Theoretische Informatik

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1 Theoretische Informtik Rphel Pour 29. Juni 2016 Inhltsverzeichnis 1 Automten & Formle Sprchen Formle Sprchen Definition - Alphet Definition - Wort Beispiel - Wörter Definition Konkterntion Definition - Formle Sprche Definition - Konkterntion von Sprchen Reguläre Sprchen Deterministisch endliche Automten (DFA) Beispiel - DFA Beispiel - DFA Definition - DFA Definition - erweiterte Üerführungsfunktion Nichtdeterministische endliche Automten (NFA) Umwndlung eines NFA in einen DFA Reguläre Ausdrücke Definition - Regulärer Ausdruck Beispiel Stz - Reguläre Sprche Ds Pumping-Lemm Stz - Pumping-Lemm Beispiel - Pumping-Lemm Beispiel - Pumping-Lemm Stz Bemerkungen Kontextfreie Sprche Kellerutomten (PDA) Beispiel - PDA PDA Vereinfchung Definition - PDA Definition - Vom PDA Akzeptierte Sprche Kontextfreie Grmmtiken Beispiel - Kontextfreie Grmmtik Definition - Kontextfreie Grmmtik Beispiel - Kontextfreie Sprche Beispiel Definition Akürzende Nottion: Beispiel - Grmmtik für rithmentische Ausdrücke Kellerutomten und kontextfreie Sprchen Stz - Kellerutomt Beweis - Kellerutomt Beispiel Der CYK-Algorithmus

2 Definition Normlform Beispiel: CYK-Algorithmus Mehrdeutigkeit Syntxnlyse Syntxum Top-Down-Prser Aufge für nächste Woche: Bottom-Up-Prser Beispiel L-Systeme Befehle: Beispiel um Rechteck zu zeichnen Beispiel Die Chomsky-Hierrchie Chomsky-Hierrchie mit Beispielsprchen Berechenrkeit und Komplexität ntscheidrkeit Definition - ntscheidrkeit Beispiel - ntscheidrkeit Hlteprolem Stz - Spezielles Hlteprolem Beispiel - lemente für Progrmme P K Beispiel - lemente für Progrmme P / K Beweis - Hlteprolem nicht entscheidr Weitere unterscheidre Proleme Stz - Hlteprolem Beweis - Unentscheidrkeit des Hlteprolems Stz - Unentscheidrkeit ε Beweis - Unentscheidrkeit ε Stz - Unentscheidrkeit H Beweis - Unentscheidrkeit H Stz - Äquivlenz zweier Progrmme Beweis - Äquivlenz zweier Progrmme Unentscheidrkeit der Progrmmverifiktion Komplexitätstheorie Kostenmße: Klsse P Definition - Klsse P Beispiel Beispiel Beweis Die Klsse NP Beispie Beispiel: Unterschied - ntscheidungsverfhren/verifizierer Definition - NP Stz - P Teilmenge von NP NP -Vollständigkeit Stz - SAT Index 33 2

3 1 Automten & Formle Sprchen 1.1 Formle Sprchen Definition - Alphet in Alphet ist eine Menge Σ Definition - Wort Für w 1,..., w n Σ ist w = w 1...w n ein Wort der Länge n. Ds Wort ɛ ist ds leere Wort. Die Menge ller Wörter (inkl. ɛ) ezeichnen wir mit Σ Beispiel - Wörter Unendlich lnge Wörter möglich Definition Konkterntion Σ = {,, c, Σ = {ɛ,,, c,,, c,,...) (1) Für Wörter, Σ ist die Konkterntion dieser Wörter (vgl. Stringverkettung). Für ein Wort w ist w n die n-fche Konkterntion, woei w 0 := ɛ. Bemerkung: Für lle w Σ gilt ɛw = w = wɛ (vgl. ɛ zur 1 ls neutrles lement zur Multipliktion in Zhlenkörpern) Definition - Formle Sprche ine formle Sprche ist eine Teilmenge von Σ Definition - Konkterntion von Sprchen Für Sprchen A, B ist AB = { A, B sowie A n = n i=1 A, woei A0 = {ɛ Bemerkung:, ɛ, {ɛ sind drei unterschiedliche Dinge. ist eine leere Menge (Vom Typ Menge mit 0 lementen) ɛ ist ein leeres Wort. {ɛ ist eine 1-lementige Menge mit dem leeren Wort ls einziges lement. Bemerkung: Σ lässt sich eenflls definieren durch Σ = n 0 Σ n (2) Ferner ist Σ + = Σ {ɛ 1.2 Reguläre Sprchen Deterministisch endliche Automten (DFA),c c Z 0 Z 1 Z 2 Z c Beispiel - DFA Dieser DFA kzeptiert lle Wörter üer dem Alphet Σ = {,, c die c enthlten. Von einem Zustnd dfür für jedes Zeichen nur ein Pfeil weggehen.,,c 3

4 ,,c Beispiel - DFA Definition - DFA in DFA ist ein Tupel M = (Z, Σ, δ, z 0, ) Z: Menge der Zustände Σ: ingelphet δ: Z Σ Z Üerführungsfunktion (Z ls Definitionsmenge, Σ ls Wertemenge). Ds Bedeutet δ(z, ) = z z 0 Z der Strtzustnd : Menge der ndzustände Definition - erweiterte Üerführungsfunktion Die erweiterte Üerführungsfunktion δ : Z Σ Z ist definiert durch { δ z für w = ɛ (z, w) = δ (δ(z, ), x) für w = cmit Σ, x Σ (3) int \ delt ( int z, chr * w){ if( strlen (w) == 0) return z; else return \ delt (\ delt (z,w),w +1);, Z 0 Z δ (z 0, ) = δ (δ(z 0, ), ) = δ (z 0, ) = δ (δ(z 0, ), ) = δ (z 0, ) = δ (δ(z 0, ), ) = δ (z, ) = δ (δ(z, ), ɛ) = δ (z, ɛ) = Z Automt kzeptiert. Die von M kzeptierten Sprchen ist L(M) = {w Σ δ (z 0, w) Nichtdeterministische endliche Automten (NFA) NFA, der lles kzeptiert, ws c enthält,, c,, c c Beispiel für ein gültiges Wort (Weg existiert): ccc Gegeneispiel (ndzustnd wird nie erreicht): NFA, der lle Wörter kzeptiert, die uf 001 enden: 0, Beispiele für gültige Wörter: , Gegeneispiel:

