1 Beispiele für Graphen

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1 Beispiele für Graphen 1 Beispiele für Graphen 1. Kreuzungsproblem : 3 Häuser sollen mit einem Wasser-, Gas- und Elektroanschluß verbunden werden, wobei keine Kreuzung entstehen darf. Abbildung 1: Kreuzungsproblem 2. Schachaufgabe mit einem Pferd : Das Pferd soll alle 64 Schachfelder einmal besuchen und zum Start zurückkehren. Diese Aufgabe ist ein sogenanntes Rundreiseproblem. Der spezielle Fall ist lösbar. 3. Königsberger Brückenproblem 1 : Auf einem Rundweg soll jede Brücke genau einmal überquert werden. Dieser Fall ist nicht lösbar. Abbildung 2: Königsberger Brückenproblem formulierte Euler das Problem nach einem Spaziergang in Königsberg. 3

2 Beispiele für Graphen 4. Das Haus des Nikolaus : Das Haus soll in einem Zug gezeichnet werden, ohne dass eine Kante doppelt gezeichnet wird. Abbildung 3: Das Haus des Nikolaus 5. Kannibalen und Missionare : Zwei Missionare und 2 Kannibalen sollen über den Fluß gebracht werden. Ein Missionar ( M1 ) und ein Kannibale (K1)können rudern. Es gibt ein Boot, welches 2 Mann tragen kann. Sobald die Kannibalen in der Überzahl sind, fressen sie den Missionar. Wie gelangen alle über den Fluß bringen, ohne daß einer gefressen wird? In der Abbildung sind die Situationen am Ausgangsufer dargestellt. Abbildung 4: Kannibalen und Missionare 4

3 Beispiele für Graphen 6. Umfüllaufgabe : Es gibt drei Gefäße ohne Maßeinteilung : das erste mit 8l, das zweite mit 5l und das letzte mit 3l Fassungsvermögen. Am Anfang ist das 8l-Gefäß vollständig gefüllt. Ziel ist es, 2 mal 4 Liter in zwei Gefäßen zu erhalten. Abbildung 5: Umfüllaufgabe Startknoten ist der Knoten (8,0,0). Der Zielknoten ist der Knoten (4,4,0). 7. Labyrinth-Probleme : Abbildung 6: Wegfindung in einem Labyrinth 5

4 2 Definition : Ein Graph G besteht aus einer Menge X von Knoten ( Punkte, Graph Ecken ) und aus einer Menge K von Kanten ( Bögen ), d.h. G =(X, K). Generell werden endliche Graphen betrachtet, wobei X = n und K = m. 2.1 Gerichtete Graphen Es gibt 2 Projektionsfunktionen: p 1 : K X p 2 : K X wobei p 1 (k) Anfangsknoten der Kante k und p 2 (k) Endknoten der Kante k ist. Häufig : p(k) :={p 1 (k),p 2 (k)} (MengederKnotenderKantek ) Beispiel : Dabei ist z.b.: p 1 (k 1 )=x 3, p 2 (k 1 )=x 1, p(k 1 )={x 3,x 1 } 6

5 Definitionen : ein Knoten x und eine Kante k heißen inzident, falls x p(k) zwei Kanten k 1 und k 2 heißen adjazent, falls p(k 1 ) p(k 2 ) zwei Knoten x 1 und x 2 heißen adjazent, falls k, p(k) ={x 1,x 2 } neben Schlingen können auch parallele Kanten auftreten inzident adjazent adjazent Schlingen parallele Kanten x (a) Schlinge (b) Parallele Kanten häufig sind die betrachteten Graphen schlicht, d.h. sie besitzen keine Schlingen und keine parallelen Kanten schlicht Weiter Charakterisierung durch den sogenannten Grad: 1. äußerer Grad (positiv) d + (x) : Anzahl der Kanten k mit x = p 1 (k) äußerer Grad 2. innerer Grad (negativ) d (x) : Anzahl der Kanten k mit x = p 2 (k) innerer Grad 3. Grad d(x) =d + (x)+d (x) : Anzahl der mit x inzidenten Kanten Grad ein Punkt x mit d(x) =0heißtisolierter Knoten isolierter Knoten ein Graph heißt vollständig, wenn jedes Paar verschiedener Knoten vollständiger Graph durch eine Kante verbunden ist 7

