Informatik II SS Überblick. Wiederholung von Informatik I. Überblick. Wiederholung von Informatik I Begriffe/Einordnung

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1 Üerlick Informtik II SS 2006 Kpitel 6: Automten und Sprchen Wiederholung von Informtik I Begriffe/Einordnung Regulär (Typ 3) Reguläre Sprchen und Ausdrücke Endlicher Automt Kontextfrei (Typ 2) Kontextfreie Sprchen und Grmmtiken Kellerutomt Dr. Michel Ener Dr. René Soltwisch Lehrstuhl für Telemtik Institut für Informtik 6-2 Wiederholung von Informtik I Üerlick Bedeutung und Zusmmenhng Wiederholung von Informtik I Wort und Alphet Begriffe/Einordnung Sprche Regulär (Typ 3) Ausdruck Grmmtik Automt Chomsky-Hierrchie Syntx Semntik Prgmtik Reguläre Sprchen und Ausdrücke Endlicher Automt Kontextfrei (Typ 2) Kontextfreie Sprchen und Grmmtiken Kellerutomt Erweiterte Bckus-Nur-Form (EBNF) Sie ist eine formle Metsyntx (Metsprche), die enutzt wird, um kontextfreie Grmmtiken drzustellen. Die EBNF ist von der ISO stndrdisiert unter der Nummer ISO/IEC 14977:1996(E)

2 Reguläre Ausdrücke (1/2) Reguläre Ausdrücke (2/2) Werden mit folgenden Ausdrücken rekursiv usgedrückt: Ein Zeichen c us dem Alphet Σ, oder der leeren Zeichenfolge ε, oder der Verkettung zweier regulärer Ausdrücke, r1. r2, oder der Alterntive zweier regulärer Ausdrücke, r1 r2, oder der Kleenesche Hülle * (ode einfch Hülle oder Stern), r1*. Ein regulärer Ausdruck ist gedcht um Zeichenketten us Zeichen us einem Alphet Σ zu erzeugen Die Menge ller durch einen regulären Ausdruck R erzeugte Zeichenketten wird die Sprche von R gennnt und wird symolisiert durch L(R) Zeichenfolgen r= c1c2c3...cn = c1.c2.c3...cn Zeichenereiche r=[c1-cn] = c1 c2 c3... cn Kleenesche Hülle + r + = r.r* Akürzungen von regulären Ausdrücken Beispiele für Reguläre Ausdrücke (1/2) Zeichenfolgen r= c1c2c3...cn ist äquivlent zu r=c1.c2.c3...cn Zeichenereiche r=[c1-cn] ist äquivlent zu r=c1 c2 c3... cn für die ufeinnder folgende Reihe von n Zeichen eginnend mit c1 und endend mit cn z.b. r=[-d] ist äquivlent zu r= c d Kleenesche Hülle + r + ist ein oder mehrere Vorkommen des Wertes von r Forml definiert ls r + = r.r* Ds Symol. steht für jeden Chrkter ußer newline Runde Klmmern können zum Gruppieren von regulären Ausdrücken verwendet werden, um Zweideutigkeiten ei Komintionen uszuschließen z.b. edeutet r1.r2 r3 nun (r1.r2) r3 oder r1.(r2 r3)??? Reguläre Ausdrücke if then else.( c)*..( c)*.( c). ( c)*...( c)* ( c)*..( c)*..( c)*..( c)* Erzeugt Die Zeichenketten if, then, or else. Alle Zeichenketten mit s, s und c s, welche mit einem eginnen und enden. Alle Zeichenketten mit s, s, und c s, welche mit einem eginnen und einem einzelnen enden. Alle Zeichenketten mit s, s und c s, welche die Teilzeichenkette enthlten. Alle Zeichenketten mit s, s und c s, welche exkt drei s einhlten

3 Beispiele für Reguläre Ausdrücke (2/2) Textmuster mit regulären Ausdrücken erkennen In UNIX sind u.. folgende RAs geräuchlich:. (Punkt) ein elieiges Zeichen [0-9] die Menge Ziffern [-z] die Menge der Kleinuchsten [A-Z-z] die Menge ller Klein- und Großuchsten? "null oder ein Vorkommen von " + "ein oder mehr Vorkommen von " (Rod Rd\.) findet "Rod" oder "Rd. [0-9]+[A-Z]? [A-Z][-z]*( [A-Z][-z]*)* (Street St\. Rod Rd\.) findet meriknische Adressen nch dem Muster "123Z Arlington Rod" Welcher reguläre Ausdruck findet interntionle Telefonnummern (in der Form "+LK-(0)Ort-Nr") in einem Text? \+[1-9]([0-9][0-9]?)? -\(0\)[1-9][0-9][0-9]?[1-9]? -[1-9][0-9][0-9][0-9]?[0-9]?[0-9]? Üerlick Definition: Endlicher Automt Wiederholung von Informtik I Begriffe/Einordnung Regulär (Typ 3) Reguläre Sprchen und Ausdrücke Endlicher Automt Kontextfrei (Typ 2) Kontextfreie Sprchen und Grmmtiken Kellerutomt Forml, ein endlicher Automt M ist ein Quintupel M=(Q,Σ,q 0,F,δ), woei Q ist eine endliche Menge von Symolen gennnt Zustände (sttes) Σ ist eine endliche Menge von Eingesymolen gennnt Alphet q 0 ist der Strtzustnd F ist eine endliche Menge von finlen oder kzeptierenden Zuständen. F ist eine, möglicherweise leere, Teilmenge von Q. δ ist eine Üergngsfunktion Ein endlicher Automt ist geeignet um Zeichenketten us Zeichen us dem Alphet Σ zu kzeptieren L(M), oder die Sprche von M, ist die Menge von endlichen Zeichenketten von Symolen us dem Alphet Σ welche vom Automten M kzeptiert werden

