Vorlesung Kombinatorische Optimierung (Wintersemester 2016/17)

Transkript

1 Vorlesung Kombinatorische Optimierung (Wintersemester 06/7) Kapitel : Flüsse und Zirkulationen Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 4. Oktober 06)

2 Definition. Ein Netzwerk ist ein Paar (D, u) bestehend aus einem Digraphen D = (V, A) und nicht-negativen Bogenkapazitäten u R A +. Ein Fluss in (D, u) ist eine Abbildung f : A R + (f R A +) mit f (a) = f a u a für alle a A. Für v V definieren wir den Überschuss von f in v. Ein Fluss f R A + mit ex f (v) := f (δ ein (v)) f (δ aus (v)) ex f (v) = 0 für alle v V (Flusserhaltungsbedingungen) heißt eine Zirkulation. Für s, t V ist ein s-t-fluss ein Fluss f R A + in (D, u) mit und ex f (s) 0. ex f (v) = 0 für alle v V \ {s, t}

3 s-t-flüsse s 4 t

4 Das Max-Flow Problem 4 Problem. (Max-Flow Problem) Instanz: Netzwerk N = (D = (V, A), u), zwei Knoten s, t V Aufgabe: Ein s-t-fluss in N mit maximalem Flusswert Anwendung: Problem.4 (Job-Assignment Problem) Instanz: n Jobs, m Arbeiter, Arbeitszeit t i Q +, die Job i benötigt und Teilmenge J(i) [m] von Arbeitern, die Job i können (für alle i), T Q + Aufgabe: Finde, wenn möglich, einen Plan, mit dem alle Jobs nach T Zeiteinheiten fertig sind

5 Job-Assignment als Flussproblem 5

6 6 Inzidenzmatrizen Definition.5 Die Inzidenzmatrix eines Digraphen D = (V, A) ist die Matrix Inz(D) {, 0, } V A mit, falls a δ aus (v) Inz(D) v,a = +, falls a δ ein (v) 0, sonst für alle v V und a A.

7 Inzidenzmatrizen

8 Satz von Menger (bogendisjunkt, gerichtet) 8 s t

9 Spezielle Untergraphen 9 Definition.0 Für einen Graphen G = (V, E) und F E, W V definieren wir die folgenden Graphen: G[F ] := (V, F ) G \ F := G[E \ F ] G[W ] := (W, E ( ) W ) G \ W := G[V \ W ]

10 Zusammenhang von Graphen 0 Definition. Für k N >0 heißt ein Graph G = (V, E) k-fach kantenzusammenhängend, wenn V ist und für alle F E mit F < k der Graph G \ F zusammenhängend ist. Der Graph G ist k-fach knotenzusammenhängend (oder: k-zusammenhängend), wenn V > k ist und für alle W V mit W < k der Graph G \ W zusammenhängend ist.

11 Idee: Augmentierung s t

12 Multi-Digraphen... Definition.6 Ein Multi-Digraph ist ein Tripel D = (V, A, Ψ) mit einer endlichen Knotenmenge V und einer endlichen Bogenmenge A und einer Abbildung Ψ : A V V \ {(v, v) v V }. Zwei Bögen a, a A mit a a und Ψ(a) = Ψ(a ) heißen parallel. Sie heißen anti-parallel, wenn Ψ(a) = (v, w) und Ψ(a ) = (w, v) ist.

13 ... Multi-Digraphen Definition.7 Ein Multi-Digraph, der keine parallelen Bögen hat, heißt einfach. Ein einfacher Multi-Digraph (V, A, Ψ) ist ein Digraph, wenn man jeden Bogen a A (eineindeutig) mit Ψ(a) V V identifiziert. Definition.8 Ein Multi-Digraph D = (V, A, Ψ ) ist ein Unter-Multi-Digraph von D = (V, A, Ψ), wenn V V, A A (V V ) und Ψ = Ψ A sind.

