Einführung in die Theoretische Informatik

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1 Einführung in die Theoretische Informtik Johnnes Köler Institut für Informtik Humoldt-Universität zu Berlin WS 2011/12

2 Minimierung von DFAs Frge Wie können wir feststellen, o ein DFA M = (Z, Σ, δ, q 0, E) eine minimle Anzhl von Zuständen esitzt (und Z evtl. verkleinern)? Beispiel Betrchte den DFA M Zunächst können lle vom Strtzustnd us unerreichren Zustände entfernt werden

3 Minimierung von DFAs Frge Wie können wir feststellen, o ein DFA M = (Z, Σ, δ, q 0, E) eine minimle Anzhl von Zuständen esitzt (und Z evtl. verkleinern)? Antwort Zunächst können lle vom Strtzustnd us unerreichren Zustände entfernt werden. Zudem lssen sich zwei Zustände p und q verschmelzen, wenn M von p und q us jeweils dieselen Wörter kzeptiert. Für z Z sei M z = (Z, Σ, δ, z, E) und L z = L(M z ). Dnn können wir p und q verschmelzen (in Zeichen: p q), wenn L p = L q ist. Offensichtlich ist eine Äquivlenzreltion uf Z.

4 Minimierung von DFAs Idee Verschmelze jeden Zustnd z mit llen äquivlenten Zuständen z z zu einem neuen Zustnd. Nottion Für die durch z repräsentierte Äquivlenzklsse [z] = {z Z z z} = {z Z L z = L z } schreien wir uch einfch [z] oder z. Für eine Teilmenge Q Z ezeichne Q = { q q Q} die Menge ller Äquivlenzklssen q, die mind. ein q Q enthlten. Dnn führt oige Idee uf folgenden DFA: M = ( Z, Σ, δ, q 0, Ẽ) mit δ( q, ) = δ(q, ).

5 Wie können wir M us M konstruieren? Hierzu genügt es, heruszufinden, o zwei Zustände p und q von M äquivlent sind oder nicht? Sei A B = (A \ B) (B \ A) die symmetrische Differenz von A und B. Die Inäquivlenz p q ist lso gleichedeutend mit L p L q. Wir nennen ein Wort x L p L q Unterscheider zwischen p und q. Offenr unterscheidet ε Zustände p E von Zuständen q Z \ E. Flls x die Zustände δ(p, ) und δ(q, ) unterscheidet, so unterscheidet x die Zustände p und q, d.h. x L δ(p,) L δ(q,) x L p L q.

6 Minimierung von DFAs Stz Sei M = (Z, Σ, δ, q 0, E) ein DFA ohne unerreichre Zustände. Dnn ist M = ( Z, Σ, δ, q 0, Ẽ) mit δ( q, ) = δ(q, ) ein DFA für L(M) mit einer minimlen Anzhl von Zuständen. Beweis Zuerst müssen wir zeigen, dss δ wohldefiniert ist, lso δ( q, ) nicht von der Whl des Repräsentnten q für die Äquivlenzklsse q hängt. Hierzu zeigen wir die Impliktion p q δ(p, ) δ(q, ): L q = L p x Σ : x L q x L p x Σ : x L q x L p x Σ : x L δ(q,) x L δ(p,) L δ(q,) = L δ(p,).

7 Minimierung von DFAs Stz Sei M = (Z, Σ, δ, q 0, E) ein DFA ohne unerreichre Zustände. Dnn ist M = ( Z, Σ, δ, q 0, Ẽ) mit δ( q, ) = δ(q, ) ein DFA für L(M) mit einer minimlen Anzhl von Zuständen. Beweis (Fortsetzung) Als nächstes zeigen wir, dss L( M) = L(M) ist. Sei x = x 1 x n Σ und seien q 0, q 1,, q n die von M ei Einge x durchlufenen Zustände, d.h. es gilt δ(q i 1, x i ) = q i für i = 1,..., n. Nch Definition von δ folgt dher δ( q i 1, x i ) = q i für i = 1,..., n, d.h. M durchläuft ei Einge x die Zustände q 0, q 1,, q n. D er q n entweder nur End- oder nur Nicht-Endzustände enthält, gehört q n genu dnn zu E, wenn q n Ẽ, d.h. es gilt x L(M) x L( M).