4 Zwei Arten von endlichen Automten: Deterministisch und Nichtdeterministisch Deterministische endliche Automten (DEA/DFA) Üergänge sind deterministisch und die Üergngsfunktion ist forml definiert ls δ:q x Σ -> Q Ein Eingesymol und ein Zustnd ergeen den einzigen nächsten Zustnd Üergngsfunktionen können ls eine Telle oder Zustndsüergngsdigrmm geschrieen werden Nichtdeterministische endliche Automten (NEA/NFA) Üergänge sind nichtdeterministisch und die Üergngsfunktion ist forml definiert ls δ:q x Σ -> φ Q (Potenzmenge von Q) Ein Eingesymol und ein Zustnd ergeen eine Menge von möglichen nächsten Zuständen. Die Menge knn uch leer sein. Ds Alphet ist erweitert um Üergänge der leeren Zeichenkette zu erluen Agesehen von den Üergngsfunktionen sind DEAs und NEAs gleich Beispiel: Deterministischer Endlicher Automte Beispiel DFA Q={q1,,q3,,} Σ={,} q 0 =q1 F={} δ= {((q1,),),((q1,),q3), ((,),),((,),), ((q3,),),((q3,),), ((,),),((,),), ((,),),((,),)} Zustndsüergngsdigrmm q1 q3 q1 q3, Telle, q Beispiel: Nichtdeterministischer Endlicher Automten Ein Beispiel eines deterministischen Automten (DEA) Beispiel NFA Q={q1,,q3,,} Σ={,,} q 0 =q1 F={} δ= { ((q1,),{,q3}), ((,),),((,),{,}), ((q3,),{}),((q3,),), ((,),),((,),), ((,),),((,),) } q1 q3 q1 Zustndsüergngsdigrmm {,q3} q3 Telle {},, {,} Q={q1,,q3,,} Σ={,} q=q1 F={} δ= {((q1,),),((q1,),q3), ((,),),((,),), ((q3,),),((q3,),), ((,),),((,),), ((,),),((,),)} Einge: q1 q3,, Nicht kzeptiert! Welche Sprche kzeptiert M? (*)

5 Ein Beispiel eines nichtdeterministischen Automten (NFA) Eine interessnte Sche üer endliche Automten Q={q1,,q3,,} Σ={,} q=q1 F={} δ= {((q1,),{,q3}),((q1,),{q3}), ((,),{}),((,),{}), ((q3,),{}),((q3,),), ((,),),((,),), ((,),),((,),)} Einge: q1, q3,, Nicht kzeptiert! Welche Sprche kzeptiert M? (*) Gleiche wie zuvor eim DFA Auch wenn es so ussieht ls o Nichtdeterminismus einem endlichen Automten mehr Ausdruckskrft verleiht, sind NFAs und DFAs forml äquivlent Jeder NFA knn in einen DFA umgewndelt werden und ungekehrt Wrum mchen wir dnn er die Unterscheidung? Es ist einfcher reguläre Ausdrücke in NFAs umzuwndeln Es ist einfcher DFAs zu simulieren (zw. zu implementieren) Automten mit Ausgefunktionen Eine Neenemerkung zu endlichen Automten Neu Ausgefunktion Ausgelphet Moore-Automten Die Ausgefunktion ist forml definiert ls φ:q -> Σ A Zu einem Zustnd wird ein Zeichen usgegeen Mely-Automten Die Ausgefunktion ist forml definiert ls φ:q x Σ E Σ A Zu einem Ausgngszustnd und einer Einge wird ein Zeichen usgegeen Endliche Automten sind uch für ndere Dinge ls lexiklische Anlyse nützlich Die meisten Systeme, welche Trnsktionen zwischen einer endlichen Anzhl von Zuständen vornehmen, können mit endlichen Automten modelliert werden Beispiele Beschreiung, Simultion, Üerprüfung und Implementierung von Protokollen (Mely-Automten) Buen von schnellen, zustndssierten Schltungen (Moore-Automten),siehe Kpitel 2 MESI cche coherence protocol (Courtesy: John Morris, University of Western Austrli) Vending mchine utomt vend

