Datenstrukturen und Algorithmen

Transkript

1 Datenstrukturen und Algorithmen VO Bäume 1

2 Inhalt der Vorlesung 1. Motivation, Einführung, Grundlagen 2. Algorithmische Grundprinzipien 3. Sortierverfahren 4. Halden 5. Gestreute Speicherung 6. Suchen in linearen Feldern 7. Bäume Bäume 2

3 In der letzten Vorlesung 1. Statische, kleine Menge: Feld als Datenstruktur Ohne Vorsortierung, z.b. A=[34, 4, 99, 13, 42] Sequentielle Suche Selbstanordnende Felder Mit Vorsortierung, z.b. A=[4, 13, 34, 42, 99] Binärsuche Interpolationssuche Quadratische Binärsuche Fastsearch Suchen in linearen Feldern 3

4 In dieser Vorlesung 2. Dynamisch, große Menge, effiziente Zugriffe notwendig z.b. große Produktdatenbanken, Suchmaschinen, Lösung: Baum als dynamische Datenstruktur (einfu gen, löschen), organisiert als binärer Suchbaum. Suchen in O(h), wobei h die Baumhöhe ist. Effizientes Suchen: Binärer Suchbaum, der eine möglichst geringe Höhe h garantiert. Sollte möglichst balanziert sein, z.b. 2-4 Baum, Rot-Schwarz Baum usw. Suchen in linearen Feldern robert.legenstein@igi.tugraz.at 4

5 Bäume Definition: Ein Baum ist eine Menge, die durch eine sog. Nachfolgerrelation strukturiert ist. Elemente: Knoten In einem Baum gilt: Knoten w ohne Vater(w) (w=wurzel) 1 1 Knoten k w Knotenfolge k 0, k 1,, k t mit k 0 =k, k t =w und k i =Vater(k i-1 ) für i=1, 2,, t. (Ast zwischen k und w, Länge t, t Tiefe des Knotens k) Bäume robert.legenstein@igi.tugraz.at 5

6 Bäume Ordnung eines Knotens: Anzahl seiner Söhne Ordnung eines Baumes: maximale Ordnung aller Knoten Die Knoten eines Baumes sind entweder Blätter (Knoten ohne Söhne, Ordnung 0) oder innere Knoten (Ordnung >0) Jeder Knoten ist Wurzel eines Teilbaumes Höhe eines Baumes: Länge des längsten Pfades von der Wurzel bis zu einem Blatt Voller Baum der Ordnung k: Jeder Knoten hat genau k Söhne oder ist ein Blatt Ein vollständiger Baum ist ein voller Baum, bei dem jedes Blatt gleiche Tiefe hat Bäume robert.legenstein@igi.tugraz.at 6

7 Bäume Anwendungen: Hierarchische Strukturen: Inklusionsstrukturen: Bäume 7

8 Bäume Anwendungen in der Informatik: Rekursionsbäume Entscheidungsbäume Suchbäume Haldenbäume Codebäume u.v.a. Beispiel (Syntaxbäume): Arithmetische Ausdrücke Blätter (= Knoten ohne Söhne) enthalten Zahlen, innere Knoten speichern Operatoren (+, -, *, /). + * 2 5 / Bäume robert.legenstein@igi.tugraz.at 8

9 Binärbäume Jeder Knoten hat maximal zwei Nachfolger Existiert ein Sohn- oder ein Vaterknoten nicht, wird nil zurückgeliefert Bäume 9

10 Binärbäume Auslesereihenfolge der Knoten: Symmetrische Reihenfolge (SR, inorder): linker Teilbaum in SR, Wurzel, rechter Teilbaum in SR Aufruf: SR(w) w Wurzel T(n) = Θ(n) Beispiel: / * Infix-Notation 2 5 Bäume robert.legenstein@igi.tugraz.at 10

11 Binärbäume Reihenfolge der Knoten: Hauptreihenfolge (HR, preorder): Wurzel, linker Teilbaum in HR, rechter Teilbaum in HR Nebenreihenfolge (NR, postorder): linker Teilbaum in NR, rechter Teilbaum in NR, Wurzel / * + (HR) Postfix-Notation (NR) Bäume robert.legenstein@igi.tugraz.at 11

12 Sortierte Binärbäume Binäre Suchbäume sind in symmetrischer Reihenfolge sortiert Knoten im linken Teilbaum Wurzel Knoten im rechten Teilbaum Bäume 12

