Motivation. Kap. 4.2 Binäre Suchbäume ff Kap. 4.3: AVL-Bäume. Überblick. Pseudocode von SEARCH. in binären Suchbäumen. in binären Suchbäumen

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1 Kp. 4.2 inäre Schäme ff Kp. 4.: VL-äme Professor r. Lehrsthl für lgorithm Engineering, LS11 Fkltät für Informtik, TU ortmnd Motition Wrm soll ich hete hier leien? lncierte äme rchen Sie immer wieder! Ws git es hete esonderes? Schöne nimtionen: Rottionen 12./1. VO P2 SS / Üerlick Krz-Wiederholng inäre Schäme + Psedocode Einführng on VL-ämen Implementierng der Opertionen Schönes J-pplet Implementierng Worst se nlyse on on SERH(r,s) inryserch in inären Schämen Wiederholng 1. Vergleiche s mit dem Schlüssel r.key n der Wrzel r (des Teilms) 2. Flls gefnden: STOP!. Sonst: Flls s < r.key: sche im linken Teilm 4. Sonst: sche im rechten Teilm. Gehe z 1.. sge: nicht gefnden! 4 Psedocode on SERH Einge: m mit Wrzel p; Schlüssel s sge: Knoten mit Schlüssel s oder nil, flls s nicht d Fnction SERH(p,s):TreeNode (1) while p nil p.key s do { (2) if s < p.key then () p:=p.left (4) else p:=p.right () } () retrn p Implementierng Worst se nlyse on on INSERT(r,q) inryserch in inären Schämen Einfügen eines Knotens q mit Schlüssel s nd Wert in den m mit Wrzel r, flls noch nicht orhnden; sonst Wert üerschreien mit 1. Sche nch s 2. Flls die Sche erfolgreich endet, dnn gilt p.key==s; nn: p.info:=. Sonst: endet mit der Position eines leeren Unterms: Einfügen on q n diese Position 1

2 Psedocode on INSERT Einge: m mit Wrzel root; Schlüssel s nd Wert Prozedr INSERT(root,s,):TreeNode (1) r TreeNode r,p (2) r:=nil; p:=root () while p nil do { (4) r:=p // r ist der zletzt escht Knoten () if s < p.key then () p:=p.left () else if s > p.key then p:=p.right () else { // s==p.key (9) p.info := () retrn (11) } } //end while Psedocode on INSERT ff // Sche endet n leerem Unterm // r ist letzter nicht-leerer Knoten (12) q := new TreeNode (1) q.prent := r (14) q.key := s (1) q.info := (1) if r == nil then (1) root := q // neen Knoten in leeren m einfügen (1) else if q.key < r.key then r.left := q (19) else r.right := q Worst se nlyse on inryserch Predecessor-Sche Predecessor(1) = 1 Predecessor(1) = 12 Predecessor( ) = 2 Worst se nlyse on inryserch Implementierng on PREEESSOR(r,p) 1. Flls p linkes Kind ht: Retrn Mximm(p.left) 2. Sonst: Flls p rechtes Kind ist: Retrn(p.prent). Sonst: wndere solnge nch oen is der ktelle Knoten zm ersten Ml rechtes Kind ist; dnn: Retrn(p.prent) 4. oder die Wrzel erreicht ist; dnn: existiert kein Vorgänger (größter Knoten mit key p.key). 9 Psedocode on PREEESSOR Einge: Knoten p nil sge: Vorgänger on Knoten p in Inorder-Trersierng Fnction PREEESSOR(p):TreeNode (1) r TreeNode q // q ist prent on p (2) if p.left nil then () retrn MXIMUM(p.left) (4) else { () q:=p.prent () while q nil nd p==q.left do { () p := q () q := q.prent (9) } Worst se nlyse on inryserch Implementierng on MXIMUM 1. Wir drchlfen on Wrzel s rekrsi den rechten Unterm, is wir f ein leeres Kind treffen. 2. er letzte drchlfene Knoten enthält dnn den größten Schlüssel. Psedocode: Einge: nichtleerer m mit Wrzel p nil sge: Knoten im m mit kleinstem Schlüssel Fnction MINIMUM(p):TreeNode (1) while p.right nil do p:=p.right (2) retrn p () retrn q } 12 2

