Mathematik und Statistik für Raumplaner I

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1 Mathematik und Statistik für Raumplaner I Graphentheorie und Kombinatorik Wintersemester 2010/2011 Leiter und Autor: A. Prof. Dr. Wolfgang Feilmayr Fachbereich Stadt- und Regionalforschung 1

2 Grundbegriffe und Definitionen der Graphentheorie Ein ungerichteter Graph (V, E) besteht aus einer Menge von Knoten (Vertices) V = {v i } und einer Menge E = {e i } von ungeordneten Paaren e i = (v i,v j ), den Kanten (Edges) von G. Die Kante e i = (v i,v j ) verbindet die Knoten v i und v j. Auf sich selbst bezogene Kanten e i = (v i,v i ) nennt man Schlingen. Beispiel für einen ungerichteten Graphen (mit 4 Knoten): V1 V3 V2 V4 Die Anzahl der Kanten, die zu einem Knoten inzident sind (dort zusammentreffen), heißt Grad des Knoten. Zwei Kanten heißen adjazent (benachbart), wenn sie einen gemeinsamen Knoten besitzen. Ein Graph heißt planar, wenn seine Knoten und Kanten so in einer Ebene liegen, daß sich zwei Kanten nur in einem Knoten kreuzen. 2

3 Sind in einem Graphen je zwei verschiedene Knoten durch eine Kante verbunden, so heißt der Graph vollständig. Eben oder planar kann ein vollständiger Graph nur dann sein, wenn er höchstens 4 Knoten besitzt. Maximaler planarer Graph Ein Knoten vom Grad 1 heißt ein Endpunkt des Graphen. Eine Kante, die in einem Endpunkt endet, heißt eine Endkante. Die Anzahl der Knoten mit ungeradem Grad ist stets gerade. Eine Kantenfolge in einem Graphen ist eine endliche Folge von Kanten, sodaß je zwei aufeinanderfolgende Kanten einen Knoten gemeinsam haben. Die Kantenfolge ist offen, wenn Anfangs- und Endpunkt nicht identisch sind, sonst heißt sie geschlossen. Ein Weg oder eine Bahn ist eine offene Kantenfolge, in der außerdem alle Knoten verschieden sind. Die Anzahl der Kanten in 3

4 einer Kantenfolge wird als Länge der Kantenfolge bezeichnet, der Weg kleinster Länge zwischen zwei Knoten v i und v j ist der Abstand d (v i,v j ) dieser Knoten. Ein Kreis oder Zyklus ist ein geschlossener Kantenzug, bei dem bis auf Anfangs- und Endknoten alle Knoten verschieden sind. Beispiele: V6 V5 V4 V1 V2 e 1 - e 2 - e 2 - e 5 : e 1 - e 2 - e 3 - e 4 - e 5 - e 1 : e 1 - e 2 - e 3 - e 4 - e 6 : e 1 - e 2 - e 3 - e 4 - e 8 : offene Kantenfolge geschlossene Kantenfolge Weg oder Bahn Kreis oder Zyklus Ein Teilgraph (Subgraph) G 1 (V 1, E 1 ) eines gegebenen Graphen G (V, E) besitzt eine Teilmenge V 1 ε V seiner Knoten und eine Teilmenge E 1 ε E seiner Kanten. Behält man beim gegebenen Graphen G alle seine 4

5 Knoten zurück, entfernt jedoch eine oder mehrere Kanten, so erhält man einen spannenden Teilgraph (partiellen Graphen) von G. Entfernt man einen oder mehrere Knoten und alle Kanten, die mit diesem(n) Knoten inzident sind, so erhält man eine Untergraphen von G. Ein Graph heißt zusammenhängend, wenn sich je zwei verschiedene Knoten durch zumindest einen Weg miteinander verbinden lassen. Ein isolierter Teilgraph ist ein Teil eines Graphen ohne direkte Kantenverbindung zu diesem. 5

6 Beispiele: 6

7 Bestehen Graphen aus Kanten, denen nichtsymmetrische Beziehungen zugrunde liegen (Abwasserflüsse in Entsorgungsnetzen oder Einbahnen in Verkehrssystemen), so spricht man von gerichteten Graphen. Hier ist zusätzlich jede Kante orientiert. Die Orientierung wird durch einen Richtungspfeil ausgedrückt. Ein symmetrischer Graph, bei dem alle Kanten entgegengesetzt parallel sind, darf jedoch nicht mit dem scheinbar äquivalenten ungerichteten Graphen verwechselt werden. Beispiele: 7

