Vorlesung Kombinatorische Optimierung (Wintersemester 2016/17)

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Vorlesung Kombinatorische Optimierung (Wintersemester 2016/17)"

Transkript

1 Vorlesung Kombinatorische Optimierung (Wintersemester 06/7) Kapitel : Flüsse und Zirkulationen Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 4. Oktober 06)

2 Definition. Ein Netzwerk ist ein Paar (D, u) bestehend aus einem Digraphen D = (V, A) und nicht-negativen Bogenkapazitäten u R A +. Ein Fluss in (D, u) ist eine Abbildung f : A R + (f R A +) mit f (a) = f a u a für alle a A. Für v V definieren wir den Überschuss von f in v. Ein Fluss f R A + mit ex f (v) := f (δ ein (v)) f (δ aus (v)) ex f (v) = 0 für alle v V (Flusserhaltungsbedingungen) heißt eine Zirkulation. Für s, t V ist ein s-t-fluss ein Fluss f R A + in (D, u) mit und ex f (s) 0. ex f (v) = 0 für alle v V \ {s, t}

3 s-t-flüsse s 4 t

4 Das Max-Flow Problem 4 Problem. (Max-Flow Problem) Instanz: Netzwerk N = (D = (V, A), u), zwei Knoten s, t V Aufgabe: Ein s-t-fluss in N mit maximalem Flusswert Anwendung: Problem.4 (Job-Assignment Problem) Instanz: n Jobs, m Arbeiter, Arbeitszeit t i Q +, die Job i benötigt und Teilmenge J(i) [m] von Arbeitern, die Job i können (für alle i), T Q + Aufgabe: Finde, wenn möglich, einen Plan, mit dem alle Jobs nach T Zeiteinheiten fertig sind

5 Job-Assignment als Flussproblem 5

6 6 Inzidenzmatrizen Definition.5 Die Inzidenzmatrix eines Digraphen D = (V, A) ist die Matrix Inz(D) {, 0, } V A mit, falls a δ aus (v) Inz(D) v,a = +, falls a δ ein (v) 0, sonst für alle v V und a A.

7 Inzidenzmatrizen

8 Satz von Menger (bogendisjunkt, gerichtet) 8 s t

9 Spezielle Untergraphen 9 Definition.0 Für einen Graphen G = (V, E) und F E, W V definieren wir die folgenden Graphen: G[F ] := (V, F ) G \ F := G[E \ F ] G[W ] := (W, E ( ) W ) G \ W := G[V \ W ]

10 Zusammenhang von Graphen 0 Definition. Für k N >0 heißt ein Graph G = (V, E) k-fach kantenzusammenhängend, wenn V ist und für alle F E mit F < k der Graph G \ F zusammenhängend ist. Der Graph G ist k-fach knotenzusammenhängend (oder: k-zusammenhängend), wenn V > k ist und für alle W V mit W < k der Graph G \ W zusammenhängend ist.

11 Idee: Augmentierung s t

12 Multi-Digraphen... Definition.6 Ein Multi-Digraph ist ein Tripel D = (V, A, Ψ) mit einer endlichen Knotenmenge V und einer endlichen Bogenmenge A und einer Abbildung Ψ : A V V \ {(v, v) v V }. Zwei Bögen a, a A mit a a und Ψ(a) = Ψ(a ) heißen parallel. Sie heißen anti-parallel, wenn Ψ(a) = (v, w) und Ψ(a ) = (w, v) ist.

13 ... Multi-Digraphen Definition.7 Ein Multi-Digraph, der keine parallelen Bögen hat, heißt einfach. Ein einfacher Multi-Digraph (V, A, Ψ) ist ein Digraph, wenn man jeden Bogen a A (eineindeutig) mit Ψ(a) V V identifiziert. Definition.8 Ein Multi-Digraph D = (V, A, Ψ ) ist ein Unter-Multi-Digraph von D = (V, A, Ψ), wenn V V, A A (V V ) und Ψ = Ψ A sind.

14 Weitere Definitionen Seien D = (V, A, Ψ) ein Multi-Digraph mit Bogenlängen c R A. Sind v 0, v,..., v l V und a,..., a l A mit Ψ(a i ) = (v i, v i ) für alle i [l], so heißt Q = {a,..., a k } ein v 0 -v l -Weg in D, falls v i v j für alle i, j {0,,..., l} mit i j. Falls l, v 0 = v l und v i v j für alle i, j [l] mit i j, so ist Q ein Kreis in D. Die (kombinatorische) Länge von Q ist Q = l. Die c-länge von Q ist c(q). Für s V bezeichnet R D (s) V die Menge aller Knoten w V, für die ein s-w-weg in D existiert. Haben alle Kreise in D nicht-negative c-länge, so heißt c konservativ. Ein Vektor π R V ist ein c-potenzial für D, wenn für alle a A mit Ψ(a) = (v, w) 4 π w π v + c a gilt.

15 5 Der Multi-Digraph D Definition.0 Für einen Digraphen D = (V, A) definieren wir den Multi-Digraphen D= (V, A, Ψ) mit A= A A und einer Bijektion A A mit a a für alle a A, sowie für a A mit a = (v, w) Ψ(a) = (v, w) Ψ( a ) = (w, v). Die Bögen in A heißen Vorwärtsbögen, die in A heißen Rückwärtsbögen. Bögen a und a heißen revers zueinander.

16 Das Residualnetzwerk 6 Definition. Ist f R V + ein Fluss in einem Netzwerk (D = (V, A), u), so ist das Residual-Netzwerk bzgl. f der Multi-Digraph D f = (V, A f, Ψ Af ) wobei A f die Teilmenge von A ist, für die für alle a = (v, w) A gilt: a A f f a < u a a Af f a > 0 Die Residualkapazitäten ū R A f >0 sind definiert durch { ū a := u a f a für alle a A mit a A f ū a := f a für alle a A mit a A f

17 7 Beispiel: Residualnetzwerk s t s t 4

18 Augmentierende Wege 8 Ein f -augmentierender Weg/Kreis ist ein Weg/Kreis R A f in D f. Seine Kapazität ist cap f (R) := min{ū r r R}. Ist R A f ein f -augmentierender Weg/Kreis und γ R, so definieren wir aug(f, R, γ) als f R A + durch f a + γ, falls a R f a := f a γ, falls a R f a, sonst für alle a A ( Augmentierung von f um γ entlang R ).

