Einheit 11 - Graphen

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1 Einheit - Graphen Bevor wir in medias res (eigentlich heißt es medias in res) gehen, eine Zusammenfassung der wichtigsten Definitionen und Notationen für Graphen. Graphen bestehen aus Knoten (vertex, vertices) und Kanten (edge(s)) und einer Funktion, die jeder Kante ein Paar von Knoten zuordnet. Ein Graph G kann daher durch die Mengen V(G) und E(G) und einer Funktion f gegeben sein. Kanten können gerichtet sein, (x, y) ist etwa die Kante von Knoten x nach Knoten y, oder ungerichtet, {x, y} ist die (ungerichtete) Kante zwischen x und y. Im Folgenden werden wir aber die Notation (x, y) für ungerichtete, und < x, y > für gerichtete Kanten verwenden, da sie einfacher ist. Ein gerichteter Graph besitzt nur gerichtete Kanten, ein ungerichteter nur ungerichtete. Treten beide Arten von Kanten auf, so heißt der Graph gemischt. Es kann in einem Graphen auch Schlingen und Mehrfachkanten geben. Ein schlichter (oder einfacher) Graph hat weder Schlingen noch Mehrfachkanten. Ein vollständiger Graph hat zwischen jedem seiner Knotenpaare eine Kante, d. h., bei n Knoten hat er ( n ) Kanten und wird mit C n bezeichnet. Der kantenlose oder leere Graph hat keine Kanten. Die Kantendichte ist das Verhältnis von Kantenzahl zu Anzahl der Kanten im zugehörigen Maximalgraphen bei gegebener Knotenmenge, d. h., E /( n ). Graphen mit hoher Kantendichte heißen dicht (dense), die mit geringer spärlich (sparse). Den Schatten eines Graphen erhalten wir, indem wir je zwei entgegengesetzt gerichtete Kanten durch eine ungerichtete ersetzen, und alle weiteren gerichteten ebenfalls durch ungerichtete. Ein Teilgraph ist eine Teilmenge eines Graphen. Mit jeder Kante, die im Teilgraph aufscheint, müssen auch die Endknoten aufscheinen. Enthält ein Teilgraph alle Knoten des Originals, so heißt er spannender Teilgraph. Enthält ein Teilgraph mit den Knoten auch alle Kanten auf dieser Knotenmenge, so heißt er gesättigter oder aufgespannter Teilgraph. Knoten, die durch eine Kante verbunden sind, heißen benachbart oder adjazent. Die Endknoten einer Kante heißen zu dieser Kante inzident. Graphen (gerichtete oder ungerichtete) mit n Knoten und k Kanten können sowohl durch eine n k Inzidenzmatrix B G (falls ein gerichteter Graph vorliegt, darf er keine Schlingen enthalten), als auch durch eine n n Adjazenzmatrix A G beschrieben werden.

2 Ungerichteter Graph B G = (b i,j ) i=,...,n j=,...,k { vj inzident zu e b i,j = j 0 sonst A G = (a i,j ) i=,...,n j=,...,n { r r Kanten zwischen vi und v a i,j = j 0 sonst B G = (b i,j ) i=,...,n j=,...,k Gerichteter Graph e j beginnt in v i b i,j = e j endet in v i 0 sonst A G = (a i,j ) i=,...,n j=,...,n { r r Kanten von vi nach v a i,j = j 0 sonst Die Anzahl d + (v i ) der von einem Knoten v i wegführenden Kanten heißt Outdegree, die Anzahl d (v i ) der zu dem Knoten hinführenden Kanten heißt Indegree. Bei ungerichteten Graphen ist d(v i ) die Anzahl der mit v i inzidenten Kanten der Grad des Knoten. Es gilt: d + (v i ) = n a ij d (v i ) = j= n a ji d(v i ) = j= Ist d + (v) = 0, so heißt v Senke, ist d (v) = 0, so heißt v Quelle. n a ij = j= n a ji j= Betrachten wir Kantenfolgen von v a nach v e, das sind Folgen von aneinander anschließenden Kanten, die vom Anfangsknoten v a bis zum Endknoten v e durchlaufen werden kann. Ist der Anfangs- gleich dem Endknoten, so heißt die Kantenfolge geschlossen, andernfalls heißt sie offen. Eine Kantenfolge, in der keine Kante mehrfach auftritt heißt Kantenzug. Ein Weg ist eine offen Kantenfolge, in der kein Knoten mehrfach auftritt. Ein Zyklus oder Kreis ist eine geschlossene Kantenfolge, in der kein Knoten mehrfach vorkommt (außer Anfangs- und Endknoten). Die Anzahl der Kanten in einer Kantenfolge heißt Länge. Ein Knoten v i heißt in k Schritten von v j aus erreichbar, wenn es eine Kantenfolge der Länge k von v j nach v i gibt. Ein ungerichteter Graph heißt zusammenhängend, wenn jeder Knoten des Graphen von jedem anderen Knoten aus erreichbar ist. Die zusammenhängenden gesättigten Teilgraphen eines Graphen heißen Zusammenhangskomponenten des Graphen.

