Einführung in die Graphentheorie. Monika König

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Einführung in die Graphentheorie. Monika König"

Transkript

1 Einführung in die Graphentheorie Monika König

2 Vorwort Diese Seminararbeit basiert auf den Unterkapiteln des Buches Algebraic Graph Theory von Chris Godsil und Gordon Royle (siehe [1]). Es werden grundlegende Definitionen eingeführt, Abbildungen zwischen Graphen besprochen und einzelne Familien von Graphen näher vorgestellt. Um keine Verwirrung in den folgenden Seminarvorträgen zu stiften, werden die Definitionen analog zur Hauptquelle eingeführt. Als Übersetzungshilfe wurde eine Mitschrift von einer Vorlesung verwendet, siehe dazu [2]. Erste Definitionen und Begriffe Ein Graph X besteht aus einer Knotenmenge V (X) (vertex set) und einer Kantenmenge E(X) (edge set), wobei eine Kante ein ungeordnetes Paar von zwei verschiedenen Knoten aus V (X) ist. Im Folgenden wird eine Kante zwischen den Knoten x und y als xy bezeichnet, eine andere gängige Schreibweise wäre {x, y}. Wenn xy eine Kante ist, so sagt man, dass die Knoten x und y adjazent oder auch benachbart sind. Man schreibt: x y. Ein Knoten heißt inzident mit einer Kante, wenn diese ihn enthält, den Knoten also berührt. Graphen werden häufig verwendet, um eine binäre Beziehung zwischen Objekten in einem gewissen Bereich zu modellieren. Zum Beispiel könnte die Knotenmenge die Computer in einem Netzwerk repräsentieren und adjazente Knoten Computern entsprechen, die mittels Netzwerkkabeln physikalisch verbunden sind. Ein weiteres klassisches Beispiel ist, dass die Knoten Orte und die Kanten Straßen oder Wege zwischen den Orten darstellen. Zwei Graphen X und Y sind genau dann gleich, wenn sie dieselbe Knotenmenge und dieselbe Kantenmenge besitzen. Diese Definition ist zwar durchaus sinnvoll, jedoch ist sie für die Praxis meist zu eng gegriffen. Für die meisten Anwendungen unterscheiden sich zum Beispiel zwei Graphen nicht, wenn man den einen durch Umbenennung der Knoten des anderen erzeugt. Das motiviert die folgende Definition: Zwei Graphen X und Y sind isomorph, wenn eine Bijektion ϕ von V (X) nach V (Y ) existiert, sodass x adjazent zu y (x y) in X ist genau dann, wenn ϕ(x) adjazent zu ϕ(y)(ϕ(x) ϕ(y)) in Y ist. ϕ heißt dann Isomorphismus von X nach Y. Da ϕ eine Bijektion ist, existiert auch seine Inverse, die eine Bijektion von Y nach X ist. Wenn X und Y isomorph sind, schreibt man X = Y. Im Normalfall ist es zulässig isomorphe Graphen so zu behandeln, als wären sie gleich. Oft werden Graphen durch ein Bild veranschaulicht, weil es einfach besser für das Verständnis ist. Man stellt dabei die Knoten durch Punkte beziehungsweise Kreise dar und die Kanten durch Linien. Streng genommen definiert aber ein Bild keinen Graphen, da die Knotenmenge im Bild nicht genau spezifiziert ist. Man kann jedoch den Knoten verschiedene Zahlen zuordnen und die Kanten dann dementsprechend benennen. So entspricht das Bild bis auf 2

3 Isomorphismus einem Graphen, was fast immer reicht. Wichtig ist, sich bewusst zu sein, dass in einem Bild eines Graphen die Positionen der Punkte und der Linien willkürlich sind. Das einzige, was wichtig ist, ist, welche Knoten mit einer Kante verbunden sind. Es ist eine gute Übung sich zu überlegen, wieso die zwei Graphen in Abbildung 1 isomorph sind. Abbildung 1: diese beiden Graphen sind isomorph Ein Graph heißt vollständig, wenn jedes Knotenpaar adjazent ist, das heißt, wenn zwischen je zwei verschiedenen Knoten eine Kante existiert. Der vollständige Graph mit n Knoten wird mit K n bezeichnet. Ein Graph mit leerer Kantenmenge, aber mit mindestens einem Knoten, heißt leerer Graph. Manchmal wird der Graph mit leerer Knoten- und leerer Kantenmenge als Nullgraph bezeichnet. Abbildung 2: Die vollständigen Graphen K 4 und K 5 Graphen, wie sie hier definiert wurden, werden auch als einfache Graphen bezeichnet. Es gibt noch viele andere Arten von Graphen, zum Beispiel gerichtete Graphen. Ein gerichteter Graph besteht aus einer Knotenmenge V (X) und aus einer Menge von gerichteten Kanten A(X) (arc set), wobei eine gerichtete Kante (oder auch Bogen) ein geordnetes Paar von zwei verschiedenen Knoten ist. Man schreibt (x, y) für eine Kante die von x nach y geht. Oft wird die Menge der gerichteten Kanten statt mit A(X) auch mit E(X) analog zu 3

4 den ungerichteten Kanten bezeichnet. In einer Zeichnung eines gerichteten Graphen wird die Richtung einer Kante mit einem Pfeil am Ende der Kante deutlich gemacht. In vielen Anwendungen kann ein einfacher Graph als gerichteter Graph gesehen werden, unter der Bedingung, dass wenn (x, y) eine Kante ist, auch (y, x) eine Kante ist. Abbildung 3: Beispiel für einen gerichteten Graphen Im weiteren wird explizit gesagt, wenn ein gerichteter Graph gemeint ist. Mit Graph ist im Allgemeinen ein einfacher Graph gemeint. Zudem ließe unsere Definition eines Graphen eine unendliche Knotenmenge zu, wir werden auf diesen Fall aber nicht eingehen und im Folgenden immer von einer endlichen Knotenmenge ausgehen. Teilgraphen Ein Teilgraph (oder manchmal auch Subgraph) eines Graphen X ist ein Graph Y, für den gilt, dass V (Y ) V (X), E(Y ) E(X). Wegen der Forderung, dass Y ein Graph ist, können natürlich nur Kanten in E(Y ) sein, deren inzidente Knoten in V (Y ) enthalten sind. Wenn V (Y ) = V (X) (Y also alle Knoten des Ausgangsgraphen enthält), so nennt man Y einen spannenden Teilgraph. Jeden spannenden Teilgraphen von X kann man einfach dadurch erhalten, dass man gewisse Kanten aus X rauswirft. Die Anzahl aller möglichen spannenden Teilgraphen von X ist gleich der Anzahl der Teilmengen von E(X). 4