8 Minimierung von DFAs Beweis (Schluss) Noch z.z.: M ht eine minimle Anzhl von Zuständen. D M nicht mehr Zustände ht ls M, ist M sicher dnn miniml, wenn M ereits miniml ist. Es reicht lso zu zeigen, dss die Anzhl k = Z = {L q q Z} der Zustände von M nicht von M, sondern nur von L = L(M) hängt. Für x Σ sei L x = {y Σ xy L}. Dnn gilt {L x x Σ } = {L q q Z}: : Klr, d L x = L q für q = ˆδ(q 0, x) ist. : Auch klr, d jedes q Z üer ein x Σ erreichr ist. Also hängt k = {L q q Z} = {L x x Σ } nur von L.

9 Wie können wir M us M konstruieren? Hierzu genügt es, heruszufinden, o zwei Zustände p und q von M äquivlent sind oder nicht? Offenr unterscheidet ε Zustände p E von Zuständen q Z \ E. Flls x die Zustände δ(p, ) und δ(q, ) unterscheidet, so unterscheidet x die Zustände p und q, d.h. x L δ(p,) L δ(q,) x L p L q. Wenn lso D nur inäquivlente Zustndspre enthält, so trifft dies uch uf die Menge zu. D = {{p, q} Σ : {δ(p, ), δ(q, )} D}

10 Algorithmische Konstruktion von M Idee Berechne usgehend von D 0 = {{p, q} p E, q E} mittels D i+1 = D i {{p, q} Σ : {δ(p, ), δ(q, )} D i } eine Folge D 0 D 1 D 2 von Mengen mit inäquivlenten Zustndspren. D es nur endlich viele Zustndspre git, muss es ein j geen mit D j+1 = D j. Für dieses j gilt dnn p q {p, q} D j Folglich ist (siehe Üungen). z = {z} {z Z {z, z } D j }.

11 Algorithmus zur Berechnung eines minimlen DFA Algorithmus min-dfa(m) 1 Input: DFA M = (Z, Σ, δ, q 0, E) 2 entferne lle nicht erreichren Zustände 3 D := {{z, z } z E, z E} 4 repet 5 D := D 6 D := D {{p, q} Σ : {δ(p, ), δ(q, )} D} 7 until D = D 8 Output: M = ( Z, Σ, δ, q 0, Ẽ), woei für jeden Zustnd z Z gilt: z = {z} {z Z {z, z } D}

12 Algorithmus für die Konstruktion von M Beispiel Betrchte den DFA M ε ε 4 ε 5 ε 6 ε ε ε ε Dnn enthält D 0 die Pre {1, 3}, {1, 6}, {2, 3}, {2, 6}, {3, 4}, {3, 5}, {4, 6}, {5, 6}.

13 Algorithmus für die Konstruktion von M Beispiel Betrchte den DFA M ε ε 4 ε 5 ε 6 ε ε ε ε Wegen {p, q} {1, 4} {1, 5} {2, 4} {2, 5} {δ(q, ), δ(p, )} {2, 3} {2, 6} {1, 3} {1, 6} enthält D 1 zusätzlich die Pre {1, 4}, {1, 5}, {2, 4}, {2, 5}.

14 Algorithmus für die Konstruktion von M Beispiel Betrchte den DFA M ε ε 4 ε 5 ε 6 ε ε ε ε D nun jedoch die verlieenen Pre {1, 2}, {3, 6}, {4, 5} wegen {p, q} {1, 2} {3, 6} {4, 5} {δ(p, ), δ(q, )} {1, 2} {4, 5} {3, 6} {δ(p, ), δ(q, )} {3, 6} {1, 2} {4, 5} nicht zu D 1 hinzugefügt werden können, ist D 2 = D 1.

