Kontextsensitive Sprachen. Christian Scheideler Universität Paderborn WS 2014

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1 Kontextsensitive Sprchen Christin Scheideler Universität Pderorn WS 2014

2 Kontextsensitive Sprchen Definition Eine Grmmtik heißt kontextsensitiv oder vom Typ Chomsky-1 flls für jede Regel u v gilt u v. Eine Grmmtik heißt kontextfrei oder vom Typ Chomsky-2, flls für lle Regel u v gilt u V, v (V Σ) *. Eine Grmmtik heißt regulär oder vom Typ Chomsky-3, flls lle Regeln von der Art u v mit u V und v = ε, v =, Σ, oder v =wmit Σ, w V sind WS

3 Kontextfreie Sprchen Kontextsensitive Grmmtik für L={ n n c n n N}: G=(V, Σ, P, S) mit V={S, B, C}, Σ={,, c} P: S SBC BC (generiert gleiche Anhl n s, B s, C s) CB BC (ringt B s und C s in richtige Reihenfolge) B, B ( trnsformiert Vrilen in Terminle) C c, cc cc (er nicht cb c, d sonst Reihenfolge flsch!) Beispielleitung: S SBC SBCBC BCBCBC BBCCBC BBCBCC BBBCCC BBCCC BCCC CCC ccc ccc ccc WS

4 Kontextsensitive Sprchen Definition 6.1.1: Ein liner eschränkter Automt (LBA) M=(Q, Σ, Γ, δ) ist eine NTM, für die, Γund δ wie isher definiert ist mit der Einschränkung, dss δ(q, ) = (p,,l) d.h. M knn links nicht üer hinus wndern und dmit uch keine usätlichen Symole uf ds Bnd schreien sondern nur existierende Symole wischen und üerschreien. L(M) = { w Σ* es existiert eine keptierende Rechnung für q 0 w } WS

5 Kontextsensitive Sprchen St 6.1.2: Ist L eine kontextsensitive Sprche, dnn git es einen LBA M mit L(M)=L. Beweis: Sei G=(Σ, V,P, S) die Grmmtik u L. Gegeen w, so teilt der LBA M u G ds Bnd in wei Spuren ein und versucht, uf der weiten Spur w uleiten. Strtkonfigurtion du: S w D für lle u vin P gilt, dss u v, ist ds uf demselen Plt, den w rucht, möglich w L(G) WS

6 Kontextsensitive Sprchen St 6.1.3: Ist L=L(M) für einen LBA M, dnn ist L kontextsensitiv. Beweis: Betrchte einen elieigen LBA M. Wir konstruieren drus eine Grmmtik G=(Σ,{S,A, },P,S) mit den folgenden Produktionen q 0 q 0 Σ ε q 0 x q ccept y 1. S A 3. A q x q x A 2. y p q x p y und Regeln für, (y,p,r) δ(q,x) (y,p,l) δ(q,x) xq WS

7 Kontextsensitive Sprchen St 6.1.3: Ist L=L(M) für einen LBA M, dnn ist L kontextsensitiv. Beweis: Betrchte einen elieigen LBA M. Wir konstruieren drus eine Grmmtik G=(Σ,{S,A, },P,S) mit den folgenden Produktionen q 0 q 0 Σ ε q 0 x q ccept y 1. S A 3. A q x A Mit dem y 1. p St von (y,p,r) Regeln δ(q,x) wird weispuriges Wort mit w uf Spur 1 und (y,p,l) δ(q,x) q x q 0 w uf p y Spur 2 ereugt. 2. q x und Regeln für, xq WS

8 Kontextsensitive Sprchen St 6.1.3: Ist L=L(M) für einen LBA M, dnn ist L kontextsensitiv. Beweis: Betrchte einen elieigen LBA M. Wir konstruieren drus eine Grmmtik G=(Σ,{S,A, },P,S) mit den folgenden Produktionen ε Mit qdem 2. St von Regeln wird uf Spur 2 0 q 0 q 0 eine Rechnung des LBA M simuliert. Σ x q ccept y 1. S A 3. A q x q x A 2. y p q x p y und Regeln für, (y,p,r) δ(q,x) (y,p,l) δ(q,x) xq WS

