Teil III: Kreise, Rundreisen, Transportnetze
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- Christian Hochberg
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1 Teil III: Kreie, Rundreien, Trnportnetze 1. Kreie 2. Trveling Slemn Problem 3. Trnportnetzwerke Frnz-Joef Rdermcher & Uwe Schöning, Fkultät für Ingeneurwienchften und Informtik, Univerität Ulm, 2009/2010 Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 3, folie 1 (von 51)
2 Kreie, Rundreien und Trnportnetzwerke Euler-Krei Hmilton-Krei Trveling Slemn Problem Flüe in Trnportnetzwerken Algorithmu von Ford / Fulkeron Schnitte in Grphen Min-Cut-Mx-Flow - Theorem Mtching Netzplntechnik, Kritiche-Pfd-Anlye Kritiche Aktivitäten Petri-Netze Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 3, folie 2 (von 51)
3 Euler-Krei Beipiel: Brückenproblem Königberg chemtiiert: Flu Pregel b d b d c c Gibt e einen Weg, um uf einem Spziergng durch Königberg lle Brücken genu einml zu überqueren? Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 3, folie 3 (von 51)
4 Euler-Krei (1) Stz (Euler) Ein Grph G (zummenhängend, Mehrfchknten dieml erlubt) beitzt einen Euler-Krei genu dnn, wenn lle Knotengrde gerde ind. Zurück zur Frgetellung: Gibt e einen Weg, um uf einem Spziergng durch Königberg lle Brücken genu einml zu überqueren? chemtiiert: b d Die Grde jede Knoten in dieem Beipiel ind ungerde. Dru folgt: E exitiert kein Euler-Krei. c Für diee Problem exitiert ein effizienter Algorithmu. Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 3, folie 4 (von 51)
5 Euler-Tour (2) wie Euler-Krei, jedoch Anfng- und Endknoten müen nicht übereintimmen. ungerder Grph E gibt eine Euler-Tour. Durch Hinzufügen einer Knte bekommen lle Knten einen gerden Grd. Alo gibt e im ergänzten Grphen einen Eulerkrei. Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 3, folie 5 (von 51)
6 Euler-Tour (3) Gibt e für d "Doppelhu de Nikolu" eine Euler-Tour, d.h. knn mn die durchgehend und ohne Kntenwiederholung zeichnen? Nein, denn e gibt vier Knoten mit ungerdem Grd. Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 3, folie 6 (von 51)
7 Hmiltonkrei Effiziente Löbrkeit und ineffiziente Löbrkeit liegen dicht beieinnder. Beipiel Mn knn effizient entcheiden, ob ein Grph einen Eulerkrei enthält. - Tete lle Knoten uf gerden Grd: - Für jeden von n Knoten werden lle n 1 nderen Knoten uf Nchbrchft getetet. - Tetlgorithmu ht Komplexität n (n 1) n 2 n, lo Polynom, lo effizient. Mn knn ber nicht effizient entcheiden, ob ein Grph einen Hmiltonkrei enthält. - Ein Hmiltonkrei it ein Krei, bei dem jeder Knoten genu einml vorkommt. Grph mit Hmiltonkrei Grph ohne Hmiltonkrei Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 3, folie 7 (von 51)
8 Wege in Grphen Anttt Wege mit nur wenigen bzw. kotengüntigen Knten zu nutzen, knn mn nch Wegen uchen, die lle Knten bzw. lle Knoten beinhlten. Ein Eulercher Weg oder eine Euler Tour in einem Grphen G = (V, E) it ein Weg, der jede Knte von E genu einml enthält. Ein Eulercher Krei in G = (V, E) it ein Krei, der jede Knte von E genu einml enthält. Ein Hmiltoncher Weg in einem Grphen G = (V, E) it ein Weg, der jeden Knoten von V genu einml enthält. Ein Hmiltoncher Krei in G = (V, E) it ein Krei, der jeden Knoten von V genu einml enthält (uer Anfngpunkt). Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 3, folie 8 (von 51)
9 Trveling Slemn Problem (TSP, Rundreieproblem) Finde unter llen Hmiltonkreien einen mit minimler Summe der Kntenbewertungen ( Finde eine (koten-) minimle Rundreie ) Rundreie mit Koten 26 Rundreie mit Koten 20 D Problem it nicht effizient löbr; uch dnn nicht, wenn d Vorliegen von Hmiltonkreien geichert it. Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 3, folie 9 (von 51)
10 Trveling Slemn Problem (TSP, Rundreieproblem) (1) Antz: Approximierte Löung von TSP durch effiziente Heuritik. Heuritik: Auffinden einer guten Löung mit begrenzten Möglichkeiten. Euklidiche TSP: Knoten de Grphen liegen in Ebene, die Entfernungen ind Euklidiche Abtände, Grph it volltändig. y P Q P Q d ( x 1 y 1 ) ( x 2 y 2 ) 2 ( P, Q) = ( x x ) + ( y y ) x Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 3, folie 10 (von 51)
