1 Grundlagen zur Darstellungstheorie

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1 Seminar Gruppen in der Physik SS 06 Vortrag 1 Gruppen und ihr Darstellung Matthias Nagl 1 Grundlagen zur Darstellungstheorie In diesem Vortrag wird es nur um lineare Darstellungen endlicher Gruppen in endlichdimensionale -Vektorräume gehen. Daher soll hier eine Darstellung immer eine lineare eine Gruppe immer eine endliche und ein Vektorraum immer einen endlichdimensionalen -Vektorraum bezeichnen. Definition 1 (Lineare Darstellung) Unter einer linearen Darstellung einer Gruppe G bezüglich eines Vektorraums V versteht man einen Homomorphismus r : G GL(V ). Man bezeichnet die Darstellung dann mit r. Man nennt hier dim V den Grad der Darstellung. Aus dieser Definition ergeben sich folgende Eigenschaften für r: Da es sich um eine Abbildung in die Menge der Linearen Abbildungen eines (endlichdimensionalen) Vektorraums handelt, kann man (nach Wahl einer Basis) r(g) als Matrix (r(g) ij ) darstellen. Diese Matrix ist nur bis auf Konjugation, d.h. Wahl der Basis eindeutig. Außerdem gilt r(e) = id r(g 1 ) = r(g) 1 Definition 2 (Äquivalenz von Darstellungen) Man bezeichnet nun zwei Darstellungen r und r der Gruppe G bezüglich den Vektorräumen V bzw. V als äquivalent, wenn ein Isomorphismus T : V V existiert mit : r (g)t = Tr(g) g G (1) Definition 3 (Invarianter Unterraum/Unterdarstellung) Sei r eine Darstellung der Gruppe G in den Vektorraum V. Einen Untervektorraum W V heißt invariant unter r, wenn g G gilt dass r(g)w W ist. Mit V und {0} besitzt jede Darstellung mindestens 2 invariante Untervektorräume, die sogenannten trivialen, invarianten Unterräume. Bedenkt man das r(g 1 ) = r(g) 1 gilt, folgt daraus dass dann immer r(g)w=w gelten muss. Es gilt ja W = r(g 1 )W W also insbesondere auch r(g)w r(g)w und somit W r(g)w Betrachtet man nun r = r W ist klar, dass es sich dabei wieder um eine Darstellung von G handelt. Man nennt r auch eine Unterdarstellung von r. 2 (Ir-)Reduzibiltät Definition 4 (Irreduzibel) Man nennt eine Darstellung irreduzibel, wenn sie nur die trivialen invarianten Unterdarstellungen besitzt. 1

2 Entsprechend nennt man einen (Unter-)Vektorraum irreduzibel bzgl. r wenn er keine echten, G-invarianten Untervektorräume besitzt. Definition 5 (Direkte Summe von Darstellungen) Sind zwei Darstellungen r und r von G bezüglich V bzw, V gegeben, so kann man durch: r (g)(v + v ) := r(g)v + r (g)v v V, v V, g G (2) eine Darstellung von von G auf V V definieren. Wir wollen diese Darstellung r* mit r r bezeichnen. Wählt man nun eine geeignete Basis von V V so erhält man eine Matrixdarstellung von r r in der Form: r ij 0 (3) 0 r ij Hat man einen echten G-invarianten Unterraum einer Darstellung gefunden, möchte man den gesamten Raum möglichst als direkte Summe dieses Raumes mit einem anderen Unterraum darstellen, da man so wie schon die Matrixdarstellung zeigt eine einfachere Darstellung erhält. Um eine solche Zerlegung zu erhalten benötigt man zu einem G-invarianten Unterraum W immer ein ebenfalls G-invariantes Komplement W. Um die Existenz eines solchen