Sprachen & Automaten. Grundlagen. Sprachen. Grundlagen

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1 Sprchen & Automten formle Sprchen zur Formulierung von Wissen Progrmmiersprchen Logik Teilmengen ntürlicher Sprchen... Beschreiung formler Sprchen durch Grmmtiken Beschreiung und Verreitung formler Sprchen durch Automten, d.h. strkte Mschinen Klssifizierung formler Sprchen Typen von Sprchen Typen von Grmmtiken Typen von Automten wichtige Typen formler Sprchen und Automten reguläre Sprchen endliche Automten kontextfreie Sprchen Kellerutomten Grundlgen Alphet A endliche, nichtleere Menge von Buchsten Wort endliche Aneinnderreihung (Konktention) von Elementen us A leeres Wort ε Menge ller Wörter A* Menge ller endlichen Folgen von Elementen us A A* = { n i A {ε A+ = A* - {ε Beispiel A ={, A* = {ε,,,,,,,,,... Konktention zweistellige Opertion A* x A* A* u, v A*, u v wird uv geschrieen lgerische Struktur (A*, ) ist Hlgruppe (Monoid) u, v A* u v = uv A* (Ageschlossenheit) (u v) w = u (v w) = uvw (Assozitivität) ε u = u ε = u (neutrles Element) 1 2 Grundlgen Sprchen Akürzung u n = uu...u (n-ml) u 0 = ε Beispiele: 3 =, () 3 =, (c) 0 = ε Länge eines Wortes w w ε = 0, n = n für i A uv = u + v, u n = n u Beispiel: c =3 Sprchen L üer einem Alphet A L A* L 1 und L 2 Sprchen üer A L 1 L 2 = {u u L 1 oder u L 2 L 1 L 2 = {u u L 1 und u L 2 CL 1 = A* - L 1 L 1 L 2 = {uv u L 1 und v L 2 Sprche L L 0 = {ε L 1 = L L n+1 = LL n L n L m = L n+m (L n ) m = L nm (Vereinigung) (Durchschnitt) (Komplement) (Produkt) Kleene Sternopertion L* = n 0 L n = {u 1 u 2... u n u i L {ε L+ = n 1 L n 3 4

2 Sprchen Beispiel A = {(, ), +, -, *, /, X (X Konstnte oder Vrile) Sprche ARIM A* der rithmetischen Ausdrücke X X/(X+X) +X*X X+*X ARIM ARIM ARIM Proleme Sprchen sind i. A. unendliche Ojekte; um dmit umgehen zu können, ruchen wir endliche Beschreiungen welche Worte gehören zur Sprche, welche nicht? eide Proleme werden durch Grmmtiken oder Automten gelöst Grmmtiken Beispielgrmmtik für ARIM E T (Expression ist Term) E E + T (Expression ist Expression + Term) T F (Term ist Fktor) T T*F (Term ist Term * Fktor) F X (Fktor ist Konstnte oder Vrile) F (E) (Fktor ist Expression in Klmmern) Grmmtiken sind Regeln der Form linke Seite rechte Seite, die die linke Seite ersetzt Regeln enthlten Nichtterminlsymole (z.b. E, T, F) und Terminlsymole (z.b. X) Regeln werden solnge ngewendet, is ds geleitete Wort nur noch us Terminlsymolen esteht jede so geleitete Wort gehört zu der von der Grmmtik definierten (erzeugten) Sprche Beispiel E E + T T + T T*F +T F*F +T X*F +T X*X +T X*X +F X*X +X 5 6 Grmmtiken Aleitung knn ls Syntxum drgestellt werden T F E T F E T F X * X + X ei der Aleitung wurde immer ds m weitesten links stehende Nichtterminl ersetzt (Linksleitung) Grmmtiken (Phrsenstruktur-) Grmmtik G ist ein Qudrupel G = (N, T, S, R) N endliche Menge von Nichtterminlsymolen T endliche Menge von Terminlsymolen N T = S N ist ds Strtsymol R ist eine endliche Menge von Regeln (Produktionen) R (N T)+ x (N T)* seien u= xyz, v=xy'z mit x, z (N T)* Reltion u G v (u geht unter G unmittelr in v üer) flls y y' eine Regel in R ist G erzeugt (definiert) die Sprche L(G) = {w T* S G* w G* ist die reflexive und trnsitive Hülle von G Grmmtiken heissen äquivlent, wenn sie die gleiche Sprche erzeugen 7 8

