Die Vermutungen von Hadwiger und

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1 Die Vermutungen von Hadwiger und Hajós David Müßig Seminar zur Graphentheorie, WS 09/10 Wir alle kennen die Gleichung χ(x) ω(x). Diese Gleichung ist nicht nur einläuchtend, sondern auch mehr oder weniger offensichtlich. Wenn eine Clique der Mächtigkeit r in einem Graphen enthalten ist, dann benötigen wir auch mindestens r Farben, um den gesamten Graphen zu färben, denn mit weniger Farben könnten wir ja nicht einmal die Clique färben. Wie sieht es jedoch andersherum aus? Können wir von einer chromatischen Zahl von r darauf schließen, dass unser Graph eine r-clique beinhaltet? Im Allgemeinen nicht, nein. Diese Abschätzung der chromatischen Zahl kann beliebig schlecht werden. Allerdings bleibt das Gefühl bestehen, dass die chromatische Zahl doch in irgendeiner Form Rückschlüsse darauf ziehen lässt, dass der Graph eine Clique in der Größenordnung des chromatischen Index enthält. Betrachten wir Cliquen in einer Untergraphenstruktur, so werden sie zu K r s und wir können die Hadwiger-Vermutung betrachten, die der schweizer Mathematiker Hugo Hadwiger 1943 ausgesprochen hat. 1 Die Vermutung von Hadwiger Vermutung 1.1 (Hadwiger, 1943, (H r )). Für alle Graphen G und für alle r N gilt: χ(g) r K r G Lemma 1.2. Die Hadwiger-Vermutung ist korrekt für r 4. Beweis. r = 1, 2: klar r = 3: χ(g) 3 G enthält einen Kreis ungerader Länge (sonst wäre G bipartit). Dieser ungerade Kreis lässt sich zu K 3 kontrahieren. r = 4: Dies ist der erste interessante Fall. Sie χ(g) 4. Wir können G außerdem als einfach voraussetzen, da Dopelkanten und Schlingen bei der Betrachtung von Untergraphen vernachlässigbar sind. Wir führen nun Induktion nach der Mächtigkeit der Eckenmenge V. Zuvor jedoch eine Definition und ein Lemma: Definition 1.3. Ein einfacher Graph G = (V, E) heißt kritisch, falls χ(g v) < χ(g) für jede Ecke v V. Ist χ(g) = r, so heißt G r-kritisch. 1

2 Lemma 1.4. Ein kritischer Graph G kann nicht durch einen vollständigen Untergraphen getrennt werden, d.h. ist S eine trennende Eckenmenge, so ist der von S induzierte Untergraph niemals vollständig. Insbesondere muss ein r-kritischer Graph mit r 3 zweifach zusammenhängend sein. Beweis (Lemma 1.4). Sei G S der von S aufgespannte Untergraph. Dann zerfällt G = (V, E) in Untergraphen G i, i = 1,..., k, mit V (G i ) = S und es gilt χ(g) = max(χ(g i )), i i falls G s vollständig ist. Da alle G i echte Untergraphen sind, folgt χ(g i ) < χ(g) i und damit der Widerspruch. Mit diesem Wissen können wir die Induktion beginnen: I.A.: n=4. Mit χ(g) 4 muss G = K 4 gelten. Es gelte nun (H r ) für alle Graphen mit weniger als n Ecken. I.S.: G sei ein Graph mit V = n. 1. Fall: G ist nicht kritisch. Wähle einen kritischen Untergraphen H G mit χ(h) = χ(g) 4. Für H gilt nun unsere Induktionsvoraussetzung und damit K 4 G. 2. Fall: G ist kritisch. Nach Lemma 1.4 ist G 2-fach zusammenhängend. Wir nehmen zunächst so gar an, dass G 3-fach zusammenhängend ist. Falls G = K 4 ist, sind wir fertig. Andernfalls wähle zwei beliebige nicht benachbarte Ecken u,v V. Nach dem Satz von Menger existieren 3 disjunkte uv-wege W 1, W 2 und W 3 (da G 3-fach zusammenhängend). Seien nun w 1 und w 2 Ecken auf W 1, bzw. W 2 ungleich u,v. Wiederum nach dem Satz von Menger existiert ein Weg W von w 1 nach w 2, der weder u noch v enthält. Jetzt sehen wir, dass W 1 W 2 W 3 W eine Unterteilung des K 4 enthält und sind fertig. Die letzte Möglichkeit: G ist 2-fach zusammenhängend, genauer: κ(g) = 2. u,v sei eine trennende Eckenmenge. Nach Lemma 1.4 sind u und v nicht benachbart, da sie sonst einen K 2 bilden würden. Wir fügen die Kante k := uv ein und zerlegen G k in die Graphen G 1 und G 2, mit V (G 1 ) V (G 2 ) = u, v. Einer der beiden Untergraphen muss eine chromatische Zahl von mindestens 4 haben. Sei o.b.d.a. χ(g 1 ) 4. Nach I.V. enthält G 1 einen Untergraphen H, der zu K 4 kontrahiert werden kann. Falls die Kante k in H vorkommt, ersetze k in G durch einen uv-weg (existiert, da G 2-fach zusammenhängend ist und wir sonst nicht über zwei Wege von G 1 nach G 2 kommen würden). Und damit sind wir fertig. Für die Fälle r = 1 bis r = 4 ist die Hadwiger-Vermutung nun also klar. Was ist mit r = 5? Formulieren wir die Vermutung einmal andersherum: K 5 G χ(g) 4 2

