Wiederholung ADT Menge Ziel: Verwaltung (Finden, Einfügen, Entfernen) einer Menge von Elementen

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Wiederholung ADT Menge Ziel: Verwaltung (Finden, Einfügen, Entfernen) einer Menge von Elementen"

Transkript

1 Was bisher geschah abstrakter Datentyp : Signatur Σ und Axiome Φ z.b. ADT Menge zur Verwaltung (Finden, Einfügen, Entfernen) mehrerer Elemente desselben Typs Spezifikation einer Schnittstelle Konkreter Datentyp : Σ-Struktur, die Φ erfüllt Realisierung Ein abstrakter Datentyp repräsentiert die Menge aller seiner möglichen Realisierungen (konkreten Datentypen, die den ADT erfüllen). Datenstrukturen zur Verwaltung mehrerer Elemente desselben Typs: lineare Datenstrukturen: Arrays (schneller Zugriff auf jedes Element über Index) Listen (rekursiv) Stack, Queue (eingeschränkter Zugriff auf spezielle Elemente) hierarchische Datenstrukturen: Bäume (rekursiv) Spezialfälle: Binärbäume, Unärbäume = Listen 140

2 Wiederholung ADT Menge Ziel: Verwaltung (Finden, Einfügen, Entfernen) einer Menge von Elementen Sorten: Bool, Element, Menge (hier kurz für Menge Element ) Signatur: emptyset : Menge isempty : Menge Bool contains : Menge Element Bool add, remove : Menge Element Menge Axiome (alle -quantifiziert: s Menge e Element): contains(add(s, e), e) = t, contains(remove(s, e), e) = f, Φ = isempty(add(s, e)) = f, add(add(s, e), e ) = add(add(s, e ), e), add(add(s, e), e) = add(s, e),... (+ Axiome der Booleschen Algebra) 141

3 Realisierungen des ADT Menge in linearen Datenstrukturen (Array): unsortiert : sortiert : contains O(n) (lineare Suche) add O(1) (anfügen) remove O(n) (Entfernen und Nachrücken) contains O(log(n)) (binäre Suche) add O(n) (sortiertes Einfügen und Platzschaffen) remove O(n) (Entfernen und Nachrücken) (Größe der Eingabe: Anzahl der Elemente) Aufwand zum sortierten Einfügen lohnt sich bei häufiger Suche (Ausführung von contains) 142

4 Wiederholung Binärbaum data BinTree a = Leaf Branch {key::a, left::bintree a, right::bintree a} rekursive Funktionen auf Bäumen, z.b. Durchquerungen Beispiel: Rekursive Bestimmung aller Teilbäume Spezifikation: V: Eingabe Binärbaum t N: Ausgabe Liste aller Teilbäume von t rekursives Verfahren: subtrees :: BinTree a -> [BinTree a] subtrees t = case t of Leaf -> [t] (Branch k l r) -> t : (subtrees l) ++ (subtrees r) 143

5 Realisierung des ADT Menge durch Binärbäume Realisierung der Operationen des ADT Menge emptyset emptyset :: Eq a => BinTree a emptyset = Leaf Laufzeit: O(1) isempty isempty :: Eq a => BinTree a -> Bool isempty t = case t of Leaf -> True Branch k l r -> False Laufzeit: O(1) add (eine von vielen Möglichkeiten) add :: Eq a => BinTree a -> a -> BinTree a add t x = case t of Leaf -> Branch x Leaf Leaf Branch k l r -> Branch k (add l x) r Laufzeit: O(height(t)) mit height = Höhe des Baumes (Länge des längsten Wurzel-Blatt-Pfades) im ungünstigsten Fall (Baum ist Pfad): O(n) 144

6 Binärbäume: contains Spezifikation der Funktion contains (auf ADT Menge): V: Eingabe (M, x) mit Menge M A und x A N: true, falls x M false, sonst Spezifikation der Funktion contains (auf Binärbaum): V: Eingabe (t, x) mit Binärbaum t mit Schlüsseln aus A (repräsentiert die Menge) und x A N: true, falls t einen Teilbaum Branch(k, l, r) mit x = k enthält false, sonst in Haskell: contains :: Eq a => BinTree a -> a -> Bool contains t x = case t of Leaf -> False (Branch k l r) -> (k == x) contains l x contains r x Laufzeit: O(n) 145

7 Binäre Suchbäume Der Binärbaum t hat die Suchbaum-Eigenschaft gdw. für jeden Teilbaum t = Branch(x, l, r) von t gilt: für jeden Schlüsselwert y eines inneren Knotens von l gilt y < x für jeden Schlüsselwert v eines inneren Knotens von r gilt x < y Ergebnis der Inorder-Durchquerung jedes binären Suchbaumes ist eine aufsteigend sortierte Folge Laufzeit für sortierte Ausgabe aller im Suchbaum mit n Knoten enthaltenen Schlüssel: O(n) 146

8 Binäre Suchbäume: contains Spezifikation der Funktion contains (auf binärem Suchbaum): V: Eingabe (t, x) mit binärem Suchbaum t mit Schlüsseln aus A (repräsentiert die Menge) und x A N: true, falls t einen Teilbaum Branch(k, l, r) mit x = k enthält false, sonst Idee (rekursiv): IA: Der leere Baum Leaf enthält keinen Schlüssel. IS: Baum Branch(k, l, r) enthält x falls x = k oder x < k und linkes Kind enthält x oder x > k und rechtes Kind enthält x contains :: Ord a => BinTree a -> a -> Bool contains t x = case t of Leaf -> False Branch k l r -> if x == k then True else if x < k then contains l x else contains r x 147

9 Laufzeit der Suche Laufzeit von contains t x hängt von Größe der Menge (Anzahl n der Knoten in t) ab: falls t einen Teilbaum Branch(x, l, r) enthält: Länge des Pfades von Wurzel zu Teilbaum falls t keinen Teilbaum Branch(x, l, r) enthält: Länge des Wurzel-Blatt-Pfades (Höhe des Baumes t) höchstens Höhe des Baumes t (log(n) height(t) n) Suche im Suchbaum t in O(height(t)) (i.a. schneller als lineare Suche in einer Folge) 148

10 Extremwerte in binären Suchbäumen Spezifikation Minimum: V: Eingabe binärer Suchbaum t (Wurzel) N: Ausgabe m: minimaler in t vorkommender Schlüsselwert (undefiniert für leeren Baum) Idee: in jedem binären Suchbaum steht der minimale Schlüsselwert im äußeren linken Knoten (Minimum lässt sich ohne Schlüsselvergleich bestimmen.) mini :: Ord a => BinTree a -> a mini t = case t of Leaf -> undefined Branch k Leaf r -> k Branch k l r -> mini l Laufzeit höchstens Tiefe des Baumes t (log(n) tiefe(t) n) Maximum analog (äußerer rechter Knoten) 149

11 Einfügen in binäre Suchbäume Spezifikation add: V: Eingabe (t, x) mit binärem Suchbaum t mit der Schlüsselmenge {x 1,..., x n } und Schlüsselwert x N: Ausgabe binärer Suchbaum t mit der Schlüsselmenge {x 1,..., x n, x} Idee (rekursiv): IA: Einfügen in leeren Baum durch Erzeugung eines Knotens IS: in jedem Teilbaum: schon vorhandene Schlüssel nicht einfügen (Menge) Schlüssel < Wurzelschlüssel in linkes Kind einfügen Schlüssel > Wurzelschlüssel in rechtes Kind einfügen add :: Ord a => BinTree a -> a -> BinTree a add t x = case t of Leaf -> Branch x Leaf Leaf Branch k l r -> if x == k then t else if x < k then Branch k (add l x) r else Branch k l (add r x) 150

