2.6.1 Definition und Darstellung Ausspähen von Graphen Minimal spannende Bäume Kürzeste Pfade 2.6.
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- Teresa Breiner
- vor 7 Jahren
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1 .6 Graphen.6. Definition und Dartellung.6. Aupähen von Graphen.6.3 Minimal pannende Bäume.6.4 Kürzete Pfade.6.5 Maximaler Flu
2 .6.5 Maximaler Flu.6.5. Flunetzwerke.6.5. Ford-Fulkeron-Methode Algorithmu von Dinic Forward-backward propagation
3 Flunetzwerke Ein Flunetzwerk (G,c) it ein Graph G=(V,E) zuammen mit einer Kapazitätfunktion c:e N>0 und zwei Knoten, au V mit Einganggrad() = Auganggrad() = 0 Der Knoten heißt Quelle, der Knoten heißt Senke. 3
4 Flunetzwerke
5 Flunetzwerke Ein Flu in einem Netzwerk G=(V,E) it eine reellwertige Funktion f : E R mit den Eigenchaften Fluerhaltung und Kapazitätbechränkung 5
6 Flunetzwerke Kapazitätbechränkung: e E: 0 f(e) c(e) Flu f(e)=3 Kapazität c(e)=6 3/6 6
7 Fluerhaltung: Flunetzwerke 7
8 Fluerhaltung: Flunetzwerke 3 7 u fin(u) = = 7 8
9 Fluerhaltung: Flunetzwerke 3 7 u fin(u) = = 7 fout(u) = = 7 9
10 Flunetzwerke Der Wert w(f) eine Flue f it definiert al w(f) = fout() 4/5 3/3 / 0/7 3/5 /9 /6 fin() = 7 w(f) = fout() = 7 / 0
11 Flunetzwerke Problemtellung Gegeben ei ein Flunetzwerk (G,c). Geucht it ein Flu f auf (G,c) mit maximalem Wert w(f).
12 Vereinfachungen Erweitere c:e N>0 auf c:v V N 0 durch c(u,v) = 0, fall (u,v) E Analog: Erweitere f... Wir nehmen an, da nicht gleichzeitig (u,v) E und (v,u) E gilt. G ei zuammenhängend, und damit it V E V
13 .6.5 Maximaler Flu.6.5. Flunetzwerke.6.5. Ford-Fulkeron-Methode Algorithmu von Dinic Forward-backward propagation 3
14 Retgraph E ei G ein Flunetzwerk und f ein Flu auf G. Für alle Paare (u,v) V definiere retf(u,v) = c(u,v) f(u,v) (u,v) E f(v,u) (v,u) E 0 ont Da Retgraph Gf = (V,Ef) it dann definiert durch die Kantenmenge Ef = { (u,v) : retf(u,v) > 0 } 4
15 Retgraph G=(V,E) Gf=(V,Ef) 0/5 5 3/3 3 4/6 4 5
16 Retgraph E ei G ein Flunetzwerk und f ein Flu auf G. Ein fluvergrößernder Weg p: =v0,v,...,vk= it ein einfacher Weg von nach im Retgraph Gf. Der Wert von p it w(p) = mini w(vi,vi+). 4/4 /5 /7 3/ /
17 Retgraph E ei G ein Flunetzwerk und f ein Flu auf G. Ein fluvergrößernder Weg p: =v0,v,...,vk= it ein einfacher Weg von nach im Retgraph Gf. Der Wert von p it w(p) = mini w(vi,vi+). 4/4 /5 /7 3/ w(p)= 3/