15 Algorithmus für die Konstruktion von M Beispiel Betrchte den DFA M ε ε 4 ε 5 ε 6 ε ε ε ε D die Pre {1, 2}, {3, 6} und {4, 5} nicht in D 1 enthlten sind, können die Zustände 1 und 2, 3 und 6, sowie 4 und 5 verschmolzen werden. Demnch ht M die Zustände 1 = {1, 2}, 3 = {3, 6} und 4 = {4, 5}: 1 3 4

16 Direkte Konstruktion eines Miniml-DFA us L Bemerkung M erreicht nch Lesen von x den Zustnd ˆδ(q 0, x) = ˆδ(q 0, y) ˆδ(q 0, x) ˆδ(q 0, y) können die Zustände ˆδ(q 0, x). Wegen Lˆδ(q 0,x) = Lˆδ(q 0,y) L x = L y ˆδ(q 0, x) von M uch mit L x ezeichnet werden. Dies führt uf den zu M isomorphen DFA M L = (Z L, Σ, δ L, L ε, E L ) mit Z L = {L x x Σ }, E L = {L x x L} und δ L (L x, ) = L x, der sich uch direkt us der Sprche L gewinnen lässt.

17 Direkte Konstruktion eines Miniml-DFA us L Beispiel Betrchte die Sprche L = {x 1 x n {0, 1} x n 1 = 0}. Dnn ht M L die folgenden Sprchen ls Zustände: L, x {ε, 1} oder x endet mit 11, L {0, 1}, x = 0 oder x endet mit 10, L x = L {ε, 0, 1}, x endet mit 00, L {ε}, x endet mit 01. Grphische Drstellung von M L : L L ε 0 1 L L 01 0

18 Der Stz von Myhill und Nerode Notwendig und hinreichend für die Existenz von M L ist, dss die Menge Z L = {L x x Σ } endlich ist. L ist lso genu dnn regulär, wenn der Index der durch x R L y L x = L y uf Σ definierten Äquivlenzreltion R L endlich ist. Ist M ein DFA mit einer minimlen Anzhl von Zuständen, so hen die Zustände von M die Form q = {q}, d.h. M ist isomorph zu M. D M wiederum isomorph zu M L ist, ist jeder minimle DFA M mit L(M) = L isomorph zu M L, d.h. für jede reguläre Sprche L git es is uf Isomorphie nur einen Miniml-DFA.

19 Der Stz von Myhill und Nerode Stz (Myhill und Nerode) Für eine Sprche L Σ sei R L = {(x, y) Σ Σ L x = L y } = {(x, y) Σ Σ z Σ : xz L yz L} und sei index(r L ) der Index von R L. Dnn gilt: 1 REG = {L index(r L ) < }. 2 Für jede reguläre Sprche L git es is uf Isomorphie genu einen Miniml-DFA. Dieser ht index(r L ) Zustände.

20 Der Äquivlenzklssen-DFA M RL für L Zwei Eingen x und y üerführen den DFA M L genu dnn in denselen Zustnd, wenn L x = L y ist (lso xr L y gilt). Die Zustände von M L können dher nstelle von L x uch mit den Äquivlenzklssen [x] von R L (zw. mit geeigneten Repräsentnten) ennnt werden. Der resultierende Miniml-DFA M RL wird uch ls Äquivlenzklssenutomt ezeichnet: M RL = (Z, Σ, δ, [ε], E) mit Z = {[x] x Σ } und E = {[x] x L}. Für die Konstruktion von δ genügt es, usgehend von r 1 = ε eine Folge von Wörtern r 1,..., r k mit [r i ] [r j ] zu estimmen, so dss zu jedem r i und jedem Zeichen Σ ein r j existiert mit r i [r j ]. In diesem Fll ist dnn δ([r i ], ) = [r i ] = [r j ]. Die Konstruktion von M RL erfordert meist weniger Aufwnd ls die von M L, d die Bestimmung der Sprchen L x entfällt.