3 Was hieße das für denn Fall, dass G planar ist? Nach dem Satz von Wagner wissen wir, dass ein planarer Graph keinen zu K 3,3 oder K 5 kontrahierbaren Untergraphen enthält. D.h. es folgt: G planar (K 5 G) χ(g) 4 bzw. G planar χ(g) 4 Der 4-Farben-Satz (4-FS)! Wir können also aus der Hadwiger-Vermutung ohne große Anstrengung den 4-FS folgern. Gäbe es nun einen Beweis, der die Richtigkeit von (H 5 ) zeigt, so würde auch ein direkter Beweis für die Korrektheit des 4-FS existieren! Leider basiert der einzige Beweis für (H 5 ) auf der Annahme, dass der 4-FS korrekt ist. Wir können also eine nicht allzu uninteressante Folgerung machen: Satz 1.5. (H 5 ) 4 F S Die Richtung von links nach rechts war aus obiger Überlegung schon länger bekannt. Dass auch die Implikation von rechts nach links gilt, hat Wagner erst im Jahre 1960 gezeigt, denn diese Richtung ist nicht ganz so offensichtlich. Bevor wir sie beweisen können benötigen wir noch einen Satz, ebenfalls von Wagner, den er jedoch schon 1937 formuliert hat: Satz 1.6 (Wagner, 1937). Jeder Graph mit 4 Ecken, kantenmaximal ohne K 5 - Minor ist rekursiv durch Zusammenkleben entlang von Dreiecken und K 2 s aus ebenen Dreiecksgraphen und Exemplaren des Wagner-Graphen konstruierbar. Der Beweis dieses Satzes ist für diese Veranstaltung zu umfangreich und zu lang, daher nehmen wir ihn ohne Beweis an. Was bedeutet jedoch das im Satz erwähnte Zusammenkleben? Das Zusammenkleben entlang von K 2 s funktioniert kanonisch: von je einem Graphen wird eine Außenkante genommen, welche dann zu einer vereinigt werden. D.h. haben wir zuvor die Kanten uv G 1 und u v G 2, so haben wir im großen Graphen G nur noch eine Kante, in der u und u, bzw. v und v und die verbindende Kante gleich sind. Was bedeutet es, entlang von Dreiecken zusammenzukleben? Im Prinzip funktioniert es analog zum Zusammenkleben an K 2 s. Hier werden von den beiden Graphen jedoch keine Kanten, sondern Dreiecke übereinander gelegt und verschmolzen. Jetzt klären wir noch, was ein Wagner-Graph ist. Der Wagner-Graph lässt sich auf verschiedene Arten darstellen, hier ist eine Version: 3

