Abbildung 1: Ein Graph mit zugehöriger Adjazenzmatrix

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1 1 Vorbemerkungen Diese Arbeit führt den Leser in die Theorie der Adjazenz- und Inzidenzmatrizen von Graphen ein. Vorausgesetzt werden Grundkentnisse über Graphen, Homomorphismen von Knotenmengen, Bipartitheit, Zusammenhangskomponenten, planare Graphen mit ebenen Einbettungen und duale Graphen. Aus dem Bereich der linearen Algebra werden zusätzlich grundlegende Zusammenhänge zwischen Rang und Defekt einer Matrix verwendet. 2 Adjazenzmatrizen Definition: Sei X ein Graph mit n Knoten und A(X) R n n eine n n Matrix. Für alle 0 i, j n sei der Eintrag in der i-ten Zeile und j-ten Spalte 1, falls die Knoten i und j aus X benachbart sind und 0 andernfalls. In diesem Fall nennt man A(X) Adjazenzmatrix zu X. Das Konzept der Adjazenzmatrix ist sowohl auf ungerichtete, als auch auf gerichtete Graphen anwendbar. Bei Ersteren ist ersichtlich, dass A(X) symmetrisch ist, da für x, y V (X) Äquivalenz zwischen x y und y x herrscht. Für Adjazenzmatrizen von Graphen gilt stets, dass die Diagonalelemente 0 sind, da kein Knoten zu sich selbst adjazent ist. Im Folgenden ist ein Graph mit dazugehöriger Adjazenzmatrix dargestellt Abbildung 1: Ein Graph mit zugehöriger Adjazenzmatrix Die Definition der Adjazenzmatrix zu einem Graphen setzte eine bestimmte Benennung der Knotenpunkte voraus. Für die Gleichheit zweier Graphen müssen alle 1

2 Punkte, also auch ihre Namen, übereinstimmen, doch ist dieser Gleichheitsbegriff zu streng, denn es reicht für die meisten Belange aus, dass die Nachbarschaftsverhältnisse gleich sind. Man bezeichnet zwei Graphen X und Y als isomorph zueinander, wenn es eine Funktion φ : V (X) V (Y ) gibt, sodass falls für x, y V (X) mit x y auch φ(x) φ(y) gilt. Lemma: Seien X und Y Graphen mit n Knoten und A(X), A(Y ) zugehörige Adjazenzmatrizen. Genau dann, wenn X und Y isomorph sind, existiert eine Permutationsmatrix P R n n, für die P T A(X)P = A(Y ) gilt. Beweis: Sei φ ein Isomorphismus von V (X) nach V (Y ). Außerdem sei S : V (X) {1,..., n} jene Abbildung die einem Knoten aus V (X) die Zeile zuweist, in welcher er in A(X) beschrieben wird und sei T : V (Y ) {1,..., n} jene Abbildung die einem Knoten aus V (Y ) die Zeile zuweist, in welcher er in A(Y ) beschrieben wird. Es gilt also, dass eine Komponente von A(X) genau dann 1 ist, wenn ihre gemäß T φ S 1 entsprechende Komponente in A(Y ) gleich 1 ist. Formal bedeutet das A(X) i,j = A(Y ) T (φ(s 1 (i))),t (φ(s 1 (j))) für alle i, j V (X). Da T φ S 1 eine bijektive Abbildung ist, geht A(Y ) aus A(X) durch eine Permutation der Zeilen und Spalten hervor. Damit existiert eine Permutationsmatrix P R n n, sodass A(X) = P 1 A(Y )P gilt. Da Permutationsmatrizen orthogonal sind, gilt P T = P 1. Also gilt die Gleichung aus der Aussage. Falls umgekehrt P T A(X)P = A(Y ) gilt, kann man daraus die Funktion H : {1,..., n} {1,..., n} extrahieren, die einer Zeile in A(X) die zugehörige Zeile in A(Y ) zuweist. Sei nun φ die Abbildung von V (X) nach V (Y ), die durch φ(i) = T 1 (H(S(i))) definiert ist. Ist i j, folgt A(X) S(i),S(j) = 1 und damit auch A(Y ) H(S(i)),H(S(j)) = 1. Also sind T 1 (H(S(i))) und T 1 (H(S(j))) benachbart. Damit ist φ ein Isomorphismus. Im folgenden Abschnitt versuchen wir Folgerungen aus den Eigenschaften der Adjazenzmatrix eines Graphen zu ziehen. Dazu führen wir den Begriff Weg ein. Definition: Ist X ein Graph und gilt für eine endliche Folge von Knoten (v 0,..., v n ) aus V (X), dass v i v i+1 für alle 0 i n 1, dann heißt (v 0,..., v n ) ein Weg der Länge n in X. Im Gegensatz zu einem Pfad ist es nicht unbedingt notwendig, dass die Knoten paarweise verschieden sind. Ein Weg wird geschlossen genannt, wenn v 0 = v n gilt. 2

