Färbungen von Graphen: Die chromatische Zahl und der Satz von Brooks

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1 Färbungen on Graphen: Die chromatische Zahl und der Satz on Brooks Florian Seerin Heinrich-Heine-Uniersität Düsseldorf Mathe-Akademie 2018 Definition. Ein (endlicher) Graph besteht aus einer (endlichen) Menge on Ecken (oder Knoten) und einer Menge on Kanten; jede Kante erbindet genau zwei erschiedene Ecken miteinander und zwischen zwei Ecken gibt es höchstens eine Kante. Wir beschäftigen uns im Folgenden nur mit endlichen Graphen. Einige Sprechweisen und weitere Begriffe: Zwei Ecken, die mittels einer Kante direkt miteinander erbunden sind heißen benachbart. Der Graph, der aus den Ecken 1,..., n und Kanten zwischen i und i+1 für i {1,..., n 1}, ist ein Weg zwischen 1 und n. Ein Graph heißt zusammenhängend, wenn je zwei Ecken durch einen Weg erbunden sind. Eine Zusammenhangskomponente in einem Graphen ist ein maximaler zusammenhängender Teilgraph; jeder (endliche) Graph zerfällt in (endlich iele) Zusammenhangskomponenten. Beispiele. Es gibt sehr iele sinnolle Beispiele und Anwendungen on Graphen. Etwa die Folgenden: Wir können etwa das Haus des Nikolaus als Graphen darstellen (und das ist nützlich bei der Frage, ob und wie es sich ohne Abzusetzen in einem Zug zeichnen lässt); siehe auch Abbildung 1. Ein Netzwerk miteinander erbundener Computer lässt sich als Graph darstellen. Wenn Distanzen egal sind und uns nur die möglichen Wege interessieren ist es sinnoll, Karten oder Zugerkehrsnetze als Graphen darzustellen. 1

2 (a) In der klassischen Variante... (b)... und mit zusätzlicher Ecke Abbildung 1: Das Haus des Nikolaus als Graph. Definition. Sei G ein Graph. Für eine Ecke on G ist der Grad on, bezeichnet mit d G (), die Anzahl der Nachbarn on in G. Der maximale Ecken-Grad on G wird mit bezeichnet. (G) = max {d G (w) w ist Ecke on G} Eine (gültige) Ecken-Färbung on G ist eine Färbung der Ecken on G, sodass keine benachbarten Ecken gleich gefärbt sind. Die chromatische Zahl on G ist die kleinstmögliche Zahl an Farben, die wir für eine gültige Ecken-Färbung benötigen. Sie wird mit χ(g) bezeichnet. Beispiel. siehe Abbildung 2. (a) Färbung der klassischen Variante (b) Keine Färbung im Sinne der Definition (c) Färbung der zweiten Variante Abbildung 2: Das Haus des Nikolaus als gefärbter Graph. Beispiel. Die Erstellung eines Stundenplans mit Einschränkungen (Mathe und Physik können nicht gleichzeitig stattfinden, weil die selbe Lehrerin diese Fächer unterrichtet; Biologie und Chemie nicht, weil sie im selben Raum stattfinden; Deutsch und Mathe nicht, weil beides Pflichtfächer sind... ) kann als Färbungsproblem modelliert werden (siehe Abbildung 3). 2

3 M P M P D C B B D C B S (a) Fächer die im Graphen benachbart sind können nicht zeitgleich stattfinden. (b) Eine mögliche Lösung: Gleichfarbige Fächer finden gleichzeitig statt. Abbildung 3: Bedingungen an einen Stundenplan in einem Graphen dargestellt Beispiel. siehe Abbildung 4. (a) Die chromatische Zahl dieses Graphen ist 4. (b) Die chromatische Zahl dieses Graphen ist 3. Abbildung 4: Chromatische Zahlen für die beiden Darstellungen des Haus des Nikolaus. Behauptung. Für jeden Graphen G ist χ(g) (G) + 1. Beweis. Wir färben G so: 1. Starte an einer beliebigen Ecke und färbe diese beliebig. 2. Betrachte eine beliebige noch nicht gefärbte Ecke u. Da u höchstens (G) iele Nachbarn hat, gibt es mindestens eine der (G)+1 ielen zur Verfügung stehenden Farben, die unter den Nachbarn on u nicht auftaucht. Färbe u mit einer solchen Farbe. 3. Wiederhole Schritt 2 mit einer neuen ungefärbten Ecke u, bis alle Ecken on G gefärbt sind. Für einen ollständigen Graphen K, d.h. einen Graphen in dem jede Ecke mit jeder anderen benachbart ist, brauchen wir auch immer genau (K) + 1 iele Farben. Für einen Kreis C ungerader Länge, d.h. einen geschlossenen Weg mit einer ungeraden Anzahl an Ecken, brauchen wir ebenfalls immer genau (C) + 1 = 3 Farben. 3

