Graphentheorie. Färbungen. Knoten- und Kantenfärbungen. Knoten- und Kantenfärbungen. Rainer Schrader. 28. Januar 2008

Transkript

1 Graphentheorie Rainer Schrader Färbungen Zentrum für Angewandte Informatik Köln 28. Januar / 57 2 / 57 wir wollen versuchen, die Knoten eines Graphen zu färben dabei dürfen keine zwei benachbarten Knoten die gleiche Farbe tragen Gliederung Kantenfärbungen Färbungen planarer Graphen und es soll eine minimale Anzahl von Farben verwendet werden 3 / 57 4 / 57

2 zur Veranschaulichung: sei S eine Menge von Studenten und V eine Menge von Vorlesungen eine Färbung ist eine Abbildung f : V {1,..., n} mit f (u) f (v ) für (u, v ) E die Knoten einer Farbe bilden eine Farbklasse offensichtlich ist jede Farbklasse eine stabile Menge von G ein Graph heißt k -färbbar, wenn eine Färbung mit k Farben existiert die chromatische Zahl χ(g) ist das kleinste k, für das G k -färbbar ist für v V sei h(v ) S die Menge der Studenten, die eine Prüfung über v ablegen wollen wir wollen eine minimale Anzahl von Prüfungsterminen einrichten zwei Prüfungen dürfen sich nur dann überschneiden, wenn kein Prüfling an beiden teilnehmen will wir definieren den Graphen G = (V, E ) mit (u, v ) E, falls h(u) h(v ) die minimale Anzahl von Prüfungen ist gleich χ(g) 5 / 57 6 / 57 wir setzen einfache Graphen voraus, denn: ein Graph mit Schlingen ist nicht färbbar und Mehrfachkanten beeinflussen die Färbbarkeit nicht offensichtlich gilt: χ(k p ) = p, χ(g) = 2 G ist bipartit, χ(c n ) = 3, falls n 3 und ungerade damit ist 2-Färbbarkeit in polynomieller Zeit testbar die Berechnung der chromatischen Zahl eines Graphen ist jedoch NP-vollständig insbesondere sind die folgenden Fragestellungen NP-vollständig für festes k 3, ist ein Graph k -färbbar? ist ein gegebener planarer Graph 3-färbbar? ist ein gegebener planarer Graph mit Maximalgrad vier 3-färbbar? Wir wollen im Folgenden versuchen, zumindest Abschätzungen für die chromatische Zahl anzugeben. 7 / 57 8 / 57

3 Lemma 1 Für einen Graphen G mit m Kanten gilt: r χ(g) 2m sei f eine Färbung mit k = χ(g) Farben dann existiert zwischen je zwei Farbklassen mindestens eine Kante also gilt m 1 k (k 1) 2 seien δ(g) = min d (v ) und (G) = max d (v ) v E der Minimal- bzw. Maximalgrad eines Graphen Wir betrachten die folgende Färbungsheuristik: (1) nummeriere die Knoten v 1,..., v n (2) färbe v 1 mit der Farbe 1 (3) seien v 1,..., v i 1 gefärbt, (4) wähle im i-ten Schritten die kleinste Farbe für v i, die unter Berücksichtigung der Färbung von v 1,..., v i 1 möglich ist. durch Auflösung nach k folgt die Behauptung. 9 / / 57 allgemeiner: (1) wähle eine maximale unabhängige Menge V 1 aus (2) färbe sie mit der Farbe 1 (3) färbe danach rekursiv den Graphen G V 1 mit den Farben 2, 3,... Lemma 2 Für jeden Graphen G gilt χ(g) (G) + 1. Bemerkungen: (i) es existiert immer eine Anordnung der Knoten, so dass die Heuristik optimal färbt: seien F 1,..., F K die Farbklassen eines Graphen G färbe die Knoten in der Reihenfolge F 1,..., F K innerhalb einer Farbklasse ist die Anordnung beliebig dann benötigt der Algorithmus genau k Farben offensichtlich liefert die obige Heuristik eine zulässige Färbung in G ist jeder Knoten zu maximal (G) anderen Knoten benachbart damit kommen wir mit (G) + 1 Farben aus. 11 / / 57