6 Reguläre Ausdrücke nch NFA Beispiel: Reguläre Ausdrücke nch NFA Regulärer Ausdruck Chrkter: c Leere Zeichenkette: Alterntive: r1 r2 Verkettung: r1.r2 r1 NFA c r1 r2 r2 r=( cd )* Fktor: r1=. r2=c.d r3=r1 r2 r=r3* r1: r2: r3: c d c c d d Kleenesche Hülle: r* r r: c d NFAs nch DFAs (1/2) NFAs nch DFAs (2/2) Definition: -FZ(s) ist die Menge ller Zustände, welche in s einhltet sind, plus ller von den Zuständen in s erreichren Zustände unter usschließlicher Verwendung des Üergnges Gegeen NFA M=(Q,Σ,q,F,δ) und DFA M D =(Q D,Σ,q D,F D,δ D ) Q D =P(Q), z.b., Q D ist die Menge ller Untermengen von Q F D = {S: S Q D woei S F {} } q D = -FZ (q) δ D ({q1,,,qk},) = -FZ(δ(q1,) δ(,) (δ(qk,)) NFA q1 DFA q3 {,},,,, Schritt 1: Der Strtzustnd q D = -FZ({q1}) = {q1,,q3} Schritt 2: Zustnd {q1,,q3} δ D ({q1,,q3},) = -FZ(δ(q1,) δ(,) δ(q3,)) = -FZ( {}) = {,} δ D ({q1,,q3},) = -FZ(δ(q1,) δ(,) δ(q3,)) = -FZ({,} {,} ) = {,,} {q1,,q3} {,,} Schritt 3: Zustnd {,} Schritt 4: Zustnd {,,}

7 NFA nch DFA Zusmmenfssung Einige Bemerkungen zu DFAs Regulärer Ausdruck r=( cd )* Konvertiere NFA nch DFA unter Verwendung der Konstruktion von Untermengen Beschrifte jeden DFA Zustnd ls die vom vorherigen Zustnd in einem Schritt erreichre Menge von Zuständen Wenn irgendein NFA Zustnd in der Menge der erreichren Zustände ein Endzustnd ist, dnn ist der gnze DFA Zustnd ein Endzustnd q1 DFA {q1,,q3, q7,q12} q3 q7 c NFA c q8 {,} {q8,q9} q6 q11 d q9 q10 {,q3,q6, q7,q11,q12} c d {,q3,q7, q10,q11,q12} c q12 Ein DFA M geut unter Verwendung der Konstruktion von Untermengen ist möglicherweise nicht miniml Mit nderen Worten, es könnte einen Automten M geen woei L(M)=L(M ) und M ht weniger Zustände ls M Minimle DFAs sind esser geeignet für Implementierungszwecke Weniger Zustände enötigen weniger Speicher und führen generell zu schnelleren Simultionen Die meisten utomtischen Werkzeuge zum Konvertieren von NFAs nch DFAs führen einen Optimierungsprozess us um die Anzhl der DFA Zustände zu reduzieren Ds Finden eines DFAs zu einem NFA ist ein sehr hrtes Prolem (uch NP-vollständig ezeichnet) Minimierung von DEAs Pumping Lemm für reguläre Sprchen (1/2) siehe Tfelnschrie Ds Pumping Lemm ist eine Methode, um herus zu finden, o eine Sprche nicht regulär

8 Pumping Lemm für reguläre Sprchen (2) Stz: Sei L eine reguläre Sprche. Dnn git es eine Zhl (Konstnte) n, derrt dss lle Wörter (Zeichenreihen) w in L mit w n gilt, dss wir w in drei Wörter w = xyz zerlegen können, für die gilt: y 1 (oder y ε) xy n, Für lle k 0 gilt, dss die Zeichenreihe xy k z uch in L enthlten ist. Anhnd des Pumping Lemms knn ewiesen werden, o eine Sprche NICHT regulär ist. D.h., trifft ds Pumping Lemm nicht zu, dnn ist die Sprche uch nicht regulär. Der Umkehrschluss gilt er nicht! Es git Sprchen die ds Pumping Lemm zwr erfüllen, er trotzdem nicht regulär sind. Beweis Jede Zeichenreihe, deren Länge nicht kleiner ist ls die Anzhl der Zustände, muss ewirken, dss ein Zustnd zweiml durchlufen wird (Schufchschluss). Ds Pumping-Lemm liefert lediglich eine notwendige Bedingung dfür, dss eine Sprche regulär ist Beispiele Pumping Lemm für reguläre Sprchen Sind diese Sprchen (nicht) regulär? w = n n w= c Die Anwendung des Pumping Lemms ist ein kretiver Vorgng, d es kein mechnisches Vorgehen für den Einstz git. vergleiche Aleitungsregeln us der Mthemtik (Anlysís) Wenn ein genügend lnges Wort einer regulären Sprche "gepumpt" wird, erhält mn immer wieder ein Wort dieser Sprche. Zum "Pumpen" wird ein Teilwort y us w durch yy ersetzt. w = xyz Ursprungswort w ' = xyyz einml "gepumpt" w '' = xyyyz zweiml "gepumpt"

