Einführung in die Theoretische Informatik

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Einführung in die Theoretische Informatik"

Transkript

1 Einführung in die Theoretische Informtik Johnnes Köler Institut für Informtik Humoldt-Universität zu Berlin WS 2011/12

2 Minimierung von DFAs Frge Wie können wir feststellen, o ein DFA M = (Z, Σ, δ, q 0, E) eine minimle Anzhl von Zuständen esitzt (und Z evtl. verkleinern)? Beispiel Betrchte den DFA M Zunächst können lle vom Strtzustnd us unerreichren Zustände entfernt werden

3 Minimierung von DFAs Frge Wie können wir feststellen, o ein DFA M = (Z, Σ, δ, q 0, E) eine minimle Anzhl von Zuständen esitzt (und Z evtl. verkleinern)? Antwort Zunächst können lle vom Strtzustnd us unerreichren Zustände entfernt werden. Zudem lssen sich zwei Zustände p und q verschmelzen, wenn M von p und q us jeweils dieselen Wörter kzeptiert. Für z Z sei M z = (Z, Σ, δ, z, E) und L z = L(M z ). Dnn können wir p und q verschmelzen (in Zeichen: p q), wenn L p = L q ist. Offensichtlich ist eine Äquivlenzreltion uf Z.

4 Minimierung von DFAs Idee Verschmelze jeden Zustnd z mit llen äquivlenten Zuständen z z zu einem neuen Zustnd. Nottion Für die durch z repräsentierte Äquivlenzklsse [z] = {z Z z z} = {z Z L z = L z } schreien wir uch einfch [z] oder z. Für eine Teilmenge Q Z ezeichne Q = { q q Q} die Menge ller Äquivlenzklssen q, die mind. ein q Q enthlten. Dnn führt oige Idee uf folgenden DFA: M = ( Z, Σ, δ, q 0, Ẽ) mit δ( q, ) = δ(q, ).

5 Wie können wir M us M konstruieren? Hierzu genügt es, heruszufinden, o zwei Zustände p und q von M äquivlent sind oder nicht? Sei A B = (A \ B) (B \ A) die symmetrische Differenz von A und B. Die Inäquivlenz p q ist lso gleichedeutend mit L p L q. Wir nennen ein Wort x L p L q Unterscheider zwischen p und q. Offenr unterscheidet ε Zustände p E von Zuständen q Z \ E. Flls x die Zustände δ(p, ) und δ(q, ) unterscheidet, so unterscheidet x die Zustände p und q, d.h. x L δ(p,) L δ(q,) x L p L q.

6 Minimierung von DFAs Stz Sei M = (Z, Σ, δ, q 0, E) ein DFA ohne unerreichre Zustände. Dnn ist M = ( Z, Σ, δ, q 0, Ẽ) mit δ( q, ) = δ(q, ) ein DFA für L(M) mit einer minimlen Anzhl von Zuständen. Beweis Zuerst müssen wir zeigen, dss δ wohldefiniert ist, lso δ( q, ) nicht von der Whl des Repräsentnten q für die Äquivlenzklsse q hängt. Hierzu zeigen wir die Impliktion p q δ(p, ) δ(q, ): L q = L p x Σ : x L q x L p x Σ : x L q x L p x Σ : x L δ(q,) x L δ(p,) L δ(q,) = L δ(p,).

7 Minimierung von DFAs Stz Sei M = (Z, Σ, δ, q 0, E) ein DFA ohne unerreichre Zustände. Dnn ist M = ( Z, Σ, δ, q 0, Ẽ) mit δ( q, ) = δ(q, ) ein DFA für L(M) mit einer minimlen Anzhl von Zuständen. Beweis (Fortsetzung) Als nächstes zeigen wir, dss L( M) = L(M) ist. Sei x = x 1 x n Σ und seien q 0, q 1,, q n die von M ei Einge x durchlufenen Zustände, d.h. es gilt δ(q i 1, x i ) = q i für i = 1,..., n. Nch Definition von δ folgt dher δ( q i 1, x i ) = q i für i = 1,..., n, d.h. M durchläuft ei Einge x die Zustände q 0, q 1,, q n. D er q n entweder nur End- oder nur Nicht-Endzustände enthält, gehört q n genu dnn zu E, wenn q n Ẽ, d.h. es gilt x L(M) x L( M).

8 Minimierung von DFAs Beweis (Schluss) Noch z.z.: M ht eine minimle Anzhl von Zuständen. D M nicht mehr Zustände ht ls M, ist M sicher dnn miniml, wenn M ereits miniml ist. Es reicht lso zu zeigen, dss die Anzhl k = Z = {L q q Z} der Zustände von M nicht von M, sondern nur von L = L(M) hängt. Für x Σ sei L x = {y Σ xy L}. Dnn gilt {L x x Σ } = {L q q Z}: : Klr, d L x = L q für q = ˆδ(q 0, x) ist. : Auch klr, d jedes q Z üer ein x Σ erreichr ist. Also hängt k = {L q q Z} = {L x x Σ } nur von L.

9 Wie können wir M us M konstruieren? Hierzu genügt es, heruszufinden, o zwei Zustände p und q von M äquivlent sind oder nicht? Offenr unterscheidet ε Zustände p E von Zuständen q Z \ E. Flls x die Zustände δ(p, ) und δ(q, ) unterscheidet, so unterscheidet x die Zustände p und q, d.h. x L δ(p,) L δ(q,) x L p L q. Wenn lso D nur inäquivlente Zustndspre enthält, so trifft dies uch uf die Menge zu. D = {{p, q} Σ : {δ(p, ), δ(q, )} D}

10 Algorithmische Konstruktion von M Idee Berechne usgehend von D 0 = {{p, q} p E, q E} mittels D i+1 = D i {{p, q} Σ : {δ(p, ), δ(q, )} D i } eine Folge D 0 D 1 D 2 von Mengen mit inäquivlenten Zustndspren. D es nur endlich viele Zustndspre git, muss es ein j geen mit D j+1 = D j. Für dieses j gilt dnn p q {p, q} D j Folglich ist (siehe Üungen). z = {z} {z Z {z, z } D j }.

11 Algorithmus zur Berechnung eines minimlen DFA Algorithmus min-dfa(m) 1 Input: DFA M = (Z, Σ, δ, q 0, E) 2 entferne lle nicht erreichren Zustände 3 D := {{z, z } z E, z E} 4 repet 5 D := D 6 D := D {{p, q} Σ : {δ(p, ), δ(q, )} D} 7 until D = D 8 Output: M = ( Z, Σ, δ, q 0, Ẽ), woei für jeden Zustnd z Z gilt: z = {z} {z Z {z, z } D}

12 Algorithmus für die Konstruktion von M Beispiel Betrchte den DFA M ε ε 4 ε 5 ε 6 ε ε ε ε Dnn enthält D 0 die Pre {1, 3}, {1, 6}, {2, 3}, {2, 6}, {3, 4}, {3, 5}, {4, 6}, {5, 6}.

13 Algorithmus für die Konstruktion von M Beispiel Betrchte den DFA M ε ε 4 ε 5 ε 6 ε ε ε ε Wegen {p, q} {1, 4} {1, 5} {2, 4} {2, 5} {δ(q, ), δ(p, )} {2, 3} {2, 6} {1, 3} {1, 6} enthält D 1 zusätzlich die Pre {1, 4}, {1, 5}, {2, 4}, {2, 5}.

14 Algorithmus für die Konstruktion von M Beispiel Betrchte den DFA M ε ε 4 ε 5 ε 6 ε ε ε ε D nun jedoch die verlieenen Pre {1, 2}, {3, 6}, {4, 5} wegen {p, q} {1, 2} {3, 6} {4, 5} {δ(p, ), δ(q, )} {1, 2} {4, 5} {3, 6} {δ(p, ), δ(q, )} {3, 6} {1, 2} {4, 5} nicht zu D 1 hinzugefügt werden können, ist D 2 = D 1.

15 Algorithmus für die Konstruktion von M Beispiel Betrchte den DFA M ε ε 4 ε 5 ε 6 ε ε ε ε D die Pre {1, 2}, {3, 6} und {4, 5} nicht in D 1 enthlten sind, können die Zustände 1 und 2, 3 und 6, sowie 4 und 5 verschmolzen werden. Demnch ht M die Zustände 1 = {1, 2}, 3 = {3, 6} und 4 = {4, 5}: 1 3 4

16 Direkte Konstruktion eines Miniml-DFA us L Bemerkung M erreicht nch Lesen von x den Zustnd ˆδ(q 0, x) = ˆδ(q 0, y) ˆδ(q 0, x) ˆδ(q 0, y) können die Zustände ˆδ(q 0, x). Wegen Lˆδ(q 0,x) = Lˆδ(q 0,y) L x = L y ˆδ(q 0, x) von M uch mit L x ezeichnet werden. Dies führt uf den zu M isomorphen DFA M L = (Z L, Σ, δ L, L ε, E L ) mit Z L = {L x x Σ }, E L = {L x x L} und δ L (L x, ) = L x, der sich uch direkt us der Sprche L gewinnen lässt.