6 Aussagen : 1. x X d+ (x) = x X d (x) = K 2. x X d(x) =2 K 3. Die Anzahl der Knoten mit einem ungeradem Grad ist gerade. Beweis zu Aussage 3 : 1) X u X, X u Menge der Knoten mit ungeraden Grad 2) 2 K = d(x)+ d(x) d(x) istgerade }{{} gerade x X u x X\X u x X u }{{} gerade 3) Für x X u : d(x) =2l x + 1 = ungerade 4) d(x) = (2l x +1) =2 l x + X u }{{} x X } u x X {{}} u x X {{}}{{ u } gerade! gerade gerade gerade Nachbarschaftsbeziehungen Passend zu den Grad-Definitionen sind die Nachbarschaftsbeziehungen eines Knoten x: die Menge der Nachfolger von x :Γ + (x) ={y X k K : p 1 (k) = x, p 2 (k) =y} die Menge der Vorgänger von x :Γ (x) ={y X k K : p 1 (k) = y, p 2 (k) =x} die Menge der Nachbarn von x :Γ(x) =Γ + (x) Γ (x) 8

7 2.2 Ungerichtete Graphen Beispiel : Dabei ist z.b.: p(5) = {2, 4} Eigenschaften : Beschreibung durch die Projektionsfunktion p(k) ={Knoten von k} Inzidenz, Adjazenz, Schlingen, Parallelkanten wie bisher Halbgrade, Vorgänger und Nachfolger entfallen jetzt Grad, Nachbarn wie bisher Definition : Ein Graph G heißt regulär vom Grade r, wenn regulärer Graph d(x) =r x X. Beispiel fürr=2:dreieck;r=3:pyramide,würfel; r = 4 : Oktaeder. (a) Dreieck (b) Pyramide (c) Oktaeder 9

8 2.3 Teilgraphen, Kantenzüge, Wege und Kreise Die Beschreibung der Kanten durch die beiden Knoten bringt die Möglichkeit K X X, d.h.k =(x 1,x 2 )isteingeordnetes Paar mit Anfangsknoten x 1 und Endknoten x 2. Für ungerichtete Graphen ist K X & X, d.h.k = {x 1,x 2 } wird als ungeordnetes Paar aufgefasst. Teilgraphen : Definition : Ein Graph G =(X,K )heißtteilgraph von G =(X, K), Teilgraph wenn X X und K K ist. Symbol : G G. Spezialfälle : 1. Gegeben ist Y X. EsistX = Y, K = {k K p(k) Y } ist die neue Kantenmenge. Der Teilgraph G Y := (X,K )heißtderdurch Y erzeugte (Knoten-)Teilgraph von G. 2. Gegeben ist H K. EsistK = H, X = p(k) ist die neue Knotenmenge. Der Teilgraph G H := (X,K )heißtderdurch H erzeugte k K (Kanten-)Teilgraph von G. Kantenzüge, Wege und Kreise : Sei G =(X, K) ein (un-)gerichteter Graph, H K X X X&X mit H = {k 1 = (x 0,x 1 ) {x 0,x 1 },k 2 = (x 1,x 2 ) {x 1,x 2 },...,k r = (x r 1,x r ) {x l 1,x l } } Diese Folge von aufeinanderfolgenden Kanten heißt Kantenzug der Länge r von x 0 nach x r,deroffen ist, fall x 0 x r ist, oder geschlossen ist, wenn x 0 = x r ist. Der Kantenzug H kann auch durch seine Spur s(h) =(x 0,x 1,x 2,...,x r ) charakterisiert werden. Kantenzug 10

9 Sonderfall 1 : Enthält ein Kantenzug H alle Kanten von G genau einmal, soheißtheulerscher Kantenzug. Gibt es in G sogar einen geschlossenen Eulerschen Kantenzug, dann ist G ein Eulerscher Graph. Sonderfall 2 : Sind in einem Kantenzug alle x i mit i =0, 1, 2,...,r verschieden, so heißt H auch Weg in G von x 0 nach x r der Länge r. Gilt zusätzlich x 0 = x r,soheißthauchkreis in G der Länge r. Eulerscher Kantenzug Eulerscher Graph Weg Kreis Sonderfall 2.1 : Enthält ein Weg ( Kreis ) H alle Knoten von G, so heißt Hamiltonscher Weg HauchHamiltonscher Weg ( Kreis ). Ein Graph, der einen Hamiltonschen Kreis enthält, heißt auch Hamiltonscher Graph. Hamiltonscher Graph Eigenschaften : 1. Schlingen sind Kreise der Länge 1. In schlichten Graphen haben Kreise die Länge r 3 bei ungerichteten Graphen bzw. r 2 bei gerichteten Graphen. 2. Jeder offene Kantenzug von x 0 nach x r enthält einen Weg von x 0 nach x r. Jeder geschlossene Kantenzug enthält einen Kreis. 3. Gerichtete Graphen mit d + (x) > 0 x X bzw. d (x) > 0 x X besitzen stets einen Kreis. 4. Sei ein Kreis H mit s(h) =(x 0,x 1,x 2,...,x r ) in einem Graphen G gegeben, dann existiert ebenfalls ein Kreis H mit wobei 1 i r 1. s(h )=(x i,x i+1,...,x r,x 1,x 2,...,x i ), 11