21 Direkte Konstruktion des Äquivlenzklssen-DFA M RL us L Beispiel Für die Sprche L = {x 1 x n {0, 1} x n 1 = 0} lässt sich M RL usgehend von r 1 = ε wie folgt konstruieren: 1 Wegen r 1 0 = 0 [ε] ist r 2 = 0 und δ([ε], 0) = [0]. 2 Wegen r 1 1 = 1 [ε] ist δ([ε], 1) = [ε]. 3 Wegen r 2 0 = 00 [ε] [0] ist r 3 = 00 und δ([0], 0) = [00]. 4 Wegen r 2 1 = 01 [ε] [0] [00] ist r 4 = 01 und δ([0], 1) = [01]. 5 Wegen r 3 0 = 000 [00] ist δ([00], 0) = [00]. 6 Wegen r 3 1 = 001 [01] ist δ([00], 1) = [01]. 7 Wegen r 4 0 = 010 [0] ist δ([01], 0) = [0]. 8 Wegen r 4 1 = 011 [ε] ist δ([01], 1) = [ε]. 0 [0] 0 r ε [r0] [0] [00] [00] [0] [r1] [ε] [01] [01] [ε] [ε] [01] 1 1 [00] 0

22 Chrkterisierungen der Klsse REG Korollr Sei L eine Sprche. Dnn sind folgende Aussgen äquivlent: L ist regulär, es git einen DFA M mit L = L(M), es git einen NFA N mit L = L(N), es git einen regulären Ausdruck γ mit L = L(γ), die Äquivlenzreltion R L ht endlichen Index. Wir können lso eweisen, dss eine Sprche L nicht regulär ist, indem wir unendlich viele Wörter finden, die prweise inäquivlent zgl. R L sind.

23 Nchweis von L REG mittels Myhill und Nerode Stz Die Sprche L = { n n n 0} ist nicht regulär. Beweis Die Wörter i, i 0, sind zgl. R L prweise inäquivlent. Für i j gilt nämlich i R L j, d i L i L j enthlten ist.

24 Ds Pumping-Lemm Frge Wie lässt sich möglichst einfch zeigen, dss eine Sprche nicht regulär ist? Antwort Oft führt die Kontrposition folgender Aussge zum Ziel. Stz (Pumping-Lemm für reguläre Sprchen) Zu jeder regulären Sprche L git es eine Zhl l 0, so dss sich lle Wörter x L mit x l in x = uvw zerlegen lssen mit 1 v ε, 2 uv l und 3 uv i w L für lle i 0. Ds kleinste solche l wird uch die Pumping-Zhl von L gennnt.

25 Ds Pumping-Lemm Beispiel Die Sprche L = {x {, } # (x) # (x) 3 1} lässt sich pumpen (mit Pumping-Zhl l = 3). Sei x L elieig mit x Fll: x ht ds Präfix. Zerlege x = uvw mit u = ε und v =. 2. Fll: x ht ds Präfix. Zerlege x = uvw mit u = und v =. 3. Fll: x ht ds Präfix. Zerlege x = uvw mit u = ε und v =. Restliche Fälle (Präfixe, und ): nlog.

26 Ds Pumping-Lemm Beispiel Eine endliche Sprche L lässt sich wie folgt pumpen. Sei 0, L =, l = 1 + mx x L x, sonst. Dnn lässt sich jedes Wort x L der Länge x l pumpen (d solche Wörter gr nicht existieren). Zudem git es im Fll l > 0 ein Wort x L der Länge l 1, ds sich nicht pumpen lässt. Also ht L die Pumping-Zhl l.

27 Ds Pumping-Lemm Stz (Pumping-Lemm für reguläre Sprchen) Zu jeder regulären Sprche L git es eine Zhl l, so dss sich lle Wörter x L mit x l in x = uvw zerlegen lssen mit 1 v ε, 2 uv l und 3 uv i w L für lle i 0. Ds kleinste solche l wird uch die Pumping-Zhl von L gennnt.

28 Ds Pumping-Lemm Beweis Sei M = (Z, Σ, δ, q 0, E) ein DFA mit l Zuständen und sei x = x 1 x n L mit n = x l. Dnn muss M(x) nch spätestens l Schritten einen Zustnd zum zweiten Ml nnehmen, d.h. es ex. 0 j < k l und z Z mit ˆδ(q 0, x 1 x j ) = z und ˆδ(q 0, x 1 x j x j+1 x k ) = z. Setze u = x 1 x j, v = x j+1 x k und w = x k+1 x n. Dnn gilt v = k j 1 (d.h. v ε), k = uv l. Zudem gehört für lle i 0 ds Wort uv i w zu L, d wegen ˆδ(z, v) = z ˆδ(q 0, uv i w) = ˆδ(ˆδ(ˆδ(q 0, u), v i ), w) = ˆδ(ˆδ(z, v i ), w) = ˆδ(q 0, x) }{{}}{{} z z in E ist.

