Operations Research. Flüsse in Netzwerken. Flüsse in Netzwerken. Unimodularität. Rainer Schrader. 2. Juli Gliederung.

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1 Operations Research Rainer Schrader Flüsse in Netzwerken Zentrum für Angewandte Informatik Köln 2. Juli / 53 2 / 53 Flüsse in Netzwerken Unimodularität Gliederung Netzwerke und Flüsse bipartite Matchings Zur Erinnerung: Proposition 5.9 Sei A Z n m total unimodular, b Z m und l, u Z n derart, dass P = {x R n Ax = b, l x u} =. Dann ist P eine Polytop mit ganzzahligen Ecken. Lemma 5.11 (Pioncaré) Ist A eine { 1, 0, 1}-Matrix, bei der jede Spalte höchstens eine +1 und eine 1 enthält, so ist A total unimodular. sei A eine Matrix mit Einträgen in { 1, 0, +1} A heißt Netzwerkmatrix, wenn in jeder Spalte genau eine 1 und eine +1 vorkommt 3 / 53 4 / 53

2 Netzwerke und Flüsse sei A { 1, 0, +1} n m eine Netzwerkmatrix jedem A entspricht ein gerichteter Graph G = (V, E ): die Zeilen von A entsprechen einer Menge V von m Knoten sei j eine Spalte mit den Koeffizienten a vj = +1 und a uj = 1 wir ordnen j eine (gerichtete) Kanten e j = (u, v ) wie folgt zu: Beispiel: Netzwerke und Flüsse u e j v damit entsprechen die Spalten einer Menge E von n gerichteten Kanten A heißt dann auch die (Knoten-Kanten-) Inzidenzmatrix von G = (V, E ) C A 5 / 53 6 / 53 Netzwerke und Flüsse sei A R m n die Inzidenzmatrix des gerichteten Graphen G = (V, E ) seien c, l, u, b ganzzahlige Vektoren dann hat das folgende LP nur ganzzahlige Ecken: min c T x Ax = b l x u x ganzzahlig wir wollen versuchen, dieses LP graphentheoretisch zu interpretieren Netzwerke und Flüsse ein Koordinatenvektor x R n repräsentiert einen Fluss auf dem Graphen G, die Komponente x j gibt die Quantität an, die über die Kante e j = (u, v ) fließt im Fall x j > 0 fließt x j im Fall x j < 0 fließt x j von u and v von v and u der Nettozufluss im Knoten v V ist: δ v (x) = nx a vj x j j=1 = X (u,v ) E x (u,v ) X (v,u) E x (v,u) 7 / 53 8 / 53

3 δ v (x) = Netzwerke und Flüsse nx a vj x j (v V ) j=1 der Nettozufluss ist die Differenz aus eingehendem und ausgehendem Fluss von x im Knoten v V Netzwerke und Flüsse zu gegebenen Parametern c, l, u R n und b R m definieren wir das Flussproblem auf G als das lineare Optimierungsproblem min c T x s.d. Ax = b, l x u. (1) allgemeiner ist der Vektor δ(x) = Ax R V der Vektor der Nettozuflüsse der Knoten von G zu einem Fluss x heißt der Knoten v V : Senke, falls δ v (x) 0 Quelle, falls δ v (x) 0 Transitknoten, falls δ v (x) = 0 l und u liefern (untere bzw. obere) Kapazitätsbeschränkungen der Kanten von G c j gibt die Kosten des Flusses pro Einheit über die Kante e j an gesucht ist somit ein Fluss, der in jedem Knoten v einen vorgegebenen Nettozufluss b v die Kapazitäten der Kanten einhält, und kostenminimal ist erzeugt, 9 / / 53 Aus der totalen Unimodularität von A folgt: Satz 1 Netzwerke und Flüsse Sind b, l und u ganzzahlig, dann hat das Kosten-Flussproblem entweder keine Optimallösung oder es besitzt eine Optimallösung mit ganzzahligen Komponenten. etwas allgemeiner kann man als Kapazitätsrestriktionen die Funktionen l, u : E R {, + } zulassen Satz 1 bleibt offensichtlich auch in dieser Allgemeinheit entsprechend gültig das Kosten-Flussproblem kann z.b. mit dem Simplexalgorithmus gelöst werden und hat unter den Annahmen von Satz 1 eine ganzzahlige Optimallösung es gibt allerdings auch speziellere Verfahren, die kombinatorische Struktur von G ausnützen und effizienter sind. Gliederung Netzwerke und Flüsse bipartite Matchings Flüsse in Netzwerken 11 / / 53

