Das Multi Traveling Salesman Problem

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1 Das Multi Traveling Salesman Problem Harald Voit Seminar Ganzzahlige Optimierung 19. bis 21. Januar 2007 Wallenfels Das Multi Traveling Salesman Problem p.1/26

2 Übersicht Vom TSP zum ATSP Das Multi Traveling Salesman Problem p.2/26

3 Übersicht Vom TSP zum ATSP Lösen von ATSP Lösen von m-atsp Das Multi Traveling Salesman Problem p.2/26

4 Übersicht Vom TSP zum ATSP Lösen von ATSP Lösen von m-atsp Das m-cost ATSP Polytop Das Multi Traveling Salesman Problem p.2/26

5 Übersicht Vom TSP zum ATSP Lösen von ATSP Lösen von m-atsp Das m-cost ATSP Polytop Das Einmaschinenproblem Das Multi Traveling Salesman Problem p.2/26

6 Übersicht Vom TSP zum ATSP Lösen von ATSP Lösen von m-atsp Das m-cost ATSP Polytop Das Einmaschinenproblem Die Facetten Das Multi Traveling Salesman Problem p.2/26

7 Vom TSP zum m-atsp Das klassische Traveling Salesman Problem Gegeben: n Städte und Straßenlängen Das Multi Traveling Salesman Problem p.3/26

8 Vom TSP zum m-atsp Das klassische Traveling Salesman Problem Gesucht: kürzeste zusammenhängende Rundreise durch alle Städte Das Multi Traveling Salesman Problem p.3/26

9 Vom TSP zum m-atsp Das klassische Traveling Salesman Problem Sei G = (V,A) ein vollständiger Graph mit Knotenmenge V = {1,...,n} und Kantenmenge A = {(i,j) i,j V } mit Gewichten d e für e A Das Multi Traveling Salesman Problem p.3/26

10 Vom TSP zum m-atsp Das klassische Traveling Salesman Problem Gesucht ist der Hamiltonsche Kreis mit minimaler Kantenlänge Das Multi Traveling Salesman Problem p.3/26

11 Vom TSP zum m-atsp Das Asymmetrische Traveling Salesman Problem vollständiger Digraph mit Knotenmenge V = {1,...,n} und Kantenmenge A = {(i,j) i,j V,i j} mit Gewichten d e und d ij d ji Das Multi Traveling Salesman Problem p.4/26

12 Vom TSP zum m-atsp Das Asymmetrische Traveling Salesman Problem Gesucht ist der gerichtete Hamiltonsche Kreis mit minimalem Kantengewicht Das Multi Traveling Salesman Problem p.4/26

13 Vom TSP zum m-atsp Bisher: Das Multi Salesman Problem nur ein Handelsreisender Das Multi Traveling Salesman Problem p.5/26

14 Vom TSP zum m-atsp Bisher: Jetzt: Das Multi Salesman Problem nur ein Handelsreisender mehrere Handelsreisende Das Multi Traveling Salesman Problem p.5/26

15 Vom TSP zum m-atsp Bisher: Jetzt: Das Multi Salesman Problem nur ein Handelsreisender mehrere Handelsreisende 0 Das Multi Traveling Salesman Problem p.5/26

16 Vom TSP zum m-atsp Bisher: Jetzt: Das Multi Salesman Problem nur ein Handelsreisender mehrere Handelsreisende vollständiger Digraph mit Knotenmenge V = {1,...,n} {0} und Kantenmenge A = {(i,j) i,j V,i j} 0 Das Multi Traveling Salesman Problem p.5/26

17 Vom TSP zum m-atsp Bisher: Jetzt: Das Multi Salesman Problem nur ein Handelsreisender mehrere Handelsreisende Gesucht ist eine Auswahl an Handlungsreisenden und eine Zuordnung von Touren, so dass alle Knoten genau einmal besucht werden. 0 Das Multi Traveling Salesman Problem p.5/26

18 Lösen von ATSP Wie kann man ein ATSP lösen? Das Multi Traveling Salesman Problem p.6/26

19 Lösen von ATSP altes Problem: D = (W,A) mit W = {1, 2,...,n} A W W für (i,j) A d ij Wie kann man ein ATSP lösen? Das Multi Traveling Salesman Problem p.6/26