29 Kontrposition des Pumping-Lemms Um lso L REG zu zeigen, genügt es, für jede Zhl l 0 ein Wort x L der Länge x l zu finden, so dss für jede Zerlegung x = uvw mindestens eine der folgenden drei Bedingungen verletzt ist: 1 v ε, 2 uv l oder 3 uv i w L für lle i 0. Beispiel Die Sprche L = { n n n 0} ist nicht regulär: Für jede Zhl l 0 enthält L ds Wort x = l l mit x = 2l l. Für jede Zerlegung x = uvw von x = l l mit 1 v ε ist die Bedingung 3 uv i w L für lle i 2 verletzt.

30 Kontrposition des Pumping-Lemms Um lso L REG zu zeigen, genügt es, für jede Zhl l 0 ein Wort x L der Länge x l zu finden, so dss für jede Zerlegung x = uvw mindestens eine der folgenden drei Bedingungen verletzt ist: 1 v ε, 2 uv l oder 3 uv i w L für lle i 0. Beispiel (L = { n2 n 0} REG) Für jede Zhl l 0 enthält L ein Wort x mit x = l 2 l. Für jede Zerlegung x = uvw mit u = r, v = s, w = t und 1 v ε (d.h. s 1) sowie 2 uv l (d.h. r + s l) ist die Bedingung 3 uv 2 w L verletzt, d r + 2s + t = l 2 + s keine Qudrtzhl ist: l 2 < l 2 + s < l 2 + l + 1 (l + 1) 2.

31 Kontrposition des Pumping-Lemms Um lso L REG zu zeigen, genügt es, für jede Zhl l 0 ein Wort x L der Länge x l zu finden, so dss für jede Zerlegung x = uvw mindestens eine der folgenden drei Bedingungen verletzt ist: 1 v ε, 2 uv l oder 3 uv i w L für lle i 0. Beispiel (L = { p p prim } REG) Für jede Zhl l 0 enthält L ein Wort x mit x = p l. Für jede Zerlegung x = uvw mit v = s und 1 v ε (d.h. s 1) ist die Bedingung 3 uv i w L wegen uv i w = p + (i 1)s für i = p + 1 verletzt, d dnn ist. uv i w = p + ps = p(s + 1)

32 Grenzen des Pumping-Lemms Bemerkung Mit dem Pumping-Lemm können nicht lle Sprchen L REG ls nicht regulär nchgewiesen werden, d seine Umkehrung flsch ist. Betrchte die Sprche L = { i j c k i = 0 oder j = k}. D jedes Wort x L mit Ausnhme von ε gepumpt werden knn, ht L die Pumping-Zhl 1. Allerdings ist L nicht regulär (siehe Üungen).

33 Erzeugung der regulären Ausdrücke mit einer Grmmtik Eine elegnte Methode, Sprchen zu eschreien, sind Grmmtiken. Implizit hen wir hiervon ei der Definition der regulären Ausdrücke schon Geruch gemcht. Beispiel Die Sprche RA ller regulären Ausdrücke üer einem Alphet Σ = { 1,..., k } lässt sich us dem Symol R unter Anwendung folgender Regeln erzeugen: R, R ɛ, R i, i = 1,..., k, R RR, R (R R), R (R).

34 Definition einer Grmmtik Definition Eine Grmmtik ist ein 4-Tupel G = (V, Σ, P, S), woei V eine endliche Menge von Vrilen (uch Nichtterminlsymole gennnt), Σ ds Terminllphet, P (V Σ) + (V Σ) eine endliche Menge von Regeln (oder Produktionen) und S V die Strtvrile ist. Bemerkung Für (u, v) P schreien wir uch kurz u G v zw. u v, wenn die enutzte Grmmtik us dem Kontext ersichtlich ist.