19 9 Augmentierender Weg im Residualnetzwerk s t s t 4

20 0 Algorithmus.5 (Ford-Fulkerson Algorithmus) Eingabe: Netzwerk N = (D = (V, A), u), s, t V (s t) Ausgabe: Ein s-t-fluss f Q A + in N mit maximalem Flusswert : for all a A do : f a 0 : if t / R Df (s) then 4: Stop 5: Bestimme einen f -augmentierenden s-t-weg R in D f. 6: f aug(f, R, cap f (R))) 7: Gehe zu Schritt

21 Exponentielle Laufzeit des FF-Algorithmus s N N N N t

22 Beweis von Lemma.40

23 Der Harris-Ross Report Ford & Fulkerson (954): (Beschreiben das Problem, das T. E. Harris formuliert hatte.) Ford & Fulkerson (96): (Über das Max-Flow Problem.)

24 Schrijver (Combinatorial Optimization, S. 66) 4 (Zitiert aus dem Report von Harris und Ross aus dem Jahre 955 an die Air Force, downgraded to unclassified im Jahr 999)

25 Abbildung aus dem Harris-Ross Report 5

26 Finden von Zirkulationen 6

27 Min-Cost Zirkulationen 7 Problem.45 (Min-Cost Circulation Problem) Instanz: D = (V, A), l, u Q A (l u), c Q A Aufgabe: Optimallösung von min{ c, f f Circ(D, l, u)} oder Feststellung, dass Circ(D, l, u) =

28 Cycle Cancelling Algorithmus 8 Algorithmus.49 (Cycle Cancelling) Eingabe: D = (V, A), l, u Q A (l u), c Q A Ausgabe: Optimallösung von min{ c, f f Circ(D, l, u)} oder Feststellung, dass Circ(D, l, u) = : Bestimme irgendein f Circ(D, l, u) (oder stelle fest, dass Circ(D, l, u) = ist (Lem..44 und stoppe). : while D f hat c -negativen Kreis do : Bestimme Kreis C A f mit c (C) < 0. 4: f aug(f, C, cap f (C))

29 Exponentiell viele Augmentationen 9 [0,N] - [0,] [0,N] 0 0 [0,N] 0 - [0,N] (Augmentatiere stets entlang von Dreiecken.)

30 b-fluss als Zirkulation 0

VU Algorithmen auf Graphen Übungsblatt 2 - Aufgabe 2 Transformation einer MaxFlow- in eine MinCost Circulation Instanz

VU Algorithmen auf Graphen Übungsblatt 2 - Aufgabe 2 Transformation einer MaxFlow- in eine MinCost Circulation Instanz VU Algorithmen auf Graphen Übungsblatt 2 - Aufgabe 2 Transformation einer MaxFlow- in eine MinCost Circulation Instanz Gruppe A: Bernhard Stader, Georg Ziegler, Andreas Zugaj 10. November 2004 Inhaltsverzeichnis

Mehr

Graphentheorie. Maximale Flüsse. Maximale Flüsse. Maximale Flüsse. Rainer Schrader. 31. Oktober Gliederung. sei G = (V, A) ein gerichteter Graph

Graphentheorie. Maximale Flüsse. Maximale Flüsse. Maximale Flüsse. Rainer Schrader. 31. Oktober Gliederung. sei G = (V, A) ein gerichteter Graph Graphentheorie Rainer Schrader Zentrum ür Angewandte Inormatik Köln 31. Oktober 2007 1 / 30 2 / 30 Gliederung maximale Flüsse Schnitte Edmonds-Karp-Variante sei G = (V, A) ein gerichteter Graph sei c eine

Mehr

KAPITEL 4 FLÜSSE IN NETZWERKEN

KAPITEL 4 FLÜSSE IN NETZWERKEN KAPITEL 4 FLÜSSE IN NETZWERKEN F. VALLENTIN, A. GUNDERT 1. Das Max-Flow-Min-Cut Theorem Es sei D = (V, A) ein gerichteter Graph, s, t V zwei Knoten. Wir nennen s Quelle und t Senke. Definition 1.1. Eine

Mehr

Netzwerkfluß. Gegeben ist ein System von Wasserrohren: Die Kapazität jedes Rohres ist 3, 5 oder 8 l/s.

Netzwerkfluß. Gegeben ist ein System von Wasserrohren: Die Kapazität jedes Rohres ist 3, 5 oder 8 l/s. Netzwerkfluß (Folie, Seite 78 im Skript) Gegeben ist ein System von Wasserrohren: Quelle s t Senke Die Kapazität jedes Rohres ist, oder 8 l/s. Frage: Wieviel Wasser kann von der Quelle zur Senke fließen?

Mehr

Wiederholung zu Flüssen

Wiederholung zu Flüssen Universität Konstanz Methoden der Netzwerkanalyse Fachbereich Informatik & Informationswissenschaft SS 2008 Prof. Dr. Ulrik Brandes / Melanie Badent Wiederholung zu Flüssen Wir untersuchen Flüsse in Netzwerken:

Mehr

Algorithmen und Komplexität Teil 1: Grundlegende Algorithmen

Algorithmen und Komplexität Teil 1: Grundlegende Algorithmen Algorithmen und Komplexität Teil 1: Grundlegende Algorithmen WS 08/09 Friedhelm Meyer auf der Heide Vorlesung 8, 4.11.08 Friedhelm Meyer auf der Heide 1 Organisatorisches Am Dienstag, 11.11., fällt die

Mehr

4.7 Der Algorithmus von Dinic für maximalen Fluss

4.7 Der Algorithmus von Dinic für maximalen Fluss 4.7 Der Algorithmus von Dinic für maximalen Fluss Wir kennen bereits den Algorithmus von Ford Fulkerson zur Suche nach einem maximalen Fluss in einem Graphen. Wir lernen nun einen Algorithmus für maximalen

Mehr

Effiziente Algorithmen I

Effiziente Algorithmen I H 10. Präsenzaufgabenblatt, Wintersemester 2015/16 Übungstunde am 18.01.2015 Aufgabe Q Ein Reiseveranstalter besitzt ein Flugzeug, das maximal p Personen aufnehmen kann. Der Veranstalter bietet einen Flug