5 in Wort wird von NFA kzeptiert, wenn es einen Weg, usgehend von einem Strtzustnd git, mit dem ein ndzustnd erreicht wird. Der NFA weiß nicht, welcher Pfd zu durchlufen ist; dieser muss der Benutzer ermitteln (wie ei einer Strßenkrte). in NFA lässt sich formulieren durch ein Tupel, M = (Z, Σ, δ, S, ) 1 0 Bei rkennt die Sprche L(M) = {0, 1 Z: Zustände Σ: ingelphet δ : Z Σ P (Z) Üerführungsfunktion S: Menge der Strtzustände : ndzustände Dei edeutet z S(z, ), dss der NFA im Zustnd z für die inge die Möglichkeit esitzt, in den Zustnd z zu wechseln. Beispiele für NFAs: Lexer Umwndlung eines NFA in einen DFA Wir wollen den NFA,, c,, c c Z 0 Z 1 Z 2 Z in einen DFA umwndeln. Der Strtzustnd des DFA esteht us den Strtzuständen des NFA 1 {Z 0 Betrchten der Folgezustände für Σ: {Z 0 {Z 0, Z 1 Nächsten Schritte:, c,, c c c {Z 0 {Z 0, Z 1 {Z 0, Z 2 {Z 0, Z Der uf diese Weise erhltene DFA knn Zustände enthlten die sich zu einem Zustnd zusmmenfssen lssen. 2 Mit dem Algorithmus Minimlutomt lässt sich ein DFA konstruieren, der miniml ezüglich der Anzhl seiner Zustände ist. Der Minimlutomt ist eindeutig d.h. Minimlutomten unterscheiden sich höchstens in der Benennung der Zustände. 1 Alle Strtzustände des NFA werden zu einem Strtzustnd des DFA zusmmengefsst 2 Pre von nicht äquivlenten Zuständen erkennt. Alle Zustände die Ürig leien können zusmmengefsst werden Minimierung 5

6 1.2.4 Reguläre Ausdrücke Definition - Regulärer Ausdruck Sei Σ ein Alphet. in regulärer Ausdruck sowie durch erzeugte Sprche L() sind induktiv definiert 3,, c ist ein regulärer Ausdruck und L( ) = Für Σ ist ein regulärer Ausdruck und (die dei erzeugte Sprche) L() = Für reguläre Ausdrücke 1, 2 sind ( 1 2 ), ( 1 2 ), ( 1 ) reguläre Ausdrücke und L( 1 2 ) = L( 1 ) L( 2 ), L( 1 2 ) = L( 1 )L( 2 ), L( 1) = L( 1 ) 4 0 0,, c Beispiel L((0 1) ) = L( (4) Stz - Reguläre Sprche Reguläre Ausdrücke erzeugen genu die regulären Sprchen.// Skizze: Umwndlung eines regulären Ausdrucks in einem endlichen Automten. 0, 1 Σ: ɛ: Seien 1, 2 reguläre Ausdrücke und M 1, M 2 DFAs mit L( 1 ) = L ( M 1 ), L( 2 ) = L(M 2 ). 1 2 : M 1, M 2 sind zusmmen ein NFA, der L(M 1 ) L(M 2 ) erkennt. 1 2 : M 1, M 2 müssen hintereinnder geschltet werden, woei ggf. neue Knten eingefügt werden. 1 Zu der Veroderung ( 1 2 ): M 1 : M 2 : 3 Regulärer Audruck: Rein Syntktisch, rzeugte Sprche: Wörter 4 Stern nch der L(..) ist der Aschluss der Konkterntion. 6

7 Zu der Verundung ( 1 2 ): Konkterntion Bzw. c c Umgekehrte Richtung (DFA reg. Ausdruck) ist schwierig. Bsp.: = 0(0 1) 0 0, 1 1 Beispiel = (0 1) 1: , Ds Pumping-Lemm Wenn ein DFA ein Wort kzeptiert, ds mindestens so lng ist, wie die Anzhl seiner Zustände, dnn muss er einen Zustnd zweiml durchlufen hen (Schufchprinzip). Drus folgt, dss der DFA dei eine Schleife durchläuft. Beispiel - Pumping-Lemm e d c f s Für x = cdefg durchläuft der Automt eine Schleife. Dher kzeptiert der DFA uch lle Wörter (cde) k cfg für k Stz - Pumping-Lemm Für jede reguläre Sprche L git es ein n > 0, so dss es für lle Wörter x L mit x n eine Zerlegung x = uvw gilt, so dss gilt: (1) V 1 (2) UV n (3) uv k w L für lle k 0 7

8 Oder uch üer Allquntisierung: reg. Sprchen L n > 0 x L, x n u, v, w mit x > uvw und (1) k 0uv k w L Ohne inschränkungen ist n die Anzhl Zustände des Minimlutomten. Ds Pumping-Lemm lässt sich nutzen, um zu zeigen, dss eine Sprche nicht reguläre ist Beispiel - Pumping-Lemm : Wir zeigen, dss L = { n n n N nicht regulär ist. Beweis (Widerspruch): Angenommen L sei regulär. Nch Pumping-Lemm git es dnn ein n > 0, so dss sich lle x L mit x n gemäß Pumping-Lemm zerlegen lssen. Sei x = n n Aus uv n folgt, dss v kein enthält, us v 1 folgt, dss v mindestens ein enthält. Ds Wort uw enthält dher weniger Vorkommen von ls von (Den w enthält n ) und ist deshl nicht in L enthlten, Widerspruch Beispiel - Pumping-Lemm : Wir zeigen, dss L = {zz z {, nicht regulär ist. 5 Beweis: Angenommen L ist regulär. Dnn git es ein n > 0, so ds sich lle x L mit x n zerlegen lssen gemäß Pumping-Lemm. Sei x = n n. Wegen uv n und v 1 esteht us mindestens einem. Dnn enthält uw = n v n weniger von in der vorderen Hälfte ls in der hinteren Hälfte. D sich uw deshl nicht in die Form zz mit z {, ringen lässt, ist uwnotinl, Widerspruch Stz - Sei L regulär und n die Anzhl Zustände des Minimlutomten zu L. Dnn gilt L = gdw. es ein x L git mit n x 2n. Beweis: ( ) Gemäßg Pumping-Lemm git es eine Zerlegung x = uvw mit v 1 und uv k w L für lle k N 0. Drus folgt L =. ( ) D es nur endlich viele Wörter x mit x < n, git es ein x L mit x n. Sei dher x L mit x n und x miniml. Gemäß Pumping-Lemm lässt sich x zerlegen in x = uvw. D uw L und x miniml gilt uw < n. Wegen x uv + uw < n + n = 2n folgt die Behuptung Bemerkungen Lexiklische Anlyse wie z.b. Flex (für C). Automt = Akzeptor (Akzeptiert oder kzeptiert nicht) um eine Sprche mschinell zu verreiten Regulärer Ausdruck = Smmlung von Regeln mit welchem ml gültige Wörter erzeugen knn. Um eine Sprche zu definieren. Wrum knn (x+y)*z nicht von einem Automten gereitet werden Wenn Automt nicht usreicht rucht mn eine mächtigere Kontextfreie Sprche 1.3 Kontextfreie Sprche Kellerutomten (PDA) in Kellerutomt (Pushdown Automtor, PDA) esitzt gegenüer einem NFA zwei zusätzliche igenschften s git ɛ-üergänge r esitzt einen Stck, uf den Zeichen gelegt oder von dem Zeichen gelesen werden können. Zur grphischen Drstellung von PDAs verwenden wir einen erweiterte Automtennottion. : ingezeichen γ: Top of Stck in Z γ Top of Stck in Z, γ/γ Z Z Unten uf dem Stck liegt ds Symol #. Dies ist ds einzige Symol, ds sich zu Beginn einer Rechnung uf dem Stck efindet. 5 Intuitiver nicht ewiesener Hinweis. 8