11 Trveling Slemn Problem (TSP, Rundreieproblem) (2) Heuritik für Euklidiche TSP: Aufbu eine miniml pnnenden Bum mit Krukl Algorithmu. Abfhren bi jeweil ein Knoten von Grd 1 erreicht it, dnn zum zweiten ml bfhren bi ein noch unbeuchter Knoten erreicht it, kurzchließen und Abfhren fortetzen. Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 3, folie 11 (von 51)
12 Trveling Slemn Problem (TSP, Rundreieproblem) (2) Strt Abfhren bi Knoten von Grd 1 zurück bfhren noch unbeetzter Knoten "kurzchließen" Abfhren fortetzen bi Knoten von Grd 1 zurück bfhren noch unbeetzter Knoten "kurzchließen" Abfhren fortetzen bi Knoten von Grd 1 zurück bfhren "kurzchließen" Heuritik für Euklidiche TSP: Aufbu eine miniml pnnenden Bum mit Krukl Algorithmu. Abfhren bi jeweil ein Knoten von Grd 1 erreicht it, dnn zum zweiten ml bfhren bi ein noch unbeuchter Knoten erreicht it, kurzchließen und Abfhren fortetzen. Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 3, folie 12 (von 51)
13 Trnportnetzwerke Flüe in Trnportnetzwerken Algorithmu von Ford / Fulkeron Schnitte in Grphen Min-Cut-Mx-Flow - Theorem Mtching Netzplntechnik, Kritiche-Pfd-Anlye Kritiche Aktivitäten Petri-Netze Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 3, folie 13 (von 51)
14 Flüe in Trnportnetzwerken Gegeben ei ein gerichteter Grph G = (V,E) mit Kntenbewertungen cp: E R + Anwendung: z.b. Rohrleitungnetz, elektriche Leitungnetz, Trnportwege cp-wert ind Kpzitäten (z.b. mximle Werte in Liter/ec, PKW/h, bit/ec, Ampere Zwei Knoten beonder hervorgehoben : Quelle t: Senke Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 3, folie 14 (von 51)
15 Flüe in Trnportnetzwerken (1) Problem: Betimmung eine mximlen Flue von nch t Flu f: E R + wobei f(e) cp(e) e E und Summe nkommender Flüe = Summe hinugehender Flüe (Konervierungbedingung) für lle Knoten ußer und t mx! Σ f(,y) (,y) E d.h. mximiere die u bfließende Menge Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 3, folie 15 (von 51)
16 Flüe in Trnportnetzwerken (3) Beipiel: 3 2 b t Kntenwerte ind Kpzitäten 2 0/3 1/2 c c 2 0/2 1/2 d b d 2 0/3 1/2 t Flu mit Wert 1 = Stärke 1 Summe ller Zuflüe = Summe ller Abflüe gilt in llen Knoten uer und t Fluwert / Kpzität Nottion Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 3, folie 16 (von 51)
17 Flüe in Trnportnetzwerken (4) 0/3 0/2 b 0/3 t Verbeerung durch fluerhöhende Pfde 1/2 c 1/2 d 1/2 0/3 0/2 b 1/3 1/1 t neuer Flu mit Stärke 2 2/2 c 2/2 d 1/2 Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 3, folie 17 (von 51)
18 Flüe in Trnportnetzwerken (5) 0/3 2/2 c 0/2 2/2 b d 1/1 1/3 1/2 t Ein poitiver Flu knn gnz oder teilweie entgegen der Kntenrichtung zurückgedrückt werden! 1/3 1/2 b 1/3 2/2 c 2/2 d 2/2 t E reultiert ein Flu der Stärke 3 Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 3, folie 18 (von 51)
19 Flüe in Trnportnetzwerken (6) Ein fluerhöhender Pfd bzgl. eine Flue f it ein Weg = i 0, i 1,, i k = t (Knotenfolge!) o, d f(i j, i j+1 ) < cp(i j, i j+1 ) fll (i j, i j+1 ) E (uf Vorwärtknten it die Kpzität nicht ugechöpft) f(i j, i j+1 ) > 0 fll (i j+1, i j ) E (uf Rückwärtknten, gibt e einen Flu, der zurückgechoben werden knn) für Vorwärtknten Retkpzität m = Minimum über die Werte cp(i j, i j+1 ) f(i j, i j+1 ) und die Werte f(i j, i j+1 ) für Rückwärtknten Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 3, folie 19 (von 51)
20 Flüe in Trnportnetzwerken (7) 0/3 0/2 b 1/3 1/1 t 2/2 c 2/2 d 1/2,, b, d, t (,) E mit 0 < 3 (,b) E mit 0 < 2 (b,d) E, ber (d,b) E mit 1 > 0 (d,t) E mit 1 < 2 Alo it,, b, d, t ein fluerhöhender Pfd. Eine Erhöhung um Retkpzität = min {3 0, 2 0, 1, 2 1} = 1 it möglich Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 3, folie 20 (von 51)
21 Flüe in Trnportnetzwerken (8) Auf einem fluerhöhenden Pfd wird der Zutzflu f ngeetzt l f (i j, i j+1 ) = m für (i j, i j+1 ) E Vorwärtknte f (i j, i j+1 ) = m für (i j+1, i j ) E Rückwärtknte Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 3, folie 21 (von 51)