Mehr

Graphen und Algorithmen

Graphen und Algorithmen Graphen und Algorithmen Vorlesung #4: Maximale Flüsse Dr. Armin Fügenschuh Technische Universität Darmstadt WS 2007/2008 Übersicht Definition des Maximalfluss- und des Minimalschnitt-Problems Anwendungen

Mehr

Optimierung auf Netzwerken

Optimierung auf Netzwerken KAPITEL 4 Optimierung auf Netzwerken Wir untersuchen hier spezielle lineare Programme, die eine zusätzliche kombinatorische (graphentheoretische) Struktur tragen. Nutzt man diese kombinatorische Struktur

Mehr

Kombinatorische Optimierung

Kombinatorische Optimierung Juniorprof. Dr. Henning Meyerhenke 1 Henning Meyerhenke: KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft www.kit.edu Vorlesungen 5 und 6 Programm

Mehr

15. Elementare Graphalgorithmen

15. Elementare Graphalgorithmen Graphen sind eine der wichtigste Modellierungskonzepte der Informatik Graphalgorithmen bilden die Grundlage vieler Algorithmen in der Praxis Zunächst kurze Wiederholung von Graphen. Dann Darstellungen

Mehr

Algorithmentheorie. 13 - Maximale Flüsse

Algorithmentheorie. 13 - Maximale Flüsse Algorithmentheorie 3 - Maximale Flüsse Prof. Dr. S. Albers Prof. Dr. Th. Ottmann . Maximale Flüsse in Netzwerken 5 3 4 7 s 0 5 9 5 9 4 3 4 5 0 3 5 5 t 8 8 Netzwerke und Flüsse N = (V,E,c) gerichtetes Netzwerk

Mehr

Evakuierung und Netzwerkflüsse

Evakuierung und Netzwerkflüsse Evakuierung und Netzwerkflüsse Diplomarbeit bei Prof. Dr. Martin Skutella vorgelegt von Ingo Schulz am Lehrstuhl für Diskrete Optimierung der Universität Dortmund Dortmund, 13. Oktober 2007 Für meinen

Mehr

10 Untermannigfaltigkeiten

10 Untermannigfaltigkeiten 10. Untermannigfaltigkeiten 1 10 Untermannigfaltigkeiten Definition. Eine Menge M R n heißt k-dimensionale Untermannigfaltigkeit des R n, 1 k n, falls es zu jedem a M eine offene Umgebung U R n von a und

Mehr

Das Heiratsproblem. Definition Matching

Das Heiratsproblem. Definition Matching Das Heiratsproblem Szenario: Gegeben: n Frauen und m > n Männer. Bekanntschaftsbeziehungen zwischen allen Männern und Frauen. Fragestellung: Wann gibt es für jede der Frauen einen Heiratspartner? Modellierung

Mehr

KAPITEL 3 MATCHINGS IN BIPARTITEN GRAPHEN

KAPITEL 3 MATCHINGS IN BIPARTITEN GRAPHEN KAPITEL 3 MATCHINGS IN BIPARTITEN GRAPHEN F. VALLENTIN, A. GUNDERT 1. Definitionen Notation 1.1. Ähnlich wie im vorangegangenen Kapitel zunächst etwas Notation. Wir beschäftigen uns jetzt mit ungerichteten

Mehr

Algorithmen II Vorlesung am 15.11.2012

Algorithmen II Vorlesung am 15.11.2012 Algorithmen II Vorlesung am 15.11.2012 Kreisbasen, Matroide & Algorithmen INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK PROF. DR. DOROTHEA WAGNER KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und Algorithmen nationales

Mehr

4. Kreis- und Wegeprobleme Abstände in Graphen

4. Kreis- und Wegeprobleme Abstände in Graphen 4. Kreis- und Wegeprobleme Abstände in Graphen Abstände in Graphen Definition 4.4. Es sei G = (V,E) ein Graph. Der Abstand d(v,w) zweier Knoten v,w V ist die minimale Länge eines Weges von v nach w. Falls

Mehr

Felix Brandt, Jan Johannsen. Vorlesung im Wintersemester 2008/09

Felix Brandt, Jan Johannsen. Vorlesung im Wintersemester 2008/09 Felix Brandt, Jan Johannsen Vorlesung im Wintersemester 2008/09 Übersicht Übersicht Definition Ein Matching in G = (V, E) ist eine Menge M E mit e 1 e 2 = für e 1, e 2 M, e 1 e 2 Ein Matching M ist perfekt,

Mehr

6. Flüsse und Zuordnungen

6. Flüsse und Zuordnungen 6. Flüsse und Zuordnungen In diesem Kapitel werden Bewertungen von Kanten als maximale Kapazitäten interpretiert, die über solch eine Kante pro Zeiteinheit transportiert werden können. Wir können uns einen

Mehr

Anwendungen von Netzwerkfluss. Wojciech Polcwiartek Institut für Informatik FU Berlin

Anwendungen von Netzwerkfluss. Wojciech Polcwiartek Institut für Informatik FU Berlin Anwendungen von Netzwerkfluss Wojciech Polcwiartek Institut für Informatik FU Berlin 13. 01. 2009 Gliederung Einführung Netzwerk, Fluss und Schnitt Max-Flow-Min-Cut Theorem Algorithmen zum Bestimmen vom

Mehr

Algorithmen II Vorlesung am

Algorithmen II Vorlesung am Algorithmen II Vorlesung am 0..0 Minimale Schnitte in Graphen INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK PROF. DR. DOROTHEA WAGNER KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und Algorithmen nationales Forschungszentrum

Mehr

Definition Ein gerichteter Graph G = (V, E) ist ein Graph von geordneten Paaren (u, v) mit u V und v V.

Definition Ein gerichteter Graph G = (V, E) ist ein Graph von geordneten Paaren (u, v) mit u V und v V. Kapitel 4 Graphenalgorithmen 4.1 Definitionen Definition 4.1.1. Der Graph G = (V, E) ist über die beiden Mengen V und E definiert, wobei V die Menge der Knoten und E die Menge der Kanten in dem Graph ist.