17 Direkte Konstruktion eines Miniml-DFA us L Beispiel Betrchte die Sprche L = {x 1 x n {0, 1} x n 1 = 0}. Dnn ht M L die folgenden Sprchen ls Zustände: L, x {ε, 1} oder x endet mit 11, L {0, 1}, x = 0 oder x endet mit 10, L x = L {ε, 0, 1}, x endet mit 00, L {ε}, x endet mit 01. Grphische Drstellung von M L : L L ε 0 1 L L 01 0

18 Der Stz von Myhill und Nerode Notwendig und hinreichend für die Existenz von M L ist, dss die Menge Z L = {L x x Σ } endlich ist. L ist lso genu dnn regulär, wenn der Index der durch x R L y L x = L y uf Σ definierten Äquivlenzreltion R L endlich ist. Ist M ein DFA mit einer minimlen Anzhl von Zuständen, so hen die Zustände von M die Form q = {q}, d.h. M ist isomorph zu M. D M wiederum isomorph zu M L ist, ist jeder minimle DFA M mit L(M) = L isomorph zu M L, d.h. für jede reguläre Sprche L git es is uf Isomorphie nur einen Miniml-DFA.

19 Der Stz von Myhill und Nerode Stz (Myhill und Nerode) Für eine Sprche L Σ sei R L = {(x, y) Σ Σ L x = L y } = {(x, y) Σ Σ z Σ : xz L yz L} und sei index(r L ) der Index von R L. Dnn gilt: 1 REG = {L index(r L ) < }. 2 Für jede reguläre Sprche L git es is uf Isomorphie genu einen Miniml-DFA. Dieser ht index(r L ) Zustände.

20 Der Äquivlenzklssen-DFA M RL für L Zwei Eingen x und y üerführen den DFA M L genu dnn in denselen Zustnd, wenn L x = L y ist (lso xr L y gilt). Die Zustände von M L können dher nstelle von L x uch mit den Äquivlenzklssen [x] von R L (zw. mit geeigneten Repräsentnten) ennnt werden. Der resultierende Miniml-DFA M RL wird uch ls Äquivlenzklssenutomt ezeichnet: M RL = (Z, Σ, δ, [ε], E) mit Z = {[x] x Σ } und E = {[x] x L}. Für die Konstruktion von δ genügt es, usgehend von r 1 = ε eine Folge von Wörtern r 1,..., r k mit [r i ] [r j ] zu estimmen, so dss zu jedem r i und jedem Zeichen Σ ein r j existiert mit r i [r j ]. In diesem Fll ist dnn δ([r i ], ) = [r i ] = [r j ]. Die Konstruktion von M RL erfordert meist weniger Aufwnd ls die von M L, d die Bestimmung der Sprchen L x entfällt.

21 Direkte Konstruktion des Äquivlenzklssen-DFA M RL us L Beispiel Für die Sprche L = {x 1 x n {0, 1} x n 1 = 0} lässt sich M RL usgehend von r 1 = ε wie folgt konstruieren: 1 Wegen r 1 0 = 0 [ε] ist r 2 = 0 und δ([ε], 0) = [0]. 2 Wegen r 1 1 = 1 [ε] ist δ([ε], 1) = [ε]. 3 Wegen r 2 0 = 00 [ε] [0] ist r 3 = 00 und δ([0], 0) = [00]. 4 Wegen r 2 1 = 01 [ε] [0] [00] ist r 4 = 01 und δ([0], 1) = [01]. 5 Wegen r 3 0 = 000 [00] ist δ([00], 0) = [00]. 6 Wegen r 3 1 = 001 [01] ist δ([00], 1) = [01]. 7 Wegen r 4 0 = 010 [0] ist δ([01], 0) = [0]. 8 Wegen r 4 1 = 011 [ε] ist δ([01], 1) = [ε]. 0 [0] 0 r ε [r0] [0] [00] [00] [0] [r1] [ε] [01] [01] [ε] [ε] [01] 1 1 [00] 0

22 Chrkterisierungen der Klsse REG Korollr Sei L eine Sprche. Dnn sind folgende Aussgen äquivlent: L ist regulär, es git einen DFA M mit L = L(M), es git einen NFA N mit L = L(N), es git einen regulären Ausdruck γ mit L = L(γ), die Äquivlenzreltion R L ht endlichen Index. Wir können lso eweisen, dss eine Sprche L nicht regulär ist, indem wir unendlich viele Wörter finden, die prweise inäquivlent zgl. R L sind.

23 Nchweis von L REG mittels Myhill und Nerode Stz Die Sprche L = { n n n 0} ist nicht regulär. Beweis Die Wörter i, i 0, sind zgl. R L prweise inäquivlent. Für i j gilt nämlich i R L j, d i L i L j enthlten ist.

24 Ds Pumping-Lemm Frge Wie lässt sich möglichst einfch zeigen, dss eine Sprche nicht regulär ist? Antwort Oft führt die Kontrposition folgender Aussge zum Ziel. Stz (Pumping-Lemm für reguläre Sprchen) Zu jeder regulären Sprche L git es eine Zhl l 0, so dss sich lle Wörter x L mit x l in x = uvw zerlegen lssen mit 1 v ε, 2 uv l und 3 uv i w L für lle i 0. Ds kleinste solche l wird uch die Pumping-Zhl von L gennnt.

25 Ds Pumping-Lemm Beispiel Die Sprche L = {x {, } # (x) # (x) 3 1} lässt sich pumpen (mit Pumping-Zhl l = 3). Sei x L elieig mit x Fll: x ht ds Präfix. Zerlege x = uvw mit u = ε und v =. 2. Fll: x ht ds Präfix. Zerlege x = uvw mit u = und v =. 3. Fll: x ht ds Präfix. Zerlege x = uvw mit u = ε und v =. Restliche Fälle (Präfixe, und ): nlog.

26 Ds Pumping-Lemm Beispiel Eine endliche Sprche L lässt sich wie folgt pumpen. Sei 0, L =, l = 1 + mx x L x, sonst. Dnn lässt sich jedes Wort x L der Länge x l pumpen (d solche Wörter gr nicht existieren). Zudem git es im Fll l > 0 ein Wort x L der Länge l 1, ds sich nicht pumpen lässt. Also ht L die Pumping-Zhl l.

27 Ds Pumping-Lemm Stz (Pumping-Lemm für reguläre Sprchen) Zu jeder regulären Sprche L git es eine Zhl l, so dss sich lle Wörter x L mit x l in x = uvw zerlegen lssen mit 1 v ε, 2 uv l und 3 uv i w L für lle i 0. Ds kleinste solche l wird uch die Pumping-Zhl von L gennnt.

28 Ds Pumping-Lemm Beweis Sei M = (Z, Σ, δ, q 0, E) ein DFA mit l Zuständen und sei x = x 1 x n L mit n = x l. Dnn muss M(x) nch spätestens l Schritten einen Zustnd zum zweiten Ml nnehmen, d.h. es ex. 0 j < k l und z Z mit ˆδ(q 0, x 1 x j ) = z und ˆδ(q 0, x 1 x j x j+1 x k ) = z. Setze u = x 1 x j, v = x j+1 x k und w = x k+1 x n. Dnn gilt v = k j 1 (d.h. v ε), k = uv l. Zudem gehört für lle i 0 ds Wort uv i w zu L, d wegen ˆδ(z, v) = z ˆδ(q 0, uv i w) = ˆδ(ˆδ(ˆδ(q 0, u), v i ), w) = ˆδ(ˆδ(z, v i ), w) = ˆδ(q 0, x) }{{}}{{} z z in E ist.

29 Kontrposition des Pumping-Lemms Um lso L REG zu zeigen, genügt es, für jede Zhl l 0 ein Wort x L der Länge x l zu finden, so dss für jede Zerlegung x = uvw mindestens eine der folgenden drei Bedingungen verletzt ist: 1 v ε, 2 uv l oder 3 uv i w L für lle i 0. Beispiel Die Sprche L = { n n n 0} ist nicht regulär: Für jede Zhl l 0 enthält L ds Wort x = l l mit x = 2l l. Für jede Zerlegung x = uvw von x = l l mit 1 v ε ist die Bedingung 3 uv i w L für lle i 2 verletzt.

30 Kontrposition des Pumping-Lemms Um lso L REG zu zeigen, genügt es, für jede Zhl l 0 ein Wort x L der Länge x l zu finden, so dss für jede Zerlegung x = uvw mindestens eine der folgenden drei Bedingungen verletzt ist: 1 v ε, 2 uv l oder 3 uv i w L für lle i 0. Beispiel (L = { n2 n 0} REG) Für jede Zhl l 0 enthält L ein Wort x mit x = l 2 l. Für jede Zerlegung x = uvw mit u = r, v = s, w = t und 1 v ε (d.h. s 1) sowie 2 uv l (d.h. r + s l) ist die Bedingung 3 uv 2 w L verletzt, d r + 2s + t = l 2 + s keine Qudrtzhl ist: l 2 < l 2 + s < l 2 + l + 1 (l + 1) 2.

31 Kontrposition des Pumping-Lemms Um lso L REG zu zeigen, genügt es, für jede Zhl l 0 ein Wort x L der Länge x l zu finden, so dss für jede Zerlegung x = uvw mindestens eine der folgenden drei Bedingungen verletzt ist: 1 v ε, 2 uv l oder 3 uv i w L für lle i 0. Beispiel (L = { p p prim } REG) Für jede Zhl l 0 enthält L ein Wort x mit x = p l. Für jede Zerlegung x = uvw mit v = s und 1 v ε (d.h. s 1) ist die Bedingung 3 uv i w L wegen uv i w = p + (i 1)s für i = p + 1 verletzt, d dnn ist. uv i w = p + ps = p(s + 1)

32 Grenzen des Pumping-Lemms Bemerkung Mit dem Pumping-Lemm können nicht lle Sprchen L REG ls nicht regulär nchgewiesen werden, d seine Umkehrung flsch ist. Betrchte die Sprche L = { i j c k i = 0 oder j = k}. D jedes Wort x L mit Ausnhme von ε gepumpt werden knn, ht L die Pumping-Zhl 1. Allerdings ist L nicht regulär (siehe Üungen).