4 (a) Eine 5-Färbung des ollständigen Graphen mit 5 Ecken. (b) Eine 3-Färbung des Kreises der Länge 9. Ansonsten kommen wir auch mit einer Farbe weniger aus, das ist der Satz on Brooks: 1 Satz (on Brooks). Sei G ein zusammenhängender Graph mit (G) 3. Dann ist G entweder ollständig oder χ(g) (G). (Der Fall (G) 2 bleibt dem Leser als Übung überlassen. Beachte, dass G dann bereits ein Kreis oder ein Weg sein muss.) Wir beweisen nun den Satz on Brooks, indem wir einen Algorithmus angeben, der G mit (G) ielen Farben färbt. Algorithmus. Suche eine beliebige Ecke on G aus. Betrachte G \ {}, d.h. entferne. Wir wollen zunächst jede Zusammenhangskomponente H on G \ {} mit höchstens (G) ielen Farben färben: Wenn (H) 2, dann ist H jedenfalls 3-färbbar. Wenn H ollständig ist, dann ist H jedenfalls (H) + 1-färbbar und die Ecke on H die zu benachbart ist hat Grad (H) + 1 in G, also (G) (H) + 1. Andernfalls, d.h. wenn (H) 3 und H nicht ollständig ist, dann können wir auf H denselben Algorithmus anwenden; weil H weniger Ecken als G hat endet diese Rekursion irgendwann. In jedem Fall ist H also (G)-färbbar. Wir müssen jetzt nur noch färben das ist der schwierige Teil. Wir unterscheiden mehrere Fälle. Dabei färben wir die schon gefärbten Ecken zum Teil um, damit wir in einem der schon behandelten Fälle landen. 1. Fall: Die Nachbarn on sind mit weniger als (G) ielen Farben gefärbt. Da wir (G) iele Farben zur Verfügung haben, können wir dann mit einer Farbe färben, die nicht unter seinen Nachbarn auftaucht und sind fertig. 1 Ein einfacher Spezialfall: Für einen Kreis C gerader Länge genügen offenbar (C) = 2 Farben. 4

5 Wir können also im Folgenden daon ausgehen, dass genau (G) iele Nachbarn mit paarweise erschiedenen Farben hat, d.h. wir können annehmen, dass wir nicht im 1. Fall sind. 2. Fall: Es gibt zwei Nachbarn on, die nicht mit einem zweifarbigen Weg erbunden sind. (a) Vor dem Umfärben (b) Nach dem Umfärben Abbildung 6: Durch Umfärben können wir den 2. Fall auf den 1. Fall zurückführen. Wir können annehmen, die beiden Nachbarn sind rot und grün. Sei r der rote Nachbar on. Dann betrachte alle Ecken die mit r durch einen rotgrünen Weg erbunden sind. (Insbesondere ist jede dieser Ecken selbst entweder rot oder grün.) Wenn wir bei allen diesen Ecken die Farben rot und grün tauschen, behalten wir eine gültige Färbung. In dieser haben jetzt zwei Nachbarn on dieselbe Farbe (nämlich grün), also landen wir im 1. Fall und sind damit fertig. Wir können also annehmen, dass wir auch nicht im 2. Fall sind. 3. Fall: Es gibt mindestens eine Ecke, die an einen der zweifarbigen Wege angrenzt und auch mit einer der zwei Farben gefärbt ist (aber nicht selbst auf dem Weg liegt). (a) Vor dem Umfärben (b) Nach dem Umfärben Abbildung 7: Durch Umfärben können wir den 3. Fall auf den 2. Fall zurückführen. Wir nehmen wieder an, der Weg sei rot-grün und r, g seien der rote bzw. grüne Nachbar on. Sei u die erste Ecke auf dem Weg on r nach g, die 5

6 einen roten oder grünen Nachbarn außerhalb des Weges hat. Wenn u = r oder u = g ist, hat u höchstens (G) 1 iele Nachbarn in G\{}, on denen zwei gleich gefärbt sind. Ansonsten hat u drei gleich gefärbte Nachbarn den außerhalb des Weges und den Vorgänger und Nachfolger auf dem Weg. In jedem Fall gibt es eine Farbe, etwa blau, die unter u und seinen Nachbarn nicht auftaucht. Wir können u dann also blau färben und behalten eine gültige Färbung. Nach Wahl on u (die erste Ecke auf dem rot-grünen Weg on r nach g, die einen roten oder grünen Nachbarn hat) gibt es nach der Umfärbung keinen rot-grünen Weg mehr on r nach g, wir landen also im 2. Fall und sind damit fertig. Wir können also annehmen, dass wir auch nicht im 3. Fall sind. 4. Fall: Es gibt zwei erschiedene zweifarbige Wege zwischen Nachbarn on, die eine Ecke u gemeinsam haben, welche nicht mit benachbart ist. (a) Vor dem Umfärben (b) Nach dem Umfärben Abbildung 8: Durch Umfärben können wir den 4. Fall auf den 2. Fall zurückführen. Etwa haben der rot-grüne Weg zwischen r und g und der grün-blaue Weg zwischen g und b die Ecke u gemeinsam. Diese muss dann grün sein. Nun hat u je zwei rote und zwei blaue Nachbarn, nämlich die Vorgänger bzw. Nachfolger auf den beiden Wegen auf denen es liegt. Insgesamt tauchen daher wieder höchstens (G) 1 Farben unter u und seinen Nachbarn auf, das heißt wir können u umfärben. Weil wir nicht im 3. Fall sind gab es (or der Umfärbung) insbesondere nur genau einen rot-grünen Weg zwischen r und g. Da u darauf liegt, gibt es nach der Umfärbung keinen solchen Weg mehr, d.h. wir landen im 2. Fall und werden fertig. Wir können also annehmen, dass wir auch nicht im 4. Fall sind. 5. Fall: Jeder Nachbar on ist mit jedem anderen Nachbarn on benachbart. Sei K der Teilgraph on G, der aus und seinen Nachbarn besteht. Dann ist K ein ollständiger Graph und jede Ecke on K hat schon in K genau (G) 6