9 Beispiel - PDA PDA, der { n n nn kzeptiert., ε/, /ε, /ε/ ε, #/ε PDA Vereinfchung Wir erluen nun, dss der PDA in einem Schritt uch mehrere Zeichen uf den Stck schreit. Dzu erweitern wir die grphische Nottion wie folgt:, γ/γ 1γ n Z Z, γ/γ n ε, ε/γ Z Z1 n 1 ε, ε/γ... 1 Z Definition - PDA in PDA ist ein Tupel M = (Z, Σ, Γ, δ, Z 0 #, ) Z : Zustände Σ : ingelphet Γ : Stcklphet γ : Z Σ ε Γ ε P(Z Γ ε ), woei Σ ε = Σ {ε, Γ ε = Γ {ε Z 0 Z : Strtzustnd # Γ : Unterstes Stckzeichen Z : ndzustände, γ/γ Z Z Σ {ε γ Γ {ε γ Γ {ε Definition - Vom PDA Akzeptierte Sprche Die von einem PDA M kzeptierte Sprche L(M) ist die Menge ller x Σ, für die gilt: Der PDA M knn, usgehend von Strtzustnd und den initiierten #, durch ds lesen des Wortes x einen ndzustnd erreichen Kontextfreie Grmmtiken ine kontextfreie Grmmtik eschreit, wie durch ds rsetzen von Vrilen Wörter der Sprche erzeugt werden können. Jede rsetzungsregel ht die Form linke Seite rechte Seite, woei die linke Seite eine Vrile 7 ist. Beginnend mit dem Strtsymol werden solnge rsetzungsregeln ngewndt is lle Vrilen durch Terminlsymole ( Σ) ersetzt wurden. 6 Der Stck muss nchdem der PDA n einem ndzustnd ngekommen ist nicht leer sein 7 Nur eine, nicht mehrere. Wird solnge ngewndt is uf der rechten Seite nur noch Zeichen us Σ steht 9

10 Beispiel - Kontextfreie Grmmtik Stz NP VP NP Artikel Nomen Artikel die Nomen Ktze Nomen Mus VP Ver NP Ver jgt Stz 8 NP VP Artikel Nomen VP Artikel Nomen Ver NP Artikel Nomen Ver Artikel Nomen... die Ktze jgt die Mus Syntxum dzu: Definition - Kontextfreie Grmmtik ine kontextfreie Grmmtik ist ein Tupel G = (V, Σ, P, S) V : ndliche Menge der Vrilen oder Non-Terminlzeichen Σ : Alphet oder Terminlzeichen. V Σ =. 9 P : Regeln oder Produktionen oder Form u v mit u V und v (V Σ) S V : Strtsymol Für x, y (V Σ) schreien wir x y, wenn sich durch ds rsetzen einer Vrilen in x die Stzform y erzeugen lässt Beispiel - Kontextfreie Sprche die Nomen Ver die Ktze Ver Die reflexive und trnsitive Hülle der Reltion ezeichnen wirr mit Beispiel - Stz die Ktze VP, Stz die Ktze jgt die Mus Definition Die von einer Grmmtik G erzeugte Sprche ist L(G) = {w Σ S w Akürzende Nottion: S ε 0S1 10 für S ε, S OS1 Konstruktionsprinzipien für kontextfreien Grmmtiken. Regeln der Form X X führen zu Dies lässt sich für lncierte Strukturen nutzen. Mit der Regel X XX wächst der Syntxum in die Breite Beispiel - Grmmtik für rithmentische Ausdrücke Zhlen: Lssen sich drstellen durch die Grmmtik mit den Regeln S N 0S N... 9S N Diese Grmmtik verwenden wir, um Ausdrücke drzustellen mit folgender Grmmtik: Dmit lssen sich Ausdrücke drstellen, z.b. (1+2)*3*4 S S + S S S S S S /S (S ) S N (5) 8 Doppelpfeil edeutet ds genu eine Vrile mit genu einer nderen ersetzt wir 9 Die Menge der Terminlzeichen und Non-Terminlzeichen müssen disjunkt sein. 10 Knn ls Alterntive verstnden werden 10

11 S S S S N ( S S S S1 + S N S N ) S N S N S5 N S6 N Kellerutomten und kontextfreie Sprchen Stz - Kellerutomt Kellerutomten kzeptieren genu die kontextfreien Sprchen Beweis - Kellerutomt Wir zeigen nur: Für jede kontextfreie Grmmtik G git es einen PDA M mit L(G) = L(M). Skizze: Wir konstruieren einen PDA mit drei Zuständen: 1. Im Strtzustnd wird ds Strtsymol S der Grmmtik uf dem Stck gelegt und der PDA wechselt in den Zustnd Wir unterscheiden 3 Fälle: Ds oerste Stckzeichen ist eine Vrile A. Wenn es eine Regel A γ der Grmmtik git, dnn knn der PDA A vom Stck entfernen und γ uf den Stck schreien. S, A/γ ε, ε/s ein Symol Σ. Wenn ds nächste Zeichen der inge mit üereinstimmt, wird vom Stck entfernt. ε, ε/s ds Zeichen #. Dnn gilt der PDA in den ndzustnd üer, /ε ε, ε/s ε, #/ε Richtung PDA kontextfreie Grmmtik: Ohne Beweis. 11