33 Erzeugung der regulären Ausdrücke mit einer Grmmtik Eine elegnte Methode, Sprchen zu eschreien, sind Grmmtiken. Implizit hen wir hiervon ei der Definition der regulären Ausdrücke schon Geruch gemcht. Beispiel Die Sprche RA ller regulären Ausdrücke üer einem Alphet Σ = { 1,..., k } lässt sich us dem Symol R unter Anwendung folgender Regeln erzeugen: R, R ɛ, R i, i = 1,..., k, R RR, R (R R), R (R).

34 Definition einer Grmmtik Definition Eine Grmmtik ist ein 4-Tupel G = (V, Σ, P, S), woei V eine endliche Menge von Vrilen (uch Nichtterminlsymole gennnt), Σ ds Terminllphet, P (V Σ) + (V Σ) eine endliche Menge von Regeln (oder Produktionen) und S V die Strtvrile ist. Bemerkung Für (u, v) P schreien wir uch kurz u G v zw. u v, wenn die enutzte Grmmtik us dem Kontext ersichtlich ist.

35 Die von einer Grmmtik erzeugte Sprche Ein Wort β (V Σ) ist us einem Wort α (V Σ) + in einem Schritt leitr (kurz: α G β), flls eine Regel u G v und Wörter l, r (V Σ) existieren mit α = lur und β = lvr. Hierfür schreien wir uch lur G lvr. Eine Folge σ = (l 0, u 0, r 0 ),..., (l m, u m, r m ) von Tripeln (l i, u i, r i ) heißt Aleitung von β us α, flls gilt: l 0 u 0 r 0 = α, l m u m r m = β und l i u i r i l i+1 u i+1 r i+1 für i = 0,..., m 1. Die Länge der Aleitung σ ist m und wir notieren σ uch in der Form l 0 u 0 r 0 l 1 u 1 r 1 l m 1 u m 1 r m 1 l m u m r m. Die durch G erzeugte Sprche ist L(G) = {x Σ S G x}. Ein Wort α (V Σ) mit S G α heißt Stzform von G.

36 Aleitungen in einer Grmmtik Zur Erinnerung: ezeichnet die reflexive, trnsitive Hülle der Reltion, d.h. α β edeutet, dss es ein n 0 git mit α n β. Hierzu sgen wir uch, β ist us α (in n Schritten) leitr. n ezeichnet ds n-fche Produkt der Reltion, d.h. es gilt α n β, flls Wörter α 0,..., α n existieren mit α 0 = α, α n = β und α i α i+1 für i = 0,..., n 1.

37 Aleitung eines Wortes Beispiel Wir etrchten nochmls die Grmmtik G = ({R}, Σ {, ɛ, (, ),, }, P, R) für die Sprche ller regulären Ausdrücke üer Σ mit den Regeln P : R, ɛ,, Σ R RR, (R R), (R). Der reguläre Ausdruck (01) (ɛ ) üer Σ = {0, 1} lässt sich in G us dem Strtsymol R wie folgt leiten: R RR (R) R (RR) R (RR) (R R) (0R) (R R) (01) (R R) (01) (ɛ R) (01) (ɛ )

38 Die Chomsky-Hierrchie Mn unterscheidet vier Typen von Grmmtiken G = (V, Σ, P, S). Definition 1 G heißt vom Typ 3 oder regulär, flls für lle Regeln u v gilt: u V und v ΣV Σ {ε}, (d.h. lle Regeln hen die Form A B, A oder A ε). 2 G heißt vom Typ 2 oder kontextfrei, flls für lle Regeln u v gilt: u V, (d.h. lle Regeln hen die Form A α). 3 G heißt vom Typ 1 oder kontextsensitiv, flls für lle Regeln u v gilt: v u, (mit Ausnhme der ε-sonderregel, s. unten). 4 Jede Grmmtik ist utomtisch vom Typ 0. Die ε-sonderregel In einer kontextsensitiven Grmmtik ist uch die Regel S ε zulässig. Aer nur, wenn ds Strtsymol S in keiner Regel rechts vorkommt.

39 Die Chomsky-Hierrchie Beispiel Wir etrchten nochmls die Grmmtik G = ({R}, Σ {, ɛ, (, ),, }, P, R) für die Sprche ller regulären Ausdrücke üer Σ mit den Regeln P : R, ɛ,, Σ R RR, (R R), (R). D uf der linken Seite jeder Regel eine einzelne Vrile steht, ist G kontextfrei. Offenr ist G er keine reguläre Grmmtik, d zwr die Σ + 2 Regeln R, ɛ,, Σ, die geforderte Form hen, nicht jedoch die drei Regeln R RR, (R R), (R).

40 Die Chomsky-Hierrchie Eine Sprche heißt vom Typ i zw. regulär, kontextfrei oder kontextsensitiv, flls sie von einer entsprechenden Grmmtik erzeugt wird. Dmit erhlten wir die neuen Sprchklssen und CFL = {L(G) G ist eine kontextfreie Grmmtik} (context free lnguges) CSL = {L(G) G ist eine kontextsensitive Grmmtik} (context sensitive lnguges). D die Klsse der Typ 0 Sprchen mit der Klsse der rekursiv ufzählren Sprchen üereinstimmt, ezeichnen wir diese Sprchklsse mit RE = {L(G) G ist eine Grmmtik} (recursively enumerle lnguges).

41 Die Chomsky-Hierrchie Wir werden ld eweisen, dss die Sprchklssen REG CFL CSL RE eine Hierrchie ilden (d.h. die Inklusionen sind echt), die so gennnte Chomsky-Hierrchie. Zunächst rechtfertigen wir jedoch die Bezeichnung regulär für die regulären Grmmtiken und für die von ihnen erzeugten Sprchen.

42 Reguläre Grmmtiken Stz REG = {L(G) G ist eine reguläre Grmmtik}. Beweis von REG {L(G) G ist eine reguläre Grmmtik} Sei M = (Z, Σ, δ, q 0, E) ein DFA. Wir konstruieren eine reguläre Grmmtik G mit L(G) = L(M). Betrchte die Grmmtik G = (V, Σ, P, S) mit V = Z, S = q 0 und P = {q p δ(q, ) = p} {q ε q E}.

43 Reguläre Grmmtiken Beweis von REG {L(G) G ist eine reguläre Grmmtik} Betrchte die Grmmtik G = (V, Σ, P, S) mit V = Z, S = q 0 und P = {q p δ(q, ) = p} {q ε q E}. Dnn gilt für lle Wörter x = x 1 x n Σ : x L(M) q 1,..., q n 1 Z q n E : δ(q i 1, x i ) = q i für i = 1,..., n q 1,..., q n V : q i 1 x i q i für i = 1,..., n und q n ε q 1,..., q n V : q 0 i x 1 x i q i für i = 1,..., n und q n ε x L(G)

44 Reguläre Grmmtiken Beispiel Für den DFA q 0 q q q 3 0 erhlten wir die Grmmtik G = ({q 0, q 1, q 2, q 3 }, {0, 1}, P, q 0 ) mit P : q 0 1q 0, 0q 1, q 1 0q 2, 1q 3, q 2 0q 2, 1q 3, ε, q 3 0q 1, 1q 0, ε.

45 Reguläre Grmmtiken Offensichtlich lässt sich oige Konstruktion einer Grmmtik G us einem DFA M umdrehen, flls G keine Regeln der Form A enthält. Für den Beweis der Rückrichtung genügt es dher, lle Regeln dieser Form zu eliminieren. Lemm Zu jeder regulären Grmmtik G = (V, Σ, P, S) git es eine äquivlente reguläre Grmmtik G, die keine Regeln der Form A ht. Beweis Betrchte die Grmmtik G = (V, Σ, P, S) mit V = V {X neu } und P = {A X neu A G } {X neu ε} P \ (V Σ).

46 Reguläre Grmmtiken Beispiel Betrchte die Grmmtik G = ({A, B, C}, {, }, P, A) mit P : A B, C, ε, B C, A,, C A, B,. Wir ersetzen die Regeln B und C durch die Regeln B D und C D und fügen die Regel D ε hinzu. Dmit erhlten wir die Grmmtik G = ({A, B, C, D}, {, }, P, A) mit P : A B, C, ε, B C, A, D, C A, B, D, D ε.

47 Reguläre Grmmtiken Beweis von {L(G) G ist eine reguläre Grmmtik} REG Sei G = (V, Σ, P, S) eine reguläre Grmmtik, die keine Regeln der Form A enthält. Drehen wir oige Konstruktion einer Grmmtik us einem DFA um, so erhlten wir den NFA M = (Z, Σ, δ, {S}, E) mit Z = V, δ(a, ) = {B A G B} und E = {A A G ε}. Genu wie oen folgt dnn L(M) = L(G).

