Das Multi Traveling Salesman Problem

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1 Das Multi Traveling Salesman Problem Harald Voit Seminar Ganzzahlige Optimierung 19. bis 21. Januar 2007 Wallenfels Das Multi Traveling Salesman Problem p.1/26

2 Übersicht Vom TSP zum ATSP Das Multi Traveling Salesman Problem p.2/26

3 Übersicht Vom TSP zum ATSP Lösen von ATSP Lösen von m-atsp Das Multi Traveling Salesman Problem p.2/26

4 Übersicht Vom TSP zum ATSP Lösen von ATSP Lösen von m-atsp Das m-cost ATSP Polytop Das Multi Traveling Salesman Problem p.2/26

5 Übersicht Vom TSP zum ATSP Lösen von ATSP Lösen von m-atsp Das m-cost ATSP Polytop Das Einmaschinenproblem Das Multi Traveling Salesman Problem p.2/26

6 Übersicht Vom TSP zum ATSP Lösen von ATSP Lösen von m-atsp Das m-cost ATSP Polytop Das Einmaschinenproblem Die Facetten Das Multi Traveling Salesman Problem p.2/26

7 Vom TSP zum m-atsp Das klassische Traveling Salesman Problem Gegeben: n Städte und Straßenlängen Das Multi Traveling Salesman Problem p.3/26

8 Vom TSP zum m-atsp Das klassische Traveling Salesman Problem Gesucht: kürzeste zusammenhängende Rundreise durch alle Städte Das Multi Traveling Salesman Problem p.3/26

9 Vom TSP zum m-atsp Das klassische Traveling Salesman Problem Sei G = (V,A) ein vollständiger Graph mit Knotenmenge V = {1,...,n} und Kantenmenge A = {(i,j) i,j V } mit Gewichten d e für e A Das Multi Traveling Salesman Problem p.3/26

10 Vom TSP zum m-atsp Das klassische Traveling Salesman Problem Gesucht ist der Hamiltonsche Kreis mit minimaler Kantenlänge Das Multi Traveling Salesman Problem p.3/26

11 Vom TSP zum m-atsp Das Asymmetrische Traveling Salesman Problem vollständiger Digraph mit Knotenmenge V = {1,...,n} und Kantenmenge A = {(i,j) i,j V,i j} mit Gewichten d e und d ij d ji Das Multi Traveling Salesman Problem p.4/26

12 Vom TSP zum m-atsp Das Asymmetrische Traveling Salesman Problem Gesucht ist der gerichtete Hamiltonsche Kreis mit minimalem Kantengewicht Das Multi Traveling Salesman Problem p.4/26

13 Vom TSP zum m-atsp Bisher: Das Multi Salesman Problem nur ein Handelsreisender Das Multi Traveling Salesman Problem p.5/26

14 Vom TSP zum m-atsp Bisher: Jetzt: Das Multi Salesman Problem nur ein Handelsreisender mehrere Handelsreisende Das Multi Traveling Salesman Problem p.5/26

15 Vom TSP zum m-atsp Bisher: Jetzt: Das Multi Salesman Problem nur ein Handelsreisender mehrere Handelsreisende 0 Das Multi Traveling Salesman Problem p.5/26

16 Vom TSP zum m-atsp Bisher: Jetzt: Das Multi Salesman Problem nur ein Handelsreisender mehrere Handelsreisende vollständiger Digraph mit Knotenmenge V = {1,...,n} {0} und Kantenmenge A = {(i,j) i,j V,i j} 0 Das Multi Traveling Salesman Problem p.5/26

17 Vom TSP zum m-atsp Bisher: Jetzt: Das Multi Salesman Problem nur ein Handelsreisender mehrere Handelsreisende Gesucht ist eine Auswahl an Handlungsreisenden und eine Zuordnung von Touren, so dass alle Knoten genau einmal besucht werden. 0 Das Multi Traveling Salesman Problem p.5/26

18 Lösen von ATSP Wie kann man ein ATSP lösen? Das Multi Traveling Salesman Problem p.6/26

19 Lösen von ATSP altes Problem: D = (W,A) mit W = {1, 2,...,n} A W W für (i,j) A d ij Wie kann man ein ATSP lösen? Das Multi Traveling Salesman Problem p.6/26

