Property Testing in Graphen mit beschränktem Maximalgrad

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1 Property Testing in Graphen mit beschränktem Maximalgrad Björn Schümann Seminar Graphentheorie und Kombinatorik WS Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Allgemeine Aussagen zum Property Testing Trivial-Beispiel - leer Testbare Eigenschaften Dichte Graphen Besonderheiten bei Graphen von beschränktem Grad Beispiel Zusammenhängend Testbare Eigenschaften Schritte zum Beweis 7 5 Ergebnis 10 1

2 1 Einleitung Diese Arbeit beschäftigt sich mit Möglichkeiten zum Testen von Eigenschaften auf Graphen. Für viele Eigenschaften gilt die exakte Entscheidung, ob ein Graph diese erfüllt als NP-schweres Problem. Selbst Entscheidungsalgorithmen für einfachere Eigenschaften haben mindestens lineare Abfragekomplexität, da sie für eine exakte Entscheidung zumindest den gesamten Graphen einlesen müssen. Dies macht die meisten Fragestellungen auf großen Graphen schwierig und aufwendig. Oft ist es jedoch ausreichend einen kleinen Fehler zu akzeptieren. Statt genau zu entscheiden, testet man nur einen Teil des Graphen und kann daraus mit bestimmter Genauigkeit Rückschlüsse auf den Gesamten Graphen ziehen. Ein Property-Testing-Algorithmus bestimmt anhand des geforderten ɛ die nötige von n unabhängige Anzahl von zu betrachtenden Knoten und Kanten und fragt ein Orakel nach einem zufälligen Teilgraphen in dieser Größe. Anschließend wird die zu untersuchende Eigenschaft Π auf dem zurückgegeben Teilgraphen untersucht. Auf dieser Basis entscheidet der Algorithmus, dann ob der Graph Π möglicherweise erfüllt. Falls Π zutrifft akzeptiert er den Graphen, hat der Teilgraph die gesuchte Eigenschaft nicht, so wird auch der gesamte Graph abgelehnt. Für einen gültiger Property-Testing-Algorithmus soll dabei folgendes gelten: Akzeptiert wird jeder Graph der Π erfüllt. Abgelehnt wird mit Wahrscheinlichkeit von mindestens 2 3 mindestens ɛ weit davon entfernt ist Π zu erfüllen. jeder Graph der Dabei tauscht man Genauigkeit gegen Effizienz, was trotzdem in vielen Fällen Vorteile bringt. So lassen sich Property-Testing-Algorithmen zur Beschleunigen von Entscheidungsalgorithmen einsetzen, in dem man mittels Testen all die diejenigen Fälle vorher aussortiert, die weit davon entfernt sind Π zu erfüllen. Durch einen solchen Vorfilter ist es in vielen Fällen oft gar nicht nötig den exakten Algorithmus zu starten. In bestimmten Fällen ist man auch bereit kleine Abweichungen / Fehler im Rahmen von ɛ zu akzeptieren, so dass ein Testen bereits ausreicht. In anderen Fällen kann man durch Vorwissen bereits sicherstellen, dass die Klassen der positiven und negativen Graphen weit von einander entfernt sind. Das zu betrachtende Objekt kann auch einfach zu groß sein um es komplett zu Scannen. So lassen sich kaum Grapheigenschaften auf Netzen wie dem gesamten Internet untersuchen. Hier wird man sich stets aufs Testen eines Teiles beschränken müssen. 2