48 Reguläre Grmmtiken Beispiel (Fortsetzung) Die Grmmtik G = ({A, B, C, D}, {, }, P, A) mit P : A B, C, ε, B C, A, D, C A, B, D, D ε. führt uf den NFA A B C D

49 Chrkterisierungen der Klsse REG Korollr Sei L eine Sprche. Dnn sind folgende Aussgen äquivlent: L ist regulär, es git einen DFA M mit L = L(M), es git einen NFA N mit L = L(N), es git einen regulären Ausdruck γ mit L = L(γ), die Äquivlenzreltion R L ht endlichen Index, es git eine reguläre Grmmtik G mit L = L(G).

Automaten und Formale Sprachen alias Theoretische Informatik. Sommersemester 2012. Sprachen. Grammatiken (Einführung)

Automaten und Formale Sprachen alias Theoretische Informatik. Sommersemester 2012. Sprachen. Grammatiken (Einführung) Wörter, Grmmtiken und die Chomsky-Hierrchie Sprchen und Grmmtiken Wörter Automten und Formle Sprchen lis Theoretische Informtik Sommersemester 2012 Dr. Snder Bruggink Üungsleitung: Jn Stückrth Alphet Ein

Mehr

Teil V: Formale Sprachen

Teil V: Formale Sprachen Formle Sprchen Teil V: Formle Sprchen 1. Sprchen und Grmmtiken 2. Endliche Automten Frnz-Josef Rdermcher & Uwe Schöning, Fkultät für Ingeneurwissenschften und Informtik, Universität Ulm, 2008/09 Formle

Mehr

Domäne und Bereich. Relationen zwischen Mengen/auf einer Menge. Anmerkungen zur Terminologie. r Relationen auf/in einer Menge.

Domäne und Bereich. Relationen zwischen Mengen/auf einer Menge. Anmerkungen zur Terminologie. r Relationen auf/in einer Menge. Reltionen zwischen Mengen/uf einer Menge! Eine Reltion R A B (mit A B) ist eine Reltion zwischen der Menge A und der Menge B, oder uch: von A nch B. Drstellung: c A! Wenn A = B, d.h. R A A, heißt R eine

Mehr

Vorlesung. Einführung in die mathematische Sprache und naive Mengenlehre

Vorlesung. Einführung in die mathematische Sprache und naive Mengenlehre Vorlesung Einführung in die mthemtische Sprche und nive Mengenlehre 1 Allgemeines RUD26 Erwin-Schrödinger-Zentrum (ESZ) RUD25 Johnn-von-Neumnn-Hus Fchschft Menge ller Studenten eines Institutes Fchschftsrt

Mehr

Identifizierbarkeit von Sprachen

Identifizierbarkeit von Sprachen FRIEDRICH SCHILLER UNIVERSITÄT JENA Fkultät für Mthemtik und Informtik INSTITUT für INFORMATIK VORLESUNG IM WINTERSEMESTER STOCHASTISCHE GRAMMATIKMODELLE Ernst Günter Schukt-Tlmzzini 06. Quelle: /home/schukt/ltex/folien/sprchmodelle-00/ssm-06.tex

Mehr

Präfixcodes und der Huffman Algorithmus

Präfixcodes und der Huffman Algorithmus Präfixcodes und der Huffmn Algorithmus Präfixcodes und Codebäume Im Folgenden werden wir Codes untersuchen, die in der Regel keine Blockcodes sind. In diesem Fll können Codewörter verschiedene Länge hben

Mehr

Skript für die Oberstufe und das Abitur 2015 Baden-Württemberg berufl. Gymnasium (AG, BTG, EG, SG, WG)

Skript für die Oberstufe und das Abitur 2015 Baden-Württemberg berufl. Gymnasium (AG, BTG, EG, SG, WG) Sript für die Oerstufe und ds Aitur Bden-Württemerg erufl. Gymnsium (AG, BTG, EG, SG, WG) Mtrizenrechnung, wirtschftliche Anwendungen (Leontief, Mterilverflechtung) und Linere Optimierung Dipl.-Mth. Alexnder

Mehr

Endliche Automaten. Prof. Dr. W. Vogler. Sommersemester 2007

Endliche Automaten. Prof. Dr. W. Vogler. Sommersemester 2007 Endliche Automten Prof. Dr. W. Vogler Sommersemester 2007 1 INHALTSVERZEICHNIS i Inhltsverzeichnis 1 Wörter und Monoide 1 2 Endliche Automten 4 3 Anwendung: Diophntische Gleichungen 9 4 Minimierung endlicher

Mehr

Seminar Quantum Computation - Finite Quanten-Automaten und Quanten-Turingmaschinen

Seminar Quantum Computation - Finite Quanten-Automaten und Quanten-Turingmaschinen Seminr Quntum Computtion - Finite Qunten-Automten und Qunten-Turingmschinen Sebstin Scholz sscholz@informtik.tu-cottbus.de Dezember 3. Einleitung Aus der klssischen Berechenbrkeitstheorie sind die odelle

Mehr

1KOhm + - y = x LED leuchtet wenn Schalter x gedrückt ist

1KOhm + - y = x LED leuchtet wenn Schalter x gedrückt ist . Ohm = LED leuchtet wenn chlter gedrückt ist 2. Ohm = NICH ( = NO ) LED leuchtet wenn chlter nicht gedrückt ist = ist die Negtion von? Gibt es so einen kleinen chlter (Mikrotster)? 2. Ohm = UND LED leuchtet

Mehr

Inhaltsverzeichnis. Inhaltsverzeichnis... 1 3.Logik... 2. 3.1 Zahlensysteme... 2. 3.2 Grundbegriffe zweiwertiger Logik... 13

Inhaltsverzeichnis. Inhaltsverzeichnis... 1 3.Logik... 2. 3.1 Zahlensysteme... 2. 3.2 Grundbegriffe zweiwertiger Logik... 13 Inhltsverzeichnis Inhltsverzeichnis... 3.Logik... 2 3. Zhlensysteme... 2 3.2 Grundegriffe zweiwertiger Logik... 3 3.3 Rechengesetze für logische Ausdrücke... 9 3.4 Logische Funktionen... 24 3.5 Logische

Mehr

13 Rekonfigurierende binäre Suchbäume

13 Rekonfigurierende binäre Suchbäume 13 Rekonfigurierende inäre Suchäume U.-P. Schroeder, Uni Pderorn inäräume, die zufällig erzeugt wurden, weisen für die wesentlichen Opertionen Suchen, Einfügen und Löschen einen logrithmischen ufwnd uf.

Mehr

Reguläre Sprachen und endliche Automaten

Reguläre Sprachen und endliche Automaten 2 Reguläre Sprchen und endliche Automten Sei Σ = {, b,...} ein endliches Alphbet. Ein endliches Wort über Σ ist eine Folge w = 0... n 1, wobei i Σ für i = 0,...,n 1. Wir schreiben w für die Länge von w,

Mehr

Aufgaben zur Vorlesung Analysis II Prof. Dr. Holger Dette SS 2012 Lösungen zu Blatt 6

Aufgaben zur Vorlesung Analysis II Prof. Dr. Holger Dette SS 2012 Lösungen zu Blatt 6 Aufgben zur Vorlesung Anlysis II Prof. Dr. Holger Dette SS 0 Lösungen zu Bltt 6 Aufgbe. Die Funktion f : [, ) R sei in jedem endlichen Teilintervll von [, ) Riemnnintegrierbr. Für n N sei I n := f() d.

Mehr

UNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. M. Uhl. Sommersemester 2009

UNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. M. Uhl. Sommersemester 2009 UNIVERSIÄ KARLSRUHE Institut für Anlysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmnn Dipl.-Mth. M. Uhl Sommersemester 9 Höhere Mthemti II für die Fchrichtungen Eletroingenieurwesen, Physi und Geodäsie inlusive Komplexe Anlysis

Mehr

Lösungsskizze zu Übungsblatt Nr. 13

Lösungsskizze zu Übungsblatt Nr. 13 Technische Universität Dortmund Lehrstuhl Informtik VI Prof Dr Jens Teuner Pflichtmodul Informtionssysteme (SS 2014) Prof Dr Jens Teuner Leitung der Üungen: Mrcel Preuß, Sestin Breß, Mrtin Schwitll, Krolin

Mehr

Für den Mathe GK, Henß. - Lineare Algebra und analytische Geometrie -

Für den Mathe GK, Henß. - Lineare Algebra und analytische Geometrie - Für den Mthe GK, Henß - Linere Alger und nlytische Geometrie - Bis uf die Astände ist jetzt lles drin.. Ich h noch ne tolle Seite entdeckt mit vielen Beispielen und vor llem Aufgen zum Üen mit Lösungen..