Unterraums zu zeigen definiert man folgendes hermitisches Skalarprodukt. Definition 6 (Hermitisches G-invariantes Skalarprodukt) Zu einer Darstellung r von G auf V definiert man sich ein ein G-invariantes hermitisches Skalarprodukt (,) wie folgt: (u, v) := 1/#G g G(r(g)u, r(g)v) 0 (4) wobei (, ) 0 ein hermitisches Skalarprodukt auf V ist(existiert auf einem endlichdimensionalen -VR immer). Man sieht hier sehr schön den Vorteil der endlichen Gruppen. Denn wäre G nicht endlich könnte man nicht ohne weiters ein solches Mittel bilden. Dass (,) die Eigenschaften eines G-invarianten hermitischen Skalarprodukts erfüllt kann man leicht nachrechnen. Satz 1 Mit Hilfe des obigen Skalarprodukts zeigt man dann ohne Weiteres, dass zu jedem echten G-invarianten Unterraum von V ein G-invaraintes Komplement V existiert. Satz 2 (Vollständige Reduzibilität) Aus der Existenz des obigen Komplements folgt nun wiederum, dass sich jede lineare Darstellung einer endlichen Gruppe in einen endlichdimensionalen Vektorraum in eine direkte Summe irreduziebler Darstellungen zerlegen lässt. Diese Eigenschaft nennt man vollständige Reduzibilität. 2

3 3 Das Schursche Lemma Definition 7 (Hom G (V 1, V 2 )) Seien r 1 und r 2 Darstellungen der Gruppe G in V 1 bzw. V 2. Dann bezeichnet Hom G (V 1, V 2 ) die linearen Abbildungen T von V 1 nach V 2, die r 2 (g)t = Tr 1 (g) g G erfüllen. Satz 3 (Das Lemma von Schur) Seien r 1, r 2 irreduzible Darstellungen der Gruppe G in die Vektorräume V 1, V 2, T Hom G (V 1, V 2 ). Dann gilt: Für r 1 r 2 gilt T=0 Für r 1 = r 2 gilt T=cI, mit c Eine Anwendung des Schurschen Lemmas ergibt folgende Relationen für irreduzible, unitäre Matrixdarstellungen. Satz 4 (Orthogonalität der Matrixdarstellungen) : (,)bezeichne das Skalarprodukt definiert durch: Dann gilt: Für r 1 r 2, (r 2 ij, r 1 kl) = 0 i, j, k, l Für r 1 = r 2, (r 2 ij, r 1 kl) = (1/n)δ lj δ ki (f 1, f 2 ) = 1/#G g Gf 1 (g)f 2 (g) (5) 4 Charaktere und deren Orthogonalitätsrelationen Definition 8 (Charakter einer Darstellung) Man nennt χ r (a) := tr die Spur der Matrixdarstellung) den Charakter der Darstellung r. Für den Charakter einer Darstellung gilt: χ r (e) = dimv χ r (h 1 gh) = χ r (g) χ r (g 1 ) = χ r (g) g, h G r(g) (d.h χ r1 r 2 = χ r1 + χ r2 Satz 5 (Orthogonalität von Charaktern) Als direkte Folgerung aus der Orthogonalität von Matrixdarstellungen gilt für Charaktere: Für r 1, r 2 irreduzibel, r 1 r 2, (χ 1, χ 2 ) = 0 (χ, χ) = 1 wenn χ irreduzibel ist. Betrachtet man nun eine, nicht notwendigerweise irreduzible Darstellung r = r 1... r k (r i irreduzibel) mit Charakter γ, so gilt γ = χ χ k wenn die χ i die Charaktere der r i bezeichnen. Nun ist für den Charakter χ einer irreduziblen Darstellung s (γ, χ) =Anzahl der zu s isomorphen Terme von r. Damit gilt dann auch 3