12 S, A/γ ε, ε/s ε, #/ε, /ε Beispiel - Wir etrchten die Sprche L = { n n n 0, die erzeugt wird von der Grmmtik mit den Regeln: Aus oiger Konstruktion erhlten wir den PDA: S ε (6) ε, S/ε ε, S/S ε, ε/s ε, #/ε, /ε, /ε Der CYK-Algorithmus Definition Normlform ine Grmmtik G = (V, Σ, P, S) liegt in der Chomsky-Normlform(CNF) vor wenn lle Regeln die Form A BC oder A für A, B, C V, Σ hen. Jede kontextfreie Grmmtik G mit ε / L(G) knn in CNF umgeformt werden Beispiel: Wir formen die Grmmtik mit den Regeln in ein CNF um. 1. Schritt: S SS LSR LR L (, R ) S SS (S) () (7) 2. Schritt: S SS LA LR A SR L ( R ) Der Aleitungsum eines Wortes us einer Grmmtik in CNF ist - is uf die unterste ene - ein inärer Wurzelum. Wenn ein Wort x = x 1 x 2...x n us S leitr ist (S x), dnn git es ein k und A, B, so dss S AB und A x 1...x k, B x k+1...x n CYK-Algorithmus Der CYK-Algorithmus entscheidet ds Wortprolem, indem eine Telle konstruiert wird. Der intrg T ij ist die Menge der Vrilen X mit X Xi...xj. Die menge T ii stehen für Regeln X x i der Grmmtik. Für i < j wird geprüft, o sich x i...x j zerlegen lässt in x i...x k, x k+1...x j, so dss gilt: 1. s git eine Regel X AB 2. A x i...x k, B x k+1...x j. 11 Die Idee des CYK Algorithmusses ist ein n zu finden welche ein Wort in die Grmmtik zerlegen lässt 12

13 T 15 T 14 T T T 23 T T T T T T 11 T T T T x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 Aildung 1: Telle des CYK-Algorithmus Die Menge T ij enthält lle Vrilen X mit dieser igenschft. D (2) nch Definition von T ij quivlent ist zu A T ik, B T k+1j, erhlten wir 12 Tii = {x es git eine Regel X xi (8) T ij = i k<j {x es git eine Regel X AB A T ik B T k+1j (9) Wenn die Menge T ij in ufsteigender Reihenfolge von j i erechnet werden, dnn können die inträge der Telle us ereits erechneten inträgen estimmt werden (dynmisches Progrmmieren ). Für die inträge T ij müssen dei lle Komintionen geprüft werden, die den Zerlegungen c i...x j = x i...x k x k+1...x j für i k < j entsprechen. Ds Wort x ist genu dnn in der Sprche, wenn s T 1n. T 16 T 15 T 26 T 14 T 25 T 36 T 13 T 24 T 35 T 46 T 12 T 23 T 34 T 45 T 56 T 11 T 22 T 33 T 44 T 55 T 66 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 Aildung 2: Telle des CYK-Algorithmus T 26 = 2 k<6 {x x AB A x 2...x {{ k B x k+1...x 6 {{ A T 2...k B T k (10) k = 2 : A T 22, B T 36 k = 3 : A T 23, B T 46 k = 4 : A T 24, B T 56 k = 5 : A T 25, B T 66 Bsp: Wir prüfen (()()) L(G ) für die Grmmtik G in CNF, die Sprche der korrekten Klmmerungen erzeugt. S A S A S S L L R L R R ( ( ) ( ) ) Aildung 3: Die Lufzeit des CYK-Algorithmus ergit sich us der Größe der Telle: Aufwnd pro intrg = O(n 2 ) O(n) = O(n 3 ) 12 Wortlänge messen, for-schleife läuft von T 11 is T nn 13

14 T i j = for(k = i; k < j; k + +){ if(regelx AB A T ik B T k+1...j ) T ij + = {x Mehrdeutigkeit Grmmtik für rithmetische Ausdrücke: + / x y z (11) Drus lssen sich leiten; x + y z Prolem: Keine Priorität + z x y Diese Grmmtik ist uch mehrdeutig, wenn mn sich uf nur einen Operrtor eschränkt. z x x y z zw. x (y z) y 14

15 x y x y z zw. x (y z) z D links-ssozitiv ist, stellt nur der linke Aleitungsum die korrekte Interprettion des Ausdrucks x y z dr ine Grmmtik G heißt eindeutig, wenn es für lle w L(G) genu einen Aleitungsum git. Die oige Grmmtik für rithmetische Ausdrücke ist dher mehrdeutig. + + Um eine eindeutige Grmmtik zu erhlten, müssen zwei Proleme gelöst werden. 1. Die Priorität der Opertoren 15

16 2. Die Assozitivität der Opertoren müssen echtet werden. Lösung für 1) Die Grmmtik muss so konstruiert werden, dss die Strichopertoren nur uf der oersten ene, die Punktopertioren nur uf der untersten ene erzeugt werden. + F (12) F F F F/F x y z (13) Lösung für 2): Die Grmmtik muss so eschffen sein, dss der Aleitungsum ei einem links-ssozitiven Opertor nch links wchsen knn.(= xpression, T= Term, F= Fctor) + T T T (14) T T F T/F F (15) Diese Grmmtik ist eindeutig. Der Aleitungsum für x + y z ist: F x y z (16) + T T F T F y F x z Der Aleitungsum für x y z ist T T F F z x 16

17 1.3.6 Syntxnlyse if(x<0 y<0){... else if... LXR IF ( ID < NUM OR ID < NUM )... PARSR Syntxum Syntxum Ziel: Aus einem Wort einer kontextfreie Sprche soll Syntxum erzeugt werden. Der CYK-Algorithmus ist dfür geeignet, esitzt hedoch eine Lufzeit in O(n 3 ). Für deterministisch kontextfreie Sprchen lässt sich ds Wortprolem in Zeit O(n 3 ) entscheiden. Wir erluen dem Prser, die nächsten k Zeichen der inhe (Lookhed) zu sehen, um hängig dvon entscheidungen zu treffen. 1.4 Top-Down-Prser in Top-Down-Prser ut den Syntxum von oen nch unten uf. in Recursion Descent Prser ist ein Top- Down-Prser, der die Regeln der kontextfreien Grmmtik ls rekursive Funktionen implementiert. pulic clss Prser { String input ; int pos ; oolen prse ( String input0 ){ input = input0 + "#"; return S() && mtch ( # ); oolen S (){ if( next () == ) return mtch ( ) && S() && mtch ( ); else return true ; chr next (){ return input. chrat ( pos ); oolen mtch ( chr c){ if( next () == c){ pos ++; return true else return flse ; pulic sttic void min ( String [] rgs ){ Prser p = new Prser (); System. out. println (p. prse (" " )); 17