3 Grmmtiken Folge von Wörtern (w 0, w 1,..., w n ) mit w 0 = S und w n T* und w 0 w 1... w n heisst (mximle) Aleitung von w n Anwendung einer Regel y y', die us dem Wort xyz ds Wort xy'z mcht, heisst linksmximl (rechtsmximl), wenn es keine Regel git, in der y weiter links (rechts) uftritt, ls in der Zerlegung xyz Linksleitung (Rechtsleitung) ist eine mximle Aleitung, deren Regelnwendungen lle linksmximl (rechtsmximl) sind Beispiel einer Grmmtik G = (N, T, S, R) N = {S, B, C T = {,, c R = {S SBC, S BC, CB BC, B, B, C c, cc cc S SBC BCBC CBC BCC CC cc cc = 2 2 c 2 L(G) = { n n c n n 1 Wieso? Chomsky Hierrchie Nom Chomsky ht Grmmtiken in 4 Typen eingeteilt und es gilt Typ 3 Typ 2 Typ 1 Typ 0 Typ 0: Phrsenstrukturgr mmtiken es git ezüglich der Regeln keine Einschränkungen Typ 1: kontextsensitive Grmmtiken für lle Regeln L R gilt L R kontextsensitive Regel unv urv: Nichtterminl N knn nur im Kontext u, v durch R ersetzt werden Sprche { n n c n n 1 ist kontextsensitiv Typ 2: kontextfreie Grmmtiken für lle Regeln L R gilt zusätzlich L N kontextfreie Regel N R: Nichtterminl N knn edingungslos in jedem Kontext durch R ersetzt werden L = { n n n 1 ist kontextfrei Sprche ARIM der rithmetischen Ausdrücke ist kontextfrei Typ 3: reguläre Grmmtiken für lle Regeln L R gilt zusätzlich R T TN, d.h. die rechten Seiten sind entweder einzelne Terminlzeichen oder ein Terminlzeichen gefolgt von einem Nichtterminlzeichen 9 10 Chomsky Hierrchie Sprche L T* heisst vom Typ X, wenn es eine Typ X Grmmtik G git mit L(G) = L lle Sprchen vom Typ 1, 2, 3 sind entscheidr, d.h. es git einen Algorithmus, der ei der Einge einer Grmmtik G und eines Wortes w nch endlicher Zeit feststellt, o w L(G) oder nicht Sprchen vom Typ 0 werden uch rekursiv ufzählr gennnt; sie sind semi-entscheidr Typ 0 Grmmtiken sind endliche Ojekte, d.h. die Menge ller Typ 0 Grmmtiken ist zählr, d.h. ht die Krdinlität von N; d jeder Typ 0 Sprche mindestens eine Typ 0 Grmmtik zugeordnet werden knn, ist die Menge ller Typ 0 Sprchen eenflls zählr Menge ller Sprchen ist üerzählr, ht die Krdinlität von R schon Potenzmenge von {0, 1* ist üerzählr Chomsky Hierrchie in der prktischen Informtik spielen vor llem die regulären und die kontextfreien Sprchen eine Rolle viele Proleme sind llerdings kontextsensitiv; mn versucht dnn, mit kontextfreien Grmmtiken zu reiten und die Kontextedingungen durch nichtgrmmtische Zustzedingungen zu ehndeln Beispiele: für Sprchen wie Pscl oder Modul werden kontextfreie Grmmtiken verwendet, owohl Typprüfungen, Kontrolle von Prmetern in Prozedurufrufen, Verwendung von vorher deklrierten Ojekten etc. eigentlich kontextsensitiv sind; diese Kontrollen werden durch zusätzliche Algorithmen erledigt ei der Verreitung ntürlicher Sprche durch den Computer führt die Numerusunterscheidung Singulr oder Plurl zu Kontextsensitivität; mn verwendet trotzdem kontextfreie Regeln, z. B. je einen Stz von Regeln für Singulr und einen für Plurl es git lso Sprchen, die nicht durch Grmmtiken eschrieen werden können 11 12