3 Ein gerichteter Graph heißt stark zusammenhängend, wenn jeder Knoten des Graphen von jedem anderen Knoten aus erreichbar ist. Er heißt schwach zusammenhängend, wenn sein Schatten zusammenhängend ist. BEMERKUNG: a (s) ij Es gibt eine Kantenfolge der Länge s von v i nach v j wenn das Element > 0, mit A s G = (a(s) ij ). BEMERKUNG: Ein Knoten v j ist von v i aus erreichbar, wenn der Eintrag r ij > 0, wobei die Erreichbarkeitsmatrix R = (r ij ) = (max(a [0] ij,..., a [n ] ij )) ist, { mit a [k] falls a (k) ij = ij > 0. 0 sonst Die Distanz d(v i, v j ) zweier Knoten in einem zusammenhängenden Graphen ist die Länge des kürzesten Weges zwischen den beiden Knoten. Eine Euler sche Linie enthält jeden Knoten mindestens einmal, jede Kante genau einmal. Eine Hamilton sche Linie enthält jeden Knoten genau einmal. Geschlossene Euler sche bzw. Hamilton sche Linien sind solche, die einen geschlossenen Kantenzug bilden. Kreisfreie, gerichtete Graphen heißen azyklisch. Ein ungerichteter, kreisfreier Graph heißt Wald. Ein zusammenhängender Wald heißt Baum. Ein Knoten vom Grad eines Baumes heißt Blatt oder Endknoten. Ein Teilgraph, der alle Knoten eines zusammenhängenden ungerichteten Graphen enthält und zusätzlich ein Baum ist, nennen wir spannenden Baum oder Gerüst. Graphen, die in den folgenden Beispielen verwendet werden und dort nicht explizit angegeben werden, finden sich am Ende dieses Abschnitts.. Graph G gegeben durch: V(G ) = {,,..., 8}, E(G ) = {< x, y > x teilt y, x < y} Graph G gegeben durch: V(G ) = {,,..., }, E(G ) = {< x, y > x < y x + } Bestimme und zeichne G G und G G!. Graph G gegeben durch: V(G ) = {,,..., }, E(G ) = {< x, y > x < y x + } Graph G gegeben durch: V(G ) = {,,..., 9}, E(G ) = {< x, y > x teilt y, x < y} Bestimme und zeichne G G und G G!. Bestimme alle Quadrupel (a, b, c, d), a, b, c, d {,,..., }, sodass der von den Knoten a, b, c, d in G aufgespannte (vollständige) Teilgraph mit G identisch ist!

4 . Bestimme alle Quadrupel (a, b, c, d), a, b, c, d {,,..., }, sodass der von den Knoten a, b, c, d in G aufgespannte Teilgraph mit G identisch ist!. Bestimme die Adjazenzmatrizen A G, A G, A G G und A G G für die Graphen aus Beispiel?? bzw.??!.6 Bestimme die Adjazenzmatrizen A G und A G, sowie die Potenzen A G, A [] G, A G und A [] G!. Bestimme die Adjazenzmatrix A G, sowie (mit deren Hilfe) die Anzahl der gerichteten Kantenfolgen der Länge von Knoten nach 6!.8 Entferne aus dem vollständigen (ungerichteten) Graphen mit der Knotenmenge {,..., } die Kanten (, ) und (, ). a) Stelle den resultierenden Graphen G durch seine Adjazenz- und Inzidenzmatrix dar, wobei im Fall der Inzidenzmatrix die Kanten (i, j) gemäß der Relation anzuordnen sind! (i, j) vor (i, j ) (i < i (i = i j < j )) b) Enthält G eine geschlossene Euler sche Linie? Gib diese an bzw. begründe warum, falls keine solche existiert! c) Gib eine geschlossene Hamilton sche Linie in G an!.9 Sei H der Graph, der aus G durch Umdrehen aller Kantenrichtungen entsteht. Bestimme die Adjazenzmatrix A H, sowie (mit deren Hilfe) die Anzahl der gerichteten Kantenfolgen der Länge von Knoten nach 6!.0 Gegeben sei die Adjazenzmatrix A (mit Mehrfachkanten) 0 A = a) Zeichne einen dazu gehörigen ungerichteten Graphen mit den Knoten {,,, }! b) Berechne A! c) Finde verschiedene Pfade von nach der Länge! d) Berechne die Erreichbarkeitsmatrix R!