Mehr

Funktionen und Mächtigkeiten

Funktionen und Mächtigkeiten Vorlesung Funktionen und Mähtigkeiten. Etws Mengenlehre In der Folge reiten wir intuitiv mit Mengen. Eine Menge ist eine Zusmmenfssung von Elementen. Zum Beispiel ist A = {,,,,5} eine endlihe Menge mit

Mehr

Thema 13 Integrale, die von einem Parameter abhängen, Integrale von Funktionen auf Teilmengen von R n

Thema 13 Integrale, die von einem Parameter abhängen, Integrale von Funktionen auf Teilmengen von R n Them 13 Integrle, die von einem Prmeter bhängen, Integrle von Funktionen uf Teilmengen von R n Wir erinnern drn, dß eine Funktion h : [, b] R eine Treppenfunktion ist, flls es eine Unterteilung x < x 1

Mehr

Lösungsskizze zu Übungsblatt Nr. 13

Lösungsskizze zu Übungsblatt Nr. 13 Technische Universität Dortmund Lehrstuhl Informtik VI Prof Dr Jens Teuner Pflichtmodul Informtionssysteme (SS 2013) Prof Dr Jens Teuner Leitung der Üungen: Geoffry Bonnin, Sven Kuisch, Moritz Mrtens,

Mehr

1.2 Der goldene Schnitt

1.2 Der goldene Schnitt Goldener Schnitt Psclsches Dreieck 8. Der goldene Schnitt Beim Begriff Goldener Schnitt denken viele Menschen n Kunst oder künstlerische Gestltung. Ds künstlerische Problem ist, wie ein Bild wohlproportioniert

Mehr

edatenq ist eine Anwendung, die den Unternehmen die Möglichkeit bietet, ihre statistischen Meldungen über das Internet auszufüllen und einzureichen.

edatenq ist eine Anwendung, die den Unternehmen die Möglichkeit bietet, ihre statistischen Meldungen über das Internet auszufüllen und einzureichen. Mnuell edatenq Fremdenverkehrs- und Gstgeweresttistik Einleitung edatenq ist eine Anwendung, die den Unternehmen die Möglichkeit ietet, ihre sttistischen Meldungen üer ds Internet uszufüllen und einzureichen.

Mehr

Karlsruher Institut für Technologie

Karlsruher Institut für Technologie Krlsruher Institut für Technologie Lehrstuhl für Progrmmierprdigmen Sprchtechnologie und Compiler WS 2010/2011 Dozent: Prof. Dr.-Ing. G. Snelting Üungsleiter: Mtthis Brun Lösung zu Üungsltt 1 Ausge: 18.04.2012

Mehr

Endliche Automaten. S. Kuske: Endliche Automaten; 6.Novenber 2006

Endliche Automaten. S. Kuske: Endliche Automaten; 6.Novenber 2006 1 Endliche Automten Einfches Modellierungswekzeug (z.b. UML-Sttechrts) Verrbeiten Wörter/Ereignisfolgen Erkennen Sprchen Erluben schnelle Sprcherkennung Anwendungsbereiche: Objektorientierte Modellierung,

Mehr

Versuchsplanung. Grundlagen. Extrapolieren unzulässig! Beobachtungsbereich!

Versuchsplanung. Grundlagen. Extrapolieren unzulässig! Beobachtungsbereich! Versuchsplnung 22 CRGRAPH www.crgrph.de Grundlgen Die Aufgbe ist es Versuche so zu kombinieren, dss die Zusmmenhänge einer Funktion oder eines Prozesses bestmöglich durch eine spätere Auswertung wiedergegeben

Mehr

Def.: Sei Σ eine Menge von Zeichen. Die Menge Σ* aller Zeichenketten (Wörter) über Σ ist die kleinste Menge, für die gilt:

Def.: Sei Σ eine Menge von Zeichen. Die Menge Σ* aller Zeichenketten (Wörter) über Σ ist die kleinste Menge, für die gilt: 8. Grundlgen der Informtionstheorie 8.1 Informtionsgehlt, Entropie, Redundnz Def.: Sei Σ eine Menge von Zeichen. Die Menge Σ* ller Zeichenketten (Wörter) über Σ ist die kleinste Menge, für die gilt: 1.

Mehr

Die Regelungen zu den Einsendeaufgaben (Einsendeschluss, Klausurzulassung) finden Sie in den Studien- und Prüfungsinformationen Heft Nr. 1.

Die Regelungen zu den Einsendeaufgaben (Einsendeschluss, Klausurzulassung) finden Sie in den Studien- und Prüfungsinformationen Heft Nr. 1. Modul : Grundlgen der Wirtschftsmthemtik und Sttistik Kurs 46, Einheit, Einsendeufge Die Regelungen zu den Einsendeufgen (Einsendeschluss, Klusurzulssung) finden Sie in den Studien- und Prüfungsinformtionen

Mehr

Boole'sche Algebra. Inhaltsübersicht. Binäre Funktionen, Boole'sche Algebren, Schaltalgebra. Verknüpfungen der mathematischen Logik

Boole'sche Algebra. Inhaltsübersicht. Binäre Funktionen, Boole'sche Algebren, Schaltalgebra. Verknüpfungen der mathematischen Logik Boole'sche Algebr Binäre Funktionen, Boole'sche Algebren, Schltlgebr Inhltsübersicht Verknüpfungen der mthemtischen Logik Boole sche Algebren Grundelemente der Schltlgebr Regeln der Schltlgebr Normlformen

Mehr

Vorkurs Mathematik Fachhochschule Frankfurt, Fachbereich 2. Fachhochschule Frankfurt am Main Fachbereich Informatik und Ingenieurwissenschaften

Vorkurs Mathematik Fachhochschule Frankfurt, Fachbereich 2. Fachhochschule Frankfurt am Main Fachbereich Informatik und Ingenieurwissenschaften Vorkurs Mthemtik Fchhochschule Frnkfurt, Fchereich Fchhochschule Frnkfurt m Min Fchereich Informtik und Ingenieurwissenschften Vorkurs Mthemtik Sie finden lle Mterilien sowie ergänzende Informtionen unter

Mehr

Musterlösung zu Aufgabe 1 (Klassenstufe 9/10)

Musterlösung zu Aufgabe 1 (Klassenstufe 9/10) Musterlösung zu Aufgbe 1 (Klssenstufe 9/10) Aufgbe. Drei Freunde spielen mehrere Runden eines Spiels, bei dem sie je nch Rundenpltzierung in jeder Runde einen festen, gnzzhligen Betrg x, y oder z usgezhlt

Mehr

Lehrgang: Digitaltechnik 1 ( Grundlagen ) - Im Lehrgang verwendete Gatter ( Übersicht ) Seite 3

Lehrgang: Digitaltechnik 1 ( Grundlagen ) - Im Lehrgang verwendete Gatter ( Übersicht ) Seite 3 Lehrgng: Digitltechnik ( Grundlgen ) Dtum: Nme: Seite: Inhltsverzeichnis: Im Lehrgng verwendete Gtter ( Üersicht ) Seite 3 Aufu von Zhlensystemen deziml, dul ( Infoseite ) Seite 4 ( Areitsltt ) Seite 5

Mehr

Grammatiken. Einführung

Grammatiken. Einführung Einführung Beispiel: Die arithmetischen Ausdrücke über der Variablen a und den Operationen + und können wie folgt definiert werden: a, a + a und a a sind arithmetische Ausdrücke Wenn A und B arithmetische

Mehr

Einschub: Zahlendarstellung und Codes

Einschub: Zahlendarstellung und Codes Einschu: Zhlendrstellung und Codes (Unvollständige Drstellung) DST SS23 - Codes und KMAPs P. Fischer, TI, Uni Mnnheim, Seite Binärzhlen N-stellige Binärzhl:... Einzelne Stellen heißen Bits (inry digits)

Mehr

Bestimmung der Adsorptionsisotherme von Essigsäure an Aktivkohle

Bestimmung der Adsorptionsisotherme von Essigsäure an Aktivkohle S2-Adsorptionsisothermen_UWW rstelldtum 28.3.214 7:41: Üungen in physiklischer Chemie für Studierende der Umweltwissenschften Versuch Nr.: S2 Version 214 Kurzezeichnung: Adsorptionsisotherme estimmung

Mehr

solche mit Textzeichen (z.b. A, a, B, b,!) solche mit binären Zeichen (0, 1)

solche mit Textzeichen (z.b. A, a, B, b,!) solche mit binären Zeichen (0, 1) teilung Informtik, Fh Progrmmieren 1 Einführung Dten liegen oft ls niht einfh serier- und identifizierre Dtensätze vor. Stttdessen reräsentieren sie lnge Zeihenketten, z.b. Text-, Bild-, Tondten. Mn untersheidet

Mehr

Definition Suffixbaum

Definition Suffixbaum Suffix-Bäume Definition Suche nch einer Menge von Mustern Längste gemeinsme Zeichenkette Pltzreduktion Suffixbäume für Muster Alle Pre Suffix-Präfix Übereinstimmung Sich wiederholende Strukturen Definition

Mehr

Mathematik PM Rechenarten

Mathematik PM Rechenarten Rechenrten.1 Addition Ds Pluszeichen besgt, dss mn zur Zhl die Zhl b hinzuzählt oder ddiert. Aus diesem Grunde heisst diese Rechenrt uch Addition. + b = c Summnd plus Summnd gleich Summe Kommuttivgesetz

Mehr

Einführung in die Schaltalgebra

Einführung in die Schaltalgebra Einführung in die chltlger GUNDBEGIFFE: - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 ECHENEGELN - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Mehr

3 Module in C. 4 Gültigkeit von Namen. 5 Globale Variablen (2) Gültig im gesamten Programm

3 Module in C. 4 Gültigkeit von Namen. 5 Globale Variablen (2) Gültig im gesamten Programm 3 Module in C 5 Glole Vrilen!!!.c Quelldteien uf keinen Fll mit Hilfe der #include Anweisung in ndere Quelldteien einkopieren Bevor eine Funktion us einem nderen Modul ufgerufen werden knn, muss sie deklriert