12 Iteriertes Einfügen Beim Einfügen der Elemente der Menge {2, 3, 5, 7} in verschiedenen Reihenfolgen in Leaf entstehen i.a. veschiedene Bäume Beispiel (Tafel): 3,7,5,2 5,3,7,2 2,3,5,7 Daraus lässt sich ein Sortierverfahren ableiten. Sortieren durch Einfügen in binären Suchbaum: 1. schrittweises Einfügen aller Elemente einer Menge in einen zu Beginn leeren binären Suchbaum 2. Sortierte Ausgabe durch Inorder-Durchquerung des so entstandenen binären Suchbaumes 151

13 Laufzeit Einfügen Idee: Schlüsselwert x wird dort in t eingefügt, wo ihn der Suchalgorithmus (contains) in t finden würde: falls x schon vorhanden: kein Einfügen falls x noch nicht vorhanden (Blatt): Ersetzen des Blattes durch neuen Knoten Branch x Leaf Leaf also dieselbe Laufzeit wie contains: höchstens Höhe des Baumes t (log(n) height(t) n) Einfügen in einen binären Suchbaum mit n Knoten in O(height(t)) Laufzeit des abgeleiteten Sortierverfahrens: O(n height(t)), 152

14 Löschen aus binären Suchbäumen Spezifikation remove: V: Eingabe (t, x) mit binärem Suchbaum t mit Schlüsseln {x 1,..., x n } und Schlüsselwert x N: Ausgabe binärer Suchbaum t mit Schlüsseln {x 1,..., x n } \ {x} mögliche Fälle: 1. x kommt nicht in t vor: Ergebnis t = t 2. x ist Schlüsselwert eines Teilbaumes s in t mit zwei leeren Kindern: Löschen des Knotens s (Ersetzen durch Leaf) 3. x ist Schlüsselwert eines Knotens s in t mit einem leeren Kind: Ersetzen des Knotens s durch sein einziges nichtleeres Kind 4. x ist Schlüsselwert eines Knotens s in t mit zwei nichtleeren Kindern: Tausch der Schlüsselwerte in s und dem linken äußeren Knoten r des rechten Kindes von s (Minimum des rechten Kindes) Löschen des Knotens r (rekursiv) Warum hat der so entstandene Baum die Suchbaumeigenschaft? Laufzeit für Löschen aus binärem Suchbaum t: O(height(t)) 153

15 Binäre Suchbäume: remove remove :: Ord a => BinTree a -> a -> BinTree a remove t x = case t of Leaf -> Leaf Branch k Leaf Leaf -> if x == k then Leaf else t Branch k l Leaf -> if x == k then l else Branch k (remove l x) Leaf Branch k Leaf r -> if x == k then r else Branch k Leaf (remove r x) Branch k l r -> if x == k then Branch (mini r) l (remove r (mini r)) else if x < k then Branch k (remove l x) r else Branch k l (remove r x) 154

16 Laufzeiten in binären Suchbäumen contains add remove in O(height(t)) Laufzeiten in Abhängigkeit von der Knotenzahl n = size(t): Extremfälle: für Pfade (entartete Bäume) height(t) = size(t) Laufzeit der Operationen O(n) für balancierte Bäume height(t) = log size(t) Laufzeit der Operationen O(log(n)) 155

17 Anwendung von Suchbäumen (Balancierte) binäre Suchbäume sind geeignet zum Speichern und schnellen Wiederfinden von Daten anhand ihnen zugeordneten Schlüsselwerten Binäre Suchbäume: Realisierung des ADT Menge für linear geordnete Mengen Realisierung von Wörterbüchern (= Mengen von Paaren (Schlüssel, Wert) mit eindeutigem Schlüssel aus einer linear geordneten Menge, z.b. N)), (= partielle Funktionen: Schlüsselbereich Wertebereich): Operationen: contains, add, remove, jeweils von Paaren (Schlüssel, Daten) z.b. Telefonbucheinträge über Namen (alphabetisch geordnet), Studenten über Studentennummern 156

18 Balancierte binäre Suchbäume Laufzeit für Suche, Einfügen, Löschen in Baum t mit n Knoten: O(height(t)) Ziel: Laufzeit für Suche, Einfügen, Löschen O(log(n)) Idee: balancierte Suchbäume, in denen die Tiefe jedes Blattes (etwa) gleich ist (also O(log(n))) 157

19 Vollständig balancierte Bäume Binärer Suchbaum t heißt vollständig balanciert, wenn in jedem Knoten Branch(x, l, r) in t gilt: size(l) size(r) 1 Tiefe jedes Knotens log(n) + 1 Beispiel (Tafel) 158

20 Operationen in vollständig balancierten Bäumen emptyset O(1) isempty O(1) contains O(log(n)) add, remove in je zwei Schritten: 1. Einfüge- und Löschoperation für balancierte binäre Suchbäume: O(log(n)) 2. Rebalancieren, d.h. Wiederherstellen der vollständigen Balance: i.a. aufwendig 159

21 AVL-Bäume (Adelson-Velskii, Landis, 1962) Binärer Suchbaum t heißt AVL-Baum, wenn in jedem Teilbaum Branch(k, l, r) in t gilt: height(r) height(l) 1 (AVL-Eigenschaft) Optimierung: Speichern der Balance height(r) height(l) in jedem Knoten erlaubt schnellen Test Laufzeiten: contains O(log(n)) add, remove Summe der Laufzeiten für 1. add, remove in balancierten binären Suchbäumen: O(log(n)) 2. Wiederherstellung der AVL-Eigenschaft:? 160

22 Rebalancieren in AVL-Bäumen notwendig bei Verletzung der AVL-Eigenschaft im Teilbaum Branch(k, l, r) mit height(l) height(r) = 2 geschieht nach Einfügen (als neues Blatt) oder Löschen (rekursives Ersetzen durch einziges Kind oder Minimum im rechten Teilbaum) evtl. Verletzung in mehreren Vorgängern des eingefügten Knotens Fälle vor dem Einfügen: Balance = 0: height(l) = height(r) nach Einfügen keine Verletzung der AVL-Eigenschaft 1: height(l) = height(r) + 1 nach Einfügen in r keine Verletzung der AVL-Eigenschaft nach Einfügen in l evtl. Verletzung der AVL-Eigenschaft +1: height(l) + 1 = height(r) nach Einfügen in l keine Verletzung der AVL-Eigenschaft nach Einfügen in r evtl. Verletzung der AVL-Eigenschaft (Fälle 1 und +1 sind symmetrisch) 161

23 (Einfache) Rotation in AVL-Bäumen bei Verletzungen der AVL-Eigenschaft im tiefsten Teilbaum k der Form k = Branch(x, Branch(y, l, r), s) mit height(l) 1 = height(r) = height(s) (Balance im Teilbaum mit Wurzelschlüssel x: 2, y: 1) Ersetzung von k durch lrotate(k) = Branch(y, l, Branch(x, r, s)) (Linksrotation) analog (symmetrischer Fall): Verletzungen der AVL-Eigenschaft im tiefsten Teilbaum k der Form k = Branch(x, l, Branch(y, r, s)) mit height(l) = height(r) = height(s) 1 (Balance im Teilbaum mit Wurzelschlüssel x: +2, y: +1) Ersetzung von k durch rrotate(k) = Branch(y, Branch(x, l, r), s) (Rechtsrotation) 162