3 Lemma: Sei X ein gerichteter Graph und A(X) seine Adjazenzmatrix, dann ist (A(X) m ) i,j die Anzahl aller möglichen Wege der Länge m vom Knoten i zum Knoten j. Beweis: Es wird Induktion nach m geführt. Ist m = 1, gilt A(X) m = A(X). Ein Weg der Länge 1 von i nach j ist genau eine, die Knoten verbindende Kante. Solch ein Weg existiert genau dann, wenn (i, j) E(X) ist und damit ist auch dann A(X) i,j = 1, sonst 0. Sei nun diese Aussage bewiesen für alle Wege der Länge m. Wir zeigen sie nur für Wege der Länge m + 1. Alle Wege der Länge m+1 zwischen i und j sind Wege der Länge m von i zu einem Knoten k, für den (k, j) E(X). Damit ist die Anzahl der möglichen Wege von i nach j mit der Länge m+1 gleich n k=1 (A(X) m ) i,k (A(X)) k,j. Offensichtlich ist dies der i,j-te Eintrag von A(X) m+1. Besonders interessant sind oft die geschlossenen Wege. Das nächste Korollar zeigt, dass man mittels der Anzahl an geschlossenen Wegen der Länge 3 immerhin Aussagen über die Anzahl der Zykel der Länge 3 (Dreiecke) machen kann. Im Folgenden steht tr(a) für die Spur von der quadratischen Matrix A und bezeichnet die Summe der Diagonalelemente. Korollar: Sei X ein Graph mit k Kanten und t Dreiecken und A(X) dessen Adjazenzmatrix. Dann gilt: a.) tr(a(x)) = 0 b.) tr(a(x) 2 ) = 2k c.) tr(a(x) 3 ) = 6t Beweis: a.) Zu Beginn betrachten wir, dass die Diagonalelemente von A(X) allesamt 0 sind, da kein Knoten mit sich selbst benachbart ist. Daher gilt auch tr(a(x)) = 0. b.) (A(X) 2 ) i,j stellt alle Wege der Länge 2 von i nach j dar. In unserem Fall betrachten wir die Diagonalelemente (A(X) 2 ) i,i. Je Kante ist die Möglichkeit gegeben von i nach j und zurück zu gehen, oder umgekehrt. Also gibt es 2 mögliche Wege der Länge 2 je Kante. Damit ist tr(a(x) 2 )/2 = k. c.) Ein geschlossener Weg von i ausgehend mit Länge 3 kann nur ein Dreieck sein. Schließlich kann man kein Zykel größerer Länge darstellen und Zykel von kleinerer Länge sind nicht durch Wege der Länge 3 darstellbar. Geschlossene Wege der Länge 3, die Pfaden der Länge 2 entsprechen, gibt es ebenfalls nicht. Ist nun ein Knoten Eckpunkt eines Dreiecks, gibt es von diesem Punkt ausgehend 2 geschlossene Wege 3

4 der Länge 3. In jedem Dreieck gibt es genau 3 Eckpunkte, womit sich 6 verschiedene geschlossene Wege der Länge 3 auf einem Dreieck ergeben. Also gilt tr(a(x) 3 )/6 = t. Wie aus der linearen Algebra bekannt ist, ist die Spur einer Matrix A der Summe ihrer Eigenwerte. Weiterhin gilt, dass die Eigenwerte von A n die n-ten Potenzen der Eigenwerte von A sind. Damit ist die Spur von A n die Summe der n-ten Potenzen der Eigenwerte von A. 3 Inzidenzmatrizen Definition: Sei X ein Graph mit n Knoten und m Kanten. Dann ist die Matrix D(X) R n m, für die gilt, dass der Eintrag in der i-ten Zeile und j-ten Spalte 1 ist, falls der Knoten i zur Kante j inzident ist und 0 sonst, die Inzidenzmatrix von X. Im Gegensatz zur Adjazenzmatrix hat der Rang der Inzidenzmatrix eine Bedeutung, Abbildung 2: Graph mit Inzidenzmatrix. die aus dem Graphen erkennbar ist. Satz: Sei X ein Graph mit n Knoten und c verschiedenen bipartiten Zusammenhangskomponenten. Für den Rang der Inzidenzmatrix D(X) gilt dann rang D(X) = n c. Beweis: Aus der bekannten Dimensionsformel für lineare Abbildungen T : V W folgt n = dim Ker D(X) + rang D(X), wenn man die Abbildung z z T D(X) betrachtet. Dies ist äquivalent zu n dim Ker D(X) = rang D(X). Wir zeigen nun, dass der Kern von D(X) die Dimension c hat. Dazu betrachten wir alle z R n für die z T D(X) = 0 gilt. Für zwei benachbarte Knoten aus einer Zusammenhangskomponente C mit Namen g und h gilt, dass die zugehörigen Komponenten in z namens 4

