Datenstrukturen und Algorithmen

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1 Datenstrukturen und Algorithmen VO Bäume 1

2 Inhalt der Vorlesung 1. Motivation, Einführung, Grundlagen 2. Algorithmische Grundprinzipien 3. Sortierverfahren 4. Halden 5. Gestreute Speicherung 6. Suchen in linearen Feldern 7. Bäume Bäume 2

3 In der letzten Vorlesung 1. Statische, kleine Menge: Feld als Datenstruktur Ohne Vorsortierung, z.b. A=[34, 4, 99, 13, 42] Sequentielle Suche Selbstanordnende Felder Mit Vorsortierung, z.b. A=[4, 13, 34, 42, 99] Binärsuche Interpolationssuche Quadratische Binärsuche Fastsearch Suchen in linearen Feldern 3

4 In dieser Vorlesung 2. Dynamisch, große Menge, effiziente Zugriffe notwendig z.b. große Produktdatenbanken, Suchmaschinen, Lösung: Baum als dynamische Datenstruktur (einfu gen, löschen), organisiert als binärer Suchbaum. Suchen in O(h), wobei h die Baumhöhe ist. Effizientes Suchen: Binärer Suchbaum, der eine möglichst geringe Höhe h garantiert. Sollte möglichst balanziert sein, z.b. 2-4 Baum, Rot-Schwarz Baum usw. Suchen in linearen Feldern 4

5 Bäume Definition: Ein Baum ist eine Menge, die durch eine sog. Nachfolgerrelation strukturiert ist. Elemente: Knoten In einem Baum gilt: Knoten w ohne Vater(w) (w=wurzel) 1 1 Knoten k w Knotenfolge k 0, k 1,, k t mit k 0 =k, k t =w und k i =Vater(k i-1 ) für i=1, 2,, t. (Ast zwischen k und w, Länge t, t Tiefe des Knotens k) Bäume 5

6 Bäume Ordnung eines Knotens: Anzahl seiner Söhne Ordnung eines Baumes: maximale Ordnung aller Knoten Die Knoten eines Baumes sind entweder Blätter (Knoten ohne Söhne, Ordnung 0) oder innere Knoten (Ordnung >0) Jeder Knoten ist Wurzel eines Teilbaumes Höhe eines Baumes: Länge des längsten Pfades von der Wurzel bis zu einem Blatt Voller Baum der Ordnung k: Jeder Knoten hat genau k Söhne oder ist ein Blatt Ein vollständiger Baum ist ein voller Baum, bei dem jedes Blatt gleiche Tiefe hat Bäume 6

7 Bäume Anwendungen: Hierarchische Strukturen: Inklusionsstrukturen: Bäume 7

8 Bäume Anwendungen in der Informatik: Rekursionsbäume Entscheidungsbäume Suchbäume Haldenbäume Codebäume u.v.a. Beispiel (Syntaxbäume): Arithmetische Ausdrücke Blätter (= Knoten ohne Söhne) enthalten Zahlen, innere Knoten speichern Operatoren (+, -, *, /). + * 2 5 / Bäume 8

9 Binärbäume Jeder Knoten hat maximal zwei Nachfolger Existiert ein Sohn- oder ein Vaterknoten nicht, wird nil zurückgeliefert Bäume 9

10 Binärbäume Auslesereihenfolge der Knoten: Symmetrische Reihenfolge (SR, inorder): linker Teilbaum in SR, Wurzel, rechter Teilbaum in SR Aufruf: SR(w) w Wurzel T(n) = Θ(n) Beispiel: / * Infix-Notation 2 5 Bäume 10

11 Binärbäume Reihenfolge der Knoten: Hauptreihenfolge (HR, preorder): Wurzel, linker Teilbaum in HR, rechter Teilbaum in HR Nebenreihenfolge (NR, postorder): linker Teilbaum in NR, rechter Teilbaum in NR, Wurzel / * + (HR) Postfix-Notation (NR) Bäume 11

12 Sortierte Binärbäume Binäre Suchbäume sind in symmetrischer Reihenfolge sortiert Knoten im linken Teilbaum Wurzel Knoten im rechten Teilbaum Bäume 12