9 Kontextsensitive Sprchen St 6.1.3: Ist L=L(M) für einen LBA M, dnn ist L kontextsensitiv. Beweis: Betrchte einen elieigen LBA M. Wir konstruieren drus eine Grmmtik G=(Σ,{S,A, },P,S) mit den folgenden Produktionen q 0 q 0 ε q 0 Mit dem 3. St von Regeln Σwird für eine keptierende Rechnung die keptierende Konfigurtion in Spur 2 gelöscht, q x y p (y,p,r) δ(q,x) so dss nur noch w ürigleit. (y,p,l) δ(q,x) q x p y x q ccept y 1. S A 3. A A 2. q x und Regeln für, xq WS

10 Kontextsensitive Sprchen St 6.1.3: Ist L=L(M) für einen LBA M, dnn ist L kontextsensitiv. Beweis: Betrchte einen elieigen LBA M. Wir konstruieren drus eine Grmmtik G=(Σ,{S,A, },P,S) mit den folgenden Produktionen x q ccept y 1. S A 3. A q x q 0 q 0 ε q 0 Σ Dmit ereugt G ein Wort w genu dnn, wenn es eine keptierende Rechnung yvon M pgestrtet (y,p,r) uf δ(q,x) w git. q x p y (y,p,l) δ(q,x) A 2. q x und Regeln für, xq WS

11 Kontextsensitive Sprchen St 6.1.4: Zu jedem LBA M git es einen äquivlenten LBA M, so dss M immer hält. Beweis: Ein LBA M=(Q,Σ,Γ,δ) gestrtet mit w knn höchstens Q ( w +1) Γ w verschiedene Konfigurtionen esiten. Akeptiert M w, dnn muss es eine keptierende Rechnung der Länge höchstens Q ( w +1) Γ w geen (längere Rechnungen wären immer verkürr!). M : Unterteile ds Bnd in 2 Spuren. w Zähler Nute Spur 2 ls Zähler mit Anfngswert Q ( w +1) Γ w +1 Pro Schritt von M vermindert M den Zähler um 1. Ist der Zähler 0, dnn lehnt M die Einge. Hält M, dnn uch M, und M keptiert genu dnn wenn M keptiert. Dmit ist L(M)=L(M ), und M hält immer WS

12 Kontextsensitive Sprchen St 6.1.5: Es git Sprchen, die entscheidr sind er nicht kontextsensitiv. Beweis: Wir verwenden Digonlisierung. Wrum sind LBAs ählr? LBA: M 1 M 2 M 3 M 4 M 5 w1 n... n.. n.. L w2.. n... d w3. n... n.. L d ist nicht kontextsensitiv, den sonst gäe es einen LBA M i, der L d keptieren knn, ws ufgrund der Whl von L d nicht möglich ist. L d ist entscheidr: Verwende folgende DTM M: ei Einge w, finde i, dss w=w i finde M i (üer systemtische Konstruktionsvorschrift der LBAs) entscheide, o w i L(M i ) (möglich wegen St 6.1.4, d der Bum ller möglichen Rechnungen nur is u einer mximlen Länge von Q ( w +1) Γ w durchlufen werden muss) Akeptiere w i L(M i ) WS

13 Kontextsensitive Sprchen St 6.1.6: Kontextsensitive Sprchen sind geschlossen eüglich, und Komplement. Beweis: Seien M 1 und M 2 LBAs mit L(M 1 )=L 1 und L(M 2 )=L 2. O.B.d.A. nehmen wir n, dss M 1 und M 2 immer hlten (siehe St 6.1.4). Ereuge wei Spuren: Spur 1 speichert die Einge w. Spur 2 wird für die Simultion der LBAs verwendet. Simuliere erst M 1 und dnn M 2. : Akeptiere, wenn M 1 oder M 2 keptieren. : Akeptiere, wenn M 1 und M 2 keptieren. Komplement: Akeptiere genu dnn, wenn M 1 nicht keptiert. Funktioniert so nicht! Wrum? Komplement: siehe St von Immermn und Selepcsényi WS