9 Beispiel: Plindrome Eine Sprche L estehe us llen Plindromen üer ds Alphet {, } Wenn Plindrome L, dnn muss w = n n eenflls L sein. w = n n = xyz mit y εund xy n xy estehen nur us 's y esteht us mindestens einem "gepumpt": w = xy 2 z = m n mit m > n m n L, d m n kein Plindrom ist! Theoretische Ergenisse (1/3) Definitionen Endliche Automten kzeptieren oder erkennen Sprchen Reguläre Ausdrücke erzeugen Sprchen L(M) ist die kzeptierte Sprche vom endlichen Automten M L(R) ist die erzeugte Sprche vom regulären Ausdruck R L(R) nd L(M) sind Mengen von endlichen Zeichenketten von Symolen der Alphete Σ R und Σ M L R ist die Menge { L(r):lle reguläre Ausdrücke r } L N ist die Menge { L(n):lle nichtdeterministische endliche Automten n } Theoretische Ergenisse (2/3) L R ist eine Untermenge von L N Nichtdeterministische endliche Automten kzeptieren lle von regulären Ausdrücken erzeugten Sprchen Wrum? Wir hen gezeigt wie elieige reguläre Ausdrücke zu einem NFA konvertiert werden können Beschreien L R und L N die gleichen Mengen? Es stellt sich herus, dss die Antwort j ist Beweis durch zeigen ds L N eine Untermenge von L R ist oder ds jeder nichtdeterministische endliche Automt in einen regulären Ausdruck umgewndelt werden knn Siehe jedes gute theoretische Informtik Buch für Detils: Introduction to Automt Theory, Lnguges, nd Computtion y Hopcroft nd Ullmn Introduction to the Theory of Computtion y Michel Sipser Theoretische Ergenisse (3/3) Definitionen Erinnerung, L N ist die Menge { L(n):lle nichtdeterministische endliche Automten n } L D ist die Menge { L(d): lle deterministischen endlichen Automten d } L N ist eine Untermenge von L D und L R ist eine Untermenge von L D Deterministische endliche Automten kzeptieren lle Sprchen die uch von nichtdeterministischen endlichen Automten kzeptiert werden Neen Trnsitivität, kzeptieren DFAs uch lle durch reguläre Ausdrücke generierte Sprchen Wrum? Wir hen gezeigt wie jeder NFA zu einem DFA und jeder reguläre Ausdruck zu einem NFA konvertiert werden knn Beschreien L N und L D die gleichen Mengen? Es stellt sich herus, dss die Antwort j ist Beweis durch zeigen ds L D eine Untermenge von L N ist oder ds jeder DFA in einen NFA umgewndelt werden knn Noch ml, siehe jedes gute theoretische Informtik Buch für Detils

10 Reguläre Sprchen: Zusmmenfssung Eine Sprche L(X) ist Regulär wenn: Es git einen regulären Ausdruck R so dss gilt L(R) = L(X), oder Es git einen DFA M D so dss gilt L(M D ) = L(X), oder Es git einen NFA M N so dss gilt L(M N ) = L(X) Die Sprchen der regulären Ausdrücke, DFA Sprchen und NFA Sprchen sind lle regulär Gegeen ist ein elieiger regulärer Ausdruck R und ein NFA M N, mit L(R)=L(M N ) Wir können jeden regulären Ausdruck in einen NFA konvertieren und umgekehrt Gegeen ist ein elieiger NFA M N und DFA M D, mit L(M N ) = L(M D ) Wir können jeden NFA in einen DFA konvertieren und umgekehrt Rücklick Reguläre Sprchen Reguläre Ausdrücke Deterministische und nichtdeterministische endliche Automten Wichtige Algorithmen Konvertierung von regulären Ausdrücken zu nichtdeterministischen endlichen Automten (NEA) (inklusive Beweise) Konvertierung von nichtdeterministischen endlichen Automten zu deterministischen endlichen Automten (DEA) Minimlisierung von endlichen Automten (DEA) Pumping Lemm für reguläre Sprchen Üerlick Kontextfreie Grmmtiken (1/5) Wiederholung von Informtik I Begriffe/Einordnung Regulär (Typ 3) Reguläre Sprchen und Ausdrücke Endlicher Automt Kontextfrei (Typ 2) Kontextfreie Sprchen und Grmmtiken Kellerutomt Eine kontextfreie Grmmtik (KFG/CFG) ist eine rekursive Definition einer Sprche mit: Einem Alphet Σ von Symolen Eine Menge von Produktionen (oder Regeln) der Form symol -> symol symol symol Ein Strtsymol Eine Menge von nicht-terminlen Symolen us dem Alphet Σ, welche uf der linken oder rechten Seite einer Produktionsregel erscheinen drf (convention: written in ll cpitl letters) Eine Menge von terminlen Symolen us dem Alphet Σ, welche nur uf der rechten Seite einer Produktionsregel erscheinen drf. (convention: written in ll lower cse letters) Die Menge ller von einer CFG G erzeugten Strings wird die Sprche von G gennnt und wird symolisiert durch L(G)