4 Satz 6 Zwei Darstellungen mit demselben Charakter sind äquivalent. Satz 7 Da man einen Charakter γ auch als γ = m i χ i mit irreduziblen Charakteren χ i schreiben kann, gilt: (γ, γ) = m 2 i (6) und damit dann auch: γ ist irreduzibel (γ, γ) = 1 Möchte man zu zwei Darstellungsräumen U und V dimhom G (U, V ) berechnen, so kann man mit den obigen Überlegungen und dem Schurschen Lemma zeigen, dass folgender Satz gilt. Satz 8 dimhom G (U, V ) = p 1 q p k q k (7) Wenn die p i die Häufigkeit der irreduziblen Darstellung W i in der Zerlegung von U und die q i die entsprechende Anzahl für V bezeichnen. 5 Die Reguläre Darstellung Sei M eine Menge auf der die Gruppe G operiert. Bezeichnet man zu einer Menge M den Raum der komplexwertigen Funktionen auf M durch F(M), dann operiert G durch gf := f g 1 auch auf F(M). Mit dieser Operation ist dann auch in natürlicher Weise eine Darstellung von G auf F(M) gegeben. Diese sei mit r m bezeichnet. Beim Betrachten von Gruppen und ihren irreduziblen Darstellungen stellt sich die Frage, wie viele solcher irreduzibler Darstellungen überhaupt existieren und wie diese aussehen. Um der Antwort auf diese Frage näher zu kommen wäre eine Darstellung hilfreich, die alle verschiedenen irreduziblen Darstellungen einer Gruppe bis auf Isomorphie enthält. Dies leistet die reguläre Darstellung einer Gruppe. Definition 9 (Reguläre Darstellung) Setzt man in der obigen Definition M=G, so erhält man mit r G die reguläre Darstellung. Es gilt : #G = dimf(g) = p i n i wenn p i die Häufigkeit und n i die Dimension der i-ten irreduziblen Darstellung von G in F(G) bezeichnet. Satz 9 Es gilt außerdem dimhom G (F(G), F(G)) = p 2 i =# Orbits von G auf G G(G operiert hier auf (F(G),F(G)) durch g(f(a),f(b))=(gf(a),gf(b))) Betrachtet man den Orbit zu einem Element (g,h), so ist klar das auch (g 1) (g, h) = (e, g 1 h) auf dieser Bahn liegt. Weiter ist klar, dass es sich dabei um das einzige Element der Form (e,*) handelt. Damit gilt dann aber #G=# Bahnen = p 2 i 4

5 Das legt nun die Vermutung nahe dass stets n i = p i und somit für jede irreduzible Darstellung W dimhom G (W, F(G)) = dimw (8) gilt. Dies lässt sich zeigen. Da p i = n i gilt, ist sicher auch #G = n 2 i. Damit gilt nun folgender Satz. Satz 10 Hat man einmal verschiedene irreduzible Darstellungen r i von G in W i mit dimw i = n i gefunden, so dass n 2 i = #G gilt, dann existieren keine weiteren nicht zu einer der r i isomorphen irreduziblen Darstellungen von G. Damit ist gezeigt, dass die Reguläre Darstellung tatsächlich alle irreduziblen Darstellungen von G bis auf Isomorphie enthält. Eine weitere Folgerung aus den obigen Überlegungen ist folgender Satz. Satz 11 Die Anzahl der unterschiedlichen Konjugationsklassen von G ist dieselbe wie die der unterschiedlichen irreduziblen Darstellungen. 6 Charaktertafeln Wenn χ 1,..., χ p die unterschiedlichen irreduziblen Charaktere einer Darstellung, C 1,..., C p die Konjugationsklassen der Dargestellten Gruppe und χ i (j) den Wert des Charakters χ i auf der j-ten Konjugationsklasse bezeichnet, dann gilt: (χ i, χ k ) = (1/#G) p χ i (g)χ k (g) = (1/#G) (#C j )χ i (j)χ k (j) (9) g G j=1 Damit kann man die Orthogonalitätsrelation für Charakter auch folgendermaßen schreiben (#C 1 )χ i (1)χ k (1)+...+(#C p )χ i (p)χ k (p) = (#G wenn i = k und 0 wenn i k) (10) außerdem kann man zeigen dass (#C j )[χ 1 (j)χ 1 (l)+...