18 Achtung: Rückwärtkante Retgraph E ei G ein Flunetzwerk und f ein Flu auf G. Ein fluvergrößernder Weg p: =v0,v,...,vk= it ein einfacher Weg von nach im Retgraph Gf. Der Wert von p it w(p) = mini w(vi,vi+). 4/4 /5 /7 3/8 3/ w(p)= 5 3 8
19 Retgraph E ei G ein Flunetzwerk und f ein Flu auf G. Ein fluvergrößernder Weg p: =v0,v,...,vk= it ein einfacher Weg von nach im Retgraph Gf. Der Wert von p it w(p) = mini w(vi,vi+). 4/4 3/5 0/7 3/ w(p)= 4/
20 Ford-Fulkeron-Methode FordFulkeronMethod(V,E,c) for all e E do f[e] 0 while exit fv-path p do increae f along p by w(p) return f Zum Bewei der Korrektheit dieer Methode machen wir einen kleinen Exkur... 0
21 Schnitte E ei G ein Flunetzwerk. Ein Schnitt (Q,S) in G it eine Partitionierung der Knotenmenge V=Q S, Q S= mit Q und S. 4/5 3/3 / 0/7 3/5 /9 / /6
22 Schnitte E ei G ein Flunetzwerk. Ein Schnitt (Q,S) in G it eine Partitionierung der Knotenmenge V=Q S, Q S= mit Q und S. 4/5 3/3 / 0/7 3/5 /9 / /6
23 Schnitte E ei G ein Flunetzwerk. Ein Schnitt (Q,S) in G it eine Partitionierung der Knotenmenge V=Q S, Q S= mit Q und S. 4/5 3/3 / 0/7 3/5 /9 / /6 3
24 Schnitte Die Kapazität de Schnitt (Q,S) it definiert al c(q,s) = c(u,v) u Q, v S Der Flu über den Schnitt (Q,S) it definiert al f(q,s) = f(u,v) u Q, v S f(v,u) u Q, v S 4
25 Schnitte Lemma (Max-Flow Min-Cut) Für jeden Flu f und jeden Schnitt (Q,S) gilt: w(f) = f(q,s) c(q,s) Inbeondere: fout() = fin() Bewei: f(q,s) c(q,s) klar 5
26 Schnitte Zeige durch Induktion über #Q: w(f) = f(q,s) IA: fall #Q=, o it Q={}, S=V {} und damit w(f)=fout()=f(q,s) IV: E ei V=Q {x} S, mit Q S=Q {x}=s {x}= und e gelte w(f)=f(q,s {x}) 6
27 Schnitte =0 7
28 Schnitte =fout(x) =fin(x) 8
29 Schnitte =0 9
30 Schnitte Satz (Max-Flow = Min-Cut) Die folgenden Auagen ind äuivalent: a) f it ein maximaler Flu b) Gf enthält keinen fv-weg c) E gibt einen Schnitt (Q,S) mit w(f) = c(q,s) 30
31 Schnitte Satz (Max-Flow = Min-Cut) Die folgenden Auagen ind äuivalent: a) f it ein maximaler Flu b) Gf enthält keinen fv-weg c) E gibt einen Schnitt (Q,S) mit w(f) = c(q,s) Bewei: a b c a klar! 3
32 Schnitte Satz (Max-Flow = Min-Cut) Die folgenden Auagen ind äuivalent: a) f it ein maximaler Flu b) Gf enthält keinen fv-weg c) E gibt einen Schnitt (Q,S) mit w(f) = c(q,s) Bewei: a b c a w(f) = c(q,s) Min-Cut Max-Flow Lemma 3