5 Abbildung 4: Beispiel für einen Teilgraphen und einen spannenden Teilgraphen Ein Teilgraph Y von X heißt induzierter Teilgraph, wenn zwei Knoten aus V (Y ) immer genau dann in Y adjazent (also durch eine Kante verbunden) sind, wenn sie in X adjazent sind. Jeden induzierten Teilgraphen von X kann man dadurch generieren, dass man Knoten von X weglässt und auch jene Kanten, die die weggelassenen Knoten enthalten. Deshalb ist ein induzierter Teilgraph durch seine Knotenmenge festgelegt. Man spricht deshalb auch vom Teilgraphen von X, der von seiner Knotenmenge (also die, des Teilgraphen) induziert wird. Die Anzahl der induzierten Teilgraphen von X ist gleich der Anzahl der Teilmengen von V (X). Abbildung 5: Beispiel für einen induzierten Teilgraphen Manche Typen von Teilgraphen sind so häufig, dass sie einer Erwähnung hier wert sind. Eine Clique ist ein Teilgraph, der vollständig ist. Damit ist er notwendigerweise ein induzierter Teilgraph. Eine Menge von Knoten, die einen leeren Teilgraphen induziert, nennt man eine unabhängige Knotenmenge. Die Größe der größten Clique (also die Anzahl der Knoten der größten Clique) wird mit ω(x) bezeichnet, die Größe der größten unabhängigen Knotenmenge mit α(x). Später wird man sehen, dass sowohl ω(x) als auch α(x) wichtige Parameter eines Graphen sind. Im nachfolgenden Beispiel in Abbildung?? ist ω(x) = 4 und α(x) = 3. 5

6 Abbildung 6: Beispiel für eine Clique und zwei unabhängige Knotenmengen Ein Pfad oder Weg der Länge r von x nach y in einem Graphen ist eine Folge von r + 1 verschiedenen Knoten, die bei x startet und bei y endet und wo alle aufeinanderfolgenden Knoten benachbart sind. Wenn zwischen je zwei Knoten eines Graphen ein Pfad existiert, dann heißt der Graph zusammenhängend, sonst unzusammenhängend. Anders gesagt ist ein Graph dann unzusammenhängend, wenn man seine Knoten in zwei nichtleere Mengen, zum Beispiel die Mengen R und S, aufteilen kann, sodass kein Knoten aus R mit einem Knoten aus S benachbart ist. In diesem Fall sagt man dann, dass der Graph X eine disjunkte Vereinigung der zwei Teilgraphen, die von R und S induziert werden, ist. Einen zusammenhängenden, induzierten Teilgraphen von X, der maximal ist, nennt man eine Zusammenhangskomponente von X. Ein Kreis oder Zyklus ist ein zusammenhängender Graph, in dem jeder Knoten genau zwei Nachbarn hat. Der kleinste solche Graph ist der vollständige Graph K 3. Einen Teilgraphen von X, der ein Kreis ist, nennt man einen Kreis in einem Graphen. Es gibt noch andere Möglichkeiten einen Kreis zu definieren. Eine weitere ist zum Beispiel: ein Kreis ist ein Pfad, dessen Anfangs- und Endknoten ident sind. Diese Definition ist um einiges anschaulicher, obwohl sie mit der hier verwendeten Definition von Pfad nicht korrekt ist, da die Knoten verschieden sein müssen. 6

7 Abbildung 7: Beispiel für Kreise in einem Graphen Der Beweis, dass ein Graph, in dem jeder Knoten mindestens zwei Nachbarn besitzt, mindestens einen Kreis enthalten muss, ist ein klassisches Beispiel am Anfang der Graphentheorie. Ein kreisfreier oder azyklischer Graph ist ein Graph, der keinen Kreis enthält. Es gibt auch noch weitere, bildlichere Bezeichnungen für azyklische Graphen: einen zusammenhängenden, kreisfreien Graphen nennt man einen Baum und einen kreisfreien Graphen nennt man deshalb auch einen Wald, da ja jede Zusammenhangskomponente Baum genannt wird. Ein spannender Teilgraph, der keine Kreise besitzt, heißt spannender Baum oder auch Spannbaum. Man kann zeigen, dass ein Graph genau dann einen spannenden Baum besitzt, wenn er zusammenhängend ist. Ein maximaler spannender Wald in X ist ein spannender Teilgraph, in dem jede Zusammenhangskomponente ein spannender Baum ist. Abbildung 8: Beispiel für einen Wald mit zwei Bäumen Automorphismen Ein Isomorphismus von einem Graphen X auf sich selbst nennt man einen Automorphismus von X (von gr. αυτoς = selbst und µoρϕη = die Gestalt). Anders gesagt: ein 7

8 Automorphismus eines Graphen X ist eine bijektive Abbildung ϕ : V (X) V (X), sodass {x, y} E(X) {ϕ(x), ϕ(y)} E(X) für alle x, y V (X). Ein Automorphismus ist deshalb eine Permutation der Knoten von X, die Kanten zu Kanten und Nichtkanten zu Nichtkanten abbildet. Wir betrachten nun die Menge aller Automorphismen des Graphen X. Natürlich ist die Identität, welche wir mit e bezeichnen, ein Automorphismus. Wenn g ein Automorphismus von X ist, dann auch seine Inverse und wenn h ein zweiter Automorphismus von X ist, dann ist auch das Produkt (also die Hintereinanderausführung) gh ein Automorphismus. Aufgrund dessen bilden die Automorphismen von X ein Gruppe, die die Gruppe der Automorphismen von X genannt wird und mit Aut(X) abgekürzt wird. Die symmetrische Gruppe Sym(V ) ist die Gruppe aller Permutationen einer Menge V. Daher ist die Gruppe der Automorphismen von X eine Untergruppe von Sym(V (X)). Wenn der Graph X n Knoten besitzt, werden wir einfach Sym(n) für Sym(V (X)) schreiben. Im Allgemeinen ist es nicht trivial zu entscheiden, ob zwei Graphen isomorph sind oder ob ein gegebener Graph einen Automorphismus besitzt, der nicht gleich der Identität ist. Trotzdem gibt es Fälle, wo dies ganz einfach möglich ist. Zum Beispiel ist jede Permutation der Knoten des vollständigen Graphen K n ein Automorphismus, also ist Aut(K n ) = Sym(n). Das Bild eines Knotens v V unter der Permutation g Sym(V ) wird bezeichnet mit v g. Wenn g Aut(X) und Y ein Teilgraph von X ist, dann sei Y g der Graph mit und V (Y g ) = {x g : x V (Y )} E(Y g ) = {{x g, y g } : {x, y} E(Y ).} Man kann sofort sehen, dass Y g zu Y isomorph ist und auch ein Teilgraph von X ist. Der Grad oder manchmal auch Valenz eines Knotens x ist die Anzahl seiner Nachbarn und der maximale beziehungsweise minimale Grad eines Graphen X ist der maximale beziehungsweise minimale Wert, wenn man die Grade aller Knoten von X betrachtet. In Abbildung 9 wurde zu jedem Knoten des Beispielgraphen der entsprechende Grad dazugeschrieben. 8