Mehr

Programmieren in C/C++ und Matlab

Programmieren in C/C++ und Matlab Progrmmieren in C/C und Mtl Sine Schmidt & Sestin Buer Institut für Geowissenschften Christin-Alrechts-Universität zu Kiel Progrmmieren in C/C und Mtl CAU, SS 08 for- / while-schleifen: - numerische Integrlerechnung

Mehr

Analysis 2. Mitschrift von www.kuertz.name

Analysis 2. Mitschrift von www.kuertz.name Anlysis 2 Mitschrift von www.kuertz.nme Hinweis: Dies ist kein offizielles Script, sondern nur eine privte Mitschrift. Die Mitschriften sind teweilse unvollständig, flsch oder inktuell, d sie us dem Zeitrum

Mehr

Analysis I/II. Skript zur Vorlesung 2009/2010. Peter Junghanns

Analysis I/II. Skript zur Vorlesung 2009/2010. Peter Junghanns Skript zur Vorlesung Anlysis I/II 9/ Peter Junghnns Hinweis: Ds vorliegende Skript stellt nur ein Gerüst zu den Inhlten der Vorlesung dr. Die Vorlesung selbst bietet weiterführende Erläuterungen, Beweise

Mehr

Übungsblatt Nr. 13 Themenübersicht

Übungsblatt Nr. 13 Themenübersicht Technische Universität Dortmund Lehrstuhl Informtik VI Prof. Dr. Jens Teuner Pflichtmodul Informtionssysteme (SS 2015) Prof. Dr. Jens Teuner Leitung der Üungen: Imn Kmehkhosh, Thoms Lindemnn, Mrcel Preuß

Mehr

( 3) k ) = 3) k 2 3 für k gerade

( 3) k ) = 3) k 2 3 für k gerade Aufgbe : ( Pute Zeige Sie mithilfe des Biomische Lehrstzes: ( 3 ( 3 ist für lle N eie türliche Zhl Lösug : Nch dem biomische Lehrstz gilt: ( 3 Somit ergibt sich ( 3 ( 3 ( ( 3 bzw ( 3 ( ( 3 ( ( 3 ( ( 3

Mehr

Nutzung der Abwärme aus Erneuerbare-Energie-Anlagen

Nutzung der Abwärme aus Erneuerbare-Energie-Anlagen 5 2014 Sonderdruck us BWK 5-2014 Wichtige Kennzhlen und effiziente Plnung für die dezentrle Wärmewende Nutzung der Abwärme us Erneuerbre-Energie-Anlgen Wichtige Kennzhlen und effiziente Plnung für die

Mehr

Canon Nikon Sony. Deutschland 55 45 25. Österreich 40 35 35. Schweiz 30 30 20. Resteuropa 60 40 30 55 45 25 40 35 35 J 30 30 20 60 40 30

Canon Nikon Sony. Deutschland 55 45 25. Österreich 40 35 35. Schweiz 30 30 20. Resteuropa 60 40 30 55 45 25 40 35 35 J 30 30 20 60 40 30 15 Mtrizenrechnung 15 Mtrizenrechnung 15.1 Mtrix ls Zhlenschem Eine Internetfirm verkuft über einen eigenen Shop Digitlkmers. Es wird jeweils nur ds Topmodel der Firmen Cnon, Nikon und Sony ngeboten. Verkuft

Mehr

Übungsblatt 1 zum Propädeutikum

Übungsblatt 1 zum Propädeutikum Üungsltt zum Propädeutium. Gegeen seien die Mengen A = {,,,}, B = {,,} und C = {,,,}. Bilden Sie die Mengen A B, A C, (A B) C, (A C) B und geen Sie diese in ufzählender Form n.. Geen Sie lle Teilmengen

Mehr

Erweitern. a b. bd + bc. bd = ad+bc. bei ganzzahligem Nenner: Hauptnenner (= kgv der Nenner), z.b. 4 6 + 3 4 = 8 12 + 9. a d = ac

Erweitern. a b. bd + bc. bd = ad+bc. bei ganzzahligem Nenner: Hauptnenner (= kgv der Nenner), z.b. 4 6 + 3 4 = 8 12 + 9. a d = ac F FORMELSAMMLUNG Bruchrechnung Erweitern = Kürzen c c Addition Nenner gleichnmig mchen! + c d = d d + c d = d+c d, speziell + c = +c ei gnzzhligem Nenner: Huptnenner (= kgv der Nenner), zb 4 6 + 3 4 =

Mehr

1 GeschäftsdiaGramme. Abbildung 1.1: Übersicht zu unterschiedlichen Grafi ktypen. 2.1.4 Unify objects: graphs e.g. org graphs, networks, and maps

1 GeschäftsdiaGramme. Abbildung 1.1: Übersicht zu unterschiedlichen Grafi ktypen. 2.1.4 Unify objects: graphs e.g. org graphs, networks, and maps 1 GeshäftsdiGrmme Wenn mn eine deutshe Üersetzung des Begriffes usiness hrts suht, so ist mn mit dem Wort Geshäftsdigrmme gnz gut edient. Wir verstehen unter einem Geshäftsdigrmm die Visulisierung von

Mehr

Brückenkurs Mathematik

Brückenkurs Mathematik Prof. Dr.Ing. W. Scheideler Brückenkurs Mthemtik WS 0/ us und überrbeitet von B. Eng. Sevd Hppel und Dipl.Ing. Jun Rojs Prof. Dr.Ing. W. Scheideler Inhltsverzeichnis Brüche, Potenzen und Wurzeln. Brüche..

Mehr

Vorlesungsskript Mathematik I für Wirtschaftsingenieure

Vorlesungsskript Mathematik I für Wirtschaftsingenieure Vorlesungsskript Mthemtik I für Wirtschftsingenieure Verfsserin: HSD Dr. Sybille Hndrock TU Chemnitz Fkultät für Mthemtik e-mil: hndrock@mthemtik.tu-chemnitz.de Wintersemester 2005/06 Litertur [] Dllmnn,

Mehr

Dein Trainingsplan. sportmannschaft. ... und was sonst noch wichtig ist. Deine Zähne sind wie deine. und du bist der Trainer!

Dein Trainingsplan. sportmannschaft. ... und was sonst noch wichtig ist. Deine Zähne sind wie deine. und du bist der Trainer! hben Freunde Deine Zähne sind wie deine sportmnnschft und du bist der Triner! Und jeder Triner weiß, wie wichtig jeder einzelne Spieler ist eine wichtige und schöne Aufgbe! Drum sei nett zu deinen Zähnen

Mehr

Vorlesung 24: Topological Sort 1: Hintergrund. Einführung in die Programmierung. Bertrand Meyer. Topological sort

Vorlesung 24: Topological Sort 1: Hintergrund. Einführung in die Programmierung. Bertrand Meyer. Topological sort Einführung in ie Progrmmierung Vorlesung 4: Topologil Sort : Hintergrun Bertrn Meer Letzte Üerreitung 3. Jnur 4 3 Topologil sort 4 Prouziere eine zu einer gegeenen Prtiellen Ornung komptile Vollstänige

Mehr

Übungen zur Analysis 1 für Informatiker und Statistiker. Lösung zu Blatt 12

Übungen zur Analysis 1 für Informatiker und Statistiker. Lösung zu Blatt 12 Mthemtisches Istitut der Uiversität Müche Prof. Dr. Peter Otte WiSe 203/4 Lösug 2 2.0.204 Aufgbe 2. [8 Pute] Übuge zur Alysis für Iformtier ud Sttistier Lösug zu Bltt 2 Für eie Teilmege Ω R, sei {, flls

Mehr

Motivation. Kap. 4.2 Binäre Suchbäume ff Kap. 4.3: AVL-Bäume. Überblick. Pseudocode von SEARCH. in binären Suchbäumen. in binären Suchbäumen

Motivation. Kap. 4.2 Binäre Suchbäume ff Kap. 4.3: AVL-Bäume. Überblick. Pseudocode von SEARCH. in binären Suchbäumen. in binären Suchbäumen Kp. 4.2 inäre Schäme ff Kp. 4.: VL-äme Professor r. Lehrsthl für lgorithm Engineering, LS11 Fkltät für Informtik, TU ortmnd Motition Wrm soll ich hete hier leien? lncierte äme rchen Sie immer wieder! Ws

Mehr

5.4 CMOS Schaltungen und VLSIDesign

5.4 CMOS Schaltungen und VLSIDesign Kp5.fm Seite 447 Dienstg, 7. Septemer 2 :55 3 5.4 CMOS Schltungen und VLSI Design 447 r u u r id + + A. 5.39: Progrmmierrer Gitterustein 5.4 CMOS Schltungen und VLSIDesign Die Boolesche Alger eginnt mit

Mehr

Analysis I Probeklausur 2

Analysis I Probeklausur 2 WS /2 Mriescu/ Ert Alysis I Probeklusur 2. Aufgbe Die Folge (x ) N sei rekursiv defiiert durch x =, x + = 2+x. () Beweise, dss die Folge (x ) N streg mooto wchsed ist. (b) Beweise, dss (x ) N durch 2 ch

Mehr

Analysis I im SS 2011 Kurzskript

Analysis I im SS 2011 Kurzskript Anlysis I im SS 2011 Kurzskript Prof. Dr. C. Löh Sommersemester 2011 Inhltsverzeichnis -2 Literturhinweise 2-1 Einführung 4 0 Grundlgen: Logik und Mengenlehre 5 1 Zählen, Zhlen, ngeordnete Körper 14 2

