Die. Ramsey-Zahlen

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1 Westfälische Willhelms-Universität Münster Fachbereich 10 Mathematik und Informatik Seminar Graphentheorie Sommersemester 2015 Dozent: Dr. Thomas Timmermann Die Ramsey-Zahlen Kirsten Voß Zwei-Fach- Bachelor Mathematik und Anglistik Fachsemester 6 0

2 Inhaltsverzeichnis 1) Einleitung 1 2) Ramsey Zahlen 4 3) Anwendung: Konvexe Polygone 8 4) Quellen- und Abbildungsverzeichnis 10 1

3 1) Einleitung Frank Plumpton Ramsey, geboren 1903 in Cambridge und gestorben 1930 in London war ein englischer Mathematiker, nach dem die Ramsey Theorie und die dazugehörigen Ramsey Zahlen benannt wurden. Er schrieb 1925 eine Ausarbeitung mit dem Thema Foundations of Mathematics, welcher einige weitere Werke folgten. In dieser Ausarbeitung mit dem Thema Ramsey-Zahlen beziehe ich mich auf die Werke von Béla Bollobás,John M. Harris, Jeffry L. Hirst, und Michael J. Mossinghoff, Reinhard Diestel und Manfred Dobrowolksi und habe wichtige Sätze und Beweise zusammengefasst. Frank Plumpton Ramsey beschäftigte sich im Wesentlichen mit der Erweiterung des Schubfachprinzips 1. In der Literatur wird das Thema der Ramsey-Zahlen oft mithilfe eines Beispiels eingeleitet. Es geht hier um das sogenannte Partyproblem. 1.1) Das Partyproblem Es soll eine Antwort auf folgende Frage gefunden werden: Auf einer Party kennen sich zwei Besucher oder sie kennen sich nicht. Wie viele Menschen müssen mindestens auf einer Party sein, sodass sich mindestens 3 Besucher kennen oder sich mindestens 3 Besucher nicht kennen? Um sich einer Antwort zu nähern kann man nun annehmen, dass drei Besucher auf der Party sind. Dazu identifiziert man die drei Besucher mit den drei Knoten des K 3. Analog geht man für vier Besucher vor. Um nun zu zeigen, dass drei bzw. vier Besucher nicht ausreichen, färbt man die Kanten des K 3 bzw. K 4 in den Farben blau und rot. Rot soll dabei für eine Bekanntschaft der beiden verbundenen Personen und Blau für eine Nicht- Bekanntschaft der beiden verbundenen Personen stehen. Ein einfarbiges Dreieck in einem Graphen würde nun also für Bekanntschaft bzw. Nicht- Bekanntschaft stehen. 1 Geht auf das Prinzip zurück, bei dem n>m Elemente auf m Schubfächre verteilt werden. In einem Schubfach sind dann mindestens zwei Elemente. 2

4 Wir versuchen also ein solches einfarbiges Dreieck zu vermeiden um sicherzugehen, dass weder eine Bekanntschaft, noch eine Nicht-Bekanntschaft zwischen drei Personen möglich ist. Im Graphen K 3 (ein Dreieck) ist es möglich, die Kanten so zu färben, dass kein einfarbiges Dreieck entsteht. Ebenso im Graphen K 4. Auch für den Graphen K 5, der also 5 Besucher auf der Party repräsentiert, ist dies möglich, wie Abbildung 1 zeigt. 1 Abbildung Für sechs Personen auf der Party kann man analog vorgehen. Wir versuchen ein einfarbiges Dreieck zu vermeiden und färben die Kanten des dazugehörigen Graphen K 6. Dazu färben wir drei Kanten, weil wir wissen, dass andernfalls ein blaues Dreieck entstehen würde. (Schubfachprinzip). Allerdings entsteht dennoch ein einfarbiges Dreieck, wie Abbildung 2 zeigt. 2 Abbildung Wir haben also gezeigt, dass mindestens sechs Personen auf der Party sein müssen, damit mindestens drei Personen sich kennen bzw. nicht kennen. 3