14 Zusmmenfssung Ageschlossenheit von Sprchen: regulär kontextfrei kontextsensitiv j nein j j j j j nein j j j j * j j j WS

15 Zusmmenfssung Entscheidungsproleme: regulär kontextfrei kontextsensitiv L=? j j nein L=Σ*? j nein nein L <? j (P.L.) j (P.L.) nein L 1 =L 2? j nein nein L 1 L 2? j nein nein x L? j j j L 1 L 2 =? j nein nein nächste Woche Üung WS

16 Zusmmenfssung Formle Sprchen Formle Sprchen wichtige Modellierungstechnik der Informtik. Beschreiung durch Grmmtiken. 4 Typen von Grmmtiken llgemeine Grmmtiken kontextsensitive Grmmtiken kontextfreie Grmmtiken reguläre Grmmtiken. Allgemeine Grmmtiken eschreien rekursiv ufählre Sprchen WS

17 Zusmmenfssung Formle Sprchen Kontextsensitive Sprchen sind entscheidr. Reguläre und kontextfreie Sprchen wichtig für Compiler und Progrmmiersprchen. Reguläre Sprchen werden durch DFAs entschieden. DFAs und NFAs sind äquivlent. Minimierung endlicher Automten. Nichtregulrität von Sprchen ewiesen durch Pumping Lemm für reguläre Sprchen. Aschlusseigenschften regulärer Sprchen WS

18 Zusmmenfssung Formle Sprchen Kontextfreie Sprchen werden durch Kellerutomten entschieden. Nichtdeterminismus ei Kellerutomten relevnt. Nicht kontextfreie Sprchen und ds Pumping Lemm für kontextfrei Sprchen. Wortprolem für kontextfrei Sprchen CYK-Algorithmus. Aschlusseigenschften kontextfreier Sprchen Durchschnitt und Komplement kontextfreier Sprchen nicht notwendig kontextfrei WS

19 Zusmmenfssung -Berechenrkeit Turingmschinen ls Berechnungsmodell Berechnung von DTMs Rechenschritte, Konfigurtionen, Nchfolgekonfigurtionen Akeptieren/Alehnen von Worten/Eingen Akeptieren/Entscheiden von Sprchen Unterschied wischen Akeptieren und Entscheiden WS

20 Zusmmenfssung -Berechenrkeit Mehrnd DTMs Simultionen Gödelnummern und universelle DTMs Eigenschften von DTMs ls Sprchen, Hlteprolem, Digonlisierung und Dig ls nicht rekursiv ufählre Sprche WS

21 Zusmmenfssung -Berechenrkeit Reduktionen, Reduktionen, Reduktionen Reduktionen und nicht entscheidre oder nicht rekursiv ufählre Sprchen Hlteprolem, Akeptnprolem, Hlteprolem mit leerem Bnd WS

22 Zusmmenfssung -Komplexität Lufeit/Zeitkomplexität einer DTM Klssen für Zeitkomplexität Vergleich Zeitkomplexität 1-Bnd und Mehrnd DTM Klsse P ls Klsse effiient lösrer Proleme Beispiele für Sprchen in P, Pfd, RelPrim RS ent, TSP ent P? WS

23 Zusmmenfssung -Komplexität Verifiierrkeit ls gemeinsme Eigenschft Verifiierer und Klsse NP Nichtdeterministische TMs (NTMs) L(N) für NTM N Lufeit von NTMs Alterntive Definition von NP üer NTMs WS

24 Zusmmenfssung -Komplexität Schwierigste Proleme in NP? Polynomielle Reduktionen NP-Vollständigkeit St von Cook-Levin, SAT NP-vollständig Weitere NP-vollständige Sprchen, 3SAT, Clique, WS