5 z g und z h, dass z g + z h = 0 sein muss. Sind sie nämlich benachbart, dann werden sie durch eine Kante f verbunden. z T D(X) ist in der f-ten Spalte gleich z g + z h = 0. Also haben alle Werte einer Zusammenhangskomponente C die Werte a oder a. 1. Fall: Die betrachtete Zusammenhangskomponente ist bipartit. Das heißt es existiert eine Abbildung φ : V (C) V (K 2 ), die ein Homomorphismus ist. Zusätzlich kann man sich eine bijektive Abbildung T : V (K 2 ) {a, a} aussuchen insofern a ungleich 0 ist. Damit ist H = φ T : V (C) {a, a} eine Zuordnung von Werten a und -a an jeden Knoten in C, für die H(g) = H(h) für benachbarte g und h gilt. Je bipartite Zusammenhangskomponente kann man also einen Parameter a ungleich 0 wählen. 2. Fall: Die betrachtete Zusammenhangskomponente C sei nicht bipartit. Das bedeutet, dass für alle Abbildungen f : V (C) V (K 2 ) gilt, dass sie keine Homomorphismen sind. Für jedes f gilt also, dass x, y V (C) existieren, wobei x y, aber f(x) f(y). Da K 2 nur zwei verschiedene Knoten enthält, auf die abgebildet werden könnte, heißt das, dass f(x) und f(y) auf denselben Knoten abbilden müssen. Wir wollen nun zeigen, dass alle Komponenten von z auf der nicht bipartiten Zusammenhangskomponente C gleich 0 sein müssen. Widerspruchsannahme: Auf einer nicht bipartiten Zusammenhangskomponente C gibt es ein a 0, sodass den zu benachbarten Knoten gehörigen Komponenten von z, die Werte a und -a zugewiesen werden können. Formaler ausgedrückt gibt es eine Abbildung S : V (C) {a, a}, die benachbarten Knoten g und h Werte mit unterschiedlichem Vorzeichen zuweist. Daraus ergibt sich, dass T 1 S : V (C) V (K 2 ) beliebige benachbarte Knoten i und j auf die zwei verschiedenen Werte von K 2 abbildet. Damit ist T 1 S ein Homomorphismus von V (C) auf V (K 2 ). Dies steht aber im Wiederspruch dazu, dass C nicht bipartit ist. Also kann z für Knoten auf einer nicht bipartiten Zusammenhangskomponente nur den Wert 0 annehmen, um z T D(X) auf die 0 abzubilden. Wie man sieht, können wir für jede bipartite Zusammenhangskomponente höchsten einen Wert ungleich 0 aussuchen. Also ist die Dimension des Kerns c. Im nachfolgenden Abschnitt werden die Inzidenzmatrix eines Graphen und die Adjazenzmatrix seines Kantengraphen beziehungsweise seine Adjazenzmatrix in Zusammenhang gesetzt. Lemma: Sei D(X) die n m Inzidenzmatrix eines Graphen X, mit n Knoten und m Kanten, L(X) dessen Kantengraph und A(L) die m m Adjazenzmatrix des Kan- 5

