Berechenbarkeitstheorie 2. Vorlesung

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1 Berechenrkeitstheorie Dr. Frnzisk Jhnke Institut für Mthemtische Logik und Grundlgenforschung WWU Münster WS 15/16 Alle Folien unter Cretive Commons Attriution-NonCommercil 3.0 Unported Lizenz.

2 Deterministischer endlicher Automt Deterministischer Endlicher Automt Ein DEA ist ein 5 Tupel (Q, Σ, Zustndsmenge δ, q 0, F ), woei gilt Q ist eine endliche Menge, Σ ist ein Alphet, δ : Q Σ Q eine totle Funktion, q 0 Q, Strtzustnd F Q. kzeptierende Zustände Üergngsfunktion Berechenrkeitstheorie WS 15/16 Frnzisk Jhnke

3 Deterministischer endlicher Automt Deterministischer Endlicher Automt Ein DEA ist ein 5 Tupel (Q, Σ, δ, q 0, F ), woei gilt Q ist eine endliche Menge, Σ ist ein Alphet, δ : Q Σ Q eine totle Funktion, q 0 Q, F Q. Beispiel: (ls Digrmm) q 1 q 2 Berechenrkeitstheorie WS 15/16 Frnzisk Jhnke

4 Areitsweise w-luf eines DEAs M für ein Wort w Σ : Folge von Zustndsüergängen (q i1, q i2,..., q im ) mit 1. q 0 = q i1, 2. w = x 1 x 2 x 3 x m 1, mit x i Σ, 3. δ(q ik, x i ) = q ik+1 für lle 1 k < m. Akzeptnz eines Wortes (DEA) Ein DEA M kzeptiert ein Wort w Σ genu dnn, wenn der w-luf von M in einem kzeptierenden Zustnd endet. Erkennen einer Sprche (DEA) Ein DEA M erkennt (kzeptiert) die Sprche L(M) := {w Σ M kzeptiert w}. Berechenrkeitstheorie WS 15/16 Frnzisk Jhnke

5 Beispiel 1 M q 1 q 2 Wort: δ (q 1, ) = q 1 d q 1 F folgt, L(M) Wort: δ (q 1, ) = q 2 d q 2 F folgt, L(M) Wort: ε δ (q 1, ε) = q 1 d q 1 F folgt, ε L(M) L(M) = {w Σ w endet uf } Berechenrkeitstheorie WS 15/16 Frnzisk Jhnke

6 Beispiel 2, Wort: Luf endet im Zustnd 3 nicht kzeptiert Wort: Luf endet im Zustnd 4 kzeptiert Wort eginnt mit Luf endet im Zustnd 4 kzeptiert L(M) = {w Σ w enthält Teilwort } Berechenrkeitstheorie WS 15/16 Frnzisk Jhnke

7 Beispiel 2 Ansonsten Wort endet uf enth lt nicht Wort endet uf enth lt nicht Wort enth lt, L(M) = {w Σ w enthält Teilwort } Berechenrkeitstheorie WS 15/16 Frnzisk Jhnke

8 Beispiele 3 M 1 0, 1 0, 1 q 1 q 2 L(M 1 ) = {ε} M 2 M 3 q 1 0, 1 q 1 0, 1 L(M 2 ) = L(M 3 ) = {0, 1} Berechenrkeitstheorie WS 15/16 Frnzisk Jhnke

9 Reguläre Sprchen Definition Wir ezeichnen mit REG = {L L wird von einem DEA erknnt} die Menge der regulären Sprchen. Eine Sprche L REG nennen wir regulär. Bsp.:{ε},, {,, }, { k k N} REG Definition Eine Sprche L mit L < heißt endlich. Stz 1 Jede endliche Sprche ist regulär. Berechenrkeitstheorie WS 15/16 Frnzisk Jhnke

10 Beweisskizze Stz 1 Angenommen Σ = {0, 1}, L REG, und ds längste Wort in L ht k Zeichen Konstruiere DEA der Σ k erkennt wie folgt Bsp.: für k = 3 * Wähle die kzeptierenden Zustände, sodss genu die Wörter us L kzeptiert werden. Berechenrkeitstheorie WS 15/16 Frnzisk Jhnke

11 Beweisskizze Stz 1 Angenommen Σ = {0, 1}, L REG, und ds längste Wort in L ht k Zeichen Konstruiere DEA der Σ k erkennt wie folgt für nderes Σ, k nlog Bsp.: für k = 3 Im Bsp. L = {ε, 01, 11, 000, 110} * Wähle die kzeptierenden Zustände, sodss genu die Wörter us L kzeptiert werden. Berechenrkeitstheorie WS 15/16 Frnzisk Jhnke

12 Nichtdeterminismus Erweiterung von Berechnungsmodellen Berechnungsvorschrift mit Freiheiten usgestttet 0 0 z.b. im DEA Kontext Akzeptnzegriff: es existiert eine Möglichkeit die Einge zu kzeptieren Motivtion: stärkerer Modellierungspprt, Grundlge proilistischer Modelle O der Nichtdeterminismus ds Modell mächtiger mcht, hängt vom Modell Berechenrkeitstheorie WS 15/16 Frnzisk Jhnke