33 Schnitte Satz (Max-Flow = Min-Cut) Die folgenden Auagen ind äuivalent: a) f it ein maximaler Flu b) Gf enthält keinen fv-weg c) E gibt einen Schnitt (Q,S) mit w(f) = c(q,s) Bewei: a b c a Finde einen Schnitt... 33
34 Schnitte Definiere Q = { v V : Weg von nach v in Gf } und S = V Q Der Schnitt (Q,S) it wohldefiniert: Q, S Für jede Paar (u,v) Q S gilt f(u,v)=c(u,v), da ont retf(u,v)>0 und v Q. Für jede Paar (v,u) S Q gilt f(v,u)=0, da ont retf(u,v)>0 und v Q. Damit... 34
35 Schnitte c(q,s) = c(u,v) u Q, v S = f(u,v) f(v,u) u Q, v S u Q, v S = f(q,s) = w(f) ed 35
36 Ford-Fulkeron-Methode Lemma Fall die Ford-Fulkeron-Methode terminiert, o liefert ie einen maximalen Flu. Bewei: Terminierung kein fv-weg in Gf f maximal 36
37 Ford-Fulkeron-Methode Da der Flu in jeder Iteration um mindeten eine Einheit erhöht wird, terminiert die Ford-Folkeron- Methode. 37
38 Laufzeit Satz (Edmond, Karp) Die Laufzeit der Ford-Fulkeron- Methode mit Breitenuche zur Betimmung de fv-wege it O(V E ) = O(V 5 ) Bewei: Zeige, da der Algorithmu nach O(V E) Iterationen terminiert. 38
39 Laufzeit Lemma Von Iteration zu Iteration verringert ich die Ditanz von zu einem Knoten v im Retgraph nicht. Bewei de Lemma: Entlang de fv- Wege können Kanten verchwinden oder enttehen... 39
40 Laufzeit Sei (u,v) eine Kante auf einem fv-weg p, d.h. retf(v,u) wird erhöht. Die Kante (v,u) kann enttehen, fall retf(v,u) zuvor = 0 war. Breitenuche p it ein kürzeter Weg dit(,v) = dit(,u) + E erhöht ich retf(v,u) und (v,u) wird evtl. eingefügt. Da dit(,v) > dit(,u) verringern ich die Abtände der Knoten zu in dieem Fall natürlich nicht. 40
41 Laufzeit Sei (u,v) eine Kante auf einem fv-weg p, d.h. retf(u,v) wird verringert. Die Kante (u,v) kann verchwinden, fall retf(u,v) zuvor >0 war. Kantenlöchungen können aber Ditanzen offenichtlich nicht verringern. 4
42 Laufzeit Bewei de Satze von Edmond-Karp Wenn (u,v) zu Zeitpunkt verchwindet, o liegt (u,v) auf einem kürzeten Pfad und e gilt: dit(,v) = dit(,u) + Wenn (u,v) zu einem päteren Zeitpunkt wieder eingefügt wird, o liegt (v,u) auf einem kürzeten Pfad, d.h. dit(,u) = dit(,v) + Zwichen den Iterationen haben ich die Abtände nach Lemma nicht verringert, alo dit(,u) > dit(,v) dit(,v) > dit(,u) und damit dit(,u) dit(,u) + 4