4 (ii) für vollständige Graphen und für Kreise ungerader Länge ist auch (G) + 1 bestmöglich (iii) im Allgemeinen ist die Abschätzung jedoch sehr grob: sei G i = G(v 1,..., v i ) der von den ersten i Knoten induzierte Teilgraph dann reichen für die Färbung von v i daraus ergibt sich: bereits d Gi (v i ) + 1 Farben Lemma 3 χ(g) 1 + max{δ(h) : H induzierter Teilgraph von G}. wähle v n mit minimalen Grad in G v n 1 mit minimalen Grad in G v n... dann benötigt die Heuristik 1 + max{d Gi (v i ) : 1 i n} = 1 + max{δ(g i ) : 1 i n} 1 + max{δ(h) : H induzierter Teilgraph von G}. 13 / / 57 Weiter gilt: sei G 1-knotenzusammenhängend und {v } ein trennender Knoten der Graph G v zerfalle in Zusammenhangskomponenten G i = (V i, E i ) mit i =... r seien H i die von V i v induzierten Teilgraphen von G, dann ist χ(g) = max χ(h i ) mit dieser Beobachtung lässt sich die Abschätzung χ(g) (G) + 1 etwas verschärfen: Satz 4 (Brooks) Sei G ein zusammenhängender Graph mit n 2 Knoten, der weder vollständig noch ein ungerader Kreis ist. Dann gilt χ(g) (G). per Induktion über n der Fall n = 2 ist trivial sei also n 3 wir unterscheiden die Fälle: (i) G ist nicht -regulär (ii) G ist -regulär 15 / / 57

5 (i) G ist nicht -regulär (ii) G ist -regulär sei v n ein Knoten minimalen Grades dann ist d (v n ) < da G zusammenhängend ist, hat v n einen Nachbarn v n 1 in G n 1 für diesen Knoten gilt d Gn 1 (v n 1 ) < per Induktion können wir eine Nummerierung der Knoten bestimmen, so dass d Gi (v i ) < für 1 i n die Färbungsheuristik benötigt dann höchstens Farben. da ein 2-regulärer zusammenhängender Graph ein Kreis ist, können wir annehmen, dass 3 weiter können wir annehmen, dass G zweifach knotenzusammenhängend ist: angenommen v ist ein trennender Knoten dann ist χ(g) = max χ(h i ), wobei H i alle am Knoten v angehefteten Untergraphen durchläuft da d (v ) < in jedem H i, sind die H i nicht -regulär, d.h. χ(h i ) nach (i) und somit χ(g). 17 / / 57 Als nächstes zeigen wir: es existieren Knoten v 1, v 2, v n V mit: v 1, v 2 N(v n ) (v 1, v 2 ) / E G {v 1, v 2 } ist zusammenhängend wir unterscheiden wieder zwei Fälle: (i) G ist dreifach knotenzusammenhängend es muss ein Knoten v n V existieren, dessen Nachbarn nicht auch schon alle untereinander benachbart sind: andernfalls bestünde G aus einer disjunkten Vereinigung von vollständigen Graphen der Größe + 1 da G zusammenhängend ist, wäre G ein vollständiger Graph, im Widerspruch zur Annahme (i) (ii) G ist dreifach knotenzusammenhängend G ist zweifach knotenzusammenhängend somit existiert ein v n und Knoten v 1, v 2 N(v n ) mit (v 1, v 2 ) / E Da G 3-zusammenhängend ist, ist G {v 1, v 2 } zusammenhängend. 19 / / 57