24 Doppel-Rotation in AVL-Bäumen bei Verletzungen der AVL-Eigenschaft im tiefsten Teilbaum der Form k = Branch(x, Branch(y, l, Branch(z, r, s)), t) mit Balance im Teilbaum mit Wurzelschlüssel x: 2, y: +1 Ersetzung von k durch lrrotate(k) = Branch(z, Branch(y, l, r), Branch(x, s, t)) Links-Rechts-Rotation besteht aus zwei aufeinanderfolgenden einfachen Rotationen: rrotate(left(k)) danach lrotate(k) symmetrischer Fall: k = Branch(x, t, Branch(y, Branch(z, l, r), s)) mit Balance im Teilbaum mit Wurzelschlüssel x: +2, y: 1 Ersetzung von k durch rlrotate(k) = Branch(z, Branch(x, t, l), Branch(y, r, s)) Rechts-Links-Rotation besteht aus zwei aufeinanderfolgenden einfachen Rotationen: lrotate(right(k)) danach rrotate(k) 163

25 Laufzeit der Operationen in AVL-Bäumen Rebalancieren (Rotationen): O(1) Höhe von AVL-Bäumen mit n Knoten: O(log(n)) contains O(log(n)) add O(log(n)) remove O(log(n)) 164

Algorithmen und Datenstrukturen Balancierte Suchbäume

Algorithmen und Datenstrukturen Balancierte Suchbäume Algorithmen und Datenstrukturen Balancierte Suchbäume Matthias Teschner Graphische Datenverarbeitung Institut für Informatik Universität Freiburg SS 12 Überblick Einführung Einfügen und Löschen Einfügen

Mehr

Datenstrukturen & Algorithmen

Datenstrukturen & Algorithmen Datenstrukturen & Algorithmen Matthias Zwicker Universität Bern Frühling 2010 Übersicht Binäre Suchbäume Einführung und Begriffe Binäre Suchbäume 2 Binäre Suchbäume Datenstruktur für dynamische Mengen

Mehr

9.4 Binäre Suchbäume. Xiaoyi Jiang Informatik II Datenstrukturen und Algorithmen

9.4 Binäre Suchbäume. Xiaoyi Jiang Informatik II Datenstrukturen und Algorithmen 9.4 Binäre Suchbäume Erweiterung: Einfügen an der Wurzel Standardimplementierung: Der neue Schlüssel wird am Ende des Suchpfades angefügt (natürlich, weil zuerst festgestellt werden muss, ob der Schlüssel

Mehr

Programmiertechnik II

Programmiertechnik II Bäume Symboltabellen Suche nach Werten (items), die unter einem Schlüssel (key) gefunden werden können Bankkonten: Schlüssel ist Kontonummer Flugreservierung: Schlüssel ist Flugnummer, Reservierungsnummer,...

Mehr

Balancierte Bäume. Martin Wirsing. in Zusammenarbeit mit Moritz Hammer und Axel Rauschmayer. http://www.pst.ifi.lmu.de/lehre/ss06/infoii/ SS 06

Balancierte Bäume. Martin Wirsing. in Zusammenarbeit mit Moritz Hammer und Axel Rauschmayer. http://www.pst.ifi.lmu.de/lehre/ss06/infoii/ SS 06 Balancierte Bäume Martin Wirsing in Zusammenarbeit mit Moritz Hammer und Axel Rauschmayer http://www.pst.ifi.lmu.de/lehre/ss06/infoii/ SS 06 2 Ziele AVL-Bäume als einen wichtigen Vertreter balancierter

Mehr

Programmierung und Modellierung

Programmierung und Modellierung Programmierung und Modellierung Terme, Suchbäume und Pattern Matching Martin Wirsing in Zusammenarbeit mit Moritz Hammer SS 2009 2 Inhalt Kap. 7 Benutzerdefinierte Datentypen 7. Binärer Suchbaum 8. Anwendung:

Mehr

Datenstrukturen und Algorithmen

Datenstrukturen und Algorithmen Datenstrukturen und Algorithmen VO 708.031 Bäume robert.legenstein@igi.tugraz.at 1 Inhalt der Vorlesung 1. Motivation, Einführung, Grundlagen 2. Algorithmische Grundprinzipien 3. Sortierverfahren 4. Halden

Mehr

Grundlagen der Programmierung 2. Bäume

Grundlagen der Programmierung 2. Bäume Grundlagen der Programmierung 2 Bäume Prof. Dr. Manfred Schmidt-Schauÿ Künstliche Intelligenz und Softwaretechnologie 24. Mai 2006 Graphen Graph: Menge von Knoten undzugehörige (gerichtete oder ungerichtete)

Mehr

1. Einfach verkettete Liste unsortiert 2. Einfach verkettete Liste sortiert 3. Doppelt verkettete Liste sortiert

1. Einfach verkettete Liste unsortiert 2. Einfach verkettete Liste sortiert 3. Doppelt verkettete Liste sortiert Inhalt Einführung 1. Arrays 1. Array unsortiert 2. Array sortiert 3. Heap 2. Listen 1. Einfach verkettete Liste unsortiert 2. Einfach verkettete Liste sortiert 3. Doppelt verkettete Liste sortiert 3. Bäume

Mehr

13. Binäre Suchbäume

13. Binäre Suchbäume 1. Binäre Suchbäume Binäre Suchbäume realiesieren Wörterbücher. Sie unterstützen die Operationen 1. Einfügen (Insert) 2. Entfernen (Delete). Suchen (Search) 4. Maximum/Minimum-Suche 5. Vorgänger (Predecessor),

Mehr

Der linke Teilbaum von v enthält nur Schlüssel < key(v) und der rechte Teilbaum enthält nur Schlüssel > key(v)

Der linke Teilbaum von v enthält nur Schlüssel < key(v) und der rechte Teilbaum enthält nur Schlüssel > key(v) Ein Baum T mit Knotengraden 2, dessen Knoten Schlüssel aus einer total geordneten Menge speichern, ist ein binärer Suchbaum (BST), wenn für jeden inneren Knoten v von T die Suchbaumeigenschaft gilt: Der

Mehr

Kap. 4.2: Binäre Suchbäume

Kap. 4.2: Binäre Suchbäume Kap. 4.2: Binäre Suchbäume Professor Dr. Lehrstuhl für Algorithm Engineering, LS11 Fakultät für Informatik, TU Dortmund 11. VO DAP2 SS 2009 26. Mai 2009 1 Zusätzliche Lernraumbetreuung Morteza Monemizadeh:

Mehr

Was bisher geschah. deklarative Programmierung. funktionale Programmierung (Haskell):

Was bisher geschah. deklarative Programmierung. funktionale Programmierung (Haskell): Was bisher geschah deklarative Programmierung funktional: Programm: Menge von Termgleichungen, Term Auswertung: Pattern matsching, Termumformungen logisch: Programm: Menge von Regeln (Horn-Formeln), Formel

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen Suchbaum

Algorithmen und Datenstrukturen Suchbaum Algorithmen und Datenstrukturen Suchbaum Matthias Teschner Graphische Datenverarbeitung Institut für Informatik Universität Freiburg SS 12 Motivation Datenstruktur zur Repräsentation dynamischer Mengen

Mehr

Datenstruktur, die viele Operationen dynamischer Mengen unterstützt

Datenstruktur, die viele Operationen dynamischer Mengen unterstützt Algorithmen und Datenstrukturen 265 10 Binäre Suchbäume Suchbäume Datenstruktur, die viele Operationen dynamischer Mengen unterstützt Kann als Wörterbuch, aber auch zu mehr eingesetzt werden (Prioritätsschlange)

Mehr

- k Maximalwerte aus Menge mit n >> k Elementen (Rangfolgebestimmung von Suchmaschinen!) Die typische Operationen:

- k Maximalwerte aus Menge mit n >> k Elementen (Rangfolgebestimmung von Suchmaschinen!) Die typische Operationen: 6 Partiell geordnete binäre Bäume: Heap (Haufen) Motivation für manchen Anwendungen nur partielle Ordnung der Elemente statt vollständiger nötig, z.b. - Prioritätsschlange: nur das minimale (oder maximale)

Mehr

3.2 Binäre Suche. Usr/local/www/ifi/fk/menschen/schmid/folien/infovk.ppt 1

3.2 Binäre Suche. Usr/local/www/ifi/fk/menschen/schmid/folien/infovk.ppt 1 3.2 Binäre Suche Beispiel 6.5.1: Intervallschachtelung (oder binäre Suche) (Hier ist n die Anzahl der Elemente im Feld!) Ein Feld A: array (1..n) of Integer sei gegeben. Das Feld sei sortiert, d.h.: A(i)

Mehr

10. Kapitel (Teil1) BÄUME GRUNDLAGEN. Algorithmen & Datenstrukturen Prof. Dr. Wolfgang Schramm

10. Kapitel (Teil1) BÄUME GRUNDLAGEN. Algorithmen & Datenstrukturen Prof. Dr. Wolfgang Schramm 10. Kapitel (Teil1) BÄUME GRUNDLAGEN Algrithmen & Datenstrukturen Prf. Dr. Wlfgang Schramm Übersicht 1 1. Einführung 2. Algrithmen 3. EigenschaCen vn Prgrammiersprachen 4. Algrithmenparadigmen 5. Suchen

Mehr

KONSTRUKTION VON ROT-SCHWARZ-BÄUMEN

KONSTRUKTION VON ROT-SCHWARZ-BÄUMEN KONSTRUKTION VON ROT-SCHWARZ-BÄUMEN RALF HINZE Institut für Informatik III Universität Bonn Email: ralf@informatik.uni-bonn.de Homepage: http://www.informatik.uni-bonn.de/~ralf Februar, 2001 Binäre Suchbäume

Mehr

Idee: Wenn wir beim Kopfknoten zwei Referenzen verfolgen können, sind die Teillisten kürzer. kopf Eine Datenstruktur mit Schlüsselwerten 1 bis 10

Idee: Wenn wir beim Kopfknoten zwei Referenzen verfolgen können, sind die Teillisten kürzer. kopf Eine Datenstruktur mit Schlüsselwerten 1 bis 10 Binäre Bäume Bäume gehören zu den wichtigsten Datenstrukturen in der Informatik. Sie repräsentieren z.b. die Struktur eines arithmetischen Terms oder die Struktur eines Buchs. Bäume beschreiben Organisationshierarchien

Mehr

Suchen und Sortieren Sortieren. Heaps

Suchen und Sortieren Sortieren. Heaps Suchen und Heaps (Folie 245, Seite 63 im Skript) 3 7 21 10 17 31 49 28 14 35 24 42 38 Definition Ein Heap ist ein Binärbaum, der die Heapeigenschaft hat (Kinder sind größer als der Vater), bis auf die

Mehr

4. Jeder Knoten hat höchstens zwei Kinder, ein linkes und ein rechtes.

4. Jeder Knoten hat höchstens zwei Kinder, ein linkes und ein rechtes. Binäre Bäume Definition: Ein binärer Baum T besteht aus einer Menge von Knoten, die durch eine Vater-Kind-Beziehung wie folgt strukturiert ist: 1. Es gibt genau einen hervorgehobenen Knoten r T, die Wurzel

Mehr

Bäume. Informatik B - Objektorientierte Programmierung in Java. Vorlesung 10: Collections 4. Inhalt. Bäume. Einführung. Bäume.

Bäume. Informatik B - Objektorientierte Programmierung in Java. Vorlesung 10: Collections 4. Inhalt. Bäume. Einführung. Bäume. Universität Osnabrück 1 Bäume 3 - Objektorientierte Programmierung in Java Vorlesung 10: Collections 4 Einführung Bäume sind verallgemeinerte Listenstrukturen Lineare Liste Jedes Element hat höchstens

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen SS09

Algorithmen und Datenstrukturen SS09 Foliensatz 8 Michael Brinkmeier Technische Universität Ilmenau Institut für Theoretische Informatik Sommersemester 29 TU Ilmenau Seite / 54 Binärbäume TU Ilmenau Seite 2 / 54 Binäre Bäume Bäume und speziell

Mehr

Eine Baumstruktur sei folgendermaßen definiert. Eine Baumstruktur mit Grundtyp Element ist entweder

Eine Baumstruktur sei folgendermaßen definiert. Eine Baumstruktur mit Grundtyp Element ist entweder Programmieren in PASCAL Bäume 1 1. Baumstrukturen Eine Baumstruktur sei folgendermaßen definiert. Eine Baumstruktur mit Grundtyp Element ist entweder 1. die leere Struktur oder 2. ein Knoten vom Typ Element

Mehr

Kapitel 4: Dynamische Datenstrukturen. Algorithmen und Datenstrukturen WS 2012/13. Prof. Dr. Sándor Fekete

Kapitel 4: Dynamische Datenstrukturen. Algorithmen und Datenstrukturen WS 2012/13. Prof. Dr. Sándor Fekete Kapitel 4: Dynamische Datenstrukturen Algorithmen und Datenstrukturen WS 2012/13 Prof. Dr. Sándor Fekete 4.4 Binäre Suche Aufgabenstellung: Rate eine Zahl zwischen 100 und 114! Algorithmus 4.1 INPUT: OUTPUT:

Mehr

Kapiteltests zum Leitprogramm Binäre Suchbäume

Kapiteltests zum Leitprogramm Binäre Suchbäume Kapiteltests zum Leitprogramm Binäre Suchbäume Björn Steffen Timur Erdag überarbeitet von Christina Class Binäre Suchbäume Kapiteltests für das ETH-Leitprogramm Adressaten und Institutionen Das Leitprogramm

Mehr

Informatik II Bäume. Beispiele. G. Zachmann Clausthal University, Germany zach@in.tu-clausthal.de. Stammbaum. Stammbaum. Stammbaum

Informatik II Bäume. Beispiele. G. Zachmann Clausthal University, Germany zach@in.tu-clausthal.de. Stammbaum. Stammbaum. Stammbaum lausthal Beispiele Stammbaum Informatik II. Zachmann lausthal University, ermany zach@in.tu-clausthal.de. Zachmann Informatik - SS 06 Stammbaum Stammbaum / Parse tree, Rekursionsbaum Parse tree, Rekursionsbaum

Mehr

Folge 19 - Bäume. 19.1 Binärbäume - Allgemeines. Grundlagen: Ulrich Helmich: Informatik 2 mit BlueJ - Ein Kurs für die Stufe 12

Folge 19 - Bäume. 19.1 Binärbäume - Allgemeines. Grundlagen: Ulrich Helmich: Informatik 2 mit BlueJ - Ein Kurs für die Stufe 12 Grundlagen: Folge 19 - Bäume 19.1 Binärbäume - Allgemeines Unter Bäumen versteht man in der Informatik Datenstrukturen, bei denen jedes Element mindestens zwei Nachfolger hat. Bereits in der Folge 17 haben

Mehr

Grundlagen der Informatik. Prof. Dr. Stefan Enderle NTA Isny

Grundlagen der Informatik. Prof. Dr. Stefan Enderle NTA Isny Grundlagen der Informatik Prof. Dr. Stefan Enderle NTA Isny 2 Datenstrukturen 2.1 Einführung Syntax: Definition einer formalen Grammatik, um Regeln einer formalen Sprache (Programmiersprache) festzulegen.