11 Kontextfreie Grmmtiken (2/5) Kontextfreie Grmmtiken (3/5) Kurzschreiweisen: Alterntiven s->1..n 1..n z1..zn = s->1..n s->1..n s->z1..zn Kleenesche * Hülle s->s1*= s->s1 s1 ->s1 s1 s1 -> Wenn eine KFG G zum Prsen von Progrmmiersprchen verwendet wird, dnn gilt L(G) ist die Menge von gültigen Quellprogrmmen, und die terminlen Symole sind die Tokens, welche vom Scnner zurückgeliefert werden Klmmergrmmtik Beispiel: expr -> LPAREN sum RPAREN expr -> INT sum -> expr PLUS expr Terminle: {PLUS,LPAREN,RPAREN,INT} Nichtterminle: {sum,expr} Strtsymol: {expr} Σ = Terminle Nichtterminle Kontextfreie Grmmtiken (4/5) Kontextfreie Grmmtiken (5/5) Eine KFG G erzeugt Zeichenketten durch: Beginne mit dem Strtsymol s s 1 s 2 s n Ersetze ein nichtterminles Symol s k uf der rechten Seite mit der rechten Seite dieses Nichtterminls Gegeen: s k k 1 k m Dnn: s s 1 s k s n s 1 k 1 k m s n Wiederhole oigen Schritt is nur noch Terminle uf der linken Seite vorhnden sind Jeder Schritt in diesem Prozess wird Aleitung (derivtion) gennnt und jede Zeichenkette von Symolen entlng dieses Weges wird Stzform gennnt. Die schließende Stzform, welche nur Terminlsymole enthält, wird ein Stz (sentence) der Grmmtik oder uch ds Ergenis (yield) des Aleitungsprozesses gennnt Normlformen Chomsky-Normlform Nur Regeln der Art: A BC und A (A,B,C Vrilen, Terminl) Greich-Normlform Nur Regeln der Art: A α (A Vrile, Terminl, α Zeichenreihe) Es git uch ein Pumping Lemm für kontextfreie Sprchen Anhnd des Pumping Lemms knn ewiesen werden, o eine Sprche NICHT kontextfrei ist. D.h., trifft ds Pumping Lemm nicht zu, dnn ist die Sprche uch nicht kontextfrei. Der Umkehrschluss gilt er nicht! Ds Pumping-Lemm liefert lediglich eine notwendige Bedingung dfür, dss eine Sprche kontextfrei ist

12 Pumping Lemm für kontextfreie Sprchen Stz: Sei L eine kontextfreie Sprche. Dnn git es eine Zhl (Konstnte) n, für die gilt: Wenn z eine Zeichenreihe (Wort) us L mit einer Länge z von mindestens n ist, dnn können wir eine Zerlegung von z ngeen mit z = uvwxy, für die folgende Bedingungen erfüllt sind: vx 1 (oder vx ε). D v und x die Teile sind, die ufgepumpt werden, esgt diese Bedingung, dss wenigstens eine der zu wiederholenden Zeichenreihen nicht leer sein drf. vwx n, d.h. der mittlere Teil ist nicht zu lng. Für lle i 0 ist die Zeichenreihe uv i wx i y in L enthlten. D.h., uch wenn die eiden Zeichenreihen v und x elieig oft wiederholt werden, einschließlich nullml, ist die sich ergeende Zeichenreihe ein Element von L. Aleitungen (1/4) Grmmtik Nichtterminle: expr, sum; Terminle: INT expr -> ( sum ) expr -> INT sum -> expr + expr Mögliche Aleitungen: expr ( sum ) ( expr + expr ) ( INT + expr ) (INT + ( sum ) ) (INT + ( expr + expr ) ) (INT + ( INT + expr ) ) (INT + (INT + INT ) ) Aleitungen (2/4) Aleitungen (3/4) Rechtsseitige Aleitungen (rightmost derivtions) Ersetze jeweils ds äußerste rechte Nichtterminlsymol in jedem Aleitungsschritt Wird mnchml uch die knonische Aleitung gennnt Linksseitige Aleitungen (leftmost derivtions) Ersetze jeweils ds äußerste linke Nichtterminlsymol in jedem Aleitungsschritt Siehe vorherige Folie Andere Aleitungsreihenfolgen sind möglich Die meisten Prser suchen entweder nch einer rechtsseitigen oder linksseitigen Aleitung Eine Aleitung (oder Herleitung) ist eine Opertionenfolge von Ersetzungen, welche zeigen wie eine Zeichenkette von Terminlen (Tokens), usgehend vom Strtsymol einer Grmmtik, geleitet werden knn Unter der Annhme es git eine Produktion X y, eine einzelne Erstzopertion oder ein Aleitungsschritt, dnn können diese eschrieen werden durch αxβ αγβ, für elieige Zeichenketten von Grmmtiksymolen α, β und γ Kurzschreiweisen: α * β edeutet β knn geleitet werden von α in 0 oder mehr Schritten α + β edeutet β knn geleitet werden von α in 1 oder mehr Schritten α n β edeutet β knn geleitet werden von α in genu n Schritten L(G) = { w in Σ * S G * w }, (w = Wort, Σ = Alphet Terminle, S = Strtsymol)