20 Lösen von ATSP Wie kann man ein ATSP lösen? altes Problem: D = (W,A) mit W = {1, 2,...,n} A W W für (i,j) A d ij neues Problem: Das Multi Traveling Salesman Problem p.6/26

21 Lösen von ATSP Wie kann man ein ATSP lösen? altes Problem: D = (W,A) mit W = {1, 2,...,n} A W W für (i,j) A d ij neues Problem: Definiere G = (V,E) mit Das Multi Traveling Salesman Problem p.6/26

22 Lösen von ATSP Wie kann man ein ATSP lösen? altes Problem: D = (W,A) mit W = {1, 2,...,n} A W W für (i,j) A d ij neues Problem: Definiere G = (V,E) mit V = W {n + 1,n + 2,...,2n} Das Multi Traveling Salesman Problem p.6/26

23 Lösen von ATSP Wie kann man ein ATSP lösen? altes Problem: D = (W,A) mit W = {1, 2,...,n} A W W für (i,j) A d ij neues Problem: Definiere G = (V,E) mit V E = W {n + 1,n + 2,...,2n} = {(i,n + i) i = 1, 2,...,n} {(n + i,j) (i,j) A} Das Multi Traveling Salesman Problem p.6/26

24 Lösen von ATSP Wie kann man ein ATSP lösen? altes Problem: D = (W,A) mit W = {1, 2,...,n} A W W für (i,j) A d ij neues Problem: Definiere G = (V,E) mit V E c i,n+i c n+i,j = W {n + 1,n + 2,...,2n} = {(i,n + i) i = 1, 2,...,n} {(n + i,j) (i,j) A} = M für i = 1, 2,...,n = d ij für (i,j) A Das Multi Traveling Salesman Problem p.6/26

25 Lösen von ATSP d 21 1 d 12 2 d 13 d 31 d 23 d 32 3 Das Multi Traveling Salesman Problem p.7/26

26 Lösen von ATSP Das Multi Traveling Salesman Problem p.7/26

27 Lösen von ATSP Das Multi Traveling Salesman Problem p.7/26

28 Lösen von ATSP 1 2 M 4 5 M 6 M 3 Das Multi Traveling Salesman Problem p.7/26

29 Lösen von ATSP 1 2 M d M 6 M 3 Das Multi Traveling Salesman Problem p.7/26

30 Lösen von ATSP d 21 d M 4 5 M 6 M 3 Das Multi Traveling Salesman Problem p.7/26

31 Lösen von ATSP 1 2 M d 21 d M d 31 d 32 6 d 13 M d 23 3 Das Multi Traveling Salesman Problem p.7/26

32 Lösen von m-atsp Gegeben: Digraph D = (V,A), V = {1,...,n} {0}, A V V, d ij, w i. Das Multi Traveling Salesman Problem p.8/26

33 Lösen von m-atsp Gegeben: Digraph D = (V,A), V = {1,...,n} {0}, A V V, d ij, w i. neues Problem: Das Multi Traveling Salesman Problem p.8/26

34 Lösen von m-atsp Gegeben: Digraph D = (V,A), V = {1,...,n} {0}, A V V, d ij, w i. neues Problem: Definiere neuen Digraph D = (V,A ) Das Multi Traveling Salesman Problem p.8/26

35 Lösen von m-atsp Gegeben: Digraph D = (V,A), V = {1,...,n} {0}, A V V, d ij, w i. neues Problem: Definiere neuen Digraph D = (V,A ) {n + 1} := {0} Das Multi Traveling Salesman Problem p.8/26

36 Lösen von m-atsp Gegeben: Digraph D = (V,A), V = {1,...,n} {0}, A V V, d ij, w i. neues Problem: Definiere neuen Digraph D = (V,A ) {n + 1} := {0} V = V {n + 2,n + 3,...,n + m} Das Multi Traveling Salesman Problem p.8/26

37 Lösen von m-atsp Gegeben: Digraph D = (V,A), V = {1,...,n} {0}, A V V, d ij, w i. neues Problem: Definiere neuen Digraph D = (V,A ) {n + 1} := {0} V = V {n + 2,n + 3,...,n + m} A = A Das Multi Traveling Salesman Problem p.8/26