3 Worst se nlyse on inryserch eispiel für ELETE(r,q) Worst se nlyse on inryserch eispiel für ELETE(r,q) Fll 2: q ht gen ein Kind Fll 1: q ist ltt Worst se nlyse on inryserch eispiel für ELETE(r,q) Worst se nlyse on inryserch eispiel für ELETE(r,q) 1 1 Fll : q ht gen 2 Kinder 1 Fll : q ht gen 2 Kinder Predecessor(q): Predecessor(q): Worst se nlyse on inryserch eispiel für ELETE(r,q) Worst se nlyse on inryserch eispiel für ELETE(r,q) 1 1 Fll : q ht gen 2 Kinder 1 Fll : q ht gen 2 Kinder Predecessor(q): Predecessor(q):

4 Worst Implementierng se nlyse on ELETE(r,q) inryserch in inären Schämen Entfernt Knoten q im m mit Wrzel r 1. Sche nch q.key Sche endet n Knoten 2. Flls nil, dnn. Flls keine Kinder esitzt, dnn: streiche 4. Flls gen ein Kind ht: ändere 2 Zeiger ( hersschneiden ). Flls zwei Kinder ht, dnn ht y:=predecessor() kein rechtes Kind (wrm??): Hersschneiden zw. Entfernen on y nd Ersetzen on q drch y. Psedocode on ELETE Einge: m mit Wrzel root; Schlüssel s (existiert!) Entfernt Knoten mit Schlüssel s s m Prozedr ELETE(root,s) (1) r TreeNode r,p,q // r wird hersgeschnitten (2) q := SERH(root,s) () if q.left == nil or q.right==nil then (4) r := q () else { () r:=preeessor(q) // Vorgänger existiert () q.key := r.key; q.info := r.info //Umhängen der ten on r nch q () } 19 Psedocode on ELETE ff // jetzt löschen wir Knoten r mit mximl einem Kind // lsse p f Kind on r zeigen (flls Kind ex.) (9) if r.left nil then p := r.left else p:=r.right () if p nil then p.prent := r.prent //neer Elter on p wird Elter on r (11) if r.prent == nil then root := p // neer Elter on p wird Elter on r (12) else if r == r.prent.left then (1) r.prent.left := p // p wird linker Nchfolger (14) else r.prent.right := p // p wird rechter Nchfolger Worst se nlyse on inryserch nlyse der Opertionen 1. lle Opertionen enötigen eine Lfzeit on O(h(T)) für inäre Schäme, woei h(t) die Höhe des gegeenen Schmes T ist. Frge: Wie hoch knn h(t) für einen inären Schm mit n Knoten sein? hängigkeit der Höhe on der Einfügereihenfolge Worst se nlyse on inryserch Einfügereihenfolge: 1,,4,,,9 m ist z linerer Liste degeneriert Prolem: Schzeit ist liner, d h(t)=n-1 Einfügereihenfolge:,,,4,1,9 1 4 Kp. 4.: VL-äme

5 VL-äme sind sogennnte lncierte äme. lncierte äme erschen sich regelmäßig wieder szlncieren, m z grntieren, dss die Höhe logrithmisch leit. Hierfür git es erschiedene Möglichkeiten: höhenlncierte äme gewichtslncierte äme (,)-äme lncierte äme Um die isherigen inären Schäme on den lncierten ämen zgrenzen, nennt mn erstere ch ntürliche inäre Schäme. 2 lncierte äme Höhenlncierte äme: ie Höhen der Unteräme eines Knotens nterscheiden sich m höchstens eine Konstnte VL-äme Gewichtslncierte äme: ie nzhl der Knoten in den Unterämen jedes Knotens nterscheidet sich höchstens m eine Konstnte. (,)-äme (2 ): Jeder innere Knoten (ßer der Wrzel) ht zwischen nd Kinder nd lle lätter hen den gleichen stnd zr Wrzel. -äme: s. Kp efinitionen für VL-äme Höhe eines Knotens: Länge eines längsten Pfdes on z einem Nchkommen on Höhe eines mes: Höhe seiner Wrzel Höhe eines leeren mes: -1 lnce eines Knotens: l()=h 2 -h 1, woei h 1 nd h 2 die Höhe des linken zw. rechten Untermes on ezeichnen heißt lnciert: wenn l() {-1,0,+1}, sonst heißt nlnciert 2 Worst se nlyse on inryserch h()=1 h()=0 h(wrzel)=2 l()=0 l()=1 l(wrzel)=0 ezeichnngen Tiefe Höhe 2 Wrzel d()=1 d()=2 d(wrzel)=0 Höhe h(): Länge eines längsten Pfdes on z einem Nchkommen on Höhe h(t r ) eines (Teil-)mes T r mit Wrzel r: mx { d(): ist Knoten in T r } = Höhe seiner Wrzel eispiele für lnciert üen! h(t )=1 h(t )=0 h(t Wrzel )=2 VL-äme wrden 192 eingeführt on G.M. delson-velskii nd Y.M. Lndis VL-äme sind höhenlnciert. Mn knn zeigen: VL-äme efinition: Ein VL-m ist ein inärer Schm, ei dem lle Knoten lnciert sind. Theorem: Ein VL-m mit n Kindern ht Höhe O(log n). Implementierngen der Opertionen Serch Minimm Mximm Sccessor Predecessor gen wie ei den ntürlichen inären Schämen. 0 1