9 Abbildung 9: Graph, in dem bei jedem Knoten sein Grad steht Lemma 1. Sei x ein Knoten des Graphen X und g ein Automorphismus von X. Dann hat der Knoten y = x g den gleichen Grad wie der Knoten x. Beweis. Sei N(x) der Teilgraph von X, der von den Nachbarn von x in X induziert wird. Dann gilt N(x) g = N(x g ) = N(y) und deshalb sind N(x) und N(y) isomorphe Teilgraphen von X. Daraus folgt, dass sie die gleiche Anzahl von Knoten haben und somit haben x und y den gleichen Grad. Das zeigt, dass die Gruppe der Automorphismen eines Graphen immer die Knoten mit gleichem Grad (unter sich selbst) permutiert. Ein Graph, in dem jeder Knoten den Grad k hat, heißt regulär vom Grad k oder k - regulär. Einen 3 - regulären Graph nennt man auch kubisch und ein 4-regulärer Graph wird manchmal auch quartisch genannt. Der Abstand d X (x, y) zwischen zwei Knoten x und y in einem Graphen X ist die Länge des kürzesten Pfades von x nach y. Wenn aus dem Zusammenhang heraus klar ist, welcher Graph gemeint ist, kann man auch d(x, y) schreiben. Lemma 2. Seien x und y Knoten von X und g Aut(X). Dann gilt d(x, y) = d(x g, y g ). Beweis. Wenn man den Teilgraphen von X betrachtet, der durch alle Pfade (bzw. deren Knoten) von x nach y induziert wird, dann folgt aus dem vorigen Lemma, dass der Teilgraph unter dem Automorphismus erhalten bleibt. Der komplementäre Graph X eines Graphen X hat dieselbe Knotenmenge wie X und x und y sind genau dann benachbart, wenn sie in X nicht benachbart sind. 9

10 Abbildung 10: ein Graph und sein komplementärer Graph Lemma 3. Die Gruppe der Automorphismen eines Graphen ist gleich der Gruppe der Automorphismen seines Komplements. Beweis. Dies folgt aus der Definition eines komplementären Graphen, da ja ein Automorphismus Kanten auf Kanten und Nichtkanten auf Nichtkanten abbildet. Wenn X ein gerichteter Graph ist, dann ist ein Automorphismus eine Permutation der Knoten, die gerichtete Kanten auf gerichtete Kanten abbildet, das heißt, dass die Richtungen der Kanten erhalten werden. 10

11 Anhang Englisch acyclic adjacent arc automorphism automorphism group clique complete connected (connected) component cubic cycle directed edge directed graph disconnected disjoint union distance edge set empty forest graph incident independent set induced subgraph isomorphic neighbour of null graph path quartic regular of valency k simple graph spanning forest spanning subgraph spanning tree subgraph symmetric group tree valency vertex set Deutsch azyklisch, kreisfrei adjazent gerichtete Kante, Bogen Automorphismus Gruppe der Automorphismen Clique vollständig zusammenhängend Zusammenhangskomponente kubisch Kreis, Zyklus gerichtete Kante gerichteter Graph unzusammenhängend disjunkte Vereinigung Abstand Kantenmenge leer Wald Graph inzident unabhängige Knotenmenge induzierter Teilgraph isomorph Nachbar von, benachbart Nullgraph Pfad, Weg quartisch regulär vom Grad k einfacher Graph Spannwald, spannender Wald spannender Teilgraph spannender Baum, Spannbaum Teilgraph, Subgraph symmetrische Gruppe Baum Grad, Valenz Knotenmenge 11

12 Literatur [1] Godsil Chris, Royle Gordon: Algebraic Graph Theory. Springer, [2] Frei Christopher: Skriptum zur Vorlesung Diskrete Mathematik, nach den Vorlesungsunterlagen von Sophie Frisch. SS

Vollständiger Graph. Definition 1.5. Sei G =(V,E) ein Graph. Gilt {v, w} E für alle v, w V,v w, dann heißt G vollständig (complete).

Vollständiger Graph. Definition 1.5. Sei G =(V,E) ein Graph. Gilt {v, w} E für alle v, w V,v w, dann heißt G vollständig (complete). Vollständiger Graph Definition 1.5. Sei G =(V,E) ein Graph. Gilt {v, w} E für alle v, w V,v w, dann heißt G vollständig (complete). Mit K n wird der vollständige Graph mit n Knoten bezeichnet. Bemerkung

Mehr

= n (n 1) 2 dies beruht auf der Auswahl einer zweielementigen Teilmenge aus V = n. Als Folge ergibt sich, dass ein einfacher Graph maximal ( n E = 2

= n (n 1) 2 dies beruht auf der Auswahl einer zweielementigen Teilmenge aus V = n. Als Folge ergibt sich, dass ein einfacher Graph maximal ( n E = 2 1 Graphen Definition: Ein Graph G = (V,E) setzt sich aus einer Knotenmenge V und einer (Multi)Menge E V V, die als Kantenmenge bezeichnet wird, zusammen. Falls E symmetrisch ist, d.h.( u,v V)[(u,v) E (v,u)

Mehr

Ferienkurs Propädeutikum Diskrete Mathematik

Ferienkurs Propädeutikum Diskrete Mathematik Ferienkurs Propädeutikum Diskrete Mathematik Teil 3: Grundlagen Graphentheorie Tina Janne Schmidt Technische Universität München April 2012 Tina Janne Schmidt (TU München) Ferienkurs Propädeutikum Diskrete

Mehr

1. Einige Begriffe aus der Graphentheorie

1. Einige Begriffe aus der Graphentheorie . Einige Begriffe aus der Graphentheorie Notation. Sei M eine Menge, n N 0. Dann bezeichnet P n (M) die Menge aller n- elementigen Teilmengen von M, und P(M) die Menge aller Teilmengen von M, d.h. die

Mehr

Grundbegriffe der Informatik

Grundbegriffe der Informatik Grundbegriffe der Informatik Einheit 11: Graphen Thomas Worsch Universität Karlsruhe, Fakultät für Informatik Wintersemester 2008/2009 1/42 Graphische Darstellung von Zusammenhängen schon an vielen Stellen

Mehr

Graphentheorie Graphentheorie. Grundlagen Bäume Eigenschaften von Graphen Graphen-Algorithmen Matchings und Netzwerke

Graphentheorie Graphentheorie. Grundlagen Bäume Eigenschaften von Graphen Graphen-Algorithmen Matchings und Netzwerke Graphen Graphentheorie Graphentheorie Grundlagen Bäume Eigenschaften von Graphen Graphen-Algorithmen Matchings und Netzwerke 2 Was ist ein Graph? Ein Graph ist in der Graphentheorie eine abstrakte Struktur,

Mehr

Bäume und Wälder. Definition 1

Bäume und Wälder. Definition 1 Bäume und Wälder Definition 1 Ein Baum ist ein zusammenhängender, kreisfreier Graph. Ein Wald ist ein Graph, dessen Zusammenhangskomponenten Bäume sind. Ein Knoten v eines Baums mit Grad deg(v) = 1 heißt

Mehr

Grundbegriffe der Informatik

Grundbegriffe der Informatik Grundbegriffe der Informatik Kapitel 15: Graphen Thomas Worsch KIT, Institut für Theoretische Informatik Wintersemester 2015/2016 GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik

Mehr

Programmiertechnik II

Programmiertechnik II Graph-Algorithmen Anwendungsgebiete "Verbundene Dinge" oft Teilproblem/Abstraktion einer Aufgabenstellung Karten: Wie ist der kürzeste Weg von Sanssouci nach Kunnersdorf? Hypertext: Welche Seiten sind