38 Lösen von m-atsp Gegeben: Digraph D = (V,A), V = {1,...,n} {0}, A V V, d ij, w i. neues Problem: Definiere neuen Digraph D = (V,A ) {n + 1} := {0} V = V {n + 2,n + 3,...,n + m} A = A {(n + i,j) 2 i m, (n + 1,j) A} Das Multi Traveling Salesman Problem p.8/26

39 Lösen von m-atsp Gegeben: Digraph D = (V,A), V = {1,...,n} {0}, A V V, d ij, w i. neues Problem: Definiere neuen Digraph D = (V,A ) {n + 1} := {0} V = V {n + 2,n + 3,...,n + m} A = A {(n + i,j) 2 i m, (n + 1,j) A} {(j,n + i) 2 i m, (j,n + 1) A} Das Multi Traveling Salesman Problem p.8/26

40 Lösen von m-atsp Gegeben: Digraph D = (V,A), V = {1,...,n} {0}, A V V, d ij, w i. neues Problem: Definiere neuen Digraph D = (V,A ) {n + 1} := {0} V = V {n + 2,n + 3,...,n + m} A = A {(n + i,j) 2 i m, (n + 1,j) A} {(j,n + i) 2 i m, (j,n + 1) A} {(n + i,n + i 1) 2 i m} Das Multi Traveling Salesman Problem p.8/26

41 Lösen von m-atsp Das Multi Traveling Salesman Problem p.9/26

42 Lösen von m-atsp Das Multi Traveling Salesman Problem p.9/26

43 Lösen von m-atsp Das Multi Traveling Salesman Problem p.9/26

44 Lösen von m-atsp Das Multi Traveling Salesman Problem p.9/26

45 Lösen von m-atsp Das Multi Traveling Salesman Problem p.9/26

46 Lösen von m-atsp Das Multi Traveling Salesman Problem p.9/26

47 Lösen von m-atsp Das Multi Traveling Salesman Problem p.9/26

48 Das m-cost ATSP Polytop Bisher: Kosten für alle Handelsreisende identisch Das Multi Traveling Salesman Problem p.10/26

49 Das m-cost ATSP Polytop Bisher: Jetzt: Kosten für alle Handelsreisende identisch Kosten für Handelsreisende unterschiedlich Das Multi Traveling Salesman Problem p.10/26

50 Das m-cost ATSP Polytop Bisher: Jetzt: Kosten für alle Handelsreisende identisch Kosten für Handelsreisende unterschiedlich Modell: Das Multi Traveling Salesman Problem p.10/26

51 Das m-cost ATSP Polytop Bisher: Jetzt: Kosten für alle Handelsreisende identisch Kosten für Handelsreisende unterschiedlich Modell: Für jedes k M: Digraph D 0 k = (V k,a k ) Das Multi Traveling Salesman Problem p.10/26

52 Das m-cost ATSP Polytop Bisher: Jetzt: Kosten für alle Handelsreisende identisch Kosten für Handelsreisende unterschiedlich Modell: Für jedes k M: Digraph D 0 k = (V k,a k ) V k = J {0} Das Multi Traveling Salesman Problem p.10/26

53 Das m-cost ATSP Polytop Bisher: Jetzt: Kosten für alle Handelsreisende identisch Kosten für Handelsreisende unterschiedlich Modell: Für jedes k M: Digraph D 0 k = (V k,a k ) V k = J {0} A k = {(0, 0) k } {(i,j) k i,j V k,i j} Das Multi Traveling Salesman Problem p.10/26

54 Das m-cost ATSP Polytop Bisher: Jetzt: Kosten für alle Handelsreisende identisch Kosten für Handelsreisende unterschiedlich Modell: Für jedes k M: Digraph Dk 0 = (V k,a k ) V k = J {0} A k = {(0, 0) k } {(i,j) k i,j V k,i j} m A = k=1 A k Das Multi Traveling Salesman Problem p.10/26

55 Das m-cost ATSP Polytop Bisher: Jetzt: Kosten für alle Handelsreisende identisch Kosten für Handelsreisende unterschiedlich Modell: Für jedes k M: Digraph Dk 0 = (V k,a k ) V k = J {0} A k = {(0, 0) k } {(i,j) k i,j V k,i j} m A = d ijk k=1 A k (i,j) A,k M Das Multi Traveling Salesman Problem p.10/26