18 , /ε s, ε/s, /ε S S ε Prser in Jv S() einhltet lle Grmmtikregeln der else Zweig in S ist für den Fll ε Für die Rekursion wird der Cllstck enutzen S S S ε Aufge für nächste Woche: + T T... (17) ool S (){ if( next () == e ) return mtch ( ) && S ()&& mtch ( ); else return true ; + T T T (18) T T F T/F F (19) F x y z (20) Wort Prser # # # PDA # s # s # s # s # # ool (){ return () && // Funktioniert nicht! // -> ndlose Rekursion mtch ( + ) && T (); # # # # Aus der ereits ehndelten Grmmtik für rithmetische Ausdrücke knn kein Recursive Devent Prser erzeugt werden, weil die GRmmtik linksrekursiv ist. Mögliche Ahilfe: Beseitigung der Linksrekursion durch Umu der Grmmtik. Anstz: T, ε + (21) T F T, T ε T /T (22) 18

19 F x y z (23) Diese Grmmtik erzeugt die gleiche Sprche wie die vorherige Grmmtik und ist nicht linksrekursiv. Aer die Aleitungsäume wchsen nch rechts, d.h. lle Opertionen sind rechts-ssozitiv. Ds Prolem lässt sich für einen Recent Decent Prser nicht efriedigend lösen. Mn knn links-ssozitive Opertionen durch Schleifen verreiten. Dzu BNF (xtended Bckus-Nur Form) Oige Grmmtik in BNF T {+T (24) T F {(+ )F (25) (){ F x y z (26) Dei edeutet {+T, dss elieig viele +T folgen können. Prolem: Aus dieser Grmmtik geht die Assozitivität der Opertoren nicht hervor. Diese muss festgelegt werden. Links-ssozitive Opertoren können mit einer Schleife verreitet werden: T (); while ( next () == + ){ // ---\ mtch ( + ); // - entspricht {+T T (); // / // --- T F T x ε T F T x ε T ε F T z ε 1.5 Bottom-Up-Prser in Bottom-Up-Prser ut einen Aleitungsum von unten nch oen uf und konstruiert dei die Rechtsleitung die inge. Bottom-Up-Prser lssen sich effizient durch LR-Prser implementiert. in LR-Prser liest die inge von links nch rechts und erzeugt den Aleitungsum der Rechtsleitung. in LR-Prser führt in jedem Schritt eine von vielen möglichen Aktionen us (Shift-Reduce-Prser) 19

20 Shift: Ds nächste Zeichen der inge wird uf den Stck geschoen Reduce: in oder mehrere Symole n der Spitze des Stck entsprechend der rechten Seite A γ einer Regel und werden durch A ersetzt. 13 Accept: Die inge wurde verreitet, der Stck enthält nur ds Strtsymol rror: in Syntxfehler wird gemeldet Beispiel Wir etrchten die Grmmtik für rithmetische Ausdrücke + T T T (27) T T F T/F F (28) Für die inge x + y z fürt ein LR-Prser folgende Schritte us: F x y z (29) Stck R vestl. inge Aktion x + y z shift x +y z reduce F +y z reduce T +y z reduce +y z shift + y z shift +y z reduce +F z reduce +T z shift +T* z shift +T*z reduce +T*F reduce +T reduce ccept Der vom Prser erzeugte Aleitungsum der Rechtsleitung ergit sich us den ersten eiden Splten, von unten nch oen. + T T T F F F z x z Der Aleitungsum wächst von rechts nch links, vgl. Telle. 13 Umgekehrt wie der Top-Down Prser: s wird nicht ds Wort erzeugt sondern versucht durch mehrere Reduce-Schritte die komplette inge durch ds Strtsymol zu ersetzen. 20

21 %{ # include " clc. t.h" % integer [0-9]+ rel { integer ("."{ integer )?([ e ][+ -]?{ integer )? %% { rel { yylvl. numer = tof ( yytext ); return NUM ; [ \t]+ ; \n { return NL ; quit exit { return QUIT ; { return yytext [0]; vi Flex und Bison/Yk pckge prsers ; pulic clss SimpleInfixClc { String input ; int pos ; int x= 1; int y = 2; int z = 3; int prse ( String input ){ this. input = input + "#"; pos = 0; int e = (); mtch ( # ); return e; int (){ int e = T (); while ( next () == + next () == - ) if( next () == + ){ mtch ( + ); e +=T(); else { mtch ( / ); e -=T (); int T (){ int t=f (); while ( next () == * next () == / ) if( next () == + ){ mtch ( * ); e *=F(); else { mtch ( / ); e /=T(); int Num (){ switch ( next ()){ cse x : mtch ( x ); return x; cse y : mtch ( y ); return y; cse z : mtch ( z ); return z; defult : throw new IlleglArgumentxception ( next ()); 21

22 int next (){ ool mtch ( chr c ){ 2 0L-Systeme Die 0L-Systeme wurden erfunden um Pflnzenwchstum zu modelieren. Zur Drstellung enötigen wir Turtle-Grfik Befehle: forwrd(l) left(α) zw. right(α) Beispiel um Rechteck zu zeichnen : forwrd () right (90) forwrd () right (90) forwrd () right (90) forwrd () Im Unterschied zu einer kf 14 -Grmmtik wird in einem 0L-System in jedem Aleitungsschritt jede Vrile ersetzt. Jede Vrile wird dei durch die gleiche Regel ersetzt. Anstelle eines Strtsymols git es eine initile Setzform Beispiel Vrilen: F Symole: +,- F F + F F + F F F + F F + F F + F F + F + F + F F + F F + F F + F + F + F F + F n = 0: 14 kontextfrei 22