7 Abbildung 9: Wenn alle Nachbarn on paarweise miteinander benachbart sind, dann bilden und seine Nachbarn einen ollständigen Graphen. iele Nachbarn. Also kann es keine weiteren Ecken in G geben, d.h. G = K ist ollständig und wir sind fertig (siehe auch Abbildung 9). Wir können also annehmen, dass wir auch nicht im 5. Fall sind. 6. Fall: Die Fälle 1 bis 5 treten alle nicht ein. Da wir nicht im 5. Fall sind, können wir annehmen, dass etwa der rote Nachbar r und der grüne Nachbar g on nicht benachbart sind. Sei u die erste Ecke auf dem rot-grünen Weg on r nach g. Insbesondere ist u grün. Sei b der blaue Nachbar on. Jetzt wird es etwas unübersichtlicher: Tausche die Farben rot und blau auf dem rot-blauen Weg zwischen r und b. Jetzt gehen wir mit dem neuen teilgefärbten Graphen die Fälle 1 bis 5 durch: Falls einer daon eintritt, dann sind wir fertig (ggf. nach mehrmaligem erneutem Umfärben... ). Wir zeigen, dass das der Fall ist. Der 1. Fall tritt nicht ein, da unter den Nachbarn on bloß zwei die Farbe getauscht haben. Auch der 5. Fall kann nicht eintreten, denn er ist offenbar gänzlich unabhängig daon, wie die Ecken gefärbt sind. (a) Vor dem Umfärben (b) Nach dem Umfärben Abbildung 10: Durch Umfärben landen wir hier im 2. Fall: Der rote und der grüne Nachbar on sind nach dem Umfärben nicht mehr durch einen rotgrünen Weg erbunden. Wir zeigen, dass der 2., 3. oder 4. Fall eintreten muss. 2 Angenommen, die 2 Tatsächlich kann man mit einer noch etwas detailierteren Analyse zeigen, dass die Fälle 3 und 4 gar nicht eintreten können, wenn sie or der Umfärbung nicht zutrafen, so dass wir in Wirklichkeit nach dem Umfärben immer im 2. Fall landen. 7

8 blaue Ecke r und die grüne Ecke g im neugefärbten Graphen sind durch einen grün-blauen Weg miteinander erbunden (wenn nicht, dann sind wir im 2. Fall und damit fertig). Dann muss die erste (grüne) Ecke auf dem grün-blauen Weg rg neu on r nach g auf dem alten rot-grünen Weg rg alt on r nach g liegen, da wir or dem Umfärben nicht im 3. Fall waren. Diese Ecke ist also gerade die grüne Ecke u. Auf dem (alten) rot-grünen Weg ug rot zwischen u und g wurde keine Ecke umgefärbt; sonst wäre die umgefärbte Ecke eine gemeinsame Ecke on ug rot und rb alt das geht aber nicht, da wir or dem Umfärben nicht im 4. Fall waren. Genauso ist der neue blau-grüne Weg zwischen u und g nicht umgefärbt worden (er war also zuor bereits blau-grün). Falls im neuen Graphen kein rot-grüner Weg bg neu zwischen b und g existiert sind wir im 2. Fall und damit fertig. Falls doch und falls wir zusätzlich nicht im 3. Fall sind, so ist der gesamte Weg ug rot Teil des Weges bg neu. Damit liegt insbesondere u auf diesem Weg, das heißt u ist sowohl eine Ecke auf dem Weg rg neu als auch auf dem Weg bg neu somit landen wir im 4. Fall. Beispiel. Wir wenden den Algorithmus auf folgenden Graphen an: (a) Der Graph or Beginn des Algorithmus. (b) Entferne. Färbe den Rest rekursi. (c) 6. Fall: Tausche Farben auf rot-blauem Weg. (d) 2. Fall: Tausche Farben auf rot-grünem Weg. (e) 1. Fall: Färbe mit der erbleibenden Farbe rot. (f) Eine mögliche 3-Färbung des Graphen. Abbildung 11: Beispielanwendung des Algorithmus. (Ohne die rekursien Zwischenschritte on (b) zu (c); der Graph ohne ist ohnehin sehr leicht zu färben.) 8