4 Wie man leicht sieht, lässt sich der Wagner-Graph mit drei Farben färben. Jetzt schauen wir uns den Beweis des Satzes 1.5 an: Beweis (Satz 1.5). : (s.o.) : Es sei G ein Graph mit V 4 und es gelte außerdem K 5 G. Nach dem Satz von Wagner (1.6) lässt sich G in der im Satz beschriebenen Form darstellen oder ist zumindest in dieser Form enthalten, da der beschriebene Graph kantenmaximal ohne K 5 -Minor ist. Wir können den Teil, der aus planaren Graphen besteht, nach dem 4- FS mit maximal vier Farben färben. Um den Wagner-Graphen zu färben, benötigen wir lediglich drei Farben. Da sich je ein Wagner- und ein planarer Graph an nur zwei Ecken schneiden und das Aneinanderkleben planarer Graphen neue planare Graphen erzeugt, benötigen wir auch keine zusätzlichen Farben und können mit vier Farben färben. Damit haben wir also gezeigt: K 5 G χ(g) 4, bzw. andersherum: χ(g) 5 K 5 G. Nach diesem verblüffenden Resultat setzen wir unsere Reise fort. Wie sieht es mit größeren r aus? Im Jahr 1993 haben Robertson, Seymour und Thomas einen Beweis für r=6 gefunden, der sich ebenfalls auf den 4-FS stützt, jedoch etwas länger und umfangreicher ist. Was ist jedoch mit r 7? Bis heute sind hierfür keine Beweise bekannt. Es stellt sich also weiterhin die Frage, ob die Hadwiger-Vermutung allgemein gültig ist oder ob es ein r 0 gibt, so dass (H r ) für alle r r 0 falsch ist. Sollte (H r ) tatsächlich für ein bestimmtes r falsch sein, so existiert auch ein solches r 0, denn es gilt: Korollar 1.7. (H r+1 ) (H r ). Bevor wir uns den Beweis anschauen, noch eine Definition: Definition 1.8. G = (V G, E) sei ein Graph. Den durch das Hinzufügen einer Ecke v / V G, die mit jeder Ecke der bereits in G enthaltenen Ecken verbunden ist, entstehende Graph G schreiben wir als G*1. Und nun der versprochene Beweis: Beweis (Korollar 1.7). Sei G = (V, E) ein Graph mit χ(g) r. Es gelte (H r+1 ). Wir fügen eine Ecke v / V G hinzu und verbinden sie mit allen Ecken von G. Dann ist für G*1 χ(g 1) r + 1. Da (H r+1 ) gilt, finden wir in G*1 einen Untergraphen H, der zu K r+1 kontrahiert werden kann. Nun entfernen wir die hinzugefügte Ecke v wieder. Es gibt jetzt zwei Möglichkeiten: Erstens: v K r+1 G 1. Dann ist (K r+1 \ v ) = K r G. Zweitens: v / K r+1 G 1. Dann ist K r+1 G und somit auch K r G. Es kann also nicht sein, dass die Hadwiger-Vermutung für ein r falsch, für ein größeres r jedoch korrekt ist. Das macht die Sache deutlich überschaubarer. 4

5 2 Die Vermutung von Hajós Bisher haben wir uns mit dem K r als Kontraktionsuntergraphen beschäftigt. Wir kennen aber auch den gegenteiligen Begriff: den der Unterteilung. Fordern wir, dass der Graph G eine Unterteilung anstelle einer Kontraktion des K r enthält, so ist diese Forderung schärfer, denn aus einer Unterteilung des K r erhalten wir immer auch eine Kontraktion. Dementsprechend stellt die folgende Vermutung eine Verschärfung der Hadwger-Vermutung dar: Vermutung 2.1 (Hajós, (U r )). Für alle Graphen G und alle r N gilt: χ(g) r K r T G. Erinnern wir uns daran, wie wir die Fälle r = 1 bis r = 4 der Hadwiger-Vermutung bewiesen haben, stellen wir fest, dass wir stets Unterteilungen des K r gefunden haben, die wir dann kontrahieren konnten. Daher folgt aus diesen Beweisen auch die Korrektheit für (H r ) für r 4. Für r = 5 existiert ebenfalls ein Beweis, der sich wie der von (H r ) auf den 4-FS stützt. Hierzu müssen wir uns nur den aus der Vorlesung bekannten Satz von Kuratowski erinnern: Satz 2.2 (Kuratowski). Ein Graph G ist genau dann planar, wenn er keinen zu einer Unterteilung des K 3,3 oder K 5 isomorphen Untergraphen enthält. Der rest des Beweises verläuft analog zu dem der Hadwiger-Vermutung für r = 5, daher werden wir darauf jetzt nicht weiter eingehen, sondern uns einem anderen Aspekt widmen. Genau wie für die Hadwiger-Vermutung stellt sich auch für die Vermutung von Hajós die Frage nach der Allgemeingültigkeit. Es lässt sich wie für (H r ) auch für (U r ) zeigen, dass (U r+1 ) (U r ) gilt. Lange Zeit wurde angenommen, dass (U r ) für alle natürlichen Zahlen r korrekt ist, bis Catlin 1979 ein Gegenbeispiel für den Fall r = 8 entdeckte: den Catlin-Graphen G C : Der Catlin-Graph ist uns bereits aus der Vorlesung bekannt. Er hat n = 15 Ecken mit δ(v) = 8 für alle v V und ist aus fünf K 3 s zusammengesetzt. Seine chromatische Zahl ist 8 (siehe Übung). Catlin hat gezeigt, dass G C keine Unterteilung des K 8 enthält und die Vermutung von Hajós ist damit im Allgemeinen für alle r 8 widerlegt. Wichtig ist jedoch, dass G C keineswegs die Hadwiger-Vermutung widerlegt! Es lässt sich relativ schnell eine Kontraktion des K 8 und sogar eine des K 9 entdecken. Dies zu zeigen ist Teil der Übung: 5