3 Außerdem ist für viele NP-Harte Aufgabenstellung das Finden einer exakte Lösung, obwohl theoretisch möglich, praktisch nicht erreichbar, so dass Testen hier einen praktikablen Ausweg bietet. Dabei beschränkt sich Property-Testing nicht nur auf Graphen sondern lässt sich auch in anderen Anwendungsgebieten, wie den Eigenschaften von Funktionen oder der Zugehörigkeit zu regulären Sprachen einsetzen. 2 Allgemeine Aussagen zum Property Testing 2.1 Trivial-Beispiel - leer Zur Einführung dient eine der einfachsten Eigenschaften eines Graphen: Sei G = (V, E) ein Graph. Teste ob G leer ist, also keine Kanten enthält E =. Folgender simpler Algorithmus soll als Tester dienen: Algorithmus :Property-Tester auf Leeren Graphen Eingabe : Zugriff auf ein Orakel mit Wissen über G Ausgabe : Akzeptanz/Ablehnung von G ist leer (ohne Kanten) Frage das Orakel nach k zufällig ausgewählten Knoten aus V wenn es Kanten zwischen diesen k Knoten gibt dann lehne den Graph als nicht leer ab sonst akzeptiere den Graphen als wahrscheinlich leer Algorithmus 1 : Property-Tester auf Leeren Graphen Dies ist ein gültiger Property-Tester für leere Graphen, denn offensichtlich wird er jeden leeren Graphen auch als leer akzeptieren. Es gibt also keine false negatives. Wird k in Abhängigkeit von ɛ groß genug gewählt, so gibt es nach dem Gesetz der großen Zahlen auch wenige false positives, falls G ɛ-weit davon entfernt ist leer zu sein. 2.2 Testbare Eigenschaften Auch wenn viele wichtige Grapheigenschaften, wie planar, dreiecksfrei, bipartit, k-färbbar, p-clique und p-cut mittels eines Property-Testers überprüfbar sind, gilt dies nicht für alle Eigenschaften. So ist das Überprüfen der folgenden Eigenschaft nicht testbar: Anzahl der Kanten in G ist eine Zweierpotenz. 3

4 Erst nach dem Untersuchen des kompletten Graphen, kennt man die exakte Anzahl der Kanten. Es reicht hier also im Allgemeinen nicht aus nur einen konstanten Ausschnitt zu betrachten, da man aus diesem Ausschnitt nicht auf die Anzahl der Kanten im Gesamtgraph schließen kann. 2.3 Dichte Graphen Es stellt sich die Frage ob sich allgemeingültige Aussagen darüber treffen lassen, welche Eigenschaften mittels Property-Testing überprüft werden können. Betrachten wir zunächst dichte Graphen, also Graphen mit einem hohem Verhältnis von Kanten V = n zu Knoten, so dass E n 2. Die Adjazenz-Matrix ist ein geeignetes Modell zur Darstellung solcher Graphen. Dabei hat der Property-Testing-Algorithmus konstante Zugriffszeit auf eine binäre Matrix in der verzeichnet ist, ob zwischen zwei Knoten u, v jeweils eine Kante ist. Definition 1 (ɛ-weit in dichten Graphen). Ein dichter Graph G ist ɛ-weit davon entfernt Π zu erfüllen, wenn mehr als ɛ n2 2 Einträge in der zur G gehörigen Adjazenz-Matrix geändert werden müßte, damit Π zutrifft. Im Rahmen dieser Darstellung haben N. Alon und A. Shapira 2005 [1] erstmals eine wichtige Klasse von Eigenschaften herausgearbeitet, für welche sich folgendes ergibt. Satz 1 (Hauptresultat für dichte Graphen). Jede vererbbare Graph-Eigenschaft ist testbar. Dabei wird eine Grapheigenschaft als vererbbar bezeichnet, wenn sie abgeschlossen ist unter Knotenentfernung. Definition 2 (Vererbbare Eigenschaft). Eine Graph-Eigenschaft Π wir als vererbbar bezeichnet, wenn gilt: Wenn ein Graph G = (V, E) der Eigenschaft Π genügt, so erfüllt auch jeder induzierte Teilgraph G V := {(u, v) E V V } mit V V die Eigenschaft. Ein großer Teil der wichtigen Grapheigenschaften ist vererbbar, darunter fallen offensichtlich alle monotonen Grapheigenschaften, wie ob ein Graph azyklisch, planar, bipartit, k-färbbar ist. Darüber hinaus sind aber auch die Gradregularität, die Chordalität und die Frage ob ein Graph ein Interval-Graph ist, vererbbare Grapheigenschaften. 4