14 Weitere Definitionen Seien D = (V, A, Ψ) ein Multi-Digraph mit Bogenlängen c R A. Sind v 0, v,..., v l V und a,..., a l A mit Ψ(a i ) = (v i, v i ) für alle i [l], so heißt Q = {a,..., a k } ein v 0 -v l -Weg in D, falls v i v j für alle i, j {0,,..., l} mit i j. Falls l, v 0 = v l und v i v j für alle i, j [l] mit i j, so ist Q ein Kreis in D. Die (kombinatorische) Länge von Q ist Q = l. Die c-länge von Q ist c(q). Für s V bezeichnet R D (s) V die Menge aller Knoten w V, für die ein s-w-weg in D existiert. Haben alle Kreise in D nicht-negative c-länge, so heißt c konservativ. Ein Vektor π R V ist ein c-potenzial für D, wenn für alle a A mit Ψ(a) = (v, w) 4 π w π v + c a gilt.

15 5 Der Multi-Digraph D Definition.0 Für einen Digraphen D = (V, A) definieren wir den Multi-Digraphen D= (V, A, Ψ) mit A= A A und einer Bijektion A A mit a a für alle a A, sowie für a A mit a = (v, w) Ψ(a) = (v, w) Ψ( a ) = (w, v). Die Bögen in A heißen Vorwärtsbögen, die in A heißen Rückwärtsbögen. Bögen a und a heißen revers zueinander.

16 Das Residualnetzwerk 6 Definition. Ist f R V + ein Fluss in einem Netzwerk (D = (V, A), u), so ist das Residual-Netzwerk bzgl. f der Multi-Digraph D f = (V, A f, Ψ Af ) wobei A f die Teilmenge von A ist, für die für alle a = (v, w) A gilt: a A f f a < u a a Af f a > 0 Die Residualkapazitäten ū R A f >0 sind definiert durch { ū a := u a f a für alle a A mit a A f ū a := f a für alle a A mit a A f

17 7 Beispiel: Residualnetzwerk s t s t 4

18 Augmentierende Wege 8 Ein f -augmentierender Weg/Kreis ist ein Weg/Kreis R A f in D f. Seine Kapazität ist cap f (R) := min{ū r r R}. Ist R A f ein f -augmentierender Weg/Kreis und γ R, so definieren wir aug(f, R, γ) als f R A + durch f a + γ, falls a R f a := f a γ, falls a R f a, sonst für alle a A ( Augmentierung von f um γ entlang R ).

19 9 Augmentierender Weg im Residualnetzwerk s t s t 4

20 0 Algorithmus.5 (Ford-Fulkerson Algorithmus) Eingabe: Netzwerk N = (D = (V, A), u), s, t V (s t) Ausgabe: Ein s-t-fluss f Q A + in N mit maximalem Flusswert : for all a A do : f a 0 : if t / R Df (s) then 4: Stop 5: Bestimme einen f -augmentierenden s-t-weg R in D f. 6: f aug(f, R, cap f (R))) 7: Gehe zu Schritt

21 Exponentielle Laufzeit des FF-Algorithmus s N N N N t

22 Beweis von Lemma.40

23 Der Harris-Ross Report Ford & Fulkerson (954): (Beschreiben das Problem, das T. E. Harris formuliert hatte.) Ford & Fulkerson (96): (Über das Max-Flow Problem.)

24 Schrijver (Combinatorial Optimization, S. 66) 4 (Zitiert aus dem Report von Harris und Ross aus dem Jahre 955 an die Air Force, downgraded to unclassified im Jahr 999)

25 Abbildung aus dem Harris-Ross Report 5

26 Finden von Zirkulationen 6

27 Min-Cost Zirkulationen 7 Problem.45 (Min-Cost Circulation Problem) Instanz: D = (V, A), l, u Q A (l u), c Q A Aufgabe: Optimallösung von min{ c, f f Circ(D, l, u)} oder Feststellung, dass Circ(D, l, u) =

28 Cycle Cancelling Algorithmus 8 Algorithmus.49 (Cycle Cancelling) Eingabe: D = (V, A), l, u Q A (l u), c Q A Ausgabe: Optimallösung von min{ c, f f Circ(D, l, u)} oder Feststellung, dass Circ(D, l, u) = : Bestimme irgendein f Circ(D, l, u) (oder stelle fest, dass Circ(D, l, u) = ist (Lem..44 und stoppe). : while D f hat c -negativen Kreis do : Bestimme Kreis C A f mit c (C) < 0. 4: f aug(f, C, cap f (C))

29 Exponentiell viele Augmentationen 9 [0,N] - [0,] [0,N] 0 0 [0,N] 0 - [0,N] (Augmentatiere stets entlang von Dreiecken.)

30 b-fluss als Zirkulation 0