43 Laufzeit Bewei de Satze von Edmond-Karp Da die maximale Ditanz V it, kann eine Kante höchten V/ mal entfernt und wieder eingefügt werden. In jeder Iteration wird mindeten eine Kante entfernt. E gibt E Kanten im Retgraph, alo it die Zahl der Iterationen höchten / V E = V E ed 43
44 Beipiel G 0/7 0/5 0/ 0/5 0/3 0/8 0/ 44
45 Beipiel G Gf 0/7 0/ / 0/5 0/3 0/ / 45
46 Beipiel G Gf 0/7 0/ / 0/5 0/3 0/ / 46
47 Beipiel G Gf 0/7 0/ / 0/5 0/3 0/ / 47
48 Beipiel G Gf 0/7 5/ / 0/5 0/3 5/ / 48
49 Beipiel G 0/7 5/5 0/ 0/5 0/3 5/8 0/ 49
50 Beipiel G Gf 0/7 5/ / 0/5 0/3 5/ / 50
51 Beipiel G Gf 0/7 5/ / 0/5 0/3 5/ / 5
52 Beipiel G Gf 0/7 5/ / 0/5 0/3 5/ / 5
53 Beipiel G Gf /7 5/ / /5 0/3 5/ / 53
54 Beipiel G /7 5/5 0/ /5 0/3 5/8 / 54
55 Beipiel G Gf /7 0/ 5/5 5 5 /5 0/3 5/ / 55
56 Beipiel G Gf /7 0/ 5/5 5 5 /5 0/3 5/ / 56
57 Beipiel G Gf /7 0/ 5/5 5 5 /5 0/3 5/ / 57
58 Beipiel G Gf 3/7 / 5/5 5 5 /5 0/3 6/ / 58
59 Beipiel G Gf 3/7 5/5 / /5 0/3 6/8 / 59
60 Beipiel G Gf 3/7 / 5/ /5 0/3 6/ / 60
61 Beipiel G Gf 3/7 / 5/ /5 0/3 6/ / 6
62 Beipiel G Gf 3/7 / 5/ /5 0/3 6/ / 6
63 Beipiel G Gf 5/7 / 5/ /5 /3 8/ / 63
64 Beipiel G 5/7 5/5 / 4/5 /3 8/8 / 64
65 Beipiel G Gf 5/7 / 5/ /5 /3 8/8 4 8 / 65
66 Beipiel G 5/7 5/5 / 4/5 /3 8/8 / 66
67 .6.5 Maximaler Flu.6.5. Flunetzwerke.6.5. Ford-Fulkeron-Methode Algorithmu von Dinic Forward-backward propagation 67
68 Niveaunetzwerk Für i N ei Vi = { v V : dit(,v) in Gf it i } Da Niveaunetzwerk G f = (V,E f,retf) it definiert durch E f = { (u,v) Ef : i mit u Vi und v Vi+ } Da Niveaunetzwerk G f kann au dem Retgraph Gf durch Breitenuche in Zeit O(E) berechnet werden. 68
69 Niveaunetzwerk 4/5 3/7 /7 / _/ _/4 _/3 /8 3/5 /7 6/ _/6 _/ _/ /3 _/ G Gf G f 69
70 Sperrflu E ei g ein Flu in G f Eine Kante e E f heißt aturiert, fall g(e) = retf(e). g heißt Sperrflu, wenn jeder Weg von nach in G f mindeten eine aturierte Kante enthält. 70
71 Sperrflu Sperrflu() for all e in E f do g(e) 0 while exit --path p in G f do increae g along p remove all aturated edge from G f return g 7
72 Sperrflu 4/5 3/7 /7 /8 /5 3/5 /7 6/8 4 _/ _/ _/3 _/ _/ _/ /3 _/ G Gf G f 7
73 Sperrflu 4/5 3/7 /7 / _/ _/4 _/3 /8 3/5 /7 6/ _/6 _/ _/ /3 _/ G Gf G f 73
74 Sperrflu 4/5 3/7 /7 / / _/4 _/3 /8 3/5 /7 6/ _/6 / _/ /3 / G Gf G f 74
75 Sperrflu 4/5 3/7 /7 / / _/4 _/3 /8 3/5 /7 6/ _/6 / _/ /3 / G Gf G f 75
76 Sperrflu 4/5 3/7 /7 / / _/4 _/3 /8 3/5 /7 6/ _/6 / _/ /3 / G Gf G f 76
77 Sperrflu 4/5 3/7 /7 / / /4 /3 /8 3/5 /7 6/ _/6 / / /3 / G Gf G f 77