22 Algorithmu von Ford / Fulkeron Stz (Ford / Fulkeron) Ein Flu it genu dnn mximl, wenn e keinen fluerhöhenden Pfd gibt. Dru reultiert der Algorithmu von Ford und Fulkeron zur Flumximierung Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 3, folie 22 (von 51)
23 Algorithmu von Ford / Fulkeron (1) Algorithmu zur Flumximierung 1) Beginne mit 0-Flu f, d. h. etze f(e) := 0 e E 2) Finde einen beliebigen fluerhöhenden Pfd 3) Finde einen Zutzflu f entlng diee Pfde mit Stärke = Retkpzität 4) Addiere den Zutzflu zum ktuellen Flu, d. h. f := f + f 5) Wiederhole die, bi e keinen fluerhöhenden Pfd mehr gibt Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 3, folie 23 (von 51)
24 Algorithmu von Ford / Fulkeron (2) Algorithmu zur Flumximierung 1. Strtetzungen ( Initiliierungen ) f(e) := 0, e E 2. Wiederhole olnge fluerhöhenden Pfd E M + := min (cp(e) f(e)) e E e Vorwärtknte M := min f(e) e E e Rückwärtknte M := min(m +, M ) Wiederhole e E : Wenn e Vorwärtknte dnn f(e) := f(e) + M Wenn e Rückwärtknte dnn f(e) := f(e) M 3. Augbe f(e), e E M + M M Zhlen Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 3, folie 24 (von 51)
25 Algorithmu von Ford / Fulkeron (3) 1/3 1/2 b 1/3 1/1 t 2/2 c 2/2 d 2/2 2/3 2/2 b 2/3 E gibt keinen fluerhöhenden Pfd! t (, c) liegt nicht uf fluerhöhendem Pfd, d 2/2 c 2/2 d 2/2 f(, c) = 2 2 = cp(, c),, b, für (, b) it f(, b) = 2 2 = cp(, b),, c, für (, c) it f(c, ) 0 Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 3, folie 25 (von 51)
26 Algorithmu von Ford / Fulkeron (4) Animtion iehe Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 3, folie 26 (von 51)
27 Algorithmu von Ford / Fulkeron (5) E gibt güntige und ungüntige Whlen für fluerhöhende Pfde Beipiel cp = 10 6 cp = 1 cp = 10 6 t cp = 10 6 cp = 10 6 b Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 3, folie 27 (von 51)
28 Algorithmu von Ford / Fulkeron (6) / t 1/1 t Stärke b 0 6 1/10 6 b 1/10 6 1/ / /10 6 t Stärke 2. t Stärke /10 6 1/10 6 b 10 6 / /10 6 b mittel Fluerhöhungen erreicht Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 3, folie 28 (von 51)
29 Algorithmu von Ford / Fulkeron (7) / /10 6 t 1/1 t Stärke b b 10 6 / /10 6 t Stärke / /10 6 b in zwei Fluerhöhungen erreicht Die Anzhl der Berechnungchritte de Ford-Fulkeron Algorithmu hängt von der Whl der fluerhöhenden Pfde b. Mn wählt möglicht groe Fluerhöhungen! Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 3, folie 29 (von 51)
30 Schnitte in Grphen Knn mn für den mximlen Fluwert eine obere Schrnke ngeben, ohne Flumximierung durchzuführen? f(i, j) = cp(i, j) f(i, j) = 0 t S T Idee: der mximle Flu knn nicht gröer ein l die Kntenkpzitäten entlng einer Trennlinie durch die Knten ( Schnitt ) Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 3, folie 30 (von 51)
31 Schnitte in Grphen (1) Schnitt: Aufteilung der Knotenmenge V in zwei dijunkten Mengen S, T, d. h. S T =, o d S und t T Schnittkpzität oder Wert eine Schnitt: cp(s, T) = Σ cp(i, j) (i, j) E mit i S, j T Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 3, folie 31 (von 51)
32 Schnitte in Grphen (2) Beipiel: 2/3 2/2 b 2/3 t 2/2 2/2 c d 2/2 T S cp(s, T) = cp(b, t) + cp(d, t) = = 5 Wert eine Flue Wert eine Schnitt Wert eine Flue minimler Wert eine Schnitt Mximler Wert eine Flue minimler Wert eine Schnitt Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 3, folie 32 (von 51)
33 Min-Cut-Mx-Flow - Theorem Der Wert eine mximlen Flue it gleich ( =!) dem Wert eine minimlen Schnitt Betimmung eine minimlen Schnitt Betimmung eine mximlen Flue mit Ford / Fulkeron Algorithmu Betimmung ller von u erreichbren Knoten über Knten mit Retkpzität > 0. Die o erreichbren Knoten gehören zu S, lle nderen zu T. Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 3, folie 33 (von 51)
34 Min-Cut-Mx-Flow Theorem (1) 2/3 2/2 b 2/3 t S 2/2 c 2/2 d T 2/2 cp(s, T) = cp(, b) + cp(, c) = = 4 mximler Fluwert Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 3, folie 34 (von 51)