6 (ii) G ist zweifach knotenzusammenhängend: sei {v, v n } eine trennende Menge G 1 G 2 v 2 G r G {v, v n } zerfällt in disjunkte Graphen G 1,..., G r mit r 2 v 1 G 1 G 2 G r v n v v 1 der Knoten v n Menge wäre v 2 v n v hat Nachbarn in allen G i, da sonst {v } eine trennende seien v 1 Nachbar in G 1 und v 2 Nachbar in G 2 dann ist (v 1, v 2 ) / E {v 1 } ist keine trennende Menge daher existiert zu jedem Knoten in G 1 v 1 ein Weg zu jedem anderen Knoten in G {v 1, v 2 }, entsprechendes gilt für jeden Knoten in G 2 v 2 seien v 1 Nachbar in G 1 und v 2 Nachbar in G 2 damit ist G {v 1, v 2 } zusammenhängend. 21 / / 57 Wir nummerieren die Knoten wie folgt: v n 1 V {v n, v 1, v 2 } sei zu v n benachbart v n 2 V {v n, v n 1, v 1, v 2 } sei zu einem Knoten in {v n, v n 1 } benachbart v n 3 V {v n, v n 1, v n 2, v 1, v 2 } sei zu einem Knoten in {v n, v n 1, v n 2 } benachbart Der Algorithmus arbeitet korrekt: v n 1 existiert, da 3 die Heuristik beginnt mit v 1 sie färbt v 1 und v 2 mit der Farbe 1 für 3 i < n gilt: v i hat einen Nachbarn unter den späteren Knoten damit ist v i zu höchstens 1 Vorgängern benachbart v n ist zu v 1 und v 2 benachbart ist, die gleich gefärbt sind daher benötigt die Heuristik nie mehr als Farben für i = n 2, n 1,..., 3 gilt: es existiert ein Knoten v i V {v 1, v 2, v n... v i+1 }, der zu mindestens einem der Knoten v i+1,..., v n benachbart ist ansonsten wäre G {v 1, v 2 } nicht zusammenhängend. 23 / / 57

7 entsprechend können wir eine Kantenfärbung betrachten Gliederung Kantenfärbungen Färbungen planarer Graphen d.h. eine Abbildung f : E {1,..., m} mit f (e 1 ) f (e 2 ), falls e 1 und e 2 adjazent der chromatische Index χ (G) ist die kleinste Anzahl an Farben, mit der G kantengefärbt werden kann 25 / / 57 Zur Veranschaulichung: die Studenten in S wollen Einzelprüfungen bei Prüfern aus einer Menge P ablegen wir konstruieren den bipartiten Multigraphen G = (S P, E ) mit (s, p) E, falls s bei p eine Prüfung ablegen will dann entspricht die minimale Anzahl von Prüfungsterminen einer minimalen Kantenfärbung von G sei G = (V, E ) ein Graph wir definieren einen Graphen L(G) = (E, F ) auf den Kanten es ist (e 1, e 2 ) F, wenn sie in G einen Endknoten gemeinsam haben L(G) ist der Kantengraph oder line graph von G offensichtlich gilt χ (G) = χ(l(g)) für Kreise C gilt beispielsweise L(C) = C daher ist für ungerade Kreise C n mit n 3 und ungerade wiederum χ (C n ) = 3 27 / / 57

8 Kantenfärbungen die Berechnung des chromatischen Index eines Graphen ist NP-vollständig es ist bereits NP-vollständigen zu entscheiden, ob ein gegebener einfacher Graph chromatischen Index drei hat für den Fall der 2-Färbbarkeit gilt jedoch wiederum: Lemma 5 Die 2-Färbbarkeit von Kanten eines Graphen kann effizient entschieden werden. Für bipartite Graphen ist der chromatische Index einfach zu berechnen. Satz 6 (König) Für bipartite Graphen G = (V, E ) gilt χ (G) = (G). Induktion über E : sei G ein Graph mit (G) = k und e = (u, v ) E eine beliebige Kante per Induktion hat G e eine Kantenfärbung mit k Farben ein Graph ist 2-kantenfärbbar, wenn sein Kantengraph bipartit ist. 29 / / 57 Kantenfärbungen Kantenfärbungen der Grad von u und v in G e ist höchstens k 1 daher gilt: es fehlt mindestens eine Farbe i unter den zu u inzidenten Kanten eine Farbe j unter den zu v inzidenten Kanten ist i = j, so können wir e mit i färben und die Behauptung ist bewiesen andernfalls sei H der Graph, der aus allen Knoten V und den Kanten besteht, die mit i oder j gefärbt sind dann ist (H) 2 und der Grad von u in H ist höchstens eins betrachte einen maximalen Kantenzug P in H, der in u startet da (H) 2, ist P ein Weg da die Farben entlang P alternieren, kann der andere Endpunkt von P nicht v sein: andernfalls trägt die letzte Kante von P eine andere Farbe als die erste, P hätte gerade Länge und würde mit e einen ungeraden Kreis bilden wir vertauschen die Farben i und j entlang P und können anschließend e mit j färben. Das nächste Lemma liefert ein hinreichendes Kriterium für Kantenfärbungen: 31 / / 57