+χ p (j)χ p (l)] = (#G wenn j = l und 0 wenn j l) (11) gilt. Definition 10 (Charaktertafel) Eine Charaktertafel bezeichnet nun eine Tabelle, deren Zeilen mit den irreduziblen Charakteren und Spalten mit den Konjugationsklassen und deren Vielfachheit bezeichnet sind. Die also als Eintrag ij χ i (j) d.h. den Wert des i-ten irreduziblen Charakters auf der j-ten Konjugationsklasse enthält. Die beiden obigen Gleichungen zeigen nun, dass das Skalarprodukt zweier unterschiedlicher Spalten immer 0 und das Produkt einer Spalte mit sich selbst, gewichtet mit der Anzahl der entsprechenden Konjugationsklasse # G ergibt. Ähnlich gilt diese auch für Zeilen, nur das hier jeder Summand mit der Anzahl der zugehörigen Konjugationskalsse gewichtet wird. 5

6 7 Tensorprodukte Definiert man T als : T := { i,j c ij t ij c ij K} (12) mit Symbolen t ij i 1,..., n j 1,..., m dann wird T zu einem mn-dimensionalen Vektorraum über K. Seien V und W Vektorräume mit Basen (v 1,..., v n ) bzw. (w 1,..., w m ), dann sei zu v = n i=1 a i v i und w = m j=1 b j w j die Verknüpfung definiert durch: n m v w = a i b j t ij (13) i=1 j=1 Satz 12 Definiert man V,W und T wie oben. Dann ist :V W T mit (v, w) v w bilinear und es gilt: Ist U K-Vektorraum und g : V W U bilinear dann existiert genau eine Abbildung g*:t U mit g (v w) = g((v, w)) v V, w W. Seien (v 1,..., v n) und (w 1,..., w n) Basen von V bzw. W, dann ist (v i w j 1 i n, 1 j m) eine Basis von T. Man nennt T zusammen mit der Abbildung (v, w) v w das Tensorprodukt von V und W. Man schreibt T=V W. v w nennt man das Tensorprodukt von v und w. Das Tensorprodukt ist durch die obige Definition bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt. Satz 13 U,V und W seien endlichdimesionale Vektorräume über demselben Körper K. Dann gilt (U V ) W U (V W). Satz 14 Sei γ End k (V ),ρ End K (W) Dann gilt:!γ ρ End K (V W) mit (v w) γ ρ = v γ w ρ v V, w W. γ GL(V), ρ GL(W) γ ρ GL(V W) Satz 15 Seien (a ij ) bzw. (b kl ) die Matrizen zweier linearer Abbildungen dann ist (a ij b kl ) die Matrix des Tensorprodukts der Abbildungen bzgl. dem Tensorprodukt der beiden Basen. Satz 16 Sei γ End K (V ) und ψ End K (W). Dann gilt: Sp(γ ψ) = SpγSpψ (14) 6

7 Definition 11 (Tensorprodukt von Darstellungen) : Seien r 1 : G 1 GL(V 1 ) und r 2 : G 2 GL(V 2 ) Darstellungen mit Charakteren χ 1 bzw. χ 2. Definiert man r 1 r 2 : G 1 G 2 GL(V 1 V 2 ) (15) mit (r 1 r 2 )((g 1, g 2 )) = r 1 (g 1 ) r 2 (g 2 ) (16) Erhält man eine Darstellung von G 1 G 2 in V 1 V 2 mit Charakter χ = χ 1 χ 2. Betrachtet man nun den Fall G 1 = G 2 = G, so kann man G identifizieren mit der Teilmenge G = {(g, g) g G} G G. Nun ist r 1 r 2 G : G GL(V 1 V 2 ) eine Darstellung von G in V 1 V 2 mit Charakter χ 1 χ 2. Man nennt r 1 r 2 G das Tensorprodukt der Darstellungen r 1, r 2 von G. Man erhält so insbesondere zu je zwei Charakteren χ 1, χ 2 einen Charakter χ 1 χ 2. Satz 17 Seien G 1, G 2 endliche Gruppen mit Darstellungen r 1 : G 1 GL(V ) r 2 : G 2 GL(W). Dann gilt: Sind r 1 und r 2 irreduzibel, so ist r 1 r 2 eine irreduzible Darstellung von G 1 G 2. Jede irreduzible Darstellung von G 1 G 2 ist äquivalent zu einer Darstellung r 1 r 2 mit r 1,r 2 irreduzibel. 