Mehr

Grundbegriffe der Informatik

Grundbegriffe der Informatik Grundbegriffe der Informatik Einheit 11: Graphen Thomas Worsch Karlsruher Institut für Technologie, Fakultät für Informatik Wintersemester 2010/2011 1/59 Graphische Darstellung von Zusammenhängen schon

Mehr

Programmiertechnik II

Programmiertechnik II Graph-Algorithmen Anwendungsgebiete "Verbundene Dinge" oft Teilproblem/Abstraktion einer Aufgabenstellung Karten: Wie ist der kürzeste Weg von Sanssouci nach Kunnersdorf? Hypertext: Welche Seiten sind

Mehr

Für die Anzahl der Kanten in einem vollständigen Graphen (und damit für die maximale Anzahl von Kanten in einem einfachen Graphen) gilt:

Für die Anzahl der Kanten in einem vollständigen Graphen (und damit für die maximale Anzahl von Kanten in einem einfachen Graphen) gilt: Der K 4 lässt sich auch kreuzungsfrei zeichnen: Für die Anzahl der Kanten in einem vollständigen Graphen (und damit für die maximale Anzahl von Kanten in einem einfachen Graphen) gilt: ( ) n n (n 1) E

Mehr

Graphentheorie. Formale Grundlagen (WIN) 2008S, F. Binder. Vorlesung im 2008S

Graphentheorie. Formale Grundlagen (WIN) 2008S, F. Binder. Vorlesung im 2008S Minimale Graphentheorie Formale Grundlagen (WIN) Franz Binder Institut für Algebra Johannes Kepler Universität Linz Vorlesung im 2008S http://www.algebra.uni-linz.ac.at/students/win/fg Minimale Inhalt

Mehr

Diskrete Strukturen. Hausaufgabe 1 (5 Punkte) Hausaufgabe 2 (5 Punkte) Wintersemester 2007/08 Lösungsblatt Januar 2008

Diskrete Strukturen. Hausaufgabe 1 (5 Punkte) Hausaufgabe 2 (5 Punkte) Wintersemester 2007/08 Lösungsblatt Januar 2008 Technische Universität München Fakultät für Informatik Lehrstuhl für Informatik 15 Computergraphik & Visualisierung Prof. Dr. Rüdiger Westermann Dr. Werner Meixner Wintersemester 2007/08 Lösungsblatt 9

Mehr

Diskrete Strukturen Kapitel 4: Graphentheorie (Grundlagen)

Diskrete Strukturen Kapitel 4: Graphentheorie (Grundlagen) WS 2015/16 Diskrete Strukturen Kapitel 4: Graphentheorie (Grundlagen) Hans-Joachim Bungartz Lehrstuhl für wissenschaftliches Rechnen Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www5.in.tum.de/wiki/index.php/diskrete_strukturen_-_winter_15

Mehr

Graphen und Bäume. A.1 Graphen

Graphen und Bäume. A.1 Graphen Algorithmen und Datenstrukturen 96 A Graphen und Bäume A.1 Graphen Ein gerichteter Graph (auch Digraph) G ist ein Paar (V, E), wobei V eine endliche Menge und E eine Relation auf V ist, d.h. E V V. V heißt

Mehr

Unendliche Graphen. Daniel Perz 24. Dezember Definition 1. Ein Graph G heißt lokal endlich, wenn alle Knotengrade endlich sind.

Unendliche Graphen. Daniel Perz 24. Dezember Definition 1. Ein Graph G heißt lokal endlich, wenn alle Knotengrade endlich sind. Unendliche Graphen Daniel Perz 24. Dezember 2011 1 Definition Definition 1. Ein Graph G heißt lokal endlich, wenn alle Knotengrade endlich sind. Definition 2. Ein Graph G=(V,E) heißt Strahl, wenn gilt

Mehr

WS 2013/14. Diskrete Strukturen

WS 2013/14. Diskrete Strukturen WS 2013/14 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws1314

Mehr

Nachbarschaft, Grad, regulär, Inzidenz

Nachbarschaft, Grad, regulär, Inzidenz Nachbarschaft, Grad, regulär, Inzidenz Definition Eigenschaften von Graphen Sei G = (V, E) ein ungerichteter Graph. 1 Die Nachbarschaftschaft Γ(u) eines Knoten u V ist Γ(u) := {v V {u, v} E}. 2 Der Grad

Mehr

Freie Bäume und Wälder

Freie Bäume und Wälder (Martin Dietzfelbinger, Stand 4.6.2011) Freie Bäume und Wälder In dieser Notiz geht es um eine besondere Sorte von (ungerichteten) Graphen, nämlich Bäume. Im Gegensatz zu gerichteten Bäumen nennt man diese

Mehr

Kombinatorische Optimierung

Kombinatorische Optimierung Juniorprof. Dr. Henning Meyerhenke 1 Henning Meyerhenke: KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft www.kit.edu Vorlesung 1 Programm des

Mehr

Diskrete Strukturen Kapitel 4: Graphentheorie (Bäume)

Diskrete Strukturen Kapitel 4: Graphentheorie (Bäume) WS 2016/17 Diskrete Strukturen Kapitel 4: Graphentheorie (Bäume) Hans-Joachim Bungartz Lehrstuhl für wissenschaftliches Rechnen Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www5.in.tum.de/wiki/index.php/diskrete_strukturen_-_winter_16

Mehr

Einheit 11 - Graphen

Einheit 11 - Graphen Einheit - Graphen Bevor wir in medias res (eigentlich heißt es medias in res) gehen, eine Zusammenfassung der wichtigsten Definitionen und Notationen für Graphen. Graphen bestehen aus Knoten (vertex, vertices)

Mehr

Graphen. Graphen und ihre Darstellungen

Graphen. Graphen und ihre Darstellungen Graphen Graphen und ihre Darstellungen Ein Graph beschreibt Beziehungen zwischen den Elementen einer Menge von Objekten. Die Objekte werden als Knoten des Graphen bezeichnet; besteht zwischen zwei Knoten

Mehr

Zentralübung zur Vorlesung Diskrete Strukturen (Prof. Esparza)

Zentralübung zur Vorlesung Diskrete Strukturen (Prof. Esparza) WS 2013/14 Zentralübung zur Vorlesung Diskrete Strukturen (Prof. Esparza) Dr. Werner Meixner Fakultät für Informatik TU München http://www14.in.tum.de/lehre/2013ws/ds/uebung/ 22. Januar 2014 ZÜ DS ZÜ XIII

Mehr

Graphen. Leonhard Euler ( )

Graphen. Leonhard Euler ( ) Graphen Leonhard Euler (1707-1783) 2 Graph Ein Graph besteht aus Knoten (nodes, vertices) die durch Kanten (edges) miteinander verbunden sind. 3 Nachbarschaftsbeziehungen Zwei Knoten heissen adjazent (adjacent),

Mehr

Isomorphie von Bäumen

Isomorphie von Bäumen Isomorphie von Bäumen Alexandra Weinberger 23. Dezember 2011 Inhaltsverzeichnis 1 Einige Grundlagen und Definitionen 2 1.1 Bäume................................. 3 1.2 Isomorphie..............................