56 Das m-cost ATSP Polytop Wie sehen zulässige Lösungen aus? Das Multi Traveling Salesman Problem p.11/26

57 Das m-cost ATSP Polytop Wie sehen zulässige Lösungen aus? k=1 k=2 k=3 (m-cost ATSP) minimiere {d(a F ) A F F m n } Das Multi Traveling Salesman Problem p.11/26

58 Das m-cost ATSP Polytop Wie sehen zulässige Lösungen aus? k=1 k=2 k=3 (m-cost ATSP) minimiere {d(a F ) A F F m n } F m n = {C 1... C m m k=1 C k = n + m, k M : C k A k mit 0 V k (C k ), v J : k M : v V k (C k )} Das Multi Traveling Salesman Problem p.11/26

59 Das m-cost ATSP Polytop Wie sieht das Polytop nun aus? Das Multi Traveling Salesman Problem p.12/26

60 Das m-cost ATSP Polytop Wie sieht das Polytop nun aus? Definiere Inzidenzvektor x A {0, 1} A für ein A A durch { x A ijk = 1, falls ijk A 0, sonst Das Multi Traveling Salesman Problem p.12/26

61 Das m-cost ATSP Polytop Wie sieht das Polytop nun aus? Definiere Inzidenzvektor x A {0, 1} A für ein A A durch { x A ijk = 1, falls ijk A 0, sonst Das Polytop: P m n = conv{x A A F m n } Das Multi Traveling Salesman Problem p.12/26

62 Das m-cost ATSP Polytop x 00k + x(δ + k (0)) = 1 k M (1) Das Multi Traveling Salesman Problem p.13/26

63 Das m-cost ATSP Polytop x 00k + x(δ + k k M x(δ+ k (0)) = 1 k M (1) (j)) = 1 j J (2) Das Multi Traveling Salesman Problem p.13/26

64 Das m-cost ATSP Polytop x 00k + x(δ + k k M x(δ+ k x(δ k (j)) x(δ+ k (0)) = 1 k M (1) (j)) = 1 j J (2) (j)) = 0 j J,k M (3) Das Multi Traveling Salesman Problem p.13/26

65 Das m-cost ATSP Polytop x 00k + x(δ + k k M x(δ+ k x(δ k (j)) x(δ+ k (0)) = 1 k M (1) (j)) = 1 j J (2) (j)) = 0 j J,k M (3) x(δ + k (S)) x(δ+ k (v)) 0 k M,S J, S 2,v S (4) Das Multi Traveling Salesman Problem p.13/26

66 Das m-cost ATSP Polytop x 00k + x(δ + k k M x(δ+ k x(δ k (j)) x(δ+ k (0)) = 1 k M (1) (j)) = 1 j J (2) (j)) = 0 j J,k M (3) x(δ + k (S)) x(δ+ k (v)) 0 k M,S J, S 2,v S (4) x ijk {0, 1} ijk A (5) Das Multi Traveling Salesman Problem p.13/26

67 Das m-cost ATSP Polytop Lemma 1: Ein Inzidenzvektor x A Q A von A A ist genau dann eine zulässige Lösung von (1)-(5), wenn A F m n Das Multi Traveling Salesman Problem p.14/26

68 Das m-cost ATSP Polytop Lemma 1: Ein Inzidenzvektor x A Q A von A A ist genau dann eine zulässige Lösung von (1)-(5), wenn A F m n Beweis: Das Multi Traveling Salesman Problem p.14/26

69 Das m-cost ATSP Polytop Lemma 1: Ein Inzidenzvektor x A Q A von A A ist genau dann eine zulässige Lösung von (1)-(5), wenn A F m n Beweis: hinschauen Das Multi Traveling Salesman Problem p.14/26

70 Das m-cost ATSP Polytop Lemma 1: Ein Inzidenzvektor x A Q A von A A ist genau dann eine zulässige Lösung von (1)-(5), wenn A F m n Beweis: hinschauen Sei x Lösung von (1)-(5) (3) x Inzidenzvektor von C 1... C r (1)&(4) für jedes k M : 0 V k (C i ) (2) für jedes v J 1 C i mitv V i (C i ) Das Multi Traveling Salesman Problem p.14/26

