Definition : Diechromatische Zahl eines Graphen G ist die kleinste Anzahl chromatische Zahl von Farben für eine zulässige Färbung.

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1 4 Definition : Eine zulässige Färbung ist eine Färbung der Knoten des ( un- zulässige Färbung gerichteten ) Graphen, so daß je zwei adjazente Knoten verschiedene Farben haben. Trivial ist, daß n verschiedene Farben immer eine zulässige Färbung sind ( Anzahl Knoten = Anzahl Farben ). Definition : Diechromatische Zahl eines Graphen G ist die kleinste Anzahl chromatische Zahl von Farben für eine zulässige Färbung. Symbol : χ(g) Beispiele : 1. Polyeder : χ(g =Würfel) = 2, χ(g = Tetraeder) = 4 (a) Würfel (b) Tetraeder Abbildung 10: Färbung von Polyedern 2. Färbung eines Graphen : χ(g) = 4 21

2 3. Färben einer Landkarte : Eine Landkarte ist ein planarer Graph 2.Die Knoten sind durch die Länder gegeben. 2 Knoten werden durch eine Kante verbunden, wenn die Länder eine gemeinsame Grenze haben. Abbildung 11: Färbung einer Landkarte Jede Landkarte kann mit vier Farben zulässig gefärbt werden ( Vierfarbensatz ) Vierfarbensatz 4. Party mit n Gästen : Die Gäste stellen die Knoten dar. Jede Kante zwischen zwei Knoten bedeutet, daß die jeweiligen zwei Gäste nicht miteinander harmonieren. Gesucht ist eine zulässige Färbung des Graphen, die einer Verteilung der Gäste auf verschiedene Tische ohne Disharmonien entspricht. Einfache Aussagen : 1. Für einen vollständigen Graphen G mit n Knoten gilt : χ(g) = n 2. Für einen Kreis G mit gerader Länge gilt : χ(g) =2 3. Für einen Kreis G mit ungerader Länge gilt : χ(g) =3 2 in der Ebene ohne Überschneidungen der Kanten darstellbar 22

3 4.1 Färbung mit 2 Farben Satz : Ein Graph G =(X, K) hat eine zulässige Färbung mit 2 Farben G hat keinen Kreis mit ungerader Länge. Beweis : : trivial ( siehe Aussage 3 ) : In jeder Zusammenhangskomponente von G wird folgendermaßen gefärbt : 1. Wähle x 0 aus der Knotenmenge der Zusammenhangskomponente beliebig. Alle Knoten y mit Distanz D(x 0,y) = gerade erhalten die Farbe F 1. Alle Knoten y mit Distanz D(x 0,y) = ungerade erhalten die Farbe F Noch zu zeigen : 2 adjazente Knoten x 1 und x 2 haben nicht die gleiche Farbe. Indirekter Beweis : Annahme : x 1 und x 2 seien adjazent und haben die gleiche Farbe F 1 ( oder F 2 ). kürzester Weg von x 0 nach x 1 : gerade ( ungerade ) Länge kürzester Weg von x 0 nach x 2 : gerade ( ungerade ) Länge Kante von x 1 nach x 2 : Länge 1 Der Weg von x 0 über x 1 und x 2 und zurück zu x 0 ist offenbar stets ein Kreis ungerader Länge! Algorithmus : Beginne mit einem beliebigen Knoten x 0 aus X. Bilde sukzessive um x 0 konzentrische Schalen gleichgefärbter Knoten, solange dies möglich ist. Die Schalen enthalten genau die Knoten gleicher Distanz von x 0.Einezulässige Färbung ist möglich, wenn in keiner Schale adjazente Knoten existieren. Zwei-Farben-Algorithmus Gegeben sei ein ungerichteter zusammenhängender Graph G = (X, K) mittels Nachfolgerliste nf der Länge 2m und zugehöriger Indexliste inf der Länge n + 1. Außerdem ist ein Startknoten x 0 X mittels des Indexes i 0 gegeben. Gesucht ist die Entscheidung, ob eine zulässige Färbung mit 2 Farben möglich ist. Falls ja, Angabe der Färbung der Knoten mittels farbe. 23