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen 2

Algorithmen und Datenstrukturen 2 Algorithmen und Datenstrukturen 2 Sommersemester 2006 3. Vorlesung Peter F. Stadler Universität Leipzig Institut für Informatik studla@bioinf.uni-leipzig.de Algorithmen für Graphen Fragestellungen: Suche

Mehr

WS 2008/09. Diskrete Strukturen

WS 2008/09. Diskrete Strukturen WS 2008/09 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0809

Mehr

WS 2009/10. Diskrete Strukturen

WS 2009/10. Diskrete Strukturen WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910

Mehr

Definition Ein gerichteter Graph G = (V, E) ist ein Graph von geordneten Paaren (u, v) mit u V und v V.

Definition Ein gerichteter Graph G = (V, E) ist ein Graph von geordneten Paaren (u, v) mit u V und v V. Kapitel 4 Graphenalgorithmen 4.1 Definitionen Definition 4.1.1. Der Graph G = (V, E) ist über die beiden Mengen V und E definiert, wobei V die Menge der Knoten und E die Menge der Kanten in dem Graph ist.

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen SS09. Foliensatz 16. Michael Brinkmeier. Technische Universität Ilmenau Institut für Theoretische Informatik

Algorithmen und Datenstrukturen SS09. Foliensatz 16. Michael Brinkmeier. Technische Universität Ilmenau Institut für Theoretische Informatik Foliensatz 16 Michael Brinkmeier Technische Universität Ilmenau Institut für Theoretische Informatik Sommersemester 2009 TU Ilmenau Seite 1 / 45 Graphen TU Ilmenau Seite 2 / 45 Graphen 1 2 3 4 5 6 7 8

Mehr

Minimal spannende Bäume

Minimal spannende Bäume http://www.uni-magdeburg.de/harbich/ Minimal spannende Fakultät für Informatik Otto-von-Guericke-Universität 2 Inhalt Definition Wege Untergraphen Kantengewichtete Graphen Minimal spannende Algorithmen

Mehr

Zentralübung zur Vorlesung Diskrete Strukturen (Prof. Mayr)

Zentralübung zur Vorlesung Diskrete Strukturen (Prof. Mayr) WS 2011/12 Zentralübung zur Vorlesung Diskrete Strukturen (Prof. Mayr) Dr. Werner Meixner Fakultät für Informatik TU München http://www14.in.tum.de/lehre/2011ws/ds/uebung/ 25. Januar 2012 ZÜ DS ZÜ XIII

Mehr

André Krischke Helge Röpcke. Graphen und Netzwerktheorie Grundlagen Methoden Anwendungen

André Krischke Helge Röpcke. Graphen und Netzwerktheorie Grundlagen Methoden Anwendungen André Krischke Helge Röpcke Graphen und Netzwerktheorie Grundlagen Methoden Anwendungen 8 Grundbegriffe der Graphentheorie für die Kante, die die beiden Knoten und verbindet. Der linke Graph in Bild. kann

Mehr

1. Einführung. Grundbegriffe und Bezeichnungen. Beispiele. gerichtete Graphen. 1. Einführung Kapitelübersicht

1. Einführung. Grundbegriffe und Bezeichnungen. Beispiele. gerichtete Graphen. 1. Einführung Kapitelübersicht 1. Einführung Kapitelübersicht 1. Einführung Grundbegriffe und Bezeichnungen Beispiele Bäume gerichtete Graphen Graphentheorie HS Bonn-Rhein-Sieg, WS 2014/15 15 Das Königsberger Brückenproblem Beispiel

Mehr

Inhalt der Vorlesung Elemente der Algebra und Zahlentheorie Prof. Dr. Arno Fehm TU Dresden SS Grundlegende Definitionen (Wiederholung)

Inhalt der Vorlesung Elemente der Algebra und Zahlentheorie Prof. Dr. Arno Fehm TU Dresden SS Grundlegende Definitionen (Wiederholung) Inhalt der Vorlesung Elemente der Algebra und Zahlentheorie Prof. Dr. Arno Fehm TU Dresden SS2017 Kapitel I. Gruppen 1 Grundlegende Definitionen (Wiederholung) 1.1 Definition. Eine Gruppe ist ein Paar

Mehr

Grundlagen: Begriffe zu Graphen

Grundlagen: Begriffe zu Graphen l o a UNIVERSITÄT KONSTANZ September 18 LEHRSTUHL FÜR PRAKTISCHE INFORMATIK Prof Dr D Wagner / Annegret Liebers Grundlagen: Begriffe zu Graphen Das erste Lehrbuch zur Graphentheorie war [K ön6 (Der Nachdruck

Mehr

Ausarbeitung über den Satz von Menger und den Satz von König

Ausarbeitung über den Satz von Menger und den Satz von König Ausarbeitung über den Satz von Menger und den Satz von König Myriam Ezzedine, 0326943 Anton Ksernofontov, 0327064 Jürgen Platzer, 0025360 Nataliya Sokolovska, 0326991 1. Beweis des Satzes von Menger Bevor

Mehr

Kapitel 5: Minimale spannende Bäume Gliederung der Vorlesung

Kapitel 5: Minimale spannende Bäume Gliederung der Vorlesung Gliederung der Vorlesung 1. Grundbegriffe 2. Elementare Graphalgorithmen und Anwendungen 3. Kürzeste Wege. Minimale spannende Bäume. Färbungen und Cliquen. Traveling Salesman Problem. Flüsse in Netzwerken

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen 2-1. Seminar -

Algorithmen und Datenstrukturen 2-1. Seminar - Algorithmen und Datenstrukturen 2-1. Seminar - Dominic Rose Bioinformatics Group, University of Leipzig Sommersemster 2010 Outline 1. Übungsserie: 3 Aufgaben, insgesamt 30 28 Punkte A1 Spannbäume (10 8

Mehr

Aufgabe 4.2 Sei G = (V, E, l) ein ungerichteter, gewichteter und zusammenhängender Graph.

Aufgabe 4.2 Sei G = (V, E, l) ein ungerichteter, gewichteter und zusammenhängender Graph. Aufgabe 4.2 Sei G = (V, E, l) ein ungerichteter, gewichteter und zusammenhängender Graph. a) Es seien W 1 = (V, E 1 ), W 2 = (V, E 2 ) Untergraphen von G, die beide Wälder sind. Weiter gelte E 1 > E 2.