4 sei V eine endliche Menge von Knoten sei E V V eine Menge von (gerichteten) Kanten eines Graphen G = (V, E ) sei wieder A = [a ve ] R V E die zugehörige Inzidenzmatrix mit 8 < 1 falls e = (v, w ) a ve = +1 falls e = (w, v ) : 0 sonst wir wählen zwei feste Knoten s, t und definieren b R V 8 < 1 falls v = s b v = +1 falls v = t : 0 sonst. mit anderen Worten: wir wählen s als Quelle und t als Senke bzgl. eines zu konstruierenden Flusses. als Lemma 2 Sei x ein ganzzahliger Punkt im Polyeder {x Ax = b, x 0}. Dann enthält die Menge P = {e E x e > 0} einen (gerichteten) Weg von s nach t in G. Beweis: Induktion über P n i=1 x i da der Nettozufluss von s negativ ist, existiert eine Kante (s, v 1 ) P ist v 1 = t, so ist der Weg gefunden andernfalls seien j x i xi 1, falls i = 1 = x i, sonst 8 < 1, falls v = v 1 und b v = +1, falls v = t : 0, sonst dann ist x ganzzahliger Punkt in {x Ax = b, x 0} und die Behauptung folgt per Induktion. 13 / / 53 sei d : E R + eine Distanzfunktion auf den Kanten G = (V, E ) sei x eine optimale Ecke des linearen Programms min d T x = P e E d ex e Ax = b, x 0 dann entspricht x einer Menge von Kanten, die einen Weg von s nach t enthält und minimale gesamte Kantenlänge hat, und damit einem kürzesten Weg von s nach t. (2) kürzeste (s, t)-wege in G = (V, E ) können auch anders berechnet werden der Algorithmus von Dijkstra löst das Problem, indem er vom zu (2) dualen linearen Programm ausgeht: max y T b y T A d T max y t y s v w y v d e (e = (v, w ) E ) gesucht ist also ein (Knoten)-Potential entlang jeder Kante e = (v, w ) E gilt: y : V R so, dass: y w y v d e bzw. y w y v + d e (3) und die Potentialdifferenz y t y s maximiert wird. 15 / / 53

5 der Einfachheit halber setzen wir d vw = +, wenn (v, w ) / E der Algorithmus baut nun ein optimales Potential sukzessive folgendermaßen auf: Algorithmus von Dijkstra (1) Setze y s 0, U {s} und y v d sv für alle v V U. (2) while U V do: (3) wähle ein v V U mit minimalem Potential y v (4) setze U U {v } (5) für alle w V U do (5) y w min{y w, y v + d vw } (6) end do (7) end while Algorithmus von Dijkstra (1) Setze y s 0, U {s} und y v d sv für alle v V U. (2) while U V do: (3) wähle ein v V U mit minimalem Potential y v (4) setze U U {v } markiere v (5) für alle w V U do (5) y w min{y w, y v + d vw } schreibe fort (6) end do (7) end while Lemma 3 Der Dijkstra-Algortithmus erzeugt dual-zulässige Potentiale. Beweis: wir führen den Beweis in zwei Teilen 17 / / 53 Algorithmus von Dijkstra (1) Setze y s 0, U {s} und y v d sv für alle v V U. (2) while U V do: (3) wähle ein v V U mit minimalem Potential y v (4) setze U U {v } markiere v (5) für alle w V U do (5) y w min{y w, y v + d vw } schreibe fort (6) end do (7) end while Algorithmus von Dijkstra (1) Setze y s 0, U {s} und y v d sv für alle v V U. (2) while U V do: (3) wähle ein v V U mit minimalem Potential y v (4) setze U U {v } markiere v (5) für alle w V U do (5) y w min{y w, y v + d vw } schreibe fort (6) end do (7) end while (i) wird u direkt vor v markiert, so gilt y u y v : in dem Schritt, in dem u markiert wird, gilt y u y v danach bleibt y v entweder gleich oder wird erniedrigt im zweiten Fall folgt aus dem Fortschreiben y v = y u + d uv y u (ii) für e = (u, v ) E ist zu zeigen: y v y u + d e wird u vor v markiert, so gilt diese Eigenschaft nach dem Fortschreiben danach bleibt y u konstant, y v kann nur noch verringert werden 19 / / 53