13 NEA mit ε-üergängen Aufwertung des DEA Modells mit 2 neuen Funktionen ε Nichtdeterminismus ε-üergänge Im Bsp.: 0, ε 1 ε L = {w {0, 1} w endet uf 010 oder 100} Berechenrkeitstheorie WS 15/16 Frnzisk Jhnke

14 Definition Ein Nichtdeterministischer Endlicher Automt (NEA) ist ein 5-Tupel (Q, Σ, δ, q 0, F ), mit: Q <, Σ <, δ : Q Σ ε P(Q) (möglicherweise prtiell!), q 0 Q, F Q. Hierei: Σ ε := Σ {ε} P(X) := {A X} (Potenzmenge) w-luf eines NEAs N für ein Wort w Σ : Folge von Zustndsüergängen (q i1, x 1, q i2, x 2..., q im ) mit 1. q 0 = q i1, 2. w = x 1 x 2 x 3 x m 1, mit x i Σ ε, 3. δ(q ik, x i ) q ik+1 für lle 1 k < m. Ein Wort knn verschiedene Läufe hen!! Berechenrkeitstheorie WS 15/16 Frnzisk Jhnke

15 Akzeptnz eines Wortes (NEA) Ein DEA N kzeptiert ein Wort w Σ genu dnn, wenn ein w-luf von N in einem kzeptierenden Zustnd endet. Erkennen einer Sprche (NEA) Ein NEA N erkennt (kzeptiert) die Sprche L(N) := {w Σ N kzeptiert w}. Wdh. Bsp.:, 1 ε ε w = L, d (1,, 1, ε, 2,, 3,, 4,, 5) ein w-luf ist w = L, d lle w-läufe in Zustnd 1, 2, 6 oder 7 enden Berechenrkeitstheorie WS 15/16 Frnzisk Jhnke

16 Iterierter Üergng eim NEA ε-aschluss (wo komme ich hin ohne ein Zeichen zu lesen?) E(p Q) := {q Q q üer 0 εknten von p erreichr} E(P Q) := p P E(p) Definition Für einen NEA N = (Q, Σ, δ, q 0, F ) ist die iterierte Üergngsfunktion δ k : Q Σ k P(Q) definiert durch: 1. δ 0 (q, ε) = E(q) ( für lle q Q, ) 2. δ i (q, wx) = E r δ i 1(q,w) δ(r, x) für lle q Q, w Σ i 1, x Σ. Schreiweise: δ (q, w) für δ w (q, w) Berechenrkeitstheorie WS 15/16 Frnzisk Jhnke

17 Iterierter Üergng eim NEA ε-aschluss (wo komme ich hin ohne ein Zeichen zu lesen?) E(p Q) := {q Q q üer 0 εknten von p erreichr} L(N) E(P Q) := = {w Σ δ (q 0, w) F } p P E(p) Definition Für einen NEA N = (Q, Σ, δ, q 0, F ) ist die iterierte Üergngsfunktion δ k : Q Σ k P(Q) definiert durch: 1. δ 0 (q, ε) = E(q) ( für lle q Q, ) 2. δ i (q, wx) = E r δ i 1(q,w) δ(r, x) für lle q Q, w Σ i 1, x Σ. Schreiweise: δ (q, w) für δ w (q, w) Berechenrkeitstheorie WS 15/16 Frnzisk Jhnke

18 Stz 2 Hinweis Frge {L L wird durch NEA erknnt} = REG Jeder DEA knn ls NEA verstnden werden der weder Nichtdeterminismus noch ε-üergänge nutzt. Knn ich einen NEA durch einen DEA simulieren? w = Berechnung δ (q 0, w) von Hnd (In welchen Zuständen könnte ich ktuell sein?), 1 ε ε kzeptiere weil Zustnd 5 mrkiert Idee DEA Zustndsrum = Teilmengen von Zuständen Berechenrkeitstheorie WS 15/16 Frnzisk Jhnke

19 Simultion NEA durch DEA Potenzutomt Für einen NEA N = (Q, Σ, δ, q 0, F ) ist sein Potenzutomt Pot(N) = ( Q, Σ, δ, q 0, F ) ein DEA mit Zustndsmenge Q = P(Q), Üergngsfunktion δ, mit δ(p, x) = E( p P δ(p, x)), Strtzustnd q 0 = E(q 0 ), kzeptierenden Zuständen F = {P Q P F }. Behuptung L(N) = L(Pot(N)) Berechenrkeitstheorie WS 15/16 Frnzisk Jhnke

20 Beispiel Potenzutomt, ε 1 ε ,2,6 1,2,3,6 1,2,3,5,6 1,2,4,6,7 1,2,6,7 1,2,3,6,9 1,2,6,7,8 Berechenrkeitstheorie WS 15/16 Frnzisk Jhnke

21 Vorlesungsfolien und Üungszettel finden Sie uf wwwmth.uni-muenster.de/u/frnzisk.jhnke/t Einteilung in die Üungsgruppen eginnt heute, 15:30, üer ds Kursuchungssystem Tutortszeiten: Di 14-16, Mi 8-10, 12-14, 14-16, Age erster Zettel: Berechenrkeitstheorie WS 15/16 Frnzisk Jhnke