Mehr

Algorithmische Graphentheorie

Algorithmische Graphentheorie Algorithmische Graphentheorie Vorlesung 4: Suchstrategien Babeş-Bolyai Universität, Department für Informatik, Cluj-Napoca csacarea@cs.ubbcluj.ro 14. April 2017 HALBORDNUNG TOPOLOGISCHE ORDNUNG TOPOLOGISCHES

Mehr

Zentralübung zur Vorlesung Diskrete Strukturen

Zentralübung zur Vorlesung Diskrete Strukturen WS 2010/11 Zentralübung zur Vorlesung Diskrete Strukturen Dr. Werner Meixner Fakultät für Informatik TU München http://www14.in.tum.de/lehre/2010ws/ds/uebung/ 2. Februar 2011 ZÜ DS ZÜ XIII 1. Übungsbetrieb:

Mehr

Bemerkung: Der vollständige Graph K n hat n(n 1)

Bemerkung: Der vollständige Graph K n hat n(n 1) Bemerkung: Der vollständige Graph K n hat n(n 1) 2 Kanten. Bew: Abzählen! Definition 111. Graphen mit n paarweise zyklisch verbundenen Kanten heißen Kreise (vom Grad n) und werden mit C n bezeichnet. Beispiel

Mehr

15 G R A P H E N gerichtete graphen

15 G R A P H E N gerichtete graphen 15 G R A P H E N In den bisherigen Einheiten kamen schon an mehreren Stellen Diagramme und Bilder vor, in denen irgendwelche Gebilde durch Linien oder Pfeile miteinander verbunden waren. Man erinnere sich

Mehr

Grundbegri e der Graphentheorie: Eckengrad, Wege und Kreise, Zusammenhang

Grundbegri e der Graphentheorie: Eckengrad, Wege und Kreise, Zusammenhang raphen- und Berechenbarkeitstheorie rundbegri e der raphentheorie: Eckengrad, Wege und Kreise, Zusammenhang 0.1 raphen Ein raph ist ein aar = (V, E) disjunkter Mengen mit E [V ]2, wobei [V ]2 die Menge

Mehr

Cliquen und unabhängige Mengen

Cliquen und unabhängige Mengen Cliquen und unabhängige Mengen Sei G = (V, E) ein ungerichteter Graph, d.h. E ( V. Für Teilmengen U V bezeichnet man mit G U den induzierten Teilgraph G U = (U, E U ), wobei E U := E ( U ist. Eine Clique

Mehr

Lernmodul 2 Graphen. Lernmodul 2: Geoobjekte und ihre Modellierung - Graphen

Lernmodul 2 Graphen. Lernmodul 2: Geoobjekte und ihre Modellierung - Graphen Folie 1 von 20 Lernmodul 2 Graphen Folie 2 von 20 Graphen Übersicht Motivation Ungerichteter Graph Gerichteter Graph Inzidenz, Adjazenz, Grad Pfad, Zyklus Zusammenhang, Trennende Kante, Trennender Knoten

Mehr

WS 2009/10. Diskrete Strukturen

WS 2009/10. Diskrete Strukturen WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910

Mehr

WS 2008/09. Diskrete Strukturen

WS 2008/09. Diskrete Strukturen WS 2008/09 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0809

Mehr

Mehr über Abbildungen

Mehr über Abbildungen Mehr über Abbildungen Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D-01062 Dresden bernhard.ganter@tu-dresden.de alle Abbildungen Die Menge aller Abbildungen von A nach B wird mit B A bezeichnet. Es

Mehr

Knoten-Partitionierung in feste Eigenschaften ist NP-schwer

Knoten-Partitionierung in feste Eigenschaften ist NP-schwer Knoten-Partitionierung in feste Eigenschaften ist NP-schwer Seminar: Ausgewählte Kapitel der Informatik bei Prof. Dr. R. Schrader Seminarvortrag von Nils Rosjat Wintersemester 09 / 10 1 Einleitung Dieser

Mehr

Das Rucksackproblem. Definition Sprache Rucksack. Satz

Das Rucksackproblem. Definition Sprache Rucksack. Satz Das Rucksackproblem Definition Sprache Rucksack Gegeben sind n Gegenstände mit Gewichten W = {w 1,...,w n } N und Profiten P = {p 1,...,p n } N. Seien ferner b, k N. RUCKSACK:= {(W, P, b, k) I [n] : i

Mehr

Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2017/2018

Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2017/2018 Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2017/2018 23. November 2017 1/40 Satz 4.27 (Multinomialsatz) Seien r, n N 0. Dann gilt für

Mehr

Programmierkurs Python

Programmierkurs Python Programmierkurs Python Stefan Thater Michaela Regneri 2010-0-29 Heute Ein wenig Graph-Theorie (in aller Kürze) Datenstrukturen für Graphen Tiefen- und Breitensuche Nächste Woche: mehr Algorithmen 2 Was

Mehr

Programmierkurs Python II

Programmierkurs Python II Programmierkurs Python II Stefan Thater & Michaela Regneri FR.7 Allgemeine Linguistik (Computerlinguistik) Universität des Saarlandes Sommersemester 011 Heute Ein wenig Graph-Theorie (in aller Kürze) Datenstrukturen

Mehr

Minimal spannende Bäume

Minimal spannende Bäume Minimal spannende Bäume Ronny Harbich 4. Mai 006 (geändert 19. August 006) Vorwort Ich danke Patrick Bahr und meinem Bruder Steffen Harbich für die Unterstützung bei dieser Arbeit. Sie haben sowohl zu

Mehr

Verteilen von Bällen auf Urnen

Verteilen von Bällen auf Urnen Verteilen von Bällen auf Urnen Szenario: Wir verteilen n Bälle auf m Urnen, d.h. f : B U mit B = {b 1,..., b n } und U = {u 1,..., u m }. Dabei unterscheiden wir alle Kombinationen der folgenden Fälle

Mehr

Einführung in die Informatik 2

Einführung in die Informatik 2 Einführung in die Informatik 2 Bäume & Graphen Sven Kosub AG Algorithmik/Theorie komplexer Systeme Universität Konstanz E 202 Sven.Kosub@uni-konstanz.de Sprechstunde: Freitag, 12:30-14:00 Uhr, o.n.v. Sommersemester

Mehr

Tutorium 23 Grundbegriffe der Informatik (7. Sitzung)

Tutorium 23 Grundbegriffe der Informatik (7. Sitzung) Tutorium 3 Grundbegriffe der Informatik (7. Sitzung) Tutor: Felix Stahlberg SOFTWARE DESIGN AND QUALITY GROUP Source: pixelio.de KIT The cooperation of Forschungszentrum Karlsruhe GmbH and Universität

Mehr

Topologische Grundbegriffe I. 1 Offene und Abgeschlossene Mengen

Topologische Grundbegriffe I. 1 Offene und Abgeschlossene Mengen Topologische Grundbegriffe I Vortrag zum Proseminar Analysis, 26.04.2010 Nina Neidhardt und Simon Langer Im Folgenden soll gezeigt werden, dass topologische Konzepte, die uns schon für die Reellen Zahlen

Mehr

Graph Paar (V,E) V: nichtleere Menge von Knoten (vertex) E: Menge von Kanten (edges): Relation (Verbindung) zwischen den Knoten

Graph Paar (V,E) V: nichtleere Menge von Knoten (vertex) E: Menge von Kanten (edges): Relation (Verbindung) zwischen den Knoten Graphentheorie Graph Paar (V,E) V: nichtleere Menge von Knoten (vertex) E: Menge von Kanten (edges): Relation (Verbindung) zwischen den Knoten gerichteter Graph (DiGraph (directed graph) E: Teilmenge E

Mehr

Fortgeschrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen

Fortgeschrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen Fortgeschrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen Dr. Hanjo Täubig Lehrstuhl für Eziente Algorithmen (Prof. Dr. Ernst W. Mayr) Institut für Informatik Technische Universität München Wintersemester 2007/08