20 Lösen von ATSP Wie kann man ein ATSP lösen? altes Problem: D = (W,A) mit W = {1, 2,...,n} A W W für (i,j) A d ij neues Problem: Das Multi Traveling Salesman Problem p.6/26

21 Lösen von ATSP Wie kann man ein ATSP lösen? altes Problem: D = (W,A) mit W = {1, 2,...,n} A W W für (i,j) A d ij neues Problem: Definiere G = (V,E) mit Das Multi Traveling Salesman Problem p.6/26

22 Lösen von ATSP Wie kann man ein ATSP lösen? altes Problem: D = (W,A) mit W = {1, 2,...,n} A W W für (i,j) A d ij neues Problem: Definiere G = (V,E) mit V = W {n + 1,n + 2,...,2n} Das Multi Traveling Salesman Problem p.6/26

23 Lösen von ATSP Wie kann man ein ATSP lösen? altes Problem: D = (W,A) mit W = {1, 2,...,n} A W W für (i,j) A d ij neues Problem: Definiere G = (V,E) mit V E = W {n + 1,n + 2,...,2n} = {(i,n + i) i = 1, 2,...,n} {(n + i,j) (i,j) A} Das Multi Traveling Salesman Problem p.6/26

24 Lösen von ATSP Wie kann man ein ATSP lösen? altes Problem: D = (W,A) mit W = {1, 2,...,n} A W W für (i,j) A d ij neues Problem: Definiere G = (V,E) mit V E c i,n+i c n+i,j = W {n + 1,n + 2,...,2n} = {(i,n + i) i = 1, 2,...,n} {(n + i,j) (i,j) A} = M für i = 1, 2,...,n = d ij für (i,j) A Das Multi Traveling Salesman Problem p.6/26

25 Lösen von ATSP d 21 1 d 12 2 d 13 d 31 d 23 d 32 3 Das Multi Traveling Salesman Problem p.7/26

26 Lösen von ATSP Das Multi Traveling Salesman Problem p.7/26

27 Lösen von ATSP Das Multi Traveling Salesman Problem p.7/26

28 Lösen von ATSP 1 2 M 4 5 M 6 M 3 Das Multi Traveling Salesman Problem p.7/26

29 Lösen von ATSP 1 2 M d M 6 M 3 Das Multi Traveling Salesman Problem p.7/26

30 Lösen von ATSP d 21 d M 4 5 M 6 M 3 Das Multi Traveling Salesman Problem p.7/26

31 Lösen von ATSP 1 2 M d 21 d M d 31 d 32 6 d 13 M d 23 3 Das Multi Traveling Salesman Problem p.7/26

32 Lösen von m-atsp Gegeben: Digraph D = (V,A), V = {1,...,n} {0}, A V V, d ij, w i. Das Multi Traveling Salesman Problem p.8/26

33 Lösen von m-atsp Gegeben: Digraph D = (V,A), V = {1,...,n} {0}, A V V, d ij, w i. neues Problem: Das Multi Traveling Salesman Problem p.8/26

34 Lösen von m-atsp Gegeben: Digraph D = (V,A), V = {1,...,n} {0}, A V V, d ij, w i. neues Problem: Definiere neuen Digraph D = (V,A ) Das Multi Traveling Salesman Problem p.8/26

35 Lösen von m-atsp Gegeben: Digraph D = (V,A), V = {1,...,n} {0}, A V V, d ij, w i. neues Problem: Definiere neuen Digraph D = (V,A ) {n + 1} := {0} Das Multi Traveling Salesman Problem p.8/26

36 Lösen von m-atsp Gegeben: Digraph D = (V,A), V = {1,...,n} {0}, A V V, d ij, w i. neues Problem: Definiere neuen Digraph D = (V,A ) {n + 1} := {0} V = V {n + 2,n + 3,...,n + m} Das Multi Traveling Salesman Problem p.8/26

37 Lösen von m-atsp Gegeben: Digraph D = (V,A), V = {1,...,n} {0}, A V V, d ij, w i. neues Problem: Definiere neuen Digraph D = (V,A ) {n + 1} := {0} V = V {n + 2,n + 3,...,n + m} A = A Das Multi Traveling Salesman Problem p.8/26