35 Min-Cut-Mx-Flow Theorem (2) Wenn lle Kntenkpzitäten gnzzhlig ind, it unter den mximlen Flüen uch ein gnzzhliger. D.h. die Fluwerte uf llen Knten ind gnzzhlig. Aber: e knn uch mximle Flüe mit gebrochenen Werten geben cp 10 Mximle Flüe der Stärke 10 cp 10 t 3/10 2,7/10 cp t 10 t 7/10 7,3/10 Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 3, folie 35 (von 51)
36 Mtching Gegeben ei ein Grph G = (V, E). Ein Mtching it eine Teilmenge von E, M E, o d keine zwei Knten in M denelben Knoten gemeinm hben. Mtching M Die it ein perfekte Mtching, d.h. jeder Knoten kommt in M vor kein Mtching Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 3, folie 36 (von 51)
37 Mtching bei biprtiten Grphen Mtching bleibt übrig Ein perfekte Mtching it hier nicht möglich, d V 1 > V 2 it (d. h. Knotenmenge link > Knotenmenge recht). V 1 V 2 V = V 1 V 2 Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 3, folie 37 (von 51)
38 "Heirttz" Bei biprtiten Grphen mit V 1 = V 2 it ein perfekte Mtching genu dnn möglich, fll für lle A V 1 gilt: N(A) A. (Menge der Nchbrn von A A elbt.) V 1 V 2 Die drei Knoten uf der linken Seite hben keine Verbindung zu nderen l den zwei Knoten uf der rechten Seite. Dher it kein perfekte Mtching möglich. Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 3, folie 38 (von 51)
39 Mximle Mtching (1) Gegeben ei ein biprtiter Grph. Betimme ein mximle Mtching. 1/1 Füge link eine Quelle und recht eine Senke hinzu. Setze lle cp-werte uf 1. Ford / Fulkeron berechnet den mximlen Durchflu. Quelle 1/1 1 Senke Jeder gnzzhlige Flu entpricht einem Mtching Biprtiter Grph Jeder mximle gnzzhlige Flu entpricht einem mximlen Mtching Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 3, folie 39 (von 51)
40 Mximle Mtching (2) v 1 1/1 v 4 v 1 v 4 1/1 1/1 1/1 v 2 v 3 1/1 1/1 v 5 v 6 1/1 1/1 1/1 t v 2 v 3 v 5 v 6 v 7 v 7 Mximler gnzzhliger Flu der Stärke 3 Mtching mit 3 Knten Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 3, folie 40 (von 51)
41 Netzplntechnik, Kritiche-Pfd-Anlye (Criticl Pth Method CPM, Progrm Evlution nd Review Technique PERT) Gegeben ei ein gerichteter, zyklicher Grph (DAG) mit gegebenen Strt- und Zielknoten, wobei Knoten Aktivitäten / Tätigkeiten! Knten Zeitliche / Kule Abfolgen! Strt Ziel Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 3, folie 41 (von 51)
42 Netzplntechnik, Kritiche-Pfd-Anlye (1) Den Knoten und Knten ind Werte R + zugeordnet (Zeiten für die betreffenden Aktivitäten bzw. Übergngzeiten). Beipiel: Fundment gießen 1 Tg [3] 0 Tge [mx(7, 8) + 1] 5 Tge [8] 3 Tge [5] 0 Tge Elektrointllteur Elektrointllteur 2 Tge [2] Stützpfeiler ufetzen 2 Tge [7] 1 Tg Frge: Wieviel Zeit vergeht vom Strt bi zum Ziel? Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 3, folie 42 (von 51)
43 Durchrechnen eine Netzpln Addiere die Werte entlng eine Pfde, beginnend beim Strt- Knoten. Bei Knoten mit mehreren Vorgängerknoten, übernehme den mximlen Wert. Wert de Zielknoten Zeitduer für d gemte Projekt. Rückwärtnlye, vom Zielknoten ugehend, verfolge welche Pfde bei der Mximumbildung relevnt wren Kriticher Pfd oder kritiche Pfde. Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 3, folie 43 (von 51)
44 Kritiche Aktivitäten Aktivitäten, die uf kritichen Pfden liegen, heißen kritiche Aktivitäten. Beipiel: 5 [11] b 1 [12] 6 [18] c 2 [20] Strt 5 [5] 1 [6] 3 [14] 2 [7] 1 [15] 8 [23] e 0 [23] 0 [23] g Ziel d 7 [14] 2 [16] f 4 [20] 3 [23] Kritiche Aktivitäten ind:, d, e, f, (g) Hier Dummy-Knoten (trukturell verwendet, d. h. Zeit 0) Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 3, folie 44 (von 51)
45 Petri-Netze Petri-Netze ind Spezielle Grphen zur Berechnung dynmicher Abläufe (die eine fete Grundtruktur beitzen). Anwendungen: Workflow, Betriebytem Zwei Sorten von Knoten wecheln ich b (biprtiter Grph): og. Stellen og. Trnitionen G = (V,E), gerichteter Grph, wobei V = S T Stellen Ferner können Stellen Mrken enthlten: Trnitionen Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 3, folie 45 (von 51)