13 Aleitungen (4/4) Linksseitige Aleitungen (leftmost derivtions): Für jeden Aleitungsschritt αxβ αγβ, muss X ds äußerte linke Nichtterminl im String von Symolen αxβ sein Wird verwendet in LL(k) zw. top-down prsen Rechtsseitige Aleitungen (rightmost derivtions): Für jeden Aleitungsschritt αxβ αγβ, muss X ds äußerte rechte Nichtterminl im String von Symolen αxβ sein Wird verwendet in LR(k) zw. ottom-up prsen Wird mnchml uch die knonische Aleitung gennnt Beispiel Aleitungen Grmmtik: expr -> ( sum ) INT sum -> expr + expr Linksseitige Aleitung: expr ( sum ) ( expr + expr ) ( INT + expr ) (INT + ( sum ) ) (INT + ( expr + expr ) ) (INT + ( INT + expr ) ) (INT + (INT + INT ) ) Einge: (INT + (INT + INT)) Rechtsseitige Aleitung: expr ( sum ) ( expr + expr ) ( expr + ( sum ) ) (expr + ( expr + expr) ) (expr + ( expr + INT ) ) (expr + ( INT + INT ) ) (INT + (INT + INT ) ) Aleitungen und Aleitungsäume (1/2) Aleitungen und Aleitungsäume (2/2) Ein Aleitungsum (uch Prseum gennnt) ist eine grphische Repräsenttion des Aleitungsprozesses Blätter eines Aleitungsumes entsprechen den Terminlsymolen (Token) der Grmmtik expr ( sum) ( expr + expr ) expr ( sum ) expr + expr Innere Knoten von Aleitungsäumen entsprechen den Nichtterminlsymolen der Grmmtik (Produktionen uf der linken Seite) ( INT + expr ) (INT + ( sum ) ) INT ( sum ) Die meisten Prser konstruieren einen Aleitungsum während des Aleitungsprozesses für eine spätere Anlyse (INT + ( expr + expr ) ) (INT + ( INT + expr ) ) expr + expr INT (INT + (INT + INT ) ) INT

14 Mehrdeutigkeiten (1/2) Mehrdeutigkeiten (2/2) Eine Grmmtik gilt ls Mehrdeutig, wenn ein Stz mit (mind.) zwei verschiedenen Aleitungsäumen geleitet werden knn Beispiel linksseitige versus rechtsseitige Aleitung: Grmmtik: expression -> identifier numer - expression ( expression ) expression opertor expression opertor -> + - * / Einge: slope * x + intercept Berühmteres Beispiel dngling else Progrmmfrgment: if then if then s1 else s2 Knn interpretiert werden ls: 1) if then { if then s1 else s2} 2) if then { if then s1 } else s2 Mehrdeutigkeit knn mnchml durch die Auswhl eines kzeptierenden Aleitungsumes us mehreren gehndht werden Zum Beispiel, oige Interprettion #1 wird von den meisten Prsern für Sprchen die die dngling else Mehrdeutigkeit hen usgewählt Generell ist Mehrdeutigkeit jedoch ein Zeichen dfür, dss die Grmmtik schlecht spezifiziert wurde und umgeschrieen werden sollte um Mehrdeutigkeiten zu eseitigen Mehrdeutigkeiten: Anmerkungen Üerlick Es git keinen llgemeingültigen Algorithmus zur Entdeckung von Mehrdeutigkeiten und deren Auflösung Es git Grmmtiken die nur Mehrdeutig sind. Diese werden inhärent Mehrdeutig gennnt. Vermeidung von Mehrdeutigkeiten Auswertereihenfolge festlegen (ei versch. Terminlen) Prioritäten Gruppierung festlegen (ei gleichrtigen Terminlen) Eindeutige Grmmtiken Eine eindeutige Grmmtik knn nicht eindeutige Aleitungen hen, er die Aleitung ist eindeutig, wenn nur links- oder rechtsseitige Aleitungen verwendet werden Wiederholung von Informtik I Begriffe/Einordnung Regulär (Typ 3) Reguläre Sprchen und Ausdrücke Endlicher Automt Kontextfrei (Typ 2) Kontextfreie Sprchen und Grmmtiken Kellerutomt