38 Lösen von m-atsp Gegeben: Digraph D = (V,A), V = {1,...,n} {0}, A V V, d ij, w i. neues Problem: Definiere neuen Digraph D = (V,A ) {n + 1} := {0} V = V {n + 2,n + 3,...,n + m} A = A {(n + i,j) 2 i m, (n + 1,j) A} Das Multi Traveling Salesman Problem p.8/26

39 Lösen von m-atsp Gegeben: Digraph D = (V,A), V = {1,...,n} {0}, A V V, d ij, w i. neues Problem: Definiere neuen Digraph D = (V,A ) {n + 1} := {0} V = V {n + 2,n + 3,...,n + m} A = A {(n + i,j) 2 i m, (n + 1,j) A} {(j,n + i) 2 i m, (j,n + 1) A} Das Multi Traveling Salesman Problem p.8/26

40 Lösen von m-atsp Gegeben: Digraph D = (V,A), V = {1,...,n} {0}, A V V, d ij, w i. neues Problem: Definiere neuen Digraph D = (V,A ) {n + 1} := {0} V = V {n + 2,n + 3,...,n + m} A = A {(n + i,j) 2 i m, (n + 1,j) A} {(j,n + i) 2 i m, (j,n + 1) A} {(n + i,n + i 1) 2 i m} Das Multi Traveling Salesman Problem p.8/26

41 Lösen von m-atsp Das Multi Traveling Salesman Problem p.9/26

42 Lösen von m-atsp Das Multi Traveling Salesman Problem p.9/26

43 Lösen von m-atsp Das Multi Traveling Salesman Problem p.9/26

44 Lösen von m-atsp Das Multi Traveling Salesman Problem p.9/26

45 Lösen von m-atsp Das Multi Traveling Salesman Problem p.9/26

46 Lösen von m-atsp Das Multi Traveling Salesman Problem p.9/26

47 Lösen von m-atsp Das Multi Traveling Salesman Problem p.9/26

48 Das m-cost ATSP Polytop Bisher: Kosten für alle Handelsreisende identisch Das Multi Traveling Salesman Problem p.10/26

49 Das m-cost ATSP Polytop Bisher: Jetzt: Kosten für alle Handelsreisende identisch Kosten für Handelsreisende unterschiedlich Das Multi Traveling Salesman Problem p.10/26

50 Das m-cost ATSP Polytop Bisher: Jetzt: Kosten für alle Handelsreisende identisch Kosten für Handelsreisende unterschiedlich Modell: Das Multi Traveling Salesman Problem p.10/26

51 Das m-cost ATSP Polytop Bisher: Jetzt: Kosten für alle Handelsreisende identisch Kosten für Handelsreisende unterschiedlich Modell: Für jedes k M: Digraph D 0 k = (V k,a k ) Das Multi Traveling Salesman Problem p.10/26

52 Das m-cost ATSP Polytop Bisher: Jetzt: Kosten für alle Handelsreisende identisch Kosten für Handelsreisende unterschiedlich Modell: Für jedes k M: Digraph D 0 k = (V k,a k ) V k = J {0} Das Multi Traveling Salesman Problem p.10/26

53 Das m-cost ATSP Polytop Bisher: Jetzt: Kosten für alle Handelsreisende identisch Kosten für Handelsreisende unterschiedlich Modell: Für jedes k M: Digraph D 0 k = (V k,a k ) V k = J {0} A k = {(0, 0) k } {(i,j) k i,j V k,i j} Das Multi Traveling Salesman Problem p.10/26

54 Das m-cost ATSP Polytop Bisher: Jetzt: Kosten für alle Handelsreisende identisch Kosten für Handelsreisende unterschiedlich Modell: Für jedes k M: Digraph Dk 0 = (V k,a k ) V k = J {0} A k = {(0, 0) k } {(i,j) k i,j V k,i j} m A = k=1 A k Das Multi Traveling Salesman Problem p.10/26

55 Das m-cost ATSP Polytop Bisher: Jetzt: Kosten für alle Handelsreisende identisch Kosten für Handelsreisende unterschiedlich Modell: Für jedes k M: Digraph Dk 0 = (V k,a k ) V k = J {0} A k = {(0, 0) k } {(i,j) k i,j V k,i j} m A = d ijk k=1 A k (i,j) A,k M Das Multi Traveling Salesman Problem p.10/26