Mehr

Die umgekehrte Richtung

Die umgekehrte Richtung Die umgekehrte Richtung Satz 95 Sei n N, n 2. Dann gilt: b n 1 1 mod n für alle b Z n \ {0} = n ist prim. Beweis: [durch Widerspruch] Annahme: r n für ein r N, r > 1. Dann also r n 1 1 (r mod n) n 1 1

Mehr

2 Komplement eines Graphen

2 Komplement eines Graphen TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum für Mathematik Prof. Dr. Ulrich Bauer, Zi Ye WS2015/2016 Datum: 21. Dezember Übungen zu Fallstudien der Mathematischen Modellbildung (Modellierung mit Graphen) (1

Mehr

Seminararbeit für das SE Reine Mathematik- Graphentheorie

Seminararbeit für das SE Reine Mathematik- Graphentheorie Seminararbeit für das SE Reine Mathematik- Graphentheorie Der binäre Rang, der symplektische Graph, die Spektralzerlegung und rationale Funktionen Vortrag am 24.01.2012 Heike Farkas 0410052 Inhaltsverzeichnis

Mehr

Diskrete Strukturen und Logik WiSe 2007/08 in Trier. Henning Fernau Universität Trier

Diskrete Strukturen und Logik WiSe 2007/08 in Trier. Henning Fernau Universität Trier Diskrete Strukturen und Logik WiSe 2007/08 in Trier Henning Fernau Universität Trier fernau@uni-trier.de 1 Diskrete Strukturen und Logik Gesamtübersicht Organisatorisches Einführung Logik & Mengenlehre

Mehr

Diskrete Mathematik. Sebastian Iwanowski FH Wedel. Kap. 6: Graphentheorie

Diskrete Mathematik. Sebastian Iwanowski FH Wedel. Kap. 6: Graphentheorie Referenzen zum Nacharbeiten: Diskrete Mathematik Sebastian Iwanowski FH Wedel Kap. 6: Graphentheorie Lang 6 Beutelspacher 8.1-8.5 Meinel 11 zur Vertiefung: Aigner 6, 7 (7.4: Algorithmus von Dijkstra) Matousek

Mehr

Grundlagen der Graphentheorie. Thomas Kamps 6. Oktober 2008

Grundlagen der Graphentheorie. Thomas Kamps 6. Oktober 2008 Grundlagen der Graphentheorie Thomas Kamps 6. Oktober 2008 1 Inhaltsverzeichnis 1 Definition von Graphen 3 2 Unabhängigkeit von Ecken und Kanten 3 3 Teil- und Untergraphen 4 4 Schnitt, Vereinigung und

Mehr

Graphdurchmusterung, Breiten- und Tiefensuche

Graphdurchmusterung, Breiten- und Tiefensuche Prof. Thomas Richter 18. Mai 2017 Institut für Analysis und Numerik Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg thomas.richter@ovgu.de Material zur Vorlesung Algorithmische Mathematik II am 18.05.2017 Graphdurchmusterung,

Mehr

Bäume und Wälder. Seminar: Graphentheorie Sommersemester 2015 Dozent: Dr. Thomas Timmermann

Bäume und Wälder. Seminar: Graphentheorie Sommersemester 2015 Dozent: Dr. Thomas Timmermann Bäume und Wälder Seminar: Graphentheorie Sommersemester 2015 Dozent: Dr. Thomas Timmermann Ida Feldmann 2-Fach Bachelor Mathematik und Biologie 6. Fachsemester Inhaltsverzeichnis Einleitung 1 1. Bäume

Mehr

3 Topologische Gruppen

3 Topologische Gruppen $Id: topgr.tex,v 1.4 2010/05/31 08:41:53 hk Exp hk $ 3 Topologische Gruppen Nachdem wir jetzt gezeigt haben das Quotienten G/H topologischer Gruppen wieder topologische Gruppen sind, wollen wir das Ergebnis

Mehr

Tutoraufgabe 1 (Suchen in Graphen):

Tutoraufgabe 1 (Suchen in Graphen): Prof. aa Dr. E. Ábrahám Datenstrukturen und Algorithmen SS14 F. Corzilius, S. Schupp, T. Ströder Tutoraufgabe 1 (Suchen in Graphen): a) Geben Sie die Reihenfolge an, in der die Knoten besucht werden, wenn

Mehr

8 Diskrete Optimierung

8 Diskrete Optimierung 8 Diskrete Optimierung Definition 8.1. Ein Graph G ist ein Paar (V (G), E(G)) besteh aus einer lichen Menge V (G) von Knoten (oder Ecken) und einer Menge E(G) ( ) V (G) 2 von Kanten. Die Ordnung n(g) von

Mehr

Verkettete Datenstrukturen: Bäume

Verkettete Datenstrukturen: Bäume Verkettete Datenstrukturen: Bäume 1 Graphen Gerichteter Graph: Menge von Knoten (= Elementen) + Menge von Kanten. Kante: Verbindung zwischen zwei Knoten k 1 k 2 = Paar von Knoten (k 1, k 2 ). Menge aller

Mehr

Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Mengen)

Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Mengen) WS 2016/17 Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Mengen) Hans-Joachim Bungartz Lehrstuhl für wissenschaftliches Rechnen Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www5.in.tum.de/wiki/index.php/diskrete_strukturen_-_winter_16

Mehr

Das Briefträgerproblem

Das Briefträgerproblem Das Briefträgerproblem Paul Tabatabai 30. Dezember 2011 Inhaltsverzeichnis 1 Problemstellung und Modellierung 2 1.1 Problem................................ 2 1.2 Modellierung.............................

Mehr

Wiederholung zu Flüssen

Wiederholung zu Flüssen Universität Konstanz Methoden der Netzwerkanalyse Fachbereich Informatik & Informationswissenschaft SS 2008 Prof. Dr. Ulrik Brandes / Melanie Badent Wiederholung zu Flüssen Wir untersuchen Flüsse in Netzwerken:

Mehr

Zusammenfassung Analysis 2

Zusammenfassung Analysis 2 Zusammenfassung Analysis 2 1.2 Metrische Räume Die Grundlage metrischer Räume bildet der Begriff des Abstandes (Metrik). Definition 1.1 Ein metrischer Raum ist ein Paar (X, d), bestehend aus einer Menge

Mehr

3 Klassifikation wichtiger Optimierungsprobleme

3 Klassifikation wichtiger Optimierungsprobleme 3 Klassifikation wichtiger Optimierungsprobleme 3.1 Das MIN- -TSP Wir kehren nochmal zurück zum Handlungsreisendenproblem für Inputs (w {i,j} ) 1 i

Mehr

Anwendungen von Graphen

Anwendungen von Graphen Anwendungen von Graphen Strassen- und Verkehrsnetze Computernetzwerke elektrische Schaltpläne Entity-Relationship Diagramme Beweisbäume endliche Automaten Syntaxbäume für Programmiersprachen Entscheidungsbäume

Mehr

Quicksort ist ein Divide-and-Conquer-Verfahren.