4 Reguläre Sprchen (Typ 3) reguläre Sprchen werden durch linere und reguläre Grmmtiken eschrieen linkslinere Grmmtik jede Regel ht links genu ein Nichtterminl und rechts entweder genu ein Terminl oder genu ein Nichtterminl gefolgt von genu einem Terminl N T N NT rechtslinere Grmmtik jede Regel ht links genu ein Nichtterminl und rechts entweder genu ein Terminl oder genu ein Terminl gefolgt von genu einem Nichtterminl N T N TN linksreguläre Grmmtik jede Regel ht links genu ein Nichtterminl und rechts entweder genu ein Terminl oder genu ein Nichtterminl gefolgt von genu einem Terminl oder ds leere Wort ε N T N NT N ε rechtsreguläre Grmmtik jede Regel ht links genu ein Nichtterminl und rechts entweder genu ein Terminl oder genu ein Terminl gefolgt von genu einem Nichtterminl oder ds leere Wort ε N T N TN N ε Reguläre Sprchen (Typ 3) für eine reguläre oder Typ 3 Sprche L T* sind die folgenden Aussgen äquivlent L\{ε wird durch eine linkslinere Grmmtik eschrieen L\{ε wird durch eine rechtslinere Grmmtik eschrieen L wird durch eine linksreguläre Grmmtik eschrieen L wird durch eine rechtsreguläre Grmmtik eschrieen Pumping Lemm L sei eine reguläre Sprche; dnn existiert eine ntürliche Zhl n, sodss sich lle Wörter w L mit w n in w = xyz zerlegen lssen, sodss y 1, xy n und für lle ntürlichen Zhlen i gilt xy i z L Pumping Lemm wird verwendet, um nchzuweisen, dss Sprchen z.b. L={ n n n 1 nicht regulär sind reguläre Sprchen sind unter Vereinigung, Durchschnitt, Konktention, Sternildung, Komplement und Spiegelung geschlossen Kontextfreie Sprchen (Typ 2) kontextfreie Sprchen werden durch kontextfreie, Chomsky Normlform, Greich Normlform und reduzierte Grmmtiken eschrieen kontextfreie Grmmtik jede Regel ht links genu ein Nichtterminl N R Chomsky Normlform jede Regel ht links genu ein Nichtterminl und rechts entweder genu ein Terminl oder genu zwei Nichtterminle N T N NN Greich Normlform jede Regel ht links genu ein Nichtterminl und rechts entweder genu ein Terminl oder genu ein Terminl gefolgt von einem oder mehr Nichtterminlen N T N TN N TNN... reduzierte Grmmtik jede Regel ht links genu ein Nichtterminl; wenn es sich nicht um ds Strtsymol hndelt, stehen rechts nur Terminle; jedes Nichtterminl tucht rechts in einer Regel uf, in der links ds Strtsymol steht Kontextfreie Sprchen (Typ 2) für eine kontextfreie oder Typ 2 Sprche L T* sind die folgenden Aussgen äquivlent L wird durch eine kontextfreie Grmmtik eschrieen L\{ε wird durch eine Grmmtik in Chomsky Normlform eschrieen L\{ε wird durch eine Grmmtik in Greich Normlform eschrieen L wird durch eine reduzierte Grmmtik eschrieen Pumping Lemm L sei eine kontextfreie Sprche; dnn existiert eine ntürliche Zhl n, sodss sich lle Wörter w L mit w n in w = xyzuv zerlegen lssen, sodss yu 1, yzu n und für lle ntürlichen Zhlen i gilt xy i zu i v L Pumping Lemm wird verwendet, um nchzuweisen, dss Sprchen z.b. L={ n n c n n 1 nicht kontextfrei sind kontextfreie Sprchen sind unter Vereinigung, Konktention und Sternildung geschlossen 15 16

5 Syntxäume einer Aleitung eines Wortes w in einer Typ 2 oder 3 Grmmtik G knn ein Syntxum (Aleitungsum) zugeordnet werden sei w L(G) und S = w 0 w 1... w n = w eine Aleitung von w S ildet die Wurzel des Syntxums flls im i-ten Aleitungsschritt w i-1 w i ds Nichtterminl N durch ein Wort x ersetzt wird, dnn erhält der Knoten N des Syntxums x Töchter, die mit den einzelnen Zeichen von x eschriftet werden Blätter des Bumes sind die Symole von w verschiedenen Aleitungen knn der gleiche Syntxum zugeordnet werden, der dnn verschieden trversiert wird es gilt: w L(G) es git eine Aleitung von w es git einen Syntxum mit w n den Blättern es git eine