71 Das m-cost ATSP Polytop Satz 1: Für n 3 und m 2 gilt: dim(p m n ) = mn 2 n Das Multi Traveling Salesman Problem p.15/26

72 Das m-cost ATSP Polytop Satz 1: Für n 3 und m 2 gilt: dim(p m n ) = mn 2 n Beweis: dim(p m n ) mn 2 n durch geschicktes Aufteilen der Kanten zeigt man Gleichheit Das Multi Traveling Salesman Problem p.15/26

73 Das Einmaschinenproblem Betrachte Teilproblem: nur eine Maschine, d.h. m = 1 diese Maschine muss nicht alle Aufträge bearbeiten kann eine beliebige Teilmenge von Aufträgen bearbeiten oder gar keinen Auftrag bearbeiten Das Multi Traveling Salesman Problem p.16/26

74 Das Einmaschinenproblem Betrachte Teilproblem: nur eine Maschine, d.h. m = 1 diese Maschine muss nicht alle Aufträge bearbeiten kann eine beliebige Teilmenge von Aufträgen bearbeiten oder gar keinen Auftrag bearbeiten Modell: Digraph D 1 = (V 1,A 1 ) mit V 1 = J {0} und A 1 = {(0, 0)} {(i,j) i,j V 1,i j} Das Multi Traveling Salesman Problem p.16/26

75 Das Einmaschinenproblem Zul. Menge: Das Multi Traveling Salesman Problem p.17/26

76 Das Einmaschinenproblem Zul. Menge: F 1 n = {C C A 1 Dizykel mit 0 V 1 (C)} Das Multi Traveling Salesman Problem p.17/26

77 Das Einmaschinenproblem Zul. Menge: F 1 n = {C C A 1 Dizykel mit 0 V 1 (C)} Polyeder: Das Multi Traveling Salesman Problem p.17/26

78 Das Einmaschinenproblem Zul. Menge: F 1 n = {C C A 1 Dizykel mit 0 V 1 (C)} Polyeder: P 1 n = conv{x A A F 1 n} Das Multi Traveling Salesman Problem p.17/26

79 Das Einmaschinenproblem Zul. Menge: F 1 n = {C C A 1 Dizykel mit 0 V 1 (C)} Polyeder: P 1 n = conv{x A A F 1 n} Ungleichungen: Das Multi Traveling Salesman Problem p.17/26

80 Das Einmaschinenproblem Zul. Menge: F 1 n = {C C A 1 Dizykel mit 0 V 1 (C)} Polyeder: P 1 n = conv{x A A F 1 n} Ungleichungen: x 00 + x(δ + (0)) = 1 (6) x(δ (j)) = x(δ + (j)) j J (7) x(δ + (S)) x(δ + (v)) S J, S 2,v S (8) x ij {0, 1} ij A 1 (9) Das Multi Traveling Salesman Problem p.17/26

81 Das Einmaschinenproblem Lemma 2: Ein Inzidenzvektor x A von A A 1 ist genau dann eine zulässige Lösung von (6)-(9) wenn A F 1 n. Das Multi Traveling Salesman Problem p.18/26

82 Das Einmaschinenproblem Lemma 2: Ein Inzidenzvektor x A von A A 1 ist genau dann eine zulässige Lösung von (6)-(9) wenn A F 1 n. Beweis: analog zum Beweis von Lemma 1. Das Multi Traveling Salesman Problem p.18/26

83 Das Einmaschinenproblem Satz 2: Für das Polytop P 1 n gilt: dim(p 1 n) = n 2 Das Multi Traveling Salesman Problem p.19/26

84 Das Einmaschinenproblem Satz 2: Für das Polytop P 1 n gilt: dim(p 1 n) = n 2 Beweis: Das Multi Traveling Salesman Problem p.19/26

85 Das Einmaschinenproblem Satz 2: Für das Polytop P 1 n gilt: dim(p 1 n) = n 2 Beweis: dim(p 1 n ) n2 Das Multi Traveling Salesman Problem p.19/26

86 Das Einmaschinenproblem Satz 2: Für das Polytop P 1 n gilt: dim(p 1 n) = n 2 Beweis: dim(p 1 n ) n2 dim(p) = n rg(a eq(p) ) Das Multi Traveling Salesman Problem p.19/26