8 Ein Graph heißt Baum, wenn gilt, dass für je zwei seiner Knoten nur jeweils ein Weg existiert, der diese Knoten verbindet. Ist ein Baum vollständig, so ist die Zahl der Kanten immer um eins geringer als die Zahl der Knoten (E = V-1). Ist ein spannender Teilgraph G 1 eines Graphen G zugleich Baum, so spricht man von einem spannenden Baum oder einem Gerüst. Beispiel: 8

9 Besteht ein Baum nur aus gerichteten Kanten und existiert ein einziger Knoten, zu dem keine Kante führt, so spricht man von einem Wurzelbaum oder Aboreszenz. Knoten von denen keine Kante wegführt, nennt man Endknoten oder Blätter. Wurzelbäume eignen sich zur Darstellung (1) hierarchischer Strukturen und (2) Verteilungsstrukturen In vielen Anwendungsbereichen der Graphentheorie werden den einzelnen Kanten Werte zugeordnet. Man spricht dann von bewerteten Graphen. Als Beispiele seien Transportkapazitäten oder Entfernungen in Infrastrukturnetzen angeführt. 9

10 Ausgewählte Maßzahlen der etzstruktur 1. Index (zyklomatische Zahl) = e - v + q e v q Anzahl der Kanten Anzahl der Knoten Anzahl der Teilgraphen Bei isolierten Teilnetzen (Subgraphen) und Bäumen, die laut Definition keine geschlossenen Kantenzüge enthalten, nimmt der Index als Maßzahl für den zyklischen Grad eines Graphen den Wert 0 an, mit zunehmender Zyklenzahl im Graphen entsprechende ganzzahlige Werte. 2. Index = e/v Der Index ergibt sich aus dem Verhältnis zwischen der Kanten- und der Knotenzahl eines Graphen. Ähnlich wie beim Index m charakterisieren hohe Indexwerte komplizierte etzstrukturen, niedrige Werte einfache etzstrukturen: Bäume und isolierte Teilgraphen haben Werte < 1. Man spricht dann auch von verästelten etzen. Der Wert 1 gilt für etze mit nur einem 10

11 geschlossenen Kantenzug (wenn man von Schlingen absieht). Hohe Werte von gelten für ausgedehnte etze mit hoher Kantenzahl. Man spricht dann auch von vermaschten etzen. 3. Index = e / (½(v * (v-1)) Der Index gibt das Verhältnis zwischen der tatsächlichen und der maximal möglichen Kantenzahl in einem Graphen an. Der Wert 1 gilt für vollständige Graphen, Werte nahe bei 0 charaktersieren verästelte etze. Anmerkung: Die Maximalzahl von Kanten in einem vollständigen Graphen beträgt v * (v-1), wenn keine Mehrfachkanten zwischen einzelnen Knoten und keine Schlingen zugelassen sind. Bei vielen Anwendungen bewerteter und gerichteter Graphen (beispielsweise zwei Straßen zwischen zwei Standorten) müssen aber diese Restriktionen aufgegeben werden. 11

12 Beispiele: = = 3 = = 0 β = 7/5 β = 3/5 γ = 7/10 γ = 3/10 4. Index (Durchmesser) = x max y d(x,y) d(x,y) x max y kürzeste Länge (Kantenzahl) zwischen x und y x und y sind die voneinander weitest entfernten Knoten Der Parameter bezeichnet die topologische Länge oder die Ausdehnung des Graphen, d.h. die Kantenzahl im kürzesten Kantenzug zwischen den am weitesten voneinander entfernten Knoten. 12

13 Beispiele: d = 2 d = 4 5. Index α(e) (Assoziationsindex, Königszahl) Dieser Index beschreibt für einen bestimmten Knoten die maximale Anzahl der Kanten zwischen dem betreffenden Knoten und jedem beliebigen Knoten im etz. Er ist somit ein Maß für topologische Distanzen und deutet an, daß Knoten mit einem niedrigen Assoziationsindex eine zentrale Stellung im etz einnehmen. 13

14 Matrixanalyse Gerichtete Graphen können arithmetisch in Form der sogenannten Adjazenzmatrix A={a ij } dargestellt werden. a ij = 1, wenn eine Kante zwischen den Knoten i und j existiert, ansonsten ist a ij = A = In der k-ten Potenz A k ("(k-1)-mal mit sich selbst multipliziert") der Adjazenzmatrix gibt das Element 14