6 Algorithmus von Dijkstra (1) Setze y s 0, U {s} und y v d sv für alle v V U. (2) while U V do: (3) wähle ein v V U mit minimalem Potential y v (4) setze U U {v } markiere v (5) für alle w V U do (5) y w min{y w, y v + d vw } schreibe fort (6) end do (7) end while andernfalls gilt zum Zeitpunkt der Markierung von v : y v y u y u + d e danach bleibt y v konstant, y u kann nur noch verringert werden y u kann nur fortgeschrieben werden, wenn ein Knoten w markiert wird sei w der letzte solche Knoten für jeden Knoten v gilt: es existiert ein Knoten u, der y v damit gilt zum letzten Mal fortschreibt y v = y u + d (uv ) (4) mit dieser Eigenschaft lässt sich leicht ein Weg von s nach t durch Zurückrechnen gewinnen: (1) setze v = t (2) bestimme einen Knoten u, der (4) erfüllt (3) falls u = s, stop (4) andernfalls setze v = u und gehe zu (2) dann gilt y v y w = y u d (wu) y u y u + d e. 21 / / 53 Satz 4 Der Dijkstra-Algorithmus berechnet eine kürzesten Weg. Beweis: sei x R E der Inzidenzvektor des wie vorher bestimmten Weges Gliederung Netzwerke und Flüsse bipartite Matchings Flüsse in Netzwerken dann ist x primal zulässig y ist dual zulässig per Konstruktion gilt: x (uv ) > 0 = y v = y u + d (uv ) damit folgt die Behauptung aus dem Satz vom komplementären Schlupf. 23 / / 53

7 wir betrachten wieder einen gerichteten Graphen G = (V, E ) mit Knoten-Kanten-Inzidenzmatrix A und Kantenkapazitäten c seien wiederum s und t zwei Knoten als Quelle und Senke der Graph repräsentiert ein Netzwerk (Leitungen, Kanäle, usw.) über das Netzwerk so viel wie möglich von s nach t gepumpt werden wir fügen dazu eine Rückkante f = (t, s) mit unbeschränkter Kapazität hinzu und messen die Stärke des Flusses in der Kante f wir betrachten somit eine Zirkulation (oder Strömung ) d.h. einen Fluss x R E mit Nettozufluss δ v (x) = 0 in jedem Knoten v V d.h. bei einer Zirkulation ist jeder Knoten Transitknoten und es gilt x R E ist Zirkulation auf G Ax = 0. Ford-Fulkerson-Problem bestimme eine nichtnegative Zirkulation x, die den Wert x f maximiert: max x f s.d. δ v (x) = 0 für alle v V 0 x e c e für alle e E {f } (5) 25 / / 53 im folgenden Beispielgraph sei c e = 1 für alle e E f sei nun x 0 eine zulässige Lösung von (5) wir wollen versuchen, diese zu verbessern sei dazu G(x) ein Hilfsgraph auf V eine mögliche Zirkulation x mit x f = 1 ist: f für eine Kante e = (v, w ) E {f } enthält G(x) bis zu zwei Kanten (v, w ), falls x e < c e (Vorwärtskante) (w, v ), falls x e > 0 (Rückwärtskante) f sei ε > 0 so, dass x e + ε c e, x e ε 0, für alle Vorwärtskanten e für alle Rückwärtskanten e x ist nicht maximal, kann aber nicht einfach erhöht werden. 27 / / 53

8 die aktuelle Zirkulation x: sei P ein Weg von s nach t im Hilfsgraphen G(x) der zugehörige Hilfsgraph G(x): f dann kann x um mindestens ε > 0 erhöht werden: erhöhe x um ε auf Vorwärtskanten von P und auf f = (t, s) erniedrige x um ε auf den Rückwärtskanten von P offensichtlich ist die resultierende Zirkulation nichtnegativ respektiert die Kapazitätsgrenzen und genügt den Knotendurchflussbedingungen G(x) kann Kanten enthalten, die in G nicht vorkommen P heißt augmentierender Weg 29 / / 53 der Hilfsgraph G(x) mit einem augmentierendem Weg sei S die Menge aller Knoten, die in G(x) von s aus auf einem gerichteten Weg erreicht werden können dann wissen wir also: im Fall t S kann x verbessert werden die verbesserte Zirkulation x : aus den vorangegangenen Überlegungen ergibt sich der folgende Algorithmus: f 31 / / 53