10 2.4 Zusammenhänge in Graphen, Baum, Distanz 1. Ein ungerichteter Graph kann stets in einen gerichteten Graphen umgewandelt werden, indem jede ungerichtete Kante durch zwei entgegengesetzt gerichtete Kanten ersetzt werden. 2. Ein gerichteter Graph enthält einen ungerichteten Graphen dadurch, daß die Richtungen der Kanten weggelassen werden. 3. Ein ungerichteter Graph heißt zusammenhängend, wenn jedes Paar zusammenhängend verschiedener Knoten durch mindestens einen Weg verbunden werden können. Ein gerichteter Graph heißt stark zusammenhängend, wenn jedes Paar stark zusammenhängend verschiedener Knoten durch mindestens einen Weg verbunden werden können. Ein gerichteter Graph heißt schwach zusammenhängend, wenn schwach zusammenhängend der zugehörige ungerichtete Graph zusammenhängend ist. 4. Die starken bzw. schwachen Zusammenhangskomponenten eines Gra- Zusammenhangskomponenten phen sind die maximalen stark bzw. schwach zusammenhängenden Teilgraphen. Beispiel : Abbildung 7: Zusammenhangskomponenten Der Graph ist an sich schwach zusammenhängend, besitzt aber 3 starke Zusammenhangskomponenten ( die in sich stark zusammenhängend sind ). 12

11 Definition : Ein zusammenhängender ungerichteter Graph, der kreisfrei ist, heißt Baum. Baum Beispiel : Abbildung 8: Baum Definition : DieDistanz D(x, y) zwischen zwei verschiedenen Knoten eines Distanz Graphen ist die Länge eines kürzesten Weges von x nach y, falls ein solcher existiert, sonst D(x, y) :=. Außerdem ist D(x, x) := 0. Es gilt D(x, y) <, wennx und y zur gleichen Zusammenhangskomponente ( bei gerichteten Graphen : zur gleichen starken Zusammenhangskomponente ) gehören. 13

12 2.5 Der Satz von Euler Satz : Ein gerichteter, schwach zusammenhängender Graph G =(X, K) ist genau dann ein Eulerscher Graph, wenn Satz von Euler d + (x) =d (x) x X. Bemerkung : Bei ungerichteten Graphen muß d(x) geradefür alle x X sein. Diese Eigenschaft ist beim Königsberger Brückenproblem verletzt. Beweis ( für gerichtete Graphen ) : 1. Es gibt einen geschlossenen Eulerschen Kantenzug G EK in G. DaG schwach zusammenhängend ist, muß G EK alle Knoten von X enthalten. 2. Durchläuft man G EK, so liefert jeder Durchgang durch einen Knoten x X +1 für d + (x) und +1 für d (x). Am Ende, wenn alle Kanten durchlaufen sind, muß d + (x) =d (x) x X sein. ( Induktionsbeweis über m = K ) Induktionsanfang und Induktionsvoraussetzung: 1. m = 1 : Schlinge 2. m>1 : Jeder schwach zusammenhängende Graph G mit K <m und d + (x) =d (x) x X besitze einen geschlossenen Eulerschen Kantenzug. Induktionsbehauptung : Sei nun G ein schwach zusammenhängender Graph mit K = m und d + (x) = d (x) x X. Induktionsbeweis : Es gilt : d + (x) > 0 x X. Dann besitzt G einen Kreis H = {k 1,k 2,...,k l }. 14

13 1. Fall : H = K. DannistG ein Eulerscher Graph. 2. Fall : H K.DannseiK = K \H und G =(X,K ) der durch K erzeugte Graph. In G gilt : d + (x) =d (x) x X. Mit Herausnahme von H wurde d + (x) und d (x) eventuell um 1 gleichzeitig reduziert. Seien Z 1,Z 2,...,Z p die schwachen Zusammenhangskomponenten von G. p =1:G ist schwach zusammenhängend. Nach der Induktionsvoraussetzung hat G einen geschlossenen Eulerschen Kantenzug H. Wegen des schwachen Zusammenhanges von G müssen H und H einen gemeinsamen Knoten haben, so daß H und H zu einem geschlossenen Eulerschen Kantenzug vereinigt werden können. p > 1 : Jetzt besitzt jede schwache Zusammenhangskomponente Z i nach der Induktionsvoraussetzung einen geschlossenen Eulerschen Kantenzug H i. Wegen des schwachen Zusammenhanges müssen H und H i mindestens einen gemeinsamen Knoten besitzen. Die H i werden der Reihe nach mit H vereinigt. Im unteren Beispiel erfolgt dies durch den Kantenzug : (x 0,H 1,x 0x 1 x 2,H 2,x 2x 3 x 4 x 5,H 3,x 5,x 6,H 4,x 6x 7 x 0 ). Abbildung 9: Beweis des Satzes von Euler 15