9 Kantenfärbungen Kantenfärbungen Lemma 7 Sei u V so, dass sowohl u als auch alle seine Nachbarn Grad höchstens k haben und höchstens ein Nachbar Grad k hat. Dann gilt: betrachte eine Kantenfärbung von G u mit k Farben sei X i die Menge der Nachbarn von u, an denen die Farbe i fehlt, 1 i k G u k -kantenfärbbar = G k -kantenfärbbar. 1 fehlt 2 fehlt 3 fehlt k fehlt per Induktion über k : für k = 1 ist diese Aussage offensichtlich richtig für den allgemeinen Fall können wir annehmen: genau ein Nachbar hat Grad k alle anderen Nachbarn haben Grad k 1 dies können wir dadurch sicherstellen, dass wir neue Knoten hinzufügen, die wir geeignet mit den Nachbarn verbinden wir wählen die Färbung so, dass P k i=1 X i 2 minimal ist, und unterscheiden zwei Fälle: (i) X i 1 für alle i = 1,..., k (i) es existiert ein i mit X i = 1 33 / / 57 (i) X i 1 für alle i = 1,..., k : Kantenfärbungen in einem Nachbarn fehlt genau eine Farbe, in allen anderen genau zwei daher taucht dieser eine Knoten in einem X i auf und alle anderen in genau zwei somit gilt P k i=1 X i = 2d (u) 1 < 2k damit existieren Indizes i und j mit X i < 2 und X j ungerade d.h. X i = 0 und X j 3 sei H ij der von den Kanten mit den Farben i und j induzierte Teilgraph sei P ein Pfad, der in einem Knoten von X j startet wenn wir entlang P die Färbung vertauschen, reduzieren wir X i 2 + X j 2, im Widerspruch zur Wahl der Färbung. Kantenfärbungen (ii) es existiert ein Index i mit X i = 1 : wir können annehmen, dass i = k und X k = {v } sei G der Teilgraph von G, der entsteht, wenn wir die Kante (u, v ) und alle mit k gefärbten Kanten entfernen dann gilt: G u ist mit k 1 Farben kantengefärbt, u und alle seine Nachbarn haben in G Grad höchstens k 1, höchstens einer hat Grad k 1 per Induktion ist dann G mit k 1 Farben kantenfärbbar wir fügen die mit k gefärbten Kanten wieder hinzu und färben die Kante (u, v ) mit k und erhalten eine k -Färbung von G. 35 / / 57

10 Kantenfärbungen der nächste Satz zeigt, dass der chromatische Index nur eine von zwei Zahlen annehmen kann trotzdem ist die Entscheidung, welcher der Zahlen die richtige ist, NP-vollständig. Satz 8 (Vizing) Für einen einfachen Graphen gilt (G) χ (G) (G) + 1. offensichtlich gilt χ (G) (G) Gliederung Kantenfärbungen Färbungen planarer Graphen für die zweite Ungleichung wähle einen beliebigen Knoten u per Induktion ist G u mit + 1 Farben färbbar u erfüllt die Voraussetzungen des Lemmas 7 mit k = + 1 nach Lemma 7 ist damit auch G ( + 1)-färbbar. 37 / / 57 Färbungen planarer Graphen Färbungen planarer Graphen Mitte des vorletzten Jahrhunderts wurde folgende Vermutung aufgestellt: jede Landkarte kann so mit maximal vier Farben gefärbt werden dass keine zwei benachbarten Länder die gleiche Farbe tragen Satz 9 Jeder planare Graph ist 5-färbbar. Übungsaufgabe in der Sprache der Graphentheorie: jeder planare Graph lässt sich mit vier Farben färben trotz zahlreicher Versuche hat es mehr als hundert Jahre gedauert bis Appel und Haken 1976 einen ersten Beweis gefunden haben dieser blieb allerdings umstritten, da er zum großen Teil aus einer Fallunterscheidung von mehr als 1000 Fällen besteht, die mit Computerunterstützung durchgeführt wurde 1997 wurde der Ansatz vereinfacht, besteht aber immer noch aus einer Vielzahl von Einzelfällen wir zeigen daher ein etwas schwächeres Resultat: 39 / / 57