Mehr

Sortierte Folgen 250

Sortierte Folgen 250 Sortierte Folgen 250 Sortierte Folgen: he 1,...,e n i mit e 1 apple applee n kennzeichnende Funktion: M.locate(k):= addressof min{e 2 M : e k} Navigations Datenstruktur 2 3 5 7 11 13 17 19 00 Annahme:

Mehr

RWTH Aachen, Lehrstuhl für Informatik IX Kapitel 3: Suchen in Mengen - Datenstrukturen und Algorithmen - 51

RWTH Aachen, Lehrstuhl für Informatik IX Kapitel 3: Suchen in Mengen - Datenstrukturen und Algorithmen - 51 RWTH Aacen, Lerstul für Informatik IX Kapitel 3: Sucen in Mengen - Datenstrukturen und Algoritmen - 51 Sucbäume Biser betractete Algoritmen für Suce in Mengen Sortierte Arrays A B C D - Nur sinnvoll für

Mehr

Kapitel 9 Suchalgorithmen

Kapitel 9 Suchalgorithmen Kapitel 9 Suchalgorithmen Technische Universität München Suchverfahren: Verfahren, das in einem Suchraum nach Mustern oder Objekten mit bestimmten Eigenschaften sucht. Vielfältige Anwendungsbereiche für

Mehr

Algorithmik II. a) Fügen Sie in einen anfangs leeren binären Baum die Schlüsselfolge 20, 28, 35, 31, 9, 4, 13, 17, 37, 25 ein.

Algorithmik II. a) Fügen Sie in einen anfangs leeren binären Baum die Schlüsselfolge 20, 28, 35, 31, 9, 4, 13, 17, 37, 25 ein. Aufgabe 10 Binäre Bäume a) Fügen Sie in einen anfangs leeren binären Baum die Schlüsselfolge, 28, 35, 31, 9, 4,, 17, 37, 25 ein. 1. Einfügen von : 3. Einfugen von 35: 2. Einfügen von 28: 28 28 10. Einfügen

Mehr

Binäre Suchbäume. Ein Leitprogramm von Timur Erdag und Björn Steffen

Binäre Suchbäume. Ein Leitprogramm von Timur Erdag und Björn Steffen Binäre Suchbäume Ein Leitprogramm von Timur Erdag und Björn Steffen Inhalt: Bäume gehören zu den bedeutendsten Datenstrukturen in der Informatik. Dieses Leitprogramm gibt eine Einführung in dieses Thema

Mehr

Nachtrag zu binären Suchbäumen

Nachtrag zu binären Suchbäumen Nachtrag zu binären Suchbäumen (nicht notwendigerweise zu AVL Bäumen) Löschen 1 3 2 10 4 12 1. Fall: Der zu löschende Knoten ist ein Blatt: einfach löschen 2. Fall: Der zu löschende Knoten hat ein Nachfolgeelement

Mehr

Tutorium Algorithmen & Datenstrukturen

Tutorium Algorithmen & Datenstrukturen June 16, 2010 Binärer Baum Binärer Baum enthält keine Knoten (NIL) besteht aus drei disjunkten Knotenmengen: einem Wurzelknoten, einem binären Baum als linken Unterbaum und einem binären Baum als rechten

Mehr

Kapitel 5: Dynamisches Programmieren Gliederung

Kapitel 5: Dynamisches Programmieren Gliederung Gliederung 1. Grundlagen 2. Zahlentheoretische Algorithmen 3. Sortierverfahren 4. Ausgewählte Datenstrukturen 5. Dynamisches Programmieren 6. Graphalgorithmen 7. String-Matching 8. Kombinatorische Algorithmen

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen

Algorithmen und Datenstrukturen Algorithmen und Datenstrukturen Dipl. Inform. Andreas Wilkens aw@awilkens.com Überblick Grundlagen Definitionen Elementare Datenstrukturen Rekursionen Bäume 2 1 Datenstruktur Baum Definition eines Baumes

Mehr

Vorlesung 04.12.2006: Binäre Entscheidungsdiagramme (BDDs) Dr. Carsten Sinz

Vorlesung 04.12.2006: Binäre Entscheidungsdiagramme (BDDs) Dr. Carsten Sinz Vorlesung 04.12.2006: Binäre Entscheidungsdiagramme (BDDs) Dr. Carsten Sinz Datenstruktur BDD 1986 von R. Bryant vorgeschlagen zur Darstellung von aussagenlogischen Formeln (genauer: Booleschen Funktionen)

Mehr

t r Lineare Codierung von Binärbbäumen (Wörter über dem Alphabet {, }) Beispiel code( ) = code(, t l, t r ) = code(t l ) code(t r )

t r Lineare Codierung von Binärbbäumen (Wörter über dem Alphabet {, }) Beispiel code( ) = code(, t l, t r ) = code(t l ) code(t r ) Definition B : Menge der binären Bäume, rekursiv definiert durch die Regeln: ist ein binärer Baum sind t l, t r binäre Bäume, so ist auch t =, t l, t r ein binärer Baum nur das, was durch die beiden vorigen

Mehr

Tutoren Simon Andermatt Lukas Beck. Alexis Peter Thomas Ritter

Tutoren Simon Andermatt Lukas Beck. Alexis Peter Thomas Ritter UNIVERSITÄT BASEL Dozent Prof. Dr. Thomas Vetter Departement Informatik Assistenten Brian Amberg Andreas Forster Tutoren Simon Andermatt Lukas Beck Webseite http://informatik.unibas.ch/lehre/hs10/cs101/index.html

Mehr

Was bisher geschah Wissensrepräsentation und -verarbeitung in Zustandsübergangssystemen Constraint-Systemen Logiken Repräsentation von Mengen

Was bisher geschah Wissensrepräsentation und -verarbeitung in Zustandsübergangssystemen Constraint-Systemen Logiken Repräsentation von Mengen Was bisher geschah Wissensrepräsentation und -verarbeitung in Zustandsübergangssystemen Constraint-Systemen Logiken Repräsentation von Mengen aussagenlogischer Regeln: Wissensbasis (Kontextwissen): Formelmenge,

Mehr

Einführung in die Informatik: Programmierung und Software-Entwicklung, WS 11/12. Kapitel 13. Bäume. Bäume

Einführung in die Informatik: Programmierung und Software-Entwicklung, WS 11/12. Kapitel 13. Bäume. Bäume 1 Kapitel 13 Ziele 2 Den Begriff des Baums in der Informatik kennenlernen als verkettete Datenstruktur repräsentieren können Rekursive Funktionen auf n verstehen und schreiben können Verschiedene Möglichkeiten

Mehr

Lernziele: Ausgleichstechniken für binäre Bäume verstehen und einsetzen können.