87 Das Einmaschinenproblem Satz 2: Für das Polytop P 1 n gilt: dim(p 1 n) = n 2 Beweis: dim(p 1 n ) n2 Konstruiere n zulässige Dizykel Das Multi Traveling Salesman Problem p.19/26

88 Das Einmaschinenproblem Satz 2: Für das Polytop Pn 1 gilt: dim(p C n) 1 00 = = n 2 {00} C i0 = {0i,i0} i J Beweis: dim(pn 1) C ij = {0i,ij,j0} i,j J,i j n2 Konstruiere n zulässige Dizykel Das Multi Traveling Salesman Problem p.19/26

89 Das Einmaschinenproblem Satz 2: Für das Polytop P 1 n gilt: dim(p 1 n) = n 2 Beweis: dim(p 1 n ) n2 Konstruiere n zulässige Dizykel Ordne Inzidenzvektoren geschickt an Das Multi Traveling Salesman Problem p.19/26

90 Das Einmaschinenproblem Satz 1 2: C Für das Polytop Pn 1 12 gilt: dim(p 1 n) 1 0 = n C C Beweis: dim(pn 1) C n C 20 Konstruiere n zulässige Dizykel Ordne Inzidenzvektoren geschickt an Das Multi Traveling Salesman Problem p.19/26

91 Das Einmaschinenproblem Satz 1 2: C Für das Polytop Pn 1 12 gilt: dim(p 1 n) 1 0 = n C C Beweis: dim(pn 1) C n C 20 Konstruiere n zulässige Dizykel Ordne Inzidenzvektoren geschickt an Inzidenzvektoren linear unabhängig Das Multi Traveling Salesman Problem p.19/26

92 Das Einmaschinenproblem Satz 3: 1. Sei x ij A 1 und n 3. Dann definiert x ij 0 eine Facette von P 1 n. 2. Für S J, S 2, v S sind die Ungleichungen x(δ + (S)) x(δ + (v)) facettendefinierend für Pn. 1 Das Multi Traveling Salesman Problem p.20/26

93 Das Einmaschinenproblem Satz 3: 1. Sei x ij A 1 und n 3. Dann definiert x ij 0 eine Facette von P 1 n. 2. Für S J, S 2, v S sind die Ungleichungen x(δ + (S)) x(δ + (v)) facettendefinierend für Pn. 1 Beweis: Das Multi Traveling Salesman Problem p.20/26

94 Das Einmaschinenproblem Satz 3: dim(f) = dim(p) 1 1. Sei x ij A 1 und n 3. Dann definiert x ij 0 eine Facette von P 1 n. 2. Für S J, S 2, v S sind die Ungleichungen x(δ + (S)) x(δ + (v)) facettendefinierend für Pn. 1 Beweis: 1. Ähnlich zum Beweis von Satz 2, nur mit n 2 unabhängigen Touren. Das Multi Traveling Salesman Problem p.20/26

95 Das Einmaschinenproblem Satz 3: dim(f) = dim(p) 1 1. Sei x ij A 1 und n 3. Dann definiert x ij 0 eine Facette von P 1 n. 2. Für S J, S 2, v S sind die Ungleichungen x(δ + (S)) x(δ + (v)) facettendefinierend für Pn. 1 Beweis: 1. Ähnlich zum Beweis von Satz 2, nur mit n 2 unabhängigen Touren. 2. Durch geschickte Angabe von n 2 zulässigen Dizykeln, deren Inzidenzvektoren linear unabhängig sind. Das Multi Traveling Salesman Problem p.20/26

96 Das Einmaschinenproblem Satz 4: Für x Q n(n+1)+1,x 0. x erfülle (7). Dann sind die Ungleichungen (8) in polynomialer Zeit separierbar. Das Multi Traveling Salesman Problem p.21/26

97 Das Einmaschinenproblem Satz 4: Für x Q n(n+1)+1,x 0. x erfülle (7). Dann sind die Ungleichungen (8) in polynomialer Zeit separierbar. Beweis: Konstruiere Digraph D v = (V 1,A v ) mit A v = {ij i J,j V s \{v}} Definiere Kapazitäten c v ij = x ij für ij A v Löse in polynomialer Zeit ein v0-max flow Problem min-cut δ + (S v ) mit v S v J Das Multi Traveling Salesman Problem p.21/26