23 n = 1: n = 2: 3 Die Chomsky-Hierrchie Typ in llen Regeln u v gilt Beispiele 0 15 (rekursiv ufzählr) u, elieig c 1 (kontextsensitiv) u = αxβ, v = αγβ mit α, β (V Σ), A B16 X V, γ (V Σ) + 2 (kontextfrei) u V, v (V Σ) A B 3 (regulär) u V, v Σ {ε ΣV A, A B 3.1 Chomsky-Hierrchie mit Beispielsprchen Alle Sprchen Typ-0-Sprchen Typ-1-Sprchen Typ-2-Sprchen Typ-3-Sprchen 3.2 Berechenrkeit und Komplexität Frge: Ws können Computer üerhupt erechnen, ws können Computer effizient errechnen? 3.3 ntscheidrkeit ntscheidungsprolem: Gegeen eine Sprche L und eine Wort w Σ. Gehört w zu L(w L)? Wir kennen ereits entscheidre Proleme: Wenn L ls regulärer Ausdruck gegeen ist, dnn ist w L entscheidr durch folgendes Verfhren: Regulären Ausdruck in DFA umwndeln, diesem die inge w geen. Wenn der DFA einen ndzustnd erreicht, gilt w L sonst w / L L = ist entscheidr durch ein ntscheidungsverfhren ds immer flsch liefert. L = Σ ist entscheidr durch ein ntscheidungsverfhren ds immer whr liefert Anlog zu L = 23

24 Aildung 4: Turing-Mschine (Schem) Wenn L ls kontxtfreie Grmmtik gegeen ist, ist L entscheidr üer Umformung in CNF und Anwendung des CYK-Algorithmus 3.4 Definition - ntscheidrkeit ine Sprche L heißt entscheidr, wenn es ein Progrmm P L 18 (ntscheidungsverfhren) git, wenn gilt für w L liefert P L die Ausge true für w / L liefert P L die Ausge flse 3.5 Beispiel - ntscheidrkeit Wenn L eine kf Sprche ist, dnn ist L entscheidr durch den CYK-Algorithmus Die Sprche {(M, w) M ist DFA mit w L(M) 19 ist entscheidr durch ein Progrmm, welches us der inge (M, w) eine Repräsenttion des DFA erstellt und dmit M für die inge w simuliert (vgl. Drstellung eines Interpreters in Zusmmenhng mit der erweiterten Üerführungsfunktion S Die Sprche {M Mist ein DFA mit L(M) = Σ ist entscheidr Holls verwendet Jv-Pseudocode welches in jede Prozessorsprche umgeschrieen werden knn 19 S(0, 101) = 1 knn ls String codiert werden mit 0#101#1 20 Als Husufge eine Begründung finden, wrum diese Sprche entscheidr ist. vgl. Grundkurs Theoretische Informtik S

25 3.6 Hlteprolem pckges colltz ; clss Colltz { pulic sttic void colltz ( int n) { System. out. println (n + ", "); if(n == 1) return ; else if(n % 2==0) colltz (n /2); else colltz (3* n +1); pulic sttic void min ( String rgs []) { colltz ( 27); // Kehrt zurueck zw. Helt nch // endlich lnger Folge colltz (2); // Ds Hlteprolem ist die Sprche Aildung 5: Vgl. Grundkurs Theoretische Informtik S.123 H = {(P, w) Ds Progrmm P hält für die inge w (30) Die Frge, o ein Progrmm P für eine gegeene inge w hält, ist dmit gleichwertig zur Frge (P, w) H Wir eweisen zunächst die Unentscheidrkeit eines Spezilflls: Stz - Spezielles Hlteprolem ist unentscheidr K = {P ds Progrmm P hält für die inge P (31) Beispiel - lemente für Progrmme P K void P( Input w){ return ; Beispiel - lemente für Progrmme P / K void P( Input w){ while ( true ); Beweis - Hlteprolem nicht entscheidr Beweis: (Widerspruch) Angenommen, K sei entscheidr durch eine ntschdungsverfhren P K. Drus konstruieren wir ein Progrmm P K, ds P K ls Unterprogrmm verwendet und ds in eine ndlosschleife üergeht, wenn P K true liefert hält, wenn P K flse liefert. 25

26 Aildung 6: Konstruktion des Progrmms P K Nch Konstruktion gilt dnn: Für die inge P hält PK genu dnn, wenn P K flse liefert. D nch Annhme P K eine ntscheungsverfhren für K ist, edeutet ds: Für die inge P hält PK genu dnn, wenn P für die inge P nicht hält. Für P = PK folgt: Für die inge PK hält P K genu dnn, wenn P K für die inge P K nicht hält und dmit ein Widerspruch ( s hält genu dnn wenn es nicht hält ) Folgerung: Ds Hlteprolem H ist unentscheidr. Beweis: Angenommen H wäre entscheidr durch P H. Dnn können wir folgendes ntscheidungsverfhren für K konstruieren: ool Pk( Progrmm P){ return PH(P,P); Widerspruch Weitere unterscheidre Proleme Um die Unterscheidrkeit weiterer Proleme zu zeigen, verwenden wir einen Beweis durch Widerspruch nch folgender Burt: um die Unentscheidrkeit einer Sprche B zu zeigen, verwenden wir eine Unentscheidre Sprche A. Wir nehmen n, dss die Sprche B entscheidr ist. Folglich git es ein ntscheidungsverfhren für B Wir zeigen, dss sich dmit ein ntscheidungsverfhren für A konstruieren lässt.widerspruch Stz - Hlteprolem Ds Hlteprolem H ist nicht entscheidr Beweis - Unentscheidrkeit des Hlteprolems Angenommen, H ist entscheidr. Dnn git es ein ntscheidungsverfhren P H für H. Dnn können wir folgendes Progrmm konstruieren: H = {(P, w) P hält für w (32) ool PK( Progrm P){ return PH(P,P) Dnn gilt: P K P hält für P (P, P ) H P H (P, P ) ist true Widerspruch, d K unentscheidr ist. K = {P P hält für P (33) 26