56 Das m-cost ATSP Polytop Wie sehen zulässige Lösungen aus? Das Multi Traveling Salesman Problem p.11/26

57 Das m-cost ATSP Polytop Wie sehen zulässige Lösungen aus? k=1 k=2 k=3 (m-cost ATSP) minimiere {d(a F ) A F F m n } Das Multi Traveling Salesman Problem p.11/26

58 Das m-cost ATSP Polytop Wie sehen zulässige Lösungen aus? k=1 k=2 k=3 (m-cost ATSP) minimiere {d(a F ) A F F m n } F m n = {C 1... C m m k=1 C k = n + m, k M : C k A k mit 0 V k (C k ), v J : k M : v V k (C k )} Das Multi Traveling Salesman Problem p.11/26

59 Das m-cost ATSP Polytop Wie sieht das Polytop nun aus? Das Multi Traveling Salesman Problem p.12/26

60 Das m-cost ATSP Polytop Wie sieht das Polytop nun aus? Definiere Inzidenzvektor x A {0, 1} A für ein A A durch { x A ijk = 1, falls ijk A 0, sonst Das Multi Traveling Salesman Problem p.12/26

61 Das m-cost ATSP Polytop Wie sieht das Polytop nun aus? Definiere Inzidenzvektor x A {0, 1} A für ein A A durch { x A ijk = 1, falls ijk A 0, sonst Das Polytop: P m n = conv{x A A F m n } Das Multi Traveling Salesman Problem p.12/26

62 Das m-cost ATSP Polytop x 00k + x(δ + k (0)) = 1 k M (1) Das Multi Traveling Salesman Problem p.13/26

63 Das m-cost ATSP Polytop x 00k + x(δ + k k M x(δ+ k (0)) = 1 k M (1) (j)) = 1 j J (2) Das Multi Traveling Salesman Problem p.13/26

64 Das m-cost ATSP Polytop x 00k + x(δ + k k M x(δ+ k x(δ k (j)) x(δ+ k (0)) = 1 k M (1) (j)) = 1 j J (2) (j)) = 0 j J,k M (3) Das Multi Traveling Salesman Problem p.13/26

65 Das m-cost ATSP Polytop x 00k + x(δ + k k M x(δ+ k x(δ k (j)) x(δ+ k (0)) = 1 k M (1) (j)) = 1 j J (2) (j)) = 0 j J,k M (3) x(δ + k (S)) x(δ+ k (v)) 0 k M,S J, S 2,v S (4) Das Multi Traveling Salesman Problem p.13/26

66 Das m-cost ATSP Polytop x 00k + x(δ + k k M x(δ+ k x(δ k (j)) x(δ+ k (0)) = 1 k M (1) (j)) = 1 j J (2) (j)) = 0 j J,k M (3) x(δ + k (S)) x(δ+ k (v)) 0 k M,S J, S 2,v S (4) x ijk {0, 1} ijk A (5) Das Multi Traveling Salesman Problem p.13/26

67 Das m-cost ATSP Polytop Lemma 1: Ein Inzidenzvektor x A Q A von A A ist genau dann eine zulässige Lösung von (1)-(5), wenn A F m n Das Multi Traveling Salesman Problem p.14/26

68 Das m-cost ATSP Polytop Lemma 1: Ein Inzidenzvektor x A Q A von A A ist genau dann eine zulässige Lösung von (1)-(5), wenn A F m n Beweis: Das Multi Traveling Salesman Problem p.14/26

69 Das m-cost ATSP Polytop Lemma 1: Ein Inzidenzvektor x A Q A von A A ist genau dann eine zulässige Lösung von (1)-(5), wenn A F m n Beweis: hinschauen Das Multi Traveling Salesman Problem p.14/26

70 Das m-cost ATSP Polytop Lemma 1: Ein Inzidenzvektor x A Q A von A A ist genau dann eine zulässige Lösung von (1)-(5), wenn A F m n Beweis: hinschauen Sei x Lösung von (1)-(5) (3) x Inzidenzvektor von C 1... C r (1)&(4) für jedes k M : 0 V k (C i ) (2) für jedes v J 1 C i mitv V i (C i ) Das Multi Traveling Salesman Problem p.14/26

71 Das m-cost ATSP Polytop Satz 1: Für n 3 und m 2 gilt: dim(p m n ) = mn 2 n Das Multi Traveling Salesman Problem p.15/26