4 Listing 2: Zwei-Farben-Algorithmus 1 VAR N,M,I0 : integer; 2 TYPE PListe = array[1..n+1] OF integer; 3 KListe = array[1..2*m] OF integer; 4 5 PROCEDURE ZweiFarben( nf : KListe; inf, Farbe, D : PListe ); 6 VAR i,j,k,dakt,farbeakt : integer; 7 unfaerbbar : boolean; 8 BEGIN 9 FOR i:=1 TO N DO D[i]:=-1; D[I0]:=0; Dakt:=0; Farbe[I0]:=0; 12 unfaerbbar:=false; FarbeAkt:=0; // Anfangsinitialisierung REPEAT 15 FOR i:=1 TO N DO BEGIN 16 IF D[i] = Dakt THEN BEGIN 17 FOR j:=inf[i] TO inf[i+1]-1 DO BEGIN 18 k:=nf[j]; 19 IF D[k] = -1 THEN BEGIN 20 D[k]:=Dakt+1; 21 Farbe[k]:=1-FarbeAkt; 22 END 23 ELSE 24 IF D[k] = Dakt THEN unfaerbbar:=true; 25 END; 26 END; 27 END; 28 Dakt:=Dakt+1; 29 FarbeAkt:=1-FarbeAkt; 30 UNTIL ( Dakt = N ) OR ( unfaerbbar ); 31 END; 24

5 Beispiel : , 3, 5 3 2, 4 4 3, 5 5 2, 4 Nachfolgerliste : j nf[j] Index- und Färbeliste : i inf[i] farbe[i] gesucht Die Abarbeitung des Zwei-Farben-Algorithmus liefert folgende Lösung: i farbe[i]

6 4.2 Maximalgrad und Greedy-Algorithmus Definition : Der Maximalgrad eines Graphen G ist definiert durch Maximalgrad δ(g) := Offensichtlich gilt: χ(g) δ(g) + 1. max d(x i). i=1,2,...,n Eine zulässige Färbung mit höchstens δ(g) + 1 Farben ermittelt der Greedy-Algorithmus : Schritte : Greedy-Algorithmus 1. x 1 X erhält Farbe 0; i =2 2. x 1,x 2,...,x i 1 X seien bereits gefärbt (a) Betrachte die in Γ(x i ) {x 1,x 2,...,x i 1 } vergebenen Farben j 1,j 2,...,j r (b) x i erhält die Farbe j i =min({0, 1, 2,...,δ(G)}\{j 1,j 2,...,j r }) (c) i := i Solange i<n+ 1 fahre mit Schritt 2 fort. 26

7 Beispiel : Der Greedy-Algorithmus benötigt fünf Farben, um den obigen Graphen zulässig zu färben. Durch Vertauschen der Knotennummern 10 und 12 wird eine Farbe weniger benötigt. Eine eventuell günstigere Knotennummerierung kann durch den folgenden Algorithmus erreicht werden : 1. i := n, G i := G 2. Ermittle in G i einen Knoten x i mit minimalem Grad d i. (a) Bilde G i 1 dadurch, daß x i werden (b) i := i 1 und alle inzidenten Kanten entfernt 3. Solange i>0, setze in Schritt 2 fort. Der Greedy-Algorithmus liefert jetzt eine zulässige Färbung mit höchstens δ (G) + 1 Farben, wobei δ (G) :=max i=1,2,...,n d (x i). 27

8 Für obiges Beispiel : i x i x i d i (a) Ausgangsfärbung (b) Färbung nach Neunummerierung Also reichen sogar 3 Farben für eine zulässige Färbung. Bemerkung : Es gibt eine Nummerierung der Knoten, so daß der Greedy- Algorithmus zu einer zulässigen Färbung mit χ(g) Farbenführt. 28