9 Algorithmus von Ford-Fulkerson (1) beginne mit x = 0 als Startlösung (2) konstruiere den Hilfsgraphen G(x) (3) suche in G(x) einen augmentierenden Weg P von s nach t (4) falls kein solcher Weg existiert, stop, (5) andernfalls erhöhe x entlang P zu einem neuen Fluss x mit = x f + ε x f (6) setze x = x und gehe zu (2) wir wollen zeigen, dass der Algorithmus optimale Zirkulationen berechnet dazu betrachten wir die LP-Formulierung des Flussproblems: max x f δ v (x) = 0 für alle v V 0 x e c e für alle e E {f } äquivalent in Matrixschreibweise und mit Schlupfvariablen s 0: min ef T x Ax = 0 Ix + Is = c x, s 0 (5) hierbei ist e f der zu f E gehörige Einheitsvektor 33 / / 53 die LP-Formulierung mit Schlupfvariablen: min ef T x Ax = 0 Ix + Is = c x, s 0 das dazu duale lineare Programm lautet: max y T 0 + z T c s.d. y T A + z T ef T z T 0 T bzw. letzteres ist äquivalent zu min max y T 0 + z T c s.d. y T A + z T ef T z T 0 T X c e z e e E min z T c s.d. y T A z T ef T z T 0 T s.d. y w y v + z e 0 für alle z = (v, w ) E y s y t + z f 1 z e 0. (6) 35 / / 53

10 sei S V eine Knotenmenge mit s S dann bestimmt S einen s-schnitt [S : V S] = {(v, w ) E v S, w / S} der Schnitt S hat die Kapazität c[s : V S] = X e [S:V S] c e Lemma 5 Sei x eine Zirkulation und S ein Schnitt. Dann gilt: X x e X x e = 0 Beweis: e [S:V S] für alle v in V S gilt: X e [V S:S] (u,v ) x (u,v ) X (v,u) x (v,u) = 0 s S t Summation ergibt: X ` X x (v,u) = 0 v V S (u,v ) x (u,v ) X (v,u) 37 / / 53 Summation ergibt: X ` X x (v,u) = 0 v V S (u,v ) x (u,v ) X (v,u) sei e = (u, v ) eine Kante mit u, v V S Lemma 6 (Schnittlemma) Sei x eine zulässige Zirkulation auf G und [S : V S] ein beliebiger s-schnitt. Dann gilt x f c[s : V S]. dann wird x e in der Summation einmal positiv und einmal negativ gezählt somit gehen in die Summation nur Kanten aus [S : V S] und [V S : S] ein woraus die Behauptung folgt. Beweis: setze j 1, für v S y v = 0, für v / S j 1, für e [S : V S] z e = 0, sonst dies liefert eine zulässige Lösung des dualen Problems (6) mit Zielfunktionswert X c e z e = c[s : V S] e E die Behauptung folgt dann aus der schwachen Dualität. 39 / / 53

11 sei wie vorher x 0 eine zulässige Zirkulation sei S die Menge aller von s in G(x) erreichbaren Knoten angenommen t / S per Definition von G(x) und S dann gilt für jede Kante e = (v, w ) E {f }: x e = j ce weiter folgt mit Lemma 5 wenn v S und w V S 0 wenn v V S und w S. x f = X e [S:V S] x e = c[s : V S]. Satz 7 (Ford-Fulkerson) Eine zulässige Zirkulation x ist optimal für (5) genau denn, wenn es im Hilfsgraphen G(x) keinen augmentierenden Weg von s nach t gibt. das lineare Programm (5) hat auf jeden Fall x = 0 als zulässige Lösung also erhalten wir unter den obigen Voraussetzungen eine kombinatorische (graphentheoretische) Form der LP-Dualität: Korollar 8 (max-flow-min-cut) max {x f x ist zulässig für (5)} = min {c[s : V S] s S V }. somit ist x optimal daher ergibt sich der folgende Satz: 41 / / 53 Flüsse in Netzwerken Bemerkungen: sind die Kapazitäten c e ganzzahlig, so ist klar, dass der FF-Algorithmus nur ganzzahlige Lösungen x generiert in jeder Iteration der Flusswert x f um ein ganzzahliges ε 1 verbessert wird Gliederung Netzwerke und Flüsse bipartite Matchings man kann zeigen, dass der FF-Algorithmus: sehr lange brauchen kann, um das Optimum zu bestimmen höchstens V E Augmentierungen erfordert, wenn man kürzeste augmentierende Wege wählt ( also z.b., wenn man P mit dem Dijkstra-Algorithmus berechnet) 43 / / 53