Lernziele: Ausgleichstechniken für binäre Bäume verstehen und einsetzen können. 6. Bäume Lernziele 6. Bäume Lernziele: Definition und Eigenschaften binärer Bäume kennen, Traversierungsalgorithmen für binäre Bäume implementieren können, die Bedeutung von Suchbäumen für die effiziente

Mehr

Vorlesung Algorithmische Geometrie. Streckenschnitte. Martin Nöllenburg 19.04.2011

Vorlesung Algorithmische Geometrie. Streckenschnitte. Martin Nöllenburg 19.04.2011 Vorlesung Algorithmische Geometrie LEHRSTUHL FÜR ALGORITHMIK I INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK FAKULTÄT FÜR INFORMATIK Martin Nöllenburg 19.04.2011 Überlagern von Kartenebenen Beispiel: Gegeben zwei

Mehr

DATENSTRUKTUREN UND ZAHLENSYSTEME

DATENSTRUKTUREN UND ZAHLENSYSTEME DATENSTRUKTUREN UND ZAHLENSYSTEME RALF HINZE Institute of Information and Computing Sciences Utrecht University Email: ralf@cs.uu.nl Homepage: http://www.cs.uu.nl/~ralf/ March, 2001 (Die Folien finden

Mehr

Gegeben Zieladresse, finde Nachbarknoten, an den Paket zu senden ist ("Routing-Tabelle")

Gegeben Zieladresse, finde Nachbarknoten, an den Paket zu senden ist (Routing-Tabelle) 8 Digitalbäume, Tries,, Suffixbäume 8.0 Anwendungen Internet-outer egeben Zieladresse, finde Nachbarknoten, an den Paket zu senden ist ("outing-tabelle") 3 network addr Host id 00 0000 000 0 00 0 0000

Mehr

Abschnitt: Algorithmendesign und Laufzeitanalyse

Abschnitt: Algorithmendesign und Laufzeitanalyse Abschnitt: Algorithmendesign und Laufzeitanalyse Definition Divide-and-Conquer Paradigma Divide-and-Conquer Algorithmen verwenden die Strategien 1 Divide: Teile das Problem rekursiv in Subproblem gleicher

Mehr

Beispielblatt 2 186.813 VU Algorithmen und Datenstrukturen 1 VU 6.0

Beispielblatt 2 186.813 VU Algorithmen und Datenstrukturen 1 VU 6.0 Beispielblatt 2 186.813 VU Algorithmen und Datenstrukturen 1 VU 6.0 25. September 2013 Aufgabe 1 Gegeben sei ein binärer Suchbaum mit Werten im Bereich von 1 bis 1001. In diesem Baum wird nach der Zahl

Mehr

6. Algorithmen der Computer-Geometrie

6. Algorithmen der Computer-Geometrie 6. Algorithmen der Computer-Geometrie 1. Einführung 2. Schnitt von zwei Strecken 3. Punkt-in-Polygon-Test 4. Schnitt orthogonaler Strecken 5. Punkteinschlussproblem Geo-Informationssysteme 146 6.1 Computer-Geometrie

Mehr

Schnittstellen implementieren am Beispiel Suchbaum

Schnittstellen implementieren am Beispiel Suchbaum Motivation Informatik mit Java und BlueJ Schnittstellen implementieren am Beispiel Suchbaum von Bernhard Rosing Schreiben Sie eine Klasse Person, deren Instanzen in ein TreeSet (Suchbaum) eingefügt werden

Mehr

Binäre Bäume Darstellung und Traversierung

Binäre Bäume Darstellung und Traversierung Binäre Bäume Darstellung und Traversierung Name Frank Bollwig Matrikel-Nr. 2770085 E-Mail fb641378@inf.tu-dresden.de Datum 15. November 2001 0. Vorbemerkungen... 3 1. Terminologie binärer Bäume... 4 2.

Mehr

Suchen und Sortieren

Suchen und Sortieren (Folie 69, Seite 36 im Skript) 5 6 1 4 Als assoziatives Array geeignet Schlüssel aus geordneter Menge Linke Kinder kleiner, rechte Kinder größer als Elternknoten Externe und interne Knoten Externe Knoten

Mehr

6 Baumstrukturen. Formale Grundlagen der Informatik I Herbstsemester 2012. Robert Marti

6 Baumstrukturen. Formale Grundlagen der Informatik I Herbstsemester 2012. Robert Marti 6 Baumstrukturen Formale Grundlagen der Informatik I Herbstsemester 2012 Robert Marti Vorlesung teilweise basierend auf Unterlagen von Prof. emer. Helmut Schauer Beispiel: Hierarchisches File System 2

Mehr

15 Optimales Kodieren

15 Optimales Kodieren 15 Optimales Kodieren Es soll ein optimaler Kodierer C(T ) entworfen werden, welcher eine Information (z.b. Text T ) mit möglichst geringer Bitanzahl eindeutig überträgt. Die Anforderungen an den optimalen

Mehr

Codes und Informationsgehalt

Codes und Informationsgehalt Aufgaben 2 Codes und Informationsgehalt Auf wie viele Dezimalziffern genau können vorzeichenlose ganze Zahlen in einem binären Code der Länge 32 bit dargestellt werden? 2 Codes und Informationsgehalt Auf

Mehr

368 4 Algorithmen und Datenstrukturen

368 4 Algorithmen und Datenstrukturen Kap04.fm Seite 368 Dienstag, 7. September 2010 1:51 13 368 4 Algorithmen und Datenstrukturen Java-Klassen Die ist die Klasse Object, ein Pfeil von Klasse A nach Klasse B bedeutet Bextends A, d.h. B ist

Mehr

2 Java: Bäume. 2.1 Implementierung von Bäumen. 2.2 Implementierung eines binären Suchbaums. 2.3 Traversierung von Bäumen

2 Java: Bäume. 2.1 Implementierung von Bäumen. 2.2 Implementierung eines binären Suchbaums. 2.3 Traversierung von Bäumen 2 2 Java: Bäume 2.1 Implementierung von Bäumen 2.2 Implementierung eines binären Suchbaums 2.3 Traversierung von Bäumen 2.4 Implementierung von Heapsort 19 Teil II Java: Bäume Überblick Implementierung

Mehr

WS 2009/10. Diskrete Strukturen

WS 2009/10. Diskrete Strukturen WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910

Mehr

3 Implementieren von Bäumen 5 3.1 Feldbäume... 5 3.2 Sequentielle Verfahren... 5 3.3 Dynamische Struktur... 6

3 Implementieren von Bäumen 5 3.1 Feldbäume... 5 3.2 Sequentielle Verfahren... 5 3.3 Dynamische Struktur... 6 Kompaktübersicht Bäume Diese Übersicht entstand im Wintersemester 2003/04 parallel zur Vorlesung Grundzüge der Informatik III an der Technischen Universität Darmstadt (TUD) und soll die behandelten Aspekte

Mehr

Kostenmaße. F3 03/04 p.188/395

Kostenmaße. F3 03/04 p.188/395 Kostenmaße Bei der TM nur ein Kostenmaß: Ein Schritt (Konfigurationsübergang) kostet eine Zeiteinheit; eine Bandzelle kostet eine Platzeinheit. Bei der RAM zwei Kostenmaße: uniformes Kostenmaß: (wie oben);

Mehr

HTTP://WWW.WIKIPAINTINGS.ORG/EN/FRIEDENSREICH-HUNDERTWASSER/YOU-ARE-A-GUEST-OF-NATURE-BEHAVE Abstrakte Datentypen.