6 tengraphs. Dann gilt D(X) T D(X) = 2I + A(L). Beweis: D(X) T D(X) ist eine m m Matrix, in der die i,j-te Komponente das Skalarprodukt aus der i-ten und j-ten Spalte von D(X) ist. Die Spalte i ist genau in der k-ten und l-ten Komponente 1, wenn die Kante i zwischen den Knoten k und l verläuft. Somit ist das Skalarprodukt zweier Spalten i und j aus D(X) genau dann 0, wenn i und j nicht inzident sind, genau dann 1, wenn sie zueinander inzident sind, und 2, wenn i = j gilt. Für i j gilt also (D(X) T D(X)) i,j = 0 und A(L) i,j = 0, für i j gilt (D(X) T D(X)) i,j = 1 und A(L) i,j = 1 und für i = j gilt (D(X) T D(X)) i,i = 2 sowie A(L) i,i = 0. Somit gilt die Matrixgleichung komponentenweise und damit gilt die Gleichung selbst. Konvention: Sei X ein Graph mit n Knoten. Dann schreibt man die n n Diagonalmatrix deren Eintrag a i,i der Valenz des Knotens i entspricht auch (X). Lemma: Sei X ein Graph und D(X) seine Inzidenzmatrix. Es gilt D(X)D(X) T = (X) + A(X). Beweis: Die i,j-te Komponente von D(X)D(X) T entspricht dem Skalarprodukt der i-ten und j-ten Zeile von D(X). Die i-te und j-te Zeile haben genau dann in derselben Komponente den Wert 1, wenn sie eine Kante gemeinsam haben. Ansonsten ist das Skalarprodukt 0. Also ist (D(X)D(X) T ) i,j genau dann 0, wenn die Knoten nicht benachbart sind, genau dann 1, wenn sie benachbart sind und gleich der Valenz von i, wenn i = j. Damit entspricht D(X)D(X) T komponentenweise (X)+A(X). Im Falle eines regulären Graphen gibt es einen interessanten Zusammenhang zwischen dem charakteristischen Polynom der Adjazenzmatrix von X und der von seinem Kantengraphen. Um diesen herzuleiten wird folgender Hilfssatz gebraucht. Lemma: Seien C, D Matrizen, sodass CD und DC definiert sind. Dann gilt det(i CD) = det(i DC). Beweis: Wir bilden die Blockmatrizen X = I C und Y = I 0, dann gilt D I D I XY = I CD C und Y X = I C. Auf jeden Fall gilt det(xy ) = 0 I 0 I DC det(x)det(y ), woraus det(xy ) = det(y X) folgt. Da es sich um Blockdreiecksmatrizen handelt, gilt det(i CD) = det(i DC). 6

7 Aus diesem Resultat ergibt sich auch, dass det(i x 1 CD) = det(i x 1 DC). λ ist Eigenwert von A, falls det(λi A) = 0 gilt. Ist λ 0 gilt auch analog dazu det(i λ 1 A) = 0. Also haben CD und DC dieselben Eigenwerte ungleich 0. Lemma: Sei X ein regulärer Graph mit n Knoten, e Kanten und einer Valenz von k. L(X) sei der zugehörige Kantengraph zu X. Für das charakteristische Polynom gilt dann det(xi A(L)) = (x + 2) e n det((x k + 2)I A(X)). Beweis: Verwende C := x 1 D(X) T und D := D(X). Aus dem vorigen Resultat und der Definiertheit von CD und DC ergibt sich dann det(i x 1 D(X) T D(X)) = det(i x 1 D(X)D(X) T ). Multipliziert man beide Seiten mit x e, so kann der Faktor auf beiden Seiten unter die Determinane gezogen werden und es folgt det(xi D(X) T D(X)) = x e n det(xi D(X)D(X) T ), denn D(X) T D(X) R e e und D(X)D(X) T R n n also kann beim zweiten Ausdruck nur x n hineingezogen werden. Nach den vorigen Lemmatae ist dies gleich det((x 2)I A(L)) = x e n det(xi (X) A(X)). Da X regelmäßig ist, gilt für (X) = ki. Also gilt det((x 2)I A(L))) = x e n det((x k)i (X)). Ersetzt man hierin x durch y+2 erhält man die Aussage. 4 Orientierte Graphen Definition: Sei X ein Graph, zusätzlich gebe es eine Abbildung σ : G(X) { 1, 1}, von der Menge aller Paare miteinander benachbarter Knoten, sodass für benachbarte Knoten u und v die Gleichung σ(u, v) = σ(v, u) gilt. Den Graphen X zusammen mit σ nennt man einen orientierten Graphen X σ. Gilt σ(u, v) = 1, erachten wir die Kante als von u nach v orientiert. Die Menge der orientierten Graphen ist ein Spezialfall der Menge der gerichteten Graphen, denn bei orientierten Graphen ist es nur möglich, dass zwei Knoten durch höchstens eine Kante verbunden sind. Die Inzidenzmatrix eines orientierten Graphen X σ mit n Knoten und e Kanten ist die Matrix D(X σ ), deren i,f-ter Eintrag 0 ist, wenn der Knoten i nicht zu der Kante f inzident ist, 1, wenn i inzident zu f ist und i der Kopf der Kante, -1, wenn i inzident zu f ist und nicht der Kopf der Kante. 7