46 Petri-Netze (1) Beipiel: Kreiluf de Wer Boden Flu Wolken Meer Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 3, folie 46 (von 51)
47 Petri-Netze (2) Die Trnitionen können chlten (oder feuern ) unter der Voruetzung, d lle Vorgängertellen mindeten 1 Mrke hben. Schlten bedeutet: t (vorher) Von jeder Vorgängertelle wird eine Mrke bgezogen und uf jede Nchfolgertelle wird eine (zuätzliche) Mrke gelegt. t chltet (nchher) Verbrucher 1 Erzeuger Speicher, Lger Verbrucher 2 Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 3, folie 47 (von 51)
48 Petri-Netze (3) Forml: M : N 0, Mrken-Belegung t T knn chlten, wenn für lle Vorgänger (,t) E gilt: M() 1 Nchdem t gechltet ht, erhält mn M mit: M() + 1, it Nchfolger, ber nicht Vorgänger von t M () = M() 1, it Vorgänger, ber nicht Nchfolger von t M(), ont ont beinhltet uch den Fll Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 3, folie 48 (von 51)
49 Petri-Netze (4) 1 (uch Mehrfchknten ind erlubt) t 2 t 4 1 t 1 t 4 t 1 t t t 3 Aber: t 1, t 2 Jetzt knn keine Trnition mehr chlten (dedlock-sitution, Sytemverklemmung) Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 3, folie 49 (von 51)
50 Petri-Netze (5) Beipiel: Betriebytem Proze 1 Proze 2 Reource 1 z.b. Drucker Reource 2 Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 3, folie 50 (von 51)
51 Petri-Netze (6) Nottion: t 1, t 3, t 5 chlten: t 1 t 3 M 0 M 1 M 2 M 3 t 5 Strt- Mrkierung Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 3, folie 51 (von 51)
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Minimierung von DFAs. Minimierung 21 / 98
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R(i,j,0) ist also für alle i,j = 1,...,n endlich und somit eine durch einen regulären Ausdruck beschreibbare Sprache!
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Berechenbarkeitstheorie 4. Vorlesung
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b) Dasselbe System, die Unbekannten sind diesmal durchnummeriert:
1 Linere Gleichungssysteme 1. Begriffe Bspl.: ) 2 x - 3 y + z = 1 3 x - 2 z = 0 Dies ist ein Gleichungssystem mit 3 Unbeknnten ( Vriblen ) und 2 Gleichungen. Die Zhlen vor den Unbeknnten heißen Koeffizienten.
Klausur zur Vorlesung Grundbegriffe der Informatik 10. März 2009 mit Lösungsvorschlägen
Klusur zur Vorlesung Grundegriffe der Informtik 10. März 2009 mit Lösungsvorschlägen Klusurnummer Nme: Vornme: Mtr.-Nr.: Aufge 1 2 3 4 5 6 7 mx. Punkte 4 2 7 8 8 8 9 tts. Punkte Gesmtpunktzhl: Note: Aufge
FORMALE SYSTEME. 7. Vorlesung: Reguläre Ausdrücke. TU Dresden, 2. November Markus Krötzsch
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6. Übungsblatt. (i) Von welchem Typ ist die Grammatik G? Begründen Sie Ihre Antwort kurz.
Vorlesung Theoretische Informtik Sommersemester 2015 Prof. S. Lnge 6. Üungsltt 1. Aufge Es sei die folgende Grmmtik G = [Σ, V, S, R] gegeen. Dei seien Σ = {, } und V = {S, B}, woei S ds Strtsymol ist.
10. Flüsse und Artikulationspunkte
0. Flüe un Artikultionpunkte Flüe in Netzwerken Artikultionpunkte Prof. Dr. O. Bittel, HTWG Kontnz Algorithmen un Dtentrukuren Flüe un Artikultionpunkte SS 09 0- Netzwerk Ein Netzwerk it ein gewihteter
2.6 Reduktion endlicher Automaten
Endliche Automten Jörg Roth 153 2.6 Reduktion endlicher Automten Motivtion: Wir sind n Automten interessiert, die mit möglichst wenigen Zuständen uskommen. Automten, die eine Sprche mit einem Minimum n
Sei G = (V,E) ein gerichteter Graph. Ein geschlossener Pfad, der jede Kante in G genau einmal benutzt, heißt Euler-Tour.
1 2 Grundlgen der Theoretischen Informtik Till Mosskowski Fkultät für Informtik Otto-von-Guericke Universität Mgdeurg Komplexitätstheorie Wintersemester 201/15 Zeitkomplexität 3 Die Komplexitätsklsse P
Universität Karlsruhe Institut für Theoretische Informatik. Klausur: Informatik III
Nme Vornme Mtrikelnummer Lösungsvorschlg Universität Krlsruhe Institut für Theoretische Informtik o. Prof. Dr. P. Snders 8. März 2006 Klusur: Informtik III Aufgbe 1. Multiple Choice 10 Punkte Aufgbe 2.