5 3 Besonderheiten bei Graphen von beschränktem Grad Die bis hier hin verwendete Definition des Begriffes ɛ-weit passt gut zu dichten Graphen, welche seit einigen Jahren recht gut untersucht sind. Dünn besetzte Graphen in denen von jedem Knoten maximal d Kanten abgehen, sind dagegen nur wenig untersucht. Viele Anwendungen lassen sich als solche Graphen darstellen. Anstatt einer riesigen Matrix, die fast nur Nullen enthält, ist hier Darstellung mittels Adjazenzlisten besser geeignet. Diese Listen geben für jeden Knoten alle direkten Nachbarn an. Ein Tester hat also Zugriff auf eine Funktion f G : [n] [d] [n] {+}, welche mit f G (v, i) den iten Nachbarn des Knoten v zurück gibt und +, falls v weniger als i Nachbarn hat. Definition 3 (ɛ-weit in Graphen von beschränktem Grad). Sei G ein Graph mit beschränktem Grad d. G ist ɛ-weit davon entfernt Π zu erfüllen, wenn mehr als ɛdn Einträge in der zur G gehörigen Funktion f G geändert werden müßte, damit Π zutrifft. 3.1 Beispiel Zusammenhängend Zunächst wollen wir als Beispiel einen Test finden, der überprüft ob ein gradbeschränkter Graph zusammenhängend ist. Die Idee dahinter ist recht einfach. Wenn der Graph weit davon entfernt ist zusammenhängend zu sein, dann muss es auch viele kleine Komponenten geben. Dies ergibt damit folgenden Algorithmus, der von einer kleinen Menge S ausgehend die jeweilige Umgebung überprüft, um festzustellen ob ein Knoten s aus S Teil einer kleinen in sich abgeschlossen Komponente von G liegt. Hier nur eine kurze Skizze des Beweises. Ausführlich findet man ihn in [3, S.308ff]. 1. Wenn G ɛ-weit von Π, dann hat es mehr als ɛ 4dn zusammenhängende Komponenten. 2. Wenn G ɛ-weit von Π, dann hat es mehr als ɛ 8dn kleine Komponenten mit weniger als 8 ɛd Knoten. 3. Algorithmus 2 ist ein gültiger Property-Tester für den Zusammenhang von G. Hier soll es nun darum gehen auch für Graphen mit beschränktem Maximalgrad eine möglichst große Klasse von Grapheigenschaften zu finden, die testbar sind. 5

6 Algorithmus :Property-Tester auf Zusammenhängende Graphen Eingabe : beschränkter Zugriff auf ein Orakel mit Wissen über G Ausgabe : Akzeptanz/Ablehnung von G ist zusammenhängend 1 Frage das Orakel nach k zufällig ausgewählten Knoten S aus V 2 für jeden Knoten s aus S tue 3 solange weniger als 8 dn Knoten besucht wurden tue 4 setzte mit Hilfe weiterer Anfragen an das Orakel eine Breitensuche über die benachbarten Knoten fort 5 wenn die Komponente komplett ist dann 6 wurde kleine Komponente mit 8 dn Knoten gefunden 7 lehne den Graph als nicht zusammenhängend ab 8 9 wenn keine kleinen Komponente gefunden wurde dann akzeptiere den Graphen als wahrscheinlich zusammenhängend Algorithmus 2 : Property-Tester auf Zusammenhang von Graphen mit beschränktem Grad [3] 3.2 Testbare Eigenschaften Artur Czumaj, Asaf Shapira und Christian Sohler haben in [2] folgende recht allgemeine Aussage gezeigt. Satz 2 (Hauptresultat für Graphen mit beschränkten Maximalgrad). Sei F eine vererbbare nicht-expandierende Klasse von Graphen. Jede vererbbare Graph-Eigenschaft Π ist auf F mit einseitigem Fehler testbar.[2] Sie beschränken sich also auf nicht-expandierende Graphen. Als nicht expandierend werden Graphen bezeichnet für die sich ein guter Seperator finden lässt, also eine Teilmenge von Knoten mit verhältnismäßig wenig Nachbarknoten. Definition 4 (nicht-exandierende Graphen). F wird als nicht-expandierend bezeichnet, falls n F, so dass es für alle G F mit n n F Knoten eine Teilmenge S V gibt mit: S n 2 und N (S) 1 log 2 n S Eine ganze Reihe von interessanten Graphenklassen haben gute Seperatoren und sind dadurch nicht-expandierend. Dazu gehören unter anderem planare Graphen [4], Interval Graphen und Graphen mit beschränktem Genus. 6