12 bipartite Matchings seien S und T zwei endliche disjunkte Mengen und E S T wir betrachten den (ungerichteten) Graphen G = (S T, E ) seine Kanten verlaufen nur zwischen S und T innerhalb von S oder von T gibt es keine Kanten bipartite Matchings ein Matching ist eine Teilmenge M E von paarweise nichtinzidenten Kanten: (s 1, t 1 ), (s 2, t 2 ) M = s 1 s 2, t 1 t 2. M S ein solcher Graph G = (S T, E ) heißt bipartit T S T wir suchen in G ein Matching maximaler Kardinalität 45 / / 53 bipartite Matchings bipartite Matchings das Matching-Problem lässt sich als Spezialfall des FF-Problems auffassen dazu betrachten wir den Graphen G = (V, E), mit zwei neuen Knoten s 0 und t 0, d.h. V = (S T {s 0, t 0 }, E, und Kantenmenge wir setzen die Kapazität der Kanten vom Typ (s 0, s) und (t, t 0 ) auf 1 (und + sonst), offensichtlich entspricht jedem Matching ein ganzzahliger Fluss und umgekehrt E = E {(s 0, s) s S} {(t, t 0 ) t T } {(t 0, s 0 } der FF-Algorithmus liefert einen Vektor x {0, 1} E Flusswert x (t0,s 0 ) = X x e. e E mit maximalem folglich ist M = {e E x e = 1} ein maximales Matching in G. s t S T 47 / / 53

13 bipartite Matchings bipartite Matchings eine (Kanten-)Überdeckung von G = (S T, E ) ist Teilmenge der Knoten C S T mit der Eigenschaft (v, w ) E = v C oder w C. sei andererseits M ein maximales Matching, das nach dem FF-Algorithmus konstruiert wurde sei C der Schnitt aller Knoten, die von s 0 dann gilt; c[c : V C] = M <, noch erreichbar sind C daher existiert kein e E, das von S C nach T C verläuft also ist eine Überdeckung gegeben durch: C = (S C) (T C) S da jede Kante aus M durch C abgedeckt sein muss, folgt: T C M. sie hat Mächtigkeit somit ergibt sich: C = S C + T C = c[c : V C] = M. 49 / / 53 Satz 9 (König) Sei G = (S T, E ) bipartit. Dann gilt bipartite Matchings max { M M Matching} = min { C C Überdeckung.} das Matching- und Überdeckungsproblem kann sinnvoll auch im nichtbipartiten Fall formuliert werden während das Matchingproblem (mit etwas mehr Aufwand) noch effizient lösbar bleibt, ist für das analoge Überdeckungsproblem kein effizienter Algorithmus bekannt insbesondere gilt der Satz von König in diesem Rahmen nicht mehr bipartite Matchings seien S und T disjunkte Mengen mit S = T = n < und E = S T wir setzen V = S T und definieren die Matrix A = [a ve ] R V E der Vektor b R V 8 < 1 falls e = (v, w ) a ve = +1 falls e = (w, v ) : 0 sonst sei gegeben durch j 1 falls v S b v = +1 falls v T ein (S T )-Matching entspricht einer (0, 1)-Lösung x von Ax = b. über 51 / / 53

14 bipartite Matchings es liegt hier also ein Flussproblem vor, bei dem alle Knoten in S Quellen und alle Knoten in T Senken sind nach Wahl von b erfüllt jedes nichtnegative x R E automatisch die Bedingung x e 1 für alle e E. A ist eine Netzwerkmatrix und damit total unimodular also gilt P = {x R E Ax = b, x 0} = P I. die zulässigen Basislösungen des Simplexalgorithmus sind Ecken von P und folglich ganzzahlig d.h. diese Basislösungen entsprechen Matchings mit anderen Worten: P ist genau das Matching-Polytop. 53 / 53