8 Young Tableaus Dieser Abschnitt soll eine Möglichkeit zeigen, die irreduziblen Darstellungen der symmetrischen Gruppe S n zu berechnen. Berechnet man die Konjugationsklassen einer Symmetrischen Gruppe, so kommt man zu dem Ergebnis, dass genau solche Permutationen zu einer Konjugationsklasse gehören, welche die selbe Struktur von Zykeln aufweisen. Damit ist es dann einfach die Anzahl der Elemente einer Konjugationsklasse zu berechnen denn diese ist ja #S n /#H wenn H = {t sts 1 }. Und nach obigem entspricht #H einfach der Anzahl der unterschiedlichen Zykel mit gleicher Struktur. Außerdem gilt, wenn ν i die Anzahl der i Zykel einer Permutation bezeichnet immer die Gleichung ν 1 + 2ν nν n = n. Es gilt nun #H = 1 ν 1 ν 1!2 ν 2 ν 2!...n νn ν n! Sei weiter λ i definiert als λ i := ν ν i. Definition 12 Sei λ = (λ 1,..., λ d ) mit λ i =Anzahl der Zykel mit Länge größer gleich gleich i. Definition 13 (Rahmen) Mit einem Rahmen bezeichnet man eine Tabelle bestehend aus Boxen, so dass in der ersten Zeile λ 1 Boxen in der zweiten λ 2 usw. sind. Es ist nun offensichtlich die Anzahl solcher Rahmen die gleiche wie die der Konjugationsklassen und somit auch wie die der unterschiedlichen irreduziblen Darstellungen von S n. 7

8 Definition 14 Wir können nun eine Halbordnung auf der Menge der Rahmen definieren. Wir sagen λ µ wenn für alle i λ λ i µ µ i gilt. Definition 15 (Young Tableau) Verteilt man nun die Zahlen 1,...,n in einen Bestehenden Rahmen, so nennt man das Ergebnis ein Young Tableau. Hierbei kann man die einzelnen Zeilen des Tableaus als ungeordnete Mengen auffassen, d.h. zwei Tableaus die aus einer Permutation der Elemente innerhalb einer Zeile entstanden sind betrachtet man als äquivalent. Nach obigem ist klar das die Gruppe der zu einem Young Tableau äquivalente Tableaus isomorph zu S λ1... S λp ist. Definition 16 Bezeichnet man nun mit M λ die Menge der Young Tableaus zu einem Rahmen λ = (λ 1,..., λ p ), so gilt #M = n!/(λ 1!...λ p!) Da S n auf M λ opertiert, erhält man in natürlicher Weise eine Darstellung von S n auf M λ. Zerlegt man diese Darstellungen nun in irreduzible Darstellungen, und betrachtet diese direkte Summenzerlegung für die Darstellungen der unterschiedlichen λ so kommt man zum Ergebnis das die Darstellung entlang der Halbordnung der λ i sukzessive aufgebaut sind. Und zwar in der Form das man die Darstellung zu einem bestimmten λ als direkte summe aus irreduziblen Teilen von Darstellungen µ mit λ µ und einem neuen irreduziblen Teil schreiben kann und zwar so, dass dieser neue irreduzible Teil eindeutig für jedes λ i ist. In anderen Worten bestimmt jeder Rahmen λ eine eindeutige irreduzible Darstellung F λ von S n. Definition 17 (Haken Länge ) Als die Haken Länge eines Eintrags in einem Rahmen bezeichnet man die Anzahl der Felder rechts und unter dem entsprechendem Eintrag plus 1. Satz 18 (Die Haken Formel) Es gilt nun: dimf λ = n!/π(allehakenlaengenvonλ) (17) Literatur: [1]S. Sternberg, Group Theory in Physic [2]W. Hein, Struktur- und Darstellungstheorie der klassischen Gruppen 8