9 Backtracking-Algorithmus : 1. x 1,x 2,...,x i 1 seien zulässig gefärbt, dann (a) wird x i zunächst mit der ersten Farbe gefärbt, (b) verträgt sich diese Farbe mit den bereits gefärbten Nachbarn von x i, so geht man zu x i+1, (c) wenn nicht, dann wird die nächste Farbe für x i überprüft, (d) sind alle c Farben für x i mit negativem Resultat überprüft, so geht man zu x i 1 zurück und ändert die Farbe für x i Nach Abarbeitung von 1. tritt eine der folgenden Situationen ein: Beispiel : (a) man erreicht den letzten Knoten x n,kanndiesenzulässig färben und hat damit eine zulässige Färbung des Graphen mit höchstens c Farben gefunden, (b) man steht wieder am Anfang des Algorithmus, was bedeutet, dass eine zulässige Färbung des Graphen mit c Farben nicht möglich ist (alle Möglichkeiten wurden durchprobiert). (a) Graph G (b) c =2 (c) c =3 Abbildung 12: Backtracking-Algorithmus Für c = 2 entsteht ein Farbänderungsverlauf mit dem Ergebnis, daß eine zulässige Färbung mit 2 Farben nicht möglich ist. Für c = 3 entsteht ein gültiger Farbänderungsverlauf und somit eine zulässige Färbung. 29

10 4.3 Das Vier-Farben-Problem, der Fünf-Farben-Satz Graphentheoretisch lautet das Vier-Farben-Problem : Jeder planare Graph G hat die chromatische Zahl χ(g) 4. Vier-Farben-Problem Historie des Vier-Farben-Problems : 1850 Vermutung von de Morgan, über 125 Jahre ungelöst 1976 K. Appel, W. Hahen, (H. Heesch ) : Betrachtung von ca Arten von planaren Graphen, Computerlösung in letzter Zeit N. Robertson, D. Sanders, P. Seymow, R. Thomas :Vereinfachung des Beweises, Reduktion auf ca. 650 Fälle bisher kein Beweis ohne Computerhilfe Eulersche Polyederformel : Sei G ein zusammenhängender planarer Graph mit n Knoten, m Kanten und g Gebieten ( einschließlich des sog. Außengebietes ). Dann gilt : n }{{} Knoten }{{} m + g =2 }{{} Kanten Gebiete Eulersche Polyederformel Bemerkung : Graph. Aus einem Polyeder entsteht durch Projektion ein planarer (a) Polyeder (b) planarer Graph Abbildung 13: Projektion eines Polyeders auf einen planaren Graph Der Quader hat n =8Ecken,m = 12 Kanten und g =6Flächen; der planare Graph n =8Knoten,m = 12 Kanten und g = 6 Gebiete ( einschließlich des Außengebietes ). 30

11 Beweis der Eulerschen Polyederformel : Induktionsanfang : für m =0folgt,daßn = 1 und g =1 Induktionsvoraussetzung : für m>0 sei die Behauptung richtig Induktionsbehauptung : die Eulersche Polyederformel ist richtig für einen zusammenhängenden planaren Graphen G mit m + 1 Kanten Induktionsbeweis : 1. Fall : G enthalte keinen Kreis. Dann muß g = 1 und n = m +2sein. Folglich : (m +2) (m +1)+1=2. 2. Fall : G enthalte einen Kreis. Es wird eine Kante aus dem Kreis entfernt. Dadurch verschmelzen zwei Gebiete. Nach Induktionsvoraussetzung gilt : Aussagen : n m +(g 1) = 2 n (m +1)+g =2 1. Für einen planaren Graphen G mit n 3 Knoten gilt : m 3n 6 2. In einem planaren Graphen G gibt es mindestens einen Knoten x mit d(x) 5. Beweis zu Aussage 1 : G sei zusammenhängend ( ansonsten für jede Zusammenhangskomponente ) 1. Fall : g = 1( d.h. G hat Baumstruktur ). Aus der Baumstruktur folgt, daß m = n 1seinmuß.Für n 3 gilt sicher n 1 3n Fall : g 2. Für ein Gebiet i in G ist die Länge l i des umlaufendes Kreises 3. Somit ergibt sich : 2m = g i=1 l i 3g. Wennmannundie umgeformte Eulersche Polyederformel g = 2 n m einsetzt, ergibt sich folgende Abschätzung : 2m 6 3n +3m und damit m 3n 6. Beweis zu Aussage 2 : Für n 6 ist die Aussage klar. Sei nun n>6 und d(x) 6für alle x X angenommen. Dann gilt : 6n 2m, wasim Widerspruch zu m 3n 6steht. 31