98 Die Facetten Satz 5: 1. Sei x ijk A und n 3, m 2. Dann definiert x ijk 0 eine Facette von P m n. 2. Falls n 3 und m 2 sind die v0-cut Ungleichungen (4) facettendefinierend. Das Multi Traveling Salesman Problem p.22/26

99 Die Facetten Satz 5: 1. Sei x ijk A und n 3, m 2. Dann definiert x ijk 0 eine Facette von P m n. 2. Falls n 3 und m 2 sind die v0-cut Ungleichungen (4) facettendefinierend. Beweis: Das Multi Traveling Salesman Problem p.22/26

100 Die Facetten Satz 5: 1. Sei x ijk A und n 3, m 2. Dann definiert x ijk 0 eine Facette von P m n. 2. Falls n 3 und m 2 sind die v0-cut Ungleichungen (4) facettendefinierend. Beweis: 1. Konstruiere mn 2 n unabhängige Touren. Das Multi Traveling Salesman Problem p.22/26

101 Die Facetten Satz 5: 1. Sei x ijk A und n 3, m 2. Dann definiert x ijk 0 eine Facette von P m n. 2. Falls n 3 und m 2 sind die v0-cut Ungleichungen (4) facettendefinierend. Beweis: 1. Konstruiere mn 2 n unabhängige Touren. 2. Für n 3 und m 3, alle facettendefinierenden Ungleichungen sind auch hier facettendefinierend. Für m = 2 konstruiere geschickt mn 2 n zulässige Touren. Das Multi Traveling Salesman Problem p.22/26

102 Die Facetten Satz 6: Für x Q A,x 0. x erfülle (3). Dann sind die Ungleichungen (4) in polynomialer Zeit separierbar. Das Multi Traveling Salesman Problem p.23/26

103 Die Facetten Satz 6: Für x Q A,x 0. x erfülle (3). Dann sind die Ungleichungen (4) in polynomialer Zeit separierbar. Beweis: Folgt aus Satz 4. Das Multi Traveling Salesman Problem p.23/26

104 Die Facetten Satz 7: Sei y Q B,x Q A,x 0. Sei y der Variablenvektor des auf Standardform transformierten m-atsp und es gelte y = Tx. Sei V die Knotenmenge der Transformation, S V mit 2 S V 2. Dann: y(b(s)) S 1 Das Multi Traveling Salesman Problem p.24/26

105 Zusammenfassung Ein ATSP kann auf ein TSP transformiert werden. Das Multi Traveling Salesman Problem p.25/26

106 Zusammenfassung Ein ATSP kann auf ein TSP transformiert werden. Ein Multi ATSP kann auf ein ATSP transformiert werden. Das Multi Traveling Salesman Problem p.25/26

107 Zusammenfassung Ein ATSP kann auf ein TSP transformiert werden. Ein Multi ATSP kann auf ein ATSP transformiert werden. Facetten des Einmaschinenproblems sind auch Facetten des m-cost ATSP. Das Multi Traveling Salesman Problem p.25/26

108 Zusammenfassung Ein ATSP kann auf ein TSP transformiert werden. Ein Multi ATSP kann auf ein ATSP transformiert werden. Facetten des Einmaschinenproblems sind auch Facetten des m-cost ATSP. Die v0-cut Ungleichungen können in polynomialer Zeit separiert werden. Das Multi Traveling Salesman Problem p.25/26

109 Zusammenfassung Ein ATSP kann auf ein TSP transformiert werden. Ein Multi ATSP kann auf ein ATSP transformiert werden. Facetten des Einmaschinenproblems sind auch Facetten des m-cost ATSP. Die v0-cut Ungleichungen können in polynomialer Zeit separiert werden. Falls die v0-cut Ungleichungen erfüllt sind, sind auch die Subtour Elimination Constraints des auf Standardform transformierten ATSP erfüllt. Das Multi Traveling Salesman Problem p.25/26

110 Auf Wiedersehen Vielen Dank für die Aufmerksamkeit! Das Multi Traveling Salesman Problem p.26/26

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