Linksleitung von w es git eine Rechtsleitung von w Beispiel Beispielgrmmtik für ARIM E T (Expression ist Term) E E + T (Expression ist Expression + Term) T F (Term ist Fktor) T T*F (Term ist Term * Fktor) F X (Fktor ist Konstnte oder Vrile) F (E) (Fktor ist Expression in Klmmern) Beispielleitungen E E + T T + T T*F +T F*F +T X*F +T X*X +T X*X +F X*X +X E E + T E + F E +X T +X T*F +X T*X +X F*X +X X*X +X hen den gleichen Syntxum T F E T F E T F X * X + X einml links und einml rechts geleitet Mehrdeutige Grmmtiken eine Grmmtik heisst mehrdeutig, wenn es für dssele Wort w verschieden strukturierte Syntxäume git; ndernflls heisst die Grmmtik eindeutig Beispiel S B S Ac A B c Bckus Nur Form Bckus und Nur entwickelten die Nottion BNF später EBNF zur kompkten Drstellung von Typ 2 Grmmtiken Zusmmenfssung von Regeln mit gleicher linker Seite A R 2... A R n für ds Wort c git es zwei verschiedene Aleitungen mit verschiedenen Syntxäumen zu S Ac c S B c Mehrdeutigkeit knn in diesem Fll eseitigt werden, d eine eindeutige Grmmtik existiert, die diesele Sprche generiert S c Sprche L heisst inhärent mehrdeutig, wenn jede Grmmtik G mit L = L(G) mehrdeutig ist Beispiel L = { i j c k i=j oder j=k R 2... R n Zusmmenfssung von Regeln mit optionlen Elementen (ein Wort O knn, er muss nicht, uftuchen) R 2 OR 2 zu [O]R

6 Bckus Nur Form Zusmmenfssung von Regeln mit wiederholten Elementen (ein Wort W knn elieig oft, uch 0 Ml, uftuchen) R 2 W R R 2 W R W W R WW R zu {WR 2 (E)BNF und kontextfreie Grmmtiken sind gleichwertig, d.h. durch (E)BNF werden genu die kontextfreien Sprchen drgestellt Kontextsensitive Sprchen (Typ 1) kontextsensitive Sprchen werden durch kontextsensitive Grmmtiken oder durch Kurod Normlform Grmmtiken eschrieen kontextsensitive Grmmtik keine Regel ist verkürzend, d.h. für jede Regel L R gilt L R R ε Kurod Normlform jede Regel ht eine der vier Formen N T N N N NN NN NN kontextsensitive Sprchen sind unter Vereinigung, Durchschnitt, Konktention, Komplement und Sternildung geschlossen Rekursiv ufzählre Sprchen (Typ 0) rekursiv ufzählre Sprchen werden durch llgemeine, seprierte oder normle Grmmtiken eschrieen llgemeine Grmmtik elieige Regeln seprierte Grmmtik jede Regel ht eine der Formen N T N ε N 1 N 2...N n ε N 1 N 2...N n N n+1 N n+2... N n+m normle Grmmtik jede Regel ht eine der Formen Reduktionsregel: N ε Terminierungsregel: N T Expnsionsregel: N NN Doppelsustitution: NN NN Automten Automten sind strkte Mschinen konkrete Mschinen in Hrdwre und Softwre z.b. Billetutomten, Computer, Menusteuerung eines Computers, Compiler sind oft Relisierungen von Automten Automten hen endlich viele Zustände; es git usgezeichnete Anfngs- und Endzustände zwischen Zuständen knn es Üergänge geen, die durch Eingen z.b. ds Einlesen eines Buchsten oder eines Wortes usgelöst werden liest der Automt ein Wort, dnn geht er in einen neuen Zustnd üer, der vom vorherigen Zustnd und vom eingelesenen Wort hängt deterministischer Automt: Folgezustnd ist eindeutig estimmt nichtdeterministischer Automt: es git mehrere Folgezustände usserdem knn ein Automt einen Speicher hen Automten werden in Klssen eingeteilt, die die Chomsky Hierrchie der Sprchen widerspiegelt jedem Sprchtyp knn eindeutig eine Automtenklsse zugeordnet werden und umgekehrt 23 24