35 Die von einer Grmmtik erzeugte Sprche Ein Wort β (V Σ) ist us einem Wort α (V Σ) + in einem Schritt leitr (kurz: α G β), flls eine Regel u G v und Wörter l, r (V Σ) existieren mit α = lur und β = lvr. Hierfür schreien wir uch lur G lvr. Eine Folge σ = (l 0, u 0, r 0 ),..., (l m, u m, r m ) von Tripeln (l i, u i, r i ) heißt Aleitung von β us α, flls gilt: l 0 u 0 r 0 = α, l m u m r m = β und l i u i r i l i+1 u i+1 r i+1 für i = 0,..., m 1. Die Länge der Aleitung σ ist m und wir notieren σ uch in der Form l 0 u 0 r 0 l 1 u 1 r 1 l m 1 u m 1 r m 1 l m u m r m. Die durch G erzeugte Sprche ist L(G) = {x Σ S G x}. Ein Wort α (V Σ) mit S G α heißt Stzform von G.

36 Aleitungen in einer Grmmtik Zur Erinnerung: ezeichnet die reflexive, trnsitive Hülle der Reltion, d.h. α β edeutet, dss es ein n 0 git mit α n β. Hierzu sgen wir uch, β ist us α (in n Schritten) leitr. n ezeichnet ds n-fche Produkt der Reltion, d.h. es gilt α n β, flls Wörter α 0,..., α n existieren mit α 0 = α, α n = β und α i α i+1 für i = 0,..., n 1.

37 Aleitung eines Wortes Beispiel Wir etrchten nochmls die Grmmtik G = ({R}, Σ {, ɛ, (, ),, }, P, R) für die Sprche ller regulären Ausdrücke üer Σ mit den Regeln P : R, ɛ,, Σ R RR, (R R), (R). Der reguläre Ausdruck (01) (ɛ ) üer Σ = {0, 1} lässt sich in G us dem Strtsymol R wie folgt leiten: R RR (R) R (RR) R (RR) (R R) (0R) (R R) (01) (R R) (01) (ɛ R) (01) (ɛ )

38 Die Chomsky-Hierrchie Mn unterscheidet vier Typen von Grmmtiken G = (V, Σ, P, S). Definition 1 G heißt vom Typ 3 oder regulär, flls für lle Regeln u v gilt: u V und v ΣV Σ {ε}, (d.h. lle Regeln hen die Form A B, A oder A ε). 2 G heißt vom Typ 2 oder kontextfrei, flls für lle Regeln u v gilt: u V, (d.h. lle Regeln hen die Form A α). 3 G heißt vom Typ 1 oder kontextsensitiv, flls für lle Regeln u v gilt: v u, (mit Ausnhme der ε-sonderregel, s. unten). 4 Jede Grmmtik ist utomtisch vom Typ 0. Die ε-sonderregel In einer kontextsensitiven Grmmtik ist uch die Regel S ε zulässig. Aer nur, wenn ds Strtsymol S in keiner Regel rechts vorkommt.

39 Die Chomsky-Hierrchie Beispiel Wir etrchten nochmls die Grmmtik G = ({R}, Σ {, ɛ, (, ),, }, P, R) für die Sprche ller regulären Ausdrücke üer Σ mit den Regeln P : R, ɛ,, Σ R RR, (R R), (R). D uf der linken Seite jeder Regel eine einzelne Vrile steht, ist G kontextfrei. Offenr ist G er keine reguläre Grmmtik, d zwr die Σ + 2 Regeln R, ɛ,, Σ, die geforderte Form hen, nicht jedoch die drei Regeln R RR, (R R), (R).

40 Die Chomsky-Hierrchie Eine Sprche heißt vom Typ i zw. regulär, kontextfrei oder kontextsensitiv, flls sie von einer entsprechenden Grmmtik erzeugt wird. Dmit erhlten wir die neuen Sprchklssen und CFL = {L(G) G ist eine kontextfreie Grmmtik} (context free lnguges) CSL = {L(G) G ist eine kontextsensitive Grmmtik} (context sensitive lnguges). D die Klsse der Typ 0 Sprchen mit der Klsse der rekursiv ufzählren Sprchen üereinstimmt, ezeichnen wir diese Sprchklsse mit RE = {L(G) G ist eine Grmmtik} (recursively enumerle lnguges).