HTTP://WWW.WIKIPAINTINGS.ORG/EN/FRIEDENSREICH-HUNDERTWASSER/YOU-ARE-A-GUEST-OF-NATURE-BEHAVE Abstrakte Datentypen. HTTP://WWW.WIKIPAINTINGS.ORG/EN/FRIEDENSREICH-HUNDERTWASSER/YOU-ARE-A-GUEST-OF-NATURE-BEHAVE Abstrakte Datentypen OOPM, Ralf Lämmel (C) Ralf Lämmel, OOPM, Universität Koblenz-Landau 562 Motivation abstrakter

Mehr

4 Greedy-Algorithmen (gierige Algorithmen)

4 Greedy-Algorithmen (gierige Algorithmen) Greedy-Algorithmen (gierige Algorithmen) Greedy-Algorithmen werden oft für die exakte oder approximative Lösung von Optimierungsproblemen verwendet. Typischerweise konstruiert ein Greedy-Algorithmus eine

Mehr

Beispiel zu Datenstrukturen

Beispiel zu Datenstrukturen zu Datenstrukturen Passend zum Kurs 01661 Version Juni 2008 Dieter Hoffmann Dipl.-Inform. Diese Kurshilfe zum Kurs Datenstrukuren I (Kursnummer 01661) bei Prof. Dr. Güting (Lehrgebiet Praktische Informatik

Mehr

XML Verarbeitung mit einer in Haskell eingebetteten DSL. Manuel Ohlendorf (xi2079)

XML Verarbeitung mit einer in Haskell eingebetteten DSL. Manuel Ohlendorf (xi2079) XML Verarbeitung mit einer in Haskell eingebetteten DSL Manuel Ohlendorf (xi2079) 2.0.200 Manuel Ohlendorf Übersicht 1 2 Einführung Datenstruktur Verarbeitung Vergleich mit anderen Verfahren Fazit 2 Übersicht

Mehr

Grundlagen der Informatik 2 (GdI2) - Algorithmen und Datenstrukturen -

Grundlagen der Informatik 2 (GdI2) - Algorithmen und Datenstrukturen - Grundlagen der Informatik 2 (GdI2) - Algorithmen und Datenstrukturen - 5) Suchverfahren Prof. Dr. Anja Schanzenberger FH Augsburg, Fakultät für Informatik Kontakt: anja.schanzenberger@hs-augsburg.de http://www.hs-augsburg.de/schanzenberger

Mehr

Data Mining und Text Mining Einführung. S2 Einfache Regellerner

Data Mining und Text Mining Einführung. S2 Einfache Regellerner Data Mining und Text Mining Einführung S2 Einfache Regellerner Hans Hermann Weber Univ. Erlangen, Informatik 8 Wintersemester 2003 hans.hermann.weber@gmx.de Inhalt Einiges über Regeln und Bäume R1 ein

Mehr

ABITURPRÜFUNG 2009 LEISTUNGSFACH INFORMATIK

ABITURPRÜFUNG 2009 LEISTUNGSFACH INFORMATIK ABITURPRÜFUNG 2009 LEISTUNGSFACH INFORMATIK (HAUPTTERMIN) Bearbeitungszeit: 270 Minuten Hilfsmittel: Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung Taschenrechner (nicht programmierbar, nicht grafikfähig) (Schüler,

Mehr

Seminar Komplexe Objekte in Datenbanken

Seminar Komplexe Objekte in Datenbanken Seminar Komplexe Objekte in Datenbanken OPTICS: Ordering Points To Identify the Clustering Structure Lehrstuhl für Informatik IX - Univ.-Prof. Dr. Thomas Seidl, RWTH-Aachen http://www-i9.informatik.rwth-aachen.de

Mehr

3.1 Konstruktion von minimalen Spannbäumen Es gibt zwei Prinzipien für die Konstruktion von minimalen Spannbäumen (Tarjan): blaue Regel rote Regel

3.1 Konstruktion von minimalen Spannbäumen Es gibt zwei Prinzipien für die Konstruktion von minimalen Spannbäumen (Tarjan): blaue Regel rote Regel 3.1 Konstruktion von minimalen Spannbäumen Es gibt zwei Prinzipien für die Konstruktion von minimalen Spannbäumen (Tarjan): blaue Regel rote Regel EADS 3.1 Konstruktion von minimalen Spannbäumen 16/36

Mehr

Binäre Bäume. 1. Allgemeines. 2. Funktionsweise. 2.1 Eintragen

Binäre Bäume. 1. Allgemeines. 2. Funktionsweise. 2.1 Eintragen Binäre Bäume 1. Allgemeines Binäre Bäume werden grundsätzlich verwendet, um Zahlen der Größe nach, oder Wörter dem Alphabet nach zu sortieren. Dem einfacheren Verständnis zu Liebe werde ich mich hier besonders

Mehr

Suchen in Listen und Hashtabellen

Suchen in Listen und Hashtabellen Kapitel 12: Suchen in Listen und Hashtabellen Einführung in die Informatik Wintersemester 2007/08 Prof. Bernhard Jung Übersicht Einleitung Lineare Suche Binäre Suche (in sortierten Listen) Hashverfahren

Mehr

binäre Suchbäume Informatik I 6. Kapitel binäre Suchbäume binäre Suchbäume Rainer Schrader 4. Juni 2008 O(n) im worst-case Wir haben bisher behandelt:

binäre Suchbäume Informatik I 6. Kapitel binäre Suchbäume binäre Suchbäume Rainer Schrader 4. Juni 2008 O(n) im worst-case Wir haben bisher behandelt: Informatk I 6. Kaptel Raner Schrader Zentrum für Angewandte Informatk Köln 4. Jun 008 Wr haben bsher behandelt: Suchen n Lsten (lnear und verkettet) Suchen mttels Hashfunktonen jewels unter der Annahme,

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen 1

Algorithmen und Datenstrukturen 1 Algorithmen und Datenstrukturen 1 5. Vorlesung Martin Middendorf / Peter F. Stadler Universität Leipzig Institut für Informatik middendorf@informatik.uni-leipzig.de studla@bioinf.uni-leipzig.de Quick-Sort

Mehr

Codierung. Auszug aus dem Skript von Maciej Liśkiewicz und Henning Fernau

Codierung. Auszug aus dem Skript von Maciej Liśkiewicz und Henning Fernau Codierung Auszug aus dem Skript von Maciej Liśkiewicz und Henning Fernau Ein bisschen Informationstheorie Betrachten wir das folgende Problem: Wie lautet eine sinnvolle Definition für das quantitative

Mehr

Laufzeit und Komplexität

Laufzeit und Komplexität Laufzeit und Komplexität Laufzeit eines Algorithmus Benchmarking versus Analyse Abstraktion Rechenzeit, Anzahl Schritte Bester, Mittlerer, Schlechtester Fall Beispiel: Lineare Suche Komplexitätsklassen

Mehr

Unterrichtsvorhaben Q2- I:

Unterrichtsvorhaben Q2- I: Schulinterner Lehrplan Informatik Sekundarstufe II Q2 III. Qualifikationsphase Q2 Unterrichtsvorhaben Q2- I: Im ersten Halbjahr 1 Klausur, im 2. Halbjahr ein Projekt. Die Länge der Klausur beträgt 90 min.

Mehr

Herbst. Erste Staatsprüfung für ein Lehramt an öffentlichen Schulen. Prüfungsteilnehmer prüfungstermin Einzelprüfungsnummei. - Prüfungsaufgaben -

Herbst. Erste Staatsprüfung für ein Lehramt an öffentlichen Schulen. Prüfungsteilnehmer prüfungstermin Einzelprüfungsnummei. - Prüfungsaufgaben - Prüfungsteilnehmer prüfungstermin Einzelprüfungsnummei Kennzahl: Kennwort: Arbeitsplatz-Nr.: Herbst 2000 46114 Erste Staatsprüfung für ein Lehramt an öffentlichen Schulen - Prüfungsaufgaben - Fach: Einzelprüfung:

Mehr

Grundlagen der Programmierung 2. Parallele Verarbeitung

Grundlagen der Programmierung 2. Parallele Verarbeitung Grundlagen der Programmierung 2 Parallele Verarbeitung Prof. Dr. Manfred Schmidt-Schauÿ Künstliche Intelligenz und Softwaretechnologie 27. Mai 2009 Parallele Algorithmen und Ressourcenbedarf Themen: Nebenläufigkeit,

Mehr

Suchen und Sortieren (Die klassischen Algorithmen)

Suchen und Sortieren (Die klassischen Algorithmen) Suchen und Sortieren (Die klassischen Algorithmen) Lineare Suche und Binäre Suche (Vorbedingung und Komplexität) Sortieralgorithmen (allgemein) Direkte Sortierverfahren (einfach aber langsam) Schnelle

Mehr

Vorname:... Matrikel-Nr.:... Unterschrift:...