27 3.6.8 Stz - Unentscheidrkeit ε Beweis - Unentscheidrkeit ε H ε = {P P hält für die inge ε ist nicht entscheidr (34) Angenommen H ε ist entscheidr. Dnn git es ein ntscheidungsverfhren P Hε für H ε. Dmit können wir folgendes Progrmm konstruieren: oolen PH( Progrm P, Input w){ void F (){ P(w) return PHpsilon ( F) 21 Dmit gilt: (P, w) H P hält für w F hält für ε F H ε, Widerspruch, d H unentscheidr Stz - Unentscheidrkeit H Beweis - Unentscheidrkeit H H = {P P hält für jede inge ist nicht entscheidr (35) Angenommen H ist entscheidr durch ein ntscheidungsverfhren P H. Dnn können wir folgendes Progrmm konstruieren: oolen PHpsilon ( Progrmm P){ void F( Input w){ P( epsilon ) return PH *(F) Dnn gilt: P H ε P hält für die inge ε F hält für jede inge w F H, Widerspruch, d H ε nicht entscheidr ist Stz - Äquivlenz zweier Progrmme = {(P 1, P 2 ) P 1, P 2 erechnen die gleiche Funktion ist nicht entscheidr (36) Beweis - Äquivlenz zweier Progrmme Angenommen ist entscheidr durch P. Dmit konstruieren wir ds Progrmm: oolen PH *( Progrmm P){ int F( input w){ return 0 int G( input w){ P(w) return 0 return PA (F,G) Dnn gilt: P H P hält für jede inhe w G erechnet w 0 F, G erechnen die gleiche Funktion (F, G) Widerspruch, d H unentscheidr. 21 closure - mehrere Funktionen inneinnder 22 Vereinfchung einer Reduktion (wird n der TU) gemcht. Projektion, Bijektion, Sprchen ufeinnder Ailden. 27

28 3.7 Unentscheidrkeit der Progrmmverifiktion des Hlteprolems folgt: Aus der Unentschedrkeit Auch unentscheidr: {(P, S) textdsp rogrmmp erf lltdiespezif iktions ist unentscheidr. (37) {P P verurscht keine Division durch 0 {P P verurscht keine Arry-out-of-Bound-Fehler {P P dereferenziert keine Null-Pointer Möglicher Ausweg: Verifizierer liefert J, Nein oder Uneknnt 23 4 Komplexitätstheorie Frge: Git es Proleme, die zwr lösr (entscheidr), er dzu einen sehr großen Rechenufwnd erfordern Kostenmße: Uniforme Kostenmß: Alle Opertionen erfordern konstnten Aufwnd (Lufzeit in O(1)) 25 Logrithmisches Kostenmß:Alle Opertionen erfordern logrithmischen Aufwnd (Lufzeit in O(log(n)) 26 Im folgenden verwenden wir ds uniforme Kostenmß, wo ngemessen 4.1 Klsse P Definition - Klsse P P = k>0 {L L ist entscheidr durch ein Progrmm mit LZ ino(nk ) Beispiel Folgende Sprchen zw. Proleme liegen in P : { n n 0 Jede kf-sprche, d L durch den CYK-Algorithmus in der Zeit O(n 3 ) entschieden werden knn Beispiel Ds Prolem: PFAD = {(G, n 1, n 2 ) G ist ein Grph, in dem es einen Pfd von m 1 nch m 2 git liegt in P. Der Grph sei dei ls Adjzenzliste gegeen. 23 Sttische Verifizierer knn Sourcecode symolisch durchgehen. D Verifizierer kein ntscheidungsverfhren ist knn ds Tool stellen nicht nur rot für flsch und grün für richtig sondern gel für einen Uneknnte Sttus. Solche Tools wurden interessnt nch der Arine- Ktstrophe usgelöst durch einen numerischen Üerluf. 24 Die Frge ist unentwortet, es wird nur vermutet dss es solche Proleme git. 25 Gemeint sind lementre Opertionen: Addition, Speicherzugriff. Sprich: lementre Opertionen vergleichr mit elementren Opertionen eines Prozessors. 26 Mn ruch rund log(n) viele Bits um n im Speicher drzustellen 27 Sprchen die entscheidr sind O(n 1 000) liegt in P, uch O(n) 28

29 Beweis D die Adjzenziste von G = (V, ) mindestens V + lemente enthält, gilt für die Länge n der inge: n V +. in ntscheidungsverfhren für PFAD ist eine in m1 geete Breitensuche nch m2, die LZ O( V + ). Folglich ist die LZ des ntscheidungsverfhren c( V + ) c n O(n). Ds gleiche rgenis erhlten wir, wenn die LZ nur in V gemessen wird: Denn es gilt n V. Für die LZ der Breitensuche gilt: LZ O( V + ) O( V + V 2 )28 = O( V n2 ) O(n2 ). Auch dmit folgt PFAD P. Die Klsse P wird etrchtet ls Klsse der effizient lösren Proleme. 4.2 Die Klsse NP Die Klsse NP (nichtdeterministisch polynomiell) enthält lle Proleme, die sich in polynomieller Zeit verifizierr sind Beispie PFAD N P, denn mit Hilfe eines Zertifiktes lässt sich prüfunge, dss es in G einen Pfd von m1 nch m2 git und die LZ dfür ist polinomieell: Ds Zertifikt ist der Pfd selst, die LZ liegt in O( V 2 ) Beispiel: SAT = {F F ist eine erfüllre Formel der Aussgelogik. z.b. gilt x y SAT, x x / SAT. SAT ist entscheidr durch die Konstruktion einer Whrheitstelle. Wenn F n Vrilen enthält, enötigt dies die LZ O(2n ). SAT lässt sich jedoch effizient (d.h. in polynomieller Zeit) verifizieren, wenn ls Zertifikt eine erfüllende Belegung für F gegeen ist. Die LZ für die Verifiktion liegt dnn in O( F ). Deshl gilt SAT N P Unterschied - ntscheidungsverfhren/verifizierer Zertifikt wird von ußen von einem Orkel geliefert. ntscheidungsverfhren = Verifizierungsverfhren welches ds ntscheidungsverfhren nicht enötigt ABR nicht umgekehrt Definition - NP [ NP = {L L ist verifizierr in O(nk ), woei n die Länge der inge ist (38) k 1 V2 29 SAT ist ein Beispiel ist für eine Sprche ei der nicht offensichtlich feststellr o SAT in P liegt. s git uch kein polynomielles ntscheidungsverfhren, dss SAT in P liegt. Aer es liegt in NP. ntscheiden ist schwerer ls verifizieren