Mehr

Optimierungsprobleme auf Graphen

Optimierungsprobleme auf Graphen 21. April 2009 1 Routenplanung TSP Chinesisches Postbotenproblem 2 Stabile Mengen, Cliquen, Knotenüberdeckungen 3 Färbungsprobleme 4 Schnitt-Probleme 5 Standortprobleme 6 Lineare Anordnungen und azyklische

Mehr

Effiziente Algorithmen und Datenstrukturen II

Effiziente Algorithmen und Datenstrukturen II Effiziente Algorithmen und Datenstrukturen II Prof. Dr. Christian Scheideler Technische Universität München, 25. April 2006 1 Algorithmen für maximale Flüsse 1.1 Flüsse Ein Flussnetzwerk G = (V, E) ist

Mehr

Das Linear Ordering Problem Exakte Lösungsverfahren. für NP-schwierige. VO Algorithm Engineering

Das Linear Ordering Problem Exakte Lösungsverfahren. für NP-schwierige. VO Algorithm Engineering Das Linear Ordering Problem Exakte Lösungsverfahren VO Algorithm Engineering für NP-schwierige Professor Dr. Petra Mutzel kombinatorische Lehrstuhl für Algorithm Engineering, LS11 Optimierungsprobleme

Mehr

Flüsse in Netzwerken. Seminar über Algorithmen SoSe 2005. Mike Rohland & Julia Schenk

Flüsse in Netzwerken. Seminar über Algorithmen SoSe 2005. Mike Rohland & Julia Schenk Flüsse in Netzwerken Seminar über Algorithmen SoSe 2005 Mike Rohland & Julia Schenk Inhalt Einführung Definition Maximale Flüsse Schnitte Restgraphen Zunehmende Wege Max-Fluss Min-Schnitt Theorem Ford-Fulkerson

Mehr

Algorithmische Graphentheorie

Algorithmische Graphentheorie Algorithmische Graphentheorie Sommersemester 204 4. Vorlesung Matchings / Paarungen Kombinatorische Anwendungen des Max-Flow-Min-Cut-Theorems Prof. Dr. Alexander Wolff 2 Paarungen (Matchings) Def. Sei

Mehr

8 Diskrete Optimierung

8 Diskrete Optimierung 8 Diskrete Optimierung Definition 8.1. Ein Graph G ist ein Paar (V (G), E(G)) besteh aus einer lichen Menge V (G) von Knoten (oder Ecken) und einer Menge E(G) ( ) V (G) 2 von Kanten. Die Ordnung n(g) von

Mehr

Maximale s t-flüsse in Planaren Graphen

Maximale s t-flüsse in Planaren Graphen Maximale s t-flüsse in Planaren Graphen Vorlesung Algorithmen für planare Graphen June 1, 2015 Ignaz Rutter INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK PROF. DR. DOROTHEA WAGNER KIT Universität des Landes Baden-Württemberg

Mehr

8 Der Kompaktheitssatz und der Satz von Löwenheim und Skolem

8 Der Kompaktheitssatz und der Satz von Löwenheim und Skolem 8 Der Kompaktheitssatz und der Satz von Löwenheim und Skolem 8.1 Der Kompaktheitssatz Kompaktheitssatz Endlichkeitssatz Der Kompaktheitssatz ist auch unter dem Namen Endlichkeitssatz bekannt. Unter Verwendung

Mehr

Gliederung. Kapitel 4. Lokale Suchverfahren. Meta-Heuristiken. Simulated Annealing. Lokale Suchverfahren. Optimierungsalgorithmen

Gliederung. Kapitel 4. Lokale Suchverfahren. Meta-Heuristiken. Simulated Annealing. Lokale Suchverfahren. Optimierungsalgorithmen Kapitel Optimierungsalgorithmen Gunnar Klau Institut für Computergraphik und Algorithmen Gliederung Kombinatorische vs. Ganzzahlige Optimierung Exakte Verfahren Branch-and-Bound Schnittebenenverfahren

Mehr

Ferienkurs zur algorithmischen diskreten Mathematik Kapitel 3: Minimal aufspannende Bäume und Matroide

Ferienkurs zur algorithmischen diskreten Mathematik Kapitel 3: Minimal aufspannende Bäume und Matroide Ferienkurs zur algorithmischen diskreten Mathematik Kapitel 3: Minimal aufspannende Bäume und Matroide Dipl-Math. Wolfgang Kinzner 3.4.2012 Kapitel 3: Minimal aufspannende Bäume und Matroide Minimal aufspannende

Mehr

6. Übung zur Linearen Optimierung SS08

6. Übung zur Linearen Optimierung SS08 6 Übung zur Linearen Optimierung SS08 1 Sei G = (V, E) ein schlichter ungerichteter Graph mit n Ecken und m Kanten Für eine Ecke v V heißt die Zahl der Kanten (u, v) E Grad der Ecke (a) Ist die Anzahl

Mehr

Ferienkurs zur algorithmischen diskreten Mathematik Kapitel 6: Matchings und TSP-Problem

Ferienkurs zur algorithmischen diskreten Mathematik Kapitel 6: Matchings und TSP-Problem Ferienkurs zur algorithmischen diskreten Mathematik Kapitel 6: Matchings und TSP-Problem Dipl-Math. Wolfgang Kinzner 4.4.2012 Kapitel 6: Matchings und TSP-Problem Matching und Matchingproblem Flussalgorithmus

Mehr

Kombinatorische Optimierung

Kombinatorische Optimierung Juniorprof. Dr. Henning Meyerhenke 1 Henning Meyerhenke: KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft www.kit.edu Vorlesung 4 Programm des

Mehr

Aufgabe 4.2 Sei G = (V, E, l) ein ungerichteter, gewichteter und zusammenhängender Graph.

Aufgabe 4.2 Sei G = (V, E, l) ein ungerichteter, gewichteter und zusammenhängender Graph. Aufgabe 4.2 Sei G = (V, E, l) ein ungerichteter, gewichteter und zusammenhängender Graph. a) Es seien W 1 = (V, E 1 ), W 2 = (V, E 2 ) Untergraphen von G, die beide Wälder sind. Weiter gelte E 1 > E 2.

Mehr

Minimal spannende Bäume

Minimal spannende Bäume http://www.uni-magdeburg.de/harbich/ Minimal spannende Fakultät für Informatik Otto-von-Guericke-Universität 2 Inhalt Definition Wege Untergraphen Kantengewichtete Graphen Minimal spannende Algorithmen

Mehr

5. Musterlösung. Problem 1: Vitale Kanten * ω(f) > ω(f ). (a) Untersuchen Sie, ob es in jedem Netzwerk vitale Kanten gibt.