13 Sortierte Binärbäume Suchen (binäre Suche): b gesuchter Wert k Wurzel des Teilbaums Aufruf: SUCHE(b, w) Suchzeit: O(h) h Höhe des Baumes (= Länge des längsten Astes) Bäume robert.legenstein@igi.tugraz.at 13

14 Sortierte Binärbäume Minimum und Maximum: BAUM_MINIMUM(k) 1: WHILE links(k) nil 2: k links(k) 3: RETURN wert(k) BAUM_MAXIMUM(k) 1: WHILE rechts(k) nil 2: k rechts(k) 3: RETURN wert(k) k Wurzel des Teilbaums Laufzeit: jeweils O(h) Bäume robert.legenstein@igi.tugraz.at 14

15 Sortierte Binärbäume Einfügen: Wert suchen, Dann entsprechend als Blatt anhängen. Bäume 15

16 Sortierte Binärbäume Einfügen: EINFÜGEN(B,k) 1: y nil; x wurzel(b) 2: WHILE x nil 3: y x 4: IF wert(k) < wert(x) THEN 5: x links(x) 6: ELSE 7: x rechts(x) 8: vater(k) y 9: IF y=nil THEN 10: wurzel(b) k 11: ELSE IF wert(k) < wert(y) THEN 12: links(y) k 13: ELSE rechts(y) k Fügt den Knoten k in den Binärbaum B ein Simuliere eine Suche nach k, bis zu einer freien Stelle (x=nil). y zuku nftiger Vater Dort fügen wir das Element als Sohn von y ein. Baum B war leer Laufzeit: O(h) Bäume robert.legenstein@igi.tugraz.at 16

17 Sortierte Binärbäume Aufbau eines sortierten Binärbaumes: durch wiederholtes Einfügen ( natürliche Bäume) Binärbaum hängt von der Reihenfolge der Elemente ab T(n) = O(n*h) = Θ(n 2 ), wenn h = Θ(n) Einige Reihenfolgen liefern entartete Bäume (= Listen) Fügt man randomisiert ein, ist E[h] klein Bäume robert.legenstein@igi.tugraz.at 17

18 Sortierte Binärbäume Entfernen: Suchen Knoten k a) k ist Blatt: abhängen b) k hat nur einen Sohn: Teilbaum von diesem Sohn an VATER(k) anhängen c) k hat 2 Söhne: Finde k': nächster Knoten in der sortierten Knotenfolge (gehe einmal rechts, dann immer links) k' hat keinen linken Sohn! Setze WERT(k) = WERT(k' ) Entferne k' (Fall a oder b) Laufzeit: O(h) Bäume robert.legenstein@igi.tugraz.at 18

19 Sortierte Binärbäume Vorgänger und Nachfolger: Nachfolger von k: Nächster Knoten in der (nach Werten) sortierten Reihenfolge (= nächstgrößerer Wert im Baum oder gleicher Wert) NACHFOLGER(k) 1: IF rechts(k) nil 2: return BAUM_MINIMUM(rechts(k)) 3: y vater(k) 4: WHILE y nil AND k = rechts(y) 5: k y 6: y vater(y) 7: return(y) Wenn ein rechter Sohn existiert, suche das Minimum in diesem Teilbaum, sonst suche den niedrigsten Knoten, bei dem sich k im linken Teilbaum befindet Laufzeit: O(h) Bäume robert.legenstein@igi.tugraz.at 19

20 Sortierte Binärbäume Vorgänger und Nachfolger: Vorgänger von k: Vorgängerknoten in der (nachwerten) sortierten Reihenfolge VORGÄNGER(k) 1: IF links(k) nil 2: return BAUM_MAXIMUM(links(k)) 3: y vater(k) 4: WHILE y nil AND k = links(y) 5: k y 6: y vater(y) 7: return(y) Wenn ein linker Sohn existiert, suche das Maximum in diesem Teilbaum, sonst suche den niedrigsten Knoten, bei dem sich k unter dem rechten Sohn befindet Laufzeit: O(h) Bäume robert.legenstein@igi.tugraz.at 20

21 Sortierte Binärbäume Zusammenfassung: Minimum Maximum Vorgänger Nachfolger Einfügen Löschen Suchen Alle Operationen in O(h) Zeit h Baumhöhe Vorteil: dynamische Lösung des Wörterbuchproblems Nachteil: Zeiten bis zu Θ(n) (bei entarteten Bäumen). Bäume robert.legenstein@igi.tugraz.at 21