15 a ij (k) die Anzahl der gerichteten Kantenfolgen der Länge k von i nach j an. Beispiel: A (2) = A (3) = Es existieren beispielsweise ein gerichteter Weg der Länge 2 von Knoten 2 zu Knoten 1 oder 2 gerichtete Wege der Länge 3 von 4 nach 3. Anwendungen der Graphentheorie in der Raumplanung und Regionalwissenschaft Wie kaum eine andere mathematische Disziplin hat die Graphentheorie Eingang in die Raumplanung und Regionalwissenschaft gefunden. Die Anwendungsgebiete reichen dabei von einfachen Formalisierungen bis zu komplexen Algorithmen und Modellen. Im Rahmen der Lehrveranstaltung "Mathematik und Statistik" kann nur auf die wichtigsten Anwendungen hingewiesen werden; eine Detaillierung einzelner Verfahren wird in speziellen Lehrveranstaltungen (z.b. Methoden der Regionalanalyse; Kleinräumige Standortbewertung) geboten. 15

16 1. Einfache Formalisierungen Graphen zur Abbildung von Infrastrukturnetzen: Knoten sind einzelne Standorte; Kanten sind Leitungen der Infrastruktur (Verkehr, Ver- und Entsorgung); Bewertungen sind Kapazitäten, Transportströme, Interaktionen, Entfernungen. Graphen zur Abbildung von Grenznetzen: Knoten sind ausgewählte geografische Punkte; Kanten sind Grenzen; Bewertungen sind Überwindungswiderstände. 2. Komplexe Algorithmen und Modelle Kürzeste-Wege-Algorithmen: Berechnung von "Kürzesten Wegen" (in den Dimensionen "Entfernung" oder "Zeit") zwischen einzelnen Standorten aus Entfernungsmatrizen. Diese Matrizen sind eine wichtige Voraussetzung für Modelle der Lagegunst und von Interaktionsbeziehungen. Strömungsmodelle: Ermittlung maximaler Ströme; Ermittlung kostenminimaler Ströme in Leitungsnetzen. Modelle optimaler Routensuche: Briefträgerproblem; Travelling-Salesman- Problem. 16

17 Grundbegriffe und Defintionen der Kombinatorik 1. Das Summenzeichen i1 a i = a 1 + a a Es gilt: i1 (a i + b i ) = i1 a i + i1 b i i1 ca i = c i1 a i i1 (a i b i ) i1 a i i1 b i 17

18 2. Das Produktzeichen i1 a i = a 1 a 2... a es gilt: i1 (a i b i ) = i1 a i i 1 b i i1 ca i = c i 1 a i i1 i =! -Faktorielle Definition: 0! = 1 Beispiel: 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 Produktregel der Kombinatorik Sind n Entscheidungen zu treffen und die Entscheidung jeder Stufe 1, 2, 3,..., lässt jeweils m 1, m 2, m 3,..., m n Möglichkeiten zu, so erhält man die Gesamtszahl der Entscheidungsmöglichkeiten, indem man die Anzahl der 18

19 Entscheidungsmöglichkeiten jeder einzelnen Stufe miteinander multipliziert: k = m 1. m 2. m 3.,,,.m n Beispiel: Drei Patienten kommen in ein Wartezimmer mit 6 Stühlen. Wieviele Möglichkeiten gibt es für diese Leute, auf den Stühlen Platz zu nehmen? Der erste Patient hat 6 Stühle (Möglichkeiten) zur Auswahl, der zweite nur noch 5 Stühle und der dritte Patient kann dann nur noch unter 4 Stühlen auswählen. Es gibt also =120 verschiedene Sitzordnungen. Summenregel der Kombinatorik Haben die beiden unvereinbaren Ereignisse E 1 oder E 2 genau m 1 bzw. m 2 Möglichkeiten für ihr Auftreten, dann gibt es für das zusammengesetzte Ereignis E 1 oder E 2 genau m 1 + m 2 Möglichkeiten. Beispiel: Lisa spielt mit ihrer Puppe. Sie will aus einer Kiste mit 2 gelben und 3 roten Hosen sowie 2 schwarzen und 4 blauen Jacken eine Kleiderkomposition für ihre Puppe zusammenstellen. Wieviele Möglichkeiten hat sie dazu? Für die Auswahl der Hosen gibt es = 5, für die Jacken = 6 Möglichkeiten (Summenregel). Insgesamt hat Lisa dann 5. 6 = 30 Möglichkeiten, ihre Puppe anzukleiden (Produktregel). 19