72 Das m-cost ATSP Polytop Satz 1: Für n 3 und m 2 gilt: dim(p m n ) = mn 2 n Beweis: dim(p m n ) mn 2 n durch geschicktes Aufteilen der Kanten zeigt man Gleichheit Das Multi Traveling Salesman Problem p.15/26

73 Das Einmaschinenproblem Betrachte Teilproblem: nur eine Maschine, d.h. m = 1 diese Maschine muss nicht alle Aufträge bearbeiten kann eine beliebige Teilmenge von Aufträgen bearbeiten oder gar keinen Auftrag bearbeiten Das Multi Traveling Salesman Problem p.16/26

74 Das Einmaschinenproblem Betrachte Teilproblem: nur eine Maschine, d.h. m = 1 diese Maschine muss nicht alle Aufträge bearbeiten kann eine beliebige Teilmenge von Aufträgen bearbeiten oder gar keinen Auftrag bearbeiten Modell: Digraph D 1 = (V 1,A 1 ) mit V 1 = J {0} und A 1 = {(0, 0)} {(i,j) i,j V 1,i j} Das Multi Traveling Salesman Problem p.16/26

75 Das Einmaschinenproblem Zul. Menge: Das Multi Traveling Salesman Problem p.17/26

76 Das Einmaschinenproblem Zul. Menge: F 1 n = {C C A 1 Dizykel mit 0 V 1 (C)} Das Multi Traveling Salesman Problem p.17/26

77 Das Einmaschinenproblem Zul. Menge: F 1 n = {C C A 1 Dizykel mit 0 V 1 (C)} Polyeder: Das Multi Traveling Salesman Problem p.17/26

78 Das Einmaschinenproblem Zul. Menge: F 1 n = {C C A 1 Dizykel mit 0 V 1 (C)} Polyeder: P 1 n = conv{x A A F 1 n} Das Multi Traveling Salesman Problem p.17/26

79 Das Einmaschinenproblem Zul. Menge: F 1 n = {C C A 1 Dizykel mit 0 V 1 (C)} Polyeder: P 1 n = conv{x A A F 1 n} Ungleichungen: Das Multi Traveling Salesman Problem p.17/26

80 Das Einmaschinenproblem Zul. Menge: F 1 n = {C C A 1 Dizykel mit 0 V 1 (C)} Polyeder: P 1 n = conv{x A A F 1 n} Ungleichungen: x 00 + x(δ + (0)) = 1 (6) x(δ (j)) = x(δ + (j)) j J (7) x(δ + (S)) x(δ + (v)) S J, S 2,v S (8) x ij {0, 1} ij A 1 (9) Das Multi Traveling Salesman Problem p.17/26

81 Das Einmaschinenproblem Lemma 2: Ein Inzidenzvektor x A von A A 1 ist genau dann eine zulässige Lösung von (6)-(9) wenn A F 1 n. Das Multi Traveling Salesman Problem p.18/26

82 Das Einmaschinenproblem Lemma 2: Ein Inzidenzvektor x A von A A 1 ist genau dann eine zulässige Lösung von (6)-(9) wenn A F 1 n. Beweis: analog zum Beweis von Lemma 1. Das Multi Traveling Salesman Problem p.18/26

83 Das Einmaschinenproblem Satz 2: Für das Polytop P 1 n gilt: dim(p 1 n) = n 2 Das Multi Traveling Salesman Problem p.19/26

84 Das Einmaschinenproblem Satz 2: Für das Polytop P 1 n gilt: dim(p 1 n) = n 2 Beweis: Das Multi Traveling Salesman Problem p.19/26

85 Das Einmaschinenproblem Satz 2: Für das Polytop P 1 n gilt: dim(p 1 n) = n 2 Beweis: dim(p 1 n ) n2 Das Multi Traveling Salesman Problem p.19/26

86 Das Einmaschinenproblem Satz 2: Für das Polytop P 1 n gilt: dim(p 1 n) = n 2 Beweis: dim(p 1 n ) n2 dim(p) = n rg(a eq(p) ) Das Multi Traveling Salesman Problem p.19/26

87 Das Einmaschinenproblem Satz 2: Für das Polytop P 1 n gilt: dim(p 1 n) = n 2 Beweis: dim(p 1 n ) n2 Konstruiere n zulässige Dizykel Das Multi Traveling Salesman Problem p.19/26