7 4 Schritte zum Beweis Der Beweis beginnt mit der Angabe des Testers. Entscheidend ist darin die Wahl der beiden Parameter s 1 und s 2, welche sich im Laufe des Beweises ergeben Algorithmus :Property-Tester auf nicht-expandieren Graphen Eingabe : beschränkter Zugriff auf ein Orakel mit Wissen über G Ausgabe : Akzeptanz/Ablehnung von G Π Frage das Orakel nach s 1 zufällig ausgewählten Knoten S aus V für jeden Knoten v aus S tue Bilde U v = D(v, s 2 ) (alle Knoten in maximal s 2 Entfernung von v) Sei U = v S U v wenn G U Π nicht erfüllt dann lehne den Graph als nicht Π erfüllend ab sonst akzeptiere den Graphen als wahrscheinlich Π erfüllend Algorithmus 3 : Property-Tester für Π auf nicht-expandieren Graphen mit beschränktem Grad [3] Lemma 1. Sei δ ein beliebiger positiver Parameter. Jedes G F mit mindestens max{2n F, 2 2/δ2 } Knoten, läßt sich sich in V 1 und V 2 partitionieren, so dass V 1, V 2 n 4 e(v 1, V 2 ) δdn/ log 1.5 n Hier wird direkt benutzt, dass F nicht expandierend ist. Falls für das in der Definition 4 benutzte S gilt, dass S n 4, so kann man direkt V 1 = S und V 2 = V \ S benutzten. Für den Fall das S < n 4 benutzt man die Vererbbarkeit der Eigenschaft und untersucht die Eigenschaft auf dem induzierten Teilgraphen V \ S. Auf Grund der gewählten Voraussetzungen des Lemmas ist auch dieser Teilgraph nicht expandierend und man erhält eine weitere Menge S von Knoten für die gilt, dass N (S ) 2 S log 2 n S. Falls (S S ) 1 4 so erfüllt V 1 = (S S ) und V 2 = V \ (S S ) die Bedingungen. Ansonsten setzt man das Verfahren so lange fort, bis V 1 groß genug ist. Nun entfernen wir aus G gezielt einige Kanten. Dabei nutzt man den Spielraum der durch ɛ gegeben ist. Korollar 2. Für jedes F gibt es eine positive Konstante c F, so dass man jedes G F unter Entfernung von maximal ɛdn/2 Kanten folgendermaßen in zusammenhängende Komponenten C 1, C 2,... aufteilen kann: 1. jedes C i hat maximal 2 c/ɛ2 Knoten 2. jedes C i ist ein induzierter Teilgraph von G 7

8 3. in G gibt es keine Kanten zwischen zusammenhängenden Komponenten C i und C j mit mehr als einem Knoten. Falls G F also ɛ-weit davon entfernt ist Π zu erfüllen, so erhält man mittels Korollar 3.2 einen Teilgraphen H von G in dem jede zusammenhängende Knotenmenge maximal r = 2 c/ɛ2 Knoten hat. Dabei wurden aus G maximal ɛdn/2 Kanten entfernt um H zu erhalten. H muss also auch noch ɛ/2-weit von Π entfernt sein. Für jeden Teilgraph von H gilt, dass dessen zusammenhängenden Teilgraphen maximal r Knoten haben. Sei I r die Klasse aller Graphen dessen zusammenhängende Teilgraphen maximal r Konten haben und c(r) 2 (r 2) die Anzahl der zusammenhängenden Graphen, die maximal r Konten haben. Jeder vererbbare Eigenschaft Π läßt sich durch eine minimale Menge H forb Π von verbotenen induzierten Teilgraphen charakterisieren [1]. Bei manchen Eigenschaften sind diese Klassen H forb Π von verbotenen Teilgraphen direkt offensichtlich. So darf ein bipartiter Graph keine Kreise ungerader Länge enthalten und chordale Graphen sind eben gerade jene Graphen verboten, die keine induzierten Kreise mit mehr als 3 Knoten enthalten. Es genügt also die Teilgraphen auf H forb Π I r zu betrachten. Korollar 3. Aus jedem G F ɛ-weit von Π läßt sich ein H (nach Korollar 2) gewinnen. H enthält als induzierten Teilgraphen einen Graph aus H Π forb I r. Dies gilt auch noch wenn man weitere ɛdn/2 Kanten entfernt. Seien G 1,..., G c(r) alle möglichen zusammenhängenden Graphen, die maximal r Konten haben. I r besteht aus verschiedenen Zusammenstellungen dieser G i und läßt sich über die Häufigkeit des Vorkommens dieser charakterisieren. Definition 5 (charakteristischer Vektor). Jeder Graph G I r ist darstellbar als charakteristischer Vektor f = f 1,..., f c(r). fi gibt an wie oft G i in G vorkommt. Diesen Vektor nutzen wir nun um zu zeigen, dass es im untersuchten Graphen eine große Anzahl von verbotenen Teilgraphen geben muss. Lemma 4. Sei g = g 1,..., g c(r) der charakteristischer Vektor von H. Es gibt einen Graphen H H Π forb I r mit charakteristischem Vektor h = h1,..., h c(r), so dass für 1 i c(r) gilt: h i > 0 = g i γn mit γ = ɛd/2 r2 Der Beweis dieses Lemmas entfernt aus dem mittels Korollar 3 gewonnen H weitere Kanten, so dass im Ergebnis H jeder Teilgraph G i entweder gar nicht oder mindestens γn mal vorkommt. Dabei werden maximal c(r) ( r 2) γn < ɛdn/2 Kanten entfernt. Wenn also G ɛ weit davon entfernt ist Π zu erfüllen, so erfüllt auch H Π nicht. 8