Quicksort ist ein Divide-and-Conquer-Verfahren. . Quicksort Wie bei vielen anderen Sortierverfahren (Bubblesort, Mergesort, usw.) ist auch bei Quicksort die Aufgabe, die Elemente eines Array a[..n] zu sortieren. Quicksort ist ein Divide-and-Conquer-Verfahren.

Mehr

Notizen zu Transformationen und Permutationen. T (A) = {f : A A}

Notizen zu Transformationen und Permutationen. T (A) = {f : A A} Transformationen Notizen zu Transformationen und Permutationen Ist A eine Menge, so ist die Menge T (A) = {f : A A} bezüglich der Komposition (Hintereinanderausführung) als Operation und der identischen

Mehr

Graphentheorie 1. Diskrete Strukturen. Sommersemester Uta Priss ZeLL, Ostfalia. Hausaufgaben Graph-Äquivalenz SetlX

Graphentheorie 1. Diskrete Strukturen. Sommersemester Uta Priss ZeLL, Ostfalia. Hausaufgaben Graph-Äquivalenz SetlX Graphentheorie 1 Diskrete Strukturen Uta Priss ZeLL, Ostfalia Sommersemester 2016 Diskrete Strukturen Graphentheorie 1 Slide 1/19 Agenda Hausaufgaben Graph-Äquivalenz SetlX Diskrete Strukturen Graphentheorie

Mehr

Graphentheorie. Organisatorisches. Organisatorisches. Organisatorisches. Rainer Schrader. 23. Oktober 2007

Graphentheorie. Organisatorisches. Organisatorisches. Organisatorisches. Rainer Schrader. 23. Oktober 2007 Graphentheorie Rainer Schrader Organisatorisches Zentrum für Angewandte Informatik Köln 23. Oktober 2007 1 / 79 2 / 79 Organisatorisches Organisatorisches Dozent: Prof. Dr. Rainer Schrader Weyertal 80

Mehr

\ E) eines Graphen G = (V, E) besitzt die gleiche Knotenmenge V und hat als Kantenmenge alle Kanten des vollständigen Graphen ohne die Kantenmenge E.

\ E) eines Graphen G = (V, E) besitzt die gleiche Knotenmenge V und hat als Kantenmenge alle Kanten des vollständigen Graphen ohne die Kantenmenge E. Das Komplement Ḡ = (V, ( V ) \ E) eines Graphen G = (V, E) besitzt die gleiche Knotenmenge V und hat als Kantenmenge alle Kanten des vollständigen Graphen ohne die Kantenmenge E. Ein Graph H = (V, E )

Mehr

Vorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume?

Vorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume? Vorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume? Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D-01062 Dresden bernhard.ganter@tu-dresden.de WS 2013/14 Isomorphie Zwei Graphen (V 1, E 1 ) und (V

Mehr

Mengen, Funktionen und Logik

Mengen, Funktionen und Logik Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt Mengen, Funktionen und Logik Literatur Referenz: Gauglhofer, M. und Müller, H.: Mathematik für Ökonomen,

Mehr

Fortgeschrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen

Fortgeschrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen Fortgeschrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen Dr. Hanjo Täubig Lehrstuhl für Effiziente Algorithmen (Prof. Dr. Ernst W. Mayr) Institut für Informatik Technische Universität München Wintersemester 2010/11

Mehr

Lösungen zu Kapitel 5

Lösungen zu Kapitel 5 Lösungen zu Kapitel 5 Lösung zu Aufgabe : (a) Es gibt derartige Graphen: (b) Offensichtlich besitzen 0 der Graphen einen solchen Teilgraphen. Lösung zu Aufgabe : Es sei G = (V, E) zusammenhängend und V

Mehr

Definition Gerichteter Pfad. gerichteter Pfad, wenn. Ein gerichteter Pfad heißt einfach, falls alle u i paarweise verschieden sind.

Definition Gerichteter Pfad. gerichteter Pfad, wenn. Ein gerichteter Pfad heißt einfach, falls alle u i paarweise verschieden sind. 3.5 Gerichteter Pfad Definition 291 Eine Folge (u 0, u 1,..., u n ) mit u i V für i = 0,..., n heißt gerichteter Pfad, wenn ( i {0,..., n 1} ) [ (u i, u i+1 ) A]. Ein gerichteter Pfad heißt einfach, falls

Mehr

Halbgruppen, Gruppen, Ringe

Halbgruppen, Gruppen, Ringe Halbgruppen-1 Elementare Zahlentheorie Einige Bezeichnungen Halbgruppen, Gruppen, Ringe Die Menge N 0 der natürlichen Zahlen 0, 1, 2, Die Menge N = N 1 der von Null verschiedenen natürlichen Zahlen Die

Mehr

9 Minimum Spanning Trees

9 Minimum Spanning Trees Im Folgenden wollen wir uns genauer mit dem Minimum Spanning Tree -Problem auseinandersetzen. 9.1 MST-Problem Gegeben ein ungerichteter Graph G = (V,E) und eine Gewichtsfunktion w w : E R Man berechne

Mehr

Motivation Kap. 6: Graphen

Motivation Kap. 6: Graphen Motivation Kap. 6: Graphen Warum soll ich heute hier bleiben? Graphen sind wichtig und machen Spaß! Professor Dr. Lehrstuhl für Algorithm Engineering, LS Fakultät für Informatik, TU Dortmund Was gibt es

Mehr

Übungen zu Kombinatorik und Graphentheorie

Übungen zu Kombinatorik und Graphentheorie Übungen zu Kombinatorik und Graphentheorie Ilse Fischer, SS 07 (1) (a) In einer Schachtel sind 4 rote, 2 blaue, 5 gelbe und 3 grüne Stifte. Wenn man die Stifte mit geschlossenen Augen zieht, wieviele muss

Mehr

Programmierkurs Python II

Programmierkurs Python II Programmierkurs Python II Stefan Thater & Michaela Regneri Universität des Saarlandes FR 4.7 Allgemeine Linguistik (Computerlinguistik) Übersicht Topologische Sortierung (einfach) Kürzeste Wege finden

Mehr

Grundlagen: Algorithmen und Datenstrukturen

Grundlagen: Algorithmen und Datenstrukturen Grundlagen: Algorithmen und Datenstrukturen Prof. Dr. Hanjo Täubig Lehrstuhl für Effiziente Algorithmen (Prof. Dr. Ernst W. Mayr) Institut für Informatik Technische Universität München Sommersemester 2010

Mehr

1. Einleitung wichtige Begriffe

1. Einleitung wichtige Begriffe 1. Einleitung wichtige Begriffe Da sich meine besondere Lernleistung mit dem graziösen Färben (bzw. Nummerieren) von Graphen (speziell von Bäumen), einem Teilgebiet der Graphentheorie, beschäftigt, und

Mehr

Einführung in die Graphentheorie (Mathematik IIIb)

Einführung in die Graphentheorie (Mathematik IIIb) Einführung in die Graphentheorie (Mathematik IIIb) Peter Becker FH Bonn-Rhein-Sieg, FB Angewandte Informatik!" $# Vorlesung Wintersemester 2002/03 Allgemeines zur Vorlesung Es gibt eine Homepage zur Vorlesung:

Mehr