11 Färbungen planarer Graphen Färbungen planarer Graphen Satz 10 Jeder kreisplanare Graph ist 3-färbbar. sei G ein kreisplanarer Graph nach Korollar 7.18 hat G einen Knoten v vom Grad höchstens zwei G v ist ein kreisplanarer Graph die 3-Färbbarkkeit liefert uns eine Schranke für das Problem der Museumswächter zu Erinnerung: Museumswärter-Problem gegeben sei der Grundriss eines (einfachen) Museums per Induktion ist G v 3-färbbar dann ist G ebenfalls 3-färbbar, da v nur zwei Nachbarn hat. 41 / 57 Wärter können in jeder Ecke des Museums plaziert werden ihr Sichtfeld ist durch den Grundriss beschränkt wieviele Wärter sind notwendig, um jeden Punkt des Museums einsehen zu können? 42 / 57 Färbungen planarer Graphen der Grundriss sei ein einfaches Polyon mit n Ecken wir fassen dieses als kreisplanaren Graphen auf den wir durch Hinzugen von Sehnen triangulieren damit erhalten wir einen maximalen kreisplanaren Graphen G Gliederung Kantenfärbungen Färbungen planarer Graphen nach Lemma 10 ist G 3-färbbar daher enthält jedes Dreieck in G einen Knoten jeder Farbe jeder Punkt im Polygon liegt auch in einem Dreieck sei 1 die Farbklasse mit den wenigsten Knoten damit reichen n 3 Wärter aus 43 / / 57

12 im Zusammenhang mit Lösungsansätzen für das Vier-Farben-Problem wurde Anfang des 20. Jahrhunderts von Birkhoff das chromatische Polynom eingeführt es zählt die Anzahl der verschiedenen Färbungen eines Graphen dabei sind zwei Färbungen verschieden, falls mindestens ein Knoten von ihnen verschieden gefärbt wird wir bezeichnen mit f G (k ) die Anzahl der verschiedenen Färbungen eines Graphen G mit höchstens k Farben offensichtlich ist f G (k ) > 0 dann und nur dann, wenn G k -färbbar ist zur Veranschaulichung sei G = K n. dann ist f Kn (k ) = 0 für k < n für k = n können wir den ersten Knoten beliebig mit einer von den n Farben färben, den zweiten Knoten mit einer von den n 1 übrigen, usw. damit ist f Kn (n) = n (n 1) = n! wie das folgende Lemma zeigt, lässt sich f G (k ) rekursiv berechnen dazu sei e = (u, v ) E eine beliebige Kante und G e der durch Kontraktion von e entstehende Teilgraph 45 / / 57 Lemma 11 f G (k ) = f G e (k ) f G e (k ). Diese Lemma erlaubt uns, die folgenden Eigenschaften von f G (k ) herzuleiten: Satz 12 Sei G = (V, E ) ein einfacher Graph und k χ(g). Dann ist f G (k ) ein Polynom in k der Form f G (k ) = a n k n + a n 1 k n a 0 und es gilt: betrachte eine beliebige Färbung F von G e sind u und v gleichgefärbt, so ist F auch eine Färbung von G e umgekehrt liefert jede Färbung von G e auch eine Färbung von G e, in der u und v gleichgefärbt sind (i) f G (k ) hat Grad n, (ii) die Koeffizienten a n, a n 1,..., a 0 (iii) a n = 1, a n 1 = m, a 0 = 0. haben alternierende Vorzeichen, jede Färbung von G e, in der u und v verschieden gefärbt sind, entspricht eineindeutig einer Färbung von G damit folgt f G e (k ) = f G (k ) + f G e (k ). wir führen eine Induktion nach m durch: ist m = 0 und V = n, so können die Knoten beliebig gefärbt werden, d.h. f G (k ) = k n 47 / / 57