5. Musterlösung. Problem 1: Vitale Kanten * ω(f) > ω(f ). (a) Untersuchen Sie, ob es in jedem Netzwerk vitale Kanten gibt. Universität Karlsruhe Algorithmentechnik Fakultät für Informatik WS 05/06 ITI Wagner 5. Musterlösung Problem : Vitale Kanten * In einem Netzwerk (D = (V, E); s, t; c) mit Maximalfluß f heißen Kanten e

Mehr

Das Multi Traveling Salesman Problem

Das Multi Traveling Salesman Problem Das Multi Traveling Salesman Problem Harald Voit Seminar Ganzzahlige Optimierung 19. bis 21. Januar 2007 Wallenfels Das Multi Traveling Salesman Problem p.1/26 Übersicht Vom TSP zum ATSP Das Multi Traveling

Mehr

Formale Grundlagen der Informatik

Formale Grundlagen der Informatik Formale Grundlagen der Informatik / 2015 1 Die Elemente einer (endlichen) Menge sollen den Elementen einer zweiten, gleichmächtigen Menge zugeordnet werden Problemstellung Bipartite Graphen Zuordnungsprobleme

Mehr

Seminar über aktuelle Forschungsthemen in der Algorithmik, Dozent Prof. Dr. Alt;

Seminar über aktuelle Forschungsthemen in der Algorithmik, Dozent Prof. Dr. Alt; Seminar über aktuelle Forschungsthemen in der Algorithmik, Dozent Prof. Dr. Alt Referent Matthias Rost 1 Einleitung Definitionen Maximaler Dynamischer Fluss Algorithmus von Ford-Fulkerson Techniken zur

Mehr

Kapitel 5: Minimale spannende Bäume Gliederung der Vorlesung

Kapitel 5: Minimale spannende Bäume Gliederung der Vorlesung Gliederung der Vorlesung 1. Grundbegriffe 2. Elementare Graphalgorithmen und Anwendungen 3. Kürzeste Wege. Minimale spannende Bäume. Färbungen und Cliquen. Traveling Salesman Problem. Flüsse in Netzwerken

Mehr

Fortgeschrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen

Fortgeschrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen Fortgeschrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen Dr. Hanjo Täubig Lehrstuhl für Eziente Algorithmen (Prof. Dr. Ernst W. Mayr) Institut für Informatik Technische Universität München Wintersemester 2007/08

Mehr

Vorlesung Kombinatorische Optimierung (Wintersemester 2007/08)

Vorlesung Kombinatorische Optimierung (Wintersemester 2007/08) 1 Vorlesung Kombinatorische Optimierung (Wintersemester 2007/08) Kapitel 5: NP-schwierige Probleme Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 21. Dezember 2007) Rucksack Problem

Mehr

Vorlesung 2 KÜRZESTE WEGE

Vorlesung 2 KÜRZESTE WEGE Vorlesung 2 KÜRZESTE WEGE 34 Kürzeste Wege im Graphen Motivation! Heute:! Kürzeste Wege von einem Knoten (SSSP)! Kürzeste Wege zwischen allen Knotenpaaren (APSP)! Viele Anwendungen:! Navigationssysteme!

Mehr

Optimierungsprobleme. B. Langfeld, M. Ritter, B. Wilhelm Diskrete Optimierung: Fallstudien aus der Praxis

Optimierungsprobleme. B. Langfeld, M. Ritter, B. Wilhelm Diskrete Optimierung: Fallstudien aus der Praxis Optimierungsprobleme Instanz eines Optimierungsproblems zulässiger Bereich (meist implizit definiert) Zielfunktion Optimierungsrichtung opt {max, min} Optimierungsproblem Menge von Instanzen meist implizit

Mehr

Vollständiger Graph. Definition 1.5. Sei G =(V,E) ein Graph. Gilt {v, w} E für alle v, w V,v w, dann heißt G vollständig (complete).

Vollständiger Graph. Definition 1.5. Sei G =(V,E) ein Graph. Gilt {v, w} E für alle v, w V,v w, dann heißt G vollständig (complete). Vollständiger Graph Definition 1.5. Sei G =(V,E) ein Graph. Gilt {v, w} E für alle v, w V,v w, dann heißt G vollständig (complete). Mit K n wird der vollständige Graph mit n Knoten bezeichnet. Bemerkung

Mehr

Gliederung. Definition Wichtige Aussagen und Sätze Algorithmen zum Finden von Starken Zusammenhangskomponenten

Gliederung. Definition Wichtige Aussagen und Sätze Algorithmen zum Finden von Starken Zusammenhangskomponenten Gliederung Zusammenhang von Graphen Stark Zusammenhängend K-fach Zusammenhängend Brücken Definition Algorithmus zum Finden von Brücken Anwendung Zusammenhangskomponente Definition Wichtige Aussagen und

Mehr

Kürzeste Wege in Graphen. Orte mit Straßenverbindungen. Coma I Rolf Möhring

Kürzeste Wege in Graphen. Orte mit Straßenverbindungen. Coma I Rolf Möhring Kürzeste Wege in Graphen Orte mit Straßenverbindungen Orte als Knoten eines Graphen Straßenverbindungen als Kanten eines Graphen Ungerichteter Graph G = (V,E) Kanten Knoten Knotenmenge V = {,,n} oder {,,n

Mehr

Inhaltsübersicht für heute:

Inhaltsübersicht für heute: Inhaltsübersicht für heute: Anwendung: Das Heiratsproblem Ganzzahligkeit von Polyedern Anwendung: Netzwerkflüsse Mehrgüterflussprobleme Ganzzahlige Optimierung Inhaltsübersicht für heute: Anwendung: Das

Mehr

Bipartite Graphen. Beispiele

Bipartite Graphen. Beispiele Bipartite Graphen Ein Graph G = (V, E) heiÿt bipartit (oder paar), wenn die Knotenmenge in zwei disjunkte Teilmengen zerfällt (V = S T mit S T = ), sodass jede Kante einen Knoten aus S mit einem Knoten

Mehr

WS 2009/10. Diskrete Strukturen

WS 2009/10. Diskrete Strukturen WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910

Mehr

Kapitel 7: Flüsse in Netzwerken und Anwendungen Gliederung der Vorlesung

Kapitel 7: Flüsse in Netzwerken und Anwendungen Gliederung der Vorlesung Gliederung der Vorlesung. Fallstudie Bipartite Graphen. Grundbegriffe. Elementare Graphalgorithmen und Anwendungen. Minimal spannende Bäume. Kürzeste Pfade. Traveling Salesman Problem. Flüsse in Netzwerken

