ADS: Algorithmen und Datenstrukturen 2

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1 ADS: Algorithmen und Datentrukturen Teil IV Peter F. Stadler & Kontantin Klemm Bioinformatic Group, Dept. of Computer Science & Interdiciplinary Center for Bioinformatic, Univerity of Leipzig 7. April /

2 Kürzete Wege kantenmarkierter (gewichteter) Graph G = (V, E, g) Weg/Pfad P der Länge n: (v 0, v 1 ), (v 1, v ),,..., (v n 1, v n ) Gewicht (Länge) de Wege/Pfad w(p) = n g((v i1, v i )) Ditanz d(u, v): Gewicht de kürzeten Pfade von u nach v Varianten nicht-negative Gewichte v. negative und poitive Gewichte Betimmung der kürzeten Wege: a) zwichen allen Knotenpaaren, b) von einem Knoten u au c) zwichen zwei Knoten u und v Bemerkungen kürzete Wege ind nicht immer eindeutig kürzete Wege müen nicht exitieren: e exitiert kein Weg e exitiert Zyklu mit negativem Gewicht i=1 /

3 Zur Erinnerung: Warhall Tranitive Hülle A = Adjazenzmatrix G(V, E), n = V Von i = 1 bi n A[i][i] = 1 Von k = 1 bi n Von i = 1 bi n Fall A[i][k] = 1 Dann von j = 1 bi n Fall A[k][j] = 1 dann A[i][j] = 1 /

4 Warhall Algorithmu für Ditanzen Warhall-Algorithmu lät ich einfach modifizieren, um kürzete Wege zwichen allen Knotenpaaren zu berechnen Fuer alle Paare i,j tue A[i][j] = g((i,j)) Von k = 1 bi n Von i = 1 bi n Von j = 1 bi n A[i][j] = min (A[i][j], A[i][k] + A[k][j]) Annahme: kein Zyklu mit negativem Gewicht vorhanden Komplexität: O(n ) 4 /

5 Dijktra-Algorithmu I Betimmung der von einem Knoten augehenden kürzeten Wege gegeben: kanten-bewerteter Graph G = (V, E, g) mit g : E R+ (Kantengewichte) Startknoten ; zu jedem Knoten u wird die Ditanz zu Startknoten in D[u] geführt Q ei Priorität-Wartechlange (ortierte Lite); Priorität = Ditanzwert Funktion ucc(u) liefert die Menge der direkten Nachfolger von u Verallgemeinerung der Breitenuche (gewichtete Entfernung) funktioniert nur bei nicht-negativen Gewichten Optimierung gemäß Greedy-Prinzip /

6 Dijktra-Algorithmu II Fuer alle Knoten v tue D[v] = unendlich D[] = 0 PriorityQueue Q = V Solange Q nicht leer dann v = naechter Knoten au Q mit kleintem Abtand D Entferne v au Q Fuer jeden Nachbarn u in (ucc(v) & Q) Fall D[v] + g((v,u)) < D[u] dann D[u] = D[v] + g((v,u)) /

7 Dijktra: Beipiel u v y x u v y x u v y x u v y x /

8 Dijktra-Algorithmu: Korrektheit Korrektheitbewei nach i Schleifendurchgängen ind die Längen von i Knoten, die am nächten an liegen, korrekt berechnet und diee Knoten ind au Q entfernt. Induktionanfang: wird gewählt, D() = 0 Induktionchritt: Nimm an, v wird au Q genommen. Der kürzete Pfad zu v gehe über direkten Vorgänger v von v. Da v näher an liegt, it v nach Induktionvorauetzung mit richtiger Länge D(v) bereit entfernt. Da der kürzete Weg zu v die Länge D(v) + g((v, v)) hat und dieer Wert bei Entfernen von v bereit v zugewieen wurde, wird v mit der richtigen Länge entfernt. erfordert nicht-negative Kantengewichte (teigende Länge durch hinzugenommene Kanten) /

9 Dijktra-Algorithmu: Eigenchaften Komplexität O(n ) n-malige Durchlaufen der äußeren Schleife liefert Faktor O(n) innere Schleife: Auffinden de Minimum begrenzt durch O(n), ebeno da Aufuchen der Nachbarn von v Pfade bilden aufpannenden Baum (der die Wegtrecken von au geehen minimiert) Betimmung de kürzeten Wege zwichen u und v: Spezialfall für Dijktra-Algorithmu mit Start-Knoten u (Beendigung obald v au Q entfernt wird) 9 /

10 Kürzete Wege mit negativen Kantengewichten (ohne negative Zyklen) Bellmann-Ford-Algorithmu BF(G,) Fuer alle Knoten v tue D[v] = unendlich D[] = 0 Von i = 1 bi n-1 Fuer alle Paare (u,v) Fall D[u] + g((u,v)) < D[v] dann D[v] = D[u] + g((u,v)) /

11 Bellmann-Ford: Beipiel u 1 v u 1 v u 1 v x u 1 y v 11 x u 1 y v 11 x u 1 y v x y x y x 1 y (Kanten werden hier in lexikographicher Ordnung durchlaufen), alo (, u)(, x)(u, v)(u, x)(v, y) 11 /

12 Flüe in Netzwerken I Anwendungprobleme: Wieviel Auto können durch ein Straßennetz fahren? Wieviel Abwaer fat ein Kanalnetz? Wieviel Strom kann durch ein Leitungnetz fließen? q a 4 c 4 b d 4 1 /