7 Endliche Automten endlicher Automt M ist ein Qudrupel M = (Z, A,, t) Z endliche Menge von Zuständen A endliches Eingelphet Z Anfngszustnd t Zustndsüergngsfunktion Z x A P(Z) t(z,) ist die Menge ller Zustände, die der Automt M einnehmen knn, wenn er im Zustnd z Z den Buchsten A liest deterministischer endlicher Automt: t(z,) enthält für jedes Pr (z,) genu ein Element Endliche Automten Drstellung ls Automtentfel z 3 z 3 z 3 nichtdeterministischer endlicher Automt: t(z,) enthält für mindestens ein Pr (z,) mehr ls ein Element Beispiel: Z = {,,, z 3 A = {, t(,) = t(,) = z 3 grphische Drstellung z3 z2 t(,) = z 3 t(,) = t(,) = t(z 3,) = t(,) = t(z 3,) = z0 z Endliche Automten kzeptierender endlicher Automt M ist ein Quintupel M = (Z, A,, t, E) (Z, A,, t) endlicher Automt E Z endliche Menge von Endzuständen nichtleeres Wort us Eingeuchsten wird vom Automten kzeptiert, wenn es zu diesem Wort eine Folge von Zustndsüergängen git, die in einem Endzustnd endet zu jedem kzeptierenden Automten M git es eine Sprche L(M) A*, die M kzeptiert sei t* ls Funktion Z x A* Z definiert durch t*(z,ε) = z z Z t*(z,x) = t*(t(z,),x) A, x A* dnn kzeptiert M die Sprche L(M) = {x A* t*(, x) E Jede durch einen (nicht-) deterministischen endlichen Automten kzeptierte Sprche ist regulär (Typ 3); jede reguläre Sprche wird durch einen (nicht-) deterministischen endlichen Automten kzeptiert. Endliche Automten Beispiel: Z = {,,, z 3 A = {, E = z 3 t(,) = t(,) = z 3 t(,) = z 3 t(,) = t(,) = t(z 3,) = t(,) = t(z 3,) = grphische Drstellung z3 z0 Beispielutomt lndet nch den Worten,,,,,... im Endzustnd z 3, er "kzeptiert" diese Worte z2 z

8 Reguläre Sprchen Konstruktion eines deterministischen endlichen Automten M = (Z, A, S M, t, E), der die durch eine rechtslinere Grmmtik G = (N, T, S G, R) erzeugte reguläre Sprche L(G) kzeptiert Z = N {ccepted {not ccepted A = T S M = S G E = ccepted Grmmtikregel von der Art N 1 TN 2 definiert den Üergng t(n 1, T) = N 2 Grmmtikregel von der Art N 1 T definiert den Üergng t(n 1, T) = ccepted für lle nderen Pre gilt t(n, T) = not ccepted Beispiel: Grmmtik S S A, A A üer Alphet {, Z = {S, A, ccepted, not ccepted S S definiert t(s,)=s S A definiert t(s,)=a A A definiert t(a,) =A A definiert t(a,) =ccepted t(s,) = t(a,) = not ccepted Minimle endliche Automten zwei endliche Automten heissen äquivlent, wenn sie diesele Sprche kzeptieren Konstruktion des einfchsten äquivlenten Automten, der eine gegeene Sprche kzeptiert Determinierung: nichtdeterministischer endlicher Automt wird durch einen äquivlenten deterministischen ersetzt Vereinfchung: Elimintion unerreichrer Zustände Reduzierung: Elimintion von funktionsgleichen Teilutomten Determinierung: zu jedem nichtdeterministischen endlichen Automten M = (Z, A,, t, E) git es einen äquivlenten deterministischen M' = (Z', A', ', t', E'), der Potenzutomt gennnt wird. Z' = P(Z)\{ A' = A ' = { t'(x) = z X t(z) mit X Z E' = {X Z X E nlog konstruiert mn eine reguläre Grmmtik der von einem endlichen Automten kzeptierten Sprche Minimle endliche Automten Beispiel für Determinierung c Minimle endliche Automten Vereinfchung: zu jedem endlichen Automten git es einen äquivlenten, us dem die nicht erreichren Zustände entfernt wurden Beispiel:, z 3, z 3, z 3 c z 3 z 3, z 3, z 3 z2 z3 z3 z3 z3 z1 z1 z1 c z4 z2 z3 z4 {z1 {z1, z3 {z1, z2 {z3 {z2 {z1, z2 {z3 {z1 {z3 {z2, z3 {z2 {z2, z3 Zustnd z 4 ist nicht erreichr, d.h. es git keinen Üergng von einem der nderen Zustände,, z 3 Streichen der letzten Zeile führt wieder zu einem sinnvollen Automten {z1, z2 {z1, z2, z3 {z1, z2, z3 {z1, z3 {z1, z3 {z1, z2, z3 {z1, z2 {z2, z3 c {z2, z3 {z1, z2, z3 {z2, z3 {z1, z2, z3 z1 z2 z2 z3 {,, z 3 {,, z 3 {,, z 3 {,, z 3 z 3 z 3 z 3 z