6 Implementierng der Opertionen Insert nd elete in VL-ämen Idee: znächst wie ei den ntürlichen inären Schämen. Flls m nicht mehr lnciert ist, dnn wissen wir, dss ein Knoten f dem Schpfd existiert mit l() {-2,+2} Wir relncieren den m nn n dieser Stelle, so dss er dnch wieder lnciert ist. eispiel 1: l()=2 Rottionen (1) l()=1 Rottion nch links n l()=0 l()=0 ist nlnciert,, sind lnciert 2 eispiel 2: l()=2 Rottionen (2) l()=0 Rottion nch links n l()=2 Rottionen () l()=0 Rottion nch links n l()=1 l()=-1 flsch: die mss mitwndern ist nlnciert,, sind lnciert so flsch: korrekt! die Wrm mss mitwndern eigentlich? ist nlnciert,, sind lnciert ie Schmeigenschft leit ei einer Rottion erhlten. Nch einer Rottion entsteht wieder ein inärer Schm 4 chtng: dies ist nicht so wenn Petr gleiche Mtzel Schlüssel P2 enthlten SS09 sind eispiel : l()=2 Rottionen (4) l()=-1 Rottion nch links n l()=0 l()=0 l()=2 Rottionen () l()=-1 Rottion nch links n l()=1 l()=-2 ist nlnciert flsch: s wr keine Rottion!!! ist nlnciert iese Rottion ht nichts genützt!

7 l()=2 l()=-1 Rottionen () l()=2 l()=1 l()=0 l()=0 l()=0 oppelrottionen d d c c d Rottion nch rechts n Rottion nch links n c oppelrottion Rechts-Links notwendig! 9 efinition VL-Ersetzng: Opertion (z. Insert, elete), die einen Unterm T eines Knotens z drch einen modifizierten VL-m ersetzt, dessen Höhe m höchstens 1 on der Höhe on T weicht. Relncierng Wir etrchten einen VL-m nmittelr nch einer VL-Ersetzng (Einfügng zw. Entfernens eines Knotens). Sei ein nlncierter Knoten mximler Tiefe, d.h. l() {-2,+2}. Sei T der mximle Unterm mit Wrzel in T. Wir nterscheiden ier erschiedene Sittionen Fll: l()=-2 Sei ds linke Kind on (existiert!) Fll 1.1: l() {-1,0}: Rottion nch rechts n l()=-2 l() {0,1} Rottion nch rechts Wir wissen: h()=h()-1 nd h()=h() oder h()-1 Schmeigenschft leit erhlten; nd sind lnciert Für die Knoten nterhl ht sich nichts geändert. 1. Fll: l()=- 2 ff. Sei ds linke Kind on (existiert!) Fll 1.2: l()=+1: Links-Rechtsrottion n l()=1 w l()=-2 Linksrottion n dnn Rechtsrottion n h()=h() nd ( h()=h() oder h()=h() ) w, nd w sind lnciert