88 Das Einmaschinenproblem Satz 2: Für das Polytop Pn 1 gilt: dim(p C n) 1 00 = = n 2 {00} C i0 = {0i,i0} i J Beweis: dim(pn 1) C ij = {0i,ij,j0} i,j J,i j n2 Konstruiere n zulässige Dizykel Das Multi Traveling Salesman Problem p.19/26

89 Das Einmaschinenproblem Satz 2: Für das Polytop P 1 n gilt: dim(p 1 n) = n 2 Beweis: dim(p 1 n ) n2 Konstruiere n zulässige Dizykel Ordne Inzidenzvektoren geschickt an Das Multi Traveling Salesman Problem p.19/26

90 Das Einmaschinenproblem Satz 1 2: C Für das Polytop Pn 1 12 gilt: dim(p 1 n) 1 0 = n C C Beweis: dim(pn 1) C n C 20 Konstruiere n zulässige Dizykel Ordne Inzidenzvektoren geschickt an Das Multi Traveling Salesman Problem p.19/26

91 Das Einmaschinenproblem Satz 1 2: C Für das Polytop Pn 1 12 gilt: dim(p 1 n) 1 0 = n C C Beweis: dim(pn 1) C n C 20 Konstruiere n zulässige Dizykel Ordne Inzidenzvektoren geschickt an Inzidenzvektoren linear unabhängig Das Multi Traveling Salesman Problem p.19/26

92 Das Einmaschinenproblem Satz 3: 1. Sei x ij A 1 und n 3. Dann definiert x ij 0 eine Facette von P 1 n. 2. Für S J, S 2, v S sind die Ungleichungen x(δ + (S)) x(δ + (v)) facettendefinierend für Pn. 1 Das Multi Traveling Salesman Problem p.20/26

93 Das Einmaschinenproblem Satz 3: 1. Sei x ij A 1 und n 3. Dann definiert x ij 0 eine Facette von P 1 n. 2. Für S J, S 2, v S sind die Ungleichungen x(δ + (S)) x(δ + (v)) facettendefinierend für Pn. 1 Beweis: Das Multi Traveling Salesman Problem p.20/26

94 Das Einmaschinenproblem Satz 3: dim(f) = dim(p) 1 1. Sei x ij A 1 und n 3. Dann definiert x ij 0 eine Facette von P 1 n. 2. Für S J, S 2, v S sind die Ungleichungen x(δ + (S)) x(δ + (v)) facettendefinierend für Pn. 1 Beweis: 1. Ähnlich zum Beweis von Satz 2, nur mit n 2 unabhängigen Touren. Das Multi Traveling Salesman Problem p.20/26

95 Das Einmaschinenproblem Satz 3: dim(f) = dim(p) 1 1. Sei x ij A 1 und n 3. Dann definiert x ij 0 eine Facette von P 1 n. 2. Für S J, S 2, v S sind die Ungleichungen x(δ + (S)) x(δ + (v)) facettendefinierend für Pn. 1 Beweis: 1. Ähnlich zum Beweis von Satz 2, nur mit n 2 unabhängigen Touren. 2. Durch geschickte Angabe von n 2 zulässigen Dizykeln, deren Inzidenzvektoren linear unabhängig sind. Das Multi Traveling Salesman Problem p.20/26

96 Das Einmaschinenproblem Satz 4: Für x Q n(n+1)+1,x 0. x erfülle (7). Dann sind die Ungleichungen (8) in polynomialer Zeit separierbar. Das Multi Traveling Salesman Problem p.21/26

97 Das Einmaschinenproblem Satz 4: Für x Q n(n+1)+1,x 0. x erfülle (7). Dann sind die Ungleichungen (8) in polynomialer Zeit separierbar. Beweis: Konstruiere Digraph D v = (V 1,A v ) mit A v = {ij i J,j V s \{v}} Definiere Kapazitäten c v ij = x ij für ij A v Löse in polynomialer Zeit ein v0-max flow Problem min-cut δ + (S v ) mit v S v J Das Multi Traveling Salesman Problem p.21/26

98 Die Facetten Satz 5: 1. Sei x ijk A und n 3, m 2. Dann definiert x ijk 0 eine Facette von P m n. 2. Falls n 3 und m 2 sind die v0-cut Ungleichungen (4) facettendefinierend. Das Multi Traveling Salesman Problem p.22/26