5 . Der -dimensionale Hypercube H ist durch folgende Knotenmenge und Kantenmenge gegeben: Knoten: V(H ) = {x = (x, x, x ) x i {0, }, i =,, } Kanten: E(H ) = {(x, y) genau zwei Komponenten von x und y stimmen überein} Ermittle für H die durchschnittliche Distanz der sieben Knoten x = (0, 0, 0) zum Knoten (0, 0, 0). Hinweis: Fasse die Knoten als Punkte im R auf und zeichne diese!. Zeichne zwei verschiedene ungerichtete zusammenhängende Graphen mit der Knotenmenge V = {,,,, }, die geschlossenen Euler sche Linien enthalten, und gib deren Adjazenzmatrizen und Inzidenzmatrizen an!. Gegeben sei der Graph G. a) Welche Knoten sind von aus erreichbar? b) Bestimme die Länge des kürzesten Pfades von nach 6! c) Bestimme einen Pfad der Länge 8 von nach 6!. Der gerichtete Graph G = (V, E) sei durch gegeben. a) Zeichne G! V = {,..., 6} und E = {(i, j) i, j V, i + j 6} b) Gib die Adjazenzmatrix von G an! c) Ist G ein schlichter Graph? Begründung! d) Gib die schwachen Zusammenhangskomponenten von G an! e) Betrachte den von V = {, } aufgespannten Teilgraphen G von G! Enthält G eine geschlossene Euler sche Linie? Begründung!

6 . Gegeben sei der Graph G. a) Bestimme die Adjazenzmatrix von G! b) Gib die Indegrees und Outdegrees der Knoten von G an! c) Zeichne den Schatten von G!.6 Programm: Distanzmatrix. Schreibe ein Programm, das die Distanzmatrix D eines gegebenen zusammenhängenden gerichteten Graphen berechnet und ausgibt, d. h., jene Matrix D = (d ij ) i,j, in der d ij die Distanz von Knoten i zu Knotenj ist, d. h., die Länge des kürzesten Weges von i nach j! Anleitung: Es soll die Adjazenzmatrix A G des Graphen eingegeben werden. Verwende weiters die in der Vorlesung gegebene Interpretation der Potenzen A n G von A G!. Programm: Euler sche Linie. Schreibe ein Programm, das einen durch seine Adjazenzmatrix A G gegebenen gerichteten Graphen G durch Hinzufügen von beliebigen Kanten so erweitert, dass er eine geschlossene Euler sche Linie enthält!.8 Programm: Topologische Knotensortierung. Eine topologischen Knotensortierung ist eine Nummerierung der Knoten eines gegebenen azyklischen gerichteten Graphen G, sodass v V stets eine kleinere Nummer als w V bekommt, wenn es einen Weg von v nach w gibt. Implementiere folgenden Algorithmus zur topologischen Knotensortierung: Solange Knoten nicht nummeriert { - Nummeriere Quellen von G mit der kleinsten noch freien Nummer - Entferne die soeben nummerierten Quellen und die von ihnen wegführenden Kanten aus G }.9 Programm: Zyklische Graphen. a) Schreibe ein Programm, das von einem gegebenen Graphen bestimmt, ob er zyklisch oder azyklisch ist! b) Schreibe ein Programm, das von einem gegebenen Graphen bestimmt, ob er kreisfrei ist! Weiters soll es die Menge der erreichbaren Knoten ausgeben. 6

7 .0 Gegeben sei der Graph G 6. a) Bestimme die Anzahl der Pfade der Länge von nach direkt! b) Bestimme die Anzahl der Pfade der Länge von nach mit Hilfe der Matrix A G 6!. Bestimme für die Graphen G 6, H 6 und G (wobei H 6 durch Umkehren aller Kantenrichtungen aus G 6 entsteht) die entsprechenden Erreichbarkeitsmatrizen R!. Zeige für den Graphen G mit Hilfe der Erreichbarkeitsmatrix, dass die Knoten und von aus nicht erreichbar sind!. Bestimme die starken Zusammenhangskomponenten für die Graphen G, G, G, G und H (wobei H durch Umkehren aller Kantenrichtungen aus G entsteht)!. Untersuche, ob die Graphen G, G 8, G 9, G 0, G, G, G eine geschlossene Euler sche Linie besitzen und bestimme gegebenenfalls eine solche!. Untersuche, ob die Graphen G, G 8, G 9, G 0, G, G, G eine geschlossene Hamilton sche Linie besitzen und bestimme gegebenenfalls eine solche!.6 Bestimme in den Graphen G und H (entstanden durch Umkehrung aller Kantenrichtungen aus G ) die Anzahl der Zyklen der Länge, auf denen der Knoten liegt!. Bestimme in den Graphen G 9 und G 0 die Anzahl der Dreiecke (Kreise der Länge )!.8 Untersuche die Graphen G, G 8, G und H (entstanden durch das Umkehren aller Kantenrichtungen aus G ) mit dem Markierungsalgorithmus auf Azyklizität!.9 Bestimme alle Knotenbasen der Graphen G, G, G, G und H (entstanden durch das Umkehren aller Kantenrichtungen aus G )!

8 Graphen G G zu den Beispielen G : G : 6 6 G : d G : a b c d a b c G : 8 6 G 6 : G : G 8 : G 9 : 6 G 0 : G : 6 8 8

9 G : 8 6 G : 8 6 G : G : 6 G 6 : G : G 8 : G 9 : G 0 : 9

10 G : G : G : G : 0