20 Permutationen Permutationen sind definiert als beliebige Anordnungen einer Menge M von vorgegeben Elementen. M = {a,b,c,d} Permutationen: abcd abdc acbd.. 1. Permutationen ohne Wiederholungen P =! P... Anzahl der Permutationen von Elementen ohne Wiederholungen 2. Permutationen mit Wiederholungen P w =! / (w 1! w 2!...) P w... Anzahl der Permutationen von Elementen mit Wiederholungen w i... Wiederholungen des Elementes i Beispiel: M = {a,a,a,b,b,c,d,d,d,d} P 10w = 10! / (3! 2! 1! 4!) =

21 Variationen Variationen sind definiert als Auswahl von K Elementen aus einer Menge M von Elementen unter Berücksichtigung ihrer Anordnung. 1. Variationen ohne Wiederholungen V (K) =! / ( - K)! V (K)... Variationen der Klasse K von Elementen ohne Wiederholungen Beispiel: Bei der Bepflanzung einer Straße stehen für 3 Baumscheiben 10 Baumarten zur Verfügung. Wieviele Möglichkeiten der Bepflanzung gibt es, wenn kein Baum doppelt vorkommen darf? V 10 (3) = 10! / 7! = 10*9*8 = Variationen mit Wiederholungen V w (K) = K V w (K)...Variationen der Klasse K von Elementen mit Wiederholungen Beispiel: Zahl der verschiedenen Tipmöglichkeiten im Fußballtoto: V 3w (12) = 3 12 =

22 Kombinationen Kombinationen sind definiert als Auswahl von K Elementen aus einer Menge M von Elementen ohne Berücksichtigung ihrer Anordnung. 1. Kombinationen ohne Wiederholungen C (K) =! K!( K)! K C (K)... Zahl der Kombinationen von Elementen der Klasse K ohne Wiederholungen Beispiel: Zahl der Wettmöglichkeiten beim Lotto 6 aus 45: C 45 (6) = 45! / (6! 39!) = Kombinationen mit Wiederholungen C w (k) = K K 1 C w (k)... Anzahl der Kombinationen von Elementen der Klasse K mit Wiederholungen Beispiel: 22

23 In einem Urlaubsort werden (täglich) 10 geführte ganztägige Wanderungen angeboten. Wieviele Kombinationsmöglichkeiten bestehen bei einem 7- tägigen Urlaub, wenn täglich eine Wanderung unternommen wird? C 10w (7) = 16! / (7! 9!) = Anwendungen der Kombinatorik in der Raumplanung und Regionalwissenschaft Spezifische Anwendungen der Kombinatorik sind in der Raumplanung und Regionalwissenschaft eher selten. Die verwendeten Beispiele zeigen aber von den vielfältigen Anwendungsmöglichkeiten der Kombinatorik bei Auswahlproblemen aller Art. Als Grundlage der Statistik und vor allem der Wahrscheinlichkeitstheorie hat die Kombinatorik ihren Platz in der angewandten Mathematik. 23

24 Übungsbeispiele Graphentheorie und Kombinatorik 1. Gegeben ist folgender ungerichter Graph: Ermitteln Sie die Kennzahlen,, und sowie für alle Knoten die Königszahl. Zeichnen Sie einen spannenden Baum des Ausgangsgraphen! 24

25 2. Gegeben ist folgender bewertete ungerichtete Graph: Ermitteln Sie den Indizes! 3. Ermitteln Sie für den gegebenen Graphen die Adjazenzmatrix und stellen Sie fest (1) wieviele Kantenfolgen der Länge 2 von Knoten 3 nach 4 bzw. von 1 nach 5 führen, (2) wieviele Kantenfolgen der Länge 3 es zwischen den Knoten 6 und 2 gibt. 4. Zeigen Sie (mit Hilfe kombinatorischer Verfahren), daß die Zahl der Kanten in einem ungerichteten, vollständigen Graphen gleich ist (n(n-1)/2) (n... Knotenzahl). 5. Wieviele Möglichkeiten gibt es beim Lotto 6 aus 45 einen Dreier (Vierer, Fünfer) zu tippen? 6. Im neuen Studienplan gilt es 6 Wahlfächer aus einem Katalog von 22 Möglichkeiten auszuwählen. (a) wieviele Möglichkeiten gibt es insgesamt? (b) wieviele Möglichkeiten gibt es, wenn man die 4 Lehrveranstaltungen der Dozenten Blaas und Feilmayr unbedingt vermeiden möchte? (c) wieviele Möglichkeiten gibt es, wenn die 3 Veranstaltungen von Prof. Schönbäck unbedingt dabei sein sollten? 25