78 Sperrflu 4/5 3/7 /7 / / /4 /3 /8 3/5 /7 6/ _/6 / / /3 / G Gf G f 78
79 Sperrflu Lemma Bei geeigneter Implementierung hat der Algorithmu zur Sperrfluberechnung eine Laufzeit von O(V E). Idee: Tiefenuche mit Backtracking und Löchen von Sackgaen 79
80 Sperrflu _/ _/4 _/3 _/6 _/ _/ _/ G f 80
81 Sperrflu _/ _/4 _/3 _/6 _/ _/ _/ G f 8
82 Sperrflu _/ _/4 _/3 _/6 _/ _/ _/ G f 8
83 Sperrflu _/ _/4 _/3 _/6 _/ _/ _/ G f 83
84 Sperrflu / _/4 _/3 _/6 / _/ / G f 84
85 Sperrflu / _/4 _/3 _/6 / _/ / G f 85
86 Sperrflu / _/4 _/3 _/6 / _/ / G f 86
87 Sperrflu / _/4 _/3 _/6 / _/ / G f 87
88 Sperrflu / _/4 _/3 _/6 / _/ / G f 88
89 Sperrflu / /4 /3 _/6 / / / G f 89
90 Sperrflu / /4 /3 _/6 / / / G f 90
91 Sperrflu / /4 /3 _/6 / / / G f 9
92 Sperrflu / /4 /3 _/6 / / / G f 9
93 Dinic Algorithmu Dinic() for all e in E do f(e) 0 while exit --path p in Gf do berechne Niveaunetzwerk G f berechne Sperrflu g in G f addiere g zu f return f Beachte Rückwärtkanten! 93
94 Dinic Algorithmu 4/5 3/7 /7 / / /4 /3 /8 3/5 /7 6/ _/6 / / /3 / G Gf G f 94
95 Dinic Algorithmu 3/7 /4 4/5 /7 /5 / /3 /8 3/5 /7 6/8 _/6 / / /3 G / G f 95
96 Dinic Algorithmu 5/7 /4 5/5 /7 4/5 / /3 /8 4/5 /7 8/8 _/6 / / /3 G / G f 96
97 Dinic Algorithmu 5/5 5/7 /7 4/ /8 4/5 /7 8/ /3 G 3 Gf 97
98 Dinic Algorithmu 5/5 5/7 /7 4/5 5 _/ 5 6 _/6 4 _/ /8 4/5 /7 8/ _/ _/ /3 3 _/ 3 G Gf G f 98
99 Dinic Algorithmu 5/5 5/7 /7 4/5 5 _/ 5 6 _/6 4 _/ /8 4/5 /7 8/ _/ _/ /3 3 _/ 3 G Gf G f 99
100 Dinic Algorithmu 5/5 5/7 /7 4/ / _/6 / /8 4/5 /7 8/ _/ / /3 3 / 3 G Gf G f 00
101 Dinic Algorithmu 5/5 5/7 /7 4/5 5 / 5 6 /6 4 / /8 4/5 /7 8/ _/ / /3 3 / 3 G Gf G f 0
102 Dinic Algorithmu 5/7 / 5/5 /7 4/5 /6 / /8 4/5 /7 8/8 _/ / /3 G / 3 G f 0
103 Dinic Algorithmu 6/7 / 5/5 /7 5/5 /6 / /8 4/5 /7 8/8 _/ / 3/3 G / 3 G f 03
104 Dinic Algorithmu 5/5 6/7 /7 5/ /8 6 4/5 /7 8/ /3 G 3 3 Gf 04
105 Dinic Algorithmu Beobachtung: Niveau-Graph enthält immer genau alle kürzeten Pfade Länge kürzeter Pfade erhöht ich um mindeten nach Sperrflu Maximale Länge: V Laufzeit: O(V) O(Sperrflu) 05
106 Dinic Algorithmu Beobachtung: Niveau-Graph enthält immer genau alle kürzeten Pfade Länge kürzeter Pfade erhöht ich um mindeten nach Sperrflu Maximale Länge: V Laufzeit: O(V) O(V E) 06
107 Dinic Algorithmu Satz Die Laufzeit von Dinic Algorithmu it O(V E)=O(V 4 ). 07
108 .6.5 Maximaler Flu.6.5. Flunetzwerke.6.5. Ford-Fulkeron-Methode Algorithmu von Dinic Forward-backward propagation 08