5 Hinsichtlich der Theorie von Ramsey würde man die Fragestellung wie folgt formulieren: Bestimme eine Zahl n, sodass der vollständige Graph K n bei jeder Blau-Rot-Färbung einen Graphen K 3, der nur aus blauen Kanten besteht, oder einen K 3, der nur aus roten Kanten besteht, enthält. 2) Die Ramsey-Zahlen 2.1 Definition: Seien s und t positive ganze Zahlen. R(s,t) ist dann die kleinste ganze Zahl n sodass jede Färbung der Kanten mit zwei Farben von K n entweder einen roten Graphen K s oder einen blauen Graphen K t als Teilgraphen enthält Allgemein kann man für Ramsey- Zahlen bermerken, dass gilt R(s,t)= R(t,s). Falls in diesem Fall s=t gilt, wird die Ramsey-Zahl R(s,s)= R(s) diagonal genannt. Definiert man in diesem Fall die Ramsey-Zahl, so folgt folgende Bemerkung. 2.2 Bemerkung: Die diagonale Ramsey Zahl R(s) ist die kleinste ganze Zahle n, sodass jeder Graph der Ordnung mindestens n entweder K s oder K s als induzierten Teilgraphen besitzt. Am Beispiel R(1,3) wird die Definition einer Ramsey- Zahl verdeutlicht und nachvollzogen. 2.3 Beispiel: Berechnung von R(1,3) Um bei einer Färbung mit zwei Farben des K n einen roten K 1 bzw. einen blauen K 3 zu erhalten, benötigt man nur einen Knoten, also einen K 1. Also ist die kleinstmögliche Zahl n= Bemerkung: Allgemein gilt R(1,t)=1 4

6 Beweis: Ein Teilgraph, der nur einen Knoten hat, ist automatisch einfarbig. Soll nun davon ausgehend, ein einfarbiger K 2 gefunden werden, so lässt sich durch eine Unterscheidung von zwei Aspekten, analog zum Partyproblem, die Ramsey Zahl berechnen. 2.4 Bemerkung: Es gilt R(2,t)=t Beweis: Wir wollen zeigen, dass t die kleinste Zahl ist, sodass jede Färbung mit zwei Farben eines K t entweder einen roten K 2 oder einen blauen K t enthält. Dazu zeigen wir folgende zwei Punkte: 1. Es gibt eine Färbung, sodass K t-1 weder einen roten K 2 noch blauen K t enthält. 2. Jede Färbung der Kanten von K t enthält entweder einen K 2 oder K t als Teilgraphen. Zu 1. Ein Graph mit t-1 Knoten enthält keinen roten K 2, wenn alle Kanten blau sind; außerdem trivialerweise keinen blauen K t. Zu 2. Wir nehmen eine beliebige Färbung an. Wenn eine Kante rot ist, erhalten wir einen roten K 2. Andernfalls einen blauen K t Wie bereits im Partyproblem berechnet, folgt dass die kleinste Zahl, sodass ein einfarbiger K 3 entsteht, sechs beträgt. 2.5 Bemerkung: Es gilt R(3,3)=6 Beweis: Dies haben wir durch das anfängliche Partyproblem gezeigt. Die anderen Fälle, für unterschiedliche Färbungen der Kanten, gelten analog. 5