41 Die Chomsky-Hierrchie Wir werden ld eweisen, dss die Sprchklssen REG CFL CSL RE eine Hierrchie ilden (d.h. die Inklusionen sind echt), die so gennnte Chomsky-Hierrchie. Zunächst rechtfertigen wir jedoch die Bezeichnung regulär für die regulären Grmmtiken und für die von ihnen erzeugten Sprchen.

42 Reguläre Grmmtiken Stz REG = {L(G) G ist eine reguläre Grmmtik}. Beweis von REG {L(G) G ist eine reguläre Grmmtik} Sei M = (Z, Σ, δ, q 0, E) ein DFA. Wir konstruieren eine reguläre Grmmtik G mit L(G) = L(M). Betrchte die Grmmtik G = (V, Σ, P, S) mit V = Z, S = q 0 und P = {q p δ(q, ) = p} {q ε q E}.

43 Reguläre Grmmtiken Beweis von REG {L(G) G ist eine reguläre Grmmtik} Betrchte die Grmmtik G = (V, Σ, P, S) mit V = Z, S = q 0 und P = {q p δ(q, ) = p} {q ε q E}. Dnn gilt für lle Wörter x = x 1 x n Σ : x L(M) q 1,..., q n 1 Z q n E : δ(q i 1, x i ) = q i für i = 1,..., n q 1,..., q n V : q i 1 x i q i für i = 1,..., n und q n ε q 1,..., q n V : q 0 i x 1 x i q i für i = 1,..., n und q n ε x L(G)

44 Reguläre Grmmtiken Beispiel Für den DFA q 0 q q q 3 0 erhlten wir die Grmmtik G = ({q 0, q 1, q 2, q 3 }, {0, 1}, P, q 0 ) mit P : q 0 1q 0, 0q 1, q 1 0q 2, 1q 3, q 2 0q 2, 1q 3, ε, q 3 0q 1, 1q 0, ε.

45 Reguläre Grmmtiken Offensichtlich lässt sich oige Konstruktion einer Grmmtik G us einem DFA M umdrehen, flls G keine Regeln der Form A enthält. Für den Beweis der Rückrichtung genügt es dher, lle Regeln dieser Form zu eliminieren. Lemm Zu jeder regulären Grmmtik G = (V, Σ, P, S) git es eine äquivlente reguläre Grmmtik G, die keine Regeln der Form A ht. Beweis Betrchte die Grmmtik G = (V, Σ, P, S) mit V = V {X neu } und P = {A X neu A G } {X neu ε} P \ (V Σ).

46 Reguläre Grmmtiken Beispiel Betrchte die Grmmtik G = ({A, B, C}, {, }, P, A) mit P : A B, C, ε, B C, A,, C A, B,. Wir ersetzen die Regeln B und C durch die Regeln B D und C D und fügen die Regel D ε hinzu. Dmit erhlten wir die Grmmtik G = ({A, B, C, D}, {, }, P, A) mit P : A B, C, ε, B C, A, D, C A, B, D, D ε.

47 Reguläre Grmmtiken Beweis von {L(G) G ist eine reguläre Grmmtik} REG Sei G = (V, Σ, P, S) eine reguläre Grmmtik, die keine Regeln der Form A enthält. Drehen wir oige Konstruktion einer Grmmtik us einem DFA um, so erhlten wir den NFA M = (Z, Σ, δ, {S}, E) mit Z = V, δ(a, ) = {B A G B} und E = {A A G ε}. Genu wie oen folgt dnn L(M) = L(G).

48 Reguläre Grmmtiken Beispiel (Fortsetzung) Die Grmmtik G = ({A, B, C, D}, {, }, P, A) mit P : A B, C, ε, B C, A, D, C A, B, D, D ε. führt uf den NFA A B C D

49 Chrkterisierungen der Klsse REG Korollr Sei L eine Sprche. Dnn sind folgende Aussgen äquivlent: L ist regulär, es git einen DFA M mit L = L(M), es git einen NFA N mit L = L(N), es git einen regulären Ausdruck γ mit L = L(γ), die Äquivlenzreltion R L ht endlichen Index, es git eine reguläre Grmmtik G mit L = L(G).