13 Sortierte Binärbäume Suchen (binäre Suche): b gesuchter Wert k Wurzel des Teilbaums Aufruf: SUCHE(b, w) Suchzeit: O(h) h Höhe des Baumes (= Länge des längsten Astes) Bäume 13

14 Sortierte Binärbäume Minimum und Maximum: BAUM_MINIMUM(k) 1: WHILE links(k) nil 2: k links(k) 3: RETURN wert(k) BAUM_MAXIMUM(k) 1: WHILE rechts(k) nil 2: k rechts(k) 3: RETURN wert(k) k Wurzel des Teilbaums Laufzeit: jeweils O(h) Bäume 14

15 Sortierte Binärbäume Einfügen: Wert suchen, Dann entsprechend als Blatt anhängen. Bäume 15

16 Sortierte Binärbäume Einfügen: EINFÜGEN(B,k) 1: y nil; x wurzel(b) 2: WHILE x nil 3: y x 4: IF wert(k) < wert(x) THEN 5: x links(x) 6: ELSE 7: x rechts(x) 8: vater(k) y 9: IF y=nil THEN 10: wurzel(b) k 11: ELSE IF wert(k) < wert(y) THEN 12: links(y) k 13: ELSE rechts(y) k Fügt den Knoten k in den Binärbaum B ein Simuliere eine Suche nach k, bis zu einer freien Stelle (x=nil). y zuku nftiger Vater Dort fügen wir das Element als Sohn von y ein. Baum B war leer Laufzeit: O(h) Bäume 16

17 Sortierte Binärbäume Aufbau eines sortierten Binärbaumes: durch wiederholtes Einfügen ( natürliche Bäume) Binärbaum hängt von der Reihenfolge der Elemente ab T(n) = O(n*h) = Θ(n 2 ), wenn h = Θ(n) Einige Reihenfolgen liefern entartete Bäume (= Listen) Fügt man randomisiert ein, ist E[h] klein Bäume 17

18 Sortierte Binärbäume Entfernen: Suchen Knoten k a) k ist Blatt: abhängen b) k hat nur einen Sohn: Teilbaum von diesem Sohn an VATER(k) anhängen c) k hat 2 Söhne: Finde k': nächster Knoten in der sortierten Knotenfolge (gehe einmal rechts, dann immer links) k' hat keinen linken Sohn! Setze WERT(k) = WERT(k' ) Entferne k' (Fall a oder b) Laufzeit: O(h) Bäume 18

19 Sortierte Binärbäume Vorgänger und Nachfolger: Nachfolger von k: Nächster Knoten in der (nach Werten) sortierten Reihenfolge (= nächstgrößerer Wert im Baum oder gleicher Wert) NACHFOLGER(k) 1: IF rechts(k) nil 2: return BAUM_MINIMUM(rechts(k)) 3: y vater(k) 4: WHILE y nil AND k = rechts(y) 5: k y 6: y vater(y) 7: return(y) Wenn ein rechter Sohn existiert, suche das Minimum in diesem Teilbaum, sonst suche den niedrigsten Knoten, bei dem sich k im linken Teilbaum befindet Laufzeit: O(h) Bäume 19

20 Sortierte Binärbäume Vorgänger und Nachfolger: Vorgänger von k: Vorgängerknoten in der (nachwerten) sortierten Reihenfolge VORGÄNGER(k) 1: IF links(k) nil 2: return BAUM_MAXIMUM(links(k)) 3: y vater(k) 4: WHILE y nil AND k = links(y) 5: k y 6: y vater(y) 7: return(y) Wenn ein linker Sohn existiert, suche das Maximum in diesem Teilbaum, sonst suche den niedrigsten Knoten, bei dem sich k unter dem rechten Sohn befindet Laufzeit: O(h) Bäume 20

21 Sortierte Binärbäume Zusammenfassung: Minimum Maximum Vorgänger Nachfolger Einfügen Löschen Suchen Alle Operationen in O(h) Zeit h Baumhöhe Vorteil: dynamische Lösung des Wörterbuchproblems Nachteil: Zeiten bis zu Θ(n) (bei entarteten Bäumen). Bäume 21

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