12 Fünf-Farben-Satz : 1879 zeigte A. Kempe einen Beweis für das Vier-Farben-Problem entdeckte P. Heawood einen Fehler in diesem Beweis, der jedoch bei der Färbung mit 5 Farben nicht auftritt. Kempes Beobachtung ist die folgende : Sei G zulässig gefärbt. Für zwei Farben i, j wird definiert : Fünf-Farben-Satz X ij = {x X x ist mit i oder j gefärbt} G ij = der durch X ij erzeugte Teilgraph Beispiel : (a) Graph G (b) Graph G 13 mit getauschten Farben Z sei eine Zusammenhangskomponente von G ij.nunwerdeninz die Farben getauscht : x wird mit der Farbe i gefärbt, falls x vorher mit der Farbe j gefärbt war, und umgekehrt. DieneueFärbung wird nach G übertragen. Die neue Färbung ist in G zulässig und die Anzahl der Farben bleibt gleich. Beim Beweis des Fünf-Farben-Satzes, dass jeder planare Graph mit 5 Farben zulässig gefärbt werden kann, wird dieser Farbentausch Kempes genutzt.. 32

13 Beweis des Fünf-Farben-Satzes: Induktionsanfang : für n = 1 trivial Induktionsvoraussetzung : für n sei die Behauptung richtig Induktionsbeweis : Sei G ein planarer Graph mit n + 1 Knoten, Sei x X ein Knoten mit d(x) 5. Sei G der durch X \{x} erzeugte Teilgraph von G. Nachder Induktionsvoraussetzung besitzt G eine zulässige Färbung mit 5 Farben. 1. Fall : Verwenden die Nachbarn von x nicht alle 5 Farben, so ist eine zulässige Färbung von G mit 5 Farben trivial. 2. Fall : Die 5 Nachbarn x i von x benutzen alle 5 Farben i, wobeii = 1,...,5. Die Knoten x i laufen um x im Uhrzeigersinn. x1 x5 x2 x x4 x3 Ziel ist es, die Knoten x 1 bis x 5 mit 4 Farben zulässig färben. Es werden die Teilgraphen G ij mit 1 i, j 5vonG nach der Idee von Kempebetrachtet, konkret G Fall : Es gibt keinen Weg in G 13 von x 1 nach x 3. x 1 liege in einer Zusammenhangskomponente Z von G 13.InZ werden die Farben 1 und 3 getauscht. Insgesamt bleibt eine zulässige Färbung von G erhalten. x 1 und x 3 sind jedoch beide mit der Farbe 3 gefärbt. Die Farbe 1 kann für x verwendet werden. x1 Z x5 x2 x x4 x3 33

14 2. Fall:Esgibteinen Weg in G 13 von x 1 nach x 3. Zusammen mit x und den beiden Kanten von x nach x 1 und x 3 ergibt sich ein Kreis G K. x1 Gk x5 x2 x x3 x4 Jeder Weg von x 2 nach x 4 in G muß einen Knoten x K von G K benutzen. x K ist mit Farbe 1 oder 3 gefärbt. Somit liegen x 2 und x 4 in unterschiedlichen Zusammenhangskomponenten von G 24.Dasheißt, auf G 24 kann der 1. Fall angewendet werden. x1 Gk x5 x2 x4 x x3 xk 34