13 Flüe in Netzwerken II Ein (Flu-) Netzwerk it ein gerichteter Graph G = (V, E, c) mit augezeichneten Knoten q (Quelle) und (Senke), owie einer Kapazitätfunktion c : Z +. Ein Flu für da Netzwerk it eine Funktion f : E Z, o da gilt: Kapazitätbechränkung: e E : f (e) c(e). Fluerhaltung: v V \ {q, } : (v,v) E f ((v, v)) = (v,v ) E f ((v, v )) Der Wert von f, w(f ), it die Summe der Fluwerte der die Quelle q verlaenden Kanten: (q,v) E f ((q, v)) q / 4/1 / a c /4 4/0 / b d 4/ / 1 /

14 Flüe in Netzwerken III Geucht: Flu mit maximalem Wert begrenzt durch Summe der au q wegführenden bzw. in eingehenden Kapazitäten jeder weitere Schnitt durch den Graphen, der q und trennt, begrenzt max. Flu Schnitt (A, B) eine Flu-Netzwerk it eine Zerlegung von V in dijunkte Teilmengen A und B, o da q A und B. Die Kapazität de Schnitt it c(a, B) = u A,v B c((u, v)) minimaler Schnitt (minimal cut): Schnitt mit kleinter Kapazität 14 /

15 Retgraph Sei f ein zuläiger Flu für G = (V, E, c). Sei E = {(v, w) (v, w)} E oder (w, v) E Wir definieren die Retkapazität einer Kante e = (v, w) wie folgt: ret(e) = c(e) f (e) fall e E f ((w, v)) fall (w, v) E Der Retgraph von f (bzgl. G) beteht au den Kanten e E, für die ret(e) > 0 / a c a c / /4 4/0 4 4 q / q 1 1 4/1 4/ b d b d / c(e)/f (e) ret(e) 1 /

16 Zunehmender Weg Jeder gerichtete Pfad von q nach im Retgraphen heißt zunehmender Weg. a c 4 4 q 1 1 b d Optimierung de Flue für G: entlang de zunehmenden Wege q um min(ret(e)) mit e liegt auf q / a c / / 4/0 q /0 4/ b d 4/ / 1 /

17 Min-Cut-Max-Flow-Theorem Theorem (Min-Cut-Max-Flow-Theorem): Sei f ein zuläiger Flu für G. Dann ind folgende Auagen äquivalent: f it maximaler Flu in G. Der Retgraph von f enthält keinen zunehmenden Weg. w(f ) = c(a, B) für einen Schnitt (A, B) von G. 17 /

18 Ford-Fulkeron-Algorithmu Ford-Fulkeron-Algorithmu: füge olange zunehmende Wege zum Geamtflu hinzu wie möglich Kapazität erhöht ich jeweil um Minimum der verfügbaren Retkapazität der einzelnen Kanten de zunehmenden Wege Fuer alle e au E tue f(e) = 0 Solange e einen zunehmenden Weg p in Retgraph G gibt r = min(ret(e) e liegt auf p) Fuer alle e = (v,w) auf p tue Fall e in E dann f(e) = f(e) + r Sont f((w,v)) = f((w,v)) - r 1 /

19 Maximale Bipartite Matching Beipiel: Eine Gruppe von Erwachenen und eine Gruppe von Kindern beuchen Dineyland. Auf der Achterbahn darf ein Kind jeweil nur in Begleitung eine Erwachenen fahren. Nur Erwachene/Kinder, die ich kennen, ollen zuammen fahren. Wieviele Kinder können maximal eine Fahrt mitmachen? 19 /

20 Matching Matching (Zuordnung) M für ungerichteten Graphen G = (V, E) it eine Teilmenge der Kanten, o da jeder Knoten in V in höchten einer Kante vorkommt M = Größe der Zuordnung Perfekte Matching: kein Knoten bleibt allein (unmatched), d.h. jeder Knoten it in einer Kante von M vertreten Matching M it maximal, wenn e kein Matching M gibt mit M < M Ein bipartiter Graph it ein Graph, deen Knotenmenge V in zwei dijunkte Teilmengen V 1 und V aufgeteilt it, und deen Kanten jeweil einen Knoten au V 1 mit einem au V verbinden. 0 /

21 Bipartite Matching und maximaler Flu Maximale Matching kann auf maximalen Flu zurckgeführt werden: Quelle und Senke hinzufügen. Kanten von V 1 nach V richten. Jeder Knoten in V 1 erhält eingehende Kante von der Quelle. Jeder Knoten in V erhält augehende Kante zur Senke. Alle Kanten erhalten Kapazität c(e) = 1 Anwendung de Ford-Fulkeron-Algorithmu 1 /

22 Zuammenfaung I Viele wichtige Informatikprobleme laen ich mit gerichteten bzw. ungerichteten Graphen behandeln. weentliche Implementierungalternativen: Adjazenzmatrix und Adjazenzliten Algorithmen mit linearem Aufwand: Traverierung von Graphen: Breitenuche v. Tiefenuche Topologiche Sortieren Tet auf Azyklität /

23 Zuammenfaung II Weitere wichtige Algorithmen: Betimmung der tranitiven Hülle: Warhall-Algorithmu Kürzete Wege: Dijktra, Bellmann-Ford und Warhall Minimale Spannbäume: Krukal-Algorithmu maximale Flüe bzw. maximale Matching: Ford-Fulkeron-Algorithmu viele NP-volltändige Optimierungprobleme TravelingSalemanProblem, Cliquenproblem, Färbungproblem... Betimmung eine planaren Graphen (Graph-Dartellung ohne überchneidende Kanten) /