15 Kellerutomt (1/4) Kellerutomt (2/4) Kontextfreie Grmmtiken können von Kellerutomten (Push Down Automt, PDA) erknnt werden PDAs sind eine Erweiterung der endlichen Automten um ein einfches Gedächtnis (Hilfsnd) Eigenschften eines Kellerutomten: Ds Eingend knn sich nur in eine Richtung ewegen. Es existiert ein "Hilfsnd", welches sich in eide Richtungen ewegen knn. Der Automt liest im ersten Schritt die jeweils erste Zelle eider Bänder. Als Rektion des Automten knn entweder ds Hilfsnd vorwärts ewegt und ein Zeichen in die nächste Zelle geschrieen werden oder ds Symol gelöscht und ds Hilfsnd eine Zelle zurück ewegt werden Kellerutomt (3/4) Kellerutomt (4/4) Ds Hilfsnd heißt uch Kellerstpel oder einfch Stpel (engl. stck ). Ein Element knn immer nur oen uf den Stpel gelegt (zw. n ds Ende des Bndes geschrieen) werden (= push ). Immer nur ds oerste (letzte) Element knn wieder vom Stpel entfernt werden (= pop ). Die erste Zelle des Hilfsndes enthält eine spezielle Kennzeichnung, um nzuzeigen, wnn der Stpel leer ist. Ein Kellerutomt knn ei leerem Stpel nicht weiterreiten. Kellerutomten reiten nichtdeterministisch ε-bewegungen sind erlut Die Menge der deterministischen Kellerutomten ist eine echte Untermenge der nichtdeterministischen Kellerutomten. Ein Kellerutomt (=pushdown utomton, PDA) ist ein Septupel P = {Q, Σ, Γ, δ, q 0, Z 0, F } mit: Q Σ Γ δ q 0 Z 0 F Zustndsmenge, Q < Eingelphet, Σ < Stcklphet, Γ < Üergngsfunktion (ZustndsÜF) δ(q,,x) mit q Q, {Σ, ε}, X Γ Anfngszustnd Strtsymol (für Stck) Endzustände, F Q

16 PDA-Üergngsfunktionen Die Ausge von δ esteht us einer endlichen Menge von Pren (p, γ), woei p für den neuen Zustnd und γ für die Zeichenreihe der Stcksymole steht, die X uf dem oeren Ende des Stcks ersetzt. Wenn γ = ε, dnn wird ds oerste Stcksymol wird gelöscht. (pop-opertion) Wenn γ = X, dnn leit der Stck unverändert. Wenn γ = YZ, dnn wird X durch Z ersetzt und Y zuoerst uf dem Stck gelegt. (push-opertion) D PDAs nicht-deterministisch reiten, knn die Ausge von δ eine Menge n Pren ergeen, z.b. δ(q,, X) = { (p, YZ), (r, ε) } Die Pre müssen dei ls Einheit etrchtet und ehndelt werden. Wenn sich der PDA im Zustnd q efindet, X ds oerste Stcksymol ist und die Einge gelesen wird, knn in den Zustnd p gewechselt und X durch YZ ersetzt werden, oder in den Zustnd r gewechselt und X vom Stck entfernt werden. Beispiel PDA: Plindrome Formelle Beschreiung: P = ({q 0,q 1,q 2 },{0,1},{0,1,Z 0 }, δ, q 0, Z 0, {q 2 }) δ(q 0, 0, Z 0 ) = {(q 0,0 Z 0 )} δ(q 0, 1, Z 0 ) = {(q 0,1 Z 0 )} δ(q 0, 0, 0) = {(q 0,00)} δ(q 0, 0, 1) = {(q 0,01)} δ(q 0, 1, 0) = {(q 0,10)} δ(q 0, 1, 1) = {(q 0,11)} δ(q 0, ε, Z 0 )= {(q 1, Z 0 )} δ(q 0, ε, 0) = {(q 1, 0)} δ(q 0, ε, 1) = {(q 1, 1)} δ(q 1, 0, 0) = {(q 1, ε)} δ(q 1, 1, 1) = {(q 1, ε)} δ(q 1, ε, Z 0 )= {(q 2, Z 0 )} lesen und push lesen und push Wechsel nch q 1, ohne Stck zu verändern lesen, vergleichen, pop Z 0 erreicht, kzeptiert Schreikonventionen für PDAs Beschreiung der Konfigurtion eines PDA (1/2),,... Σ p, q,... Q w, z,... = Zeichenreihen us Σ (Terminle) X, Y,... = Γ α, β, γ,... = Zeichenreihen us Γ (Nichtterminle) Im Gegenstz zum endlichen Automten, ei denen lediglich der Zustnd (neen dem Eingesymol) für einen Üergng von Bedeutung ist, umfsst die Konfigurtion eines PDA sowohl den Zustnd ls uch den Inhlt des Stcks. Die Konfigurtion wird dher durch ds Tripel (q, w, γ) drgestellt, woei q für den Zustnd, w für die verleiende Einge, γ für den Inhlt des Stcks steht. (Ds oere Ende des Stcks steht m linken Ende von γ.)