Mehr

Beispiel-Abiturprüfung

Beispiel-Abiturprüfung Mthemtik BeispielAbiturprüfung Prüfungsteile A und B Bewertungsschlüssel und Lösungshinweise (nicht für den Prüfling bestimmt) Die Bewertung der erbrchten Prüfungsleistungen ht sich für jede Aufgbe nch

Mehr

Eufic Guide Enfant ALL 14/12/04 15:44 Page 1 10 Tipps für Kids Spiel mit uns! Zur gesundenernährung

Eufic Guide Enfant ALL 14/12/04 15:44 Page 1 10 Tipps für Kids Spiel mit uns! Zur gesundenernährung Kids Ernährung für Tipps 10 Spiel mit uns! gesunden Zur Weißt du noch, wie du Rd fhren lerntest? Ds Wichtigste dei wr zu lernen ds Gleichgewicht zu hlten. Sold es gefunden wr, konntest du die Pedle gleichmäßig

Mehr

Analysis I/II - Vorlesungs-Script

Analysis I/II - Vorlesungs-Script Anlysis I/II - Vorlesungs-Script Prof. Michel Struwe 05/06 Mitschrift: Eveline Hrdmeier Grphics: Prisc Greminger Mthis Weylnd Corrections: Prisc Greminger $Id: nlysis.tex 1237/1502 2006-10-19 21:13:30

Mehr

Personal und Finanzen der öffentlich bestimmten Fonds, Einrichtungen, Betriebe und Unternehmen (FEU) in privater Rechtsform im Jahr 2003

Personal und Finanzen der öffentlich bestimmten Fonds, Einrichtungen, Betriebe und Unternehmen (FEU) in privater Rechtsform im Jahr 2003 Personl und Finnzen der öffentlich estimmten Fonds, Einrichtungen, Betriee und Unternehmen (FEU) in privter Rechtsform im Jhr 003 Dipl.-Volkswirt Peter Emmerich A Mitte der 980er-Jhre ist eine Zunhme von

Mehr

Analysis II. Universität Stuttgart, SS 06 M. Griesemer

Analysis II. Universität Stuttgart, SS 06 M. Griesemer Anlysis II Universität Stuttgrt, SS 06 M. Griesemer Inhltsverzeichnis 9 Ds Riemnnsche Integrl 3 9.1 Definition und Beispiele........................... 3 9.2 Elementre Eigenschften..........................

Mehr

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wirtschftsmthemtik für Interntionl Mngement (BA) und Betriebswirtschft (BA) Wintersemester 2013/14 Stefn Etschberger Hochschule Augsburg Mthemtik: Gliederung 1 Aussgenlogik 2 Linere Algebr 3 Linere

Mehr

Logische Grundschaltungen

Logische Grundschaltungen Elektrotechnisches Grundlgen-Lor II Logische Grundschltungen Versuch Nr. 9 Erforderliche Geräte Anzhl Bezeichnung, Dten GL-Nr. 1 Voltmeter 335 1 Steckrett SB 1 1 Steckrett SB 2 mit 5V Netzteil 1 Steckrett

Mehr

Was bisher geschah: Formale Sprachen

Was bisher geschah: Formale Sprachen Was isher geschah: Formale Sprachen Alphaet, Wort, Sprache Operationen und Relationen auf Wörtern und Sprachen reguläre Ausdrücke: Syntax, Semantik, Äquivalenz Wortersetzungssysteme Wortersetzungsregeln

Mehr

Logarithmus - Übungsaufgaben. I. Allgemeines

Logarithmus - Übungsaufgaben. I. Allgemeines Eie Gleichug höhere Grdes wie z. B. Gymsium / Relschule Logrithmus - Üugsufge Klsse 0 I. Allgemeies k ch ufgelöst werde, idem m die Wurzel zieht. Tritt die Uekte jedoch im Epoete eier Potez uf, spricht

Mehr

Mikro-Controller-Pass 1

Mikro-Controller-Pass 1 Mikro-Conroller-Pss Lernsyseme MC 85 eie: rdl. Logik_B rundlgen logische Verknüpfungen Inhlserzeichnis Vorwor eie Binäre Aussgen in der Technik eie Funkionseschreiungen der Digilechnik eie 5 Funkionselle

Mehr

Dental-CT bei Kindern Technische Vorgehensweise und exemplarische Befunde

Dental-CT bei Kindern Technische Vorgehensweise und exemplarische Befunde Corneli Schröder, Alexnder Schumm Dentl-CT ei Kindern Technische Vorgehensweise und exemplrische Befunde Die Computertomogrphie der Zhnreihen (Dentl-CT) wird ei Kindern und Jugendlichen selten eingesetzt,

Mehr

Theoretische Informatik 2 (WS 2006/07) Automatentheorie und Formale Sprachen / Kontextfreie Sprachen und Kellerautomaten

Theoretische Informatik 2 (WS 2006/07) Automatentheorie und Formale Sprachen / Kontextfreie Sprachen und Kellerautomaten Inhalt 1 Einführung 2 Automatentheorie und Formale Sprachen Grammatiken Reguläre Sprachen und endliche Automaten Kontextfreie Sprachen und Kellerautomaten Kontextsensitive und Typ 0-Sprachen 3 Berechenbarkeitstheorie

Mehr

Internationale Ökonomie I Vorlesung 3: Das Riccardo-Modell: Komparative Vorteile und Produktivität (Master)

Internationale Ökonomie I Vorlesung 3: Das Riccardo-Modell: Komparative Vorteile und Produktivität (Master) Interntionle Ökonomie I Vorlesung 3: Ds Riccrdo-Modell: Komprtive Vorteile und Produktivität (Mster) Dr. Dominik Mltritz Vorlesungsgliederung 1. Einführung 2. Der Welthndel: Ein Überblick 3. Ds Riccrdo-Modell:

Mehr

Prüfungsteil Schriftliche Kommunikation (SK)

Prüfungsteil Schriftliche Kommunikation (SK) SK Üerlik und Anforderungen Üerlik und Anforderungen Prüfungsteil Shriftlihe Kommuniktion (SK) Üerlik und Anforderungen Worum geht es? In diesem Prüfungsteil sollst du einen Beitrg zu einem estimmten Them

Mehr

Fragebogen 1 zur Arbeitsmappe Durch Zusatzempfehlung zu mehr Kundenzufriedenheit

Fragebogen 1 zur Arbeitsmappe Durch Zusatzempfehlung zu mehr Kundenzufriedenheit Teilnehmer/Apotheke/Ort (Zus/1) Frgeogen 1 zur Areitsmppe Durh Zustzempfehlung zu mehr Kunenzufrieenheit Bitte kreuzen Sie jeweils ie rihtige(n) Antwort(en) in en Felern is n! 1. Worin esteht ie Beeutung

Mehr

Hinweise für den schulischen Umgang mit lese-/rechtschreibschwachen Kindern speziell in der Sekundarstufe I

Hinweise für den schulischen Umgang mit lese-/rechtschreibschwachen Kindern speziell in der Sekundarstufe I Hilfe, Legsthenie Hinweise für den schulischen Umgng mit lese-/rechtschreischwchen Kindern speziell in der Sekundrstufe I 2 Brigitt Amnn, Schulpsychologie Bludenz Annelies Fliri, Lehrerin für spezifische

Mehr

Entwurf und Realisierung analoger und digitaler Filter

Entwurf und Realisierung analoger und digitaler Filter Signl- und Messwert- Verrbeitung Dr. K. Schefer Entwurf und Relisierung nloger und digitler Filter Im Rhmen dieses Versuchs wollen wir uns mit der Dimensionierung von nlogen und digitlen Filtern und mit

Mehr

Public-Key-Verfahren: Diffie-Hellmann und ElGamal

Public-Key-Verfahren: Diffie-Hellmann und ElGamal Westfälische Wilhelms-Universität Münster Ausreitung Pulic-Key-Verfhren: Diffie-Hellmnn und ElGml im Rhmen des Seminrs Multimedi und Grphen WS 2007/2008 Veselin Conev Themensteller: Prof. Dr. Herert Kuchen

Mehr

Numerische Mathematik I

Numerische Mathematik I Numerische Mthemtik I Dr. Wolfgng Metzler Universität Kssel unter Mitwirkung von Dipl.-Mth. Mrtin Steigemnn Sommersemester 2005 ii c 2005 Dr. Wolfgng Metzler, Fchbereich Mthemtik und Informtik der Universität

Mehr

Elemente der Analysis II: Zusammenfassung der wichtigsten Definitionen und Ergebnisse

Elemente der Analysis II: Zusammenfassung der wichtigsten Definitionen und Ergebnisse Elemente der Anlysis II: Zusmmenfssung der wichtigsten Definitionen und Ergebnisse J. Wengenroth Dies ist die einzige zugelssene Formelsmmlung, die bei der Klusur benutzt werden drf. Es dürfen Unterstreichungen

Mehr

FernUniversität Gesamthochschule in Hagen

FernUniversität Gesamthochschule in Hagen FernUniversität Gesmthochschule in Hgen FACHBEREICH MATHEMATIK LEHRGEBIET KOMPLEXE ANALYSIS Prof. Dr. Andrei Dum Proseminr 9 - Anlysis Numerische Integrtion Ulrich Telle Mtrikel-Nr. 474 Köln, den 7. Dezember

Mehr

1 Räumliche Darstellung in Adobe Illustrator

1 Räumliche Darstellung in Adobe Illustrator Räumliche Drstellung in Adobe Illustrtor 1 1 Räumliche Drstellung in Adobe Illustrtor Dieses Tutoril gibt Tips und Hinweise zur räumlichen Drstellung von einfchen Objekten, insbesondere Bewegungspfeilen.