9 Minimle endliche Automten zwei Zustände, Z eines endlichen Automten (Z, A,, t, E) heissen äquivlent, wenn die Automten (Z, A,, t, E) und (Z, A,, t, E) äquivlent sind, d.h. die Teilutomten, die in zw. strten, kzeptieren die gleiche Sprche ein endlicher Automt heisst reduziert, wenn er keine äquivlenten Zustände enthält Zu jedem deterministischen endlichen Automten git es einen äquivlenten, der reduziert ist und Quotientenutomt gennnt wird. Die Konstruktion des Quotientenutomten geschieht üer die rekursive Definition von Äquivlenzklssen von Zuständen (Detils in Cp). Minimle endliche Automten Beispiel für Reduzierung z 3 z 4 z 3 z 3 z 5 z 4 z 7 z 5 z 6 z 3 z 6 z 6 z 6 z 7 z 7 z 4 mn erhält folgende Äquivlenzklssen K 1 = {, K 2 = {, z 4, z 7, K 3 = {z 3, z 5, z 6 und den reduzierten Automten K 1 K 2 K 3 K 2 K 2 K 2 K 3 K 3 K Minimle endliche Automten Minimlutomten: is uf Isomorphie d.h. Umenennung der Zustände git es zu jedem endlichen Automten genu einen äquivlenten deterministischen Automten, der einfch und reduziert ist. Der Minimlutomt knn durch Determinierung, Vereinfchung und Reduzierung estimmt werden. Endliche Automten mit Ausgefunktionen endliche Automten können um Ausgefunktionen zur Berechnung von Werten erweitert werden Moore Automten M = (Z, E,, t, A, w) hen eine Ausgefunktion, die vom Zustnd hängt Z endliche Menge von Zuständen E endliches Eingelphet Z Anfngszustnd t Zustndsüergngsfunktion Z x E Z A endliches Ausgelphet w Ausgefunktion: Z A Mely Automten M = (Z, E,, t, A, w) hen eine Ausgefunktion, die vom Zustnd und vom zuletzt gelesenen Eingewert hängt Z endliche Menge von Zuständen E endliches Eingelphet Z Anfngszustnd t Zustndsüergngsfunktion Z x E Z A endliches Ausgelphet w Ausgefunktion: Z x E A Moore und Mely Automten wndeln eine Einge in eine gleich lnge Ausge um eide Automten sind gleichwertig 35 36

10 Kellerutomten Kellerspeicher (stck): strkter Dtentyp üer endlichem Kellerlphet K. Keller wird durch Worte K* {ε repräsentiert. Opertionen push: K* x K* K* push(w,k) = wk pop: K* \ {ε K* pop(k k... k ) = k... k 0 1 n 1 n top: K* \ {ε K top(k 0 k 1... k n ) = k 0 Kellerutomt M = (Z, A, K,, #, E, t) ist ein endlicher Automt mit einem Kellerspeicher. Z endliche Menge von Zuständen A endliches Eingelphet K endliches Kellerlphet Z Anfngszustnd # K Anfngskellerzeichen E Z endliche Menge von Endzuständen t Zustndsüergngsfunktion Z x (A {ε) x K P(Z x K*) Kellerutomten Anfng: Zustnd, Keller enthält nur # später: Zustnd z, oerstes Kellerzeichen k, nächstes Eingezeichen Üergng mit Lesen eines Eingezeichens: Menge t(z,,k) ist nicht leer: Kellerutomt wählt ein Element (z', k') us dieser Menge, geht in Zustnd z', entfernt k durch pop vom Keller, schreit mit push k' uf den Keller spontner Üergng ohne Lesen eines Eingezeichens: Menge t(z,ε,k) ist nicht leer: Kellerutomt wählt ein Element (z', k') us dieser Menge, geht in Zustnd z', entfernt k durch pop vom Keller, schreit mit push k' uf den Keller deterministischer Kellerutomt: in jeder Sitution