Spiele und logische Komplexitätsklassen
Spiele und logische Komplexitätsklssen Mrtin Horsch 26. Jnur 2006 Inhlt des Seminrvortrges Ehrenfeucht-Frïssé-Spiel mit k Mrken Formeln mit k Vrilen und logische Komplexitätsklssen k-vrileneigenschft logischer
Definition Suffixbaum
Suffix-Bäume Definition Suche nch einer Menge von Mustern Längste gemeinsme Zeichenkette Pltzreduktion Suffixbäume für Muster Alle Pre Suffix-Präfix Übereinstimmung Sich wiederholende Strukturen Definition
Vorlesung. Einführung in die mathematische Sprache und naive Mengenlehre
Vorlesung Einführung in die mthemtische Sprche und nive Mengenlehre 1 Allgemeines RUD26 Erwin-Schrödinger-Zentrum (ESZ) RUD25 Johnn-von-Neumnn-Hus Fchschft Menge ller Studenten eines Institutes Fchschftsrt
5. Übung Algorithmen II
Johnnes Singler, Prof. Snders 1 Johnnes Singler: KIT Universität des Lndes Bden-Württemberg und ntionles Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschft Institut für Theoretische www.kit.edu Informtik Orgnistorisches
mathphys-online Abschlussprüfung Berufliche Oberschule 2010 Mathematik 12 Technik - A II - Lösung Teilaufgabe 1.0 ax 1 mit f a ( x)
Abchluprüfung Berufliche Oberchule Mthemti Techni - A II - Löung Teilufgbe. Gegeben ind die reellen Funtionen f mit f ( x) unbhängigen Definitionmenge ID f IR \ {}. x x x in der vom Prmeter IR Teilufgbe.
Minimalautomat. Wir stellen uns die Frage nach dem. kleinsten DFA für eine reguläre Sprache L, d.h. nach einem DFA mit möglichst wenigen Zuständen.
Rechtslinere Sprchen Minimlutomt Es git lso sehr verschiedene endliche Beschreiungen einer regulären Sprche (DFA, NFA, rechtslinere Grmmtiken, reguläre Ausdrücke). Diese können ineinnder üersetzt werden.
Kapitel 7: Flüsse in Netzwerken und Anwendungen Gliederung der Vorlesung
Gliederung der Vorleung. Falltudie Bipartite Graphen. Grundbegriffe 3. Elementare Graphalgorithmen und Anwendungen 4. Minimal pannende Bäume 5. Kürzete Pfade 6. Traveling Saleman Problem 7. Flüe in Netzwerken
Dank. Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I. Determiniert / indeterminiert. Teil III.
Dnk Vorleung Grundlgen der Theoretichen Informtik / Einführung in die Theoretiche Informtik I Bernhrd Beckert Diee Vorleungmterilien ieren gnz weentlich uf den Folien zu den Vorleungen von Ktrin Erk (gehlten
Automaten und formale Sprachen Notizen zu den Folien
5 Ds Pumping Lemm Schufchprinzip (Folie 144) Automten und formle Sprchen Notizen zu den Folien Im Block Ds Schufchprinzip für endliche Automten steht m n (sttt m > n), weil die Länge eines Pfdes die Anzhl
Frank Heitmann 2/71. 1 Betrachten wir Σ für ein Alphabet Σ, so ist Σ die Menge
Formle Grundlgen der Informtik Kpitel 2 und reguläre Sprchen Frnk Heitmnn heitmnn@informtik.uni-hmurg.de 7. April 24 Frnk Heitmnn heitmnn@informtik.uni-hmurg.de /7 Alphet und Wörter - Zusmmengefsst Die
Grundlagen: Algorithmen und Datenstrukturen
Grundlagen: Algorithmen und Datentrukturen Prof. Dr. Hanjo Täubig Lehrtuhl für Effiziente Algorithmen (Prof. Dr. Ernt W. Mayr) Intitut für Informatik Techniche Univerität München Sommeremeter H. Täubig
10 Das Riemannsche Integral
10 Ds Riemnnsche Integrl 50 10 Ds Riemnnsche Integrl Ziel dieses Prgrphen ist es, den Inhlt einer Fläche, die vom Grphen einer Funktion berndet wird, exkt zu definieren. f(b) f() = t 0 t1 t2 t3 t4 t5 t
Datenstrukturen & Algorithmen Lösungen zu Blatt 2 FS 16
Eidgenössische Technische Hochschule Zürich Ecole polytechnique fédérle de Zurich Politecnico federle di Zurigo Federl Institute of Technology t Zurich Institut für Theoretische Informtik 9. März 2016
Dank. 1 Determinierte endliche Automaten (DEAs) 2 Indeterminierte endliche Automaten (NDEAs) 3 Automaten mit epsilon-kanten
Dnk Vorleung Grundlgen der Theoretichen Informtik / Einführung in die Theoretiche Informtik I Bernhrd Beckert Diee Vorleungmterilien ieren gnz weentlich uf den Folien zu den Vorleungen von Ktrin Erk (gehlten
5.1 Charakterisierung relativ kompakter und kompakter
Kpitel 5 Kompkte Mengen 5.1 Chrkterisierung reltiv kompkter und kompkter Mengen X sei im weiteren ein Bnchrum. Definition 5.1. Eine Menge K X heißt kompkt, wenn us jeder offenen Überdeckung von K eine
Gliederung. Kapitel 1: Endliche Automaten
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R := {((a, b), (c, d)) a + d = c + b}. Die Element des Quotienten M/R sind die Klassen
Die ntürlichen Zhlen (zusmmen mit der Addition und der Multipliktion) wurden in Kpitel 3 xiomtisch eingeführt. Aus den ntürlichen Zhlen knn mn nun die gnzen Zhlen Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} die rtionlen
Numerische Integration
Kpitel 4 Numerische Integrtion Problem: Berechne für gegebene Funktion f :[, b] R ds Riemnn-Integrl I(f) := Oft ist nur eine numerische Näherung möglich. f(x)dx. Beispiel 9. (i) Rechteckregel: Wir pproximieren