8 21. Fll: l()= + -2 Sei ds rechte linke Kind on (existiert!) Fll 21.1: l() {-1,0}: Rottion {0,1} nch rechts links n l()=-2 l()=2 Rottion nch rechts links h()=h()-1 nd h()=h() oder h()=h()-1 Inorder-Reihenfolge leit erhlten nd nd sind lnciert Für die Knoten nterhl ht Petr sich Mtzel nichts geändert Fll: l()= ff. Sei ds rechte linke Kind on (existiert!) Fll 21.2: l()=+1: Links-Rechtsrottion -1 Rechts-Links n l()=-2 l()=2 w l()=-1 Rechts- Linksrottion n dnn Rechts- Linksrottion n h()=h() nd ( h()=h() oder h()=h() ) w, nd w sind lnciert Relncierng ff. Seien T der mximle Unterm mit Wrzel in T or der Relncierng, T der gleiche Teilm nch einer einfchen Rottion nd T nch einer oppelrottion. Für die einfche Rottion gilt: h(t )-h(t) {-1,0} Im Flle der oppelrottion gilt: h(t )-h(t) = -1 lle Trnsformtionen (Einfch- nd oppelrottionen) knn mn lso ls eine VL- Ersetzng ffssen. 4 Relncierng ff. Nch der VL-Ersetzng gilt: ie Unteräme mit Wrzel nd sind dnch lnciert. Für die Unteräme nterhl ht sich die lncierng nicht geändert. estimme nn den nächsten nlncierten Knoten mximler Tiefe. iese Tiefe ist nn kleiner ls orher. Wiederhole die Relncierng (VL-Ersetzng) solnge, is lle Knoten lnciert sind. s Verfhren konergiert nch O(h(T)) Itertionen z einem gültigen VL-m. Relncierng ff. ie Insert-Opertion nterscheidet sich nr insofern on der elete-opertion, dss hier ein einziger Relncierngsschritt genügt. ei der elete-opertion hingegen knn es sein, dss mehrere Relncierngsschritte notwendig sind. Implementierngen: ereinfcht: ohne prent 0 RotteRight() Fnction h():int If =nil then retrn -1 else retrn.height Fnction RotteRight():TreeNode (1) :=.left //estimme (2).left:=.right ().right:= (4).height:=mx(h(.left),h(.right))+1 ().height:=mx(h(.left),h())+1 () retrn //nee Wrzel 1

9 RotteLeftRight() Fnction RotteLeftRight():TreeNode (1).left:=RotteLeft(.left) (2) retrn RotteRight() eispiel: c d c d c d INSERTVL(p,q) (1) If p==nil then INSERT(p,q) (2) else () If q.key<p.key then { (4) INSERTVL(p.left,q) () if h(p.right)-h(p.left)==-2 then { () if h(p.left.left)>h(p.left.right) then () p=rotteright(p) () else p=rotteleftright(p) (9) } } 2 4 INSERTVL(p,q) ff () Else { (11) If q.key>p.key then (12) INSERTVL(p.right,q) (1) if h(p.right)-h(p.left)==2 then (14) if h(p.right.right>h(p.right.left) then (1) p=rotteleft(p) (1) else p=rotterightleft(p) (1) } } (1) p.height:=mx(h(p.left),h(p.right))+1 nlyse Rottionen nd oppelrottionen können in konstnter Zeit sgeführt werden. Eine Relncierng wird höchstens einml n jedem Knoten f dem Pfd om eingefügten oder gelöschten Knoten zr Wrzel drchgeführt. Insert nd elete-opertionen sind in einem VL- m in Zeit O(log n) möglich. VL-äme nterstützen die Opertionen Schen, Insert, elete, Minimm, Mximm, Sccessor, Predecessor, in Zeit O(log n). iskssion J-pplets Wenn oft gescht nd selten mgeordnet wird, sind VL-äme günstiger ls ntürliche inäre Schäme. Flls jedoch fst jeder Zgriff ein Einfügen oder Entfernen ist (hinreichend zfällig), dnn sind ntürliche inäre Schäme orzziehen. Es git z VL-ämen sehr schöne J- pplets, die die oppelrottionen sehr schön drstellen, z.. die Stdimsseiten on Mth e (Prism) : Modle/inSch/index.html ENE 9

10 Zm sschneiden nd Üen