99 Die Facetten Satz 5: 1. Sei x ijk A und n 3, m 2. Dann definiert x ijk 0 eine Facette von P m n. 2. Falls n 3 und m 2 sind die v0-cut Ungleichungen (4) facettendefinierend. Beweis: Das Multi Traveling Salesman Problem p.22/26

100 Die Facetten Satz 5: 1. Sei x ijk A und n 3, m 2. Dann definiert x ijk 0 eine Facette von P m n. 2. Falls n 3 und m 2 sind die v0-cut Ungleichungen (4) facettendefinierend. Beweis: 1. Konstruiere mn 2 n unabhängige Touren. Das Multi Traveling Salesman Problem p.22/26

101 Die Facetten Satz 5: 1. Sei x ijk A und n 3, m 2. Dann definiert x ijk 0 eine Facette von P m n. 2. Falls n 3 und m 2 sind die v0-cut Ungleichungen (4) facettendefinierend. Beweis: 1. Konstruiere mn 2 n unabhängige Touren. 2. Für n 3 und m 3, alle facettendefinierenden Ungleichungen sind auch hier facettendefinierend. Für m = 2 konstruiere geschickt mn 2 n zulässige Touren. Das Multi Traveling Salesman Problem p.22/26

102 Die Facetten Satz 6: Für x Q A,x 0. x erfülle (3). Dann sind die Ungleichungen (4) in polynomialer Zeit separierbar. Das Multi Traveling Salesman Problem p.23/26

103 Die Facetten Satz 6: Für x Q A,x 0. x erfülle (3). Dann sind die Ungleichungen (4) in polynomialer Zeit separierbar. Beweis: Folgt aus Satz 4. Das Multi Traveling Salesman Problem p.23/26

104 Die Facetten Satz 7: Sei y Q B,x Q A,x 0. Sei y der Variablenvektor des auf Standardform transformierten m-atsp und es gelte y = Tx. Sei V die Knotenmenge der Transformation, S V mit 2 S V 2. Dann: y(b(s)) S 1 Das Multi Traveling Salesman Problem p.24/26

105 Zusammenfassung Ein ATSP kann auf ein TSP transformiert werden. Das Multi Traveling Salesman Problem p.25/26

106 Zusammenfassung Ein ATSP kann auf ein TSP transformiert werden. Ein Multi ATSP kann auf ein ATSP transformiert werden. Das Multi Traveling Salesman Problem p.25/26

107 Zusammenfassung Ein ATSP kann auf ein TSP transformiert werden. Ein Multi ATSP kann auf ein ATSP transformiert werden. Facetten des Einmaschinenproblems sind auch Facetten des m-cost ATSP. Das Multi Traveling Salesman Problem p.25/26

108 Zusammenfassung Ein ATSP kann auf ein TSP transformiert werden. Ein Multi ATSP kann auf ein ATSP transformiert werden. Facetten des Einmaschinenproblems sind auch Facetten des m-cost ATSP. Die v0-cut Ungleichungen können in polynomialer Zeit separiert werden. Das Multi Traveling Salesman Problem p.25/26

109 Zusammenfassung Ein ATSP kann auf ein TSP transformiert werden. Ein Multi ATSP kann auf ein ATSP transformiert werden. Facetten des Einmaschinenproblems sind auch Facetten des m-cost ATSP. Die v0-cut Ungleichungen können in polynomialer Zeit separiert werden. Falls die v0-cut Ungleichungen erfüllt sind, sind auch die Subtour Elimination Constraints des auf Standardform transformierten ATSP erfüllt. Das Multi Traveling Salesman Problem p.25/26

110 Auf Wiedersehen Vielen Dank für die Aufmerksamkeit! Das Multi Traveling Salesman Problem p.26/26

Heuristiken und exakte Algorithmen für das verallgemeinerte Traveling Salesman Problem. Gerold Jäger

Heuristiken und exakte Algorithmen für das verallgemeinerte Traveling Salesman Problem. Gerold Jäger Heuristiken und exakte Algorithmen für das verallgemeinerte Traveling Salesman Problem Gerold Jäger Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg (in Zusammenarbeit mit Paul Molitor) DFG-Projekt: Toleranzbasierte

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