8 Satz: Sei X ein Graph mit n Knoten und c Zusammenhangskomponenten. σ sei eine Orientierung von X. Für die Inzidenzmatrix D := D(X σ ) gilt rang D = n c. Beweis: Analog zu dem Beweis für Graphen zeigen wir hier, dass dim KerD = c. Dazu betrachten wir wieder sämtliche z R n, sodass z T D = 0. Sei C eine beliebige Zusammenhangskomponente von X σ. Für benachbarte Knoten u, v V (C) gilt, dass die entsprechenden Komponenten in den Spalten von D unterschiedliche Vorzeichen haben, denn einer von beiden Knoten ist der Kopf und der andere die Basis, der sie beide verbindenden Kante. Für z u und z v ergibt sich daraus z u = z v. Da jeder Knoten mit einem anderen Knoten der Zusammenhangskomponente verbunden ist, haben alle z i mit i V (C) denselben Wert. Man kann also höchstens für jede Zusammenhangskomponente in X einen gesonderten Wert ungleich 0 wählen. Somit erhält man c voneinander unabhängige Werte. Also gilt dim KerD = c und damit die Aussage. Lemma: Sei X σ ein orientierter Graph, dann gilt für dessen Inzidenzmatrix D, DD T = (X) A(X). Beweis: Wir vergleichen beide Seiten komponentenweise. (DD T ) i,j entspricht dem Skalarprodukt der i-ten und j-ten Zeile. Dieses ist für i j, falls die Knoten i und j eine Kante verbindet gleich -1 und wenn sie keine Kante verbindet 0. Gilt i=j, entspricht (DD T ) i,j der Valenz von i. Ein planarer Graph Y mit gegebener ebener Einbettung war dual zu einem anderen planaren Graphen X mit gegebener ebener Einbettung, wenn die Knoten in Y genau die in X gebildeten Flächenstücke sind, die genau dann verbunden sind, wenn die zwei zugehörigen Flächenstücke eine gemeinsame Kante haben. Demgemäß bezeichnet man die Kanten des dualen Graphen nach den Kanten, über die zwei Flächenstücke f und g miteinander verbunden sind. Anschaulich kann man sich die Knoten des dualen Graphen als Punkte inmitten der Flächenstücke des ursprünglichen Graphen vorstellen. Die Kanten des dualen Graphen sind dann normal auf die Kanten des ursprünglichen Graphen. Einem orientierten planaren Graphen mit ebener Einbettung kann man seinen orientierten dualen Graphen zuweisen. Seien f und g zwei Flächenstücke in einem orientierten planaren Graphen mit ebener Einbettung, dann ist die Kante, die f und g gemeinsam haben in einem der Flächenstücke im Uhrzeigersinn, im anderen im Gegenuhrzeigersinn orientiert. Angenommen es ist in f auf erste Weise 8

9 orientiert. Im dualen Graphen wählt man dann die Orientierung der enstprechenden Kante von g nach f. Steht ein orientierter planarer Graph mit ebener Einbettung in solch einem Verhältnis zu seinem dualen Graphen schreibt man auch Y σ für den dualen Graphen Y. Lemma: Seien X und Y zueinander duale Graphen und sei σ eine Orientierung von X. Falls D und E die Inzidenzmatrizen von X σ und Y σ sind, gilt DE T = 0. Beweis: Ist i ein Knoten auf X, der in dem Flächenstücke f liegt, dann gibt es genau zwei Kanten g und h, die i enthalten und auf f liegen. Für die i,f-te Komponente von DE T erhält man dann D i,g Eg,f T + D i,h Eh,f. T Ist in einer anderen Orientierung als σ die Richtung von g oder h unterschiedlich, so ist dies auch im dualen Graphen Y der Fall. Damit ändert sich der Wert von D i,g Eg,f T bei Umkehrung der Orientierung von g nicht. Analog dazu ändert sich D i,h Eh,f T nicht, wenn die Orientierung von h geändert wird. Damit ist der Wert der Summe unabhängig von der Orientierung. Also dürfen wir annehmen, dass i der Kopf von g und die Basis von h ist. Das bedeutet wiederum, dass in Y g und h diesselbe Orientierung haben. Also sind D i,g = D i,h und E g,f = E h,f, was die obige Summe 0 werden lässt. 5 Literatur: [2001] CHRIS GODSIL, GORDON ROYLE: Algebraic Graph Theory. 9