Mehr

Matrizen und Determinanten

Matrizen und Determinanten Mtrizen und Determinnten Im bschnitt Vektorlgebr Rechenregeln für Vektoren Multipliktion - Sklrprodukt, Vektorprodukt, Mehrfchprodukte wurde in einem Vorgriff bereits eine interessnte mthemtische Konstruktion

Mehr

Bericht zur Prüfung im Oktober 2006 über Finanzmathematik und Investmentmanagement

Bericht zur Prüfung im Oktober 2006 über Finanzmathematik und Investmentmanagement Berich zur Prüfung im Okober 006 über Finnzmhemik und Invesmenmngemen Grundwissen Peer Albrech Mnnheim Am 07. Okober 006 wurde zum ersen Ml eine Prüfung im Fch Finnzmhemik und Invesmenmngemen nch PO III

Mehr

5.3 Dynamisches Sitzen und Stehen

5.3 Dynamisches Sitzen und Stehen Dynmisches Sitzen und Stehen 5.3 Dynmisches Sitzen und Stehen Test Bewegen Sie sich eim Sitzen und Stehen kontinuierlich um den Mittelpunkt der senkrechten Oerkörperhltung (S. 39) mit neutrler Wirelsäulenschwingung

Mehr

Shortest Path Algorithmus von Edsger Dijkstra

Shortest Path Algorithmus von Edsger Dijkstra Shortest Pth Algorithmus von Esger Dijkstr Mihel Dienert 16. Dezemer 2010 Inhltsverzeihnis 1 Shortest Pth Algorithmus 1 1.1 Grphen................................. 1 1.2 Knoten..................................

Mehr

Schülerkurs. Mathematik > Lineare Algebra > Lineare Gleichungen Lineare Gleichungssysteme > Teil I: Theorie. Michael Buhlmann

Schülerkurs. Mathematik > Lineare Algebra > Lineare Gleichungen Lineare Gleichungssysteme > Teil I: Theorie. Michael Buhlmann Michel Buhlmnn Schülekus Mthemtik > Linee Alge > Linee Gleichungen Linee Gleichungssysteme > Teil I: Theoie Linee Gleichungen und linee Gleichungssysteme duchziehen den Mthemtikunteicht in llen Schulfomen

Mehr

Digitaltechnik. 3 Sequenzielle. Schaltungen. Revision 1.1

Digitaltechnik. 3 Sequenzielle. Schaltungen. Revision 1.1 igitltechnik 3 Sequenzielle Schltungen A Revision 1.1 Trnsitionssysteme Synchroner sequenzieller Entwurf Timing-Anlyse Pipelining Mely und Moore Mschinen Zustndsmschinen in Verilog Sequentielle Schltungen

Mehr

Nachtrag Nr. 71 a. gemäß 10 Verkaufsprospektgesetz (in der vor dem 1. Juli 2005 geltenden Fassung) Unvollständigen Verkaufsprospekt

Nachtrag Nr. 71 a. gemäß 10 Verkaufsprospektgesetz (in der vor dem 1. Juli 2005 geltenden Fassung) Unvollständigen Verkaufsprospekt London Brnch Nchrg Nr. 71 gemäß 10 Verkufsprospekgesez (in der vor dem 1. Juli 2005 gelenden Fssung) vom 6. Novemer 2006 zum Unvollsändigen Verkufsprospek vom 31. März 2005 üer Zerifike uf * üer FlexInves

Mehr

Schriftliche Prüfungsarbeit zum mittleren Schulabschluss 2007 im Fach Mathematik

Schriftliche Prüfungsarbeit zum mittleren Schulabschluss 2007 im Fach Mathematik Sentsverwltung für Bildung, Wissenschft und Forschung Schriftliche Prüfungsrbeit zum mittleren Schulbschluss 007 im Fch Mthemtik 30. Mi 007 Arbeitsbeginn: 10.00 Uhr Berbeitungszeit: 10 Minuten Zugelssene

Mehr

Installations und Bedienungsanleitung

Installations und Bedienungsanleitung Instlltions und Bedienungsnleitung EKRUCBS Instlltions und Bedienungsnleitung Deutsch Inhltsverzeichnis Inhltsverzeichnis Für den Benutzer 2 1 Schltflächen 2 2 Sttussymole 2 Für den Instllteur 3 3 Üersicht:

Mehr

Prozeßalgebren. Prof. Dr. Ursula Goltz

Prozeßalgebren. Prof. Dr. Ursula Goltz Prozeßlgebren Prof Dr Ursul Goltz Stnd: 24 Oktober 2012 Vorwort Ds vorliegende Skript ist die Ausrbeitung einer Vorlesung, die wesentliche Grundbegriffe us dem weiten Feld der Prozeßlgebren einführt Dbei

Mehr

Übungsheft Mittlerer Schulabschluss Mathematik

Übungsheft Mittlerer Schulabschluss Mathematik Ministerium für Bildung und Kultur des Lndes Schleswig-Holstein Zentrle Abschlussrbeit 011 Übungsheft Mittlerer Schulbschluss Mthemtik Korrekturnweisung Impressum Herusgeber Ministerium für Bildung und

Mehr

www. line21 Kommunikation Daten- und Telefontechnik über 1 Kabel mit 4 Adern. Kein Problem mit line21 natürlich von Rutenbeck!

www. line21 Kommunikation Daten- und Telefontechnik über 1 Kabel mit 4 Adern. Kein Problem mit line21 natürlich von Rutenbeck! Dten- und Telefontechnik üer Kel mit 4 Adern. Kein Prolem mit line ntürlich von Ruteneck! Internet Kom mu ni knt, der; -en, -en [: kirchenlt. communicns (Gen.: communicntis) = Teilnehmer m Aendmhl, zu

Mehr

http://www.tfh-wildau.de/gerking/arbeiten.html 2005

http://www.tfh-wildau.de/gerking/arbeiten.html 2005 Hllo Ilse, gut nch Huse gekommen? Ich htte Glück, die U-Bhnnschlüsse wren gut. http://www.tfh-wildu.de/gerking/arbeiten.html 5 Sonntgs hbe ich mich dnn erstml mit der Frge beschäftigt, ob Mthemtik und

Mehr

Streuungsmaße. Grundbegriffe

Streuungsmaße. Grundbegriffe Grundbegriffe Untersuchungseinheiten U,...,U n Merkml X Urliste x,...,x n geordnete Urliste x (),...,x (n) Es gilt i.llg.: xi x() i, i, Κ, n In einer westdeutschen Großstdt gibt es insgesmt drei Träger

Mehr

Hinweise zur Berechnung von statisch bestimmten Systemen

Hinweise zur Berechnung von statisch bestimmten Systemen Hinweise zur Berechnung von sttisch bestimmten Systemen. Knn ds System eindeutig us sttisch bestimmten Grundsystemen ufgebut werden, ohne Hilfsfesseln einzuführen? Wenn j, Teilsysteme ncheinnder entsprechend

Mehr

Sponsored Search Markets

Sponsored Search Markets Sponsored Serch Mrkets ngelehnt n [EK1], Kpitel 15 Seminr Mschinelles Lernen, WS 21/211 Preise Slots b c Interessenten y z 19. Jnur 211 Jn Philip Mtuschek Sponsored Serch Mrkets Folie 1 Them dieses Vortrgs

Mehr

Ausbildung zum Passagement-Consultant

Ausbildung zum Passagement-Consultant M & MAICONSULTING Mngementbertung Akdemie M MAICONSULTING Mngementbertung & Akdemie MAICONSULTING GmbH & Co. KG Hndschuhsheimer Lndstrße 60 D-69121 Heidelberg Telefon +49 (0) 6221 65024-70 Telefx +49 (0)

Mehr

Kapitel 6 E-Mails senden und empfangen

Kapitel 6 E-Mails senden und empfangen Kpitel 6 E-Mils senden und empfngen Sie ist zwr mittlerweile infolge des hohen Spmufkommens ein wenig in Verruf gerten, gehört er immer noch zum Stndrdkommuniktionsmittel des Weürgers: die E-Mil. Zentrle

Mehr

Analysis 2. Vorlesungsskript Sommersemester 2014. Bernd Schmidt. Version vom 15. Oktober 2014

Analysis 2. Vorlesungsskript Sommersemester 2014. Bernd Schmidt. Version vom 15. Oktober 2014 Anlysis 2 Vorlesungsskript Sommersemester 214 Bernd Schmidt Version vom 15. Oktober 214 Institut für Mthemtik, Universität Augsburg, Universitätsstr. 14, 86135 Augsburg, bschmidt@mth.uni-ugsburg.de 1 Inhltsverzeichnis

Mehr

Verbrauchswerte. 1. Umgang mit Verbrauchswerten

Verbrauchswerte. 1. Umgang mit Verbrauchswerten Verbruchswerte Dieses Unterkpitel ist speziell dem Them Energienlyse eines bestehenden Gebäudes nhnd von Verbruchswerten (Brennstoffverbräuche, Wrmwsserverbruch) gewidmet. BEISPIEL MFH: Ds Beispiel des

Mehr