Mehr

Kapitel 4: Minimale spannende Bäume Gliederung der Vorlesung

Kapitel 4: Minimale spannende Bäume Gliederung der Vorlesung Kapitel : Minimale spannende Bäume Gliederung der Vorlesung. Grundbegriffe 2. Elementare Graphalgorithmen und Anwendungen. Kürzeste Wege. Minimale spannende Bäume. Färbungen und Cliquen. Traveling Salesman

Mehr

8 Das Flussproblem für Netzwerke

8 Das Flussproblem für Netzwerke 8 Das Flussproblem für Netzwerke 8.1 Netzwerke mit Kapazitätsbeschränkung Definition 15 Ein Netzwerk N = (V, E, γ, q, s) besteht aus einem gerichteten Graph G = (V, E), einer Quelle q V und einer Senke

Mehr

Netzwerk-Simplex. MinCostFlow als Lineares Programm. 1 of 12 Netzwerksimplex

Netzwerk-Simplex. MinCostFlow als Lineares Programm. 1 of 12 Netzwerksimplex Netzwerk-Simplex MinCostFlow als Lineares Programm of 2 Netzwerksimplex MinCostFlow geg: gerichteter Graph G, Kapazitäten u R R 0 { }, Bedarfe b V R, Pfeilkosten c R R ges: zulässiger b-fluss f mit minimalen

Mehr

Quicksort ist ein Divide-and-Conquer-Verfahren.

Quicksort ist ein Divide-and-Conquer-Verfahren. . Quicksort Wie bei vielen anderen Sortierverfahren (Bubblesort, Mergesort, usw.) ist auch bei Quicksort die Aufgabe, die Elemente eines Array a[..n] zu sortieren. Quicksort ist ein Divide-and-Conquer-Verfahren.

Mehr

Grundbegriffe der Informatik

Grundbegriffe der Informatik Grundbegriffe der Informatik Einheit 11: Graphen Thomas Worsch Karlsruher Institut für Technologie, Fakultät für Informatik Wintersemester 2010/2011 1/59 Graphische Darstellung von Zusammenhängen schon

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen Kapitel 10

Algorithmen und Datenstrukturen Kapitel 10 Algorithmen und Datenstrukturen Kapitel 10 Flüsse Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 6. Januar 2016 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 1/8 Flüsse Graphen Grundlagen Definition

Mehr

6. Flüsse in Netzwerken Berechnung maximaler Flüsse. dann berechnet der Markierungsalgorithmus für beliebige Kapazitätsfunktionen

6. Flüsse in Netzwerken Berechnung maximaler Flüsse. dann berechnet der Markierungsalgorithmus für beliebige Kapazitätsfunktionen 6. Flüsse in Netzwerken Berechnung maximaler Flüsse Satz 6.4. Ersetzt man in Algorithmus 6.1 den Schritt 2 durch 2a. Wähle den Knoten, der zuerst in eingefügt wurde. Setze. dann berechnet der arkierungsalgorithmus

Mehr

Kapitel 4. Optimierungsalgorithmen. Technische Universität Wien. Gunnar Klau Technische Universität Wien. Institut für Computergraphik und Algorithmen

Kapitel 4. Optimierungsalgorithmen. Technische Universität Wien. Gunnar Klau Technische Universität Wien. Institut für Computergraphik und Algorithmen Kapitel 4 Optimierungsalgorithmen Gunnar Klau Institut für Computergraphik und Algorithmen 1 Gliederung Kombinatorische vs. Ganzzahlige Optimierung Exakte Verfahren Branch-and-Bound Schnittebenenverfahren

Mehr

Einführung in Netzwerk-Fluss-Probleme Das min-cut max-flow Theorem

Einführung in Netzwerk-Fluss-Probleme Das min-cut max-flow Theorem Einführung in Netzwerk-Fluss-robleme Das min-cut max-flow Theorem Felix Meyner Betreuer: Stephan Günther Hauptseminar Innovative Internet-Technologien und Mobilkommunikation WS 11/12 Lehrstuhl Netzarchitekturen

Mehr

Zweizusammenhang und starker Zusammenhang

Zweizusammenhang und starker Zusammenhang .. Zeizusammenhang und starker Zusammenhang Carsten Gutenger Vorlesung Algorithmen und Datenstrukturen WS /. Januar Zeizusammenhang Betrachte ein Netzerk (Graph) Z.B. Computernetzerk, Flug- oder Schienennetzerk

Mehr

Graphentheorie. Organisatorisches. Organisatorisches. Organisatorisches. Rainer Schrader. 23. Oktober 2007

Graphentheorie. Organisatorisches. Organisatorisches. Organisatorisches. Rainer Schrader. 23. Oktober 2007 Graphentheorie Rainer Schrader Organisatorisches Zentrum für Angewandte Informatik Köln 23. Oktober 2007 1 / 79 2 / 79 Organisatorisches Organisatorisches Dozent: Prof. Dr. Rainer Schrader Weyertal 80

Mehr

Einführung in Approximative Algorithmen und Parametrisierte Komplexität

Einführung in Approximative Algorithmen und Parametrisierte Komplexität Einführung in Approximative Algorithmen und Parametrisierte Komplexität Tobias Lieber 10. Dezember 2010 1 / 16 Grundlegendes Approximationsalgorithmen Parametrisierte Komplexität 2 / 16 Grundlegendes Definition

Mehr

Unimodulare lineare Programme

Unimodulare lineare Programme KAPITEL 5 Unimodulare lineare Programme Wir betrachten hier eine Klasse von linearen Programmen mit der schönen Eigenschaft, dass Basislösungen automatisch ganzzahlige Komponenten haben. 1. Unimodulare

Mehr

Kapitel 3. Kombinatorische Optimierung. 3.1 Begriffe aus der Graphentheorie

Kapitel 3. Kombinatorische Optimierung. 3.1 Begriffe aus der Graphentheorie Kapitel 3 Kombinatorische Optimierung 3 Begriffe aus der Graphentheorie Zur Beschreibung vieler Optimierungsprobleme eignet sich besonders die Sprache der Graphentheorie Das erste graphentheoretisch beschriebene

Mehr

maximaler Fluss & minimaler Schnitt

maximaler Fluss & minimaler Schnitt maximaler Fluss & minimaler Schnitt Referat in angewandte Logistik Marcus Pottendorfer HTBLuVA Sankt Pölten Inhalt Maximaler Fluss minimaler Schnitt... 2 Grundbegriffe... 2 Erklärung... 2 Minimaler Schnitt...