109 Forward-backward propagation Lemma Mit forward-backward propagation lät ich ein Sperrflu ogar in Zeit O(V ) berechnen. Der enttehende Algorithmu hat nur noch einen Aufwand von O(V 3 ). 09
110 .6.5 Maximaler Flu Zuammenfaung Ford-Fulkeron/Edmond-Karp O(V 5 ) Dinic O(V 4 ) Forward-Backward Propagation O(V 3 ) 0
111 Schnitt-Trick Fall nur Wert de maximalen Flue berechnet werden oll und da Netzwerk nur wenige Knoten enthält: Berechne direkt minimalen Max- Flow = Min- Cut => Wert de maximalen Flue
112 Schnitt-Trick Anzahl V - Ø exponenkelle Laufzeit Aber: keine Reidualnetzwerke etc. Ø Auf Papier op chneller Viele Schni@e können ignoriert werden Jeder Knoten in Q mu von au erreichbar ein, ohne Knoten au S zu beuchen mu von jedem Knoten in S au erreichbar ein, ohne Knoten au Q zu beuchen
113 Beipiel G 0/7 a 0/ 0/5 b 0/5 0/3 0/8 c 0/ 3
114 Beipiel G / a,b,c,: 0/7 a 0/ 0/5 b 0/5 0/3 0/8 c 0/ 4
115 Beipiel G / a,b,c,:,a / b,c,: 0/7 a 0/ 0/5 b 0/5 0/3 0/8 c 0/ 5
116 Beipiel 0/7 G / a,b,c,:,a / b,c,:,a,b / c,: 3 0/5 a 0/ b 0/5 0/3 0/8 c 0/ 6
117 Beipiel 0/7 G / a,b,c,:,a / b,c,:,a,b / c,: 3,a,b,c / : 0 0/5 a 0/ b 0/5 0/3 0/8 c 0/ 7
118 Beipiel 0/7 a G / a,b,c,:,a / b,c,:,a,b / c,: 3 0/5,a,b,c / : 0,a,c / b,: 0/ b 0/5 0/3 0/8 c 0/ 8
119 Beipiel 0/7 a G / a,b,c,:,a / b,c,:,a,b / c,: 3 0/5,a,b,c / : 0,a,c / b,:,b / a,c,: 5 0/ b 0/5 0/3 0/8 c 0/ 9
120 Beipiel 0/7 a G / a,b,c,:,a / b,c,:,a,b / c,: 3 0/5,a,b,c / : 0,a,c / b,: b,b / a,c,: 5,b,c / a,: ignorieren 0/ 0/5 0/3 0/8 c 0/ 0
121 Beipiel 0/5 0/7 a G / a,b,c,:,a / b,c,:,a,b / c,: 3 0/5,a,b,c / : 0,a,c / b,: b,b / a,c,: 5,b,c / a,: ignorieren,c / a,b,: ignorieren 0/ 0/3 0/8 c 0/
122 Beipiel 0/5 0/7 a G / a,b,c,:,a / b,c,:,a,b / c,: 3 0/5,a,b,c / : 0,a,c / b,: b,b / a,c,: 5,b,c / a,: ignorieren,c / a,b,: ignorieren 0/ 0/3 0/8 c 0/
123 Beipiel 0/7 a 0/5 c G / a,b,c,:,a / b,c,:,a,b / c,: 3 0/5,a,b,c / : 0,a,c / b,: b,b / a,c,: 5,b,c / a,: ignorieren,c / a,b,: ignorieren 0/ 0/ 0/3 0/8 Antwort: 0 3
124 Beipiel Bildverarbeitung: Intelligent Scior, Montage 4
125 Beipiel Bildverarbeitung: Intelligent Scior, Montage t-link betrafen Sprünge in den Farbwerten 5
126 Beipiel Bildverarbeitung: Intelligent Scior, Montage t-link betrafen Sprünge in den Farbwerten n-link betimmen die Komponenten 6
127
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