7 2.6 Definition: Ein Graph wird trivial genannt, wenn er entweder vollständig oder leer ist. Um die Existenz der Ramsey-Zahlen zu beweisen, wurde von Frank Plumpton Ramsey im Jahr 1930 folgender Beweis geliefert, welcher sich auf diagonale Ramsey- Zahlen bezieht. 2.7 Theorem: Ramsey (1930) Für jedes s Є N existiert ein n Є N, sodass jeder Graph von mindestens Ordnung n, entweder K s oder K s als induzierten Teilgraphen besitzt. Beweis 2 : Die Behauptung ist trivial für s 1. Sei s 2 und n:= 2s-3 und G ein Graph von mindestens Ordnung n. Wir definieren uns eine Folge von Mengen V 1,,V 2s-2. Und wählen Knoten v i Є V i mit folgenden Eigenschaften: i) lv i l = 2 2s-2-i ii) V i V i-1 \ {v i-1 } iii) V i-1 ist benachbart zu allen Knoten in V i oder zu keinem Knoten in V i (i=2,,2r-2) Es sei V 1 Є V(G) eine Menge von 2 2s-3 Knoten und wähle v 1 Є V 1 beliebig. Dann gelten im Fall i=1 die Aussagen i) und ii) trivialerweise. Wir nehmen an, dass V i-1 und v i-1 Є V i-1 so gewählt wurden, dass i)-iii) für i-1, wenn 1<i 2r-2, gelten. Da l V i-1 /{v i-1 } l = 2 2s-1-i -1 ungerade ist, hat V i-1 eine Teilmenge V i, die i)-iii) erfüllt. Wähle v i Є V i beliebig. Unter den 2s-3 Knoten v 1,,v 2s-3 gibt es s-1 Knoten für die dasselbe gilt, wie für v i-1 in iii) nämlich benachbart zu allen Knoten in V i zu sein oder zu keinem. Diese s-1 Knoten und v 2r-2 induzieren entweder einen K s oder K s in G, weil v i,,v sr-2 Є V i für alle i gilt. 2 Hinweis: Im Vortrag wurde der Satz für 2s-1 Knoten bewiesen. 6

8 Das folgende Theorem wurde einige Jahre später als Alternative für den obigen Beweis geführt. Dieser Satz gibt ebenfalls eine untere Abschätzung für Ramsey Zahlen an, die mithilfe der Propabilistischen Methode verfeinert werden kann. Außerdem folgt, dass die Ramsey- Zahl R(s,t) endlich ist. 2.8 Theorem: R(s,t) ist endlich für alle s,t 2. Wenn s<2 und t<2 ist, dann gilt: i) R(s,t) R(s-1,t)+ R(s,t-1) Ii) R(s,t) ( s+t 2 s 1 ) Beweis: Aus dem Beweis von i) und ii) folgt, dass R(s,t) endlich ist. i) Wir nehmen an, dass R(s-1,t) und R(s,t-1) endlich sind. Sei n= R(s-1,t)+ R(s,t-1) und seien die Kanten des K n rot und blau gefärbt. Wir müssen nun also zeigen, dass in diesem Graphen ein roter K s oder ein blauer K t vorhanden ist. Sei x ein Knoten in K n. Da d(x):= n-1= R(s-1,t)+R(s,t-1) gibt es also Mindestens n 1 = R(s-1,t) rote Kanten, die inzident zu x sind, Mindestens n 2 = R(s,t-1) blaue Kanten, die inzident zu x sind. Wegen Symmetrie können wir o.b.d.a den ersten Fall annehmen. Sei K n1 ein Teilgraph von K n, aufgespannt durch n 1 Knoten, welche mit x durch rote Kanten verbunden sind. Falls K n1 einen blauen K t enthält, sind wir fertig. Andernfalls beinhaltet K n1 nach Definition von R(s-1,t) einen roten K s-1, welcher mit x zusammen einen roten K s ergibt. ii) Folgt direkt aus i) und einer Induktion. Man benutzt hier die Rekursionsformel des Binomialkoeffizienten. 7