Mehr

Das disjunktive Graphenmodell für Shop-Probleme

Das disjunktive Graphenmodell für Shop-Probleme Das disjunktive Graphenmodell für Shop-Probleme Definition 1: Ein disjunktiver Graph ist ein Graph G =(V, E) mit V = {(i, j) (i, j) SIJ} {q} {s} Die Knotenmenge ist die Menge der Operationen zuzüglich

Mehr

Diplomarbeit. Schwerpunkt. Kombinatorische Optimierung. Zum Thema

Diplomarbeit. Schwerpunkt. Kombinatorische Optimierung. Zum Thema Diplomarbeit Schwerpunkt Kombinatorische Optimierung Zum Thema Praktische Lösung von Minimum Cost Flow Problemen: Ein Vergleich verschiedener Algorithmen Autor: Muhammed Ali Alat bei Institut für Mathematik

Mehr

Kapitel 4: Minimal spannende Bäume Gliederung der Vorlesung

Kapitel 4: Minimal spannende Bäume Gliederung der Vorlesung Kapitel : Minimal spannende Bäume Gliederung der Vorlesung. Fallstudie Bipartite Graphen 2. Grundbegriffe. Elementare Graphalgorithmen und Anwendungen. Minimal spannende Bäume. Kürzeste Wege. Traveling

Mehr

WS 2013/14. Diskrete Strukturen

WS 2013/14. Diskrete Strukturen WS 2013/14 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws1314

Mehr

Rechnerische Komplexität

Rechnerische Komplexität Proseminar Effiziente Algorithmen SS 2002 Rechnerische Komplexität Ulrike Krönert (34180) 0. Inhalt 1. Einführung 2. Algorithmen und Komplexität 2.1. Algorithmen 2.2. Laufzeitabschätzung 2.3. Polynomialzeit

Mehr

Definition Gerichteter Pfad. gerichteter Pfad, wenn. Ein gerichteter Pfad heißt einfach, falls alle u i paarweise verschieden sind.

Definition Gerichteter Pfad. gerichteter Pfad, wenn. Ein gerichteter Pfad heißt einfach, falls alle u i paarweise verschieden sind. 3.5 Gerichteter Pfad Definition 291 Eine Folge (u 0, u 1,..., u n ) mit u i V für i = 0,..., n heißt gerichteter Pfad, wenn ( i {0,..., n 1} ) [ (u i, u i+1 ) A]. Ein gerichteter Pfad heißt einfach, falls

Mehr

3.4 Maximale Flüsse und der Algorithmus von Ford Fulkerson

3.4 Maximale Flüsse und der Algorithmus von Ford Fulkerson 3.4 Maximale Flüsse und der Algorithmus von Ford Fulkerson Definition 3.4.1 Die Aufgabe, zu jedem Netzwerk N = (s, t, V, E, c o ) mit n = V Knoten und m = E Kanten den Fluß f IR m mit maximalem Wert zu

Mehr

Maximale s t-flüsse in Planaren Graphen

Maximale s t-flüsse in Planaren Graphen Maximale s t-flüsse in Planaren Graphen Vorlesung Algorithmen für planare Graphen June 18, 2012 Ignaz Rutter INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK PROF. DR. DOROTHEA WAGNER KIT Universität des Landes Baden-Württemberg

Mehr

Algo&Komp. - Wichtige Begriffe Mattia Bergomi Woche 6 7

Algo&Komp. - Wichtige Begriffe Mattia Bergomi Woche 6 7 1 Kürzeste Pfade Woche 6 7 Hier arbeiten wir mit gewichteten Graphen, d.h. Graphen, deren Kanten mit einer Zahl gewichtet werden. Wir bezeichnen die Gewichtsfunktion mit l : E R. Wir wollen einen kürzesten

Mehr

Algorithmische Mathematik

Algorithmische Mathematik Algorithmische Mathematik Wintersemester 2013 Prof. Dr. Marc Alexander Schweitzer und Dr. Einar Smith Patrick Diehl und Daniel Wissel Übungsblatt 6. Abgabe am 02.12.2013. Aufgabe 1. (Netzwerke und Definitionen)

Mehr

Vorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13)

Vorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13) 1 Vorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13) Kapitel 5: Konvergenz Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 15. Dezember 2011) Folgen Eine Folge x 0, x 1,

Mehr

Effiziente Algorithmen Übung 2 Lösungen

Effiziente Algorithmen Übung 2 Lösungen TU Ilmenau, Fakultät für Informatik und Automatisierung FG Komplexitätstheorie und Effiziente Algorithmen Univ.-Prof. Dr. M. Dietzfelbinger, M. Sc. Stefan Walzer https://www.tu-ilmenau.de/iti/lehre/lehre-ws-016017/ea/

Mehr

Vorlesung 4. Tilman Bauer. 13. September Wir befassen uns in dieser Vorlesung noch einmal mit Mengen.

Vorlesung 4. Tilman Bauer. 13. September Wir befassen uns in dieser Vorlesung noch einmal mit Mengen. Vorlesung 4 Universität Münster 13. September 2007 1 Kartesische Wir befassen uns in dieser Vorlesung noch einmal mit Mengen. Seien M und N zwei Mengen. Dann bezeichnen wir mit M N das (kartesische) Produkt

Mehr

Kombinatorische Optimierung

Kombinatorische Optimierung Juniorprof. Dr. Henning Meyerhenke 1 Henning Meyerhenke: KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft www.kit.edu Vorlesung 1 Programm des

Mehr

WS 2014/15 Diskrete Strukturen Kapitel 3: Kombinatorik (2)

WS 2014/15 Diskrete Strukturen Kapitel 3: Kombinatorik (2) WS 2014/15 Diskrete Strukturen Kapitel 3: Kombinatorik (2) Hans-Joachim Bungartz Lehrstuhl für wissenschaftliches Rechnen Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www5.in.tum.de/wiki/index.php/diskrete_strukturen_-_winter_14

