lemm (Pumping-Lemm für kontextfreie Sprhen). Sei L eine kontextfreie Sprhe. Dnn git es ein n IN 0, so dss: Wörter z L mit z... n für lle... existiert eine Zerlegung, d.h., Wörter u, v, w, x, y es git... z = uvwxy und 1 vx vwx < n mit... so dss für lle... () Gegeen sei die kontextfreie Sprhe Ds Wort m IN 0 gilt: uv m... wx m y L L = { m 2n 2n+1 d m, n IN 0 }. z = d ist in L. Geen Sie eine Zerlegung z = uvwxy des Wortes gemäß dem Pumping-Lemm n, für die es sih ufpumpen lässt. u =... v =... w =... x =... d y =...

12 Nhklusur Theoretishe Informtik I, CYK-Algorithmus (5 Punkte) Gegeen sei die kontextfreie Grmmtik G = ({S, A, B, C, D, E}, {, }, R, S) mit folgenden Regeln in R: S A B C D E AC AD SA EA Hinweis: G ist ereits in Chomsky-Normlform. EB Prsen Sie ds Wort mit dem CYK-Algorithmus. Vervollständigen Sie dzu die folgende Telle. A A B, E S D A S C A

13 Nhklusur Theoretishe Informtik I, Pushdown-Automten (2 Punkte) Gegeen sei der Pushdown-Automt (Kellerutomt) mit folgender Üergngsreltion: A = ({s 0, s 1 }, {, }, {X, Z 0 },, s 0, Z 0, ) = { ((s 0,, Z 0 ), (s 0, XX)), ((s 0,, X), (s 0, XXX)), ((s 0,, X), (s 1, ε)), ((s 1,, X), (s 1, ε)) } Welhe der folgenden Sprhen erkennt der Automt per leerem Keller? Kreuzen Sie die zutreffende Sprhe n. (Nur eine Antwort ist rihtig!) { n+1 2n n 1} { n 2n n 1} { n 2n+1 n 1} { n 2n+2 n 1}

14 Nhklusur Theoretishe Informtik I, Turing-Mshinen (4+2 = 6 Punkte) Gegeen sei die determinierte Turing-Mshine M = ({s 0, s 1, s 2, s 3, s 4, s 5 }, {0, 1, g, u, #}, δ, s 0 ), deren Üergngsfunktion durh folgende Telle definiert ist (lle niht ufgeführten Üergänge seien undefiniert): δ 0 1 g u # s 0 (s 1, L) s 1 (s 1, L) (s 2, L) (s 3, R) s 2 (s 2, L) (s 1, L) (s 4, R) s 3 (s 3, R) (s 3, R) (s 5, g) s 4 (s 4, R) (s 4, R) (s 5, u) s 5 (s 5, R) (s 5, R) (h, #) Die Einge für M ist ein Wort w {0, 1}. Sei n = # 1 (w) die Anzhl der 1 in w. Die Mshine M shreit rehts neen ds Eingewort w ein g, flls n gerde ist, und ein u, flls n ungerde ist. () Geen Sie die Rehnung von M für die Einge 101 n. Vervollständigen Sie dzu folgende Auflistung der Konfigurtionen: 0.: s 0, #101# s 1, #101# 1.:... s 2, #101# 2.:... s 2, #101# 3.:... s 1, #101# 4.:... s 3, #101# 5.:... s 3, #101# 6.:... s 3, #101# 7.:... s 3, #101# 8.:... s 5, #101g# 9.:... s 5, #101g# 10.:... h, #101g# 11.:... () Ändern Sie M so, dss die entstehende DTM ds gleihe mht wie M, nur dss nun n die Länge des Eingewortes ist (sttt die Anzhl der 1 in w). Trgen Sie dzu in die folgende Telle nur diejenigen Üergänge ein, die sih gegenüer M ändern! Hinweis: Zwei Änderungen genügen. δ 0 1 g u # s 0 s 1 (s 2, L) s 2 (s 1, L) s 3 s 4 s 5 Es genügt, dfür zu sorgen, dss die Mshine, während sie nh links läuft (Zustände s 1 und s 2 ), die 0 genu so ehndelt wie die 1 (ws M niht mht).

15 Nhklusur Theoretishe Informtik I, Komplexitätstheorie und Entsheidrkeit (1+2+2 = 5 Punkte) () Wie lutet die Definition der Komplexitätsklsse o-np? In Ihrer Antwort dürfen Sie sih uf die Klsse NP eziehen, ohne diese zu definieren. o-np ist die Klsse der Sprhen (zw. Proleme), deren Komplemente in der Klsse NP liegen: o-np = {L L NP} () Benennen und definieren Sie eine Sprhe (zw. ein Prolem), die NP-vollständig ist und ei der es sih niht um ds Erfüllrkeitsprolem der Aussgenlogik oder eine seiner Vrinten (SAT, CNF, k-cnf) hndelt. Ein Beispiel ist L Cliquek. Ds ist die Sprhe, die us llen ungerihteten Grphen esteht, die eine Clique (einen vollständigen Teilgrphen) der Größe k enthlten. Es git eine Vielzhl weiterer Beispiele. In der Vorlesung wurden u.. ds k-färrkeitsprolem und ds Hmiltonkreis-Prolem erwähnt. () Benennen und definieren Sie ein Prolem, ds unentsheidr ist und ei dem es sih niht um ds Hlteprolem oder eine seiner Vrinten (Null-Hlteprolem, spezielles Hlteprolem) hndelt. Ein Beispiel ist ds Gleihheitsprolem, lso die Frge, o die DTM mit der Gödelnummer n die gleihe Sprhe üer einer Signtur Σ kzeptiert wie die DTM mit der Gödelnummer m. Es git eine Vielzhl weiterer Beispiele. In der Vorlesung wurden u.. ds Leerheitsprolem und ds Entsheidrkeitsprolem erwähnt.