17 Beschreiung der Konfigurtion eines PDA (2/2) Sei P = {Q, Σ, Γ, δ, q 0, Z 0, F } ein PDA. Angenommen, δ(q,, X) enthält (p, α). Dnn gilt für lle Zeichenreihen w us Σ* und β us Γ*: (q, w, X β) (p, w, αβ) D.h., der Automt knn vom Zustnd q in den Zustnd p üergehen, indem er ds Symol (ds ε sein knn) us der Einge einliest und X uf dem Stck durch α ersetzt. (Die restliche Einge w und der restliche Inhlt des Stcks β eeinflussen die Aktion des PDA nicht!) Akzeptnzzustände von PDAs Es git zwei Ansätze, wnn ein PDA eine Einge kzeptiert: Akzeptnz durch Endzustnd Akzeptnz durch leeren Stck Zwr unterscheiden sich die Sprchen, die die jeweiligen PDAs kzeptieren, er sie sind jeweils ineinnder üerführr. Akzeptnz durch Endzustnd Sei P = {Q, Σ, Γ, δ, q 0, Z 0, F } ein PDA. Dnn ist die Sprche L(P ), die von P durch Endzustnd kzeptiert wird, {w (q 0, w, Z 0 ) * p (q, ε, β) für einen Zustnd q in F und eine Stckzeichenreihe α. Akzeptnz durch leeren Stck Sei P = {Q, Σ, Γ, δ, q 0, Z 0, F } ein PDA. Dnn ist die Sprche N(P ), die von P durch Endzustnd kzeptiert wird, {w (q 0, w, Z 0 ) * (q, ε, ε) für einen elieigen Zustnd q. N(P) ist die Menge der Eingezeichenreihen w, die P einlesen knn und ei der er gleichzeitig den Stck leeren knn Theoretische Ergenisse Rücklick Zu jeder kontextfreien Grmmtik G (mit ε nicht in L(G)) git es zwei Grmmtiken G und G mit L(G) = L(G ) = L(G ) in Chomsky Normlform (G ) und in Greich Normlform (G ). Pumping Lemm für kontextfreie Grmmtiken. Eine Sprche L ist kontextfrei genu dnn, wenn L von einem nichtdeterministischen Kellerutomten erknnt wird. Kontextfreie Sprchen/Grmmtiken Pumping Lemm für kontextfreie Sprchen Normlformen Aleitungen und Aleitungsäume Mehrdeutigkeiten Kellerutomten Konfigurtion Akzeptnz Die Menge der deterministischen Kellerutomten (DPDA) ist eine echte Untermenge der nichtdeterministischen Kellerutomten

18 Tellrischer Üerlick Beschreiungsmittel Beschreiungsmittel Determinismus und Nichtdeterminismus Aschlusseigenschften unter estimmten Opertionen Entscheidrkeit Wortprolem (Liegt Wort in Sprche?) Leerheitsprolem (Ist Sprche leer?) Äquivlenzprolem (Sind zwei Sprchen äquivlent?) Schnittprolem (Ws ist der Schnitt zweier Sprchen?) Wortprolem (Komplexität) Anmerkung: Durch diesen Üerlick ekommen Sie einen Üerlick zw. ein Gefühl für die Mächtigkeit der einzelnen Sprchklssen. Mchen Sie sich dmit vertrut um später Proleme schnell und richtig einschätzen zu können. Typ 3 (Regulär) Deterministisch Kontextfrei Typ 2 (Kontextfrei) Typ 1 (Kontextsensitiv) Typ 0 Reguläre Grmmtik DFA NFA Regulärer Ausdruck LR(k)-Grmmtik Deterministischer Kellerutomt (DPDA) Kontextfreie Grmmtik Kellerutomt (PDA) Kontextsensitive Grmmtik Liner eschränkter Automt (LBA) Typ 0 Grmmtik Turingmschine (TM) Determinismus und Nichtdeterminismus Aschlusseigenschften Nichtdeterministischer Automt Deterministischer Automt Äquivlent? Schnitt Vereinigung Komplement Produkt Stern NFA DFA j Typ 3 Det. Kf. PDA DPDA nein Typ 2 LBA DLBA??? (Als LBA-Prolem eknnt) Typ 1 TM DTM j Typ

19 Entscheidrkeit Komplexitäten des Wortprolems Wortprolem Leerheitsprolem Äquivlenzprolem Schnittprolem Wortprolem Typ 3 Typ 3 (DFA gegeen) Linere Komplexität Det. Kf. Det. Kf. Linere Komplexität Typ 2 Typ 2 (CNF gegeen) O(n 3 ) Typ 1 nein Typ 1 Exponentielle Komplexität (NP-hrt) Typ 0 Typ 0 Unlösr Auslick Compileru (Kpitel 7) Automten und Sprchen (Kpitel 6) Betriessysteme (Kpitel 5) Mschinenorientierte Progrmmierung (Kpitel 4) von-neumnn-rechner (Kpitel 3) Speicher Zhlen und Logik (Kpitel 2) Kommuniktion (Kpitel 8) von-neumnn-rechner 6-75