6 Übung 2. Zeige, dass χ(g C ) = 8 und finde K 8 G C (durch Angabe einer Kontraktionsvorschrift). Freiwilliger Zusatz: Finde K 9 G C. 3 Aktuelles und Zusammenfassung Rekapitulieren wir: Die Hadwiger-Vermutung ist korrekt für r 4, für r = 5, 6 äquivalent zum 4-FS und für alle r größer 6 im Allgemeinen noch ungelöst. Die Vermutung von Hajós ist ebenfalls korrekt für r 4, äquivalent zum 4-FS für r = 5 und für r 8 im Allgemeinen falsch. Wie sieht es jedoch mit r = 6, 7 aus? Für diese beiden Fälle existieren bis heute weder Beweise, noch Gegenbeispiele; sie sind bis heute ungelöst. Es ist jedoch nicht so, dass dieses Problem unbeachtet bleibt. Es wird weiterhin nach einer Lösung gesucht, sogar mit partiellem Erfolg: Im Jahr 2005 haben Kühn und Osthus eine Abschwächung der Hadwiger-Vermutung formuliert und bewiesen: Satz 3.1 (Kühn und Osthus, 2005). Für jedes s N existiert ein r s N, so dass die Hadwiger-Vermutung für alle Graphen G K s,s und r r s gilt. Für eine spezielle Gruppe von Graphen ist die Hadwiger Vermutung nun also bewiesen. Dies legt natürlich den Verdacht nahe, dass die Vermutung auch im Allgemeinen richtig ist. Dieses Argument wird dadurch entkräftet, dass ebenfalls ein Lemma existiert, welches die Korrektheit von (H r ) für spezielle Fälle beweist: Lemma 3.2. Es gibt eine Konstante g N, so dass für alle Graphen G mit g(g) g und für alle r N gilt: χ(g) r K r T G (g(g) bezeichnet hier die Taillenweite des Graphen). Das heißt, für Graphen mit ausreichend großer Taillenweite ist die Vermutung von Hajós in der Tat korrekt. Wir werden dieses Lemma beweisen, dafür benötigen wir allerdings wieder einen zusätzlichen Satz, den wir wiederum beweislos annehmen. Satz 3.3 (Kühn und Osthus, 2002). Es existiert eine Konstante g N, so dass jeder Graph G mit δ(g) r 1 und g(g) g einen K r als topologischen Minor enthält. Diese Sätze ähneln sich schon sehr. Zusammen mit dem Hilfssatz, dass jeder Graph G einen Untergraphen H mit δ(h) χ(g) 1 enthält, ist es ein Kinderspiel, Lemma 3.2 zu beweisen. Beweis (Lemma 3.2). Es sei G ein Graph und g die Konstante aus Satz 3.3, χ(g) r. Dann hat G einen Untergraphen H mit δ(h) χ(g) 1 r 1. Dann gilt: g(h) g(g) g und somit folgt aus Satz 3.3, dass K r T H und somit natürlich auch K r T G. Und was wäre ein Graphentheorie-Vortrag ohne die Erwähnung des Namens Paul Erdös? Dieser hat gemeinsam mit Catlin und Bollóbas gezeigt, dass die Hadwiger- Vermutung für fast alle Graphen korrekt ist (das wurde auch schon im Vortrag über Fast alle Graphen angesprochen). 6

7 Obwohl sie nicht zu den Milenium-Problemen gehört, ist die Hadwiger-Vermutung wohl eines der interessantesten ungelösten Probleme der Mathematik. Sollte es eines Tages einen Beweis geben, sei es für ihre Gültigkeit oder aber auch ihre Fehlerhaftigkeit, so wäre die Entdeckung dieses Beweises sicherlich eine Sensation. Literatur [Aig] [Die] [Wag] M. Aigner: Graphentheorie. R. Diestel: Graphentheorie. K. Wagner: Graphentheorie. Dieses Dokument wurde mit L A TEX erstellt. 7