git es nur genu einen Üergng entweder Üergng mit Lesen oder Üergng ohne Lesen Menge der möglichen Üergänge enthält nur ein Element Kellerutomten Kellererutomt hält n, wenn ein Endzustnd erreicht, oder der Keller leer, oder ds gnze Eingewort gelesen worden ist. nichtleeres Wort us Eingeuchsten wird vom Kellerutomten kzeptiert, wenn er ds gnze Wort liest und dnn hält; es git drei gleichwertige Formen der Akzeptnz: kzeptiert: Endzustnd erreicht und Keller leer zustndskzeptiert: Endzustnd erreicht kellerkzeptiert: Keller leer (prktisch) sei k Z x A* x K* eine Konfigurtion eines Kellerutomten M, dnn ewirkt eine Anwendung der Zustndsüergngsfunktion t einen Üergng von k zu k', usgedrückt ls Reltion k k'. Sei * die reflexive und trnsitive Hülle von. Kellerutomt M kzeptiert dnn die Sprche L(M) = {x A* (, x,#) *(z, ε, ε) für z Z Kellerutomten Beispiel: Plindrom, geschchtelte Ausdrücke Kellerutomt für L={ n $ n i {, M = ({,, {,,$, {#, A, B,, #, t) (Endzustnd wird nicht gerucht) Zustndsüergngsfunktion t ls Üergänge zwischen Tupeln (Z, A, K) (Z', K') geschrieen # A# A AA B AB # B# A BA B BB $# # $A A $B B A ε B ε ε# ε Wort $ L(M), denn (, $, #) (, $, B#) (, $, AB#) (,, AB#) (,, B#) (, ε, #) (, ε, ε) Jede durch einen nichtdeterministischen Kellerutomten kzeptierte Sprche ist kontextfrei (Typ 2); jede kontextfreie Sprche wird durch einen nichtdeterministischen Kellerutomten kzeptiert

11 Kellerutomten Sprche der Plindrome üer dem Alphet {,, $ wird durch die folgende kontextfreie Grmmtik erzeugt S S S $ Beweis durch vollständige Induktion Vollständige Induktion A: N 0 {W, F eine Eigenschft ntürlicher Zhlen A(n 0 ) gilt (Induktionsvernkerung) Für elieiges n gilt: flls A(n) gilt, dnn gilt uch A(n+k) (Induktionsschritt) dnn gilt n N 0 : A(n 0 + n*k) Ist w ein Plindrom, dnn knn es durch die oige Grmmtik erzeugt werden. A(n) sei "jedes Plindrom der Länge n knn durch die Grmmtik erzeugt werden" A(1) gilt Zu zeigen: n N : A(n) A(n+2) Sei w Plindrom der Länge n+2, dnn muss es die Form r oder r hen, woei r ein Plindrom der Länge n sein muss. Ds knn er lut Induktionsvorussetzung A(n) erzeugt werden, lso knn uch mit Hilfe der ersten eiden Grmmtikregeln ein Plindrom der Länge n+2 erzeugt werden. Also knn jedes Plindrom der Länge 1 erzeugt werden. Kellerutomten Wird w durch die oige Grmmtik erzeugt, dnn ist es ein Plindrom. A(n) sei "jede Aleitung der Länge n oder kürzer enthält nur Plindrome" A(1) gilt Zu zeigen: n N : A(n) Α(n+1) Sei S S 1... S n S n+1 eine Aleitung der Länge n+1. Lut Induktionsvorussetzung A(n) enthält die Aleitung der Länge n S S 1... S n nur Plindrome. D uf S n eine Grmmtikregel nwendr ist, muss es ein S enthlten. Dieses S muss in der Mitte stehen, d S n ein Plindrom ist. Die Grmmtikregeln ersetzen S durch S, S oder $. D.h. S n+1 ist wieder ein Plindrom. D.h. jedes durch die Grmmtik erzeugte Wort der Länge n 1 ist ein Plindrom Kellerutomten Kellerutomt M heisst deterministisch, wenn für lle z Z, A und k K gilt t(z,,k) + t(z,ε,k) 1 und der Kellerutomt zustndskzeptiert deterministische Kellerutomten definieren die deterministisch kontextfreien Sprchen, eine echte Teilmenge der kontextfreien Sprchen Sprche L={ 1... n $ n... 1 i A* ist deterministisch kontextfrei Sprche L={ 1... n n... 1 i A* ist kontextfrei, er nicht deterministisch kontextfrei deterministisch kontextfreie