4. Das quadratische Reziprozitätsgesetz.
4-1 Elementre Zhlentheorie 4 Ds udrtische Rezirozitätsgesetz Sei eine ungerde Primzhl, sei Z mit, 1 Frge: Wnn gibt es x Z mit x mod? Gibt es ein derrtiges x, so nennt mn einen udrtischen Rest modulo Legendre
FORMALE SYSTEME. Kleene s Theorem. Wiederholung: Reguläre Ausdrücke. 7. Vorlesung: Reguläre Ausdrücke. TU Dresden, 2.
FORMALE SYSTEME 7. Vorlesung: Reguläre Ausdrücke Mrkus Krötzsch Rndll Munroe, https://xkcd.com/851_mke_it_etter/, CC-BY-NC 2.5 TU Dresden, 2. Novemer 2017 Mrkus Krötzsch, 2. Novemer 2017 Formle Systeme
Grundlagen der Theoretischen Informatik
Grundlgen der Theoretischen Informtik 3. Endliche Automten (II) 28.04.2016 Vioric Sofronie-Stokkermns e-mil: sofronie@uni-koblenz.de 1 Übersicht 1. Motivtion 2. Terminologie 3. Endliche Automten und reguläre
Kürzeste Wege. möglich ist 6. Füge v zu S hinzu und setze d[v] d [v] (u,v) E. Datenstrukturen und Algorithmen 14. Elementare Graphalgorithmen
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Algorithmus von Dijkstr: 1. Es sei S ie Menge er enteckten Knoten. Invrinte: Merke optimle Lösung für S: Für lle v S sei [v] = δ(s,v) ie Länge es kürzesten Weges von s nch v 3. Zu Beginn: S={s} un [s]=
ÜBUNGEN ZUR VORLESUNG ZAHLENTHEORIE, SS 2018
ÜBUNGEN ZUR VORLESUNG ZAHLENTHEORIE, SS 2018 KARLHEINZ GRÖCHENIG So wie Sort Trining erfordert, erfordert Mthemtik ds selbständige Lösen von Übungsufgben. Ds wesentliche n den Übungen ist ds Selbermchen!
2010 A I Lösung. a IR. 1.1 Ermitteln Sie in Abhängigkeit von a die Anzahl, Lage und Vielfachheiten der Nullstellen von f P 4. so, dass der Punkt.
00 A I Lösung.0 Gegeben sind die reellen Funktionen f : x x x x mit ID f IR.. Ermitteln Sie in Abhängigkeit von die Anzhl, Lge und Vielfchheiten der Nullstellen von f. IR und ( BE) f x x x x 0 x 0; x ;
Umwandlung von endlichen Automaten in reguläre Ausdrücke
Umwndlung von endlichen Automten in reguläre Ausdrücke Wir werden sehen, wie mn us einem endlichen Automten M einen regulären Ausdruck γ konstruieren knn, der genu die von M kzeptierte Sprche erzeugt.
Integrieren. Regeln. Einige Integrale die man auswendig kennen sollte. Partielle Integration
Integrieren Regeln (f() + g())d = f()d + g()d c f()d = c f()d b f()d = f()d b Einige Integrle die mn uswendig kennen sollte s d = s + s+ + C (für s ) d = ln + C cos d = sin + C sin d = cos + C sinh d =
Einführung in die Mathematik des Operations Research
Universität zu Köln Mthemtishes Institut Prof. Dr. F. Vllentin ufge ( + 7 = 0 Punkte) Einführung in die Mthemtik des Opertions Reserh Sommersemester 0 en zur Klusur (7. Juli 0). Es seien M = {,..., n },
(1 ξ) f (k) (ξ) + k! z x n+1. (n + 1)! 2 f (n + 1)!
0.. Lösung der Aufgbe. Wir schreiben f = sup{ f : [0, ]}. Für ξ ]0, [ und n N gibt es nch dem Stz von Tlor ein c ]ξ, [ so, dss: f = fξ + n ξ k f k ξ + k! k= Aus der Ttsche, dss f k 0 für lle k N ist, folgt
g) Bestimmen Sie für Fan-In = 4 die Anzahl der Gatterlaufzeiten der Carry-Look- Ahead-Einheit von den Eingängen zu den Ausgängen C 3, GG 0 und PP 0.