Vorname:... Matrikel-Nr.:... Unterschrift:... Fachhochschule Mannheim Hochschule für Technik und Gestaltung Fachbereich Informatik Studiengang Bachelor of Computer Science Algorithmen und Datenstrukturen Wintersemester 2003 / 2004 Name:... Vorname:...

Mehr

Binäre lineare Optimierung mit K*BMDs p.1/42

Binäre lineare Optimierung mit K*BMDs p.1/42 Binäre lineare Optimierung mit K*BMDs Ralf Wimmer wimmer@informatik.uni-freiburg.de Institut für Informatik Albert-Ludwigs-Universität Freiburg Binäre lineare Optimierung mit K*BMDs p.1/42 Grundlagen Binäre

Mehr

3. Übung Algorithmen I

3. Übung Algorithmen I Timo Bingmann, Christian Schulz INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK, PROF. SANDERS 1 KIT Timo Universität Bingmann, des LandesChristian Baden-Württemberg Schulz und nationales Forschungszentrum in der

Mehr

Überblick. Lineares Suchen

Überblick. Lineares Suchen Komplexität Was ist das? Die Komplexität eines Algorithmus sei hierbei die Abschätzung des Aufwandes seiner Realisierung bzw. Berechnung auf einem Computer. Sie wird daher auch rechnerische Komplexität

Mehr

Binäre Suchbäume (binary search trees, kurz: bst)

Binäre Suchbäume (binary search trees, kurz: bst) Binäre Suchbäume (binary search trees, kurz: bst) Datenstruktur zum Speichern einer endlichen Menge M von Zahlen. Genauer: Binärbaum T mit n := M Knoten Jeder Knoten v von T ist mit einer Zahl m v M markiert.

Mehr

Übung 9. Quellcode Strukturieren Rekursive Datenstrukturen Uebung 9

Übung 9. Quellcode Strukturieren Rekursive Datenstrukturen Uebung 9 Informatik I 2 Übung 9 Quellcode Strukturieren Rekursive Datenstrukturen Uebung 9 Quellcode Strukturieren Wenn alle Funktionen in einer Datei zusammengefasst sind wird es schnell unübersichtlich Mehrere

Mehr

Einführung in (Binäre) Bäume

Einführung in (Binäre) Bäume edeutung und Ziele inführung in (inäre) äume Marc Rennhard http://www.tik.ee.ethz.ch/~rennhard rennhard@tik.ee.ethz.ch äume gehören ganz allgemein zu den wichtigsten in der Informatik auftretenden atenstrukturen,

Mehr

Notizen Programmieren 3: Algorithmen und Datenstrukturen

Notizen Programmieren 3: Algorithmen und Datenstrukturen Notizen Programmieren 3: Algorithmen und Datenstrukturen Klaus Kusche, 2010 / 2011 / 2012 1 Die Rekursion & Backtracking Siehe mein altes Skript und meine Folien für AIK 1... 2 Suchen Im Array: Unsortiertes

Mehr

CLRS benutzt eine etwas andere Definition:

CLRS benutzt eine etwas andere Definition: Bemerkungen LRS benutzt eine etwas andere Definition: Für einen B-Baum vom rad t gilt: - jeder Knoten, außer der Wurzel, hat mindestens t- Schlüssel, also mindestens t Kinder - jeder Knoten besitzt höchstens

Mehr

Was bisher geschah Kryptographische Systeme (M, C, K, e, d) Verfahren: symmetrisch klassisch: Verschiebechiffren (Spezialfall Caesar-Code)

Was bisher geschah Kryptographische Systeme (M, C, K, e, d) Verfahren: symmetrisch klassisch: Verschiebechiffren (Spezialfall Caesar-Code) Was bisher geschah Kryptographische Systeme (M, C, K, e, d) Verfahren: symmetrisch klassisch: Verschiebechiffren (Spezialfall Caesar-Code) Multiplikative Chiffren monoalphabetische Substitutions-Chiffren:

Mehr

Die Bedeutung abstrakter Datentypen in der objektorientierten Programmierung. Klaus Kusche, September 2014

Die Bedeutung abstrakter Datentypen in der objektorientierten Programmierung. Klaus Kusche, September 2014 Die Bedeutung abstrakter Datentypen in der objektorientierten Programmierung Klaus Kusche, September 2014 Inhalt Ziel & Voraussetzungen Was sind abstrakte Datentypen? Was kann man damit grundsätzlich?

Mehr

w a is die Anzahl der Vorkommen von a in w Beispiel: abba a = 2

w a is die Anzahl der Vorkommen von a in w Beispiel: abba a = 2 1 2 Notation für Wörter Grundlagen der Theoretischen Informatik Till Mossakowski Fakultät für Informatik Otto-von-Guericke Universität Magdeburg w a is die Anzahl der Vorkommen von a in w Beispiel: abba

Mehr

Datenstruktur zum Speichern einer endlichen Menge M von Zahlen. Genauer:

Datenstruktur zum Speichern einer endlichen Menge M von Zahlen. Genauer: Binäre Suchbäume (binary search trees, kurz: bst) Datenstruktur zum Speichern einer endlichen Menge M von Zahlen. Genauer: Binärbaum T mit n := M Knoten Jeder Knoten v von T ist mit einer Zahl m v M markiert.

Mehr

Verträge für die funktionale Programmierung Design und Implementierung

Verträge für die funktionale Programmierung Design und Implementierung 1 Verträge für die funktionale Programmierung Design und Implementierung RALF HINZE Institut für Informatik III, Universität Bonn Römerstraße 164, 53117 Bonn, Germany Email: ralf@informatik.uni-bonn.de

Mehr

Programmiertechnik II

Programmiertechnik II Analyse von Algorithmen Algorithmenentwurf Algorithmen sind oft Teil einer größeren Anwendung operieren auf Daten der Anwendung, sollen aber unabhängig von konkreten Typen sein Darstellung der Algorithmen

Mehr

HEUTE. Datenstrukturen im Computer. Datenstrukturen. Rekursion. Feedback Evaluation. abstrakte Datenstrukturen

HEUTE. Datenstrukturen im Computer. Datenstrukturen. Rekursion. Feedback Evaluation. abstrakte Datenstrukturen 9.2.5 HUT 9.2.5 3 atenstrukturen im omputer atenstrukturen ie beiden fundamentalen atenstrukturen in der Praxis sind rray und Liste Rekursion Feedback valuation rray Zugriff: schnell Umordnung: langsam

Mehr

Theoretische Informatik SS 04 Übung 1

Theoretische Informatik SS 04 Übung 1 Theoretische Informatik SS 04 Übung 1 Aufgabe 1 Es gibt verschiedene Möglichkeiten, eine natürliche Zahl n zu codieren. In der unären Codierung hat man nur ein Alphabet mit einem Zeichen - sagen wir die

Mehr

Kodierungsalgorithmen

Kodierungsalgorithmen Kodierungsalgorithmen Komprimierung Verschlüsselung Komprimierung Zielsetzung: Reduktion der Speicherkapazität Schnellere Übertragung Prinzipien: Wiederholungen in den Eingabedaten kompakter speichern

Mehr

Objektorientierte Programmierung

Objektorientierte Programmierung Universität der Bundeswehr Fakultät für Informatik Institut 2 Priv.-Doz. Dr. Lothar Schmitz FT 2006 Zusatzaufgaben Lösungsvorschlag Objektorientierte Programmierung Lösung 22 (Java und UML-Klassendiagramm)

Mehr