9 Funktion ψ Π Seien {G 1,..., G k } paarweise nicht isomorphe Graphen. Sei m({g 1,..., G k }) die kleinste Zahl für die folgendes gilt: Der Graph der von jedem G i m disjunkte Kopien enthält erfüllt nicht Π. Falls ein solches m nicht existiert, wird m({g 1,..., G k }) = festgelegt. Π r sein die Klasse aller Mengen {G 1,..., G k } mit m({g 1,..., G k }) <. Definition 6. Definiere ψ Π (r) = Falls Π r = setzte ψ Π (r) = 0. max m ({G 1,..., G k }) {G 1,...,G k } Π r Der Finale-Beweis G F ɛ-weit von Π. 1. Bilde zunächst mittels Korollar 2 einen Teilgraph H von G. 2. Mit Lemma 4 finden wir ein H welches nicht Π erfüllt und dessen zusammenhängende Teilgraphen H i r und jedes H i ist mind. γn mal induzierter Teilgraph in H. 3. Da für alle zusammenhängenden Teilgraphen von H selbst gilt H j r, kann jedes maximal 2 r Kopien von den H i enthält. Daraus folgt, dass mindestens γn/2 r der H j eine induzierte Kopie von H i enthalten. Da H Π ist, gilt m({h 1,..., H k }) <. Jeder Graph der aus ψ Π (r) disjunkte Kopien von jedem H i besteht, erfüllt somit auch nicht Π. Sei nun v ein zufällig gezogener Knoten aus G. Mit Wahrscheinlichkeit γ/2 r gehört er zu einem zusammenhängenden H, welches eine Kopie von H i enthält. Wählt man also s 1 = 10 c(r) 2 r ψ Π (r)/γ Knoten, so erhält man dabei mit Wahrscheinlichkeit 2 3 k ψ Π(r) Knoten welche zu solchen Hs gehören, die induzierten H i s enthalten. Die Vereinigung dieser Komponenten kann dann nicht Π erfüllen. Da es in G keine Kanten zwischen Komponenten von H mit mehreren Knoten gibt, ist diese Vereinigung ein induzierter Teilgraph von G. 9

10 5 Ergebnis Falls ψ Π (r) berechenbar ist, läßt sich so gar ein für ganz F einheitlicher Tester finden, in dem man die verwendeten Konstanten wie gefordert festlegt. s 1 = 10 c(r) 2 r ψ Π (r)/γ s 2 = r = 2 c/ɛ2 Ansonsten ist dies zumindest ein allgemeiner Existenzbeweis und den eigentlichen Tester muss man im konkreten Fall selbst finden. Mit Hilfe dieser Erkenntnisse wurde gezeigt, dass es auch für die in der Praxis oft relevanten Graphen mit beschränktem Grad viele wichtige Eigenschaften mittels effizientem Testen überprüft werden können. Literatur [1] N. Alon and A. Shapira. A characterization of the (natural) graph properties testable with one-sided error. In FOCS 05: Proceedings of the 46th Annual IEEE Symposium on Foundations of Computer Science, pages , Washington, DC, USA, IEEE Computer Society. [2] A. Czumaj, A. Shapira, and C. Sohler. Testing hereditary properties of non-expanding bounded-degree graphs [3] O. Goldreich and D. Ron. Property testing in bounded degree graphs. Algorithmica, 32(2): , [4] R. J. Lipton and R. E. Tarjan. A separator theorem for planar graphs. Technical report, Stanford, CA, USA,