30 Stz - P Teilmenge von NP P NP (39) Beweis (Skizze): Sei L P. Dnn knn L in polynomieller Zeit entschieden werden. in ntscheidungsverfhren ist er uch ein Verifizierungsverfhren, welches kein Zertifikt (oder ds Zertifikt ε) verwendet. Folglich gilt: P NP. Uneknnt ist, o P = N P gilt. Weiterhin git es Sprchen, von denen nicht eknnt ist, o sie in N P liegen. in Beispiel ist T AU T = {F F ist eine Tutologie (40) s wird T AU T / N P vermutet. 4.3 N P -Vollständigkeit Die N P -vollständigen Proleme sind eine Klsse von Prolemen innerhl von N P, für die keine effizienten (polynomielle) ntscheidungsverfhren eknnt sind. Die N P -vollständigen Proleme sind mindestens so schwierig wie lle nderen Proleme in N P. Hlforml edeutet dies: ine Sprche L ist N P -vollständig, wenn gilt: 1. L N P 2. Für jede Sprche A N P lässt sich ds ntscheidungsprolem für A effizient üersetzen in ein ntscheidungsprolem Folgerung: Aus L P folgt dnn uch A P Weitere Folgerung: Wenn es eine N P -vollständige Sprche L git mit L P, dnn gilt: P = N P. Trotz jhrzehnte währender Suche wurde isher kein N P -vollständiges Prolem L P gefunden. Deswegen wird P 6= N P vermutet s ist uneknnt o P = N P oder P 6= N P gilt. 30

31 31

32 Stz - SAT Die Sprche SAT = {F F ist eine erfüllre Formel der Aussgelogik ist N P -vollständig. Dies edeutet, dss kein effizientes (polynomielles) ntscheidungsverfhren eknnt ist. Alle eknnten ntscheidungsverfhren esitzen expotentielle Lufzeit. Ds nive Verfhren esitzt eine LZ in O(p(n) 2n ).31 Ds este eknnte Verfhren esitzt eine LZ in O(1.308n p(n)) für 3SAT (Formel in Konjunktiver Normlform mit 3 literlen pro Klusel, z.b. x y z) (6= x z) (6= y z )...)32 Nicht lle lemente in SAT sind schwierige Instnzen. z.b. ist 2SAT = {F F ist eine Formel in KNF mit 2 Literlen pro Klusel 31 Ds p(n) spielt fst keine Rolle d 2n der dominierende Fktor ist. von Prof. Dr. Schöning. der 2000 ein Pttern gefunden ht um O(1.33n p(n)). 32 Areit 32 (41)

33 effizeint entscheidr (d.h. 2SAT P ) Anwendung von SAT Äquivlenz von Schltkreisen D Schltkreise durch logische Gtter (,, 6=) drgestellt werden, lssen sich Schltkreise durch logische For- meln Zwei Schltkreise S1, S2 sind äquivlent gdw. S1 S2 eine Tutologie ist gdw. 6= (S1 S2 ) unerfüllr gdw. 6= (S1 S2 ) / SAT leer 5 Nchwort Wenn ein Prolem NP-vollständig ist, git es keinen Menschen der einen effizienten Algorithmus ngeen knn (er wurde nich nicht gefunden). Welche Auswege git es us dem Prolem? Vielleicht git es Algorithmen mit guter xpotentieller Lufzeit (z.b. durch kleine Bsis). Anderer Ausweg durch proximtion um ein Optimum zu finden. Trveling-Slesmn-Prolem vgl. Hmilton-Kreis Prolem (vgl. Dreieck: Seite + Seite kleiner seite c) 5.1 SAT - Softwre-Pketverwltung Instlltionsprolem: Angenommen, ein Pket A enötigt die Pkete B, C sowie eins der Pkete D, und ist unverträglich mit F, dnn knn dies drgestellt werden durch; A C (D ) F (42) Jedes der Pkete B, C, D, esitzt wiederum Ahängigkeiten, die entsprechend durch Formeln drgestellt werden können. Sei G die Verknüpfung ller ddurch entstehenden Formeln mit A und den entsprechenden Atomformeln für die ereits uf dem System instllierten Pketen. A ist genu dnn instllierr wenn G erfüllr ist. Diee erfüllende Belegung liefer die instllierenden Pkete vgl. Softwre Model Checking Suse Linux 33

34 int [2]; if(i ==0) j =1; else j =2; x=[j] int [2]; if(i ==0) j =0; else j =2; ssert (0 <=j && j <2); x=[j]; Aus dem Pseudocode wird die Formel erzeugt, us der Spezifiktion der Formel Durch itweise Nchildung der Arithmetik im Computer. C = (i = 0 j = 1) (i 0 j = 2) (43) P = 0 j j < 2 (44) C P SAT (45) 34

35 Index Σ, 3 ɛ, 3 #, 9 0L-System, 22 Adjzenzliste, 29 Algorithmus CYK, 12, 17, 24, 28 Alphet, 3 Beweis Hlteprolem, 25 Hlteprolem-, 26 Kellerutomt, 11 Pumping-Lemm, 8 Unentscheidrkeit, 25 Breitensuche, 29 Chomsky-Normlform, 12 CNF, 12, 24 CYK-Algorithmus, 12, 17, 24, 28 Deterministish endliche Automten, 3 DFA, 3, 4, 23, 24 dynmisches Progrmmieren, 13 BNF, 19 ntscheidrkeit, 23 ntscheidungsprolem, 23, 30 ntscheidungsverfhren, 29, 30 xtended Bckus-Nur-Form, 19 Grph, 28 Hlteprolem, 25, 26 Hlteprolem, 28 Konkterntion, 3 Kostenmß, 28 Lufzeit, 17 leeres Wort, 3 Lookhed, 17 LR-Prser, 19 Top-Down, 17 PDA, 8, 9, 19 Prolem ntscheidungs, 23, 30 Hlte, 25, 26 NP-Vollständig, 30 Wort, 12 Pushdown Automtor, 8 Reflexive Hülle, 10 regulärer Ausdruck, 23 Shift-Reduce-Prser, 19 Spezifiktion, 28 Sprche Kontextfrei, 24, 28 Stck, 8 Stcklphet, 9 Stckzeichen, 9 Strtsymol, 9 Syntxum, 10 Terminlsymole, 9 Trnsitive Hülle, 10 Turtle-Grfik, 22 unentscheidr, 25 Unentscheidrkeit, 25, 26, 28 Verfhren ntscheidungs, 23, 29, 30 Verifizierungs, 29 Verifiktion, 29 Verifizierer, 28, 29 Verifizierungsverfhren, 29 Wort, 3 Wortprolem, 12, 17 Zertifikt, 29 Minimlutomt, 5 NFA, 4 Non-Terminlzeichen, 10 NP, 30 NP-Vollständigkeit, 30 P, 30 Prser Bottom-Up, 19 LR, 19 Recursion Decent, 17 Shift-Reduce, 19 35