3.5 Crry-Look-Ahed 149 g) Betimmen Sie für Fn-In 4 die Anzhl der Gtterlufzeiten der Crry-Look- Ahed-Einheit von den Eingängen zu den Augängen C 3, GG 0 und PP 0. 2T Ppo T GG. 2T h) Skizzieren Sie für Fn-In
2.6.1 Definition und Darstellung Ausspähen von Graphen Minimal spannende Bäume Kürzeste Pfade 2.6.
.6 Graphen.6. Definition und Dartellung.6. Aupähen von Graphen.6.3 Minimal pannende Bäume.6.4 Kürzete Pfade.6.5 Maximaler Flu .6.5 Maximaler Flu.6.5. Flunetzwerke.6.5. Ford-Fulkeron-Methode.6.5.3 Algorithmu
Beispiellösungen zu Blatt 24
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![Satz 6.5 (Mittelwertsatz der Integralrechnung) Sei f : [a, b] R stetig. Dann gibt es ein ξ [a, b], so dass. b a. f dx = (b a)f(ξ) f dx (b a)m.](/thumbs/74/70413961.jpg "Satz 6.5 (Mittelwertsatz der Integralrechnung) Sei f : [a, b] R stetig. Dann gibt es ein ξ [a, b], so dass. b a. f dx = (b a)f(ξ) f dx (b a)m.")
Stz 6.5 (Mittelwertstz der Integrlrechnung) Sei f : [, b] R stetig. Dnn gibt es ein ξ [, b], so dss 9:08.06.2015 gilt. f dx = (b )f(ξ) Lemm 6.6 Sei f : [, b] R stetig und m f(x) M für lle x [, b]. Dnn
Informatik I Modul 3: Schaltnetze
Herbstsemester 2, Institut für Informtik IFI, UZH, Schweiz Informtik I Modul 3: Schltnetze 2 Burkhrd Stiller M3 Modul 3: Schltnetze Einführung in die formlen Grundlgen logischer Beschreibungen Boolesche
15. Kürzeste Wege. SS 2017 DuA - Kapitel 15 1
5. Kürzeste Wege t s SS DuA - Kpitel 5 Gewichtete Grphen Ein gewichteter Grph G ist ein Pr (V,E) zusmmen mit einer Gewichtsfunktion w, woei E V V un w: E IR. Für e E heißt w(e) s Gewicht von e. Für einen
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Kapitel 7. Integralrechnung für Funktionen einer Variablen
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Reduktion Seien A Σ und B Γ. Mn sgt A ist reduzierr uf B (A B) gdw. f : Σ Γ. x Σ.x A f(x) B Í* * A B von speziellem Interesse: Polynomilzeitreduktion ( pol ), logrithmische-pltz- Reduktion ( log ). F3
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Aufgbe : ) Lösen Sie die folgenden Gleichungen nch uf: = kein Problem einfch die Wurel iehen und ds ± nicht vergessen.. = = ±, b) + 5 = 0 Hier hben wir bei jedem Ausdruck ein, lso können wir usklmmern:
Formale Sprachen. Endliche Automaten - Kleene. Reguläre Sprachen. Rudolf FREUND, Marion OSWALD. Endliche Automaten. Endliche Automaten: Beispiel
Formle Sprchen Reguläre Sprchen Endliche Automten - Kleene STEPHEN KLEENE (99-994) Rudolf FREUND, Mrion OSWALD 956: Representtion of events in nerve nets nd finite utomt. In: C.E. Shnnon und J. McCrthy
Beispiellösungen zu Blatt 21
µthemtischer κorrespondenz- zirkel Mthemtisches Institut Georg-ugust-Universität Göttingen ufgbe 1 Beispiellösungen zu Bltt 21 us der Folge 1, 1, 1,... der Kehrwerte der ntürlichen Zhlen knn mn 2 3 1 leicht
Lösungen zum Ergänzungsblatt 4
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Quadratische Funktionen und p-q-formel
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Grundbegriffe der Informatik Aufgabenblatt 7
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10 Integrationstechniken
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Uneigentliche iemnn-integrle Zweck dieses Abschnitts ist es, die Vorussetzungen zu lockern, die wir n die Funktion f : [, b] bei der Einführung des iemnn-integrls gestellt hben. Diese Vorussetzungen wren:
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Potenzautomat. Gegeben: A = (Z, I, d, s 0, F ) P(A) = (P(Z), I, D, {s 0 }, F P ) P(Z) = {S S Z}: Potenzmenge von Z; D : P(Z) I P(Z) mit
1 Potenzutomt Gegeben: A = (Z, I, d, s 0, F ) P(A) = (P(Z), I, D, {s 0 }, F P ) P(Z) = {S S Z}: Potenzmenge von Z; D : P(Z) I P(Z) mit D(S, x) = d(s, x) s S für lle S P(Z), x I; F P = {S P(Z) S F }. Potenzutomt
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