13 sei e = (u, v ) E nach Lemma 11 ist f G (k ) = f G e (k ) f G e (k ) per Induktion folgt f G e (k ) = b n k n + b n 1 k n b 0 Lemma 13 Ist G = G 1 G 2 mit G 1 G 2 = K n, so folgt f G (k ) = f G1 (k ) f G2 (k )/f Kn (k ) damit folgt f G e (k ) = c n 1 k n c 0 a n = b n = 1 a n 1 = b n 1 c n 1 = (m 1) 1 = m a 0 = b 0 c 0 = 0 a i = b i c i, wobei b i > 0 c i < 0 und somit a i > 0 b i > 0. jede Färbung F von G entspricht genau einem Paar (F 1, F 2 ) von Färbungen von G 1 bzw. G 2, die auf K n übereinstimmen ist F 1 eine k -Färbung von G 1, so gibt es offensichtlich f G2 (k )/f Kn (k ) k -Färbungen von G 2, die auf K n mit F 1 übereinstimmen. 49 / / 57 Lemma 14 Für einen Baum T mit n Knoten gilt! Xn 1 f T (k ) = k (k 1) n 1 = ( 1) i n 1 i i=0 k n i sei u ein Blatt von T und sei T = T u nach Induktion gilt f T (k ) = k (k 1) n 2 ist v der Nachbar von u, so schneidet die Kante (u, v ) T in v nach Lemma 13 folgt f T (k ) = f T (k ) f K2 (k )/f K1 (k ) Die Umkehrung gilt auch nach Satz 12 (i) - (iii). Induktion nach n : für n = 1 ist nichts zu zeigen sei n > 1 sei u ein Blatt von T und sei T = T u das chromatische Polynom hat noch eine andere Darstellung dafür benötigen wir ein vorbereitendes ein Lemma, das als Inklusions-Exklusionsprinzip bekannt ist 51 / / 57

14 sei A eine Grundmenge A i A Teilmengen von A für i = 1,..., r und S = {1,..., r } gesucht ist die Anzahl der Elemente, die in keiner Teilmenge liegen Lemma 15 Die Anzahl der Elemente von A, die in keiner der Teilmengen A i sind, beträgt r[ A A i = A + X i=1 I S,S ( 1) I \ A i. i I enthalten Beispiel: A1 A 2 A 3 A Dann ist 3[ 3X A A i = A A i i=1 i=1 + A 1 A 2 + A 1 A 3 + A 2 A 3 A 1 A 2 A 3. jedes Element, das in keiner Teilmenge liegt, wird im ersten Summanden einmal gezählt liegt ein Element in den Teilmengen A 1,..., A m, so taucht es in der obigen Summation 2 m mal auf (einschließlich des ersten Summanden) dabei erscheint es aber genau so oft in einer ungeraden Menge S wie in einer geraden daher ist der Beitrag eines solchen Elements Null. 53 / / 57 Für F E sei G(F ) = (V, F ) der von den Kanten in F induzierte Untergraph und c(g(f )) die Anzahl der Zusammenhangskomponenten von G(F ) Satz 16 (Whitney) Das chromatische Polynom lässt sich schreiben als f G (k ) = X F E( 1) F k c(g(f )). sei A die Menge der Färbungen, bei denen auch adjazente Knoten die gleiche Farbe tragen dürfen dann ist A = k n = ( 1) F c(g(f )) k mit F = sei A i die Teilmenge dieser Färbungen, in denen die Endknoten der Kante e i gleich gefärbt sind nach dem Inklusions-Exklusionsprinzip aus Lemma 15 ist f G (k ) = X ( 1) F \ A i F E i F die Menge T i F A i besteht aus Färbungen, die in jeder Kante aus F die Färbungsbedingung verletzen 55 / / 57

15 die Menge T i F A i besteht aus Färbungen, die in jeder Kante aus F die Färbungsbedingung verletzen die Endknoten einer Kante e F sind somit gleichgefärbt damit sind auch alle Zusammenhangskomponenten von G(F ) gleichgefärbt diese Zusammenhangskomponenten können aber unabhängig voneinander gefärbt werden d.h. T i F A c(g(f )) i enthält k Färbungen somit: f G (k ) = X F E ( 1) F \ A i i F = X F E( 1) F k c(g(f )). 57 / 57