Sprchen werden uch LR(k) Sprchen gennnt und spielen im Compileru eine grosse Rolle Turingmschinen Turingmschinen sind endliche Automten mit einem elieig grossen, sequentiell zugreifren Speicher Turings Vorstellung: endlicher Automt mit einem unendlichen Speichernd, ds us einzelnen Feldern esteht, und einem Lese- und Schreikopf, der sich uf dem Bnd ewegen knn. Die Felder enthlten Buchsten des Bndlphets. Zeichen, die sich unter dem Kopf efinden, können gelesen und verändert werden. Der Kopf knn sich um ein Feld nch rechts oder links ewegen oder n der gleichen Stelle leien. Turingmschine M wird forml durch ein 7-Tupel eschrieen M=(Z, A, B, t,, #, E) Z endliche Menge von Zuständen A endliches Eingelphet B endliches Bndlphet, A_B Z Anfngszustnd # B-A Leerzeichen E Z endliche Menge von Endzuständen t Zustndsüergngsfunktion Z x B P(Z x B x (L, R, N)) L=Bewegung nch links, R=Bewegung nch rechts, N=keine Bewegung 43 44

12 Turingmschinen Befindet sich M im Zustnd z und ist unter dem Kopf der Buchste, dnn geht M im nächsten Schritt in einen Zustnd z' üer, schreit nstelle von einen Buchsten uf ds Bnd und führt dnn eine Bewegung x (L, R, N) us, forml t(z,) ist ein Element der Menge (z',,x) Konfigurtion der Turingmschine ist k B*x Z x B* k= 1 1 schon esuchter Teil des Bndes z ktueller Zustnd 2 Rest des Bndes, Kopf steht uf erstem Zeichen von 2 Anfngskonfigurtion x: uf dem Bnd steht die Einge x A und die Turingmschine ist im Zustnd später: Konfigurtion 1... m... n Üergng ohne Bewegung des Kopfes: t(z, 1 )= (z',c,n), neue Konfigurtion 1... m z'c 2... n Üergng mit Bewegung nch rechts: t(z, 1 )= (z',c,r), neue Konfigurtion 1... m cz' 2... n Üergng mit Bewegung nch links: t(z, 1 )=(z',c,l), neue Konfigurtion 1... m-1 z' m c 2... n Turingmschinen Spezilfälle n=1 und Üergng mit Bewegung nch rechts: t(z, 1 )= (z',c,r), neue Konfigurtion 1... m cz'# m=0 und Üergng mit Bewegung nch links: t(z, 1 )=(z',c,l), neue Konfigurtion z'#c 2... n Beispiel: Turingmschine, die Einge x {0,1 ls inäre Zhl interpretiert und eine 1 dzu ddiert. M=({,,, z 3, {0,1, {0, 1, #, t,, #, {z 3 ) t(, 0) = (, 0, R) t(, 1) = (, 1, R) t(, #) = (, #, L) t(, 0) = (, 1, L) t(, 1) = (, 0, L) t(, #) = (z 3, 1, N) t(, 0) = (, 0, L) t(, 1) = (, 1, L) t(, #) = (z 3, #, R) strtet M mit 101 uf dem Bnd, dnn hält sie mit 110 uf dem Bnd und dem Kopf uf dem ersten Zeichen # 10 1# 1 00# 110# #110# #z 3 110# Turingmschinen Anwendung der Zustndsüergngsfunktion t ewirkt einen Üergng von Konfigurtion k zu Konfigurtion k', usgedrückt ls Reltion k k'. Sei * die reflexive und trnsitive Hülle von. Turingmschine M kzeptiert Sprche L(M) = {x A* x * 1 für 1, 2 B und z E Die durch nichtdeterministische Turingmschinen kzeptierten Sprchen sind genu die rekursiv ufzählren Sprchen (Typ 0). Liner eschränkte Turingmschinen Liner eschränkte Turingmschinen verlssen nie den Teil des Bndes, uf dem die Einge steht. Eine nichtdeterministische Turingmschine heisst liner eschränkt, wenn für lle 1... n-1 n A*, die rechts durch ein Kontrollzeichen c egrenzt sind und lle Konfigurtionen 1 mit 1... n-1 n c * 1 gilt 1 2 =n. Liner eschränkte Turingmschine M kzeptiert Sprche L(M) = { 1... n-1 n A* 1... n-1 n c * 1 für 1, 2 B und z E Die durch liner eschränkte, nichtdeterministische Turingmschinen kzeptierten Sprchen sind genu die kontextsensitiven Sprchen (Typ 1)