9 3) Konvexe Polygone Der Anwendungsbereich der konvexen Polygone ist mit der Ramsey Theorie verwandt. Anstatt Kantenfärbungen von vollständigen Graphen werden nun beliebige Mengen von Punkten in der Ebene betrachtet. Diese Punkte sollen unterschiedliche Eigenschaften haben, sodass die folgenden Theoreme von Paul Erdos, George Szekeres und Esther Klein gelten. 3.1 Defintion: Eine Menge S von Punkten in der Ebene ist konvex, falls jedem Paar a, b von Punkten in S eine Verbindungslinie hat, welche ganz in S liegt. 3.2 Definition: Die konvexe Hülle einer endlichen Menge von Punkten S in der Ebene ist definiert als der Schnitt aller konvexen Mengen, die S enthalten. 3.3 Definition: k Punkte befinden sich in allgemeiner Lage, wenn keine drei Punkte auf einer Geraden liegen. Um auf das Theorem hinzuführen, welches die Ramsey Zahlen zum Beweis benötigt, wurden um das Jahr 1930 von Esther Klein, Paul Erdős und George Szekeres Theoreme aufgestellt. Unter anderem das sogenannte Happy Ending Problem 3 führte später zu einer Verallgemeinerung, bei der die Theorie der Ramsey- Zahlen essentiell ist. 3.4 Theorem: (Esther Klein 1930, Happy Ending Problem) Eine beliebige Menge von fünf Punkten in der Ebene, die sich in allgemeiner Lage befinden, enthält eine vierelementige Teilmenge, dessen komplexe Hülle ein Viereck ist. Beweis: Wir nehmen an, dass fünf Punkte in der Ebene liegen, ohne dass drei auf einer Geraden liegen. Wenn ihre konvexe Hülle ein Fünf- oder Viereck ist, folgt die 3 Das Theorem wurde Happy Ending Problem genannt, weil es zu der Hochzeit von George Szekeres und Esther Klein führte. 8

10 Aussage. Wir nehmen also an, dass ein Dreieck entsteht. Seien a und b zwei Punkte der Menge innerhalb des Dreiecks und sei l die Linie, die a und b verbindet. Da die Punkte in allgemeiner Lage sind, liegen zwei der Knoten des Dreieckes auf einer Seite von l. Wir nennen sie c und d. Also ist die konvexe hülle und {a,b,c,d} ein Viereck. 3.5 Theorem: Sei S eine Menge von n Punkten in der Ebene, die sich in allgemeiner Lage befinden mit der Eigenschaft, dass jede vierelementige Teilmenge von S die Knotenmenge eines konvexen Viereckes ist. Dann ist S die Menge an Knoten eines konvexen n-ecks. Beweis: Sei H die konvexe Hülle von S und sei a Є S im Inneren von H. Sei b Є S mit a b. Teile nun H in Dreiecke, indem b zu jedem Knoten zugeordnet wird. Dann liegt a im Inneren einer dieser Dreiecke und benennen die zugehörigen Knoten b,c, und d. Dann ist {a,b,c,d} eine vierelementige Teilmenge von S, dessen konvexe Hülle ein Dreieck ist, was der Annahme widerspricht. Im Jahr 1935 beschäftigten sich Paul Erdős Verallgemeinerung dieser Theoreme. und George Szekeres dann mit einer 3.6 Theorem ( Erdos und Szekeres, 1935): Für jede positive ganze Zahl N, hat jede ausreichend endlich große Menge an Punkten, die sich in allgemeiner Lage befinden, eine N-elementige Teilmenge die die Ecken eines konvexen Polygons in dieser Ebene bilden. In dem Beweis zu diesem Theorem wird eine Verallgemeinerung des Ramsey Theorems genutzt. Hierbei kann nicht nur die Version des Ramsey Theorems der Färbung mit zwei Farben verwendet werden, sondern es wird eine allgemeine Aussage für N- Färbungen benötigt um dieses Theorem ausreichend zu beweisen. Ein Beweis dieser Art kann in "A combinatorial problem in geometry nachgelesen werden 9

11 4) Quellenverzeichnis Béla Bollobás. Graph theory, volume 63 of Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, An introductory course. Erdős, P.; Szekeres, G. (1935), "A combinatorial problem in geometry", Compositio Mathematica 2: John M. Harris, Jeffry L. Hirst, and Michael J. Mossinghoff. Combinatorics and graph theory. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer, New York, second edition, Manfred Dobrowolksi, Mathematische Exkursionen,Oldenbourg Verlag, München, 2010, Gödel, Escher und andere Spiele Reinhard Diestel. Graph theory, volume 173 of Graduate Texts in Mathematics. Springer- Verlag, Berlin, third edition,

12 Abbildungsverzeichnis Abbildung1: K3.svg/210px-RamseyTheory_K5_no_mono_K3.svg.png ( ) Abbildung2: ( ) 11