Mehr

1. Klausur zur Vorlesung Algorithmentechnik Wintersemester 2009/2010

1. Klausur zur Vorlesung Algorithmentechnik Wintersemester 2009/2010 . Klausur zur Vorlesung Algorithmentechnik Wintersemester 2009/200 Lösung! Beachten Sie: Bringen Sie den Aufkleber mit Ihrem Namen und Matrikelnummer auf diesem Deckblatt an und beschriften Sie jedes Aufgabenblatt

Mehr

ADS: Algorithmen und Datenstrukturen 2

ADS: Algorithmen und Datenstrukturen 2 ADS: Algorithmen und Datenstrukturen Der Tragödie IV. Theyl Peter F. Stadler & Konstantin Klemm Bioinformatics Group, Dept. of Computer Science & Interdisciplinary Center for Bioinformatics, University

Mehr

Vorwort. 1 Flüsse in Planaren Graphen. 1.1 Flüssen in Planaren Graphen als Kürzeste-Wege-Problem

Vorwort. 1 Flüsse in Planaren Graphen. 1.1 Flüssen in Planaren Graphen als Kürzeste-Wege-Problem Vorwort Es handelt sich hierbei um einen vorläufigen Aufschrieb zu Flüssen in planaren Graphen. Die Darstellung basiert auf dem Artikel Maximum Flows and Parametric Shortest Paths in Planar Graphs von

Mehr

Wiederholungsblatt Elementargeometrie LÖSUNGSSKIZZE

Wiederholungsblatt Elementargeometrie LÖSUNGSSKIZZE Wiederholungsblatt Elementargeometrie im SS 01 bei Prof. Dr. S. Goette LÖSUNGSSKIZZE Die Lösungen unten enthalten teilweise keine vollständigen Rechnungen. Es sind aber alle wichtigen Zwischenergebnisse

Mehr

Vorlesung Theoretische Grundlagen

Vorlesung Theoretische Grundlagen Vorlesung Theoretische Grundlagen Fehlerkorrigierende Jörn Müller-Quade 4. Februar 2010 INSTITUT FÜR KRYPTOGRAPHIE UND SICHERHEIT KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum

Mehr

Grundbegriffe der Informatik

Grundbegriffe der Informatik Grundbegriffe der Informatik Kapitel 15: Graphen Thomas Worsch KIT, Institut für Theoretische Informatik Wintersemester 2015/2016 GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik

Mehr

Fortgeschrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen

Fortgeschrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen Fortgeschrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen Prof. Dr. Hanjo Täubig Lehrstuhl für Effiziente Algorithmen (Prof. Dr. Ernst W. Mayr) Institut für Informatik Technische Universität München Wintersemester

Mehr

Ausarbeitung zum Modulabschluss. Graphentheorie. spannende Bäume, bewertete Graphen, optimale Bäume, Verbindungsprobleme

Ausarbeitung zum Modulabschluss. Graphentheorie. spannende Bäume, bewertete Graphen, optimale Bäume, Verbindungsprobleme Universität Hamburg Fachbereich Mathematik Seminar: Proseminar Graphentheorie Dozentin: Haibo Ruan Sommersemester 2011 Ausarbeitung zum Modulabschluss Graphentheorie spannende Bäume, bewertete Graphen,

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen 2

Algorithmen und Datenstrukturen 2 Algorithmen und Datenstrukturen 2 Sommersemester 2006 5. Vorlesung Peter F. Stadler Universität Leipzig Institut für Informatik studla@bioinf.uni-leipzig.de Wdhlg.: Dijkstra-Algorithmus I Bestimmung der

Mehr

4 Greedy-Algorithmen (gierige Algorithmen)

4 Greedy-Algorithmen (gierige Algorithmen) Greedy-Algorithmen (gierige Algorithmen) Greedy-Algorithmen werden oft für die exakte oder approximative Lösung von Optimierungsproblemen verwendet. Typischerweise konstruiert ein Greedy-Algorithmus eine

Mehr

5.2 Das All-Pairs-Shortest-Paths-Problem (APSP-Problem) Kürzeste Wege zwischen allen Knoten. Eingabe: Gerichteter Graph G =(V, E, c)

5.2 Das All-Pairs-Shortest-Paths-Problem (APSP-Problem) Kürzeste Wege zwischen allen Knoten. Eingabe: Gerichteter Graph G =(V, E, c) 5.2 Das All-Pairs-Shortest-Paths-Problem (APSP-Problem) Kürzeste Wege zwischen allen Knoten. Eingabe: Gerichteter Graph G =(V, E, c) mit V = {1,...,n} und E {(v, w) 1 apple v, w apple n, v 6= w}. c : E!

Mehr

2 Spiele. 2.1 Spiele und Strategien

2 Spiele. 2.1 Spiele und Strategien 2 Spiele 2.1 Spiele und Strategien Wir betrachten bestimmte Formen von Zwei-Personen Null-Summenspielen mit perfekter Information, bei denen jede Partie von einem der beiden Spieler gewonnen wird. Die

Mehr

Bäume und Wälder. Seminar: Graphentheorie Sommersemester 2015 Dozent: Dr. Thomas Timmermann

Bäume und Wälder. Seminar: Graphentheorie Sommersemester 2015 Dozent: Dr. Thomas Timmermann Bäume und Wälder Seminar: Graphentheorie Sommersemester 2015 Dozent: Dr. Thomas Timmermann Ida Feldmann 2-Fach Bachelor Mathematik und Biologie 6. Fachsemester Inhaltsverzeichnis Einleitung 1 1. Bäume

Mehr

Vorlesungen vom 5.Januar 2005

Vorlesungen vom 5.Januar 2005 Vorlesungen vom 5.Januar 2005 5 Planare Graphen 5.1 Beispiel: Gas, Wasser, Elektrik Drei eingeschworene Feinde, die im Wald leben, planen Trassen zu den Versorgungswerken für die drei Grundgüter Gas, Wasser

Mehr

Graphentheorie. Eulersche Graphen. Eulersche Graphen. Eulersche Graphen. Rainer Schrader. 14. November Gliederung.

Graphentheorie. Eulersche Graphen. Eulersche Graphen. Eulersche Graphen. Rainer Schrader. 14. November Gliederung. Graphentheorie Rainer Schrader Zentrum für Angewandte Informatik Köln 14. November 2007 1 / 22 2 / 22 Gliederung eulersche und semi-eulersche Graphen Charakterisierung eulerscher Graphen Berechnung eines

Mehr